高中数学新课标人教A版选修2-1：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课件(共20张ppt)
B ) 3.以下四个命题中正确的是(
A．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示 B．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全 不是零向量 C．若向量a ⊥ b，则a，b与任何一个向量都不能构 成空间的一个基底 D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
C
O M
OQ = OM + MQ Q A 1 1 P = OA + MN 2 3 N 1 1 1 = OA + (ON - OA) B 2 3 2 1 1 1 1 1 = OA + (OB + OC)= OA + OB + OC . 3 6 3 6 6
设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的 单位向量 我们称它们为单位正交基底 ， 以e1，e2，e3的公共起点O为原点， 分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正 方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间 任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的 起点与原点O重合，得到向量OP = p.由
3.1.4 空间向量的正交分解
及其坐标表示
对空间任意两个向量a, （ b b ≠ 0）， a / /b的 充要条件是存在实数λ ，使a＝λ b.
共面向量定理: 如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b
共线向量定理:
共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb.
4．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点， C ) 且OA＝a， OB＝b， OC＝c，用a，b，c表示向量MN为 ( 1 1 1 A. a + b + c 2 2 2 1 1 1 C． - a+ b+ c 2 2 2 1 1 1 B. a - b + c 2 2 2 1 1 1 D.- a + b - c 2 2 2
空间向量基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3 我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3 下的坐标，记作p =(x，y，z). 此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标 x,y,z .
i x
y
Q
由平面向量基本定理可知，存在 有序实数对 x,y ， 使得OQ = xi + yj. 从而OP = OQ + zk = xi + yj + zk. 如果 i,j,k是空间三个两两垂直的向量， 那么，对空间任一个向量p， 存在一个有序实数组 x,y,z , 使得p = xi + yj + zk. xi,yj,zk为向量p在 i,j,k上的分向量.
O-ABC 是四面 体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1 上的一点， 且 OG＝3GG1.若 OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则 ( x ， y ， z) 为 ( A ) 1 1 1 3 3 3 A ．( ， ， ) B ．( ， ， ) 4 4 4 4 4 4 1 1 1 2 2 2 C ．( ， ， ) D ．( ， ， ) 3 3 3 3 3 3
由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量 都可以用三个不共面的向量表示出来.
例1.如图，M，N分别是四面体OABC的 边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点. 用向量 OA,OB,OC表示OP和OQ. O 1 2 解 :OP = OM + MP = OA + MN M 2 3 2 1 1 Q = OA + (ON - OA) A 2 3 2 P 1 1 1 N = OA + OB + OC. 6 3 3 B
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
C
例 2．如图，已知正方体 ABCD－A′B′C′D′，点 → E 是上底面 A′B′C′D′的中心，求用→ AB，→ AD，AA ′为 -→ -→ 基底表示BD′， AE .
1 AE AA ' A ' E AA ' A ' B ' A ' D ' 2 1 1 AB AD AA '. 2 2
探究点1 空间向量基本定理 如图，设 i,j,k是空间三个两两垂直的向量， 且有公共起点O.对于空间任意一个向量p = OP, 设点Q为点P在 i,j所确定的平面上的正投影， 由平面向量基本定理可知， z 在OQ,k所确定的平面上， 存在实数z，使得OP = OQ + zk, P k j O 而在 i,j所确定的平面上，
5．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中建立空间直角
坐标系，若正方体的棱长为 1，则 AC 1 的坐标
为 ， CD1 的坐标为 (－1,0,1) ．
(1,1，－1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求. 2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.
y
i (1,0), j (0,1),0 (0,0).
a xi y j
a
x
j
o i
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决
一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点)
3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系 中写出向量的坐标.
探究点 2 在空间中，如果用任意三个不共面 向量a,b,c代替两两垂直的向量 i,j,k,能得到类似 的结论吗？ 空间向量基本定理： 如果三个向量a,b, c不共面，那么对空间 任一向量p, 存在有序实数组 x , y, z , 使得p xa yb z c . 空间所有向量的集合{p | p xa yb z c , x , y , z R } {a,b, c}叫做空间的一个基底，a,b, c都叫做基向量.
平面向量基本定理： 如果e1， e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ 1，λ 2，使a＝λ 1 e1＋λ 2 e2 . （e1、 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底）
平面向量的正交分解及坐标表示
2. 设x = a + b,y = b + c,z = c + a,且a,b,c 是空间的一个基底,给出下列向量组 ① a,b,x; ② x,y,z; ③ b,c,z; ④ x,y,a + b + c. 其中可以作为空间的基底的向量组 有 A.1个 B.2个 ( C ) C.3个 D.4个
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【人教A版】高中选修2-1数学：3.1.4-空间向量的正交分解及其坐标表示
解答
类型三 空间向量的坐标表示
解答
解答
引申探究
解答
用坐标表示空间向量的步骤
反思与感悟
答案 解析
∵OM＝2MA，点M在OA上，
当堂训练
1.在以下三个命题中，真命题的个数是 答案 解析
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则
梳理
(1)空间向量基本定理
条件 三个 不共面 的向量a，b，c和空间任一 向量p 结论 存在有序实数组{x，y，z}，使得_p_＝__x_a_＋__y_b_＋__zc_
(2)基底 条件：三个向量a，b，c 不共面 . 结论： {a，b，c} 叫做空间的一个基底. 基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量.
a、b共线；
③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}
构成空间的一个基底.
A.0
B.1
√C.2
D.3
①正确.基底的量必须不共面；②正确； ③不正确.a，b不共线，当c＝λa＋μb时，a、b、c共面，故只有①②正确.
1 2345
2.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k， c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是 答案 解析
知识点二 空间向量的坐标表示
思考1
平面向量的坐标是如何表示的？ 答案
在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量 i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知， 有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a 都可由x，y惟一确定，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标， 记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
人教A版高中数学选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
[解题过程] ∵O→G＝O→A＋A→G，而A→G＝23A→D，A→D＝O→D －O→A，
又D为BC中点． ∴O→D＝12(O→B＋O→C)， ∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C) ＝13(a＋b＋c)．
1．对基底的理解 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基 底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底惟一表示． (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共 面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0. (3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空 间向量构成；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关 联的不同概念．
∴m＝17，n＝－5，z＝－30.
∴O→P ＝17O→A －5O→B －30O→C .
[题后感悟] 判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为 基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常 用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．
2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一 个基底，给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}； ⑤{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间基底的向量组有( )
A．1个
B．2个
C．3个D．4个
解析： 如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A1，
c＝A→D ，则 x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C，
a＋b＋c＝A→C1，由 A、B1、C、D1 四点 不共面，
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的 一组向量是( )
A．2a，a－b，a＋2b
高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.1.4《空间向量运算的正交分解及基坐标表示》课件
2
空间向量及其运算-共线与共面
复习问题引入 练习1、2
共面向量定 理
3
复习回顾: 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 向量． a 平行于 b 记作 a // b ． 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
2.共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 ， b（ b ≠ 0 ）
13
14
15
D1 A1 D A B1 E
C1
F
B
C
16
1答案
2答案
证明: 设正方体的棱长为1,
A1
D1
z
C1 B1
建立如图的空间直角坐标系
A
D F
E C
y
x
B
17
18
1.基本知识：
（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；
（2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
19
20
分析:
Байду номын сангаас
证三点共线可 尝试用向量来分析.
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求
的值.
6
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求 的值.
学习共面
7
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
共线与共面分析
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b . 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
空间向量及其运算-共线与共面
复习问题引入 练习1、2
共面向量定 理
3
复习回顾: 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 向量． a 平行于 b 记作 a // b ． 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
2.共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 ， b（ b ≠ 0 ）
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D1 A1 D A B1 E
C1
F
B
C
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1答案
2答案
证明: 设正方体的棱长为1,
A1
D1
z
C1 B1
建立如图的空间直角坐标系
A
D F
E C
y
x
B
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1.基本知识：
（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；
（2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
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20
分析:
Байду номын сангаас
证三点共线可 尝试用向量来分析.
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求
的值.
6
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求 的值.
学习共面
7
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
共线与共面分析
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b . 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
新人教A版数学选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
方法技巧 (1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和 平行四边形法则,以及数乘向量的运算进行.
(2)若没给定基底时,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方 便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.
即时训练 2-1:(1)在空间四边形 ABCD 中,AC 和 BD 为对角线,G 为△ABC 的重心,E
注意:(1)若p=xa+yb+zc,则xa+yb+zc叫做向量a,b,c的线性表示式或线性 组合,或者说p可以由a,b,c线性表示. (2)对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面外,还应明确以下三点:① 空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.②基底中的三 个向量a,b,c都不是0.这是因为0与任意向量共线,与任意两个向量共面. ③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的,是一个向量组,基向 量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念.
解析: OA =2a+b+3c=8i+4j+2j+3k+9k-3j=8i+3j+12k. 所以点 A 的坐标为(8,3,12).故选 D.
4.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量,
且向量p=i-3j+ 1 k,则p的坐标为
.
2
答案:(1,-3,1 )
2
5.从空间一点 P 引出三条射线 PA,PB,PC,在 PA,PB,PC 上分别取 PQ =a, PR =b,
使得p=xa+yb+zc.
(2)空间向量基本定理的证明
如图,已知 a,b,c 不共面,过点 O 作 OA =a, OB =b, OC =c, OP =p.过点 P 作直线 PP′∥OC,交平面 OAB 于点 P′,在平面 OAB 内过点 P′作 P′A′∥OB,P′B′∥ OA,分别与直线 OA,OB 交于点 A′,B′,连接 OP′.于是存在三个实数 x,y,z,使
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.1 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 (共72张PPT)
最孤独的时光，会塑造最坚强的自己。 只要有信心，人永远不会挫败。 我们的人生必须励志，不励志就仿佛没有灵魂。 如果我们一直告诫自己要开心过每一天，就是说我们并不开心。 善良的人永远命是弱者的借口，运是强者的谦辞，辉煌肯定有，就看怎么走。 只要还有明天，今天就永远是起跑线。
人生终有许多选择。每一步都要慎重。但是一次选择不能决定一切。不要犹豫，作出选择就不要后悔。只要我们能不屈不挠地奋斗，胜利就 在前方。 一个人最炫耀什么，说明其内心最缺乏什么；一个人越在意的地方，也是其最自卑的地方。 我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。 人必须有自信，这是成功的秘密。 同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 希望，只有和勤奋作伴，才能如虎添翼。 人总是在失去了才知道珍惜！ 当你能飞的时候就不要放弃飞。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。 不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！ 你既认准这条路，又何必在意要走多久。 当你能飞的时候就不要放弃飞。
人生终有许多选择。每一步都要慎重。但是一次选择不能决定一切。不要犹豫，作出选择就不要后悔。只要我们能不屈不挠地奋斗，胜利就 在前方。 一个人最炫耀什么，说明其内心最缺乏什么；一个人越在意的地方，也是其最自卑的地方。 我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。 人必须有自信，这是成功的秘密。 同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 希望，只有和勤奋作伴，才能如虎添翼。 人总是在失去了才知道珍惜！ 当你能飞的时候就不要放弃飞。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。 不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！ 你既认准这条路，又何必在意要走多久。 当你能飞的时候就不要放弃飞。
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(共20张ppt) .ppt
不是零向量 C．若向量ar ⊥ br ，则ar ，br 与任何一个向量都不能构
成空间的一个基底
D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
4．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点， 且OuuAr＝ar ，OuuBr＝br ，OuuCr＝cr ，用ar ，br ，cr 表示向量MuuNr为 ( C )
单位向量 我们称它们为单位正交基底，
以er1，er 2，er 3的公共起点O为原点， 分别以er1，er 2，er 3的方向为x轴，y轴，z轴的正
方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间
任意一个向量pr ，一定可以把它平移，使它的
uur 起点与原点O重合，得到向量OP
=
pr .由
空间向量基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，使得pr ＝xer1＋yer 2＋zer 3 我们把x，y，z称作向量pr 在单位正交基底er1，er 2，er 3 下的坐标，记作pr =(x，y，z). 此时向量pr 的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz
探究点1 空间向量基本定理
rrr
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，
且有公共起点O.对于空间任意一个向量pr
=
uur OP,
rr
设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，
由平uur面r 向量基本定理可知，
z
在OQ,k所确定的平面上，
uur uur r
存在实数z，使得OP = OQ + zk,
中的坐标 x,y,z.
由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量
都可以用三个不共面的向量表示出来.
例1.如图，M，N分别是四面体OABC的
边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.
成空间的一个基底
D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
4．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点， 且OuuAr＝ar ，OuuBr＝br ，OuuCr＝cr ，用ar ，br ，cr 表示向量MuuNr为 ( C )
单位向量 我们称它们为单位正交基底，
以er1，er 2，er 3的公共起点O为原点， 分别以er1，er 2，er 3的方向为x轴，y轴，z轴的正
方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间
任意一个向量pr ，一定可以把它平移，使它的
uur 起点与原点O重合，得到向量OP
=
pr .由
空间向量基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，使得pr ＝xer1＋yer 2＋zer 3 我们把x，y，z称作向量pr 在单位正交基底er1，er 2，er 3 下的坐标，记作pr =(x，y，z). 此时向量pr 的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz
探究点1 空间向量基本定理
rrr
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，
且有公共起点O.对于空间任意一个向量pr
=
uur OP,
rr
设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，
由平uur面r 向量基本定理可知，
z
在OQ,k所确定的平面上，
uur uur r
存在实数z，使得OP = OQ + zk,
中的坐标 x,y,z.
由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量
都可以用三个不共面的向量表示出来.
例1.如图，M，N分别是四面体OABC的
边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.
高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教案 新人教A版选修2-1
3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程1．情景创设： 平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？2．建构数学：如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。
在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到OA =xi y j zk ++。
因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。
这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。
类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。
设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则a +b ＝（112233,,a b a b a b +++），a －b ＝（112233,,a b a b a b ---），λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。
空间向量平行的坐标表示为a ∥b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ⇔===∈R 。
例题分析：例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。
例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。
例3：求点A（2，－3，－1）关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点。
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(共20张)
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
共线向量定理: 共面向量定理:
平面向量基本定理：
y 平面向量的正交分解及坐标表示
o
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
中写出向量的坐标.
z
k
P
Oj
y
i
x
Q
O M
A
Q
C
P
N
B
O M
A
Q
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
N
B
A
C
B
C
(1,1，－1) (－1,0,1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.
共线向量定理: 共面向量定理:
平面向量基本定理：
y 平面向量的正交分解及坐标表示
o
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
中写出向量的坐标.
z
k
P
Oj
y
i
x
Q
O M
A
Q
C
P
N
B
O M
A
Q
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
N
B
A
C
B
C
(1,1，－1) (－1,0,1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.
高中数学新人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
则xa+yb+zc=x'a+y'b+z'c,
所以(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c=0.
又a,b,c不共面,所以x-x'=0,y-y'=0,且z-z'=0,即x=x',y=y',且z=z'.
所以p=xa+yb+zc的表示情势是唯一的.
重难聚焦
2.空间向量的坐标表示
剖析:(1)单位正交基底.如果空间的一个基底的三个基向量互相
典例透析
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个
基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},
其中可以作为空间的基底的向量组有(
)
A.1个 B.2个 C.3个D.4个
典例透析
题型一
.
答案:(3,2,-1),(-2,4,2)
重难聚焦
1.空间向量基本定理的证明
剖析:(1)存在性:分四步,如图所示.
①平移:设 a,b,c 不共面,过点 O作 =a, =b, =c, =p;
②平行投影:过点 P 作直线 PP'∥OC,交平面 OAB 于点 P',在平
面 OAB 内过点 P'作 P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线 OA,OB 交于点
重难聚焦
(3)空间向量的坐标.给定一个空间直角坐标系和向量 a,且设
i,j,k 为坐标向量,则存在有序实数组{x,y,z},使 a=xi+yj+zk,把 x,y,z 叫
所以(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c=0.
又a,b,c不共面,所以x-x'=0,y-y'=0,且z-z'=0,即x=x',y=y',且z=z'.
所以p=xa+yb+zc的表示情势是唯一的.
重难聚焦
2.空间向量的坐标表示
剖析:(1)单位正交基底.如果空间的一个基底的三个基向量互相
典例透析
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个
基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},
其中可以作为空间的基底的向量组有(
)
A.1个 B.2个 C.3个D.4个
典例透析
题型一
.
答案:(3,2,-1),(-2,4,2)
重难聚焦
1.空间向量基本定理的证明
剖析:(1)存在性:分四步,如图所示.
①平移:设 a,b,c 不共面,过点 O作 =a, =b, =c, =p;
②平行投影:过点 P 作直线 PP'∥OC,交平面 OAB 于点 P',在平
面 OAB 内过点 P'作 P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线 OA,OB 交于点
重难聚焦
(3)空间向量的坐标.给定一个空间直角坐标系和向量 a,且设
i,j,k 为坐标向量,则存在有序实数组{x,y,z},使 a=xi+yj+zk,把 x,y,z 叫
高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
BC的中点, P,Q是MN的三等分点.用向量OA,OB,OC
表示OP和OQ.
O
解 OP OM MP 1 OA 2 MN M
1 OA 2
2 ON OM
3
Q
23AΒιβλιοθήκη 1 OA 2 [1 (OB OC) 1 OA]
P
C
N
2
32
2
B
1 OA 1 OB 1 OC 1 OA 2333
2 ON OM
3
Q
23
A
1 OA 12 [1 (OB OC) 1 OA]
P
C
N
2
32
2
B
1 OA 1 OB 1 OC 1 OA
2
63
36
36
3.116
1 OA 1 OB 1 OC
36
63
36
1空.平间面向量的坐标表示
如图,在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方、向z轴相方同向
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
的两三个单位向量 i、 j 作、为k 基作底为, 基底,
任何一个向 量 a , 由 空平间面 向量基本定理知, y
有且只有一 对组 实数 x、y, z, 使得
a xi y j zk ············向量表示