广东省江门市2019-2020学年高考第三次大联考数学试卷含解析

广东省江门市2019-2020学年高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先求出集合U，再根据补集的定义求出结果即可．【详解】由题意得，∵，∴．故选C．【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题．2．定义运算()()a a ba bb a b≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x=⊕的图象是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】【详解】由已知新运算a b⊕的意义就是取得,a b中的最小值，因此函数()1,0122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.3．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是⎡⎣；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】化()f x )4x π-可判断①，求出4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式可判断②，由,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得353[,]444x πππ-∈，结合正弦函数得图象即可判断③，由()()()12f x f x f x ≤≤得12min 2Tx x -=可判断④.【详解】由题意，())4f x x π=-，所以()f x ∈⎡⎣，故①正确；4f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭)]44x ππ+-=)2x π+=x 为偶函数，故②错误；当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，353[,]444x πππ-∈，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ∈R ，都有 ()()()12f x f x f x ≤≤成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为23T π=，故④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.4．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得函数()f x 的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（） ，利用周期性可得函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数． 【详解】∵()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33332222f x f x ∴-++=++（）（） ，可得3f x f x （）（）+=，函数()f x 的周期为3， ∵当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+， 令0fx =（），则211x x -+=，解得0x =或1， 又∵函数()f x 是定义域为R 的奇函数，∴在区间33[]22-，上，有11000f f f -=-==（）（），（）． 由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取0x =，得3322f f -=（）（） ，得33022f f =-=（）（）， ∴33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（）． 又∵函数()f x 是周期为3的周期函数，∴方程()f x =0在区间[]0,6上的解有39012345622，，，，，，，，． 共9个，故选D ． 【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项. 【详解】如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4m =，∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4n =，∴结合四个选项可知，只有m n =正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 6．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调区间，由此确定正确选项.因为22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-1cos 21sin 222sin 24x x x π⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭，由()f x 单调递增，则222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得388k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），当1k =时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A ，B 选项中有部分增区间部分减区间. 故选：D 【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.7．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C 【解析】 【分析】利用等差通项，设出1a 和d ，然后，直接求解5S 即可 【详解】令()11n a a n d +-=，则11113232da a a a d ⨯⨯++=++，136a d +=，∴13a =-，3d =，∴()55310315S =⨯-+⨯=.【点睛】本题考查等差数列的求和问题，属于基础题8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．6423πD ．53π【答案】C【分析】作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【详解】2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为22r =(3422233V π=⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.9．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u= lny ，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v+2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．e B ．e 2C ．ln2D ．2ln2【答案】B 【解析】 【分析】将u= lny ，v=(x-4)2代入线性回归方程ˆu=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值. 【详解】解：将u= lny ，v=(x -4)2代入线性回归方程ˆu=-0.5v+2得： ()2ln 0.542y x =--+，即()20.542x y e --+=，当4x =时，()20.542x --+取到最大值2， 因为xy e =在R 上单调递增，则()20.542x y e --+=取到最大值2e .故选：B. 【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,. 10．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z = A ．1B 5C．5D．55【答案】B【解析】【分析】【详解】由15z z⋅=可得15zz=，所以1555||2i||||5zz+====，故选B．11．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（）A．37B．47C．57D．67【答案】D【解析】【分析】由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.【详解】由题,窗花的面积为21241140-⨯=,其中小正方形的面积为5420⨯=,所以所求概率1402061407P-==,故选:D【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.12．设等比数列{}n a的前n项和为n S，则“10a<”是“2021S<”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋（y －1）2＝r 2（r>0）上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：（x －2）2＋（y －1）2＝1上，则r 的取值范围是________．【答案】1] 【解析】 【分析】设圆C 1上存在点P （x 0，y 0），则Q （y 0，x 0），分别满足两个圆的方程，列出方程组，转化成两个新圆有公共点求参数范围. 【详解】设圆C 1上存在点P （x 0，y 0）满足题意，点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q （y 0，x 0），则()()()2220022001211x y r y x ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 故只需圆x 2＋（y －1）2＝r 2与圆（x －1）2＋（y －2）2＝1有交点即可，所以|r －＋111r ≤≤.故答案为：1] 【点睛】此题考查圆与圆的位置关系，其中涉及点关于直线对称点问题，两个圆有公共点的判定方式. 14．已知向量AB u u u r =（1，2），AC uuu r =（-3，1），则AB BC ⋅u u u r u u u r=______． 【答案】-6 【解析】 【分析】由BC AC AB =-u u u v u u u v u u u v 可求BC uuu v ，然后根据向量数量积的坐标表示可求AB u u u v •BC u u u v.∵AB u u u v =（1，2），AC u u u v =（-3，1），∴BC AC AB =-u u u v u u u v u u u v=（-4，-1）， 则AB u u u v•BC u u u v=1×（-4）+2×（-1）=-6 故答案为-6 【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题．15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222c a b =+，8a =，1sin 23A =，则c =_______. 【答案】9 【解析】 【分析】已知由余弦定理即可求得4C π=,由1sin23A =可求得cos 23A =,即可求得sin A ,利用正弦定理即可求得结果. 【详解】由余弦定理2222cos c a b ab C =+-和222c a b =+，可得cos C =，得sin C =，由1sin23A =，cos 23A =，sin 2sin cos 229A A A ∴==，由正弦定理sin sin a c A C =，得9c =. 故答案为:9. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.16．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线1y =相交，若存在相邻两个交点间的距离为3π，则ω可取到的最大值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由于曲线()y f x =与直线1y =相交，存在相邻两个交点间的距离为3π，所以函数的周期23T ππω=>，可得到ω的取值范围，再由1sin()2x ωϕ+=解出x 的两类不同的值，然后列方程求出()2162k k ω=-+，再结合ω的取值范围可得ω的最大值. 【详解】23T ππω=>，可得06ω<<，由1sin()2x ωϕ+=，则126x k πωϕπ+=+或21252(,)6x k k k Z πωϕπ+=+∈，即126k x ππϕω+-=或2526k x ππϕω+-=，由题意得12522663k k πππϕπϕπωω+-+--=，所以()2162k k ω=-+，则2ω=或4ω=，所以ω可取到的最大值为4. 故答案为：4 【点睛】此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解，熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。