24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）说课课件11.4
九年级上数学《24.1.2 垂直于弦的直径》课件
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形
24.1.2垂直于弦的直径.PPT教学课件
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个14.
练习 1.如图所示:
C
A M└
B
(1)若CD⊥AB, CD是直径,
●O
则 AM=BM 、A⌒D=B⌒D
⌒⌒ 、 AC=BC
.
(2)若AM=MB, CD是直径,
D
则 CD⊥AB 、 A⌒D=B⌒D 、A⌒C=B⌒C .
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
E
BA
D
CD过圆心 CD⊥AB于E
A
O
D
B
D
B
O
A
C
C
AE=BE
AC= BC AD= BD
O
C
B
17
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦， CD⊥AB于E，则下列结论中不成C 立的是（ ）
A、∠COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=AE
⌒⌒
D、BD=BC
A
C
D
C
·O
AE D
知二推三
∵ CD是直径， CD⊥AB ∴ AE=BE,A⌒C ⌒ A⌒D ⌒ =BC, =BD.
• 老师提示:
B • 垂径定理是圆中一个重要的定理
,三种语言要相互转化,形成整体,
才能运用自如.
9
问题 & 探究3 问题：把垂径定理中的题设垂直于弦的 直径换为平分弦的直径。你会得到什么结论？
• 学习难点：垂径定理及其推论。
3
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？
• 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？
人教版九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径 教学课件(共17张PPT)
学习目标
1.理解圆的轴对称性； 2.掌握垂径定理，理解其推证过程； 3.能运用垂径定理解决圆中简单的计算与证明问题. 重点：垂径定理及其应用； 难点：垂径定理的理解.
观察与猜想:
条件: 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E，
你能发现图中有那些相等的线段（半径除外）和弧？为什么？
结论： 线段： AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
A
C
·O
E B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平
C
分弦所对的两条弧.
结论 O
符号语言：∵ ① Βιβλιοθήκη D是直径， ② CD⊥ABAE
B
∴ ③AE=BE，④A⌒C=B⌒C，⑤A⌒D=B⌒D.
D
垂径定理： ∵ ① 直径， ②垂直于弦， ∴ ③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧.
AB＝12cm，DE＝2㎝，求⊙O 的半径.
O
r r-2
6E
A
2B
D
C
变式: 如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E，
AB＝6cm，CE＝9㎝.求⊙O 的半径.
O
r 9-r
3E
A
B
D
D
弓高
A 半弦 E
B
. 半径
弦心距
O
A 半弦 E
B
. 半径
弦心距
O
弓高
D
知二推二
本节课你学到了什么？
当堂检测
1.如图，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，
则圆心O到AB的距离是
.
C
2.如图，⊙ O的直径CD⊥AB于E，AB＝8cm，
2412垂直于弦的直径(第一课时)精品PPT课件
2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O
到AB的距离是A____2_______cm，AB=___4______cm.
C
D
E
。
O
B 第1题图
。
O
A
H
B
第2题图
巩固练习：
3、半径为4 cm的⊙O中，弦AB=4 cm,
O
那么圆心O 到弦AB 的距离是 2 3cm.
A EB
4、⊙O的直径为10 cm，圆心O到弦AB的 距离OE=3 cm，则弦AB的长是 8cm .
O A EB
提高练习：
5、如图，⊙M与x轴交于A，B两点，与y轴 交于C，D两点，若M(2,0)，B(5,0)，
则C点的坐标是 y (0, 5.)
C
AOM
Bx
D
6、如图， ⊙ O的半径OC＝10㎝, DC＝2㎝，直 径CE⊥AB于D， 求弦AB的长.
E
O
D
A
B
C
小结
１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
C
·O
E B
问题：此定理的条件和结论分别是什么？
题设
结论
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
(1)过圆心 (2)垂直于弦
讨论
(3)平分弦 (4)平分弦所对优弧 (5)平分弦所对的劣弧
思考：
数学九年级上人教新课标24.1.2垂直于弦的直径说课稿.
数学九年级上人教新课标24.1.2垂直于弦的直径说课稿《垂直于弦的直径》说课稿各位老师，今天我说课的内容是：新人教版九年级第二十四章<<圆>>24.1.2垂直于弦的直径。
下面，我从教材分析、目的分析、教学方法与教材处理、学法指导、教学程序、板书设计及设计特色七个方面对本课的设计进行说明。
一、教材分析：本节内容是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
另外，本节课通过“实验--观察--猜想——合作交流——证明”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力、与人合作交流的能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。
因此，这节课无论从知识上，还是在从学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。
通过分析，我们看到“垂径定理”在教材中起着重要的作用，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有广泛的应用,因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。
由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节的又一难点。
因此，本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。
而理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。
二、目的分析：新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上。
新数学课程数理念下的数学教学不仅是知识的教学，技能的训练，更应重视能力的培养及情感的教育，因此根据本节课教材的地位和作用，结合我所教学生的特点，我确定本节课的教学目标如下：知识与技能：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
过程与方法：教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。
24.1.2《垂直于弦的直径》ppt课件
结论是否成立？
C
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直
于弦,并且平分弦所对的两条弧.
O
数学表达式：
E
A
B
CD是直径，AB是弦
AE=BE,
可推得
CD⊥AB
⌒⌒
D
AC=BC,
A⌒D=B⌒D.
图１
第9页，共20页。
Ｃ
几何语言表述
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
由 ① CD是直径
Ｄ
② CD⊥AB
推论：
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
1、2题
第20页，共20页。
（2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦 AB是否一定被直径CD平分？
C B
O
C
B O
A D
AD
思考并猜想：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时， 弦AB有可能被直径CD平分？
第4页，共20页。
看一看
C
C
.O
A E B D
AE≠BE
.O
A
E
B
D
AE＝BE
第5页，共20页。
活动三
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使 CD⊥AB，垂足为E，沿着直径CD折一折， 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为 什么？
13 cm 4
.
C
A
D
B
O
第18页，共20页。
小结
１、圆的轴对称性 ２、垂径定理及其推论的图式
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦 直径平分弧 =>
24.1.2垂直于弦的直径(上课课件)
R
O
OA2=AD2+OD2
即
R2=18.52+（R－7.23）2
解得：R≈27．3（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： 连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4 22
实践应用 赵州桥的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国 隋代建造的石拱桥,是我国古代劳动人民勤劳与 智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半
径吗？ (精确到0.1m).
实践应用
重（难）点：重点：“垂径定理”及其应 用 难点：垂径定理的题设和结论以及垂径
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
创设情境，探索垂径定理
看一看
C
C
.O
A E B D
AE≠BE
.O
A
E
B
D
AE＝BE
创设情境，探索垂径定理
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
又 ∵AC=AB
2
2
C
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·O
A
D
B
说出你这节课的收获和体验，让大家 与你一起分享！！！
24.1.2垂直于弦的直径 原创课件
24.1.2 垂直于弦的直径
问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,你能求出赵州 桥拱的半径吗?
探究 用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做
几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?(课件:探 究圆的性质)
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因 为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既 是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O 的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD 折点AA⌒DE叠和＝分时B⌒B别点，E和重，CB合AD⌒ ⌒CC两，、＝侧A⌒BB⌒E的CD和两，重B⌒个A合ED重半。＝合圆因B，重D此A合⌒C，、A
练习：
1.如图2,在⊙O中,直径MN⊥ AB于C,则下列结论错误的
是( C ) A.AC=BC
B.A⌒N=B⌒N
C.OC=CN
⌒⌒ D.AM=BM
2.如图3,在⊙O中,弦AB的长为8CM,圆心O到AB的距 离OD=3CM,则⊙O的半径为 CM 5
M
A
B
O
C
A
B
N
O <3>
讲解
问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,你能求出赵州 桥拱的半径吗?
在RT⊿OAD中,由勾股定理A,得
OA2=AD2+OD2
B
D
即
R2=18.72+(R-7.2)2
Байду номын сангаас
解得 R≈27.9(M)
O
因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9M
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24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）说课课件11.4
24.1.2垂直于弦的直径教材分析教学目标学情分析教学过程学法指导教法指导1教材的地位与作
用：本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。
它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是今后证明
涉及圆的线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据。
2.教学重点：垂径定理及其应用。
3.教学难点：（1）区分垂径定理的题设和结论。
（2）应用垂径定理进行计算或简单的证明。
4.教材处理：本着“学生为主体，教师为主导”的教学理念。
这节课首先创设情境，提出问题，再让学生带着问题去探索和思考通过交流合作，最后得出垂径定理，以及利用定理解决实际问题。
教材分析知识目标：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
德育目标：渗透数学来源于实践和事物之间相互统一、相互转化的辩证唯物主义观点，让学生体会几何图形所蕴涵的对称美。
能力目标：数形结合、方程等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、推理等逻辑思维能力和识图能力。
教学目标学情分析教学方法教学,学法指导1.从知识层面上说，我班学生几何基础还算不错，喜欢动手去发现问题，解决问题。
.从能力上讲，观察图形的能力已初步形成，但在推理，证明方面还是不足从心理特点上讲，我班学生的好奇心很强，思维较活跃，愿意接受新事物.以“动手—思考--- 证明---例题---练习---总结”为主线，我采用启发法，探究法和讨论法等教学方法相结合。
通过自学，培养学生独立思考和自主探究学习的能力。
通过自主探索与小组合作交流的学习方法，在教学中活跃学生思维，可以培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
教学过程45动手发现，知识形成10思考归纳发现定理5结论证明加深
理解10例题讲解巩固深化8随堂练习学以致用9课堂回顾画龙点
睛2布置作业1把一个圆沿着它的任意一条直径对
折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．如图，AB
是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些
相等的线段和弧？为什么？·OABCDE（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对
称轴，圆也是中心对称图形，对称中心是圆的中心（2）线段：AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒·O
ABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．⌒⌒即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB,并且平分AB及ACB定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条
弧.●OABCDM└推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
●OABCDM③A
M=BM,由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,②CD⊥AB,由①
CD是直径③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得垂径定理定理垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧.●OABCDM└已知CD是直径,CD⊥AB 于点M求证AM=EM推论平分弦（不
是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB交AB于点M。
求证C D⊥AB●OABCDM例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距
离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？OABDCr解得R≈27.9.ODABCR解决求赵州桥拱
半径的问题：在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R
－7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约
为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4m，CD=7.2m，OD=OC－CD=R－7.2在图中如图，用弧
AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论
可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．（m）,1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3
cm，求⊙O的半径．·OABE解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂
直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.∴∵OE⊥ACOD⊥AB。