八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题教案新版新人教版
人教版八年级数学上册：13.4课题学习最短路径问题(将军饮马为题)教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握轴对称的性质，以及在实际问题中的应用。
-学会利用轴对称性质解决最短路径问题，特别是将军饮马问题。
-掌握通过直观感知、操作确认、推理证明等数学活动来解决几何问题。
其次，小组讨论环节，学生的参与度很高，大家积极分享自己的观点。但我注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，讨论一些与最短路径问题不相关的内容。这提示我在今后的教学中，需要更加明确讨论的主题和目标，适时引导学生回到主题上来。
另外，实践活动的设计上，我觉得还可以进一步优化。虽然实验操作能够帮助学生理解最短路径的概念，但我觉得可以增加一些更具挑战性和实际意义的任务，让学生在实践中遇到更多的问题，从而激发他们更深层次的思考和探索。
教学内容：
（1）回顾线段的性质，强调线段是两点间距离最短的路径。
（2）引入将军饮马问题，探讨在给定条件下如何找到最短路径。
（3）学习轴对称的性质，掌握将问题转化为轴对称问题的方法。
（4）应用轴对称性质解决将军饮马问题，得出最短路径的解法。
（5）通过例题和练习，巩固最短路径问题的求解方法。
二、核心素养目标
在难点和重点的讲解上，我尽量使用了简单的语言和生动的例子，但仍有部分学生在理解上存在障碍。我考虑在下一节课前，通过一些小测验来检测学生对这些概念的理解程度，以便我能够更有针对性地进行辅导。
此外，我也意识到，对于一些接受能力较强的学生，他们在掌握了基本概念后，可能需要更多拓展性的内容来满足他们的学习需求。因此，我计划在后续的课程中，提供一些难度较高的题目，让他们在挑战中进一步提升自己的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称性质和线段性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图形比较来帮助大家理解。
八年级数学上册第13章轴对称13.4课题学习最短路径问题学案新版新人教版
课题：13.4 课题学习：最短路径问题【学习目标】1、了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理。
2、能将实际问题中的“地点”“河”“桥”等抽象为数学中的“点”“线”，使实际问题数学化。
3、能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会几何变化在解决最值问题中的重要作用。
4、在探索最短路径的过程中，感悟、运用转化思想。
进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中的应用。
【学习重难点】重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
难点： 如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题。
一、知识链接复习旧知：1.两点之间，_______最短。
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中_______最短。
3． 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_________。
类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_______ 。
4．平移性质：(1)平移前后图形的形状和大小________。
(2)对应点连线______________。
自主学习（新知）： 精读课本第85-87页，用红色的笔对有关概念进行勾画并找出自己的疑惑和要讨论的问题，准备在课堂上讨论质疑。
如图所示，从A 地到B 地有三条路选择，你会选走那条路最近？你的理由是什么？二、合作与探究探究活动（一）将军饮马问题：1、两点在一条直线的异侧：②AB① ③已知如图，A 、B 在直线L 的两侧，在直线L 上求一点P ，使得这个点到AB 的距离最短，即AP+P B 最短。
请说明AP+PB 最短的理由。
2、两点在一条直线的同侧如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？探究活动（二）造桥选址问题：如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。
13.4课题学习 最短路径问题教学设计
13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。
2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。
从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。
本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。
体会数学在实际生活中的价值。
2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。
三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。
八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题教案(新版)新人教版
13.4 课题学习最短路径问题教学目标：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用.3、感悟转化思想．学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．教学过程一、探索新知问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）．问题2如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？追问1 对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？追问2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？问题2如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．∴AC +BC= AC +B′C = AB′，AC′+BC′= AC′+B′C′．追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？二、练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”．三、归纳小结1、本节课研究问题的基本过程是什么？2、轴对称在所研究问题中起什么作用？四、布置作业教科书P93复习题13第15题中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
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13.4 课题学习最短路径问题教课内容分析：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中常常碰到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短” “三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实质问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转变为“两点之间、线段最短”的问题。
教课目的设置：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2、在谈最短路径的过程中，领会“轴对称”的桥梁作用，感悟转变的数学思想。
教课要点难点：要点：利用轴对称将最短路径问题转变为“两点之间、线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转变为线段和最小问题。
学生学情剖析：1、八年级学生的察看、操作、猜想能力较强，但演绎推理、概括和运用数学意识的思想比较单薄，自主研究和合作学习能力也需要在讲堂教课中进一步指引。
此年纪段的学生拥有一定的研究精神和合作意识，能在必定的亲自经历和体验中获得必定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，会合演绎推理能力有待增强。
2、学生已经学习过“两点之间，线段最短”“垂线段最短”以及刚才学习的轴对称和垂直均分线的性质作为本节知识的基础。
教课策略剖析：最短路径问题从实质上说是最值问题，作为八年级学生，在此前极少波及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对拥有实质背景的最值问题，更会感觉陌生，无从下手。
解答“当点 A、B 在直线 l 的同侧时，如安在 l 上找到点 C，使 AC与 BC的和最小”，需要将其转变为“直线 l 异侧的两点，与直线 l 上的点的线段的和最小”的问题，为何需要这样转变，如何经过轴对称实现转变，一些学生会存在理解上和操作上的困难。
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这类思路和方法，一些学生想不到。
八年级数学上册第13章轴对称13.4课题学习最短路径问题教案新人教版(2021-2022学年)
1３。
4 课题学习 最短路径问题ﻬ掌握基本事实:两点之间,线段最短。
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线性质定理直平分线上的点到线段两端距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
本节课是在已经学习了轴对称图形性质的基础上进一步学习点，在直线同侧两点之间路径最短问题＂的解决方案。
为后续平面几何线段之和最短一类问题奠基。
主学习、合作探究的方式,教师引导让每位学生都参与探究。
1。
能利用轴对称解决简单的最短路径问题； 2.体会图形 的变化在解决最值问题中的作用；3。
能通过逻辑推理证明所求距离最短,感悟转化思想; ４.体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性． 直线线上一点,到同侧两点距离之和最短问题利用作轴对称将直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题 转化为“两点之间,线 段最短”问题.利用作轴对称将直线线上一点,到同侧两点距离之和最短问题 转化为“两点之间，线 段最短”问题.教学过程引入新课PPT1—４：通过创设情景,引导学生思考，激发学生学习兴趣．１出示问题：相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题：从图中的 A 地出发,到一条笔直的河边ｌ 饮马，然后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短? 2、倾听学生对上面问题的回答,揭示课题在的数学问题。
ＰPT4—7:通过学生自学课本P80—81页的内容,掌握最短路径问题.１、出示自学指导(见ppｔ４)２、巡视、检查;对部分基础比较差的学生进行个别辅导;3、通过相应的练习检查学生学习效果;收集存在的主要问题,让学生分组讨论，解决问题，然后进行综合点评1、学生带着问题自学教材，思考、解决自学问题,然后提出疑问,分组讨论解决共同的疑问；2、完成相应的自学检测，针对练习的过程，再次提出疑问并讨论解决。
ＰPT8—10：形成和巩固利用作轴对称将直线线上一点,到同侧两点距离之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”的能力。
新人教版初中数学八年级上册《第十三章轴对称：13.4课题学习最短路径问题》优质课教案_0
信息技术
几何画板课件，展台
教学流程
一、创设情境，导入新课
教师在教室门口向学生问好，然后走进教室，问：“杨老师今天像往常一样直接从门口走到讲桌旁，为什么我不绕到教室后面或者是某某同学前面再走过来呢？”
生思考后回答：老师直接走这样距离最近
师问：能用我们学过的数学知识来解释一下吗？
生：两点之间，线段最短
师：某某同学回答得非常准确，在这个情景里，把什么抽象成点，又把什么抽象成线段呢？
生：老师在门口站立的位置和在讲桌站立的位置抽象成点，所走的路程抽象成线段
师：现在老师想向第一排同学借一支笔，我应该像谁借最方便呢？
生：某某同学
师：为什么？生：垂线段Fra bibliotek短师：前面我们研究过“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节将利用所学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。
学生独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，教师利用几何画板演示
问8：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
生：点在内部借助两次轴对称转变成点在外部
学生独立完成练习2，教师利用展台展示正确作图结果
3、课堂小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
播放“将军饮马”动画视频。
问1：你能将这个问题抽象为数学问题吗？这是一个实际问题，你打算首先做什么？
生：两个地方抽象为点，河流抽象为一条直线
问2：你能用自己的语言解释这个问题的意思吗？
生：尝试回答，互相补充
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
4.鼓励学生积极参与评价，培养学生的评价能力和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过一个有趣的现实生活中的选址问题，如“如何在两个村庄之间建一座桥，使得两地之间的距离最短？”引起学生的兴趣。
2.学生尝试用自己的知识解决此问题，教师引导学生思考问题的方法论。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
一、案例背景
人教版数学八年级上册13.4课题学习“最短路径造桥选址实验教学”探究优秀教学案例，是基于学生在学习了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上，对“线性规划”的初步认识。此章节内容旨在让学生通过实验探究，掌握线性规划的基本方法，解决实际问题。
在教学过程中，我以“最短路径造桥选址”为例，让学生结合生活实际，探讨如何在一个城市中选择最佳的桥梁建设位置，以达到连接两个区域、节省路程、提高效率的目的。通过对问题的探究，引导学生运用所学的数学知识，解决实际问题，提高学生的实践能力和创新能力。
在教学设计上，我充分考虑了学生的认知规律和兴趣，将抽象的数学知识与具体的生活情境相结合，以实验教学为主线，让学生在动手操作、观察分析、合作交流的过程中，掌握线性规划的方法。同时，我注重引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
4.全面提高学生的数学素养：通过对实际问题的解决，本节课不仅使学生掌握了线性规划的基本方法，还培养了学生的观察力、动手能力、思维能力、沟通能力和团队协作能力，全面提高了学生的数学素养。
5.教学策略灵活多样：教师根据学生的认知规律和兴趣，采用了情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高了教学效果。
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13.4课题学习最短路径问题
◇教学目标◇
【知识与技能】
能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
【过程与方法】
体会图形的变换在解决最值问题中的作用.
【情感、态度与价值观】
通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识.
◇教学重难点◇
【教学重点】
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
【教学难点】
利用图形变换进行线段的转移.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?说说你的理由.
二、合作探究
探究点1三角形周长最短的问题
典例1如图,∠AOB的内部有一点P,在射线OA,OB边上各取一点P1,P2,使得△PP1P2的周长最小,作出点P1,P2,叙述作图过程(作法),保留作图痕迹.
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[解析]如图,作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F,连接EF交OA 于点P1,交OB于点P2,连接PP1,PP2,△PP1P2即为所求.
理由:∵P1P=P1E,P2P=P2F,
∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+P1P2+P2F=EF,
根据两点之间线段最短,可知此时△PP1P2的周长最短.
探究点2坐标系中的将军饮马问题
典例2如图,A,B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车从原点O出发在x 轴上行驶.
(1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?写出这点的坐标.
(2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?写出这点的坐标.
(3)汽车行驶到什么位置时,到两村距离和最短?请在图中画出这个位置.
[解析](1)由垂线段最短可知当汽车位于点(2,0)处时,汽车距离A点最近.
(2)由垂线段最短可知当汽车位于点(7,0)处时,汽车距离B点最近.
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(3)如图所示,过点A作关于x轴的对称点A',连接A'B,A'B与x轴的交点即为所求.
三、板书设计
最短路径问题
最短路径问题
◇教学反思◇
本节的内容是最短路径问题,知识点应安排逐步的生成过程,环环相扣,一步步上,要将问题分解,化大为小,化难为易,降低难度.要认真分析预备知识,把新知识放在旧知识的基础上,通过复习慢慢引出新的内容,这样学生更容易掌握,更容易接受,不会产生畏难情绪,反而觉得轻松自如.
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