计算结构力学有限元方法_一维结构
有限元一维杆问题解法及程序
解：第一步——离散对于一维杆问题，我们先离散成单元，对每个单元作如下计算[][][][][]00,,,,00)(22,,,,2222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒=-∂∂∂∂-∂∂⇒=-∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓdx x N N u u K x u N N dx x N N u u dx u u N N N N u u x uN N u u dx ux dx xu x u x u u dx ux dx x u u dx x x u u j i x x j i j i j i x x ji j i j i j i x x ji j i j i xx x x x x x x x x j i jijij i j i j ij i jiδδδδδδδδδδδδ其中杆被平均离散为e 个单元（有限元不一定要均分），于是有node=e+1个结点，每个单元长度len=1/e,于是第n 个单元的左端点坐标len n x i )1(-=，右端点坐标nlen x j =；第二步——刚度矩阵线性插值有每个单元)()(j j ej j j ei x x e lenx x N x x e lenx x N -=-=-=-=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=e e B e⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡--===⎰e e e e len B B dx B B K T e e T e e xx e j i 对于整体叠加⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=e e e e e K 00020 （K 为一个node×node 阶矩阵） 程序用for 循环给K 赋值K=zeros(node,node); K1=zeros(node,node); for n=1:(node-1);K1(n:n+1,n:n+1)=[e,-e;-e,e]; K=K1+K;K1=zeros(node,node);End第三步——力矩阵体积力由第一步公式[]02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰Γdx x N N u u K x uN N j i x x j i j i j i其中第三项为体积力dxx N N F j i x x j i 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰用matlab 中int （）函数对积分进行计算并用for 函数进行循环且赋值，其中)()(j j ej j j ei x x e lenx x N x x e len x x N -=-=-=-=，nlenx lenn x j i =-=)1(程序如下Syms x; F1=zeros(1,node);F11=zeros(1,node); G=zeros(1,2); for n=1:e;B=[(xj(n)*x^2-x^3)/len,(x^3-xi(n)*x^2)/len]; G=int(B,x,xi(n),xj(n)); G=double(G);F11(1,n:n+1)=[G(1,1),G(1,2)]; F1=F11+F1;F11=zeros(1,node); End边界力由第一步中公式[]02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰Γdx x N Nu u K x uN N j i x x j i j i j i 其中第一项ijx x j i x x j i j i xuN N xu N N x u N N F ==Γ∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2为边界力因为u （0）处约束力未知为C ，u （1）处边界条件11=∂∂=x xu各单元之间的边界力叠加的时候均抵消，所以边界力矩阵最终为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=102 C F第四步——解方程由上面我们可以得到方程02121=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-F u u u K F n ,代入位移边界条件01=u先对方程进行置一处理，令F=F2-F1且的第一项置0，刚度矩阵变换成⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=e e K 00020001方程变换为Kd=F ， 求逆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-n u u F K d 21第五步——作图用到两个作图函数plot 、ezplot 分别做原函数图和折线图 折线图程序如下x=0:len:1; y=zeros(1,node);for n=1:node;y(1,n)=X(1,n); endplot(x,y,'r');hold on; （hold on 可将两图画在一个坐标下）原函数图程序如下ezplot('(1/12)*x^4+2/3*x',[0,1]);附：程序clearformat longfirst_time=cputime;e=10; %单元数node=e+1; %结点数len=1/e; %单元长度xi=0:len:(1-len); %单元左端点坐标xj=len:len:1; %单元右端点坐标K=zeros(node,node); %刚度矩阵（由于是线性插值）K1=zeros(node,node);for n=1:(node-1);K1(n:n+1,n:n+1)=[e,-e;-e,e];K=K1+K;K1=zeros(node,node);endsyms x; %F1力矩阵F1=zeros(1,node);F11=zeros(1,node);G=zeros(1,2);for n=1:e;B=[(xj(n)*x^2-x^3)/len,(x^3-xi(n)*x^2)/len];G=int(B,x,xi(n),xj(n));G=double(G);F11(1,n:n+1)=[G(1,1),G(1,2)];F1=F11+F1;F11=zeros(1,node);endF2=zeros(1,node); %F2力矩阵F2(1,node)=1;K(2,1)=0; %刚度矩阵置一K(1,2)=0;K(1,1)=1;F=F2-F1; %求合力矩阵F(1,1)=0;X=F*inv(K); %求结点位移Xx=0:len:1; %画折线图y=zeros(1,node);for n=1:node;y(1,n)=X(1,n);endplot(x,y,'r');hold on;ezplot('(1/12)*x^4+2/3*x',[0,1]); %画原函数图以10个单元为例，图数据。
第4章有限元法基础——一维单元
i
X X j
j
X X k
k
X X m
m
（注：上图中T参数代表参数）
将节点的值代入上面方程中，产生四个方程：
i c1 c2 X i c3 X c4 X
2 i
2 j
2 k
3 i
3 j
j c1 c2 X j c3 X c4 X
k c1 c2 X k c3 X c4 X
3 k
2 3 m c1 c2 X m c3 X m c4 X m
c 求解 c1 ，c 2 ， 3 和 c 4 ，整理后得到由节点的值 （自由度）和形函数表示的单元温度分布：
(e) Si i S j j Sk k Sm m
(e)
i X j j X i X j Xi
Xj X
j i X j Xi
X
对 i 项和 j 项进行分组，我们得到：
(由节点的值和形函数表示单元的物理量)
(e)
X Xi ) j ( ) i ( X j Xi X j Xi
定义形函数 S i 和 S j :
(1) 线性形函数在相应的节点上值为1， 在相邻的节点上为0。
(2) 线性形函数的和为1。 (3) 线性形函数对于X的导数和为零。
例：图示为节点的位移和它们沿悬臂梁的分布位置。
求悬臂梁在（a）X=4cm和（b）X=8cm处的位移。
解（a）在X=4cm处的位移由单元(2)来表示：
X3 X X X2 Y S y 2 S y3 y2 y3 l l 54 42 Y 0.06 0.3 0.22(cm) 3 3
一维有限元法
ux =
xj − x le
u
O
x − xi ui + uj e l
ui ux uj xj x xi x
线性函数 注意：关键是 设位移函数， 在很短范围内 认为是直线。
3
返回
Ui
ui
E,A qe i le=l/3 j
Uj
uj
设单元位移函数ux为:
x u
ux= a + bx
(1-1)
式中 a，b为待定系数。 ux= ui ; x = xj ux= uj uj = a + bxj
KZ12 KZ22 KZ32 KZ42
KZ13 KZ23 KZ33 KZ43
1 2 3 4 ① ① KZ14 ⎤ ⎡k11 k12 0 0⎤1 ① ① ② ② KZ24 ⎥ ⎢k21 k22 + k22 k23 0⎥2 ⎥=⎢ ⎥ ② ② ③ ③ KZ34 ⎥ ⎢ 0 k32 k33 + k33 k34 ⎥ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ③ ③ KZ44 ⎦ ⎣ 0 0 k43 k44 ⎦ 4
e
单元① 单元② 单元③
K
①
EA = e l
⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k11 ⎢− 1 1 ⎥ = ⎢k ① ⎣ ⎦ ⎣ 21
①
1
K
②
EA ⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k 22 = e ⎢ ⎥ = ⎢ k② l ⎣ − 1 1 ⎦ ⎣ 32
②
2
① k12 ⎤ 1 k① ⎥ 2 22 ⎦
2
(1-21)
k② ⎤ 2 23 (1-22) ② ⎥ k 33 ⎦ 3
ux= a +bx
ux = ui x j − u j xi x j − xi + u j − ui x j − xi x =
一维问题的有限元方法
(e) 1
x (e) x 1 ,N h h
（1-116）
二、局部和总体的插值函数
局部插值函数的特性为：
0
(e) N
1,
N 1
r
(e) N
1, ( zM ) NM (1-117)
(e) N
u
(1) 1
u
(1) 2
(1) 2
u1(2)
(1) 1
(2) u2 u1(3)
如果采用指标记号，就是：
z Z
( e) N
i
( e) Ni i
式中：(Ne) 叫做布尔矩阵，其特性是
，局部节点N与总体节点i相重合时
=
，不相重时
一、总体和局部的有限元 模式
• 用局部节点表示总体节点的公式为： e) ( e) Zi (N zN （1-113） 式中的 (Ne)是式（1-111）中 (Ne) 的转置。 (e) (e) 式（1-111）代入式（1-113）得：Zi N N Z j 由此 (Ne) (Ne) ij ，其中 ij 就是克劳耐士克 矩阵 ( e) e) ( e) 式（1-113）代入式（1-111）得： zN (Nei)(M z i M e) 同样： (Ne) (M MN 以单元1为例：
u1
1
u2
2
u3
3
u4
4
（b）总体插值函数和总体节点值
二、局部和总体的插值函数
如果采用二次插值函数，则 u (e) a1 a2 x a3 x2 为此，需要补充一个节点，一般取在单元中点，同 e) (e) 样有： u (e) (N uN ,( N 1,2,3)
x 其中： 1 1 3 x 2 h h x x 3 2 h h
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
计算结构力学有限元方法_三维结构和轴对称
三维问题的有限元方法
空间问题
单元的应变
根据弹性力学基本公式，有应变：
∂
一维问题 二维问题
εx
=
∂u ∂x
∂
ε
x
∂x
εy = 0γΒιβλιοθήκη xy∂∂y∂x
三维问题 ε x
0
0
∂ u
∂y
v
∂
∂x
ε
y
εz
γ yz
γ
zx
=
0 0
γ xy
∂ ∂z
r, s = 1,2,3,4
四面体单元
∫∫∫ K
e rs
=
V BrT DBsdV ,
r, s = 1,2,3,4
Ke r,s
=
E(1− µ) 36(1+ µ)(1− 2µ)Ve
brbs + A2 (crcs + dr ds )
×
A1bscr + A2csbr
A1bsdr + A2dsbr
A1
=
µ 1- µ
四面体单元的
Pi = [Pix Piy Piz ]T , i = 1,2,3,4
节点载荷
∫ Pe = N T ρdx
单元节点载荷的计算公式,其中N 应为四面体单元的形函数
∂
0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂z 0 ∂
0
0
∂ ∂z ∂ ∂y
u
v
w
∂
∂x
0
统一形式：ε = ∇u
∂y ∂x
三维问题的有限元方法
单元的应力
根据弹性力学基本公式，有应力：σ = Dε 三维问题
1 −µ −µ 0
有限元等参数单元
有限元等参数单元有限元分析是一种工程数值分析方法，广泛用于结构力学、固体力学等领域。
在有限元分析中，将结构或物体离散为许多小单元，每个小单元称为参数单元。
本文将介绍有限元等参数单元的概念和应用。
在有限元分析中，参数单元是对结构或物体进行离散化的基本单元。
它是通过数学建模技术将连续域问题转化为离散模型的重要工具。
参数单元可以是一维、二维或三维的。
在一维情况下，常见的参数单元有杆单元和梁单元等。
在二维情况下，常见的参数单元有三角形单元和四边形单元等。
在三维情况下，常见的参数单元有四面体单元和六面体单元等。
在有限元分析中，参数单元的选择要根据具体问题的性质来确定。
一般来说，参数单元的几何形状应能较好地适应结构或物体的形状。
对于复杂结构或物体，可以使用不同形状的参数单元进行组合，以更好地描述结构的几何特征。
在参数单元中，需要定义材料性质、几何性质和加载条件等参数。
材料性质包括弹性模量、泊松比、密度等。
几何性质包括长度、面积、体积等。
加载条件包括外力、边界条件等。
这些参数可以通过实验测量或根据经验来确定。
在有限元分析中，参数单元的刚度、质量和荷载等可以通过这些参数来计算。
有限元分析的基本思想是，将结构或物体分解为多个参数单元，并将其转化为一个或多个代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到结构或物体的应力、应变、位移等信息。
有限元方法可以有效地分析复杂结构的性能和行为，并为工程设计和优化提供依据。
总之，有限元等参数单元是在有限元分析中对结构或物体进行离散化的基本单元。
它是将连续域问题转化为离散模型的重要工具。
参数单元的选择要根据具体问题的性质来确定，并通过定义材料性质、几何性质和加载条件等参数来描述结构的特征。
有限元分析是一种用于求解结构或物体应力、应变、位移等信息的数值分析方法，可以为工程设计和优化提供依据。
第7章有限元法基础——一维问题分析
对于单元（3）：
0 kA 1 1 0 0 0.701 1 1 0 K 0 hA 0.10 1 1 0 401 l 1 1 7 7 W ( C ) 7 47 0 0 0 ( 3) F (W ) hATf 401 301200
i
Xj
Xj
Xj
X
Xi
S cdX 0
i
j
对上面方程中的四项分别计算
Xj
d d d (a( dX (Si dX ))dX a dX Xi
Xj
X Xi
dSi d a a( dX dX )dX l ( i j ) Xi
X
Xi
X
j
j
bl bl Si (b )dX i j 3 6
求解：
T1 200 T 157.8 2 (C ) T3 37.1 T4 31.1
7.2 固体力学问题
对于线性一维杆单元，每个单元应变能为：
( e )
E 2 dV 2 V
对于由n个单元和m个节点组成的一般物体，其总势能应变能 和外力做功的差：
代入内壁边界条件：
0 0 0 T1 200 1 1 1 0.35 0.35 T 0 0 2 0 0.35 0.35 7 7 T3 0 0 0 7 47 T4 1200
3. 对单元建立方程。这是本章的主要部分。我们用迦辽金方法 和最小势能理论建立描述单元的公式。 4. 将单元组合，以表示整体问题，构造总体刚度或传导矩阵。
5. 应用边界条件和负荷。
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有限元法基本概念
有限元方法
有限元法的基本工作包括两大部分：
1. 单元分析：即探讨单元的力学特性。它包括选取单元的试 探函数、推导表征单元刚度或柔度特性的单元刚度，或者柔 度矩阵。
Ve
Se
∫ ∫ PVe
= Ve NTXdV，PSe
NTqdS 对应体力/面力的等价节点力
Se
令：Re = PVe + PSe + Pe
∑ ∑ = Π m 1UeT KeUe − m UeT Re
2 =e 1=e 1
由于整体序号和局部序号存在一一对应关系，将Ke和Re按结
构结点位移列阵的自由度数和排列顺序添零升阶，进行膨胀，
8
2
16
空间任意 六面体元
8
3
24
三角形环元
轴对称元
八节点 等参元
3
2
6
8
2
16
有限元通用方程
有限元方法
设作用某个单元各节点上的节点力和节点位移分别为：
Se = S1 S2 Sn T ； Ue U1 U2 Un T
构造单元的位移函数如下：
u = NUe
其中，u：单元内任一点的位移函数，Ue：单元的节点位移 列阵，N：形状函数。
Se
上式中，m：单元总数，X：作用在单元上的体力，q：作用
在单元上的分布面力，Se：单元的边界，Ve：单元的体积。 Pe：单元的节点外载荷列阵。
有限元方法
上式可以进一步写成：
∑ ∫ ∑ ∫ ∫ Π
m 1 UeT (
m
BT DBdv）⋅ Ue − UeT (
NTX
2 e 1= ve e 1
有限元方法
根据弹性力学基本公式，有：
∂
一维问题 二维问题
εx
=
∂u ∂x
∂
ε
x
∂x
εy = 0
γ
xy
∂
∂y
∂x
三维问题 ε x
0
0
∂ u
∂y
v
ε
y
ε
z
γ yz
γ zx
=
0 0
∂
∂x
γ xy
∂ ∂z
∂
0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂z 0 ∂
可进一步得到：
∑ ∑ ∑ ∑ Π
m
1UT
K
e
U
m
−= UT Re
1 UT (
m
m
Ke )U − U= T ( Re )
1 UTKU - UT R
2 2 e 1=e 1 =e 1 =e 1
2
有限元方法
m
K = ∑Ke e=1
2. 整体分析：即研究整体系统方程组组成原理和求解方法。 将众多的单元集合成整个的全结构计算模型，列出最终代表 全结构平衡（或协调）的矩阵方程。在方程中未知数可以是 位移（称作“位移法”），应力（称作“力法”），或二者 兼有（称作“混合法”）。实际工程应用中，位移法研究更 为深入，应用也更为广泛，占据了绝对优势。
有限元方法的历史 发展初期
有限元方法
完备阶段
探索形式：工程直观出发
理论基础：剖分，插值理论， 方法收敛性等基础研究
建立了能满足不同结构分析的 几十种单元刚度矩阵 完善了多种节省内存、节省机 时的高效解法 解决了各类非线性分析的迭代 方法和结构重分析技术
大型程序分析系统 美国：NASTRAN，ADINA 德国：AS KA 中国：HAJIF Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
单元 节点位移 单元位移自 节点数 自由度数 由度总数
8
3
24
板弯元
三角形板元 矩形板元
3
3
9
4
3
12
壳元
三角形壳元 矩形壳元
3
5
15
4
5
20
常用单元类型
有限元方法
单元节 节点位移 单元位移自 单元类别 单元名称 图形及局部坐标系
点数 自由度数 由度总数
平面任意 四边形单元
4
2
8
平面曲边 等参元
四边形单元
有限元方法的历史
有限元方法发展的主要年代图
有限元方法
有限元法基本概念
简单来讲，有限元方法就是将一个连续的结构物简化为由若干 离散的单元组合在一起，成为等效的组合体。然后分析离散化 的等效组合体。这样处理的好处有：
1. 所采用的单元都是一般工程技术人员十分熟悉的标准构件， 如杆、梁、平面应力板、受剪板等，力学性质简单明了，只 要用有限的参数即可描述。
有限元方法
常用单元类型
单元类别 单元名称
图形及局部坐标系
单元节 点数
节点位移 自由度数
单元位移自 由度总数
等轴力杆元
2
1
2
变轴力杆元 一维单元
平面梁元
空间 梁柱单元
平面三角元 二维单元
平面矩形元
3
1
3
2
2
4
2
6
12
3
2
6
4
2
8
常用单元类型
单元类别 单元名称 三维单元 长方体元
有限元方法
图形及 局部坐标系
∫ ∫ = Πe
1εT σdV= − UeT Se 1 UeT BT DBdV ⋅ Ue − UeSe
2 Ve
2
Ve
结构的总位能等于各离散单元的位能之和，即：
∑ ∑ ∫ ∑ ∫ ∫ Π=
m
Π=e
m1
m
εTσdv − (
uT Xdv +
uT qds +UeT Pe )
2 =e 1=e 1
Ve
=e 1 Ve
计算结构力学
有限元方法
有限元法基本原理
对于一个任意的弹性体，其任一点的位移分布非常复杂， 很难在整体区域内选取一个恰当的位移函数来描述其位移的复杂 变化。通过有限元离散化，我们可以把弹性体的整个区域分割成 许多细小的单元，则在每个单元的区域范围内，可以选取比较简 单的函数来近似描述单元的真实位移，再把各单元的位移分布连 起来，就可近似的表示整个域的位移分布。即 1、求解域离散为若干个子单元； 2、用每个单元内假设的近似函数分片表示全域内的未知量； （近似函数取节点上的数值及对应的插值函数来表示） 3、通过和原问题等效的变分原理或加权余量法，建立求解方程。
0
0
∂ ∂z ∂ ∂y
u
v
w
∂
∂x
0
∂y ∂x
ε = ∇u
有限元方法
ε = ∇NUe = BUe
B = ∇N 几何矩阵
单元的应力可以表示为：σ = Dε = DBUe D为弹性矩阵
单元的总位能为:
∫ ∫ = Πe
1εT σdV= − UeT Se 1 UeT BT DBdV ⋅ Ue − UeSe
2 Ve
2
Ve
由于单元处于平衡状态，根据最小位能原理，单元位能的一
阶变分为零，即 δΠe =0 。
∫ = Se BTDBdV ⋅ Ue ve
有限元方法
∫ Ke = BTDBdV 单元的刚度矩阵 Ve
上式给出了任一离散单元的刚度矩阵，简称其为“单刚”。
单元节点力与节点位移的关系为： Se = KeUe