到两个定点距离积为定值的轨迹卡西尼卵形线的几何画板作法常州
2023年普通高等学校招生全国统一考试北京数学试卷
2023普通高等学校招生全国统一考试·北京卷数学一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合A ={x ∈N }2，集合B ={y |y =x 2+2}，则A ∩B =（ ）A.[1，4]B.[2，4]C.{1，2，3，4}D.{2，3，4}2.复数z 满足z i=2－i ，则下列结论正确的是 A.z 2+2z －5=0B.z =1+2iC.z 在复平面内对应的点位于第四象限D.|z3.若(1－2x )2023=a 0+xa 1x +a 2x 2+...+a 0x 2023，则号20231222023...222a a a +++的值为（ ） A.－1B.0C.12D.1 4.“α＞6π”是“α－sin α＞36π-”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －1)2+y 2=4，若直线l ：x +y +m =0上有且只有一个点P 满足；过点P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，且使得四边形PMCN 为正方形，则正实数m 的值为（ ）A.1C.3D.76.已知奇函数f (x )在R 上是减函数，g (x )=xf (x )，若a =g (－log 25.1)，b =g (3)，c =g (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a <b <cB.c <b <aC.b <c <aD.b <a <c7.已知双曲线E ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的焦点关于渐近线的对称点在双曲线E 上，则双曲线E 的离心率为（ ）B.2D.28.英国数学家生顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法－NewtorRaphso －method 译为生顿－拉夫森法.做法如下：设r 是f (x )=0的根，选取x 0作为r 的初始近似值，对点(x 0，f (x 0))做曲线y =f (x )的切线l ：y －f (x 0)=f ’(x 0)(x －x 0)，则l 与x 轴交点的横坐标为01000()('()0)'()f x x x f x f x =-≠，称x 1是r 的一次近似值；重复以上过程，得r 的近似值序列，其中1()('()0)'()n n n n n f x x x f x f x +=-≠，称x n +1是r 的n +1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数f (x )=ln x +x －3的零点一次近似值为(精确到小数点后3位.参考数据：ln2=0.693)（ ）A.2.207B.2.208C.2.205D.2.204 9.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、AA 1的中点，G 为线段B 1C 上一个动点，则下列错误的是（ ）A.存在点G ，使直线B 1C ⊥平面EFGB.存在点G ，使平面EFG /平面BDC 1C.三棱锥A 1－EFG 的体积为定值D.平面EFG 截正方形所得截面的最大面积为9810.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，M (－2，0)，N (2，0)，动点P 满足|PM |▪|PN |=5，则下列结论正确的是（ ）A.点P 的横坐标的取值范围是[] B.|OP |的取值范围是[1，3] C.△PMN 面积的最大值为5D.|PM |+|PN |的取值范围是，5]二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11.在等比数列{a n }中，a 2=2，且131154a a +=，则a 1+a 3的值为_________. 12.设向量a 与向量b 的夹角为θ，定义a 与b 的向量积：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |=|a ||b |sin θ，若m =(1，0)，n =(－1，则|m ×n |=_________. 13.已知函数f (x )=sin ωx +3cos ωx (ω>0)的零点依次构成一个公差为2π的等差数列，把函数f (x)的图象向右平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )是_________函数.(填奇、偶、非奇非偶)14.已知F 为抛物线C ：y 2=3的焦点，过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若|AF |=λ|BF |=λ，则λ=_________.15.对于定义域为D 的函数y =f (x )，若存在区间[a ，b ]⊆D 使得f (x )同时满足：①f (x )在[a ，b ]上是单调函数；②当f (x )的定义域为[a ，b ]时，f (x )的值域也为[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为该函数的一个“和谐区间”，M 则下列正确的序号是_________. ①函数f (x )=x 3+12x 有3个“和谐区间” ②函数f (x )=x 2+14，x ∈[0，+∞]存在“和谐区间”③若定义在(3，12)上的函数()2492tx t f x x =---有“和谐区间”，则t 的取值范围为(4，6)④若函数()f x m =在定义域内有“和谐区间”，则m 的取值范围为(94-，2-)三、解答题(共6小题共85分。
卡西尼卵形线讲解学习
卡西尼卵形线
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卡西尼卵形线，焦点为(-1, 0)和(1, 0)
卡西尼卵形线，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，是环面曲线的一种。
也就是说，如果我们定义dist(a,b)为从点a到点b的距离，则卡西尼卵形线上的所有点都满足以下的方程：
其中b是常数。
q
和q2称为卵形线的焦点。
1
假设q1是点(a,0)，q2是点(-a,0)，则曲线的方程为：
或
以及
极坐标系中的方程为：
卵形线的形状与比值b/a有关。
如果b/a大于1，则轨迹是一条闭曲线。
如果b/a小于1，则轨迹是两条不相连的闭曲线。
如果b/a等于1，则是伯努利双扭线。
山西省太原市2024高三冲刺(高考数学)人教版能力评测(提分卷)完整试卷
山西省太原市2024高三冲刺（高考数学）人教版能力评测(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，第(2)题已知三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，，，若球O的体积为，三棱锥的体积为2，G，H分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(3)题在的展开式中的系数为（）A．160B．240C．360D．800第(4)题如图，在正方体中，分别为棱，，的中点，则与MN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(5)题已知，，则（）A．B．C．D．第(6)题复数在复平面内对应的点为，则（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知在中，向量，，满足且，则为（）A．等腰直角三角形B．非等腰的直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（）A ．曲线C 与y 轴的交点为，B ．曲线C 关于x 轴对称C ．面积的最大值为2D ．的取值范围是第(2)题已知函数，则（ ）A ．为周期函数B ．的图象关于轴对称C ．的值域为D ．在上单调递增第(3)题某商场前有一块边长为60米的正方形地皮，为了方便消费者停车，拟划出一块矩形区域用于停放电动车等，同时为了美观，建造扇形花坛，现设计两种方案如图所示，方案一：，在线段上且，方案二：在圆弧上且．若花坛区域工程造价0.2万元/平方米，停车区域工程造价为0.1万元/平方米，则下列说法正确的是（ ）A ．两个方案中矩形停车区域的最大面积为2400平方米B ．两个方案中矩形停车区域的最小面积为1200平方米C ．方案二中整个工程造价最低为万元D ．两个方案中整个工程造价最高为万元三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知双曲线C ：的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线 C 的离心率为，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.第(2)题已知，则___________.第(3)题已知F 为双曲线的右焦点，A 为C 的左顶点，B 为C 上的点，且垂直于x 轴，若C 的离心率为5，则的斜率为______________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题一个袋中有3个红球和2个白球，采用无放回的方式从袋中任取3个球，取到的白球数目用表示，求离散型随机变量的概率分布．第(2)题已知函数.(1)当时，求在处的切线方程；(2)证明：当时，.第(3)题在以视觉为主导的社交媒体时代，人们常借助具有美颜功能的产品对自我形象进行美化.移动端的美颜拍摄类APP 主要有两类：类是以自拍人像、美颜美妆为核心功能的APP ；类是图片编辑、精修等图片美化类APP.某机构为调查市民对上述，两类APP 的使用情况，随机调查了部分市民.已知被调查的市民中使用过类APP 的占60%，使用过B 类APP 的占50%，设个人对美颜拍摄类APP 类型的选择及各人的选择之间相互独立.(1)从样本人群中任选1人，求该人使用过美颜拍摄类APP 的概率；(2)从样本人群中任选5人，记为5人中使用过美颜拍摄类APP 的人数，设的数学期望为，求；(3)在单独使用过，两类APP 的样本人群中，按类型分甲、乙两组，并在各组中随机抽取8人，甲组对类APP ，乙组对类APP 分别评分如下：甲组评分9486929687939082乙组评分8583859175908380记甲、乙两组评分的平均数分别为，，标准差分别为，，试判断哪组评价更合理.（设（），越小，则认为对应组评价更合理.）参考数据：，.第(4)题定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②：①；②．(1)写出最小的“漂亮数”；(2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”；(3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率．第(5)题三棱锥中，平面，，，并且是直角．(1)求二面角所成角的余弦值；(2)若，，上各取一点，，设()，当为何值时，平面平面．。
卡西尼卵形线
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卡西尼卵形线
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卡西尼卵形线，焦点为(-1, 0)和(1, 0)
卡西尼卵形线，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的，是的一种。
也就是说，如果我们定义dist(a,b)为从点a到点b的距离，则卡西尼卵形线上的所有点都满足以下的方程：
其中b是。
q1和q2称为卵形线的。
假设q1是点(a,0)，q2是点(-a,0)，则曲线的方程为：
或
以及
中的方程为：
卵形线的形状与比值b/a有关。
如果b/a大于1，则轨迹是一条闭曲线。
如果b/a小于1，则轨迹是两条不相连的闭曲线。
如果b/a等于1，则是。
运城市2024-2025学年高三摸底调研测试数学试题与答案
运城市2024-2025学年高三摸底调研测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知复数112iz =+，则z 的虚部是（）A ．2B ．2iC ．2i 5-D ．25-2．命题2:3,2x p x x ∃>≥的否定为（）A ．23,2xx x ∃><B ．23,2x x x ∀><C ．23,2xx x ∃≤≥D ．23,2xx x ∀≤<3．已知向量()()1,3,2,a b m == ，若()a b a -∥，则m =（）A ．1B ．2C ．3D ．64．已知()1sin ,tan 5tan 2αβαβ+==，则()sin αβ-=（）A ．13B ．3C ．34D ．125，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A ．6π3B ．26π3C ．46π3D ．86π36．下列说法错误的是（）A ．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B ．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C ．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强D ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2 3.937χ=，根据小概率0.05α=值的独立性检验()0.05 3.841x =，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.057．曲线()()22e 2xf x x x x =--+在2x =处的切线方程是（）A ．()()2e 22y x =--B ．()2e 22y x =--C ．2e 4y x =-D ．2e 4y x =+8．已知π1cos 63α⎫⎛-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎫⎛+= ⎪⎝⎭（）A ．429B ．79C ．79-D ．429-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()()πf x f x +=B ．()f x 的图象关于直线π6x =对称C ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增10．设函数()321f x x x ax =-+-，则（）A ．当1a =-时，()f x 有三个零点B ．当13a ≥时，()f x 无极值点C ．a ∀∈R ，曲线()y f x =对称中心的横坐标为定值D ．a ∃∈R ，使()f x 在R 上是减函数11．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．设()1,0F c -和()2,0F c 且0c >，动点M 满足212(0)MF MF a a ⋅=>，动点M 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C ，则下列描述正确的是（）A ．曲线C 的方程是()()222222442x y c x y a c +--=-B ．曲线C 关于坐标轴对称C ．曲线C 与x 轴没有交点D ．12MF F △的面积不大于212a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若4215,3S S ==，则q =____________．13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为____________．14．若曲线xx ay e +=有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）记ABC △中的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2222sin sin c Cb c a B=+-，（1）求A ；（2）若a =ABC △的面积为332，求ABC △的周长．16．（本小题满分15分）已知函数()e 2xf x ax =--．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()2f x ≥-在10,2⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,ABCD AD BC AB BC ⊥∥，E 为PD 的中点．（1）若EA EC =，证明：CD ⊥平面ACP ；（2）已知2244AD PA BC AB ====，求平面ACE 和平面PCD 所成的二面角的正弦值．18．（本小题满分17分）学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为12．（1）求首次摸球就试验结束的概率；（2）在首次摸球摸出红球的条件下，①求选到的袋子为乙袋的概率；②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球：方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．19．（本小题满分17分）已知点()11,P t t +在抛物线2:4C x y =上，按照如下方法依次构造点()2,3,4n P n = ，过点1n P -作斜率为1-的直线与抛物线C 交于另一点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y ．（1）求t 的值；（2）求证：数列{}n x 是等差数列，并求,n n x y ；（3）求12n n n P P P ++△的面积．运城市2024-2025学年高三摸底调研测试数学试题答案一、1．D 2．B3．D4．A 5．B 6．C7．A 8．C二、9．AD 10．BC 11．ABD三、13．214．22128x y -=15．()(),04,-∞+∞ 四、答案：15．解：（1）在ABC △中，由正弦定理得，sin sin C cB b=，因为2222sin sin c C b c a B =+-，所以2222c cb c a b=+-，化简得，222b c a bc +-=，在ABC △中，由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==，又因为0πA <<，所以π3A =（2）由1333sin 242ABC S bc A ===△，得6bc =，由2222cos a b c bc A =+-，得2276b c =+-，所以2213b c +=所以222()225b c b c bc +=++=，所以5b c +=所以ABC △的周长5a b c ++=+16．解：（1）由题可得：()xf x e a '=-，当0a ≤时，()()0,f x f x >'∴在R 上单调递增．当0a >时，()0f x '=可得ln x a =，若(),ln x a ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，若()ln ,x a ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，综上可得：当0a ≤时()f x 在R 上单调递增．当0a >时()f x 在(),ln a -∞单调递减，()f x 在()ln ,a +∞单调递增．（2）由()2f x ≥-得xe ax ≥，而10,,2x e x a x ⎛⎫∈∴≤⎪⎝⎭令()()()()21,0,x x e x e g x g x g x x x =<'-=∴在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()12g x g ⎛⎫∴>= ⎪⎝⎭，a ∴≤17．（1）证明：因为PA ⊥平面,,ABCD AD AP ⊂平面ABCD ，可知,PA AD PA CD ⊥⊥，且E 为PD 的中点，则12EA PD =，若EA EC =，即12EC PD =，则PC CD ⊥，且,,PA PC P PA PC =⊂ 平面ACP ，所以CD ⊥平面ACP ．（2）由题意可知：PA ⊥平面,ABCD AB AD ⊥，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：因为2244AD PA BC AB ====则()()()()()0,0,0,1,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1A C D P E ，可得()()()()0,2,1,1,2,0,0,4,2,1,2,0AE AC PD CD ===-=-，设平面ACE 的法向量为()111,,m x y z = ，则11112020m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令12x =，可得()2,1,2m =-；设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z = ，则222242020n PD y z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令22x =，可得()2,1,2n =；由题意可得：cos ,m n m n m n⋅=⋅79==所以平面ACE 和平面PCD 所成二面角的正弦值为42918．解：设摸球一次，“取到甲袋”为事件1A ，“取到乙袋”为事件2A ，“摸出白球”为事件1B ，“摸出红球”为事件2B （1）()()()()()1111212P B P A P B A P A P B A =+181432102105=⨯+⨯=所以摸球一次就实验结束的概率为35（2）①因为12,B B 是对立事件，()()21215P B P B =-=，所以()()()22222163210245P A B P A B P B ⨯===所以选到的袋子为乙袋的概率为34②由①可知()()1222311144P A B P A B =-=-=所以方案一种取到白球的概率为()()()()112112212183414104102P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯=方案二种取到白球的概率为()()()()2221112123814741041010P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯因为71102>，所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就实验结束的概率更大。
广东省八校2024-2025学年高三上学期8月联合检测数学试题(含解析)
广东省八校2024-2025学年高三上学期8月联合检测数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量，若，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．64．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D．7．已知函数与，则下列说法错误的是（ ）{128,3,2,8x M xN ⎧⎫=<<=---⎨⎬⎩⎭M N =∩{}1,0,1-{}2,1,0,1--{2,--{2,--22i z z+=-z =1i +1i -1i-+1i--()()1,2,3,a b m == ()a b a -∥m =()1tan sin ,24tan x x y y-==()sin x y +=1412349:6:4:3:()2sin ,023,0ax x x f x x ax a x -≤⎧=⎨+-+>⎩R a [)1,3(]1,3[]1,3()1,3()πsin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．与存在相同的对称轴B ．与存在相同的对称中心C ．与的值域相同D ．与在上有相同的单调性8．已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
到两个定点距离积为定值的轨迹卡西尼卵形线的几何画板作法常州
到两个定点距离积为定值的轨迹----卡西尼卵形线的几何画板作法常州市第二中学 季传军1.问题的提出一次在《圆锥曲线》的高三复习课上，小结了与到两定点距离有关的点的轨迹问题：①动点P 到两定点12,F F 距离和．为定值2a ，即12122(2)PF PF a a F F +=>的轨迹是椭圆；②动点P 到两定点12,F F 距离差．的绝对值为定值2a ，即1212||2(2)PF PF a a F F -=<的轨迹是双曲线；③动点P 到两定点12,F F 距离商．为定值k ，即12(1)PF k k PF =≠的轨迹是圆。
课堂上很快就有学生提出：到两定点距离积．为定值的点的轨迹是什么呢课前我对这个问题没有思考过，再加上高三复习课时间紧迫，就以“这个问题在中学阶段不作要求”敷衍过去，哪知课后两个学生追着我问：这个轨迹到底是什么这下我只有“被迫”去研究一下了。
2.问题学习研究过程我先在网上查阅了相关资料，了解到到两点距离积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线，如图，可以分成几类图形，其中一个特殊情形（图3）是伯努利双纽线（微分几何一个重要研究图形），就把这些告诉学生，同样会带来很多的“为什么”，那么怎样将这些图形动态直观的展示给学生呢我想到了几何画板。
（1） （2） （3） （4） 问题：动点P 到两定点12,F F 的距离积为定值k ，即12PF PF k ⋅=，122F F c =，试讨论点P 的轨迹。
r 2=kr 1=c = 2.20 2.30厘米k = 5.29r 1 = 2.30厘米r 2=r 1=3.48厘米r 1 = 2.78厘米r 2=kr 1=c = 1.40 2.25厘米k = 5.19r 1 = 2.30厘米1作图思路：①首先作可变线段用来控制两焦点12,F F 的距离（如图通过拖动C 来改变12,F F 的距离，下同）；②作可变线段用K 来控制k 的值③作可变线段1r 用，以1F 为圆心1r 为半径作圆1F ，计算1kr 并记为2r ，以2F 为圆心2r 为半径作圆2F ，设圆1F ，圆2F 的交点为P ，显然1212PF PF r r k ⋅=⋅=④选中点1,R P 构造轨迹曲线。
MathStudio43 卡西尼卵形线分析
MathStudio for iPad使用方法入门（43）卡西尼卵形线2016年8月4日什么是卡西尼卵形线（Cassini ovals）？定点F1、F2相距2c, 至F1、F2两点距离之积为a2 的动点轨迹，称为卡西尼卵形线意大利人J.D.Cassini（1625～1712）于1680年作出。
极坐标方程：ρ2=c2cos(2θ)±sqrt(a4-c4 sin2(2θ))图形因a、c值不同而变化①a<c 2个分离的卵形线，与X轴有4个交点；4个极值点②a=c 打结成为双纽线，2个顶点，4个极值点③c<a<c √(2) 上下内凹，4个极值点。
④a=c √(2) 上下平的卵形线⑤a>c √(2) 椭圆形卵形线，a 越大，上下越凸①a<ca=1 c=1.207由2支曲线组成2个分离的卵形线，与X轴有4个交点；4个极值点a<ca=1 c=1.2071蓝色曲线与X轴交点(±√(a2+c2), 0)√(a2+c2)=√(1+1.4571)=±1.5675a<ca=1 c=1.2071红色曲线与X轴交点(±√(c2-a2), 0)√(c2-a2)=√(1.4571-1)=±0.6761极值点a=1 c=1.207(±√(4c4-a4)/2c,±a2/2.c) (±√(8.4896-1)/2.414, ±1/2.414) (±2.7367/2.414, ±1 /2.414)(±1.1337, ±0.4142)②a=ca=1 c=1 打结成为双纽线左右对称二环索交点在原点顶点2 (±a√(2),0)二切线y=±x极值点4个(±a√(3)/2,±a/2)顶点(±√(a2+c2),0) (±√(2),0)=(±1.4142,0)极值点(±a√(3)/2,±a/2)±0.866，±0.5θ=0.5236（弧度）=π/6=30°③c<a<c √(2)a=1.207 c=1上下内凹4个极值点(±√(4c4-a4)/2c,±a2/2c) a=2.035 c=2a/c越趋近于1，上下内凹越大a/c越趋近于√(2) ，上下趋平与X轴交点a=1.207 c=1(±√(a2+c2),0) (±√(2.4568),0)=(±1.5674,0)与Y轴交点a=1.207 c=1(0, ±√(a2-c2)) (0, ±√(0.4568))=(0,±0.676)极值点a=1.207 c=1(±√(4c4-a4)/2c,±a2/2c) (±√(4-2.1224)/2, ±1.4568/2) (±1.370/2, ±1.4568/2)(±0.6851, ±0.7284)目测手选的点不够准确④a=c √(2)a=1.414 c=1 上下平的卵形线a=1.414 c=1顶点(±√(a2+c2),0) (±√(3),0)=(±1.732,0)与Y轴交点a=1.414 c=1 (0, ±√(a2-c2)) (0, ±√(1)=(0, ±1)⑤a>c √(2)a=2 c=1 椭圆形卵形线，a 越大，上下越凸a=3 c=1a/c >√(2)a/c越大，图形越趋近于圆顶点(±√(a2+c2),0) (±√(5),0)=(±2.236,0)与Y轴交点a=2 c=1(0, ±√(a2-c2)) (0, ±√(3)=(0, ±1.732)参考文献数学手册数学手册》编写组高等教育出版社1979年数学的魅力（一、二）沈康身谢谢共享制作LNFSCSS背景音乐醉月广东音乐2016年8月7日。
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到两个定点距离积为定值的轨迹
----卡西尼卵形线的几何画板作法
常州市第二中学
季传军
1•问题的提出
一次在《圆锥曲线》的高三复习课上，小结了与到两定点距离有关的点的轨
迹问题：
① 动点P 到两定点F ,, F 2距离和为定值2a ,即PF , PF 2 2a(2a RF 2)的轨迹是 椭圆；
② 动点P 到两定点F ,,F 2距离差的绝对值为定值2a,即| PF , PF 2 | 2a(2a F ,F 2) 的轨迹是双曲线；
③ 动点P 到两定点F ,,F 2距离商为定值k ，即 匹 k(k 1)的轨迹是圆。
PF 2
课堂上很快就有学生提出：到两定点距离积为定值的点的轨迹是什么呢课前 我对这个问题没有思考过，再加上高三复习课时间紧迫，就以“这个问题在中学 阶段不作要求”敷衍过去，哪知课后两个学生追着我问：这个轨迹到底是什么这 下我只有“被迫”去研究一下了。
2.问题学习研究过程
我先在网上查阅了相关资料，了解到到两点距离积为定值的点的轨迹是卡西 尼卵形线，如图，可以分成几类图形，其中一个特殊情形(图
3)是伯努利双纽
问题：动点P 到两定点F I ,F 2的距离积为定值k ，即PF i PF 2 k ， F 1F 2 讨论点P 的轨迹。
(1)
(2) (3) (4) 2c ，试
线(微分几何一个重要研究图形)，就把这些告诉学生，同样会带来很多的“为
作图思路：
① 首先作可变线段用来控制两焦点 F I ,F 2的距离（如图通过拖动C 来改变F I ,F 2的 距离，下同）；
② 作可变线段用K 来控制k 的值
k
③ 作可变线段r i 用，以F I 为圆心r i 为半径作圆F I ，计算k 并记为a ，以F 2为圆心
r i
D 为半径作圆F 2，设圆F i ，圆F 2的交点为P,显然PF i PF 2 r i 「2 k ④ 选中点R,P 构造轨迹曲线。
做出以上动态图形，应该可以给学生以交待了，但上述图中依然有“为什么”， 如上图右图中的两圆是相离的没有交点，哪里来的交点的轨迹呢实际上两圆是 “虚交”的（可简单理解为两圆方程联立方程组的解是虚数）
，而这对学生来说
c
C
又是不可想象的，还应再作进一步的思考。
上述作图过程是在无坐标系的情况下完成，也就是作图过程没有考虑卡西尼 卵形线的代数形式，直觉上此问题涉及诸多的长度问题， 应该可以在极坐标下作 出其动态图形，恰如圆锥曲线在极坐标下的统一方程： e
^是如此的和 1 ecos
谐美妙，于是：
先以F I ,F 2所在直线为x 轴，F 1F 2的中垂线为轴建立直角坐标系，设P(x,y)， 再以坐标原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
P(,)，则有
x cos , y sin ，进而
x 2
y 2
卡西尼卵形线的直角坐标方程为：
(x c)2
y 2
,(x c)2
y 2
a 2
(a 2
k)
此方程的对应曲线无法在几何画板中直接作出， (几何画板只能直接作出方
程形如y f (x)或x f (y)的曲线)，化为极坐标方程：
2
2 2
2 x c y x c
y
4
a
即
2
c 2
2c cos 2
c 2
2c cos
4
a
所以极坐标方程为：
4 r 2
2
几
4 4
2c cos2 a c
在极坐标系下依然无法直接作对应的曲线(几何画板在极坐标系下只能直接 作出方程形如
f()或
f ()的曲线)，研究方程发现可以用
来表示：
cos2
4
4 4
a c
2c 2 2
如果限定巧］则:
444
a c 2c 2 2
这样就可以作出对应曲线了:
1 arccos 2
①作可变线段0C，通过点C控制c值；
②作可变线段OA，通过点A控制a值；
1 4 4 4
③作方程-arccos , 2C对应的曲线，如上图。
2 2c
问题依然存在，由于限定了[0,]，所以只能作出在直角坐标下第一象限
2
的曲线，考虑到方程..（x—c）2—y2c）2—y2a2的用x换x方程不变、用y换y方程不变的特点，知道曲线既关于x轴对称，又关于y轴对称，因此根据对称性即可作出该曲线在第二、三、四象限的图形：
通过改变a,c的值可以得到卡西尼卵形线的各种情形:
乔凡尼卡西尼一位不愿接受哥白尼理论的著名天文学家，是他发现土星的卫星，他反对开普勒定律，认为行星运行的轨道不是椭圆，而是一种卵形线-----曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数，卡西尼卵形线因此而得名。
3•几点反思
几何画板作为一款多媒体教学辅助软件，不仅是一种课件制作工具，更是一种数学实验研究的平台（叶中豪语），是教师与学生进行创新性思维活动的平台，这也是中学教师存在大量“板迷”的原因；随着教改进一步深入，学生的自主学习意识逐步加强，具有强烈质疑精神的学生开始增多，一线教师越来越发现学生中越来越多的“为什么”，而且教师很难用简单的方法加以应付，这就要求我们必须进一步的学习研究，“被迫”成长，必须进步。
希望通过自己简单的工作能够引发学生对数学学习研究的兴趣，也是本文目的所在。
参考文献：
①《椭圆一一卡西尼卵形线》李仲来，宋煜《数学的实践与认识》2003年第02期
②《新型三曲线机构与卡西尼卵形线》王国玉《陕西工学院学报》1993年02期。