人教A版数学选修33 球面上的几何第六讲第二节多面体欧拉定理的发现与简单应用
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欧拉公式的发现精选教学PPT课件
正多面体
• 什么叫正多面体（两 个特征）？
• 正多面体有哪几种？ 为什么？
们问的题顶1.点图规数中V有律,面5:个V数多+FF和面-E棱体=数,2分E,别并数填出表它:
1
2
3 4
图形编号
1
顶点数V 4
面数F 4
棱数E 6ຫໍສະໝຸດ 28612
3
6
8
12
5
4
9
8
15
5
9
9
16
问题这2些.图图中形有符三合个前多面面找体出，的分规别律数 出并它填V们表+F的。-E顶=2点吗数?V、面数F和棱数E,
的事，每当小姨妈讲起那段往事，我就想起那苦难无助地童年，小姨妈无私的爱，让我永远难忘。小姨妈的人生很苦，很少有人去关她，可是她却为我们这些没有母爱的孩子现出了她的青春和所有的爱。
我母亲去世后小姨妈也经常照顾我，关心我。她不但关爱我，还有我的三姨家兄弟妹们。还在我母亲没有去世时，我的三姨妈由于有病去世了，留下四个孩子，最小的才两岁，她为了照顾这四个孩子，就和我三姨父结婚，把他们养大成人，现在孩子们都有了自己的家， 可是小姨妈由于劳累过度，而病倒了，现在病在床上不能自理，当我今年回家看到小姨妈时，我很惭愧，她为我们付出的太多了，可我们又给了她什么，她看到我时那含泪的笑容，我才体会到母爱的无私和伟大，也许她不求我们什么，能常回家看看足矣，可我们却做不到，
想一想
前面的多面体中，是简单多面体的有哪些？ 棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体吗？
猜想
简单多面体的顶点数V，面数F的和与棱数E之间存在 的规律？
V+F-E=2
•••••••••••有为都去他取而的由推这斯欧发数欧值三的角欧Ｂ简在规发c用数欧π在之生士数了的欧人能能年欧 法 拉 拉 成 日 1一可以强拉十他专欧从生了了面首欧力都标1慧个明断欧地晚录11学o7有丰于也的在解们是奥崇是777则等研拉现Ｒ拉来角研公拉、化普展拉后fs。学资的背轻位他后的的年用著拉整来屈拉学准拉背，有，《177拉 格 也 首国果的年星月的拉工的完367、(091史 富 欧 说历创决的把秘欧我580化 。 究最了有使给表究式用Ｃ。及，的的x等，欧研金记诵时仆的他意记前这，是理说一研、教的 诵 共 研1论0岁年新 欧的 的 劳 右 作 方 整年 年 年不朗在先的，i)7多以 的 拉 过史 建 大 工 宇 和 拉 们既 圆 级先 对 无 三 出 这 ， ， 表 欧 教 所 倡 又a表瑞 拉 究 。 忆 罗 的 人 藏 立 志 忆 的 种 这 科 他 ， 指 究 天 程成 全 写 究桅开岁，方 拉轨 努 累 眼 。 法 引， 第，但日研发拉欧统表篇来 营 出 ：学 纯 量 作 宙 内 。 一有 周 数把 数 穷 角 三 个 从 还 示 拉 育 以 导 一、示士 从 的 力 马 笔 冒 书 即 和 力 笔 方 几 学 的 欧 的 论 文 。才 部 下 ！杆始成圣法 的迹 力 也 失 坚 论欧 三《一示论重与究表格拉贡 养 色家 粹 天 是 看 在 大 切"有 率 时对 是 多 学 角 圈 最 获 第 得 和 欧 才 个b三数 一 道 ！ 诗 记 着 及 投 惊 也 记 法 乎 史 著 拉 。 著 学还 的 了 欧配发为彼对， 左（ 才 使 明 持》拉 卷积在函文献 ， 的把 理 文 跨 作 规 数 人视 欧 这 ，朗 就助引数无个成函子初得个到科拉得重π角、学 开 路 他 人 的 生 大 入 人 确 内 又 占 上 作 是 几有 数 拉置8表巴得于只 眼这 能 欧 。 写，着出分一数8。最但工欧论、学是律学的教 拉 个 使日 压于入定穷对为数。几了边的研创以要虽函c家始。能维全命量到的实容发他最，数乎弹另学写的论塞6堡欧用又个完拉但作有手版学个，本甚大又作拉的物科一。家老学欧义多数一的欧个许所著中立广的然数表。就背吉部危的新毅罕，全整学涉道一公的育 通 问 他船只 下1文尔一拉了失问成积他。俄解。原令用7至书的不，和同理的个拉师生拉为值。门定拉公多对名，了泛数不，示选诵尔内险研的力见然了部产整史及学舶个式数12，有场工， 信 题 一有 自三明题）劳仍他文决同理人3在籍6四满后阿时和，有普。的常乘系义对式新的的欧许流。是用∑三择前（容把究创，，后论著用上到、问重。学岁直史年大作天了需。成然撰、一年》而 讨 。 举己1叫他和位足世基，力他机拉”9学数方。统，整解的角公拉多行欧表角通一。欧成作回他口文作一了或所航要直教题到以V就火，的的，经由疾醉写德个，第且 论 后 成岁的绝e死论i数于的米还学们的斯被习Ｃ的他的使个析公，式意新。拉形示过百高拉果之忆能授４的位者有海的至材》4来r成，71研时但几于，心了文天他一的表7后g文69重 来 名"，论学具著德应等不整说誉，，逆证科三三地式从又识的而首求的解个等从都中所够０半杰说数学因晚在而的年为秧i岁岁究等间他个欧疾于、文又《卷关示，，l家体名、用方断体过为视 拉 。文而又运明学角角推。而把到符且创和三决质数大化。作完由０数出是学、素年当荣第。巴及，的），。用著拉病科法学口微在周系这自其彼，问数牛这面地，：数人 格欧，有算了，学学导使三符号，，，条实 数 学 火 为 他 过 整 他 多 以 的 自 分 建，，时获一塞欧就他欧的将但 口名使使学文难 述积圣问式是然中得依 题 学顿些的从力“学助， 任 他 跳 作 出 叙 角 号 。 欧但边用际 的 的 中 灰 完 的 地 篇 上 数 然 支 筑就 他 一才朗巴拉让个尔拉科那拉史仍三 授的 用 年 事版题 写分彼中继对在堡题据 的 家、 数 实 实 图 读 王于并 一 首 出 了 了 述 函 的 如 拉却，问 前 计 背 烬 全 研 背 长 以 。 学 科 ， 学是 还 直黎年大的研不由诗旧。日拉已天 、数 了 仅 业，成原得─。π数i世科是 解 都高 学 际 践 揭 读 子"数且 非 先 只 分 全 大 数 简 用 还是用题 十 算 出 。 凭 究 诵 子 及 家 学 对 、他 能 被表科轻学住成倦于A是持 别学 自 ，成理2堡─ 《当获，格4的时学e他 决 极斯 工 问 中 示 欧 的88学最 零 用 研 析 部 大 与 化 把经sＡ、欧进 次 他 来 大 着 。 出 记 多 ， 史 物 音那 复 当示学的的宅果的撰n对续 人家 己 忘为》出岁计 代时得岁朗欧i底发院e们 ， 度列 具 题 吸 它 拉 高的先 实 比 究 性 三 地 指 和过en、e拉行 幂 可 。 火 坚 欧 几 录 部 他 上 理 乐惊 述 作虚院硕学，方一写i于不 记几 发 我欧，版的算 数，表为l。， ，、、， 。，。
• 什么叫正多面体（两 个特征）？
• 正多面体有哪几种？ 为什么？
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1
2
3 4
图形编号
1
顶点数V 4
面数F 4
棱数E 6ຫໍສະໝຸດ 28612
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8
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16
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想一想
前面的多面体中，是简单多面体的有哪些？ 棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体吗？
猜想
简单多面体的顶点数V，面数F的和与棱数E之间存在 的规律？
V+F-E=2
•••••••••••有为都去他取而的由推这斯欧发数欧值三的角欧Ｂ简在规发c用数欧π在之生士数了的欧人能能年欧 法 拉 拉 成 日 1一可以强拉十他专欧从生了了面首欧力都标1慧个明断欧地晚录11学o7有丰于也的在解们是奥崇是777则等研拉现Ｒ拉来角研公拉、化普展拉后fs。学资的背轻位他后的的年用著拉整来屈拉学准拉背，有，《177拉 格 也 首国果的年星月的拉工的完367、(091史 富 欧 说历创决的把秘欧我580化 。 究最了有使给表究式用Ｃ。及，的的x等，欧研金记诵时仆的他意记前这，是理说一研、教的 诵 共 研1论0岁年新 欧的 的 劳 右 作 方 整年 年 年不朗在先的，i)7多以 的 拉 过史 建 大 工 宇 和 拉 们既 圆 级先 对 无 三 出 这 ， ， 表 欧 教 所 倡 又a表瑞 拉 究 。 忆 罗 的 人 藏 立 志 忆 的 种 这 科 他 ， 指 究 天 程成 全 写 究桅开岁，方 拉轨 努 累 眼 。 法 引， 第，但日研发拉欧统表篇来 营 出 ：学 纯 量 作 宙 内 。 一有 周 数把 数 穷 角 三 个 从 还 示 拉 育 以 导 一、示士 从 的 力 马 笔 冒 书 即 和 力 笔 方 几 学 的 欧 的 论 文 。才 部 下 ！杆始成圣法 的迹 力 也 失 坚 论欧 三《一示论重与究表格拉贡 养 色家 粹 天 是 看 在 大 切"有 率 时对 是 多 学 角 圈 最 获 第 得 和 欧 才 个b三数 一 道 ！ 诗 记 着 及 投 惊 也 记 法 乎 史 著 拉 。 著 学还 的 了 欧配发为彼对， 左（ 才 使 明 持》拉 卷积在函文献 ， 的把 理 文 跨 作 规 数 人视 欧 这 ，朗 就助引数无个成函子初得个到科拉得重π角、学 开 路 他 人 的 生 大 入 人 确 内 又 占 上 作 是 几有 数 拉置8表巴得于只 眼这 能 欧 。 写，着出分一数8。最但工欧论、学是律学的教 拉 个 使日 压于入定穷对为数。几了边的研创以要虽函c家始。能维全命量到的实容发他最，数乎弹另学写的论塞6堡欧用又个完拉但作有手版学个，本甚大又作拉的物科一。家老学欧义多数一的欧个许所著中立广的然数表。就背吉部危的新毅罕，全整学涉道一公的育 通 问 他船只 下1文尔一拉了失问成积他。俄解。原令用7至书的不，和同理的个拉师生拉为值。门定拉公多对名，了泛数不，示选诵尔内险研的力见然了部产整史及学舶个式数12，有场工， 信 题 一有 自三明题）劳仍他文决同理人3在籍6四满后阿时和，有普。的常乘系义对式新的的欧许流。是用∑三择前（容把究创，，后论著用上到、问重。学岁直史年大作天了需。成然撰、一年》而 讨 。 举己1叫他和位足世基，力他机拉”9学数方。统，整解的角公拉多行欧表角通一。欧成作回他口文作一了或所航要直教题到以V就火，的的，经由疾醉写德个，第且 论 后 成岁的绝e死论i数于的米还学们的斯被习Ｃ的他的使个析公，式意新。拉形示过百高拉果之忆能授４的位者有海的至材》4来r成，71研时但几于，心了文天他一的表7后g文69重 来 名"，论学具著德应等不整说誉，，逆证科三三地式从又识的而首求的解个等从都中所够０半杰说数学因晚在而的年为秧i岁岁究等间他个欧疾于、文又《卷关示，，l家体名、用方断体过为视 拉 。文而又运明学角角推。而把到符且创和三决质数大化。作完由０数出是学、素年当荣第。巴及，的），。用著拉病科法学口微在周系这自其彼，问数牛这面地，：数人 格欧，有算了，学学导使三符号，，，条实 数 学 火 为 他 过 整 他 多 以 的 自 分 建，，时获一塞欧就他欧的将但 口名使使学文难 述积圣问式是然中得依 题 学顿些的从力“学助， 任 他 跳 作 出 叙 角 号 。 欧但边用际 的 的 中 灰 完 的 地 篇 上 数 然 支 筑就 他 一才朗巴拉让个尔拉科那拉史仍三 授的 用 年 事版题 写分彼中继对在堡题据 的 家、 数 实 实 图 读 王于并 一 首 出 了 了 述 函 的 如 拉却，问 前 计 背 烬 全 研 背 长 以 。 学 科 ， 学是 还 直黎年大的研不由诗旧。日拉已天 、数 了 仅 业，成原得─。π数i世科是 解 都高 学 际 践 揭 读 子"数且 非 先 只 分 全 大 数 简 用 还是用题 十 算 出 。 凭 究 诵 子 及 家 学 对 、他 能 被表科轻学住成倦于A是持 别学 自 ，成理2堡─ 《当获，格4的时学e他 决 极斯 工 问 中 示 欧 的88学最 零 用 研 析 部 大 与 化 把经sＡ、欧进 次 他 来 大 着 。 出 记 多 ， 史 物 音那 复 当示学的的宅果的撰n对续 人家 己 忘为》出岁计 代时得岁朗欧i底发院e们 ， 度列 具 题 吸 它 拉 高的先 实 比 究 性 三 地 指 和过en、e拉行 幂 可 。 火 坚 欧 几 录 部 他 上 理 乐惊 述 作虚院硕学，方一写i于不 记几 发 我欧，版的算 数，表为l。， ，、、， 。，。
人教版A版高中数学选修3-3用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式
其面积为S1，由球面多边形的内角和 公式有
1 2 ... n1 n1 2 S1 （1）
同理，η的第2个面变成θ上的第2个球面 多边形，设此球面多边形有n2条边，它 的n1个内角的弧度数分别为 1，2，...n1 , 其面积为S2，由球面多边形的内角和公 式有
这样，就把简单多面体η变成整个球面 θ，且η的一个面变成θ上的多边形.这 时，η的顶点数、棱数、面数与θ 上的 顶点数、棱数、面数完全相同。
把η的各个面编号：1,2，...,F.η的第 一个面变成θ上的第一个球面多边形，
设 内此角球的面弧多度边数形分有别为n1条边1，，它2，.的..nn11个,
正面体个数
正面体定义:每个面是边数相等的正多边形, 每个顶点棱数相等的多面体叫正多面体。 欧拉公式:V+F-E=2
设每个顶点的棱数为n,每个面的边数为m.(n≥3,m≥3)
2E=nV 2E=mF
2E 2E E 2 nm
2 2 2 1 nmE
2 2 4 2 1 E 6
用球面多边形的内角和公式 证明欧拉公式
(n1-2)π+ (n2-2)π+ (n3-2)π+ ···+ (nF-2)π = (n1+ n2+ n3+ ···+ nF-2F)π
=(2E-2F)π
n1
n3
n4
nF n5
n2 n8
n6
n7
(n1-2)π+ (n2-2)π+ (n3-2)π+ ···+ (nF-2)π=(2E-2F)π
V+F-E=2
1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大 贡献的科学家,C60是由60个C原子构成的分子,它的 结构为简单多面体形状,这个多面体有60个顶点,在 每一个顶点都有三条棱, 各面的形状是五边形或六 边形, 你能计算出其中五边形和六边形的个数吗?
1 2 ... n1 n1 2 S1 （1）
同理，η的第2个面变成θ上的第2个球面 多边形，设此球面多边形有n2条边，它 的n1个内角的弧度数分别为 1，2，...n1 , 其面积为S2，由球面多边形的内角和公 式有
这样，就把简单多面体η变成整个球面 θ，且η的一个面变成θ上的多边形.这 时，η的顶点数、棱数、面数与θ 上的 顶点数、棱数、面数完全相同。
把η的各个面编号：1,2，...,F.η的第 一个面变成θ上的第一个球面多边形，
设 内此角球的面弧多度边数形分有别为n1条边1，，它2，.的..nn11个,
正面体个数
正面体定义:每个面是边数相等的正多边形, 每个顶点棱数相等的多面体叫正多面体。 欧拉公式:V+F-E=2
设每个顶点的棱数为n,每个面的边数为m.(n≥3,m≥3)
2E=nV 2E=mF
2E 2E E 2 nm
2 2 2 1 nmE
2 2 4 2 1 E 6
用球面多边形的内角和公式 证明欧拉公式
(n1-2)π+ (n2-2)π+ (n3-2)π+ ···+ (nF-2)π = (n1+ n2+ n3+ ···+ nF-2F)π
=(2E-2F)π
n1
n3
n4
nF n5
n2 n8
n6
n7
(n1-2)π+ (n2-2)π+ (n3-2)π+ ···+ (nF-2)π=(2E-2F)π
V+F-E=2
1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大 贡献的科学家,C60是由60个C原子构成的分子,它的 结构为简单多面体形状,这个多面体有60个顶点,在 每一个顶点都有三条棱, 各面的形状是五边形或六 边形, 你能计算出其中五边形和六边形的个数吗?
多面体欧拉定理的发现课件
多面体欧拉定理的发现
多面体是一种几何体，展示了独特的定义和基本特征。
欧拉定理的介绍
欧拉定理是一项重要的数学定理，它描述了多面体中的顶点、边和面之间的关系。
欧拉定理的证明方法
学者通过数学推导和逻辑推理，发展出了证明欧拉定理的有效方法。
欧拉定理的应用举例
欧拉ห้องสมุดไป่ตู้理在计算机图形学、拓扑学和材料科学等领域有着广泛的应用。
欧拉定理的局限性和扩展
尽管欧拉定理非常有用，但在某些情况下可能无法适用。研究者正在不断探索和扩展这一理论。
对欧拉定理的意义和影响
欧拉定理的发现深刻影响了数学和科学领域的发展，为我们理解几何学和拓扑学提供了重要的基础。
总结和展望
多面体欧拉定理是数学世界中的重要成就，它激发了更多的数学研究和发现。
多面体是一种几何体，展示了独特的定义和基本特征。
欧拉定理的介绍
欧拉定理是一项重要的数学定理，它描述了多面体中的顶点、边和面之间的关系。
欧拉定理的证明方法
学者通过数学推导和逻辑推理，发展出了证明欧拉定理的有效方法。
欧拉定理的应用举例
欧拉ห้องสมุดไป่ตู้理在计算机图形学、拓扑学和材料科学等领域有着广泛的应用。
欧拉定理的局限性和扩展
尽管欧拉定理非常有用，但在某些情况下可能无法适用。研究者正在不断探索和扩展这一理论。
对欧拉定理的意义和影响
欧拉定理的发现深刻影响了数学和科学领域的发展，为我们理解几何学和拓扑学提供了重要的基础。
总结和展望
多面体欧拉定理是数学世界中的重要成就，它激发了更多的数学研究和发现。
人教A版选修3《用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式》教案及教学反思
人教A版选修3《用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式》教案及教学反思教学目标•了解欧拉公式在几何学上的应用；•掌握球面多边形的内角和公式，理解其推导过程；•能够应用所学知识证明欧拉公式。
教学内容1.欧拉公式在几何学上的应用–介绍欧拉公式的定义和公式形式；–理解欧拉公式在不同领域中的应用，如物理学、数学等。
2.球面多边形的内角和公式–定义球面多边形，介绍其特性；–推导球面多边形的内角和公式；–应用球面多边形的内角和公式实际解题。
3.用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式–根据定义和推导过程，将球面多边形的内角和公式代入欧拉公式中；–证明欧拉公式在球面多边形中成立。
教学步骤1.欧拉公式在几何学上的应用–导入：师生交流，了解欧拉公式的定义和公式形式；–讲解：介绍欧拉公式在不同领域中的应用；–拓展：让学生思考欧拉公式在实际生活中的应用。
2.球面多边形的内角和公式–导入：通过讨论地球表面的两点间最短距离，引出球面多边形的概念；–讲解：介绍球面多边形的定义、特性以及内角和公式的推导过程；–演示：通过画图演示球面多边形的内角和计算过程；–练习：让学生自行计算球面多边形的内角和。
3.用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式–讲解：根据定义和推导过程，将球面多边形的内角和公式代入欧拉公式中；–演示：通过实例演示如何用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式；–练习：让学生自行用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式。
4.总结反思–总结：师生共同总结所学知识；–反思：学生反思自己在学习过程中存在的不足，师生共同找出解决方法。
教学评估及作业1.教学评估：通过课堂小测验、问题解答等形式进行评估；2.作业：要求学生自行寻找并整理出欧拉公式的不同应用案例，并给出相应的图表或计算结果。
教学心得及教学反思本堂课的教学目标是让学生了解欧拉公式在几何学上的应用，掌握球面多边形的内角和公式，能够应用所学知识证明欧拉公式。
整堂课的教学内容设计合理，步骤清晰，学生也积极参与了课堂活动。
高二数学最新课件-多面体欧拉公式的发现 精品
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面 各有x个和y个。 多面体的顶点数V＝60，面数F＝x＋y， 棱数E＝1/2（3×60） 根据欧拉公式，可得 60＋（x＋y）－1/2（3×60）＝2 (1) 另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即 1/2（5x＋6y）＝1/2（3×60） 由以上两方程可解出 x＝12，y＝20 答：分子中形状为五边形和六边形的面各有12个 和60个。 (2)
故（1）不可能；
当V=4时，多面体也是四面体，而四面体只有4个面， 故（2）不可能. ∴没有棱数为7的简单多面体.
公式的应用探究
试一试3 已知一个十二面体共有8个顶点，其 中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相 同数目的棱，则其他顶点处各有几条棱？
学到了什么？
公式的应用探究
探究1 一个简单多面体的各面都是三角形， 且有6个顶点，求这个简单多面体的面数. 解：因为一个面都有3条边，每两条边合为 1条棱. 3F 所以它的面数F和棱数E之间有关系E= 2 . 又由欧拉公式V+F－E=2，且顶点数V=6. ∴F=E+2－V=E+2－6= ∴F=8
3F 2 －
公式的应用探究
试一试2 简单多面体每个面都是五边形， 且每个顶点处有3条棱，求这个简单多面 体的面数、棱数、顶点数.
通过这个探究案例的学习，请大家归 纳棱数E的计算方法
公式的应用探究
探究3 有没有棱数为7的简单多面体？说明理由
解：假设一个简单多面体的棱E=7，它的面数为F，顶点数为V， 那么根据欧拉公式有V+F=E+2=9. 又多面体的面数F≥4,顶点数V≥4 ∴只能有两种情况： （1）F=4，V=5或（2）F=5，V=4 当F=4时，多面体为四面体，而四面体只有4个顶点，
多面体欧拉定理的发现(g)
特征
多面体的顶点数、面数和棱数之 间存在一定的关系，这是多面体 的基本特征。
03 欧拉定理的发现过程
欧拉之前的学者研究
欧拉之前，数学家们已经对多面体的几何特性进行了一些研究， 例如希腊数学家欧几里得（Euclid）在他的《几何原本》中证 明了“一个多面体的所有面都是三角形”的定理。
文艺复兴时期，意大利数学家莱昂纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）也对多面体进行了研究，他发现了多面体的顶点数、边 数和面数之间的关系，但未能完全证明。
多面体欧拉定理的发现(g)
contents
目录
• 引言 • 多面体的基本概念 • 欧拉定理的发现过程 • 欧拉定理的应用 • 结论
01 引言
欧拉与多面体研究
01
欧拉是多面体研究的先驱之一， 他对多面体的性质进行了深入的 研究，并取得了许多重要的成果 。
02
欧拉对多面体的研究始于他对数 学的热爱和探索，他通过观察、 分析和证明，揭示了多面体的许 多内在规律和性质。
弹性力学
在弹性力学中，欧拉定理 用于分析弹性体的应力、 应变和位移之间的关系。
流体动力学
在流体动力学中，欧拉定 理用于研究流体的运动规 律，如流体中的涡旋和流 动稳定性。
在其他领域的应用
化学
在化学中，欧拉定理用于 分析分子结构，了解分子 的几何形状和化学键的性 质。
生物学
在生物学中，欧拉定理用 于研究细胞形态和生物体 的复杂结构。
等。
几何形状分析
通过欧拉定理，我们可以分析多面 体的几何形状，了解其对称性、边 数和面数之间的关系。
几何建模
在计算机图形学中，欧拉定理被用 于几何建模，通过控制顶点数和边 数来创建复杂的3D模型。
多面体的顶点数、面数和棱数之 间存在一定的关系，这是多面体 的基本特征。
03 欧拉定理的发现过程
欧拉之前的学者研究
欧拉之前，数学家们已经对多面体的几何特性进行了一些研究， 例如希腊数学家欧几里得（Euclid）在他的《几何原本》中证 明了“一个多面体的所有面都是三角形”的定理。
文艺复兴时期，意大利数学家莱昂纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）也对多面体进行了研究，他发现了多面体的顶点数、边 数和面数之间的关系，但未能完全证明。
多面体欧拉定理的发现(g)
contents
目录
• 引言 • 多面体的基本概念 • 欧拉定理的发现过程 • 欧拉定理的应用 • 结论
01 引言
欧拉与多面体研究
01
欧拉是多面体研究的先驱之一， 他对多面体的性质进行了深入的 研究，并取得了许多重要的成果 。
02
欧拉对多面体的研究始于他对数 学的热爱和探索，他通过观察、 分析和证明，揭示了多面体的许 多内在规律和性质。
弹性力学
在弹性力学中，欧拉定理 用于分析弹性体的应力、 应变和位移之间的关系。
流体动力学
在流体动力学中，欧拉定 理用于研究流体的运动规 律，如流体中的涡旋和流 动稳定性。
在其他领域的应用
化学
在化学中，欧拉定理用于 分析分子结构，了解分子 的几何形状和化学键的性 质。
生物学
在生物学中，欧拉定理用 于研究细胞形态和生物体 的复杂结构。
等。
几何形状分析
通过欧拉定理，我们可以分析多面 体的几何形状，了解其对称性、边 数和面数之间的关系。
几何建模
在计算机图形学中，欧拉定理被用 于几何建模，通过控制顶点数和边 数来创建复杂的3D模型。
人教版高中选修3-3二简单多面体的欧拉公式教学设计
人教版高中选修3-3二简单多面体的欧拉公式教学设计一、教学目标1.理解欧拉公式的含义和应用；2.掌握二简单多面体的定义、性质和分类方法；3.能够通过欧拉公式计算二简单多面体的顶点数、边数和面数。
二、教学准备1.教师备课素材：黑板、白板、彩色粉笔、多面体模型、PPT课件等；2.学生教学素材：笔、本、尺子、计算器等。
三、教学过程1. 导入环节通过一些引人入胜的例子引起学生对多面体的兴趣，比如：1.将一些多面体模型随机散布在教室中，请学生找出其中的二简单多面体；2.让学生观察类似于足球、篮球等多面体形状的物体，引导学生思考此类物体有哪些共同特征。
2. 正式教学2.1 多面体的定义和性质1.定义：边界为多面体中一些平面图形的空间集合。
2.性质：任意两个面不重合，任何面的两个相邻面不在同一平面，多面体中的任意一点都在某一个面的内部或边界上。
2.2 二简单多面体的分类1.棱柱：底面为任意多边形，侧面为平行四边形。
2.棱锥：底面为任意多边形，侧面为三角形。
3.正四面体：4个全等的等边三角形所构成的多面体。
4.正六面体：6个全等的正方形所构成的多面体。
5.正八面体：8个全等的等边三角形所构成的多面体。
6.正十二面体：12个全等的正五边形所构成的多面体。
7.正二十面体：20个全等的正三角形所构成的多面体。
2.3 欧拉公式的定义和应用1.定义：对于任意一个简单多面体，其顶点数、边数和面数满足以下公式：V−E+F=2。
2.应用：通过欧拉公式，可以计算一个多面体的未知数量。
比如已知二简单多面体的某两个数量，就可以通过欧拉公式求出另一个未知量。
3. 实例演练3.1 计算正八面体的顶点数、边数和面数1.首先，定义正八面体的数量：V表示顶点数，E表示边数，F表示面数；2.根据正八面体的定义，有：$V=6\\cdot 8/2=24$，$E=3\\cdot 8=24$，F=8；3.将数值带入欧拉公式得：24−24+8=2，等号右侧为2。
人教A版数学选修3-3 球面上的几何第六讲第二节多面体欧拉定理的发现与简单应用 (共13张PPT)
猜想：V+F-E=2
三、合作探究，研究问题
（二）研究更多非常见实例，进一步验证猜想
猜想成立！
三、合作探究，研究问题
（三）大胆质疑，找找反例
V+F-E=0 猜想不成立！
三、合作探究，研究问题
（四）完成猜想，形成结论 简单多面体：
非单多面体：
V+F-E=2
三、合作探究，应用问题
Hale Waihona Puke （一）探究正多面体的种数富勒烯
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求， 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了 无私的人。
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足球表面有正五边形12个，正六边形20个！
三、合作探究，应用问题
（三）知识在我身边
托起明天的太阳
三、合作探究，应用问题
（四）世界真奇妙 1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60 是由60个C原子构成的分子。这个多面体有60个顶点，以每一个顶 点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算C60分 子中五边形和六边形的数目。
4.意义的追求是每一章散文诗必须坚 持的， 是她的 生命线 。没有 任何意 义的散 文诗， 决非好 作品。 意义和 审美是 一体化 的存在 ，只有 在审美 的前提 下，在 足以强 化审美 而不是 削弱审 美的前 提下， 才能实 现意义 的追求 。
5.传统的经济理论不考虑经济系统和 生态系 统的物 质和能 量交换 是基于 以下的 假设： 生态系 统的物 质和能 量是取 之不尽 、用之 不竭的 。
2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
富勒烯
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
1.交代故事发生的时间、环境；描绘 出一幅 令人恐 惧的画 面，渲 染紧张 气氛。 侧面表 现人物 恐惧痛 苦的内 心世界 ，与他 所向往 的温馨 的家庭 生活环 境形成 鲜明对 比。
人教新课标2003版选修3-3《球面上的几何》 第六讲（二）《简单多面体的欧拉公式》
足球表面有多少个正五边形
——多面体欧拉定理的发现与简单应用
一、从生活中发现问题
足球表面有多少个正五 边形和正六边形？
二、分组讨论，分析问题
初步结论：
1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正 五边形、二个正六边形； 4、共32个面，更进一步可以得到60个顶点， 90条棱……
8.心理学上有一种认识——评估学说， 即个体 对事物 有了认 识，就 会利用 头脑中 的旧经 验来解 释新输 入的信 息，进 行评估 ，于是 产生情 绪体验 。而个 体对事 物究竟 体验为 积极的 情绪还 是消极 的情绪 ，在于 怎样认 识事物 。
9.迫于现实社会生存的巨大综合压力 和人类 因物质 文明进 步而带 来的精 神困惑 ，当代 诗歌的 内容越 来越局 限于私 人性的 东西， 正日愈 失去处 理重大 社会题 材的艺 术能力 ，这就 使得它 日愈减 少获得 公众关 注的机 会，而 只有在 少数未 被现代 社会物 质化的 心灵当 中获得 知音；
仅有上面1～3的信息，能不 能求出足球共有多少个面？
三、分组讨论，提出问题
多面体的顶点数，面数，棱 数之间有没有特定的联系？
三、合作探究，研究问题
（一）从实例出发，观察已知何体，进行猜想
几何体 四方尖塔 正五棱锥 正六棱柱 八角鼓
顶点数V 9 6 12 24
面数 F 9 6 8 18
棱数 E 16 10 18 40
猜想：V+F-E=2
三、合作探究，研究问题
（二）研究更多非常见实例，进一步验证猜想
猜想成立！
三、合作探究，研究问题
（三）大胆质疑，找找反例
V+F-E=0 猜想不成立！
三、合作探究，研究问题
（四）完成猜想，形成结论 简单多面体：
非单多面体：
V+F-E=2
三、合作探究，应用问题
（一）探究正多面体的种数
6.这一前提假设在经济系统相对于生 态系统 较小时 ，即世 界是一 个“空 的世界 ”时尚 能满足 ，但在 经济系 统快速 增长， 世界逐 渐从“ 空的世 界”变 成“满 的世界 ”后， 这一假 设就很 难满足 了。
7.当人们不能改变客观的社会环境时 ，要避 免应激 性疾病 的发生 就应该 不断降 低心理 压力。 降低心 理压力 的方法 是多种 多样的 ，正确 认识事 物，获 得积极 的情感 体验是 一个重 要的方 法。
每个面的 边数（n ）
3
每个顶点连 有的棱数
（m ）
3
多面体的 棱数（E ）
6
多面体的顶 点（ V）
4
4
3
12
8
3
4
12
6
5
3
30
20
3
5
30
12
多面体的面 正多面体的
数（ F）
名称
4
正四面体
6
正六面体
8
正八面体
12
正十二面体
20
正二十面体
三、合作探究，应用问题
（二）探究足球表面有多少个正五边形 1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正五边形、二个正六边形。
三、合作探究，应用问题
（三）知识在我身边
托起明天的太阳
三、合作探究，应用问题
（四）世界真奇妙 1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60 是由60个C原子构成的分子。这个多面体有60个顶点，以每一个顶 点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算C60分 子中五边形和六边形的数目。
4.意义的追求是每一章散文诗必须坚 持的， 是她的 生命线 。没有 任何意 义的散 文诗， 决非好 作品。 意义和 审美是 一体化 的存在 ，只有 在审美 的前提 下，在 足以强 化审美 而不是 削弱审 美的前 提下， 才能实 现意义 的追求 。
5.传统的经济理论不考虑经济系统和 生态系 统的物 质和能 量交换 是基于 以下的 假设： 生态系 统的物 质和能 量是取 之不尽 、用之 不竭的 。
2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
富勒烯
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
1.交代故事发生的时间、环境；描绘 出一幅 令人恐 惧的画 面，渲 染紧张 气氛。 侧面表 现人物 恐惧痛 苦的内 心世界 ，与他 所向往 的温馨 的家庭 生活环 境形成 鲜明对 比。
人教新课标2003版选修3-3《球面上的几何》 第六讲（二）《简单多面体的欧拉公式》
足球表面有多少个正五边形
——多面体欧拉定理的发现与简单应用
一、从生活中发现问题
足球表面有多少个正五 边形和正六边形？
二、分组讨论，分析问题
初步结论：
1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正 五边形、二个正六边形； 4、共32个面，更进一步可以得到60个顶点， 90条棱……
8.心理学上有一种认识——评估学说， 即个体 对事物 有了认 识，就 会利用 头脑中 的旧经 验来解 释新输 入的信 息，进 行评估 ，于是 产生情 绪体验 。而个 体对事 物究竟 体验为 积极的 情绪还 是消极 的情绪 ，在于 怎样认 识事物 。
9.迫于现实社会生存的巨大综合压力 和人类 因物质 文明进 步而带 来的精 神困惑 ，当代 诗歌的 内容越 来越局 限于私 人性的 东西， 正日愈 失去处 理重大 社会题 材的艺 术能力 ，这就 使得它 日愈减 少获得 公众关 注的机 会，而 只有在 少数未 被现代 社会物 质化的 心灵当 中获得 知音；
仅有上面1～3的信息，能不 能求出足球共有多少个面？
三、分组讨论，提出问题
多面体的顶点数，面数，棱 数之间有没有特定的联系？
三、合作探究，研究问题
（一）从实例出发，观察已知何体，进行猜想
几何体 四方尖塔 正五棱锥 正六棱柱 八角鼓
顶点数V 9 6 12 24
面数 F 9 6 8 18
棱数 E 16 10 18 40
猜想：V+F-E=2
三、合作探究，研究问题
（二）研究更多非常见实例，进一步验证猜想
猜想成立！
三、合作探究，研究问题
（三）大胆质疑，找找反例
V+F-E=0 猜想不成立！
三、合作探究，研究问题
（四）完成猜想，形成结论 简单多面体：
非单多面体：
V+F-E=2
三、合作探究，应用问题
（一）探究正多面体的种数
6.这一前提假设在经济系统相对于生 态系统 较小时 ，即世 界是一 个“空 的世界 ”时尚 能满足 ，但在 经济系 统快速 增长， 世界逐 渐从“ 空的世 界”变 成“满 的世界 ”后， 这一假 设就很 难满足 了。
7.当人们不能改变客观的社会环境时 ，要避 免应激 性疾病 的发生 就应该 不断降 低心理 压力。 降低心 理压力 的方法 是多种 多样的 ，正确 认识事 物，获 得积极 的情感 体验是 一个重 要的方 法。
每个面的 边数（n ）
3
每个顶点连 有的棱数
（m ）
3
多面体的 棱数（E ）
6
多面体的顶 点（ V）
4
4
3
12
8
3
4
12
6
5
3
30
20
3
5
30
12
多面体的面 正多面体的
数（ F）
名称
4
正四面体
6
正六面体
8
正八面体
12
正十二面体
20
正二十面体
三、合作探究，应用问题
（二）探究足球表面有多少个正五边形 1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正五边形、二个正六边形。