解析几何圆问题的几何处理办法 (1)

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九年级数学圆几何题小妙招

九年级数学圆几何题小妙招一、了解圆的基本概念在解决九年级数学圆几何题时，首先要掌握圆的基本概念，包括圆心、半径、直径、弦、弧、切线等。

这些基本概念是解决圆几何题的基础，只有熟练掌握这些概念，才能更好地分析问题和解决问题。

二、善于运用性质定理圆的性质定理是解决圆几何题的重要工具，包括弦长定理、切割线定理、相交弦定理、同弧所对的圆周角相等等。

在解题过程中，要善于运用这些定理，将复杂的问题转化为简单的问题，从而提高解题效率。

三、明确题目要求在解决九年级数学圆几何题时，要明确题目的要求，包括求解什么、已知什么条件等。

只有明确了题目要求，才能有针对性地进行分析和解答。

同时，要注意审题，避免因为看错题目而出现错误。

四、画图辅助解题在解决九年级数学圆几何题时，画图是一种非常有效的解题方法。

通过画图，可以将抽象的问题具体化，从而更好地分析问题和解决问题。

画图时要尽量准确，遵循题目的条件，不要随意添加或减少条件。

五、分类讨论在解决九年级数学圆几何题时，有时候需要对问题进行分类讨论。

例如，当涉及到弦与直径的关系时，可以分为弦是直径的情况和非直径的情况；当涉及到圆周角与圆心角的关系时，可以分为圆周角等于圆心角的情况、圆周角大于圆心角的情况和圆周角小于圆心角的情况等。

通过分类讨论，可以更好地解决问题。

六、利用对称性在解决九年级数学圆几何题时，可以利用对称性简化问题。

例如，当涉及到两个圆的位置关系时，可以考虑将其中一个圆关于另一个圆的直径进行对称，从而将问题转化为求解一个圆上的几何问题；当涉及到多个圆的位置关系时，可以考虑将多个圆进行适当的旋转和平移，使得问题变得简单。

七、利用代数方法在解决九年级数学圆几何题时，有时候可以利用代数方法简化问题。

例如，当涉及到弦长和半径的关系时，可以利用勾股定理求解；当涉及到弧长和半径的关系时，可以利用弧长公式求解；当涉及到角度和弧度的关系时，可以利用角度制和弧度制的转换公式求解等。

通过代数方法，可以更快地解决问题。

高考数学考点归纳之解析几何计算处理技巧

高考数学考点归纳之解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．考点一回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. [答案] D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A＝|BF |－p2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.答案：22考点二设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；①“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ，由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c，整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22. 答案：22考点三巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[解题观摩] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1，消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3. 法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)，则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ. |AP |＝|OA |⇔A Q ⊥OP ⇔k A Q ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k A Q ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak A Q cos θ＝2ak A Q . 从而可得|2ak A Q |≤ b 2＋a 2k 2A Q ＜a1＋k 2A Q ，解得|k A Q |＜33，故|k |＝1|k A Q |＞ 3. [关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点训练]设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0，则有Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ，那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ，可得线段AB 的中点M (2t 2＋m,2t )，而由题意可得直线AB 与直线MC 垂直，即k MC ·k AB ＝－1，可得2t －02t 2＋m －5·1t ＝－1，整理得m ＝3－2t 2(当t ≠0时)，把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0，可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3，又由于圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4. 故r 的取值范围为(2,4)．考点四数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．[典例] 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．[解题观摩] 设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|，则△APF 的周长为|P A |＋|PF |＋|AF |＝|P A |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ，由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小，则|P A |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线，由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得 y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26，所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6. [答案] 126 [关键点拨]要求①APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4 B.5 C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.考点五妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩] 把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，而F (c,0)，则FB ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC ＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2，又∠BFC ＝90°，故有FB ·FC ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2·⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.[答案]63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练] 设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为( )A ．90° B.60° C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x 0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4.∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°. 考点六巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题观摩] (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，同理可得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227，所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.[课时跟踪检测]1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．25D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2，所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．故直线OM 的斜率的最大值为22. 3．(2019·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5 B.4 C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3] B.[3，＋∞) C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5 B.4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆上一点A (0,1)作直线l 交椭圆于另一点B ，P 为线段AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在且不为零，则k AB k OP ＝________.解析：法一：(特殊值法)取B ⎝⎛⎭⎫1，32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋34，则k AB ＝3－22，k OP ＝2＋32，故k AB ·k OP ＝3－22×2＋32＝－14. 法二：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0，得x B ＝－8k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2.则P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 2，11＋4k 2，∴k AB ＝k ，k OP ＝－14k ，∴k AB ·k OP ＝－14.法三：(点差法)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 2A4＋y 2A ＝1，x2B4＋y 2B＝1，两式相减得x 2A －x 2B 4＋y 2A －y 2B ＝0，化简得y A ＋y B x A ＋x B ·y A －y B x A －x B ＝－14，即y A －y B x A －x B ·y 0x 0＝－14，∴k AB ·k OP ＝－14.答案：－147．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)，则B (－cos θ，－sin θ)，∴P A ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴P A ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2)＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ＝2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，P A ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q (x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b 218－b 2＝1，解得b2＝638，∴c 2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，上顶点为B .设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：由题意知，A (2,0)，B (0,1)，设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN ||BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. 若以CD 为直径的圆过E 点，则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0，解得k ＝76，满足k 2＞1，所以k ＝76.。

老高考适用2023版高考数学二轮总复习第2篇经典专题突破核心素养提升专题5解析几何第1讲直线与圆课件

F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
所以圆的方程为 x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0Байду номын сангаас 解得D＝－83，
因为 OP⊥OQ，故 1＋ 2p×(－ 2p)＝0⇒p＝12，抛物线 C 的方程为：y2＝x，因为⊙M 与 l 相切，故其半径为 1，故⊙M：(x－2)2＋y2＝1．
(2)设 A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
当 A1，A2，A3 其中某一个为坐标原点时(假设 A1 为坐标原点时)，
A2＋B2
3．两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B 不
同时为零)间的距离
d＝
|C1－C2| ． A2＋B2
典例1 (1)(2022·辽宁高三二模)若两直线l1：(a－1)x－3y－2＝0
与l2：x－(a＋1)y＋2＝0平行，则a的值为
(A )
A．±2
B．2
C．－2
y0＝－x0＋5，设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则x0＋12＝y0－x20＋12＋16. 解得xy00＝＝32，或xy00＝＝1－1，6. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144．
6．(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．

解圆的技巧

解圆的技巧圆是几何学中最基本的图形之一，其特点是任意一点到圆心的距离都相等。

解圆问题在几何学中非常常见，掌握解圆的技巧对于解决与圆相关的问题至关重要。

本文将介绍几种解圆的常用技巧。

一、圆的基本性质在解圆问题之前，我们首先要了解圆的一些基本性质。

圆由圆心和半径组成，圆心用字母O表示，半径用字母r表示。

圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍。

圆的周长是圆上所有点到圆心的距离之和，用字母C表示，公式为C=2πr，其中π是一个常数，约等于3.14。

圆的面积是圆上所有点到圆心的距离的平均值，用字母A表示，公式为A=πr²。

二、圆的切线圆的切线是与圆只有一个交点的直线。

解圆问题中经常需要求切线的长度或角度。

求解圆的切线可以通过以下几种方法：1. 利用勾股定理：设圆心为O，切点为A，切线上的一点为B。

已知圆的半径r和圆心到切线的距离d，可以通过勾股定理求得切线AB的长度。

根据勾股定理，有r² = d² + AB²，解得AB = √(r² - d²)。

2. 利用相似三角形：设圆心为O，切点为A，切线上的一点为B。

已知圆的半径r和切线与半径的夹角θ，可以通过相似三角形求得切线AB的长度。

根据相似三角形的性质，有AB/r = r/OA，解得AB = r²/OA。

3. 利用切线的性质：设圆心为O，切点为A，切线上的一点为B。

已知圆的半径r和切线与半径的夹角θ，可以通过切线的性质求得切线AB的长度。

根据切线的性质，切线与半径的夹角等于切线与圆的切点连线的夹角，即θ = ∠OAB。

根据正弦定理，有AB/sinθ = OA/sin(π/2 - θ)，解得AB = r*cosθ。

三、圆的相交与相切解圆问题中常常需要求两个圆的交点或切点的坐标。

求解圆的相交与相切可以通过以下几种方法：1. 利用勾股定理：设两个圆的圆心分别为O₁和O₂，半径分别为r₁和r₂。

高考专题复习解析几何中与圆相关的综合问题(含解析)

专题解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22++=，点(2,0):(2)32C x yD，点P是圆C上任意一点，线段PD的垂直平分线交线段CP于点Q．（1）求点Q的轨迹方程．（2）设点(0,2)A，M，N是Q的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN为直径的圆过点A．求证直线MN过定点，并求出该定点的坐标．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-．（Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域；（2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my =+与圆22(1)(1)4x y -+-=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）当1m =时，求||AB ；（2）是否存在实数m ，使得OA OB ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．专题15 解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22:(2)32C x y ++=，点(2,0)D ，点P 是圆C 上任意一点，线段PD 的垂直平分线交线段CP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹方程．（2）设点(0,2)A ，M ，N 是Q 的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN 为直径的圆过点A ．求证直线MN 过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a ，b 即可．（2）当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得t 的值，则直线过直线MN 恒过点2(0,)3-．【解答】解：（1）点Q 在线段PD 的垂直平分线上，||||PQ PD ∴=．又||||||CP CQ QP =+=，||||||4CQ QD CD ∴+=>=．Q ∴的轨迹是以坐标原点为中心，(2,0)C -和(2,0)D 为焦点，长轴长为的椭圆．设曲线的方程为222211x y a b+==，(0)a b >>．2c =，a =，2844b ∴=-=．∴点Q 的轨迹的方程为22184x y +=；（2）当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，当直线MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则2228y kx tx y =+⎧⎨+=⎩，整理得：222(12)4280k x ktx t +++-=， 122412ktx x k +=-+，21222812t x x k -=+，由AM AN ⊥，则0AM AN =，即221212(1)(2)()(2)0k x x k t x x t ++-++-=，则22222284(1)(2)()(2)01212t ktk k t t k k-+⨯+--+-=++，整理得：23440t t --=，解得：2t =（舍去）或23t =-，则直线MN 的方程23y kx =-，则直线MN 恒过点2(0,)3-，当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，综上可知：直线MN 过点2(0,)3-．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-．（Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用圆心距与两圆半径和与差的大小关系，即可判断圆1F 与圆2F 有公共点，再利用定义法得到P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆，从而求出公共点P 的轨迹E 的方程；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入2121212212122(1)()2()()x x m x x m k k k k x x m x x m-++++=-++，整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-，所以当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以12||2F F =，因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r -，又因为13r ，所以|4|2r r --，即12|4||||4|r r F F r r ---+，所以圆1F 与圆2F 有公共点，设两圆公共点为点P ，所以12||||44PF PF r r +=+-=，所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆，所以24a =，1c =，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，设1(M x ，2)y ，2(N x ，2)y ，联立方程22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+①，111y k x m =-，222y k x m=-， 22212121212211212122121212121212(1)(1)11(1)()(1)()2(1)()2()()()()()()()y y k x k x x x x x m x x m x x m x x m k k k k k k k k x m x m x m x m x m x m x m x m x x m x x m ------+---+++∴+=+=+=+==---------++，将①式代入整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-0m <，∴当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值，故存在实数2m =-，使得12()k k k +为定值1-．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域；（2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【分析】（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，由0AB >且0BC >求三角不等式得函数定义域；（2）利用导数求木栈道A B C --总长的最短长度．【解答】解：（1）过Q 分别向AO 和1l 作垂线，垂足为H ，M ，由题意可得，QOH θ∠=，20sin QH θ∴=，20cos OH θ=，则3020cos AH MQ θ==-．在直角三角形BMQ 中，3020cos tan tan QM BM θθθ-==． 3020cos 2030cos 20sin tan sin AB AM BM QH BM θθθθθ--∴=-=-=-=．又70sin BC θ=，702030cos 9030cos (0)sin sin sin 2L BC AB θθπθθθθ--∴=+=+=<<． 0AB >且0BC >，∴2cos 3sin 0θθ⎧<⎪⎨⎪>⎩，令02cos 3θ=，则0(,)2πθθ∈．∴定义域为0(,)2πθ；（2）由9030cos ()sin L θθθ-=，得213cos ()30L sin θθθ-'=，0(,)2πθθ∈．令()0L θ'=，得1cos 3θ=，1233<，∴当1cos 3θ=时，[()]min L θ= 故木栈道A B C --总长的最短长度为【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．【分析】（1）利用P 点轨迹以及3PQ MQ =，表示出M 的轨迹方程即可；（2）设出过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用弦长公式求得||AB ，再由点到直线的距离公式求得O 到AB 所在直线的距离，代入三角形面积公式，利用换元法求得OAB ∆的面积最大时的m 值，则直线l 的方程可求【解答】解：（1）设(,)P x y ，则(,0)Q x ，0(M x ，0)y 且0x x =又根据3PQ MQ =．可得(0，00)))y y y -=-=-，则0y =，所以2200)6x +=，整理可得M 的轨迹方程为2236x y +=；（2）设过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+，联立整理得22(3)420m y my ++-=，所以12243m y y m +=-+，1212223233y y y y m m ==-++，则2226||3m ABm ⨯==+，点O 到直线的距离d =，所以111||26222AOBS AB d ∆===⨯，212m+=时取“=”，此时1m=±，故直线方程为2x y=+或2x y=-+．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my=+与圆22(1)(1)4x y-+-=相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当1m=时，求||AB；（2）是否存在实数m，使得OA OB⊥，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用垂径定理直接求解即可；（2）假设存在满足条件的实数m，根据已知条件建立关于m的方程，由方程解的情况即可得出结论．【解答】解：圆22(1)(1)4x y-+-=的圆心为(1,1)，半径为2，（1）当1m=时，直线1x y=+即为10x y--=，圆心(1,1)到直线10x y--=的距离为d==∴||AB=（2）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，由221(1)(1)4x myx y=+⎧⎨-+-=⎩可得22(1)230m y y+--=，且△0>恒成立，12122223,11y y y ym m-+==++，∴212122221(1)(1)1m mx x my mym-++=++=+，若存在实数m，使得OA OB⊥，则1212OA OB x x y y=+=，即222221m mm-+-=+，亦即210m m-+=，无解，故不存在实数m，使得OA OB⊥．专题强化1．（2020•全国Ⅰ卷模拟）动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4．（1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设(,)P x y ，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ==，PG =PA ==24(0)y x x =≠；（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ，设其方程为11(0)x t y a t =+≠，联立124x t y ay x =+⎧⎨=⎩，利用根与系数关系表示出2QS ，2QT ，进而表示出2211||||QS QT +即可．【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，当P 点不在y 轴上时，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点， 122GB GH ∴==，PG ∴=，又(PA =24(0)y x x =≠；当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =，（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ，根据题意可知直线l '的斜率必不为0，设其方程为11(0)x t y a t =+≠，联立124x t y a y x =+⎧⎨=⎩，整理可得21440y t y a --=，1214y y t ∴+=-，124y y a =-，222212112112121()24216x x t y y a t ax x y y a ∴+=++=+==， 222222111111()()4(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222222222()()4(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222221122121212(42)(42)()(42)()22QS QT x a x a x a x a x x a x x x x a ∴+=+-+++-+=++-+-+22212121211()(42)22(42)(44)x x x x a x x a t a t =+++--+=+++， 22222116(1)QS QT a t =+，则22212222221211||||2(1)t a QS QT QS QT QS QT a t +++==+，当2a =时，上式14=与1t 无关为定值，所以存在(2,0)Q 使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值14． 2．（2019秋•武汉期末）已知圆22:()(1)13()C x a y a R -+-=∈，点(3,3)P 在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为（1）求实数a 的值；（2）若点M 为圆外的动点，过点M 向圆C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程．【分析】（1）直接利用点和圆的位置关系的应用求出a 的值．（2）利用圆的切线和圆的位置关系式的应用求出圆的方程．【解答】解：（1）由圆22:()(1)13()C x ay a R -+-=∈，得到圆心坐标为(,0)a ，点(3,3)P 在圆内，解得06a <<，由圆的弦的性质可知，点P与圆心的连线与弦垂直，即点P为弦的中点时，过点P 的弦长最短．在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为，解得2a =或4，（符合06)a <<．（2）由（1）可知，2a =或4a =时，因为过点M 向圆C 作的两条切线总互相垂直，所以，点M 的轨迹为(,1)a所以点M 的轨迹方程为22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=．3．（2019•全国）已知点1(2,0)A -，2(2,0)A ，动点P 满足1PA 与2PA 的斜率之积等于14-，记P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设过坐标原点的直线l 与C 交于M ，N 两点，且四边形12MA NA 的面积为l 的方程．【分析】（1）设(,)P x y ，运用直线的斜率公式，化简运算可得所求轨迹方程；（2）设直线l 方程为y kx =，代入C 的方程，求得交点，再由四边形的面积公式，解方程可得斜率k ，进而得到所求方程．【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意可得121224PA PA y y k k x x ==-+-，化为221(2)4x y x +=≠±，可得C 的方程为221(2)4x y x +=≠±；（2）当直线l 的斜率不存在，即直线方程为0x =，可得四边形12MA NA 的面积为14242⨯⨯=，不符题意，舍去；设直线l 方程为y kx =，代入方程2214x y +=，可得22414x k=+，222414k y k =+，由M ，N 关于原点对称，可得四边形12MA NA 的面积为2122114||||24222214M N k y y A A k -==+，解得12k =±，即有直线l 的方程为12y x =±．4．（2019•新课标Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由．【分析】（1）由条件知点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设圆的方程为M 的方程为222()()(0)x a y a R R -+-=>，然后根据圆与直线20x +=相切和圆心到直线0x y +=的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；（2）设M 的坐标为(,)x y ，然后根据条件的到圆心M 的轨迹方程为24y x =，然后根据抛物线的定义即可得到定点．【解答】解：M 过点A ，B 且A 在直线0x y +=上，∴点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设M 的方程为：222()()(0)x a y a R R -+-=>，则圆心(,)M a a 到直线0x y +=的距离d =又||4AB =，∴在Rt OMB ∆中， 2221(||)2d AB R +=，即224R +=①又M 与2x =-相切，|2|a R ∴+=② 由①②解得02a R =⎧⎨=⎩或46a R =⎧⎨=⎩，M ∴的半径为2或6；（2）线段AB 为M 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上，设点M 的坐标为(,)x y ，则222||||||OM OA MA +=，M 与直线20x +=相切，|||2|MA x ∴=+， 22222|2|||||4x OM OA x y ∴+=+=++， 24y x ∴=，M ∴的轨迹是以(1,0)F 为焦点1x =-为准线的抛物线，|||||2|||MA MP x MP ∴-=+- |1|||1||||1x MP MF MP =+-+=-+，∴当||||MA MP -为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为(1,0)，∴存在定点(1,0)P 使得当A 运动时，||||MA MP -为定值．5．（2020•4月份模拟）已知点P 在圆22:9O x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ =．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设(3,0)G -，(3,0)H ，过点(1,0)F 的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点．问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．【分析】（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)，则由432PQ MQ =，得0x x =，0y y ，代入圆22:9O x y +=，可得动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线AG 与BH 的斜率之比为定值12．【解答】解：（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)，则由432PQ MQ =，得4(0，00)y x x -=-，)y -， 0x x ∴=，0y y ，代入圆22:9O x y +=，可得22198x y +=．∴动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=；（2）直线AG 与BH 的斜率之比为定值12．证明如下：设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．联立221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=．则1221689m y y m -+=+，1226489y y m -=+． 12124()my y y y ∴=+，则121212112121223(2)23(4)4AG BH k y x y my my y y k x y my y my y y ---===+++ 12112122124()22414()4482y y y y y y y y y y +-+===+++．6．（2020•东莞市模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1N x y -+=，圆心(1,0)N ，点E 在直线1x =-上，点P 满足//PE ON ，NP NE EP EN =，点P 的轨迹为曲线M ．（1）求曲线M 的方程．（2）过点N 的直线l 分别交M 和圆N 于点A 、B 、C 、D （自上而下），若||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，求直线l 的方程．【分析】（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -，求出向量的坐标代入NP NE EP EN =，化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，对直线l 的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，||46AB =≠，不符合题意，当斜率存在时，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可求得k 的值，从而得到直线l 的方程．【解答】解：（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -，则(1,)NP x y =-，(2,)NE y =-，(1,0)EP x =+，(2,)EN y =-，由NP NE EP EN =，得(1x -，)(2y -，)(1y x =+，0)(2，)y -，即22222x y x -++=+，化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得||||2||4AC DB CD +==，所以弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，①当斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =，交点(1,2)A ，(1,2)B -，此时||46AB =≠，不符合题意， ②当斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，∴12242x x k +=+，121x x =，显然△216(1)0k =+>恒成立，由抛物线的定义可知，12||26AB x x =++=，∴2446k +=，解得：k = ∴直线l的方程为1)y x =-．7．（2020•福建二模）已知(1,0)F ，点P 在第一象限，以PF 为直径的圆与y 轴相切，动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 在点P 处的切线的斜率为1k ，直线PF 的斜率为2k ，求满足123k k +=的点P 的个数．【分析】（1）设(,)P x y ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y ，由以PF 为直径的圆与y 轴相切得11||22x PF +=，化简即可得到曲线C 的方程；（2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，利用导数的几何意义得到102k y =，022044y k y =-，由123k k +=，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，利用导数得到函数()f x 在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，即满足123k k +=的点P 的个数为2个．【解答】解：（1）设(,)P x y ，0x >，0y >，又(1,0)F ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y，因为以PF 为直径的圆与y 轴相切，所以11||22x PF +=，即12x +，整理得C 的方程为：24(0)y x y =>，（2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，设20(4y P ，00)(0)y y >，则102k y ==，002220004414y y k y y -==--，由123k k +=，即02004234y y y +=-，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，由2()912120f x x x '=--=得，23x =-，或2x =，因为当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，又(0)80f=>，f（2）160=-<，f（4）560=>，()f x的图象连续不断，所以()f x在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足123k k+=的点P的个数为2个．。

数学几何圆题答题技巧

数学几何圆题答题技巧圆题是数学几何中的一部分，主要涉及到圆的性质、定理及应用。

掌握圆题的解题技巧不仅有助于提高数学成绩，也有益于培养解决实际问题的思维能力。

下面，本文将从如何理解圆及圆的基本要素、圆的基本定理与性质以及圆题的解题技巧三个方面进行详细阐述。

一、如何理解圆及圆的基本要素圆是平面上一组点的集合，这些点与一个固定点之间的距离均相等，这个点称为圆心，距离称为半径。

圆有很多种表述方式，其中最常用的是：已知圆心坐标和半径长度的圆方程，以及一般最常见的圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²(公式中a，b为圆心坐标，r为半径长度)。

二、圆的基本定理与性质圆的基本定理与性质有很多，其中比较重要的有以下几个：1.圆的对称性。

对于圆上的任意一点，在圆心的垂线中点处作一个垂直于半径的直线，会将圆分成两个对称的部分。

2.圆上的任意三点不共线。

对于圆上的任意三个点A、B、C，它们一定不共线。

反之，若三个点共线，则它们不可能在同一圆上。

3.圆的切线性质。

切线与圆的交点与圆心连线垂直于切线。

4.圆的内外切线。

如果两个圆的圆心连线长度等于它们的半径之和，则这两个圆外切；如果圆心连线长度等于它们的半径之差，则这两个圆内切。

5.相切圆的切点连线。

如果有两个相切的圆A、B，那么它们相切点的连线BC必须垂直于勾股中的直角边AB。

6.正多边形的外接圆和内切圆。

对于正n边形，它的外接圆圆心坐标和半径的公式为(x,y)=(0,0)、r=L/2sin(π/n)，其中L为边长；它的内切圆圆心坐标和半径的公式为(x,y)=(0,0)、r=L/2tan(π/n)。

三、圆题的解题技巧圆题的解题技巧涵盖了圆的基本定理与性质的运用及计算技巧，下面将重点介绍一下圆题的解题技巧：1.认真读题，理解问题。

圆题解题最重要的第一步就是认真阅读题目，理解题目所给情境及所求结果。

2.根据已知条件确定几何关系。

根据题目给出的半径、弦、切线、线段等量的长度、相互之间的夹角关系来判断出所求的几何关系。

第46讲解析几何中的四点共圆问题(解析版)

第46讲解析几何中的四点共圆问题一、单选题1．（2020·全国全国·模拟预测）已知1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左右焦点，点P 为双曲线右支上一点，直线1PF 交y 轴于点Q ，且点O ，Q ，P ，2F 四点共圆（其中O 为坐标原点），若射线2F Q 是21PF F ∠的角平分线，则双曲线的离心率为（） A 21 B 31C ．2D 5【答案】B 【分析】由O ，Q ，P ，2F 四点共圆得到222QPF QOF π∠∠==，结合射线2F Q 是21PF F ∠的角平分线以及双曲线的性质求得212126PF F QF F Q PF π∠=∠=∠=，由此求得12,PF PF ，结合双曲线的定义求得双曲线的离心率. 【详解】因为点O ，Q ，P ，2F 四点共圆，所以222QPF QOF π∠∠==．因为射线2F Q 是21PF F ∠的角平分线，所以221PF Q QF F ∠=∠，由双曲线的对称性知1221PF F QF F ∠=∠，所以212126PF F QF F Q PF π∠=∠=∠=，122F F c =，因此2PF c =，13PF c ，从而1223=-=-a PF PF c c ，因此离心率3131c e a ===-. 故选：B2．（2020·河北·张家口市宣化第一中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上下顶点分别为,A B ，右顶点为C ，右焦点为F ，延长BF 与AC 交于点P ，若,,,O F P A 四点共圆，则该椭圆的离心率为（） A ．212B 31- C 51- D 52- 【答案】C【分析】由,,,O F P A 四点共圆，可得AC BF ⊥，即1AC BF k k ⋅=-，列等式即可求解. 【详解】如图，()0,A b ，()0,B b -，(),0C a ，(),0F c ，因为,,,O F P A 四点共圆，2AOC π∠=,所以2APF π∠=，所以AC BF ⊥，即1AC BF k k ⋅=-，()00100b b ac ---⋅=---，整理可得2b ac =，所以22a c ac -=，210e e +-=，解得15e -±= 因为01e <<，所以51e -= 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.二、多选题3．（2021·山东菏泽·二模）已知1F ，2F 为双曲线C ：x 2–24y=1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（） A ．F 1，F 2，P ，I 四点共圆 B ．△PQF 1的内切圆半径为1 C ．I 为线段OQ 的三等分点 D ．PF 1与其中一条渐近线垂直【答案】ABD 【分析】根据双曲线的定义可得1||4PF =，2||2PF =，由双曲线的对称性可判断A ；由双曲线的定义可判断B ；根据122Rt Rt F PF QOF ∽可判断C 、D. 【详解】解析：由勾股定理及双曲线的定义可得：1||4PF =，2||2PF = 对于A ：易知I 在y 轴上，由对称性可得112GF I EF I IF Q ∠=∠=∠，则1290F IF ∠=︒，可知1F ，2F ，P ，I 四点共于以12F F 为直径的圆上；A 正确对于B ：11||||||2PF PQ FQ r +-=1212||||||||||122PF PQ F Q PF PF a +--====，正确对于C ：121222||||Rt Rt ||252||||||F P PF F PF QOF QO OI QO OF ⇒=⇒==∽△△，故I 为QO 中点，C 错误．D 显然正确．故选：ABD4．（2021·江苏海安·模拟预测）已知双曲线22145x y -=，)(00,P x y 为双曲线上一点，过P 点的切线为l ，双曲线的左右焦点1F ，2F 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则（） A ．125d d =B ．直线l 与双曲线渐近线的交点为M ，N ，则M ，N ，1F ，2F 四点共圆C ．该双曲线的共轭双曲线的方程为22145y x -=D ．过2F 的弦长为5的直线有且只有1条【答案】AB 【分析】对于A 中，求得切线l 的方程005420x x y y -=，结合点到直线的距离公式，可判定A 正确对于B 中，联立方程组，分别求得,M N 坐标，结合斜率公式，可判定B 正确，根据共轭双曲线的定义，可判定C 错误；结合实轴长和通经，可判定D 错误. 【详解】由题意，双曲线22145x y -=的焦点坐标为)(13,0F -，)(23,0F ，对于A 中，由双曲线的性质，可得切线l 的方程为00145x x y y-=，即005420x x y y -=，则)()()()()(22000012222222220025916259161520152052516255204251654x x x x d d x y x xx yx y -----====++-⋅++，所以A 正确对于B 中，联立方程组0054205x x y y y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得0000455252M x y x y ⎫--，又由0054205x x y y y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得0000455252N x y x y ⎫++， 1000000524545356352MF x y k x y x y -==+-+-2000000524545356352MF x y k x y x y -=-+--，)()())(00000012200000060524535645356tan 10018035614535645356x y x y x y F MF x y x y x y ---++-∠==--+-+，1000000524545356352NF x y k x y x y +==++++2000000524545356352NF x y k x y x y +==---+则()())(00000012200220060524535645356tan 100180********x y x y x y F NF x y x y ++++--∠==-++-+1212tan tan F MF F NF ∠+∠))())()()(2000000002200006052180356605218035618035618056x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤--+++--⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎦⎣=⎡⎡⎤⎤---+⎢⎢⎥⎥⎦⎦⎣⎣)()))(2200000000605218095252180952x y x y x y x y ⎧⎫⎡⎡⎪⎤⎤=--+++--⎨⎬⎢⎢⎥⎥⎦⎦⎣⎣⎪⎭⎩))))2200000000540522052522052x y x y x y x y ⎧⎫⎡⎡⎪⎤⎤=--+++--⎨⎬⎢⎢⎥⎥⎦⎦⎣⎣⎪⎭⎩)())()2222000000000000540205405452205405452x y x y x y x y x y x y ⎡⎤=---+++---⎥⎢⎦⎣))00000540405205220520x x y x y ⎡⎤=-+--=⎢⎥⎦⎣， ∴1222tan tan 0F MF F NF ∠+∠=，1222180F MF F NF ∠+∠=︒， ∴M ，N ，1F ，2F 四点共圆，B 正确.对于C 中，双曲线22145x y -=的共轭双曲线为22154y x -=，所以C 错误对于D 中，由双曲线22145x y -=，可得2,a b ==3c =，可得245a =<，且通经长225b a =，所以过2F 的弦长为5的直线有3条，所以D 错误.故选：AB. 【点睛】方法点拨：联立方程组，求得点M ⎫，N ⎫，结合斜率公式和倾斜角的定义，判定得到四点共面是解答的关键.三、双空题 5．（2021·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上不同的三点(1,2)A ，()11,B x y ，()22,C x y ，满足AB BC ⊥，120y y ≠，且O ，A ，B ，C 四点共圆，则直线BC 的方程是___________；四边形OABC 的面积为___________．【答案】224y x =-+ 90 【分析】结合AB BC ⊥，,,,O A B C 四点共圆，由1OA OC k k ⋅=-求得2y ，进而求得C 的坐标，由1AB BC k k ⋅=-求得1y ，进而求得B 点坐标.由,B C 的坐标求得直线BC 的方程.求得,,,OA OC AB BC ，由此求得四边形OABC 的面积. 【详解】依题意有π2AOC ABC ∠=∠=，则22222222814OA OC y y k k y x y ====-⋅，得22228,164y y x =-==，又有1112412AB y k x y -==-+， 1212121448BC y y k x x y y y -===-+-，所以1144128y y ⋅=-+-，解得16y =或10y =（舍），21194y x ==. 故可知(9,6)B ，(16,8)C -，则有直线BC 的方程为()8669169y x ---=--，即224y x =-+；易知OAOC =AB =BC =所以1()902OABC S OA OC AB BC =⨯+⨯=四边形．故答案为：224y x =-+；90四、填空题6．（2021·广西·模拟预测（理））过)F作与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于A 、B 两点，若OAFB 四点共圆（为坐标原点），则双曲线的离心率为______．【分析】联立OA 直线、与FA 直线，求出A 点的坐标，联立OB 直线、与FB 直线，求出B 点的坐标，观察坐标可知，四边形OAFB 为菱形，其外接圆圆心在AB 、OF 的交点处，再结合OA OB ⋅的数量积为0，即可求解．【详解】解：由题意可得(),0F c ， ∵直线OA 、OB 都平行于渐近线， ∴可设直线OA 的方程为b y x a =，直线OB 的方程为by x a=-， ∴过点F 平行与OA 的直线FB 的方程为()by x c a=-，过点F 平行与OB 的直线FA 的方程为()by x c a=--，分别联立方程()b y x ab y xc a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，()b y x a b y x c a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即线段AB 与OF 互相垂直平分，则四边形OAFB 为菱形，其外接圆圆心在AB 、OF 的交点处， ∴OA AF ⊥，则2222044c b c OA AF a ⋅⋅=-=即a b =，∵22222c a b a =+=，c =，∴双曲线的离心率c e a ===7．（2021·浙江·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:24l x y +=与x 轴交于A 点，直线:10m kx y +-=与y 轴及直线l 分别交于B 点，C 点，且A ，B ，C ，O 四点共圆，则此圆的标准方程是__________.【答案】22117(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】由题意得AB 为直径，且直线l 与m 垂直故2k =-，得(0,1)B 所以圆心与半径可求，则圆方程易得. 【详解】由题意A ，B ，C ，O 四点共圆且OA OB ⊥，所以⊥CB CA ，则直线l 与m 垂直故2k =-，又(0,1)B ，()4,0A此圆的圆心为1(2,)2，半径为12r AB =17，所以圆的标准方程为22117(2)()24x y -+-=.故答案为：22117(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭五、解答题8．（2021·浙江省东阳市第二高级中学高二期中）已知椭圆()22221x y a b a b +=>>的焦距为2，O 为坐标原点，F 为右焦点，点31,2E ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 的方程为4x =，AB 是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M 为弦的中点，直线MO 交l 于点P ，过点O 与AB 平行的直线交/于点Q ，直线PF 交直线OQ 于点R ，直线QF 交直线MO 于点S ．①证明：O ，S ，F ，R 四点共圆；②记△QRF 的面积为1S ，△QSO 的面积为2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）22143x y += （2）①证明见解析，②9,116⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）设椭圆的左焦点为F '，利用2a EF EF '=+求解即可；（2）①设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，直线AB 的斜率为k ，由点差法可得直线MO 的斜率为34k-，然后根据斜率可证明PR OQ ⊥、QS OP ⊥，即可得证； ②由①可知：~QRF QSO ，所以2122RF S S SO =，然后可算出2221k RF k =+，22216916k SO k =+，然后()22122229161716161161RF S k S k k SO +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，即可求得答案. （1）设椭圆的左焦点为F '，由题意可知()1,0F '-，()1,0F 根据定义，可求得24a EF EF '=+=，∴2a =，∴b =∴椭圆的标准方程为22143x y +=（2）①设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，直线AB 的斜率为k ，则有22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得：22221212043x x y y --+= 两边同除12x x -，可得：00043x y k +⋅=，即0034y k x ⋅=-，所以直线MO 的斜率为34k -，MO 的方程为3 4y x k=-所以34,P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线PF 的斜率为1k -，因为11k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，所以PR OQ ⊥由//OQ AB 可求得()4,4Q k ，所以直线QF 的斜率为43k ，因为34143kk ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭，所以QS OP ⊥ 综上，O ，S ，F ，R 四点共圆，OF 为圆的一条直径. ②由①可知：~QRF QSO ，所以2122RFS S SO=，由于直线PF 的方程为10x ky +-=，直线OP 的方程为340x y +=，由垂径定理可知，222221421k RF k ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=⋅-= ⎪⎢⎥+⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，22222311642916k SO k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎛⎫⎢⎥=⋅-= ⎪+⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又因为0k ≠，所以()221222291617916,116116161RF S k S k k SO+⎛⎫⎛⎫===-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，综上，12S S 的取值范围为9,116⎛⎫⎪⎝⎭. 9．（2021·吉林·梅河口市第五中学高二月考）已知双曲线C ：2222x y -=与点()1,2P ．（1）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．【答案】（1）存在；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用点差法求解；（2）利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆. 【详解】解：（1）双曲线的标准方程为2212y x -=，21a ∴=，22b =．设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，设()11,A x y ，()22,B x y ，221112-=y x ，222212-=y x 两式相减得2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+，即2221AB b k a⋅=得：22k ⋅=，1k ∴=． ∴存在这样的弦．这时直线l 的方程为1y x =+．（2）设CD 直线方程为0x y m ++=，则点()1,2P 在直线CD 上．则3m =-，直线CD 的方程为30x y +-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，CD 的中点为()00,Q x y ，223312y x -=，224412y x -=两式相减得2020CD y b k x a⋅=，则0012y x -⋅=，则002y x =-又因为()00,Q x y 在直线CD 上有0030x y +-=，解得()3,6Q -，221022x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得()1,0A -，()3,4B ， 223022x y x y +-=⎧⎨-=⎩，整理得26110x x +-=，则3434611x x x x +=-⎧⎨⋅=-⎩则34CD x =-=由距离公式得QA QB QC QD ====所以A 、B 、C 、D 四点共圆．10．（2021·福建福州·模拟预测）已知斜率为k 的直线交椭圆223(0)x y λλ+=>于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点，点()01,N y 是线段AB 的中点．（1）若03y =，求直线AB 的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，求0y 的取值范围．【答案】（1）4y x =-+，12λ>；（2）{}3,3-；【分析】（1）当03y =时，写出直线AB 方程，联立韦达定理，根据点()01,N y 的横坐标求出直线AB 的斜率，进而写出直线方程，根据判别式求出λ的取值范围；（2）若A ，B ，C ，D 四点共圆，则有22222CD AB d ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出来，因为不管λ怎么变化，式子恒成立，所以可以求得21k =，进而求得0y 的取值范围. 【详解】（1）因为直线AB 过点()1,3N ，所以直线AB 方程为：(1)3y k x =-+，联立椭圆方程223(0)x y λλ+=>得到：222(3)2(3)(3)0k x k k x k λ++-+--=，设点()11,A x y ，()22,B x y , 由韦达定理可知：1222(3)23k k x x k -+==+，解得1k =-，所以直线AB 方程为：1(1)3y x =-⨯-+即4y x =-+，将1k =-代入方程222(3)2(3)(3)0k x k k x k λ++-+--=，得到248160x x λ-+-=，则()2844(16)0λ--⨯⨯∆=->，解得12λ>，所以λ的取值范围为12λ>.（2）设直线AB 方程0(1)y k x y =-+，联立椭圆方程223(0)x y λλ+=>得到：22200(3)2()()0k x k y k x y k λ++-+--=，由韦达定理可知：01222()23k k y x x k -+==+，即03ky -=，20122()3y k x x kλ--=+，则12AB x =-=====所以23()CD k=+-= CD 中点P 坐标等于00322211()()12131313()y ky k k x k k k ---+-===+++-，点P 到AB距离等于22223(1)3113k d k k -+=-++，因为A ，B ，C ，D 四点共圆等价于22222CD AB d ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即222223(1)13k k ⎫+=+⎪⎪+⎝⎭ 整理得()()2222222222222119(1)1912(13)(3)33113k k k k k k k k k k λλ++++⎡⎤⨯-++=⨯+⨯--⎣⎦+++，即不管λ怎么变化，都有上式成立，则222211313k k k k++=++，解得21k =，代入方程22200(3)2()()0k x k y k x y k λ++-+--=，使得2222004()4(3)(())0k y k k y k λ∆=--+-->，解得12λ>，满足题意所以0y 的取值范围为：{}3,3-. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 11．（2021·重庆·高二期末）设动点P与定点)F 的距离和P到定直线:l x =（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设动点P 的轨迹为曲线C ，不过原点O 且斜率为12的直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M，直线OM 与曲线C 交于C ,D 两点，证明：A ，B ，C ，D 四点共圆.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列出关系式并整理化简即可；（2）联立直线与椭圆方程，分别求解,MA MB MC MD ⋅⋅，最后证明两者相等即可. 【详解】解：（1）设(,)P x y ，因为动点P与定点)F的距离和P到定直线:l x ==2214x y +=.所以动点P 的轨迹方程为：2214x y +=.（2）设直线l 的方程为()102y x m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由方程组221,41,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得222220x mx m ++-=，①方程①的判别式为()242m ∆=-，由0∆>，即220m ->，解得m .由①得122x x m +=-，21222x x m =-.所以M 点坐标为,2m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线OM 方程为12y x =-，由方程组221,41,2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得C ⎛ ⎝⎭，D ⎭.所以)()2524MC MD m m m ⋅=-=-. 又()()()22221212121211544416MA MB AB x x y y x x x x ⎡⎤⎡⎤⋅==-+-=+-⎣⎦⎣⎦()()2225544222164m m m ⎡⎤=--=-⎣⎦.所以MA MB MC MD ⋅=⋅. 所以A ，B ，C ，D 四点共圆. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．12．（2021·北京·中央民族大学附属中学三模）已知椭圆的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，椭圆上的动点M 满足12122MF MF F F +=，A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，O 为坐标原点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若直线:6l x =与AM 交于点P ，l 与x 轴交于点H ，OP 与BM 的交点为S ，求证：B 、S 、P 、H 四点共圆.【答案】（1）椭圆的方程为22143x y +=，离心率为12；（2）证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的定义求出a 的值，结合已知条件可得c 的值，进而可求得b 的值，可得出椭圆的方程及其离心率；（2）计算得出34AM BM k k ⋅=-，可设直线AM 的方程为()()20y k x k =+≠，与直线l 的方程联立，求出点P 的坐标，利用斜率关系得出OP BM ⊥，由此可证得结论成立. 【详解】（1）由椭圆的定义可得12122244a MF MF F F c =+===，2a ∴=，则223b a c =- 所以，椭圆的方程为22143x y +=，该椭圆的离心率为12c e a ==；（2）设点()00,M x y ，则2200143x y +=，则002AM y k x =+，002BM y k x =-，所以，220022003444443AM BMy y k k x y ⋅===----，设直线AM 的方程为()()20y k x k =+≠，联立()26y k x x ⎧=+⎨=⎩，可得68x y k =⎧⎨=⎩，即点()6,8P k ，8463OP k k k ==，而3344BM AM k k k=-=-，所以，1OP BM k k =-，则90BSP ∠=，易知90BHP ∠=，所以，B 、S 、P 、H 四点共圆. 【点睛】关键点点睛：本题考查四点共圆的证明，一般转化为证明四边形的对角互补，本题中注意到 13．（2021·上海黄浦·三模）已知直线:l y x m =+交抛物线2:4C y x =于､A B 两点. （1）设直线l 与x 轴的交点为T ，若2AT TB →→=，求实数m 的值；（2）若点M N ､在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：AB M N ､､､四点共圆：（3）记F 为抛物线C 的焦点，过抛物线C 上的点P Q ､作准线的垂线，垂足分别为点U V ､，若UVF 的面积是PQF △的面积的两倍，求线段PQ 中点的轨迹方程.【答案】（1）8m =-；（2）证明见解析；（3）()222y x =-或()220y x x =≠.【分析】(1)联立直线:l y x m =+与抛物线2:4C y x =，韦达定理得到12124,4y y y y m +==，再利用2AT TB →→=化简得到240y +=，从而求出18y =，最后带回韦达定理求出实数m 的值；(2)通过证明0MA MB →→⋅=得到MA MB ⊥，同理NA NB ⊥，于是点,M N 在以AB 为直径的圆上，即,,,A B M N 四点共圆；(3)根据UVF 的面积是PQF △的面积的两倍求得直线PQ 与x 轴的交点为()0,0D 或()2,0D ，再根据直接法求出线段PQ 中点的轨迹方程，中间注意舍去不满足题意的点. 【详解】解：（1）由2,4,y x m y x =+⎧⎨=⎩得2440y y m -+=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4.y y y y m +== 因为直线l 与C 相交，所以16160m ∆=->，得 1.m <由2AT TB →→=，得1220y y +=，所以240y +=，解得24y =-，从而18y =，因为124y y m =，所以432m =-，故8m =-. （2）设()()3344,,,M x y N x y ，因为,M N 两点关于直线y x m =+对称，则4343344234324144y y y y y y x x y y --===--+-，故344y y +=-. 又4343,22y y x x m ++=+于是4322x x m +-=+，即4342x m x =---.由点N 在抛物线上，有()()2334442y m x --=---.因为2334y x =，所以23341640y y m +++=，于是()()()()()()222233121323132313234444y y y y MA MB x x x x y y y y y y y y →→⎛⎫⎛⎫⋅=--+--=--+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()()()132313232132312312316161616y y y y y y y y y y y y y yy y y y ----⎡⎤⎡⎤=+++=++++⎣⎦⎣⎦()()()13232334416016y y y y m y y --=+++=因此MA MB ⊥，同理NA NB ⊥，于是点,M N 在以AB 为直径的圆上，即,,,A B M N 四点共圆.（3）易知()1,0.F 设()()22,2,,2P p p Q q q ，则()()1,2,1,2.U p V q --设直线PQ 与x 轴的交点为()1,0D x ，则 ()111221,11222PQFUVFSp q FD p q x S UV p q =-=--=--=- 由题设2UVFPQFSS=，可得111x -=，所以10x =或12x =.设线段PQ 的中点为(),R x y ，有当12x =时，当PQ 与x 轴不垂直时，由PQ DR k k =可得()()22222q p yx q p x -=≠--，即()22.2yx q p x =≠+- 而222p qy p q +==+，所以()()2222y x x =-≠. 同理，当10x =时，()220y x x =≠.当PQ 与x 轴垂直时，R 与()2,0D 重合.符合()222.y x =- 综上，线段PQ 的中点的轨迹方程()222y x =-或()220y x x =≠.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的中点或中点弦问题，一般就是点差法，斜率公式，中点坐标公式求解问题；(3)验证四点共圆是要找直径，问题可转化成边与边垂直，不管用向量还是用斜率都可以解决.14．（2021·四川泸州·三模（理））从抛物线24y x =上各点向x 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P ．（1）求曲线P 的方程，并说明曲线P 是什么曲线；（2）过点()2,0M 的直线l 交曲线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C 、D ，探究是否存在直线l 使A 、B 、C 、D 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．【答案】（1）曲线P 的方程为2y x =，曲线P 是焦点为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭的抛物线；（2）存在；圆N 的方程为227113222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或227113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【分析】（1）设抛物线2y x =上的任意点为()00,S x y ，垂线段的中点为(),x y ，根据中点坐标公式得出002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入等式2004y x =化简可得出曲线P 的方程，进而可得出曲线P 的形状；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，将直线l 的方程与曲线P 的方程联立，列出韦达定理，求出AB ，求出线段AB 的中点的坐标，进一步求出线段AB 的中垂线CD 的方程，求出CD ，根据四点共圆结合垂径定理可得出关于t 的等式，求出t 的值，进一步可求得圆的方程，由此可得出结论. 【详解】（1）设抛物线2y x =上的任意点为()00,S x y ，垂线段的中点为(),x y ，故002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，则002x x y y =⎧⎨=⎩，代入2004y x =得()224y x =，得曲线P 的方程为2y x =，所以曲线P 是焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线；（2）若直线l 与x 轴重合，则直线l 与曲线P 只有一个交点，不合乎题意. 设直线l 的方程为2x ty =+，根据题意知0t ≠，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立22y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得220y ty --=，280t ∆=+>，则12y y t +=，122y y ⋅=-，则12A y y B =-==，且线段AB 中点的纵坐标为1222y y t +=，即2121222222x x y y t t ++=⋅+=+，所以线段AB 中点为22,22t t M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，可设直线CD 的方程为1x y m t =-+，则21222t t m t ⎛⎫+=-⨯+ ⎪⎝⎭，故252t m +=，联立22152y x t x y t ⎧=⎪⎨+=-+⎪⎩，得()222250ty y t t +-+=，设()33,C x y 、()44,D x y ，则341y y t +=-，()234152y y t ⋅=-+，故34y CD =-线段CD 中点为22151,222t N t t ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，假设A 、B 、C 、D 四点共圆，则弦AB 的中垂线与弦CD 中垂线的交点必为圆心，因为CD 为线段AB 的中垂线，则可知弦CD 的中点N 必为圆心，则12AN CD =，在Rt AMN △中，222AN AM MN =+，所以22212CD AM MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()()222222221111111121018442222t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故4228810t t t +--=，即()()24264222198880t t t t t t t t -+++--==，解得21t =，即1t =±，所以存在直线l ，使A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为弦CD 的中点N ，圆N 的方程为227113222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或227113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.15．（2021·四川泸州·三模（文））已知抛物线P ：22y px =（0p >）上的点3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭到其焦点的距离为1．（Ⅰ）求p 和a 的值；（Ⅰ）求直线l ：y x m =+交抛物线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于两点C 、D ，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆．【答案】（Ⅰ）12p =，a =；（Ⅰ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义可得点3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭到其焦点的距离等于该点到准线距离，即可求出p ，从而得到抛物线方程，再计算出参数a 的值；（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出线段AB 的中点M 的坐标，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，直线CD 的方程为1y x m =-+-，设()33,C x y ，()44,D x y ，求出线段CD 的中点坐标，再利用勾股定理计算可得；【详解】解：（Ⅰ）22y px =的准线为2px =-，因为点3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭到其焦点的距离等于该点到准线距离，所以3124p +=，故12p =，即2y x =，又3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭在2y x =上，所以a =；（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2y x x x m⎧=⎨=+⎩，得20y y m -+=，则121y y +=，12y y m ⋅=，且140m ->，即14m <，则12A y B =- 且线段AB 中点的纵坐标为12122y y +=，则12x m =-，所以线段AB 中点为11,22M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，直线CD 的方程为1y x m =-+-，联立21y xy x m⎧=⎨=-+-⎩，得210y y m ++-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则341y y +=-，341y y m ⋅=-故34D y C =-=线段CD 中点为31,22N m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为()21154108242m CD m -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22225422AN AM m MN -==+=+，所以12AN CD =，所以点A 在以CD 为直径的圆上，同理点B 在以CD 为直径的圆上，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．16．（2021·江苏·高二单元测试）已知直线:l y x m +＝交抛物线2:4C y x =于,A B 两点．（1）设直线l 与x 轴的交点为T ．若=2AT TB ，求实数m 的值；（2）若点,M N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：,,,A B M N 四点共圆．【答案】（1）8m ＝－；（2）证明见解析．【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程后由判别式得m 的范围，由韦达定理得1212,y y y y +，再由向量的数乘可得122y y +＝0，结合韦达定理可得12,,y y m 值；（2）设()()3344,,,M x y N x y ，由对称性得434y y =--，4342x m x =---．再由,M N 在抛物线上，代入变形得3y 与m 的关系，然后计算MA MB ⋅，得MA MB ⊥，同理NA NB ⊥，得证四点共圆．【详解】解：由24y x m y x =+⎧⎨=⎩得2440y y m -+=．设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4y y y y m +==．因为直线l 与C 相交，所以16160,m ∆->= 得1m <．（1）由2AT TB =，得1220y y +=，所以240y +=，解得24,y =- 从而18y =，因为124,y y m =所以432,m =-解得8m =-．（2）设()()3344,,,M x y N x y ，因为,M N 两点关于直线y x m =+对称，则4343223443434=144y y y y y y x x y y --==-+-解得434y y =--．又434322y y x x m ++=+ 于是3343422y y x x m --++=+ 解得4342x m x =---．又点N 在抛物线上，于是233()()4442y m x --=---．因为2334,y x =所以23341640y y m =+++，于是13231323()()()()MA M x x x x y y y y B ⋅=--+--222233121323()()(-)(-)4444y y y y y y y y =--()()()13231323()1616y y y y y y y y --=--+⎡⎤⎣⎦ ()()132********()1616y y y y y y y y y y --⎡⎤=++++⎣⎦ ()()2231333404()1616y y y y y m y --==+++ 因此MA MB ⊥，同理,NA NB ⊥于是点,M N 在以AB 为直径的圆上，即,,,A B M N 四点共圆．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，如设交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理可得1212,y y y y +，再利用向量的线性运算求得12,y y 关系，从而可求得12,,y y m 值．17．（2021·全国·高三专题练习（理））已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l O ，为坐标原点，过F 的直线m 与抛物线E 交于A B 、两点，过F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ．（1）若直线m ||||AF BF 的值；（2）设AB 的中点为N ，若O M N F 、、、四点共圆，求直线m 的方程．【答案】（1）||3||AF BF =或||1||3AF BF =；（2）1)y x =-．【分析】（1）由抛物线的定义建立方程即可.（2）设直线m 的方程为1x ty =+，用t 表示,M N 坐标，再结合条件得到0OM ON ⋅=，建立关于t 的方程即可获解. 【详解】（1）设||||AF BF λ=，当1λ>时，设||0BF k =>，则||AF k λ=，直线m 直线m 的倾斜角为60︒，由抛物线的定义，有()()1cos60cos602AB AF BF k k k k λλ⋅︒=+⋅︒=+⨯=-， 112λλ+∴=-，解得：3λ=，若01λ<<时，同理可得：13λ=，||3||AF BF ∴=或||1||3AF BF =．（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=．设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4y y t y y +==-．由2211224,4y x y x ==，得()22221212212122(4)2(4)424444y y y y y y t x x t +--⨯-+=+===+，所以()221,2N t t +．因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -，则直线n 的方程为(1)t y x --=．由1(1)x y t x =-⎧⎨=--⎩，，解得(1,2)M t -．若O M N F 、、、四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=，解得2t =所以直线m 的方程为2(1)y x =-．【点睛】（1）有些题目可以利用抛物线的定义结合几何关系建立方程获解；（2）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.18．（2020·浙江丽水·高三月考）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N ，且当AF x ⊥轴时，||4MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线AN ，AM 分别交抛物线C 于G ，H （不同于A ），直线AB 交GH 于点P ，且直线AB 的斜率大于0，证明：存在唯一这样的直线AB 使得B ，H ，P ，M 四点共圆．【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）当AF x ⊥轴时得A ，B 点坐标及圆的方程，即||||24MN AB p ===可得答案；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()3,0M x ，()4,0N x ，直线:1AB x my =+与抛物线方程联立12y y +、12y y ⋅，1y 和12x x +，圆的方程并令0y =，得34x x +，34x x ⋅，即B ，H ，P ，M 四点共圆等价于HG AB ⊥，再证明存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥可得答案. 【详解】（1）当AF x ⊥轴时，,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭故圆的方程为2222p x y p ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即||||24MN AB p ===，得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()3,0M x ，()4,0N x ，直线:1AB x my =+，联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩得：2440y my --=，()2Δ1610m =+>，124y y m +=，124y y ⋅=-，所以12y m ==+∴()21212242x x m y y m +=++=+，故圆心()221,2m m +，半径()21||212r AB m ===+，即圆的方程为()()2222221(2)41x m y m m --+-=+，令0y =，则()()2222221441x m m m --+=+，化简得：()224230x m x -+-=，23442x x m +=+，343x x ⋅=-，若B ，H ，P ，M 四点共圆，则090BPH BMH ∠=∠=，即B ，H ，P ，M 四点共圆等价于HG AB ⊥，下证：存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥，设()55,H x y ，()66,B x y ，直线()111:AM x x t y y -=-和直线()121:AN x x t y y -=-，联立()21114y x x x t y y ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，得：211114440y t y t y x -+-=，所以1514y y t +=，5114y t y =-，同理1624y y t +=，6214y t y =-， ∴()65652265656512144424HG y y y y k y y x x y y t t y --====--++-，又∵1311x x t y -=，1421x x t y -=，∴113434114242HGy k x x x x x y y ==-=--+- 又1AB km =，得HG k m =-=，所以32m m m +=，即32m 62410m m --=，设3()41f x x x =--，(0,)x ∈+∞，2()121f x x '=-，故()f x 在3⎛ ⎝⎭单调递减，3⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增，又∵(0)10f =-<，30f <⎝⎭，且(1)20f =>，故存在唯一(0,)x ∈+∞满足()0f x =，即存在唯一(0,)m ∈+∞，满足62410m m --=，综上结论得证．【点睛】本题考查了抛物线、圆的几何性质，解题的关键点是证明B ，H ，P ，M 四点共圆和证明存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥，考查了学生分析问题、解决问题及推理能力.19．（2020·广西师范大学附属中学高三月考）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左､右顶点分别为A ，B 6P 是C 上异于A ，B 的动点. （1）证明：直线AP ，BP 的斜率之积为定值，并求出该定值.（2）设||23AB =，直线AP ，BP 分别交直线l ：x =3于M ，N 两点，O 为坐标原点，试问：在x 轴上是否存在定点T ，使得O ，M ，N ，T 四点共圆？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析，定值13-；（2）存在，定点11,03T ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）由题意知(,0),(,0)A a B a -，设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则2200221x y a b+=，然后利用斜率公式求200022000y y y x a x a x a ⋅=+--化简可得结果；（2）由题意先求出椭圆C 的方程为2213x y +=，设直线AP 的方程为(3)y k x =，则直线BP 的方程为1(3)3y x k =-，直线方程与椭圆方程联立可求出(3,33)M k k ，13N k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，假设△MNO 的外接圆恒过定点T (t ，0)，t ≠0，然后求出线段MN 的垂直平分线所在直线的方程和线段OT 的垂直平分线所在直线的方程，从而可求出圆心113332k k t k k E ⎛++- ⎪ ⎪⎝⎭，再由|OE |=|ME |，可求出t 的值，进而得O ，M ，N ，T 四点共圆（1）由题意知(,0),(,0)A a B a -，设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则2200221x y a b+=，所以直线AP 与BP 的斜率之积22022222200022222200001131x b a y y y b a c x a x a x a x a a a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅===-=-=-+--⎭=--⎝，即直线AP ，BP 的斜率之积为定值13-.（2）存在.理由如下：由题意知2a =a =因为c a=c =所以b 2=1，所以椭圆C 的方程为2213x y +=.设直线AP的方程为(y k x =，则直线BP的方程为1(3y x k=-.联立(3,y k x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得(3,3)M k，同理可得1N k ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 假设△MNO 的外接圆恒过定点T (t ，0)，t ≠0，因为线段MN的垂直平分线所在直线的方程为y OT 的垂直平分线所在直线的方程为2t x =，所以圆心2t E ⎛⎪ ⎪⎝⎭. 又|OE |=|ME |= 解得t =113.所以存在定点11,03T ⎛⎫⎪⎝⎭，使得O ，M ，N ，T 四点共圆.【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定点问题，考查计算能力，属于中档题 20．（2020·甘肃·天水市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上E 上一点，且点P 的横坐标为2，3PF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过点F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ，设AB 的中点为N ，若O 、M N 、F 四点共圆，求直线m 的方程.【答案】（1）24y x =（2）)1y x =-（1）由抛物线的定义可得22pPF =+，即可求出p ，从而得到抛物线方程；（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，列出韦达定理，表示出中点N 的坐标，若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则0OM ON ⋅=即可求出参数t ，从而得解；【详解】解：（1）由抛物线定义，得232pPF =+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =.（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-.由2114y x =，2224y x =，得()()()22222121212122424424444y y y y t y y x x t +--⨯-+=+===+，所以()221,2N t t +.因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -，则直线n 的方程为()1y t x =--.由()1,1,x y t x =-⎧⎨=--⎩解得()1,2M t -.若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=，解得t =所以直线m 的方程为)1y x =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.21．（2020·江西师大附中三模（理））已知椭圆22:14x C y +=上三点A 、M 、B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ．（1）若点B 是椭圆C 的左顶点，求点M 的坐标；（2）若A 、M 、B 、O 四点共圆，求直线AB 的斜率．【答案】（1）1,⎛- ⎝⎭；（2）2±．【分析】（1）由已知可得()2,0B -，由//AM BO ，且AM BO =，设()00,M x y ， ()002,A x y +代入椭圆方程解方程即可得解；（2）因为A 、M 、B 、O 四点共圆，则平行四边形AMBO 是矩形且OA OB ⊥，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，根据韦达定理代入 12120OA OB x x y y →→⋅=+=，化简计算求解即可. 【详解】解析：（1）如图所示：因为()2,0B -，四边形AMBO 为平行四边形，所以//AM BO ，且2AM BO ==．设点()00,M x y ，则()002,A x y +因为点M 、A 在椭圆C 上，所以()220022014214x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得001x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1,M ⎛- ⎝⎭．（2）因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ．由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418440k x kmx m +++-=，则有122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+．因为平行四边形AMBO ，所以()1212,OM OA OB x x y y →→→=+=++．因为122814kmx x k -+=+，所以()12122282221414km my y k x x m k m k k -+=++=⋅+=++，所以2282,1414km m M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程化得22441m k =+．① 因为A 、M 、B 、O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y →→⋅=+=．因为2222121212122414m k y y kx m kx mk x x km x x mk ，所以22212122244401414m m k x x y y k k--+=+=++，化得22544m k =+．② 由①②解得2114k =，23m =，此时0∆>，因此11k = 所以所求直线AB 的斜率为11．【点睛】本题主要考查了联立直线与椭圆的方程利用韦达定理列式表达斜率以及垂直的方法进而代入求解的问题，考查计算能力和逻辑推理能力，属于难题.22．（2020·江苏南京·三模）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2,0)和3⎛ ⎝⎭,椭圆C 上三点A ,M ,B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO .（1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点,求点M 的坐标；（3）若A ,M ,B ,O 四点共圆,求直线AB 的斜率.【答案】（1）24x ＋y 2＝1；（2）M (－3；（3）11【分析】(1)将点()2,0-和3⎛ ⎝⎭代入椭圆22x a ＋22y b＝1求解即可.(2)根据平行四边形AMBO 可知AM ∥BO ,且AM ＝BO ＝2.再设点M (x 0,y 0),则A (x 0＋2,y 0),代入椭圆C 求解即可.(3) 因为A ,M ,B ,O 四点共圆,所以平行四边形AMBO 是矩形,且OA ⊥OB ,再联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理代入OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0求解即可. 【详解】（1）因为椭圆22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)过点()2,0-和3⎛ ⎝⎭,所以a ＝2,21a ＋234b ＝1,解得b 2＝1,所以椭圆C 的方程为24x ＋y 2＝1.（2）因为B 为左顶点,所以B (－2,0).因为四边形AMBO 为平行四边形,所以AM ∥BO ,且AM ＝BO ＝2. 设点M (x 0,y 0),则A (x 0＋2,y 0).因为点M ,A 在椭圆C 上,所以()2200202014214x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩解得001x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以M (－（3）因为直线AB 的斜率存在,所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0, 则有x 1＋x 2＝2814km k -+,x 1x 2＝224414m k -+. 因为平行四边形AMBO ,所以OM ＝OA ＋OB ＝(x 1＋x 2,y 1＋y 2). 因为x 1＋x 2＝2814km k -+,所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·2814km k -+＋2m ＝2214m k +,所以M (2814kmk -+,2214mk +).因为点M 在椭圆C 上,所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程,化得4m 2＝4k 2＋1.① 因为A ,M ,B ,O 四点共圆,所以平行四边形AMBO 是矩形,且OA ⊥OB , 所以OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝222414m k k-+, 所以x 1x 2＋y 1y 2＝224414m k -+＋222414m k k -+＝0,化得5m 2＝4k 2＋4.② 由①②解得k 2＝114,m 2＝3,此时△＞0,因此k ＝所以所求直线AB 的斜率为【点睛】本题主要考查了椭圆方程的基本求法,同时也考查了联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理列式表达斜率以及垂直的方法,进而代入求解的问题.属于难题.23．（2020·江苏·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，P 为右准线上一点．点Q 在椭圆上，且FQ FP ⊥．。

解析几何圆问题的几何处理办法

例说解析几何圆问题的常规处理办法一、知识讲解知识点1：圆的概念和方程（1）平面内到定点距离等于定值的点的集合（轨迹）称为圆；（2）以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=；以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，以为半径的圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->；以()()1122,,,A x y B x y 为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=（3）以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（其中θ是参数）。

知识点2：圆的位置关系（1）点与圆的位置关系○1点(),m n 与圆220x y Dx Ey F ++++=：若220m n Dm En F ++++<，点在圆内；若220m n Dm En F ++++=，点在圆上；若220m n Dm En F ++++>，点在圆外。

○2点(),m n 与圆()()222x a y b r -+-=：若()()222m a n b r -+-<，点在圆内；若()()222m a n b r -+-=，点在圆上；若()()222m a n b r -+->，点在圆外。

（2）直线与圆的位置关系○1联立直线方程0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=得一元二次方程20ax bx c ++=，若0∆=，直线和圆有一个交点（相切）；若0∆>，直线和圆有2个交点（相交）；若0∆<，直线和圆没有交点（相离）。

○2圆()()222x a y b r -+-=的圆心到直线0Ax By C ++=的距离为d =。

若d r =，直线和圆有一个交点（相切）；若d r <，直线和圆有2个交点（相交）；若d r >，直线和圆没有交点（相离）。

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○2点(),m n 与圆()()222x a y b r -+-=：若()()222m a n b r -+-<，点在圆内；若()()222m a n b r -+-=，点在圆上；若()()222m a n b r -+->，点在圆外。

○2圆()()222x a y b r -+-=的圆心到直线0Ax By C ++=的距离为d =。

若d r =，直线和圆有一个交点（相切）；若d r <，直线和圆有2个交点（相交）；若d r >，直线和圆没有交点（相离）。

○3圆()()222x a y b r -+-=与直线0Ax By C ++=相交于()()1122,,,A x y B x y 两点。

则：（3）圆与圆的位置关系()()2221111:O x x y y r -+-=，()()2221222:O x x y y r -+-=的圆心距12O O =若1212O O r r >+，则两圆外离；若1212O O r r =+，则两圆外切；若112122r r OO r r -<<+，则两圆相交；若1212OO r r =-，则两圆内切；若1212OO r r <-，则两圆内含；二、典例分析问题1：待定系数法求解圆的标准方程例题1：(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________.解析：由题意可得圆的圆心为(1，0)，故而可得圆的标准方程为：()2211x y -+=变式：(2014·山东)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.解析：由题意可得圆心坐标可设为()2,y y ，根据圆与y 轴的正半轴相切，故而可得2,0r y y =>，根据弦长公式可得1y =⇒=，故而可得圆的标准方程为：()()22214x y -+-=。

问题2：利用距离公式求解圆的位置关系例题2：(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离解析：由题意可得圆的标准方程为()222x y a a +-=，圆心到直线的距离为：d =，根根据弦长公式可得2222222a a a ⎛⎫=-⇒=⎪⎝⎭，故而圆M 的标准方程为()22222x y +-=，2MN =，故而可得2121MN -<<+，两圆相交。

例题3：(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) C.(6－25)π解析：由平面直角坐标系的性质可得 90AOB ∠=︒，故而可得圆C 的图像经过原点O 。

由图像可得点C 到直线的距离和到点O 的距离相等，故而当OC l ⊥时，半径最小，此时4115225r d ===，故而面积的最小值为54π。

变式：(2017·新课标1卷)已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。

若∠MAN =60°，则C 的离心率为________。

解析：如图所示，过点A 作渐近线的垂线AB ，由6030MAN BAN ∠=︒⇒∠=︒，又2233,22AM b AB b OA a OB a b ⎛⎫=⇒==⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭，故而 2232tan 32b b BOA aa b ∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得2222123133b b e a a =⇒=+=。

问题3：巧思圆的几何性质与最值、范围问题例题4：(2014·北京，7)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )解析：根据90APB ∠=︒可得点P 在以AB 为直径的圆上，故而点P 的轨迹方程为：222x y m +=故而此问题可转化为以AB 为直径的圆与圆C 有交点的问题，即11151m OC m m m -≤≤+⇒-≤≤+，解得46m ≤≤，故而选B 。

变式：(2014·全国课标2)设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( ) A. [－1，1]B. ⎣⎡⎦⎤－12，12C. [－2，2]D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：点M (x 0，1)在直线y ＝1上，而直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切．据题意可设点N (0，1)，如图，则只需∠OMN ≥45°即可，此时有tan ∠OMN ＝|ON ||MN |≥tan 45°，得0<|MN |≤|ON |＝1，即0<|x 0|≤1，当M 位于点(0，1)时，显然在圆上存在点N 满足要求，综上可知－1≤x 0≤1. 问题4：利用基本不等式求解圆的最值问题例题5：(2016·吉林长春质量监测)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( ) A.[1-3，1＋3] B.(-∞，1-3]∪[1＋3，＋∞)C.[2-22，2＋22]D.(-∞，2-22]∪[2＋22，＋∞) 解析：根据直线与圆的位置关系可得：()()()()222211211111m n m n m n m n +++-=⇒+=++++++，化简可得1m n mn ++=，根据基本不等式22m n mn +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭可得212m n m n +⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭，化简可得()()2440m n m n +-+-≥，解一元二次不等式可得222m n +≤-或者222m n +≥+，当且仅当m n =时取等号。

故而选D 。

问题5：巧用建系法解答“定长+动点”问题例题6：(2016·四川)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM→＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )解析：如图所示，以BC 中点为原点建立平面直角坐标系，此时：()()()0,3,3,0,3,0A B C-。

故而可得点P 在以A 为圆心，以1为半径的圆上，故而点P 的轨迹方程为()2231x y +-=，由PM MC =u u u u r u u u u r可得点M 为CP 的中点。

假设点M 坐标为(),x y ，故而可得点P 坐标为()23,2x y -，代入轨迹方程化简可得：2233124x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

此时可得点M 在33,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，以12为半径的圆上。

max 1722BM BQ =+=u u u u r ，因此2max494BM =u u u u r 。

问题7：巧用参数方程（三角换元）法解答取值范围问题例题7：已知椭圆2221(0) 25x ymm+=>与双曲线2221(0)7x ynn-=>有相同的焦点，则m n+的取值范围是（）A. (]0,6 B. []3,6 C. (32,6⎤⎦ D. [)6,9解析：由题意可得222225718m n m n-=+⇒+=，解法1：不妨设m n z+=，故而点(),m n在直线0m n z+-=与圆()22180,0m n m n+=>>上，亦即直线与圆在第一象限部分有交点。

故而根据图像可得直线m n z+=在平行线1l和2l之间，根据圆与直线位置关系可得相切时3262md m==⇒=，故而可得326m n<+≤，因此选B。

解法2：根据题意可得(),m n在圆2218m n+=，不妨设32cos232sinmnθπθθ⎧=⎪⎛⎫<<⎨ ⎪⎝⎭=⎪⎩，故而可得32cos32sin6sin4m nπθθθ⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，根据三角函数性质可得326m n<+≤，故而选B。