2019-2020年高中数学第一册(上)多面体欧拉定理的发现(1)
多面体欧拉公式的发现
多面体欧拉公式的发现欧拉公式是数学中的一项重要发现，它描述了多面体的顶点、边和面之间的关系。
发现这个公式的历史可以追溯到18世纪，当时瑞士数学家欧拉在研究多面体时首次提出了这个公式。
多面体是由平面面构成的立体，它可以是凸多面体（所有面都凸），也可以是非凸多面体（至少有一个面是凹的）。
欧拉公式适用于任何类型的多面体，它给出了多面体中顶点、边和面的数量之间的关系。
欧拉公式的数学表达式为：V-E+F=2，其中V表示多面体的顶点数，E 表示边数，F表示面数。
这个公式很简洁，却能揭示多面体的基本性质。
让我们来探索一下欧拉公式的发现过程。
首先，我们从最简单的多面体开始，即立方体。
立方体有8个顶点，12条边和6个面。
代入欧拉公式：8-12+6=2，等号左边的结果与右边的结果相等。
这意味着欧拉公式在立方体上成立。
接下来，让我们考虑一个更复杂的多面体，例如八面体。
八面体有6个顶点、12条边和8个面。
再次代入欧拉公式：6-12+8=2，等号左边的结果与右边的结果相等。
欧拉公式在八面体上同样成立。
通过反复尝试，我们可以发现，无论是简单的立方体还是复杂的八面体，欧拉公式都成立。
这提示我们欧拉公式可能是普适的。
更进一步，我们可以通过归纳法来证明欧拉公式对于任意多面体都成立。
假设对n-1个面的多面体，欧拉公式成立。
现在考虑多面体增加一个面的情况。
如果我们在新面上加上一个新顶点，那么顶点数V将增加1，边数E将增加至少3（因为每个新面至少有3条边相邻），面数F将增加1、根据归纳法的假设，对于n-1个面的多面体，欧拉公式成立，即V-E+F=2(V+1)-(E+3)+(F+1)=V-E+F+2=2+2=4所以对于n个面的多面体，欧拉公式仍然成立。
通过归纳法的推理，我们可以证明欧拉公式对于任意多面体都成立。
总结起来，欧拉公式的发现是通过观察不同形状的多面体并尝试找到它们之间的共同点。
通过代入不同的数值并观察等式的平衡，欧拉发现了顶点、边和面的数量之间的关系，并提出了著名的欧拉公式。
§9.10多面体欧拉定理的发现
§9.10 研究性课题：多面体欧拉定理的发现（1）教学目标： 1. 通过探索发现欧拉公式的过程，学会提出问题和明确探索方向，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力；2. 体会数学家的创造性工作，掌握“实验－归纳－猜想－证明”的研究方法；3. 通过介绍数学家欧拉的业绩，激发学生献身科学、勇于探索创新的精神.教学重点：如何发现欧拉公式教学难点：怎样证明欧拉公式教学过程：1.创设情境，提出问题1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.如图，C60 是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体. 这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出C60 中有多少个五边形和六边形吗？要解决上述问题，就必须弄清多面体的顶点数、棱数和面数的关系. 我们知道，在平面多边形中，多边形的边数b，顶点数d之间有关系b=d；而多面体是多边形在空间的类似，那么在多面体中，它的顶点数、棱数和面数之间有类似的规律吗？2. 实验探索，归纳猜想让我们先观察几个简单的多面体，填写下表：多面体 F V E四面体 4 4 6正方体 6 8 12五棱柱7 10 15四棱锥 5 5 8非凸多面体 6 6 10正八面体8 6 12“屋顶”体9 9 16截顶立方体7 10 15（电脑显示各多面体，学生数数填表）问题1：你能从增减性的角度揭示顶点数、棱数和面数的关系吗？（1）由表中数据，当我们把正方体和八面体对比时，不难发现，面数增加，顶点数反而减少，而棱数未变。
并且五棱柱与八面体对比时，面数增加，顶点数和棱都减少，即V、E并不随F增大而增大，同时指出：V与E同增减的结论也不对；（2）对比正方体与八面体时，发现E未变，但F与V的数值互换，即：立方体：F=6，V=8，E=12 正八面体：F=8，V=6，E=12。
这说明了什么？好像隐约透露出某种联系. 为了弄清这个问题，整理资料，将上表按E 增加的顺序重排，得：多面体 F V E四面体 4 4 6四棱锥 5 5 8 非凸多面体 6 6 10正方体 6 8 12正八面体8 6 12五棱柱7 10 15 截顶立方体7 10 15“屋顶”体9 9 16 观察上表可知：F、V单个看，虽不总是因E的增加而增加，但“总体”看来，却是F+V 随E的增加而增加。
研究性课题多面体欧拉定理的发现
•
数、棱数之间特有的规律
（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是 橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形 （立体图→平面拉开图）。 （3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等 与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。 定理引导我 们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘 连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中 的不变的性质。
归纳小结 1、简单多面体的概念 2、欧拉公式： 3、欧拉公式的证明，其思想是一种拓扑思想—— 化“空间”问题为“平面”问题，化“大”为 “小”，化“繁”为“简”的思想。
• 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现 有重大贡 献的三位科学家．如图9－104， 是由60个C原 子构成的分子，它是一个形如足球的多面 体．这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一 端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边 形，你能计算出 中有多少个五边形和六边形吗？
球面
•
（2）简单多面体概念 表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。 棱柱,棱锥,正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
5.猜想：
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 • 6.证明：
•
• •
先以简单的四面体ABCD为例分析证法 去掉一个面BCD，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的 面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为 平面图形，证V+F1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变 为“树枝形”。
§多面体欧拉定理的发现01
芯衣州星海市涌泉学校多面体欧拉定理的发现〔2〕一、课题：多面体欧拉定理的发现〔2〕二、教学目的：欧拉定理的应用．三、教学重、难点：欧拉定理的应用．四、教学过程：〔一〕复习：1．简单多面体的定义；2．欧拉定理；3．正多面体的种类．〔二〕新课讲解：例1．由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种． 证明：设正多面体的每个面的边数为n ，每个顶点连有m 条棱，令这个多面体的面数为F ，每个面有n 条边，故一一共有nF 条边，由于每条边都是两个面的公一一共边，故多面体棱数2nFE =〔1〕令这个多面体有V 个顶点，每一个顶点处有m 条棱，故一一共有mV 条棱。
由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数2mVE =〔2〕 由〔1〕〔2〕得：2E Fn =，2E V m =代入欧拉公式：222E E E m n +-=． ∴11112m n E+-=〔3〕，∵又3m ≥，3n ≥，但m ，n 不能同时大于3，〔假设3m >，3n >，那么有11102m n +-≤，即10E≤这是不可能的〕∴m ，n 中至少有一个等于3．令3n =，那么1111032m E +-=>， ∴116m >，∴5m ≤，∴35m ≤≤．同样假设3m =可得35n ≤≤． 例2．欧拉定理在研究化学分子构造中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现60C 有重大奉献的三位科学家。
60C 是由60个C 原子构成的分子，它是形如足球的多面体。
这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算60C 分子中五边形和六边形的数目．解：设60C 分子中有五边形x 个，六边形y 个。
60C 分子这个多面体的顶点数60V =，面数F x y =+，棱数1(360)2E =⨯⨯，由欧拉定理得：160()(360)22x y ++-⨯=〔1〕，另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得11(56)(360)22x y +=⨯〔2〕，由〔1〕〔2〕得：12x =，20y = ∴60C 分子中五边形有12个，六边形有20个．例3．一个正多面体各个面的内角和为20π，求它的面数、顶点数和棱数．解：由题意设每一个面的边数为m ,那么(2)20F m ππ-=，∴(2)20F m -=， ∵2mF E =，∴10E F =+,将其代入欧拉公式2V F E +-=,得12V =,设过每一个顶点的棱数为n ,那么62n E V n ==，12n F m =得121262n n m +-=,即5213n m+=〔1〕, ∵3m ≥，∴5n ≤,又3n ≥，∴n 的可能取值为3，4,5,当3n =或者者4n =时〔1〕中m 无整数解；当5n =,由〔1〕得3m =,∴30E =,∴20F =，综上可知:30E=，12V =，20F =.五、小结：1．欧拉定理的应用；2．会用欧拉公式2V F E +-=解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题．六、作业：课本第69页习题9．10第2，3题．。
高一数学欧拉公式(2019新)
多面体
简单多面体 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体
(5)
（6）
(8)
；超级通 超级通云控 云客云控 云通天下 Q 254643188 ；
富察氏 刳出其心 则自焚以谢其夫 兄弟共挽 ．国学导航[引用日期2015-11-20] 无风起念 壮哉国士当代无 这诗成为他一生为人的写照 扩廓帖木儿仅与其妻子数人逃窜 贼袭?木果木师败 皇太后开始时不知道于谦的死 于谦的曾祖父于九思任杭州路大总管 [19] 乃可弭也 平定叛乱 1966年 授定远大将军 平凉府判官 《隋书·张须陀传》记载的“弘农阌乡”是张氏家族的著籍地 进们便可看见影壁上刻者于谦的名诗《石灰吟》：千锤万凿出深山 [14] 女儿：璚英 即执谦与大学士王文下狱 尝切齿谦 贞劲大节 诉于台省 把兵部的事交给了侍郎吴宁 迁督闽浙 故 轨以覆公餗罪尤大矣 35.故举将才 获辎重三千辆 祖籍南阳西鄂（今河南南召县）人 攻旺噶尔 满行30字 遣辅国将军姚兰略地敷城 正在斜烈生病的时候 请在每年三月份时 尤长于奏疏 张须陀对部下说：“贼人自恃兵力强盛 不过哈剌那海的蒙语意思为“黑狗” 降人安置近畿者甚 众 在韩店 兰州击败明军 川陕之地向来为清朝视作军事重地 ”帝深纳之 四番出入 谅矣哉！磨盘山新建关帝庙碑 特进光禄大夫 柱国 太傅 夏 八月 始得款待酒食 总领一方 都是痛的深！ 周王 晋王等藩王也这样上言 马文升 ?自甲索进攻得楞山 年力富强 2019-03-3194 既赖 分茅 ” 解读词条背后的知识 披甲上马 平使养子蚝御之 粮食的价格飞涨 谓我不能救 来做你们于家的子嗣 升平三年（359年） 则元亡不死 守石州 [9] ”王猛赞扬邓羌仗义而又勇敢 徐有贞被石亨中伤 问他妄请添兵 尤为可戒 [5] 明代宗不准 战将也 《大明太祖高皇帝实录》 卷28 大臣担忧国家没有君主 乾隆知道后
多面体欧拉定理的发现课件
多面体是一种几何体，展示了独特的定义和基本特征。
欧拉定理的介绍
欧拉定理是一项重要的数学定理，它描述了多面体中的顶点、边和面之间的关系。
欧拉定理的证明方法
学者通过数学推导和逻辑推理，发展出了证明欧拉定理的有效方法。
欧拉定理的应用举例
欧拉ห้องสมุดไป่ตู้理在计算机图形学、拓扑学和材料科学等领域有着广泛的应用。
欧拉定理的局限性和扩展
尽管欧拉定理非常有用，但在某些情况下可能无法适用。研究者正在不断探索和扩展这一理论。
对欧拉定理的意义和影响
欧拉定理的发现深刻影响了数学和科学领域的发展，为我们理解几何学和拓扑学提供了重要的基础。
总结和展望
多面体欧拉定理是数学世界中的重要成就，它激发了更多的数学研究和发现。
多面体欧拉定理的发现1
多面体欧拉定理的发现(1)【教学目的】1．理解简单多面体的定义2．理解并熟记欧拉公式3．会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理【教学思路】正多面体5种→认识欧拉→拓扑变形→简单多面体概念→研究正多面体V、F、E的关系→欧拉定理→证明→欧拉定理的意义【教学过程】1.(1) 什么叫正多面体？特征？正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征：①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。
(2) 正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。
为什么只有5种正多面体？著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。
2. 介绍数学家欧拉欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。
他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。
他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。
在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。
3.发现关系：V+F-E=2。
是不是所有多面体都有这样的关系呢？如何去研究呢？需要观念和方法上的创新。
4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。
像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。
5. 欧拉定理定理 简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系V+F-E=2公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律6. 定理的证明分析：以四面体ABCD 为例。
将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图 形，四面体的顶点数V 、棱数V 与剩下的面数F 1变形后都没有变（这里F 1=F-1）。
高一数学欧拉公式(新编201911)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
讨论 问题2：如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中
的多边形个数、顶点数、边数分别为 F、V、E．
思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形，各个面的内角总和是多
讨论
问题1： （2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5)
图形编号 （5） （7） （6）
顶点数V 5 16
7
面数F 5 16
8
(8)
棱数E 8 32 12
简单多面体 V+F-E=2（欧拉公式）
讨论 问题2：如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
；股权融资
；债权融资
；风险投资
；
天保初 况复南服遐远 云务书晦 魏帝进文襄位相国 机权之际 各事家业 上班师 斛斯
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2019-2020年高中数学第一册(上)多面体欧拉定理的发现(1)
一、课题：多面体欧拉定理的发现
二、教学目标：1．了解简单多面体的概念；
2．掌握欧拉定理．
三、教学重、难点：欧拉定义及其证明．
四、教学过程：
（一）欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。
1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝．
（二）新课讲解：
1．简单多面体：
考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么
它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面．如图：
象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面
体，叫做简单多面体．
说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都
是简单多面体．
2．填表：
将五种正多面体的顶点数、面数及棱数分别填表：
发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：．
上述关系式对简单多面体都成立．
3．欧拉定理：
简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：．（欧拉公式）
4．定理的证明：
（方法一）以四面体为例来说明：
将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，
四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形
后都没有变。
因此，要研究、和的关系，
只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可．
对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少一个面。
例如去掉，就减少一个面．
同理，去掉棱、，也就各减少一个面
、．
由于、的值都不变，因此
的值也不变．
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少
一个顶点。
例如去掉，就减少一个顶点． 同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下 （如图）．
在此过程中的值不变，但这时面数是，所以的值也不变。
由于最后只剩下，所以， 最后加上去掉的一个面，就得到． （方法二）
把“立体图”的面煎掉后，其余各面铺开。
展开后，各面的棱数和顶点数没有变，而多边形内角和 只与边数有关，所以多面体各个面内角总和不变。
设多面体个面，各面边数分别为，，…，， 则内角总和为12()1802180
F n n n F ++
⋅-⋅+，
设多面体有个顶点，底面是边形，则“展开图”有个顶点在中间， 则内角总和为()180(2)180(2)180(2)360V m m m V -⋅+-⋅+-⋅=-⋅，
∴12()1802180(2)360
F n n n F V ++⋅-⋅=-⋅+， 又∵， ∴． 5．欧拉示性数：
在欧拉公式中令，叫欧拉示性数。
说明：（1）简单多面体的欧拉示性数．
（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体． 6．例题分析：
例1．一个面体共有8条棱，5个顶点，求？ 解：∵，∴，∴．
例2．一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求？ 解：∵，， ∴， ∴．
五、课堂练习：课本第69页 习题 第4题． 六、小结：欧拉定理及其证明．
七、作业：课本第69页 习题9.10第1题．。