数学物理方程第二版习题解答 第三章教学文稿

x = r sinθ cosϕ ， y = r sinθ sinϕ ， z = r cosθ
（1）
∆u = ∂ 2u + ∂ 2u + ∂ 2u ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
为作变量的置换，首先令 ρ = ρ sinθ ，则变换（1）可分作两步进行
x = ρ cosϕ ， y = ρ sin ϕ
（2）
∂ϕ ρ
= sinϕ ∂ ( ∂u sinϕ + ∂u ⋅ cosϕ ) +
∂ρ ∂ρ
∂ϕ ρ
+ cosϕ ∂ ( ∂u sinϕ + ∂u ⋅ cosϕ )
ρ ∂ϕ ∂ρ
∂ϕ ρ
= sin 2 ∂ 2u + 2sin ϕ cosϕ ∂ 2u + cos2 ϕ ⋅ ∂ 2u −
∂ρ 2
ρ
∂ρ∂ϕ ρ 2 ∂ϕ 2
⋅
∂2u ∂ϕ 2
=
0
3． 证明拉普拉斯算子在柱坐标 (r,θ , z) 下可以写成
∆u
=
1 r
⋅
∂ ∂r
(r
∂u ) ∂r
+
1 r2
⋅
∂2u ∂θ 2
+
∂2u ∂z 2
证：柱坐标 (r,θ , z) 与直角坐标 (x, y, z) 的关系
x = r cosθ ， y = r sinθ ， z = z
第三章 调 和 方 程
§1 建 立 方 程 定 解 条 件
1． 设 u(x1, x2 ,, xn ) = f (r) (r = x12 + + xn2 ) 是 n 维调和函数（即满足方程
∂ 2u + + ∂ 2u = 0 ），试证明
∂x12
∂xn2
f
(r)
=
c1
+
c2 r n−2
(n ≠ 2)
f
n
n
∑ ∑ ∑ n
∂2u =
xi2 f " (r) ⋅ i=1
xi2 + f ' (r) ⋅ n − f ' (r) ⋅ i=1
=
f "(r) + n −1 f '(r)
i=1 ∂xi2
r2
r
r3
r
∆u = 0 化为 f " (r) + n −1 f ' (r) = 0 r
f "(r) = − n −1
∂θ r
所以
∂ 2u + ∂ 2u + ∂ 2u = ∂ 2u + 1 ⋅ ∂ 2u + 1 ⋅ ∂u + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂r 2 r 2 ∂θ 2 r ∂r
+ 1 ⋅ ∂ 2u + 1 (∂u sinθ + ∂u ⋅ cosθ )
r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 r sinθ ∂r
∂θ r
∂ϕ ρ
= cos2 ϕ ∂ 2u − 2sin ϕ cosϕ ⋅ ∂ 2u + sin 2 ϕ ⋅ ∂ 2u +
∂ρ 2
ρ
∂ρ∂ϕ ρ 2 ∂ϕ 2
+ 2sinϕ cosϕ ⋅ ∂u + sin 2 ϕ ⋅ ∂u
ρ2
∂ϕ ρ ∂ρ
∂ 2u = ∂ ( ∂u sinϕ + ∂u ⋅ cosϕ )
∂y 2 ∂y ∂ρ
ρ = ρ sinθ ，
z = r cosθ
由（2）
∂u = ∂u cosϕ + ∂u sinϕ
∂ρ ∂x
∂y
∂u
=
∂u
(−ρ sinϕ ) +
∂u
(ρ
cosϕ )
∂ϕ ∂x
∂y
由此解出
∂u ∂x
=
∂u ∂ρ
cosϕ
−
∂u ∂ϕ
⋅
sin ϕ ρ
∂u
=
∂u
sin ϕ
+
∂u
⋅
cosϕ
∂y ∂ρ
∂ϕ ρ
= ∂ 2u + 1 ⋅ ∂ 2u + 1 ⋅ ∂ 2u + 2 ⋅ ∂u + 1 ctgθ ∂u
∂r 2 r 2 ∂θ 2 r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 r ∂r r 2
∂θ
即
∆u
=
1 r2
⋅ ∂ (r 2 ∂r
∂u ) + ∂r
1 r 2 sinθ
⋅∂ ∂θ
(sinθ
∂u ) + ∂θ
1 r 2 sin 2 θ
(r)
=
c1
+
c2
In
1 r
(n = 2)
其中 c1, c2 为常数。
证：
u = f (r) , ∂u = f ' (r) ⋅ ∂r = f ' (r) ⋅ xi
∂xi
∂xi
r
即方程
∂ 2u = f " (r) ⋅ xi2 + f ' (r) ⋅ 1 − f ' (r) ⋅ xi2
∂xi2
r2
r
r3
In
1 r
2． 证明拉普拉斯算子在球面坐标 (r,θ ,ϕ ) 下，可以写成
∆u = 1 ⋅ ∂ (r 2 ∂u ) + 1 ⋅ ∂ (sinθ ∂u ) + 1 ⋅ ∂ 2u
r 2 ∂r ∂r r 2 sinθ ∂θ
∂θ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2
=0
证：球坐标 (r,θ ,ϕ ) 与直角坐标 (x, y, z) 的关系：
− 2sinϕ cosϕ ⋅ ∂u + cos2 ϕ ⋅ ∂u
ρ2
∂ϕ ρ ∂ρ
所以
∂ 2u + ∂ 2u = ∂ 2u + 1 ⋅ ∂ 2u + 1 ⋅ ∂u ∂x 2 ∂y 2 ∂ρ 2 ρ 2 ∂ϕ 2 ρ ∂ρ
（5）
Hale Waihona Puke ∂ 2u + ∂ 2u + ∂ 2u = ∂ 2u + ∂ 2u + 1 ⋅ ∂ 2u + 1 ⋅ ∂u ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂ρ 2 ∂z 2 ρ 2 ∂ϕ 2 ρ ∂ρ
f '(r)
r
所以
f ' (r) = A1r −(n−1)
若 n ≠ 2 ，积分得
f
(r)
=
−
A1 n+
2
r −n+2
+
c1
即 n ≠ 2 ，则
f
(r)
=
c1
+
c2 r n−2
若 n = 2 ，则
f ' (r) = A1 r
故
f (r) = c1 + A1Inr
即 n = 2 ，则
f
(r
)
=
c1
+
c2
利用上题结果知
∂2u ∂x 2
+
∂2u ∂y 2
=
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
+
1 r
∂u ∂r
= 1 ∂ (r ∂u ) + 1 ∂ 2u r ∂r ∂r r 2 ∂θ 2
所以
40
∆u
=
1 r
∂ ∂r
(r
∂u ) + ∂r
1 r2
∂2u ∂θ 2
+
∂2u ∂z 2
4. 证明下列函数都是调和函数
再微分一次，并利用以上关系，得
（3） （4）
39
∂ 2u = ∂ ( ∂u cosϕ − ∂u ⋅ sinϕ )
∂x2 ∂x ∂ρ
∂ϕ ρ
= cosϕ ∂ ( ∂u cosϕ − ∂u ⋅ sinϕ ) −
∂ρ ∂ρ
∂ϕ ρ
sinϕ ⋅ ∂ ( ∂u cosϕ − ∂u ⋅ sinϕ )
ρ ∂ϕ ∂ρ
再用（3）式，变换 ∂ 2u + ∂ 2u 。这又可以直接利用（5）式，得 ∂ρ 2 ∂z 2
∂ 2u + ∂ 2u = ∂ 2u + 1 ⋅ ∂ 2u + 1 ⋅ ∂u ∂r 2 ∂z 2 ∂r 2 r 2 ∂θ 2 r ∂r
再利用（4）式，得
∂u = ∂u sinθ + ∂u ⋅ cosθ
∂r ∂r