时域有限差分法
时域有限差分法(FDTD)求解Maxwell方程
4
电场z分量被H分量环绕
元胞中心
Hy Ez
元胞中心
Hx
元胞中心
(i-1/2,j+1/2,k+1/2) Hx
元胞中心
Hy z (i,j,k) y
x y
5
x
直角坐标中的FDTD： 一维情形（TEM波）
H y z
Ex Ex t
H y Ex z t
6
一维电磁场分量节点取样
TM和TE波不同入射角度的反射率
金属层+隐身材料+等离子体 散射截面
2
时域有限差分法简介
• Yee（1966年）首先提出Maxwell方程的差分离 散方式，并用来处理电磁脉冲的传播和反射问 题。 • Taflove 等（1975年）用FDTD计算非均匀介质 在正弦波入射时的时谐场（稳态）电磁散射， 讨论了时谐场情况的近－远场外推，以及数值 稳定性条件。
• Berenger （1994，1996年）提出将麦克斯韦 方程扩展为场分量分裂形式，并构成完全匹配 层（PML)。
2 t CA 2 t CP 1 CQ
2t CB 2 t t
8
一维无限大真空
一维真空右侧反射
一维真空与无耗介质
一维真空与有耗介质
二维金属面计算
FDTD离散
中心差分离散
TM波不同厚度的反射率
Ex
Hy
电磁场分量 Ex 空间分量取样
z
时间轴取样
k
n
Hy
k+1/2
n+1/2
7
一维FDTD离散公式
E
n 1 x
k CA E k CB
时域有限差分法
时域有限差分法时域有限差分法（TimeDomainFiniteDifferenceMethod，简称TD-FDM）是数值分析领域中非常重要的一种数值计算方法，它是利用有限差分法对时域偏微分方程（PDE）进行求解的一种方法，其应用范围十分广泛，是在工程和科学领域中应用最多的计算方法之一。
时域有限差分法可以精确表示任意时域偏微分方程的解，但是由于求解过程中存在计算量大、精度低、收敛慢等问题，其计算效率和精度也有限。
因此，人们必须采取有效的方法来提高此类方法的精度和计算效率，增强其在工程和科学领域的应用价值。
时域有限差分法的原理很简单，即将偏微分方程的解以一系列有规律的离散点表示，再利用有限差分对偏微分方程进行求解。
它主要包括三个部分：数值模型构建、数值计算和数值结果分析。
首先，根据时域偏微分方程的类型及物理本质，构建与之对应的数值模型，采用有限差分形式表达偏微分方程，并根据时域偏微分方程的解特性对有限差分方程进行增强。
然后，构建时域有限差分的计算框架，利用计算机编程语言（如C++、Fortran、Python等）实现数值计算，采用常用的多项式插值和求解算法（如牛顿迭代法、拟牛顿法等）实现精确计算。
最后，利用计算机绘图软件对所得到的数值结果进行分析，以评估结果的准确性，并做出相应的修改和优化。
时域有限差分法的应用非常广泛，它可以用于各种工程领域，如稳态和不稳态流动场的求解，声学学中的各类传播现象的模拟，热传导的分析等。
此外，时域有限差分法在一些科学领域也有很大的应用，如量子力学中电子能级结构、原子结构的计算，核物理中文中阳离子反应剂度模拟，生物学中细胞动力学模型仿真等等。
近年来，随着计算机技术的进一步发展，出现了许多新的发展方向：从传统的有限差分法到基于保守型的计算方法，从基于有穷元的数值模拟方法到超差分法，从动态网格特定的方法到基于机器学习的计算方法。
所有这些方法都可以用于处理更复杂的时域偏微分方程，提高精度和计算效率。
时域有限差分法介绍
时域有限差分法介绍
时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是
一种数值求解电磁波在时域中传播的方法。
它通过将空间和时间连续
性方程离散化，将偏微分方程转化为差分方程，并使用差分法来近似
求解波动方程。
时域有限差分法可以用于研究不同频率和波长的电磁波在各向同性、各向异性以及具有非线性、色散等特性的介质中的传播和相互作用。
它广泛应用于光学和电磁学领域中，可用于模拟光纤、微波器件、天线、光子晶体、超材料等的性能。
该方法的基本思想是将空间划分为离散的单元，称为网格，其中
包含了电场、磁场、电流和电荷等物理量。
通过对空间坐标和时间进
行离散化，可以将连续的偏微分方程转化为差分方程。
具体地，通过
泰勒展开将时域和空域的导数转化为有限差分的形式。
在时域有限差分法中，电场和磁场被分别定义在正方形的网格节
点上。
通过应用麦克斯韦方程组的差分形式，可以得到给定时间步长
的下一个时间步的电场和磁场值。
这些值可以根据初始条件和边界条
件进行更新。
时域有限差分法具有较好的稳定性和精度，可以模拟各种复杂的
电磁现象。
然而，它在处理边界条件和非均匀介质等问题时存在一些
困难。
因此，研究者们提出了各种改进的时域有限差分法，以提高其
适用性和效率。
时域有限差分方法发展
时域有限差分方法发展时域有限差分方法（FDTD）是一种数值模拟方法，用于分析电磁波在电磁介质中的传播规律和行为。
FDTD 方法因其精度高、适用性强和易于实现等特点，已成为求解电磁问题的重要数值方法之一。
本文将介绍 FDTD 方法的历史、理论基础、发展和应用。
一、FDTD方法的历史FDTD 方法最早可以追溯到20世纪60年代，当时美国内战研究所的J. T. Sinko 和K. L. Wong 开始了电磁场传输问题的理论研究，他们提出了一种细分方法，也就是时域有限差分方法。
此后，人们对这种方法进行了不断的改进和优化，以增强其计算效果和范围。
1970年代后期，FDTD 方法开始被广泛应用于求解电磁波的传播和散射问题，尤其在电磁场数值模型的精细化计算和二维和三维问题的求解方面得到了广泛应用。
随着计算机硬件和软件水平的提高以及数值方法的发展，FDTD 方法不断得到优化和完善，使得其在各种应用领域中都能得到成功地应用。
二、FDTD方法的理论基础FDTD 方法是一种基于麦克斯韦方程组的数值算法，它可以用于求解完整的时间域电磁场的变化。
其核心思想是通过对空间内的电磁场进行离散化处理，将微分方程转化为差分方程，进而用数值计算方法求解出场的值。
FDTD 方法的主要思想是将物理力学中的傅里叶变换方法应用到电磁场问题中。
具体来说，FDTD 方法是否采用离散时间和空间点以在有限时间内模拟模拟区域内的电磁波。
该方法在时间内基于麦克斯韦方程组的简化形式，以离散的形式计算和分析电磁波的传播和反射。
这些离散点可以由网格、三角网格（二维情况下）或四面体、四面体网格（三维情况下）建模。
在离散化计算之后，差分方程可转化为等效的差分模型，以计算场值。
三、FDTD方法的发展在过去几十年中，FDTD 方法得到了快速的发展和广泛的应用。
目前，FDTD方法可用于众多的问题求解，如电磁波的传播问题、微波电路、微波天线设计、宽带天线、电磁兼容性、光学传输问题以及生物医学中的电磁传播问题等。
第十一章-时域有限差分方法
第十一章-时域有限差分方法第十一章时域有限差分方法自从1966年K. S. Yee 创建时域有限差分法 (Finite Difference Time Domain，简称FDTD)[1]以来，已经发展成为一种理论完整、应用广泛的数值方法，并且与矩量法和有限元法一起奠定了计算电磁学的基础。
本章将介绍时域有限差分的基本理论，数值模拟技术，若干相关的专题以及工程实例。
11-1 差分的基本概念时域有限差分法是对微分形式的Maxwell方程进行差分求解的技术。
在详述其之前，首先简单回顾差分的基本概念。
已知分段连续函数在位置处的增量可表示为fxx，，(11-1-1) ,,，,,fxfxxfx，，，，，，其差商为,，,,fxfxxfx，，，，，， (11-1-2) ,,,xx,x当,0时，fx的导数定义为差商的极限，即，，,，,,fxfxxfx，，，，，，'limlim (11-1-3) fx,,，，,,,,xx00,,xx,x当足够小时，的导数可以近似为 fx，，dff,, (11-1-4) dxx,根据导数取值位置的不同，差分格式分为前向差分、后向差分和中心差分。
前向差分定义为fxxfx，,,，，，，,f (11-1-5) ,,,xxx后向差分定义为fxfxx,,,，，，，,f (11-1-6) ,,,xxx中心差分定义为fxxfxx，,,,,22，，，，,f (11-1-7) ,,,xxxfxx，,将在点x处展开为Taylor级数，得，，23dddfxfxfx，，，，，，1123 (11-1-8) fxxfxxxx，,,，,，,，,，，，，23d2!d3!dxxx37123dddfxfxfx，，，，，，1123 (11-1-9) fxxfxxxx,,,,,，,,,，，，，23d2!d3!dxxx将方程 (11-1-8) 和 (11-1-9) 代入 (11-1-5) ~ (11-1-7)后可以发现，前向和后向差分具有一阶精度，中心差分具有二阶精度。
时域有限差分法关键技术及其应用研究
时域有限差分法关键技术及其应用研究时域有限差分法关键技术及其应用研究1. 引言时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种常见的数值电磁计算方法，被广泛应用于电磁场的数值模拟和分析。
本文将介绍FDTD方法的基本原理及其一些关键技术，重点探讨其在电磁场模拟、天线研究和光学器件设计等领域的应用。
2. FDTD方法基本原理FDTD方法采用时空网格来离散求解麦克斯韦方程组，通过迭代的方式计算电磁场的时变分布。
其基本原理是利用麦克斯韦方程组的时域形式，将电场和磁场的空间导数用有限差分的形式进行近似，通过时间步进来模拟电磁场的时域行为。
FDTD方法的关键是对时空网格的离散化处理。
在时域，时间和空间被离散为等间距的格点，电磁场在格点之间通过有限差分方程进行计算，从而得到电场和磁场在每个格点的数值。
通过时间步进的迭代计算，可以模拟电磁场随时间的演化过程。
3. FDTD方法的关键技术3.1 源的建立在FDTD方法中，需要设置适当的源来激发电磁场的变化。
常见的源包括点源、平面波源和边界条件处理等。
点源是在空间某一点施加突变的电场或磁场，用于模拟电磁波的辐射和传播；平面波源是在一个平面波入射，模拟平面波在介质中的传播行为；边界条件处理则是为了模拟无限大空间中的电磁波的传播。
3.2 时间步进时间步进是FDTD方法中的一个关键技术，决定了电场和磁场的更新方式。
常用的时间步进算法有显式和隐式两种。
显式时间步进是根据已知的电场和磁场的数值，通过有限差分方程计算新的电场和磁场的值；隐式时间步进则是使用迭代或矩阵求解的方法，利用已知的旧场和新场的关系求解新场。
3.3 网格约束条件FDTD方法中需要设置一些约束条件，以满足电磁场在网格边界条件下的数值计算。
常见的约束条件有吸收边界条件和周期性边界条件。
吸收边界条件是用于吸收入射电磁波的反射波，常用的吸收边界条件有Mur吸收边界条件和PML吸收边界条件；周期性边界条件是为了模拟周期性结构或周期性辐射场景，将仿真空间分割成无限个重复的周期结构。
时域有限差分法
时域有限差分法时域有限差分（FiniteDifferenceinTimeDomain,称FDTD）法是一种广泛应用于电磁场仿真的数值计算方法，它以离散时间步长来描述电磁场的变化，可以准确模拟空间内电磁场随时间变化的波动特性。
在时域有限差分仿真中，以Maxwell方程描述电磁场的运动，将时域的空间变化转换为表示时间的一维网格，用有限差分技术对Maxwell 方程组及其边界条件进行求解，可以得到空间中电磁场的离散值的解，从而达到仿真电磁场变化的目的。
FDTD仿真技术的最早应用出现在1960年代。
由于它的有效性和快速灵活性，FDTD仿真技术得到了快速发展，在电磁场仿真中得到了普遍应用。
FDTD仿真技术具有以下优点：1.基本实现简单，编程简单，计算效率高；2.可以准确仿真各种复杂电磁环境中电磁波传播的特性，如介质内各种参数随时间变化；3.不仅可以仿真欧姆模型，还可以用于局部质点模型的仿真；4.容易添加吸收边界，有效地抑制反射和折射现象；5.可以定制计算区域，灵活处理各种复杂的边界条件；6.计算中可以容易地加入激励和探测源；7.可以同时计算多个激励源和探测源，完成多源多探测器的仿真；8.可以方便地仿真非线性电磁材料的特性；9.单片机控制的实时仿真可以实时进行激励和探测调制；10.可以方便地模拟分布式电磁系统。
时域有限差分仿真技术的基本原理是采用有限差分法，沿时间轴以离散的步长，用一维数组离散地表示各点的电场态，并以此实现电磁场系统的时间域模拟。
FDTD法在时间域上使用一维离散网格，将Maxwell方程组及其边界条件分解，分别应用一阶导数近似公式（如中心差分公式）求解，按照计算元（grid point）在时空域中的局部特性，分别设定电磁场源、介质参数和边界条件，利用时域有限差分公式迭代求解Maxwell方程，可以得到边界条件和激励源允许的范围内的空间中的电磁场的离散值的解，从而达到仿真电磁场变化的目的。
借助时域有限差分法可以实现对天线、微波传输线、无线局域网、雷达、全波器件等电磁系统的仿真，其结果可以用于设计、性能预测、状态诊断、运行维护、电磁干扰抑制等诸多应用领域。
时域有限差分
时域有限差分时域有限差分（FiniteDifferenceinTimeDomain，简称FDTD）是一种基于有限差分方法的数值模拟技术，用于求解电磁场的时域行为。
它在电磁学仿真建模中有着重要的作用，广泛应用于电磁屏蔽、电磁兼容、发射器设计、天线特性测试、雷达和无线通信等诸多领域。
本文将从介绍FDTD的历史背景、基本思想及特点出发，重点讨论它的基本框架及其基本算法，并以此来深入剖析它的优势及应用场景，以期激发更多的研究者更好的应用FDTD去解决实际的问题。
一、FDTD的历史背景时域有限差分法始于20世纪50年代，其有名的开创者是美国科学家Yee在1966年提出的。
至此，它比传统时域分析方法（如横波模型）具有更强的计算能力，有利于模拟电磁场以及其他物理场。
经过Yee的提出，FDTD的理论基础也在不断的完善，其在电磁仿真领域的应用也更加普及，它的算法也得到了不断的改进和优化，有利于优化电磁仿真技术，并使它更容易被应用在电磁学仿真中。
二、FDTD基本思想及特点时域有限差分法基于有限差分法，用于求解电磁场的时域行为。
它采用基于欧拉方程（Maxwell-Faraday）的电磁场表示，将欧拉方程空间和时间解分，从而简化时域求解中的计算工作。
在做时域积分的时候，它采用的是一种求近似解的方法。
根据反文本定理，这种求近似解的方法能够准确地表示电磁场的时变行为，从而正确地描述电磁场在空间和时间上的变化规律。
在求解电磁场的时候，它把分析的小单元划分成不同的网格，每个网格为一个小空间，把大量的电磁场计算转换成了大量的有限差分的计算，从而极大地简化了电磁场的模拟，节约了计算时间。
另外，FDTD还具有计算简单、模拟效率高、模拟准确等优点，因此在电磁学仿真中非常受到重视。
三、FDTD的基本框架及其基本算法FDTD的基本框架由应变和电场两个部分构成，两个部分相互协作，用来计算空间上电磁场的变化过程，以及对应的时间变化过程。
其基本算法由三个步骤构成：（1）横电场更新，先从欧拉方程计算横电场；（2）纵电场更新，再从欧拉方程计算纵电场；（3）应变更新，最后从欧拉方程计算应变。
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时域有限差分法
时域有限差分法的基本思想是用中心差商代替场量对时间和空间的一阶偏微商, 通过在时域的递推模拟波的传播过程, 从而得出场分布。
它最早由K.S.Yee 于1966 年提出，在此之后的20 年内，其研究进展缓慢，只是在电磁散射、电磁兼容领域有一些初步的应用。
自80 年代末，时域有限差分法成为电磁场数值计算的重要方法之一。
在声学数值计算中，时域有限差分法已应用于水声学、噪声控制及室内声学等方面的数值模拟。
时域有限差分法(Finite difference time domainmethod，FDTD)直接离散时域波动方程，不需要任何形式的导出方程，故不会因为数学模型而限制其应用范围。
它的差分格式中包含有介质的参量，只须赋予各网格相应的参量，就能模拟各种复杂的结构，这是时域有限差分法的一个突出优点。
另外，由于时域有限差分法采用步进法进行计算，故能很容易地实现各种复杂时域宽带信号的模拟，而且可以非常方便地获得空间某一点的时域信号波形。