方差分析方法
方 差 分 析 方 法
方差分析方法方差分析是用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析的基本思想是：通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
方差分析主要用途：①均数差别的显著性检验，②分离各有关因素并估计其对总变异的作用，③分析因素间的交互作用，④方差齐性检验。
在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理方法对实验结果的影响。
通常是比较不同实验条件下样本均值间的差异。
例如医学界研究几种药物对某种疾病的疗效；农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作物产量的影响；不同化学药剂对作物害虫的杀虫效果等，都可以使用方差分析方法去解决。
方差分析原理方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间的差别基本来源有两个：(1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差异，称为组内差异，用变量在各组的均值与该组内变量值之偏差平方和的总和表示，记作SS w，组内自由度df w。
(2) 实验条件，实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。
用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表示，记作SS b，组间自由度df b。
总偏差平方和SS t = SS b + SS w。
组内SS t、组间SS w除以各自的自由度(组内dfw =n-m，组间dfb=m-1，其中n为样本总数，m为组数)，得到其均方MS w和MS b，一种情况是处理没有作用，即各组样本均来自同一总体，MS b/MS w≈1。
另一种情况是处理确实有作用，组间均方是由于误差与不同处理共同导致的结果，即各样本来自不同总体。
那么，MS b>>MS w(远远大于)。
MS b/MS w比值构成F分布。
用F值与其临界值比较，推断各样本是否来自相同的总体。
方差分析的假设检验假设有m个样本，如果原假设H0：样本均数都相同即μ1=μ2=μ3=…=μm=μ，m个样本有共同的方差。
方差分析方法的不足
方差分析方法的不足
方差分析法是一种假设检验的方法，它是分析目标在于检验各组的均值间差异是否在统计意义上显著，与其类似的统计方法还有t检验、卡方检验等，不同检验方法各有其不同的使用场景，下文就来讲讲方差分析法的优缺点、spss方差分析法检验显著性差异的具体步骤。
方差分析法的优点在于：
（1）它不受统计组数的限制，可接受大样本统计数量进行多重比较，能够充分地利用试验所提供数据来估计试验误差，可以将各因素对试验指标的影响从试验误差中分离开，是一种定量分析方法，可比性强，分析精度高；
（2）方差分析可以考察多个因素的交互作用。
方差分析法的缺点在于：
（1）涉及到全部数据，计算复杂；
（2）前提条件较为苛刻，需要数据样本之间相互独立，且满足正态分布和方差齐性，所以需要对数据进行方差齐性检验。
方差分析(ANOVA)简介
方差分析(ANOVA)简介方差分析(ANOVA)是一种统计分析方法，用于比较两个或多个组之间的均值是否存在显著差异。
它是一种实用而广泛应用的工具，常用于研究实验设计、质量控制、医学研究和社会科学等领域。
在本文中，我们将简要介绍方差分析的基本原理和应用，帮助你了解如何使用这一方法进行数据分析。
什么是方差分析？方差分析是一种通过比较组内差异和组间差异来确定不同组均值之间是否显著不同的统计分析方法。
它基于方差的概念，将总体方差分解为组内变异和组间变异，通过计算F值来判断各组均值是否存在显著差异。
方差分析最常见的形式是单因素方差分析，也就是比较一个因素（自变量）对一个因变量的影响。
然而，方差分析也可以应用于多因素实验设计，比较不同因素及其交互作用对因变量的影响。
方差分析的基本原理方差分析的基本原理是比较组内差异和组间差异，确定组间差异是否由于随机因素引起还是真实存在的。
组内差异是指同一组内个体之间的差异，组间差异是指不同组之间个体均值的差异。
方差分析使用方差比的概念来判断组间差异是否显著。
该概念定义为组间方差与组内方差的比值，当组间方差较大且组内方差较小时，该比值较大，表明组间差异显著；反之，该比值较小，表明组间差异不显著。
方差分析通过计算F值来判断组内差异和组间差异的相对大小。
F值是组间均方与组内均方的比值，如果F值大于给定的临界值，则可以推断组间差异显著，否则差异不显著。
方差分析的应用方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中。
它可以用于比较不同处理组的均值是否存在显著差异，评估实验结果的有效性和可靠性。
在科学研究中，方差分析可以用于比较不同实验组的平均值是否存在显著差异，例如测试新药物的疗效、评估肥料对作物产量的影响等。
在质量管理中，方差分析可以用于比较不同生产线、不同供应商或不同工艺参数对产品质量的影响，帮助确定最优的质量控制策略。
在社会科学研究中，方差分析可以用于比较不同人群、不同地区或不同时间点的数据，例如比较不同教育水平对收入的影响、比较不同性别对心理健康的影响等。
方差分析方法
10.2.1 单因素方差分析的问题
因而有： 因而有： (1) 粮食产量是随机变量，是数值型的变量； 粮食产量是随机变量，是数值型的变量； (2) 把同一化肥 的同一水平 得到的粮食产量看作 把同一化肥(A的同一水平 的同一水平)得到的粮食产量看作 同一总体抽得的样本， 同一总体抽得的样本，施用不同化肥得到的粮食产量 视为不同总体下抽得的样本， 视为不同总体下抽得的样本 ，表中数据应看成从三个 总体X 中分别抽了容量为6的样本的观测值 的样本的观测值. 总体 1，X2，X3中分别抽了容量为 的样本的观测值 推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异的问题， 推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异的问题， 就是要辨别粮食产量之间的差异主要是由随机误差造 成的，还是由不同化肥造成的， 成的，还是由不同化肥造成的，这一问题可归结为三 个总体是否有相同分布的讨论． 个总体是否有相同分布的讨论．
10.2.1 单因素方差分析的问题
由于在实际中有充分的理由认为粮食产量服从正 态分布, 且在安排试验时, 除所关心的因素(这里是化肥 这里是化肥) 态分布 且在安排试验时 除所关心的因素 这里是化肥 外, 其它试验条件总是尽可能做到一致. 其它试验条件总是尽可能做到一致 这使我们可以认为每个总体的方差相同 即 Xi～N(µi,σ2) i = 1, 2, 3 因此，推断三个总体是否具有相同分布的问题就简 因此， 化为： 化为：检验几个具有相同方差的正态总体均值是否相 等的问题， 等的问题，即只需检验 H0： µ 1 = µ 2 = µ 3
10. 10.2.2 单因素方差分析的数学模型
进行单因素方差分析时， 需要得到如表10.2所示的 进行单因素方差分析时 ， 需要得到如表 所示的 数据结构． 数据结构．
表10.2 单因素方差分析中数据结构
植物营养研究方法 第六章-3 方差分析
Sx
对前面例题进行q检验：
四种肥料玉米产量LSR值（q检验） P q0.05 q0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 3.00 4.13 31.02 42.70 3 3.65 4.78 37.74 49.43 4 4.05 5.19 41.88 53.66
四种肥料玉米产量差异显著性（q法）
字母标记法：
就是对没有显著差异的平均数标以相同字母，对有显著差异 的标以不同字母。 具体方法：首先是将欲比较的平均数按大小次序排列。然后 在最大的平均数上标上字母a(=0.05)或A(=0.01)；将该平 均数与以下平均数逐个相比，凡差异不显著者都标以字母a 或A，直至相差显著的平均数则标以字母b或B；再以标有b或 B的平均数为标准，与其上方比它大的平均数逐个相比，凡 相差不显著者一律标以字母b或B；再以标有b或B的最大平均 数为标准，与其下方未标记字母的平均数相比，凡相差不显 著者继续标以字母b或B，直至与之相差显著的平均数则标以 字母c或C，再与上面的平均数比较。如此重复进行，直至最 小的平均数有了标记字母并与上面的平均数比较后为止。
对上例题的各组平均值作新复极差检验：
四种肥料玉米产量LSR值（SSR检验） P 2 3 4
SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01
3.00 4.13 31.02 42.70
3.14 4.31 32. 47 44.57
3.24 4.42 33.50 45.70
四种肥料玉米产量差异显著性（SSR法）
差异显著性
肥料 A1 A4 A2 A3
平均数 311.8 279.8 262.8 247.4
=0.05 a b b b
=0.01 A AB B B
方差分析方法的比较
方差分析方法的比较方差分析是一种广泛应用于统计学中的方法，用于比较两个或多个群体之间的差异性。
近年来，社会科学领域中越来越多的研究者开始使用方差分析方法，但是同时也出现了很多其他的方法，并且每种方法都有其优缺点。
本文将对比几种不同的方差分析方法，以期能够帮助使用者更好地选择适用于自己研究的方法。
一、单因素方差分析单因素方差分析是最常见的一种方差分析方法，主要用于比较两个或多个群体在一个因素下的差异性。
例如，在一个心理学实验中，想要比较不同教育背景的学生在完成一个困难任务时所花费的时间是否有所不同，就可以使用单因素方差分析来进行比较。
单因素方差分析的优点在于简单易用，适用范围广泛。
同时，它还可以通过多个组合因素来进行协作。
然而，单因素方差分析也存在一些缺点。
例如，当因素较多时，它就不再适用。
此外，在不同条件下，虽然不同组别的差异显著，但是考虑到一些随机因素而无统计意义。
二、重复测度方差分析重复测度方差分析是一种常用的方差分析方法，主要用于比较同一群体在不同时间或不同情况下的差异性。
例如，在一个医学实验中，想要比较同一患者在接受不同治疗方案的情况下血压值的变化，就可以使用重复测度方差分析进行比较。
重复测度方差分析的优点在于可以减少测量误差，提高测试的稳定性。
此外，由于样本中存在了自身控制组，更容易发现实验组中出现的重要特征。
重复测度方差分析也存在一些缺点。
例如，如果要比较的两个时间之间的差异很小，则可能会导致拒绝零假设。
另外，重复测度方差分析所得到的结果比较关注群体的平均水平，而较少关注个体信息。
三、协方差分析协方差分析是一种常用的方差分析方法，主要用于比较两个或更多个因素之间的交互作用。
例如，在一个心理学实验中，想要比较学生的性别和教育背景对完成一个任务的影响，就可以使用协方差分析进行比较。
协方差分析的优点在于可以更深入地理解因素的交互作用。
此外，它比较灵活，因此可以适用于多个变量的情况。
然而，协方差分析也存在一些缺点。
统计学中的方差分析方法
统计学中的方差分析方法统计学是现代社会中最重要的学科之一，它基于大量的数据和数学模型，研究人类社会和自然环境中各种现象和规律。
其中，方差分析是统计学中最基本的分析方法之一，它常常被用来分析各种因素对某个变量的影响。
在本文中，我们将详细介绍方差分析方法的基本原理和应用。
一、方差分析的基本原理方差分析是利用方差的性质分析多组数据之间的差异或相似性的方法。
它是以方差分解为基础的，通过对总方差、组间平方和和组内平方和的分解，来度量实验因素对实验变量的影响。
在具体的研究过程中，我们通常将所研究的因素分为不同的组别，并在每个组别中测量实验变量的值，随后运用方差分析方法来分析不同组别之间的差异。
在方差分析中，我们通常采用F检验法来判断差异的显著性。
通过计算F值并与临界值进行比较，得出数据是否符合研究假设的结果。
如果F值大于临界值，则说明差异是显著的，反之则说明差异不显著。
F检验法在实际应用中非常广泛，适用于大多数实验设计和数据类型。
二、方差分析的应用方差分析方法可以用于各种不同类型的数据分析，如一元方差分析、双因素方差分析、三因素方差分析等等。
下面我们将分别介绍它们的应用。
1. 一元方差分析一元方差分析是指只有一个自变量和一个因变量的分析方法，也就是说只有一个因素影响一个变量。
一元方差分析通常用于分析实验组与对照组之间的差异或者不同处理方式对实验结果的影响等。
例如，我们要研究不同肥料对作物产量的影响，我们可以将实验分成几组，每组采用不同的肥料，最后对产量进行测量。
接着通过方差分析法来比较每组之间产量的差异，最后确定哪种肥料更适合提高作物产量。
2. 双因素方差分析双因素方差分析是指有两个自变量和一个因变量的分析方法，也就是说有两个因素对一个变量产生影响。
双因素方差分析通常用于研究两种或多种因素的交互效应。
例如，我们要研究不同机器和不同操作员对产品质量的影响，我们可以先在不同机器上制造同种产品，然后再让不同的操作员进行操作。
方差分析方法范文
方差分析方法范文方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个组（也称为处理组）之间的均值是否存在显著差异。
方差分析可以帮助我们确定处理组之间的差异是否是由于随机误差引起的，还是由于真实差异引起的。
方差分析的原理基于总变异性的分解。
对于每个处理组，我们可以计算该组内观察值的变异性，以及所有处理组的均值之间的变异性。
如果处理组之间的变异性大于组内的变异性，我们可以得出结论：处理组之间的差异很可能不是由于随机误差而产生的。
在这种情况下，我们可以认为至少有一个处理组的均值与其他处理组的均值存在显著差异。
方差分析可以分为一元方差分析和多元方差分析两种类型。
一元方差分析适用于只有一个自变量（或因素）的情况，而多元方差分析适用于有多个自变量（或因素）的情况。
多元方差分析还可以分为多因素方差分析和协方差分析。
在进行方差分析时，我们需要满足一些基本假设。
首先，观察值必须是独立的，并且来自正态分布的总体。
其次，各组的方差必须相等。
如果这些假设不成立，我们可能需要采用一些修正的方差分析方法，如Welch's ANOVA或Kruskal-Wallis检验。
方差分析的计算是通过比较组内变异性和组间变异性来进行的。
我们首先计算组内平方和（SSE），即每个处理组中观察值与该组均值的差的平方和。
然后计算组间平方和（SSB），即每个处理组均值与总体均值的差的平方和，再乘以该组的样本数。
最后，我们计算标准化的组内平方和（MSE），即每个处理组内平方和除以自由度，然后计算标准化的组间平方和（MSB），即每个处理组间平方和除以自由度。
通过计算组内均方（MSE）和组间均方（MSB），我们可以得出F比值。
F比值是组间均方除以组内均方，用于比较组间和组内的变异性。
如果F比值较大，说明组间差异较大，我们可以拒绝原假设，认为至少有一个处理组的均值与其他处理组的均值存在显著差异。
除了进行统计推断外，方差分析还可以计算效应量，如部分η平方（partial eta-squared）或ω平方（omega-squared）。
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方差分析方法
方差分析是统计分析方法中，最重要、最常用的方法之一。
本文应用多个实例来阐明方差分析的应用。
在实际操作中，可采用相应的统计分析软件来进行计算。
1.方差分析的意义、用途及适用条件
方差分析的意义
方差分析又称为变异数分析或F检验，其基本思想是把全部观察值之间的变异（总变异），按设计和需要分为二个或多个组成部分，再作分析。
即把全部资料的总的离均差平方和（SS）分为二个或多个组成部分，其自由度也分为相应的部分，每部分表示一定的意义，其中至少有一个部分表示各组均数之间的变异情况，称为组间变异（MS组间）；另一部分表示同一组内个体之间的变异，称为组内变异（MS组内），也叫误差。
SS除以相应的自由度（υ），得均方（MS）。
如MS组间>MS组内若干倍（此倍数即F值）以上，则表示各组的均数之间有显着性差异。
方差分析在环境科学研究中，常用于分析试验数据和监测数据。
在环境科学研究中，各种因素的改变都可能对试验和监测结果产生不同程度的影响，因此，可以通过方差分析来弄清与研究对象有关的各个因素对该对象是否存在影响及影响的程度和性质。
方差分析的用途
1.2.1两个或多个样本均数的比较。
1.2.2分离各有关因素，分别估计其对变异的影响。
1.2.3分析两因素或多因素的交叉作用。
1.2.4方差齐性检验。
方差分析的适用条件
1.3.1各组数据均应服从正态分布，即均为来自正态总体的随机样本（小样本）。
1.3.2各抽样总体的方差齐。
1.3.3影响数据的各个因素的效应是可以相加的。
1.3.4对不符合上述条件的资料，可用秩和检验法、近似F值检验法，也可以经过变量变换，使之基本符合后再按其变换值进行方差分析。
一般属Poisson分布的计数资料常用平方根变换法；属于二项分布的百分数可用反正弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正比关系，用平方根变换法又不易校正时，也可用对数变换法。
2.单因素方差分析（单因素多个样本均数的比较）
根据某一试验因素，将试验对象按完全随机设计分为若干个处理组（各组的样本含量可相等或不等），分别求出各组试验结果的均数，即为单因素多个样本均数。
用方差分析比较多个样本均数的目的是推断各种处理的效果有无显着性差异，如各组方差齐，则用F 检验；如方差不齐，用近似F值检验，或经变量变换后达到方差齐，再用变换值作F检验。
如经F
检验或近似F值检验，结论为各总体均数不等，则只能认为各总体均数之间总的来说有差异，但不能认为任何两总体均数之间都有差异，或某两总体均数之间有差异。
必要时应作均数之间的两两比较，以判断究竟是哪几对总体均数之间存在差异。
在环境科学研究中，常常要分析比较不同季节对江、河、湖水中某种污染物的含量有无显着性影响；各种气象条件如风向、风速、温度对大气中某种污染物含量的影响等问题。
我们把季节、风向、风速、温度等称为因素。
仅按不同季节，或不同的风向，或不同的温度来分组，称为单因素。
例1某年度某湖不同季节湖水中氯化物含量（mg/L）测定结果如表—所示。
试比较不同季节湖水中氯化物含量有无显着性差异。
从表—1的测定结果可见有三种变异：
1.组内变异：每个季节内部的各次测定结果不尽相同，但显然不是季节的影响，而只是由于误差（如个体差异、随机测量误差等）所致。
2.组间变异：各个季节的均数也不相同，说明季节对湖水中氯化物的含量可能有一定的影响，也包括误差的作用。
3.总变异：32次测定结果都不尽相同，既可能受季节的影响，也包括误差的作用。
不同季节湖水中氯化物含量的均数之间的变异究竟是由于误差所致，还是由于不同季节的影响，可以用方差分析来解决此问题。
方差分析可表示：
⑴从总变异中分出组间变异和组内变异，并用数量表示变异的程度。
⑵将组间变异和组内变异进行比较，如二者相差甚微，说明季节影响不大；如二者相差较大，组间变异比组内变异大得多，说明季节影响不容忽视。
以下是三种变异的计算方法：
多个方差的齐性检验
已知多个样本（理论上均来自正态总体）方差，可以据此推断它们所分别代表的总体方差是否相等，即多个方差的齐性检验。
其常用于：
⑴说明多组变量值的变异度有无差异。
⑵方差齐性检验。
以例1为例（各组样本含量相等），如表—4所示。
3.确定P值：根据υ=4—1=3，查附表—12得P<。
4.判断结果：由于P<，因此，四组方差不齐。
近似F值检验（F'检验）
以例2为例，如表—6所示。
公式26最常用，公式27适用于原数据中有小值和零时。
K为常数，可以根据需要选用合适的数值。
⑵对数变换的用途：
①当几个样本均数作比较时，如样本方差不齐，尤其是当标准差与均数之比的比值接近时，必须经对数变换以缩小各方差之间的差别，达到方差齐后才能进行t检验或方差分析。
②适用于呈对数正态分布的资料。
③在曲线拟合中，对数变换常常是直线化的重要手段，如指数曲线、双曲线、logistic曲线的直线化等。
例3欲用t检验比较某河丰水期和枯水期的河水BOD5（mg/L）含量均数，资料如表—7所示。
此数据能否直接用t检验方法如不能，试作变量变换。
二者比较接近，可以试用对数变换。
⑶将X作“lgX +1”变换后，再作方差齐性检验，得F=，P>，两组方差齐，可以用变换值作两样本均数比较的t检验。
2.平方根变换
以原数据的平方根作为统计分析的变量值，称为平方根变换。
⑴平方根变换的形式：
⑶百分数的概率单位变换：主要用于S形或反S形曲线的直线化、正态性检验，尤其适用于剂量反应曲线的直线化。
⑷百分数的logit变换：主要用于S形或反S形曲线的直线化。
⑸反双曲正切变换：用于两直线相关系数的比较与合并。
4.两因素方差分析（双因素多个样本均数的比较）
将试验对象按性质相同或相近者组成配伍组，每个配伍组有三个或三个以上试验对象，然后随机分配到各个处理组。
这样，分析数据时将同时考虑两个因素的影响，试验效率较高。
例5某市为了研究一日中不同时点以及不同区域大气中氮氧化物含量的变化情况，该市环保所于某年1月15～19日，在市区选择了7个采样点，对大气中氮氧化物的含量进行测定。
表—9为各个采样点每个时点五天的平均含量，试分析不同时点、不同区域氮氧化物含量之间有无显着性差异。
5.多因素方差分析（多因素多个样本均数的比较）
在环境科学研究中，所研究的事物或现象往往是比较复杂的多因素问题，而各种因素本身尚有程度的差别，其间往往又存在交互作用。
当研究的因素在三个或三个以上时，可以用正交试验法。
正交试验是一种高效、快速的多因素试验方法。
正交试验的设计与分析见另外章节。
“多因素多个样本均数的比较”不仅可以用于正交试验，也可以用于拉丁方试验分析与析因试验分析等。
6．多个样本均数间的两两比较（多重比较）
经方差分析后，如果各总体均数有显着性差异时，常需进一步确定哪两个总体均数间有显着性差异，哪两个之间无显着性差异。
因此，可以利用方差分析提供的信息作样本均数间的两两比较。
以例5为例：（每组样本含量相等）经方差分析后，认为不同时点以及不同区域的氮氧化物含量之间均有高度显着性差异。
现在需要进一步检验不同时点的氮氧化物含量均数两两之间有无显着性差异。
检验步骤如下：
1.检验假设：各时点的氮氧化物含量均数之间两两相等。
⑷q值的计算方法与上例相同。
3.确定P值与判断结果如表—13所示。