多面体欧拉定理的发现
研究性课题：多面体欧拉定理的发现
(不成立)
由观察发现并非对所有的多面体上述规律都成立。那么它对什么样的多面体一定成立呢？
拓扑变换：假定多面体的表面是用橡胶薄膜(不会破裂)做成的，对它们内部充气，观察变形情况：
一、简单多面体及欧拉定理
1、简单多面体：多面体表面经过连续变形可变为球面的多面体叫简单多面体。
(棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体等都是简单多面体。)
①什么叫简单多面体的概念问题。所谓简单多面体即是：
多面体经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体称为简单多面体。
②经过观察、归纳、猜想，我们发现了简单多面体顶点数V、面数F、棱数E之间的一般规律：即
欧拉定理：简单多面体顶点数V、面数F、棱数E之间满足：
V+F-E=2
欧拉示性数f(p)=V+F-E
简单多面体的欧拉示性数f(p)=V+F-E =2
③根据欧拉定理，我们可解决简单多面体的一此实际问题。
注意：在利用欧拉公式解决问题时，计算棱数方法可从两个方面考虑：
(i)E=各面多边形边数总和除以2；
(ii)E=各顶点棱数总和除以2..
教
学
过
程
1、已知凸多面体的每个面都是正三角形，且每个顶点都有4条棱，
试问这是几面体？
答案：∵多面体每个面有3条边，∴E=3F/2，又每个顶点有4条棱，
∴E=4V/2，又V+F-E=2，解得：E=12，F=8，V=6。
∴这个多面体是正八面体。
4、一个多面体共有10个顶点，每个顶点都有4条棱，面的形状只
有三角形和四边形，求作一个符合条件的模型，并说明作法。
作法：取一正方体，在相对的两个面的外侧各取一点，与该点最近面的顶点连线组成一个十二面体即为所求。
综合实践活动 课题多面体欧拉定理的发现研究过程
综合实践活动：课题多面体欧拉定理的发现研究过程一、引言多面体欧拉定理是数学中的一项重要成果，它揭示了多面体的结构特征与顶点、边和面的关系。
本文将深入探讨多面体欧拉定理的发现研究过程，从历史背景、重要人物、关键实践活动等多个角度进行分析，以期对多面体欧拉定理的研究有更全面、详细、完整的了解。
二、历史背景多面体欧拉定理最早可以追溯到18世纪，当时数学家欧拉第一次提出了这个问题并得出了规律。
然而，在欧拉之前，古希腊数学家已经开始研究多面体，比如柏拉图就研究过正多面体。
多面体欧拉定理的发现离不开这些前人的努力，他们的研究奠定了基础。
三、欧拉的贡献3.1 多面体的定义在研究多面体欧拉定理之前，欧拉首先对多面体进行了界定。
他定义多面体为一个封闭的凸多面体，其由有限个平面多边形围成。
这个定义奠定了欧拉研究的基础。
3.2 欧拉公式的提出欧拉在研究多面体时，发现了一个有趣的公式，即多面体的顶点数、边数和面数之间存在着一个固定的关系：顶点数加上面数等于边数加2。
这个公式后来被称为欧拉公式。
3.3 通过多面体实践验证为了验证欧拉公式的正确性，欧拉进行了大量的实践活动。
他通过构建各种多面体，比如立方体、四面体、正六面体等，计算它们的顶点数、边数和面数，结果都符合欧拉公式的规律。
通过实践活动，欧拉成功地验证了自己的猜想，并得出了多面体欧拉定理。
四、多面体欧拉定理的证明欧拉提出的多面体欧拉定理虽然在实践中得到了验证，但其证明却花费了许多时间。
直到1864年，数学家C.A.根特梅尔提出了一种较为简洁的证明方法，被广泛接受并被视为多面体欧拉定理的正式证明。
4.1 根特梅尔的证明思路根特梅尔的证明思路非常巧妙，他首先考虑了二面体图（dual graph）的概念，即将多面体的面变成图的顶点，将多面体的边变成图的边。
然后，通过对二面体图进行分析，运用图的性质和拓扑学的知识，他得出了多面体欧拉定理的证明。
4.2 证明的要点根特梅尔的证明主要包括以下要点： - 根据二面体图的性质，证明了二面体图的性质与多面体的结构有关。
多面体欧拉公式的发现
多面体欧拉公式的发现欧拉公式是数学中的一项重要发现，它描述了多面体的顶点、边和面之间的关系。
发现这个公式的历史可以追溯到18世纪，当时瑞士数学家欧拉在研究多面体时首次提出了这个公式。
多面体是由平面面构成的立体，它可以是凸多面体（所有面都凸），也可以是非凸多面体（至少有一个面是凹的）。
欧拉公式适用于任何类型的多面体，它给出了多面体中顶点、边和面的数量之间的关系。
欧拉公式的数学表达式为：V-E+F=2，其中V表示多面体的顶点数，E 表示边数，F表示面数。
这个公式很简洁，却能揭示多面体的基本性质。
让我们来探索一下欧拉公式的发现过程。
首先，我们从最简单的多面体开始，即立方体。
立方体有8个顶点，12条边和6个面。
代入欧拉公式：8-12+6=2，等号左边的结果与右边的结果相等。
这意味着欧拉公式在立方体上成立。
接下来，让我们考虑一个更复杂的多面体，例如八面体。
八面体有6个顶点、12条边和8个面。
再次代入欧拉公式：6-12+8=2，等号左边的结果与右边的结果相等。
欧拉公式在八面体上同样成立。
通过反复尝试，我们可以发现，无论是简单的立方体还是复杂的八面体，欧拉公式都成立。
这提示我们欧拉公式可能是普适的。
更进一步，我们可以通过归纳法来证明欧拉公式对于任意多面体都成立。
假设对n-1个面的多面体，欧拉公式成立。
现在考虑多面体增加一个面的情况。
如果我们在新面上加上一个新顶点，那么顶点数V将增加1，边数E将增加至少3（因为每个新面至少有3条边相邻），面数F将增加1、根据归纳法的假设，对于n-1个面的多面体，欧拉公式成立，即V-E+F=2(V+1)-(E+3)+(F+1)=V-E+F+2=2+2=4所以对于n个面的多面体，欧拉公式仍然成立。
通过归纳法的推理，我们可以证明欧拉公式对于任意多面体都成立。
总结起来，欧拉公式的发现是通过观察不同形状的多面体并尝试找到它们之间的共同点。
通过代入不同的数值并观察等式的平衡，欧拉发现了顶点、边和面的数量之间的关系，并提出了著名的欧拉公式。
§910多面体欧拉定理的发现
§ 9.10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(1)教学目标：1•通过探现欧拉公式的过程，学会提出问题和明确探索方向，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力；教学重点：教学难点：2.体会数学家的创造性工作，掌握“实验一归纳一猜想一证明”的研究方法；3.通过介绍数学家欧拉的业绩，激发学生献身科学、勇于探索创新的精神如何发现欧拉公式怎样证明欧拉公式教学过程:创设情境，提出问题1996年的诺贝尔化学奖授予对发现Ceo有重大贡献的三位科学家如图，C60是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体•这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出Ceo中有多少个五边形和六边形吗？要解决上述问题，就必须弄清多面体的顶点数、棱数和面数的尖系•我们知道'在平面多边形中'多边形的边数b,顶点数d之间有尖系b=d ;而多面体是多边形在空间的类似，那么在多面体中，它的顶点数、棱数和面数之间有类似的规律吗？2.实验探索，归纳猜想让我们先观察几个简单的多面体，填写下表:多面体F V E四面体446正方体6812五棱柱71015四棱锥558非凸多面体6610正八面体8612“屋顶”体9916截顶立方体71015(问题1 :你能从增减性的角度揭示顶点数、棱数和面数的尖系吗?(1)由表中数据，当我们把正方体和八面体对比时，不难发现，面数增加，顶点数反而减少，而棱数未变。
并且五棱柱与八面体对比时，面数增加，顶点数和棱都减少，即V、E并不随F增大而增大，同时指出：V与E同增减的结论也不对；(2 )对比正方体与八面体时，发现E未变，但F与V的数值互换，即：立方体：F=6, V=8 , E=12 正八面体：F=8 , V=6 , E=12。
这说明了什么？好像隐约透露出某种联系•为了弄清这个问题'整理资料'将上表按E 增加的顺序重排，得:多面体F V E四面体446四棱锥558非凸多面体6610正方体68121.观察上表可知：F、V单个看，虽不总是因E的增加而增加，但“总体”看来，却是F+V随E的增加而增加。
多面体欧拉定理的发现
，nF边形，各面的 (4)图2中全体多边形的内角和是多少？它是否等于(V-2) × （5）研究欧拉(Leonhard Euler)的一生（包括他的故事、成就等） (V-m)×360 +(m-2)×180 所有其他多边形的内角和是多少？
左图中多面体某个面是n边形，右图中相应的多边形仍为n边形 利用多边形的内角
（4）由欧拉公式你能得出什么新的结论 （2）从简单的几个多面体去猜测他们的关系。
（3）欧拉发现欧拉公式的背景及其相关著作 形的面各有12个和20个。 这体现了发现数学定理的一种重要的思路，问题来源于我们的现实生活，结论可以先猜再证。
二利、用多 多面边（体形欧的5拉内）公角式研的发究现 欧拉(Leonhard Euler)的一生 （包括他的故事、成就等） (V-m)×360 +2(m-2)×180 =(V-2)×360
解：设C60分子中形状为五边形和六
边形的面各为x个和y个
多面体的顶点数V=60,面数F=x+y
棱数E 1 (360) 代入欧拉公式，可得
2
60 (xy)1(36)02 2
另一方面，棱数可以由多边形的边
数来表示，即 1(5x6y)1(36)0
2
2
由以上两个方程可解出 x=12，y=20
答：C60分子中形状为五边形和六边 形的面各有12个和20个。
（2）从简单的几个多面体去猜测他们的关系。
（3）尝试证明猜测的结论。
这体现了发现数学定理的一种重要的思路，问题来源于我们 的现实生活，结论可以先猜再证。
三、多面体欧拉公式的应用 （1）1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重要贡献的三位科 学家。C60是由60个C原子组成的分子，它的结构为简单多面体 形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各个 面的形状分为五边形或六边形两种（如图）。计算C60分子中形 状为五边形和六边形的面各是多少？
高中数学第一册(上)多面体欧拉定理的发现(3)
多面体欧拉定理的发现(3)一、课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料：走近欧拉欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。
1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。
他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。
欧拉对数学的研究非常广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
欧拉的惊人成就并不是偶然的,是他顽强意志的必然结果，他可以在任何不良的环境中工作，经常抱着孩子在膝上完成论文。
欧拉在28岁时，不幸一支眼睛失明，30年以后，他的另一只眼睛也失明了。
他双目失明以后，从没有停止过他的数学研究。
他以惊人的毅力和坚忍不拔的精神继续工作着，在他双目失明至逝世的十七年间，口述著作了几本书和400篇左右的论文。
由于欧拉的著作甚多，出版欧拉全集是十分困难的事情，1909年瑞士自然科学会就开始整理出版，直到现在还没有出完，计划是72卷。
在欧拉的886种著作中，属于他生前发表的有530本书和论文，其中不少是教科书。
他的著作文笔流畅、浅显、通俗易懂，读后引人入胜十分令读者敬佩。
尤其值得一提的是他编写的平面三角课本，采用的记号如,cos ,sin x x ……等等现今已经成为数学的国际语言。
欧拉1720年秋入读巴塞尔大学，由于异常勤奋和聪慧，受到约翰·伯努利的赏识，并给以特别的指导，在此期间欧拉同约翰的两个儿子尼古拉·伯努力和丹尼尔·伯努利也结成了亲密的朋友。
欧拉19岁写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖金，从此开始了创作生涯，以后陆续得奖多次。
高二数学教案：多面体欧拉定理的发现(1)
多面体欧拉定理的发现（1）一、课题：多面体欧拉定理的发现（1） 二、教学目标：1．了解简单多面体的概念；2．掌握欧拉定理．三、教学重、难点：欧拉定义及其证明． 四、教学过程：（一）欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。
1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝． （二）新课讲解： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么 它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面．如图： 象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面 体，叫做简单多面体．说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体．2．填表：将五种正多面体的顶点数、面数及棱数分别填表：正多面体 顶点数V面数F 棱数E 正四面体 44 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体122030发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：2F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立． 3．欧拉定理：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式：2V F E +-=．（欧拉公式） 4．定理的证明：（方法一）以四面体ABCD 为例来说明：将它的一个面BCD 去掉，并使其变为平面图形， 四面体的顶点数V 、棱数E 与剩下的面数1F 变形 后都没有变。
因此，要研究V 、E 和F 的关系， 只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可．ABCDEA 'B 'C 'D 'E '对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面。
例如去掉BC ，就减少一个面ABC ． 同理，去掉棱CD 、BD ，也就各减少一个面ACD 、ABD ． 由于1F E -、V 的值都不变，因此1V F E +- 的值也不变．（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少 一个顶点。
多面体欧拉定理的发现1
多面体欧拉定理的发现(1)【教学目的】1．理解简单多面体的定义2．理解并熟记欧拉公式3．会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理【教学思路】正多面体5种→认识欧拉→拓扑变形→简单多面体概念→研究正多面体V、F、E的关系→欧拉定理→证明→欧拉定理的意义【教学过程】1.(1) 什么叫正多面体？特征？正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征：①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。
(2) 正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。
为什么只有5种正多面体？著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。
2. 介绍数学家欧拉欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。
他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。
他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。
在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。
3.发现关系：V+F-E=2。
是不是所有多面体都有这样的关系呢？如何去研究呢？需要观念和方法上的创新。
4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。
像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。
5. 欧拉定理定理 简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系V+F-E=2公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律6. 定理的证明分析：以四面体ABCD 为例。
将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图 形，四面体的顶点数V 、棱数V 与剩下的面数F 1变形后都没有变（这里F 1=F-1）。