多面体欧拉定理的发现1

多面体欧拉定理的发现(1)
【教学目的】
1．理解简单多面体的定义
2．理解并熟记欧拉公式
3．会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理
【教学思路】
正多面体5种→认识欧拉
→拓扑变形→简单多面体概念
→研究正多面体V、F、E的关系
→欧拉定理→证明
→欧拉定理的意义
【教学过程】
1.(1) 什么叫正多面体？特征？
正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征：
①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。

(2) 正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。

为什么只有5种正多面体？
著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。

2. 介绍数学家欧拉
欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。

他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。

他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。

欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。

在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。

3.
发现关系：V+F-E=2。

是不是所有多面体都有这样的关系呢？如何去研究呢？需要观念和方法上的创新。

4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念
考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。

像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。

5. 欧拉定理
定理 简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系
V+F-E=2
公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律
6. 定理的证明
分析：以四面体ABCD 为例。

将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图 形，四面体的顶点数V 、棱数V 与剩下的面数F 1变形后都没有变（这里F 1=F-1）。

因此，要研究V 、E 和F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。

只需平面图形证明：V+F 1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F 1-E 的值不变。

例如去掉BC ，就减少一个面ABC 。

同理，去掉棱CD 、BD ，也就各减少一个面ACD 、ABD ，由于V 、F 1-E 的值都不变，因此V+F 1-E 的值不变
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F 1-E 的值不变。

例如去掉CA ，就减少一个顶点C 。

同理去AD 就减少一个顶点D ，最后剩下AB 。

在以上变化过程中，V+F 1-E 的值不变，
V+F 1-E=2-0-1=1，
所以 V+F-E= V+F 1-E+1=2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。

公式对任意简单多面体都是正确的。

7. 定理的意义（几点说明）
（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律； （2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄
A B
D A D B
C C B B
A D A D
C C B B
A D A D
C B
A
膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。

（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形
状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。

我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

（4）给出多面体分类方法：
在欧拉公式中，令E F V p f -+=)(
f (p)叫做欧拉示性数。

定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f (p)=2。

除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。

例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。

它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面，它的欧拉示性数为f (p)=16+16-32=0，
所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。

（5）利用欧拉定理可解决实际问题
例1．一个简单多面体的棱数可能是6吗？ 分析：设有简单多面体棱数E=6，
由欧拉公式V+F-E=2得V+F=8 又V ≥4，F ≥4，所以V+F ≥8
所以V=4、F=4，即有4个顶点、4个面。

由于四面体有且只有4个顶点，从面有且只有4个面。

所以符合条件的多面体只有一种类型：四面体即三棱锥。

例2．有一个各面都是三角形的正多面体，设顶点数V 、面数F 、棱数E ，
（1） 求证：F E 23=
， 22
+=F
V （2） 如果过各顶点的棱数都相等，则此多面体是几面体？
（1）证明：因为此正多面体有F 个面，每个面有3条边，所以F 个面总共有3F 条边，
但由于各棱是两个面的交线且被计算过两次，所以实际棱数为F E 2
3
=； 由欧拉公式V+F-E=2得V=E-F+2=
F 23-F+2=2
F
+2。

（2）解：设各顶点处有m 条棱，则mV=2E,
又F E 23=
， 22+=F V ，代入上式得m
m
E -=66 故6-m>0，所以m<6,
从而53≤≤m , 所以m=3、4、5，从而F= 4、8、20
由此可知，此多面体分别为四面体、八面体和二十面体。

8．欧拉定理又一证法
如图（1）多面体，设顶点数V ，面数F ，棱数E 。

剪掉一个面，将其余的面拉平，使它变为平面图形，如图（2）
我们在两个图中求所有面的内角总和Σα
一方面，在图（1）中利用面求内角总和。

设有F 个面，各面的边数分别为n 1,n 2，…，n F ， 各面的内角总和为：
Σα = [(n 1-2)·1800+(n 2-2)·1800 +…+(n F -2) ·1800]
= (n 1+n 2+…+n F -2F) ·1800
=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1） 另一方面，在图（2）的拉开图中，利用顶点来求内角总和。

设剪去的一个面为n 边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V 个顶点中，有n 个顶点在边上，V-n 个顶点在中间。

中间V-n 个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n 个顶点处的内角和(n-2)·1800。

所以，多面体所有各面的内角和为：
Σα = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=（V-2）·3600. （2） 由（1）（2）得
(E-F) ·3600 =（V-2）·3600 所以 V+F-E=2. 9．教学小结
正多面体（5种）→认识欧拉 →发现正多面体V 、F 、E 的关系（表） →（拓扑变形）简单多面体概念 →欧拉定理（公式） →定理的证明 →欧拉定理的意义 10．思考与练习
（1） 为什么正多面体只有五种？ （2） 足球与C 60的关系？ （3） 否有棱数为七的正多面体？
D 1 D
E 1 E
C 1
D
E 1 D 1
A 1
B 1
C C 1 C
A 1
B 1 E A
A B B 图（1） 图（2）。