《相似三角形的判定》两角定理。课件

A
F
D
B
E
C
A
1 2
A O
C
B
A
C
C
D E
B D
D O
A D E
B
B
C
A
B
C
综合提高
如图, ⊿ABC中,CD是边AB上的高, 且AD:CD=CD:BD, 求∠C的大小.
C
A
D
B
A
D
B
C
4、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 18 若 AB=6 AD=2 则AC= BD= BC= 4 √2 12√2
5、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=90 ， BD⊥AC于D
0
问：若E是BC中点，ED的延 长线交BA的延长线于F， 求证：AB : AC=DF : BF
三角形相似的定义；二是“平行”定理；三是“三边”定理； 四是上节课学习的“两边夹角”定理。
为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？ （把小的三角形移动到大的三角形上）。 怎样实现移动呢?
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/， 连结DE。 ∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/ ∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/（SAS） ∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。 D A A/
（1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500， ∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？ / A A/ A A 550
550 750 500
750 C B/ C/ B A C B/ A/ C/
B
（ 2 ） 已 知 等 腰 三 角 形 ΔABC 和 ΔA/B/C/中，∠ A、∠ A/分别是顶角， 求 证 ： ① 如 果 ∠ A=∠A/ ， 那 么 ΔABC∽ΔA/B/C/。 ② 如 果 ∠ B=∠B/ ， 那 么 ΔABC∽ΔA/B/C/。 B
应用新知：
4、判断题：
想一想
(1)所有的直角三角形都相似 .
(× )
(2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.(√ )
(3)所有的等边三角形都相似.
(4)所有的等腰直角三角形都相似.
(√ )
(√ )
(5)顶角相等的两个等腰三角形相似.
(6)有一个角相等的两个等腰三角形相似.
(√ )
(× )
填一填
A
E
C
• P48 练习 1、2
C
A
D
B
例2：如图，弦AB和CD相交于圆O内一点
P，求证：PA·PB=PC·PD
证明：连接AC、BD。 ∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角， ∴∠ A=∠D。 A 同理∠C=∠B （或∠APC＝∠DPB） 。 ∴△PAC∽△PDB。 O· ∴
D P B
PA PC PD PB
（1）如图3，点D在AB上，当∠ ACD ＝∠ B 时， △ACD∽△ABC。 (或者∠ ACB＝∠ ADB) （2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足 条件 DE//BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似。 (或者∠ C＝∠ ADE)
A D D B 图 3 C B 图 4 D
●
(或者∠ B＝∠ ADE)
C
即PA·PB=PC·PD
例2.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA· PB=PC· PD 证明:连接AD、BC
⌒ ∵∠A、∠C都是BD所对的圆周角
∴ ∠A=∠C 同理: ∠D=∠B（或∠APD＝∠CPB） ∴△PAD∽△PCB
A
D
O
C
P B
PA PD PC PB
即PA· PB=PC· PD
E C B/ C/
∴ ΔA/B果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
----“两角”定理
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800，
∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF A
27.2
三角形相似的判定（3）
复习
1、相似三角形有哪些判定方法? （１）．定义法（不常用）
B
A
A/
C
B/
C/
（２）．“平行”定理：平行于三角形一边
的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似。
（３）．“三边”定理：三边对应的比相等， 两个三角形相似. （４）．“两边夹角”定理：两组对应边的比相 等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似. 2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？
BC AB AC , , A'B' A'C' B'C'
A A/
,你有什么发现?
(3)△ABC和△ A’B’C’ 相似吗? B
C
B/
C/
已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
A A , B B
/
/
A
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
A/
分析:要证两个三角形相似， 目前只有四个途径。一是 B C B/ C/
例3.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点， 若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °求证： AD· AB= AE· AC
解： 在△ADE中，ADE=180 A AED 180 35 60 =85
A D
35° 85° 60°
ADE ACB 85
D
B
C
A E D B C
练一练
3.如图已知D、E分别是△ABC的边AB、AC 上的点，且 AD AB＝AE AC 。 证明： AED＝B
A D
A
D C B C
E
B
3.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
观察
观察两副三角尺，其中同样角度（30° 与60°，或45°与45°）的两个三角尺,它们 一定相似吗？
如果两个三角形有两组角对应相等， 它们一定相似吗？
(1)作△ABC和△ A’B’C’,使得∠A＝∠A’,
∠B＝∠B’，这时它们的第三个角满足∠C＝ ∠C’吗? (2)分别度量这两个三角形的边长,计算
C
B/
C/
例题分析
例2. 如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB， 试说明△ADE∽△EFC.
B D
A
E
F
C
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知），
∴ ∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等） ∠AED＝∠C. （两直线平行，同位角相等） ∴ △ADE∽△EFC. （两个角分别对应相等的 两个三角形相似．）
又 A A=35
85°
E C
B
△ADE
AD AE AC AB
△ACB
即AD AB=AE AC
例4、在四边形ABCD中，AC平分∠DAB， ∠ACD=∠ABC。求证：AC2=AB· AD
证明： AC平分DAB
BAC＝CAD
又 ACD＝ABC
A
D
△ACD △ABC
B
应用新知：
选一选
3.从下面这些三角形中，选出一组你喜欢的相 似的三角形证明.
5 30 45 1 105 30 4 2 30 9 2 105 45 5 2.5 6 30 4.5 4 3 30
（1）与（4）与（5）----“两角”定理 （2）与（6）--“两边夹角”定理
400
D
800
600
800 C
600
B
E
F
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=400，∠B=800， ∴ ∠C=1800－∠A －∠B =1800－400 －800 ＝600 ∵ 在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600 ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F ∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。
2、课堂练习
C
AC AD ＝ AB AC AC AC＝AB AD
即AC ＝AB AD
2
练一练
• 1、在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥BA 于点D。证明：AC2＝AD· AB
C
B
D
A
练一练
• 2、已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD ＝90°，对角线BD⊥DC。 • 证明：BD2＝AD· BC