三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用

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阿波罗尼斯圆及其直接应用 (解析版)

1专题一：阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用主干知识：1、阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点,A B ，设P 点在同一平面上且满足PAPBλ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（1λ=时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2、阿波罗尼斯圆的方程【定理1】设()()()1,,,0,,0P x y A a B a -．若PAPBλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹方程是2222221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，其轨迹是以221,01a λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为221a r λλ=-的圆．例题讲解例1．（2022·河北盐山中学高二期中）已知两定点()2,1A -，()2,1B -，如果动点P满足PA =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于___________.【分析】设(,)P x y ，根据题设条件，结合两点距离公式列方程并整理即可得P 的轨迹方程，即知轨迹为圆，进而求其面积即可.【详解】设(,)P x y ，由题设得：2222(2)(1)2[(2)(1)]x y x y ++-=-++，∴22(6)(3)40x y -++=，故P的圆，∴图形的面积等于40π.故答案为：40π例2．（2022四川涪陵月考）若ABC ∆满足条件4, 2 AB AC BC ==，则ABC ∆面积的最大值为__________．【分析】设BC x =，则2AC x =，由余弦定理得出cos B ，根据三角形任意两边之和大于第三边得出x 的范围，再由三角形面积公式，结合二次函数的性质得出答案.【详解】设BC x =，则2AC x =，由余弦定理可得22216(2)163cos 248x x x B x x+--==⨯⨯由三角形任意两边之和大于第三边得2442x x x x +>⎧⎨+>⎩，解得443x <<，即216169x <<14sin 222ABCS x B ∆∴=⋅⋅⋅===当2809x =时，ABC ∆面积取最大值163故答案为：163答案第2页，共3页例3．在平面直角坐标xOy 中，已知点()()1,0,4,0A B ，若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是_______．【分析】根据12PA PB =得出点P 的轨迹方程，又点P 在直线0x y m -+=上，则点P 的轨迹与直线必须有公共点，进而解决问题.【详解】解：设(,)P x y则PA PB ==因为12PA PB ==，同时平方，化简得224x y +=，故点P 的轨迹为圆心在（0,0），半径2为的圆，又点P 在直线0x y m -+=上，故圆224x y +=与直线0x y m -+=必须有公共点，2≤，解得m -≤例4．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P满足PA PB=22PA PB +的最大值为（）A．16+B．8+C．7+D．3【分析】设()()1,0,1,0A B -，(),P x y，由PA PB=P 的轨迹为以()2,0为圆心，半()222221PA PB x y +=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设()()1,0,1,0A B -，(),P x y ，因为PA PB=，即()2223x y-+=，所以点P 的轨迹为以()2,0因为()()()222222221121x y x y x y PA PB =++++-+=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，所以()(222max27x y+=+=+，所以()22max2116x y ⎡⎤++=+⎣⎦22PA PB +的最大值为16+3故选：A.例5．（2022四川·成都外国语学校高二月考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆()()()221:204C x y m m -+-=>，在圆上存在点P 满足2PA PB=，则实数m 的取值范围是（）A．22⎣⎦B．542⎡⎢⎣⎦C．2⎛ ⎝⎦D．2⎥⎣⎦【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =求出点P 的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设(),P x y ，因为点()1,0A -，()2,0B ，2PA PB =，=22650x y x +-+=，所以()2234x y -+=，可得圆心()3,0，半径2R =，由圆()()221:24C x y m -+-=可得圆心()2,C m ，半径12r =，因为在圆C 上存在点P 满足2PA PB =，所以圆()2234x y -+=与圆()()221:24C x y m -+-=有公共点，所以112222-≤≤+，整理可得：2925144m ≤+≤，解得：22m ≤≤，所以实数m 的取值范围是2⎥⎣⎦，。

帕普斯的几何命题与三角公式

帕普斯的几何命题与三角公式帕普斯（Apollonius）是古希腊的一位著名数学家，他的几何命题和三角公式对几何学和三角学的发展都起到了重要的推动作用。

本文将介绍帕普斯的几何命题和三角公式，并对其应用进行详细阐述。

圆锥曲线是帕普斯研究的重点之一、他提出了椭圆、双曲线和抛物线这三种基本的圆锥曲线，并研究了它们的性质和特点。

帕普斯指出，在平面上平移一条长度不变的直线和一个固定点，可以得到一条椭圆。

类似地，他也指出可以通过固定点和直线之间的拉动或平衡，得到双曲线和抛物线。

这些结论为后来对圆锥曲线的研究提供了重要的基础。

对偶多面体是帕普斯的另一项重要研究内容。

帕普斯发现，如果在一个正多面体的每一个面上找到一个顶点，然后连接相邻的顶点，就可以得到一个新的多面体。

这个新多面体和原始多面体具有相似的性质，称为对偶多面体。

帕普斯通过研究对偶多面体的性质，揭示了正多面体的一些奇妙的对称性质和关系，为多面体的研究提供了新的视角。

圆锥剖分是帕普斯的另一项研究成果。

帕普斯发现，通过在一个圆锥上做一系列的切割，可以得到一系列的图形，如圆、椭圆、双曲线等。

这些图形可以通过一系列的切割和平移得到，帕普斯通过研究这种剖分过程，推广了几何学的一些基本概念和定理。

帕普斯的三角公式主要包括以下几个方面：正割、余割和半角公式。

正割公式是帕普斯研究三角函数时发现的重要公式之一、他指出，对于一个任意角度的三角函数，它的正割等于这个角度的余割的倒数。

这个公式在三角分析中有着广泛的应用，对于解决三角方程和求解三角函数的值有着重要的意义。

余割公式是帕普斯研究三角函数时发现的另一个重要公式。

他指出，对于一个任意角度的三角函数，它的余割等于这个角度的正割的倒数。

这个公式和正割公式是互为倒数的关系，在三角函数的计算中具有重要的作用。

半角公式是帕普斯的又一个重要发现。

他发现，对于一个任意角度的三角函数，它的半角公式可以通过计算半角来求得。

这个公式使得三角函数的计算更加简洁和方便，对于解决各类三角问题有着重要的帮助。

高中数学阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯（Apollonius）圆法二：设平面上有不同的两点A,B ，那么该平面上使得k PBPA= 为定值k （1≠k ）的P 的轨迹是一个圆。

这个定理的证明方法很多。

下面是笔者的分析与证明，希望读者喜欢。

如图，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA：PB＝ m：n ，M是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上）且AM：MB＝AN：NB＝m：n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。

下面先证明两个定理：一、如图一，已知M是BC上一点，且AB：AC＝BM：MC，求证：AM平分∠BAC（三角形内角平分线定理的逆定理）证明：过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB：AD＝BM：MC∵AB：AC＝BM：MC，∴AB：AD ＝AB：AC，∴AC＝AD，∴∠D＝∠3，∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC。

二、如图二，N是BC延长线上一点，BN：CN＝AB：AC，求证：AN平分∠BAC的邻补角∠EAC. 证明：∵CD∥AN交AB于D，则BN：CN＝AB：AD.∵BN：CN＝AB：AC∴AB：AD＝AB：AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4.∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4∴∠1＝∠2∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC有了上面的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了，证明如下：连结PM、PN，∵M为AB的内分点PA：PB＝AM：MB ＝m：n，∴PM平分∠APB∵N为AB的外分点，AN：BN＝PA：PB ＝m：n∴PN平分∠BPE∵∠APB＋∠BPE＝180º，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2即∠MPN＝90º∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆阿波罗尼斯圆一、适用题型1、已知两个线段长度之比为定值；2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；3、向量的定比分点公式结合角平分线；4、线段的倍数转化；二、基本理论（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）设三角形的三边长分别为c b a ,,，中线长分别为c b a m m m ,,,则：222222222222221221221cb a mc b a m b c a m a c b +=++=++=+（二）阿波罗尼斯圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”()()()()则，若设不妨设,,1,0,0,0,,0,y x P a BP AP a B a A ≠>>=-λλλ()()2222y a x y a x +-=++λ化简得：2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a y a x λλλλ 轨迹为圆心a a 12011222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+λλλλ，半径为，的圆（三）阿波罗尼斯圆的性质1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点；2、直线CM 平分ACB ∠，直线CN 平分ACB ∠的外角；3、BN ANBM AM = 4、CN CM ⊥5、内在圆点内；在圆时，点O A O B ,101<<>λλ；6、若AD AC ,是切线，则CD 与AO 的交点即为B ；7、若点B 做圆O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分EAF ∠；三、补充说明1、关于性质1的证明定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为()1≠λλ的内、外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比等于常数λ。

例谈阿波罗尼斯圆的应用

例谈阿波罗尼斯圆的应用吉㊀磊(兰州天庆实验中学ꎬ甘肃兰州７３００３０)摘㊀要:文章从阿波罗尼斯圆的定义入手ꎬ给出近年来中考相关试题的解法ꎬ为学生学习高中解析几何打下良好的基础.关键词:阿波罗尼斯圆ꎻ中考数学ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２３－００２０－０４收稿日期:２０２３－０５－１５作者简介:吉磊(１９８１.１－)ꎬ男ꎬ陕西省西安人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀近年来ꎬ在各地中考中ꎬ对于重难点题型的考查多少都涉及到数形结合解决极限值的待定系数问题ꎬ在这里就不得不提到非常著名的阿波罗尼斯圆 (简称阿氏圆 )理论ꎬ这种方法可以帮助学生理解考查题型的设计初衷ꎬ从而整合所学相关知识的应用与拓展.１阿波罗尼斯圆的定义及定理定义㊀已知平面上两个定点Ａ㊁Ｂꎬ若一个动点Ｐ满足ＰＡＰＢ＝ｋ(ｋ>０且ｋʂ１)ꎬ其中ｋ为定值ꎬ则这个动点Ｐ的运动轨迹是一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现ꎬ这个点Ｐ所形成的圆就称为阿氏圆.也称之为圆的第二定义.当且仅当ｋ＝１时ꎬ点Ｐ的运动轨迹是线段ＡＢ的中垂线[１].定理㊀如图１ꎬＰ是平面上一动点ꎬＡ㊁Ｂ是两定点ꎬＰＡʒＰＢ＝ｋꎬＭ是ＡＢ的内分点ꎬＮ是ＡＢ的外分点且ＡＭʒＭＢ＝ＡＮʒＮＢ＝ｋꎬ则Ｐ点的轨迹是以ＭＮ为直径的圆.图１㊀点Ｐ轨迹图２阿氏圆在初中阶段的应用２.１阅读材料型(显露阿氏圆)例１㊀(２０１９秋山西期末)如图２ꎬ在平面直角坐标系中ꎬ在ｘ轴ꎬｙ轴上分别有点Ｃ(ｍꎬ０)ꎬＤ(０ꎬｎ)ꎬ点Ｐ是平面内一动点ꎬ且ＯＰ＝ｒꎬ设ＯＰＯＤ＝ｋꎬ求ＰＣ＋ｋＰＤ的最小值.图２㊀例１题图阿氏圆的关键解题步骤:第一步:如图２ꎬ在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎻ第二步:证明ｋＰＤ＝ＰＭꎻ第三步:连接ＣＭꎬ此时ＣＭ即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分):解㊀在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎬ又ȵøＰＯＤ＝øＭＯＰꎬʑәＰＯＭʐәＤＯＰ.任务:(１)将以上解答过程补充完整.(２)如图２ꎬ在ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＡＣＢ＝９０ʎꎬＡＣ＝４ꎬＢＣ＝３ꎬＤ为әＡＢＣ内一动点ꎬ满足ＣＤ＝２ꎬ利用(１)中的结论ꎬ请直接写出ＡＤ＋２３ＢＤ的最小值.考点:相似形综合题.专题:几何综合题ꎻ应用意识.分析㊀(１)在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎬ利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可.(２)利用(１)中结论计算即可.解㊀(１)在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭʒＯＰ＝ＯＰʒＯＤ＝ｋꎬ又ȵøＰＯＤ＝øＭＯＰꎬʑәＰＯＭʐәＤＯＰ.ʑＭＰʒＰＤ＝ｋꎬʑＭＰ＝ｋＰＤꎬʑＰＣ＋ｋＰＤ＝ＰＣ＋ＭＰꎬ当ＰＣ＋ｋＰＤ取最小值时ꎬＰＣ＋ＭＰ有最小值ꎬ即ＣꎬＰꎬＭ三点共线时有最小值ꎬ利用勾股定理得ＣＭ＝ＯＣ２＋ＯＭ２＝ｍ２＋(ｋｒ)２＝ｍ２＋ｋ２ｒ２.(２)ȵＡＣ＝ｍ＝４ꎬＣＤＢＣ＝２３ꎬ在ＣＢ上取一点Ｍꎬ使得ＣＭ＝２３ＣＤ＝４３ꎬʑＡＤ＋２３ＢＤ的最小值为４２＋(４３)２＝４１０３.点评㊀本题属于相似形综合题ꎬ考查了相似三角形的判定和性质ꎬ勾股定理ꎬ两点之间线段最短等知识ꎬ解题的关键是理解题意ꎬ学会用数形结合转化的思想考虑问题ꎬ属于中考常考题型.２.２非材料阅读型(隐藏阿氏圆)例２㊀(２０１７兰州)如图３ꎬ抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与直线ＡＢ交于Ａ(－４ꎬ－４)ꎬＢ(０ꎬ４)两点ꎬ直线ＡＣ:ｙ＝－１２ｘ－６交ｙ轴于点Ｃ.点Ｅ是直线ＡＢ上的动点ꎬ过点Ｅ作ＥＦʅｘ轴交ＡＣ于点Ｆꎬ交抛物线于点Ｇ.图３㊀例２题图(ａ)(１)求抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的表达式ꎻ(２)连接ＧＢꎬＥＯꎬ当四边形ＧＥＯＢ是平行四边形时ꎬ求点Ｇ的坐标ꎻ(３)①在ｙ轴上存在一点Ｈꎬ连接ＥＨꎬＨＦꎬ当点Ｅ运动到什么位置时ꎬ以Ａ㊁Ｅ㊁Ｈ㊁Ｆ为顶点的四边形是矩形?求出此时点ＥꎬＨ的坐标ꎻ②在①的前提下ꎬ以点Ｅ为圆心ꎬＥＨ长为半径作圆ꎬ点Ｍ为☉Ｅ上一动点ꎬ求１２ＡＭ＋ＣＭ的最小值.考点:二次函数综合题.专题:综合题.分析㊀(１)利用待定系数法求出抛物线方程ꎻ(２)先利用待定系数法求出直线ＡＢ的方程ꎬ进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可ꎻ(３)①先判断出要以点ＡꎬＥꎬＨꎬＦ为顶点的四边形是矩形ꎬ只有ＥＦ为对角线ꎬ利用中点坐标公式建立方程即可ꎻ②先取ＥＧ的中点Ｐ进而判断出әＰＥＭʐәＭＥＡ即可得出ＰＭ＝１２ＡＭꎬ连接ＣＰ交圆Ｅ于Ｍꎬ再求出点Ｐ的坐标即可得出结论.解㊀(１)ȵ点Ａ(－４ꎬ－４)ꎬＢ(０ꎬ４)在抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ上ꎬʑ－１６－４ｂ＋ｃ＝－４ꎬｃ＝４{ꎬʑｂ＝－２ꎬｃ＝４{ꎬʑ抛物线的方程为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋４ꎻ(２)设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｎ过点ＡꎬＢꎬʑｎ＝４ꎬ－４ｋ＋ｎ＝－４{ꎬʑｋ＝２ｎ＝４{ꎬʑ直线ＡＢ的方程为ｙ＝２ｘ＋４ꎬ设Ｅ(ｍꎬ２ｍ＋４)ꎬʑＧ(ｍꎬ－ｍ２－２ｍ＋４)ꎬȵ四边形ＧＥＯＢ是平行四边形ꎬʑＥＧ＝ＯＢ＝４ꎬʑ－ｍ２－２ｍ＋４－２ｍ－４＝４ꎬʑｍ＝－２ꎬʑＧ(－２ꎬ４).(３)①如图４ꎬ由(２)知ꎬ直线ＡＢ的方程为ｙ＝２ｘ＋４ꎬ设Ｅ(ａꎬ２ａ＋４)ꎬȵ直线ＡＣ:ｙ＝－１２ｘ－６ꎬʑＦ(ａꎬ－１２ａ－６)ꎬ设Ｈ(０ꎬｐ)ꎬȵ以点ＡꎬＥꎬＨꎬＦ为顶点的四边形是矩形ꎬȵ直线ＡＢ:ｙ＝２ｘ＋４ꎬ直线ＡＣ:ｙ＝－１２ｘ－６ꎬʑＡＢʅＡＣꎬʑＥＦ为对角线ꎬʑＥＦ与ＡＨ互相平分ꎬʑ１２(－４＋０)＝１２(ａ＋ａ)ꎬ１２(－４＋ｐ)＝１２(２ａ＋４－１２ａ－６)ꎬʑａ＝－２ꎬｐ＝－１ꎬʑＥ(－２ꎬ０).Ｈ(０ꎬ－１)ꎻ㊀图４㊀例２题图(ｂ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５㊀例２题图(ｃ)②如图５ꎬ由①知ꎬＥ(－２ꎬ０)ꎬＨ(０ꎬ－１)ꎬＡ(－４ꎬ－４)ꎬʑＥＨ＝５ꎬＡＥ＝２５ꎬ设ＡＥ交☉Ｅ于Ｇꎬ取ＥＧ的中点ＰꎬʑＰＥ＝５２ꎬ连接ＰＣ交☉Ｅ于Ｍꎬ连接ＥＭꎬʑＥＭ＝ＥＨ＝５ꎬʑＰＥＭＥ＝５２５＝１２ꎬȵＭＥＡＥ＝５２５＝１２ꎬʑＰＥＭＥ＝ＭＥＡＥ＝１２ꎬȵøＰＥＭ＝øＭＥＡꎬʑәＰＥＭʐәＭＥＡꎬʑＰＭＡＭ＝ＭＥＡＥ＝１２ꎬʑＰＭ＝１２ＡＭꎬʑ１２ＡＭ＋ＣＭ最小值为ＰＣꎬ设点Ｐ(ｐꎬ２ｐ＋４)ꎬȵＥ(－２ꎬ０)ꎬʑＰＥ２＝(ｐ＋２)２＋(２ｐ＋４)２＝５(ｐ＋２)２ꎬȵＰＥ＝５２ꎬʑ５(ｐ＋２)２＝５４ꎬʑｐ＝－５２或ｐ＝－３２(由于Ｅ(－２ꎬ０)ꎬ所以舍去)ꎬʑＰ(－５２ꎬ－１)ꎬȵＣ(０ꎬ－６)ꎬʑＰＣ＝(－５２)２＋(－１＋６)２＝５５２ꎬ即:１２ＡＭ＋ＣＭ的最小值为５５２.例３㊀(２０２１沙坪坝区校级模拟)在四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＣ交ＢＤ于点ＥꎬәＡＤＥ为等边三角形.(１)若点Ｅ为ＢＤ的中点ꎬＡＤ＝４ꎬＣＤ＝５ꎬ求әＢＣＥ的面积ꎻ(２)若ＢＣ＝ＣＤꎬ点Ｆ为ＣＤ的中点ꎬ求证:ＡＢ＝２ＡＦꎻ(３)如图６ꎬ若ＡＢʊＣＤꎬøＢＡＤ＝９０ʎꎬ点Ｐ为四边形ＡＢＣＤ内一点ꎬ且øＡＰＤ＝９０ʎꎬ连接ＢＰꎬ取ＢＰ的中点Ｑꎬ连接ＣＱ.当ＡＢ＝６２ꎬＡＤ＝４２ꎬｔａｎøＡＢＣ＝２时ꎬ求ＣＱ＋１０１０ＢＱ的最小值.㊀图６㊀例３题图(ａ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图７㊀例３题图(ｂ)考点㊀相似形综合题.专题:图形的相似ꎻ推理能力.分析㊀(１)如图７中ꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈꎬ设ＥＨ＝ｘ.利用勾股定理构建方程求出ｘꎬ即可解决问题.(２)如图８中ꎬ延长ＡＦ到Ｇꎬ使得ＡＦ＝ＦＧꎬ连接ＤＧꎬＣＧꎬ延长ＧＣ交ＢＤ于Ｔꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈ.想办法证明әＡＥＢɸәＡＤＧ(ＳＡＳ)ꎬ可得结论.(３)如图９中ꎬ取ＡＤ的中点Ｏꎬ连接ＯＰꎬＯＢꎬＯＣꎬ取ＯＢ的中点Ｊꎬ连接ＱＪꎬＣＪꎬ过点Ｃ作ＣＦʅＡＢ于Ｆꎬ在ＪＢ上取一点Ｔꎬ使得ＪＴ＝５５ꎬ连接ＱＴꎬＴＣ.想办法证明әＱＪＴʐәＢＪＱꎬ推出ＱＴＢＱ＝ＪＴＪＱ＝５/５２＝１０１０ꎬ推出ＱＴ＝１０１０ＢＱꎬ推出ＣＱ＋１０１０ＢＱ＝ＣＱ＋ＱＴȡＣＴꎬ求出ＣＴꎬ可得结论.(１)解㊀如图７中ꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈꎬ设ＥＨ＝ｘ.ȵәＡＤＥ是等边三角形ꎬʑＡＤ＝ＤＥ＝４ꎬøＡＥＤ＝øＣＥＨ＝６０ʎꎬȵøＣＨＥ＝９０ʎꎬʑＣＨ＝ＥＨｔａｎ６０ʎ＝３ｘꎬȵＣＤ２＝ＣＨ２＋ＤＨ２ꎬʑ２５＝３ｘ２＋(ｘ＋４)２ꎬʑ４ｘ２＋８ｘ－９＝０ꎬʑｘ＝－２＋１３２或－２－１３２(舍弃)ꎬʑＣＨ＝３９－２３２ꎬʑＳәＢＥＣ＝１２ˑ４ˑ３９－２３２＝３９－２３.图８㊀例３题图(ｃ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图９㊀例３题图(ｄ)(２)证明:如图８中ꎬ延长ＡＦ到Ｇꎬ使得ＦＧ＝ＡＦꎬ连接ＤＧꎬＣＧꎬ延长ＧＣ交ＢＤ于Ｔꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈ.ȵＡＦ＝ＦＧꎬＣＦ＝ＦＤꎬʑ四边形ＡＣＧＤ是平行四边形ꎬʑＡＣʊＤＧꎬＧＣʊＡＤꎬʑøＣＡＤ＋øＡＤＧ＝１８０ʎꎬȵәＡＤＥ是等边三角形ꎬʑＡＥ＝ＡＤꎬøＡＥＤ＝øＡＤＥ＝øＥＡＤ＝６０ʎꎬʑøＡＥＢ＝øＡＤＧ＝１２０ʎꎬʑøＣＧＤ＝øＥＡＤ＝６０ʎ＝øＧＤＴꎬʑәＤＧＴ是等边三角形ꎬʑＤＧ＝ＤＴꎬøＣＴＥ＝øＣＥＴ＝６０ʎꎬʑәＣＥＴ是等边三角形ꎬʑＣＴ＝ＣＥꎬøＣＴＥ＝øＣＥＴ＝６０ʎꎬȵＣＢ＝ＣＤꎬＣＨʅＢＤꎬʑＢＨ＝ＤＨꎬＴＨ＝ＥＨꎬʑＢＴ＝ＤＥꎬʑＢＥ＝ＤＴ＝ＤＧꎬʑәＡＥＢɸәＡＤＧ(ＳＡＳ)ꎬʑＡＢ＝ＡＧ＝２ＡＦ.(３)解:如图９中ꎬ取ＡＤ的中点Ｏꎬ连接ＯＰꎬＯＢꎬＯＣꎬ取ＯＢ的中点Ｊꎬ连接ＱＪꎬＣＪꎬ过点Ｃ作ＣＦʅＡＢ于Ｆꎬ在ＪＢ上取一点Ｔꎬ使得ＪＴ＝５５.连接ＱＴꎬＴＣ.ȵＡＢʊＣＤꎬøＢＡＤ＝９０ʎꎬʑøＡＤＣ＝９０ʎꎬȵＣＦʅＡＢꎬʑøＣＦＡ＝９０ʎꎬʑ四边形ＡＦＣＤ是矩形ꎬʑＡＤ＝ＣＦ＝４２ꎬȵｔａｎøＣＢＡ＝ＣＦＢＦ＝２ꎬʑＢＦ＝２２ꎬȵＡＢ＝６２ꎬʑＡＦ＝４２ꎬʑＡＤ＝ＡＦꎬʑ四边形ＡＦＣＤ是正方形ꎬȵＢＣ＝ＢＦ２＋ＣＦ２＝(２２)２＋(４２)２＝２１０ꎬＣＯ＝ＯＤ２＋ＣＤ２＝(２２)２＋(４２)２＝２１０ꎬＯＢ＝ＯＡ２＋ＡＢ２＝４５ꎬʑＣＢ＝ＣＯꎬȵＣＦ＝ＣＤꎬøＣＦＢ＝øＣＤＯ＝９０ʎꎬʑＲｔәＣＦＢɸＲｔәＣＤＯ(ＨＬ)ꎬʑøＢＣＦ＝øＤＣＯꎬʑøＢＣＯ＝øＤＣＦ＝９０ʎꎬȵＢＪ＝ＪＯꎬʑＣＪ＝１２ＯＢ＝２５ꎬʑＣＴ＝ＴＪ２＋ＣＪ２＝(５５)２＋(２５)２＝５０５５ꎬȵＢＱ＝ＱＰꎬＢＪ＝ＪＯꎬʑＱＪ＝１２ＯＰ＝２ꎬȵＱＪ２＝２ꎬＴＪＪＢ＝５５ˑ２５＝２.ʑＱＪ２＝ＪＴＪＢꎬʑＱＪＪＴ＝ＪＢＱＪꎬȵøＱＪＴ＝øＱＪＢꎬʑәＱＪＴʐәＢＪＱꎬʑＱＴＢＱ＝ＪＴＪＱ＝５５２＝１０１０ꎬʑＱＴ＝１０１０ＢＱ.ʑＣＱ＋１０１０ＢＱ＝ＣＱ＋ＱＴȡＣＴ＝５０５５ꎬʑＣＱ＋１０１０ＢＱ的最小值为５０５５.参考文献:[１]方立洋ꎬ经凯强.阿波罗尼斯圆的性质及应用[Ｊ].高中数学教与学ꎬ２０２３(０１):１５－１８.[责任编辑:李㊀璟]。

三角形中线定理的应用

三角形中线定理的应用三角形中线定理是解决三角形相关问题中常用的一个定理。

它指出：一个三角形的三条中线交于一个点，并且这个点离三角形的三个顶点的距离相等，且等于中线长的一半。

这个点被称为三角形的重心。

根据这个定理，我们可以应用它来解决一些实际问题。

我们来看一个具体的例子。

假设有一个三角形ABC，其中AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm。

我们需要求解这个三角形的重心坐标。

根据中线定理，我们知道三角形的重心是三条中线的交点。

中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，因此我们需要先求出三角形的对边中点坐标，然后再求出中线的交点坐标。

我们可以通过求解三角形的三个顶点坐标来求出对边中点坐标。

假设顶点A的坐标为(0, 0)，则顶点B的坐标为(10, 0)，顶点C的坐标为(x, y)。

由于AC=6cm，我们可以利用勾股定理求解y的值。

根据勾股定理，我们有：x^2 + y^2 = AC^2x^2 + y^2 = 6^2x^2 + y^2 = 36又由于BC=8cm，我们可以利用坐标的对称性求解x的值。

由于点B的坐标为(10, 0)，点C的坐标为(x, y)，所以x的值应为10-x。

将x的值代入上面的方程，我们可以求解出y的值。

假设y1为y的值，则有：(10-x)^2 + y1^2 = 8^2100 - 20x + x^2 + y1^2 = 64x^2 + y1^2 - 20x + 36 = 0根据二次方程的求解公式，我们可以求解出x的值和y1的值。

假设x1为x的值，y1为y的值，则有：x1 = (20 + sqrt(20^2 - 4*1*36)) / 2x1 = (20 + sqrt(400 - 144)) / 2x1 = (20 + sqrt(256)) / 2x1 = (20 + 16) / 2x1 = 36 / 2x1 = 18y1 = sqrt(8^2 - (10-x1)^2)y1 = sqrt(64 - (10-18)^2)y1 = sqrt(64 - 64)y1 = sqrt(0)y1 = 0由此可知，点C的坐标为(18, 0)，即C点为x轴上的点。

三角形中线定理的证明与应用

三角形中线定理的证明与应用三角形中线定理是初中数学中的重要内容之一，它对于理解和应用三角形的性质具有重要意义。

本文将通过证明三角形中线定理，并探索其在实际问题中的应用。

三角形中线是连接三角形两边中点的线段。

三角形中线定理表明，连接三角形两边中点的中线长度等于第三边的一半。

下面我们来证明这个定理。

证明：设△ABC为任意三角形，D、E分别为AB和AC上的中点，则连接BD、CE所得的线段即为△ABC的中线。

我们要证明BD = CE= 0.5AC。

首先，根据平行四边形的性质，我们可以得出三角形ADE是一个平行四边形。

因此，AD∥BE且AD = BE。

同样地，我们可以得出三角形ABD是一个平行四边形。

因此，BD∥AC且BD = 0.5AC。

接下来，我们需要证明△ABC与△AED相似。

根据平行线与等角定理，我们可以得出∠CAD = ∠DAE。

同样地，∠CAB = ∠ADE。

因此，根据AA相似定理，△ABC与△AED相似。

根据相似三角形的性质，我们可以得出BD/AD = AC/DE。

由于AD = DE（平行四边形ADE的性质），我们可以得出BD = 0.5AC。

同理可证，CE = 0.5AC。

综上所述，我们证明了三角形中线定理。

三角形中线定理在几何学中具有重要的应用价值。

下面我们来探索一些实际问题中的应用。

首先，我们思考一个问题：在△ABC中，若AC = 10 cm，BD = 6 cm，且BD是AC的中线，求BC的长度。

根据中线定理，BD = 0.5AC。

代入已知条件，我们可以得到6 = 0.5 * 10。

解方程，可得BC = 8 cm。

接下来，我们考虑一个与三角形中线定理相关的面积问题：在△ABC中，若AD是BC的中线，且△ABC的面积为12 cm²，求△ABD的面积。

根据中线定理，我们知道AD = 0.5BC。

由于BD = 0.5AC（中线定理的推论），我们可以得出△ABD和△ABC的高相等，即他们对应的底边长（即AD和BC）的比值为1∶2。

数学几何必会定理

在 Rt△ABC 中，∠ACB =90 °，cd 是斜边 ab 上的高，则有射影定理如下：①CD2 =AD · DB ②BC2 =BD · BA③AC2 =AD ·AB④AC· BC=AB ·CD (等积式，可用面积来证明)3. 三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成 2：1 的两部分4. 四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点5. 间隔的连接六边形的边的中心所做出的两个三角形的重心是重合的(可忽略)2倍。

该点叫做三角形的重心。

交于一点。

该点叫做三角形的旁心。

三角形有三个旁心。

三角形的重心三角形的三条中线交于一点三角形三条中线的交点叫做三角形的重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍三角形的内心和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外接三角形三角形的三条内角平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三边的距离相等，就是三角形的内心三角形有且只有一个内切圆内切圆的半径公式：s 为三角形周长的一半三角形的外心经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆 .外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形三边的垂直平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三个顶点的距离相等，就是三角形的外心三角形有且只有一个外接圆设三角形 ABC 的外心为 O，垂心为 H，从 O 向 BC 边引垂线，设垂足为 L，则 AH=2OL三角形的垂心三角形的三条高线交于一点三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外三角形的旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心三角形有三个旁切圆，三个旁心7. (九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆 ) 三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上8. 欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上9. 库立奇大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

阿波罗尼斯圆逆定理证明

阿波罗尼斯圆逆定理证明（原创实用版）目录1.阿波罗尼斯圆的定义与性质2.阿波罗尼斯圆逆定理的概念3.阿波罗尼斯圆逆定理的证明方法4.阿波罗尼斯圆逆定理的应用与意义正文一、阿波罗尼斯圆的定义与性质阿波罗尼斯圆，又称为阿波罗尼斯圆周，是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的一个重要的几何概念。

阿波罗尼斯圆是指在平面直角坐标系中，以两个已知点 A、B 为直径的圆。

设该圆的圆心为 O，半径为 R，那么可以表示为：(x - a) + (y - b) = R。

其中，a、b 分别为点 A、B 的坐标。

阿波罗尼斯圆具有很多重要的性质，如：圆上的任意一点到 A、B 两点的距离之和等于直径的长度，即 |OA| + |OB| = |AB|；圆上的任意一点到 A、B 两点的距离之差等于半径的长度，即 |OA| - |OB| = ±R 等。

二、阿波罗尼斯圆逆定理的概念阿波罗尼斯圆逆定理是指：若已知一个圆的圆心和半径，以及圆上的三个点 A、B、C，则可以唯一确定这个圆。

该定理是阿波罗尼斯圆理论中一个非常重要的定理，具有很高的理论和应用价值。

三、阿波罗尼斯圆逆定理的证明方法为了证明阿波罗尼斯圆逆定理，我们可以采用数学归纳法和几何方法相结合的方式。

具体证明过程如下：1.当圆上的三个点 A、B、C 共线时，可以根据三点共线确定一个圆。

2.当圆上的三个点 A、B、C 不共线时，可以构造一个以 A、B 为直径的圆，设其圆心为 O1，半径为 R1；再构造一个以 B、C 为直径的圆，设其圆心为 O2，半径为 R2。

由于 A、B、C 三点不共线，因此 O1、O2 三点不共线，我们可以通过求解三角形 O1O2C 的外接圆，得到唯一的圆心 O，从而确定唯一的圆。

四、阿波罗尼斯圆逆定理的应用与意义阿波罗尼斯圆逆定理在几何学、数学以及实际应用中具有广泛的应用，如在计算机图形学中，该定理可以用于求解三角形的外接圆，从而实现图形的放大与缩小、平移等操作。

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三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用
阿波罗尼斯定理三角形两边平方的和,等于所夹中线及第三边之半的平方
和的2倍.

具体地说,就是:设AD是△ABC的中线,则)(22222BDADACAB.
证明如图1,作BC边上的高AH.
由勾股定理,得
222
DHAHAD

,222BHAHAB,

222
CHAHAC
.

所以222222CHBHAHACAB.
由CDBD,可得
)(2)()(222222DHBDDHBDDHBDCHBH
.

所以)(2)(22222222BDADBDDHAHACAB.
该定理应用广泛,不但可以用来计算三角形中线的长度,而且对于多线段的平
方和问题,尝试构造三角形的中线后运用它往往也能凑效.下面举例说明此定理的
应用.
1.直接使用
当题设条件中出现三角形的中线时,可考虑使用阿波罗尼斯定理建立相关线
段的联系,以助解题.
例1 AD、BE、CF是△ABC的三条中线.若aBC,bCA,cAB,则

222CFBEAD
______.
(2005年山东省初中数学竞赛)
分析 AD、BE、CF是△ABC的三条中线,故可直接使用三角形中线的阿波
罗尼斯定理进行计算.
解如图2, AD是BC边上的中线,由阿波罗尼斯定理得





2222412BCADACAB
.

代入已知数据,变形得2222412121abcAD.
同理
2222412121bacBE,2222
41212

cbaCF
.

故22222243cbaCFBEAD.
例2 如图3,△ABC的内切圆⊙O与边CA上的中线BM交于点G、H,并且
点G在点B和点H之间.已知HMBG,2AB,2BC.那么,当BC、CA为何值

D
CBEA
图2

HABCD
图1
时,线段GH的长达到最大值?并求GH的最大值.
解如图3,设⊙O与边BC、CA、AB分别切
于点D、E、F.
由切线长定理,得

ACBCABACAFAE21)(21
.
由切割线定理得
BFGHBGBGGHHMHMEM)()(
.
所以2ABAM,42AMAC.
设aBC2,则aBCABACAFAE3)(21.
因此1aBFEM.
设xGH,yHMBG.则2)1()(axyy. ①

由阿波罗尼斯定理,得)41(22222ACBMBCAB,代入数据并变形,得
22)]([22axyy
. ②
由式①、②,解得2)2(22ax,其中,24224a,即31a.
因此,当2a时,x达到最大值2,即当4BCAC时,线段GH的长达到最
大值2.
2.构造三角形的中线后使用定理
有些平面几何题,虽然题设条件中没有直接出现三角形的中线,但根据一些条
件可先构造三角形的中线,然后再利用阿波罗尼斯定理求解.
例3 如图4,正方形ABCD、正方形CGEF的边长分别是2、3,且点B、C、
G在同一直线上,M是线段AE的中点,连接MF.则MF
的长为______.
(2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛)
分析要求MF的长,注意到点M是线段AE的
中点,只要连接AF后,就可运用阿波罗尼斯定理进行
求解了.
解如图4,连接AF,延长BA、EF交于点H. 则
EHAH
.
在Rt△AHF中,2FH,123AH,由勾股定

理得5222FHAHAF.
在Rt△AHE中,523EH,1AH,由勾股定理得
26222EHAHAE
.
M是△AEF的边AE的中点,由阿波罗尼斯定理得

O
H
G

M
F

D
C
B

图3

图4
H
M

F
E

C
B
A
)41(22222AEFMEFAF
.
变形,并代入得214121212222AEEFAFFM.

所以22FM.
例4 如图5,MON为锐角,A、B是OM上的两个定点,P是ON上的一个动
点,问当P在什么位置时,22PBPA最小?
解析如图5,取AB的中点C,连接PC.
由阿波罗尼斯定理,得

)41(22222ABCPPBPA
.

式中AB的长是定值,要使22PBPA最小,只需使
CP的长最小,根据“垂线段最短”可知,当CP⊥OY时,CP
的长最小.至此得到:当P在点D(D为AB的中点C在

ON上的射影)时,22PBPA最小.

例5 如图6,已知三个圆:半径分别为1、2、3的1O⊙、2O⊙、O⊙.其中,

1O⊙和2
O⊙
彼此外切,并且都和O⊙内切.若C⊙(未
画出)和O⊙内切,并分别和1O⊙、2O⊙外切,求
C⊙

的半径.
(2011年世界数学团体锦标赛(少年组))

解析如图6,连接1OO、2OO、21OO.

由1O⊙和2O⊙彼此外切,并且都和O⊙内切,可
得32121OO,2131OO,1232OO.
所以2121OOOOOO.
所以点O在线段21OO上.
设C⊙的半径为r,连接1CO、2CO、CO.
由C⊙和O⊙内切,并分别和1O⊙、2O⊙外切, 可得
rCO3
,11rCO,22rCO.

N
M
O
P图5D

C
B
A

图6
PCO2O1O
注意到212OOOO,故可取1OO的中点P,连接CP,从而可两次使用三角形中
线的阿波罗尼斯定理,得
)41(2212221OOCPCOCO
,

)(2222222OOCOCOCP
.
所以]41)(2[22122222221OOCOOOCOCOCO,
即2)2(24)3(4)3()1(2222rrrr.
解得76r.
练习
1.如图7,M、N是Rt△ABC的斜边BC的三等分点.若
aAM,bAN,则BC
______.
(2010年世界数学团体锦标赛(少年组)样题)
答案

1. )(55322ba.

图7

N
M
C