八年级数学 暑假同步讲义 第2讲 最简二次根式与同类二次根式(培优讲义)
八年级初二数学 二次根式(讲义及答案)含答案
八年级初二数学 二次根式(讲义及答案)含答案一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A =B =C =D =2．下列计算结果正确的是（ ）A B ．3=C =D=3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）ABC ．D4．（ ）A ．1B ．﹣1C ．D -5．下列运算正确的是（ ）A =B =C ．3=D 2= 6．下列计算正确的是（ ）A =B 3=C =D ．21=7．化简 ）ABC D8．若a b > ）A ．-B ．-C ．D ．9．下列运算正确的是（ ）A =B ．(28-=C 12=D 1=10．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）A B C D11．230x -=成立的x 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．以上都不对12．与根式- ）A ．B ．x -C ．D二、填空题13．已知x =()21142221x x x x -⎛⎫+⋅= ⎪-+-⎝⎭_________14．若0a >化成最简二次根式为________． 15．能力拓展：1A =2A =；3:A =；4A =________．…n A ：________．()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空．()2比较大小1A 和2A()3-16．2==________． 17．设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，设...S =S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为正整数)．18．把_____________. 19．已知整数x ，y 满足y =，则y =__________．20．能合并成一项，则a =______．三、解答题21．计算及解方程组：（1-1-） （2)2+（3）解方程组：251032x y x y x y -=⎧⎪+-⎨=⎪⎩【答案】（1）2）7；（3）102x y =⎧⎨=⎩．【分析】（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可； （2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】（11-1+（11=1 （22+）=34-=7-=7-（3）251032x y x y x y-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2 ∴原方程组的解是：102x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．22．先阅读下列解答过程，然后再解答：,a b，使a b m=，使得+=，ab n22m+==a b==>)+=⨯=，==，由于437,4312m n7,12+=，=即：227===+。
八年级同步第2讲：最简二次根式与同类二次根式
第2讲 最简二次根式与同类二次根式知识框架最简二次根式和同类二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，是进一步研究二次根式运算的的知识基础．重点是最简二次根式、同类二次根式的判断，难点是同类二次根式的合并及最简二次根式的化简．2.1 最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数中各因式的指数都为1； （2）被开方数不含分母．被开方数；同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【例1】 将下列二次根式化成最简二次根式：（12248xy y -（0y <）；（222()()(0)a b a b a b -+≥≥；（33221)x x x x -+>．【例2】将下列二次根式化成最简二次根式：（1（2（30c>）．b<）（40b>，0a>，0【例3】将下列二次根式化成最简二次根式：（1)<<；（20)a b>>；m na>．（32)【例4】是最简二次根式，则m=________，n=________，p=________．（其中m，n，p不为0）【例5】如果【例6】将下列式子化成最简二次根式：（1）)a b<<；（20)y x>>．【例7】将下列式子化成最简二次根式：（1（2）a-（3）(1a--【例8】 已知02x <<【例9】 已知53x y xy +==，【例10】 已知0a <．2.2 同类二次根式同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．【例11】 判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？（1）32a a a +331bab b +（222329124a b a ab b +++32aa b+【例12】 若最简二次根式2a b a b +-3a b -+是同类二次根式，求a 、b 的值．【例13】 当3x =-时，二次根式2257m x x ++5，求m 的值．【例14】合并下列各式中的同类二次根式：（1）（2）-（3123x【例15】计算：（1x>-x x=++（2）35【例16】合并下列各式中的同类二次根式：（1（2(3x -（32)x xy -．【例17】 若最简二次根式b a a b a 85++和是同类二次根式，求ab 的值？【例18】 若785与+x 是同类二次根式，求x 的最小正整数？2.3 课堂检测1.将下列二次根式化成最简二次根式：（1（2；（30,0<<）；（4a b2.判断下列各组根式是否是同类根式：（1）（2）当0<<．m n3.已知最简二次根式m的值．4.合并下列各式中的同类二次根式并计算．（1）-（2）；（3）； （4）5. 将下列二次根式化成最简二次根式：（10)x y ≥≥； （220)m n >>；（3)x y <<．6. 把(a b -7. 已知12y 的值．8. 合并下列各式中的同类二次根式：（1（2）+-；（32 （40m n >>）．2.4 课后作业1. 若0,0a b <>化简得（）（A ）-（B ）- （C ） （D ）2.将下列二次根式化成最简二次根式．（1；（2)00a b≥≥，；（30)a<；（4x≥）；3.将下列二次根式化成最简二次根式．（1（2(00)a b>>，；（3)00a b≥≥，；（4(00)x y≥>，；4.合并下列各式中的同类二次根式．（1）（2）-(；（33a11（4）2-(0,0)a b>>．5.把下列二次根式化简．（1）(a-（2）6.已知：51a b ab+=-=，，求7.已知与a是同类二次根式，求a b+的值．8.观察下列各式，你能得出怎样的结论？并给出证明．=，=……12。
八年级数学暑假专题：二次根式浙江版知识精讲
初二数学暑假专题：二次根式某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：暑假专题：二次根式二. 知识回顾1. 复习二次根式的定义，最简与同类二次根式的概念。
2. 复习四条运算性质：（1）())0a (a a 2≥=（2）|a |a 2=（3）)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=（4）)0b ,0a (b a b a >≥= 3. 常用的两种方法（1）化二次根式为最简二次根式：把带分数或小数化为假分数后，将被开方数分解，尽可能地开尽方；化去根号内的分母或化去分母中的根号（2）合并同类二次根式与整式运算中的合并同类项类似。
【典型例题】例1. 若已知1y x x 7)y x 2(16--++和是同类二次根式，求x ，y 的值。
解析：应根据同类二次根式（化成最简根式后，它们的被开方式相同）的定义，化简成最简根式。
4y x 2)y x 2(16+=+∵1y x x 7)y x 2(16--++与又是同类二次根式⎩⎨⎧+=+=--∴x 7y x 221y x ，化简并解得⎩⎨⎧==2y 5x例2. 已知a ，b 为实数，且满足2b 33b a +-+-=，求ba 1ab ab ++⋅的值。
解：由二次根式的定义知⎩⎨⎧≥-≥-0b 303b 2a ,3b =∴=∴∴ab=6，a+b=552105356576=⨯=⋅=∴原式例3. 求代数式xy x yxy y xy xyx --+++的值，其中13x +=，13y -=解析：求解此题显然是先化简再求值。
但化简代数式可有因式分解与通分计算两种方法。
用通分计算法化简原式()()x xy y xy )y xy )(y xy ()xy x )(xy x (-+--++-+= []xy yx xy )y x (y x xy xy )x y (xy )y xy ()xy x (2222+=--=--+--+-=13x +=∵，13y -=∴2xy =，32y x =+ ∴原式6232==但用因式分解法化简会简便很多。
人教版初中八年级下册数学课件 《最简二次根式》二次根式课件
a b
b a
(a＞0，b＞0)．
错解：ab ba＝1．
正解：ab ba＝ab aab2＝aab ab＝ bab．
二次根式化简的常见错误
化简 25a3b3 (a＜0)．
错解： 25a3b3＝ 52a2b2·ab＝5·(－a) ·b· ab ＝－5ab ab．
正解：∵25a3b3≥0，a＜0，∴b≤0，∴ab≥0． 25a3b3＝ 52a2b2·ab＝ 52· a2b2· ab＝5ab ab．
1 8x3
x
0
0.8 4 45 2 5 5 55 5
4 1 9 92 3 2 2 2 22 2
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x x2 8x3 2x 4x2
2x
2x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
1x x x
x
正解：由-x3≥0,得x≤0,
又x为分母不为0，
∴x＜0
原式 1 x x2 x
1 x x2 x
x
x
x
1 x (x) x
x
分析：本题重点考察 x2 x的应用，这里关键是确定x
的符号，而 x3 中隐含了-x3≥0,即x≤0,此时 x2 x。
4、若a<b，则化简
所以 是4最2简a二次根式．
42a 237 a
注:被开方数比较复杂时， 应先进行因式分解再观察
例2.将下列二次根式化成最简二次根式.
(1) 4x3 y2 ( y 0)
(2) (a2 b2 )(a b) (a b 0)
八年级数学下册(人教版)教学课件2：16.2.3 《最简二次根式》
最简二次根式的概念、利用最简二次根式的概念和性质进行二 次根式的化简和运算．
重点 最简二次根式的运用． 难点 会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
一、复习导入
(学习活动)请同学们完成下列各题．(请四位同学上台板书)
计算：(1)
24)
x3 x2y.
教师点评：
(1)
2＝ 3
36；(2)2
6＝2 18
3
3；(3)
8 ＝2 2a
a
a；(4)
xx23y＝
xy y.
二、新课教授 教师点评：上面这些式子的结果具有如下两个特点： 1．被开方数不含分母． 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 师：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(教师板书) 教师强调：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式．
【例 1】判断下列式子是不是最简二次根式，为什么？ (1)3xy 12x；(2)25a 3a3；(3) 1x；(4) 0.2a. 解：(1)被开方数中有因数21，因此它不是最简二次根式；(2)被开方数中 有开得尽方的因式 a2，因此它不是最简二次根式；(3)被开方数中有分母，因 此它不是最简二次根式；(4)被开方数中有因数 0.2，它不是整数，所以它不 是最简二次根式．
【例 2】化简： (1) 287；(2) 12x2y3(x≥0)；(3) a2b4＋a4b2(ab≥0)． 解：(1) 287＝ 287××22＝ 196×6＝43 6； (2) 12x2y3＝ 4x2y2·3y＝2xy 3y； (3) a2b4＋a4b2＝ a2b2（b2＋a2）＝ab a2＋b2. 【例 3】教材第 9 页例 7
三、课堂小结 1．本节课应掌握最简二次根式的特点及其运用． 2．二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
二次根式章节分类总复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
第02讲 《二次根式》章节分类总复习考点一 二次根式有意义的条件 知识点睛：1. 二次根式的定义：非负数a 的算术平方根a 叫做二次根式 ☆：二次根式的判断不需要化简，直接根据定义判断即可， 易错类型：因为24=，误认为4不是二次根式2. 二次根式有意义的条件a 中a 叫做被开方数，其中二次根式有意义的条件就是a ≥0；☆1：当二次根式和分式结合时，要注意分式的分母≠0 ☆2：a 的双重非负性⎩⎨⎧≥≥0.0.本身②被开方数①a a ；故有：a 前无“-”，a 本身值不可能是负的 类题训练1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，，，（x ＞0），，，﹣，，（x ≥0，y ≥0）．【分析】一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式．结合所给式子即可作出判断． 【解答】解：符合二次根式的定义；是三次根式；是分式，不是二次根式； （x ＞0）符合二次根式的定义； 是二次根式； 是四次根式； ﹣符合二次根式的定义； 是分式，不是二次根式；（x ≥0，y ≥0）符合二次根式的定义．2．（2021春•下城区期末）已知二次根式，当x ＝1时，此二次根式的值为（ ） A ．2 B ．±2 C ．4D ．±4【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．【解答】解：当x＝1时，原式＝，故选：A．3．（2021春•阳谷县期末）已知是整数，则正整数n的最小值是【分析】因为是整数，且＝2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【解答】解：∵＝2，且是整数，∴2是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故答案为：6．4．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．5．（2021春•余杭区期中）当x＝时，的值最小．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：当x＝3时，此时2x﹣6＝0，的最小值为0，故答案为：36．已知二次根式．（1）求x的取值范围；（2）求当x＝﹣2时，二次根式的值；（3）若二次根式的值为零，求x的值．【分析】（1）根据二次根式的定义得出3﹣x≥0，解之可得答案；（2）将x＝﹣2代入计算可得；（3）当被开方数为0时，二次根式的值即为0，据此列出关于x的方程求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：3﹣x≥0，解得x≤6；（2）当x＝﹣2时，＝＝＝2；（3）∵二次根式的值为零，∴3﹣x＝0，解得x＝6．7.已知x、y为实数，且满足，求5x+|2y﹣1|﹣的值．【分析】先根据二次根式的性质列出不等式组，求出x的取值，再把x的值代入所求代数式即可解答．【解答】解：则；＝＝2．考点二二次根式相关概念知识点睛：1.最简二次根式：满足以下2个条件的二次根式成为最简二次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式；②不含开的尽方的因数或因式☆：判断最简二次根式，被开方数的字母部分次数最高为1次，且不含分母二次根式的运算，最后结果都要求必须化为最简二次根式2.同类二次根式：所含被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式类题训练1．（2021秋•桐柏县期中）下列二次根式中的最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝3，故B不符合题意．C、是最简二次根式，故C符合题意．D、原式＝2，故D不符合题意．故选：C．2．把下列根式化成最简二次根式．（1）5（2）6（3）（a＞0）（4）（n＜0）【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：（1）5＝5×2＝10；（2）6＝6×＝6×＝；（3）（a＞0）＝5a；（4）（n＜0）＝×＝﹣．3．（2021春•岳麓区校级期末）下列式子能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝4，能与合并，符合题意；B 、＝2，不能与合并，不符合题意；C 、＝，不能与合并，不符合题意；D 、＝，不能与合并，不符合题意；故选：A ． 4．如果最简二次根式与2是同类二次根式，则a ＝ ．【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴3a ﹣8＝17﹣2a ， 解得，a ＝5， 故答案为：5．考点三 二次根式的运算知识点睛：二次根式乘法公式：()）（③②）（①0b ,0··)0()0(022≥≥=⎩⎨⎧≤-≥==≥=a b a b a a a a a a a a a a 二次根式除法公式：()()()()ba b a c b a b a b a c ba ca aa ab b ab b a b a b a ba ba --=-+-=+=≥==≥=)0(1)0,0()0,0(＞＞变形公式：＞④类题训练1．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：A 、原式＝0.3，故A 不符合题意．公式①、②、③常用于以下两种题型：（1）化简求值（2）无理数比较大小常见比较大小的三种方式：（1）利用近似值比较大小（2）把系数移到根号内比较（3）分别平方，然后比较大小以上方法注意两数的正负号公式④及其变形常用于分母有理化的化简，即分式的分子分母同乘分母的无理化因式，使分母变为整数。
最简二次根式-二次根式PPT优秀课件2
辨析训练一
判断下列各式是否为最简二次根式？
12 ×）；（2） （3） 30 x（ √ ）；（4）
（ 1） （
45a b（ × ）； y × ）； x 3（ x
2
1 2 × （ 6 ） （ 4 1 （ 5） （ ）； 5m m 9 2
2
（3）
5 0.04 0.01 10
（4）a 1
a
a 1 2 a 1 3 2 a a 2a a 上一页
你能发现其中的错误吗？
x4 ( x 4)( x 2) x 2 ( x 2)( x 2) ( x 4)( x 2) x4 x2
10 27 10 3 3 3 30
2 2 15 12 45 15 2 3 5 3 解（2）：方法1： 15 12 2 45 2 45 45 2 45
15 2 3 15 15 2 45
15 2 3 5 3 方法2： 15 12 2 45 15 23 5 5
（1） 16 9 4 3 （ ×
1 1 （3） 4 2 2 2 （ 3 3 ）（2） 2 2 （
√） ×）
×
5 2 ）（4） 2 9 9 5 （
上一页
强化训练
（1） 8 （2）
2
把下列各式化成最简二次根式：
4 4
2
4 5
25m 225m
4
5m m 9
y x
3
2 6
xy x
（2） x
x y x3
八年级初二数学二次根式(讲义及答案)含答案
一、选择题1．若a 是最简二次根式，则a 的值可能是（ ） A ．2-B ．2C ．32 D ．82．二次根式1x -中字母x 的取值可以是( ) A ．2B ．0C ．12-D ．-13．下列各式中，无意义的是（ ） A ．23-B ．()333-C ．()23-D ．310-4．下列各式中，运算正确的是（ ） A ．2(2)-＝﹣2B ．2＋8＝10C ．2×8＝4D ．22﹣2＝25．设等式()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y+--+的值是( ) A ．3B ．13C ．2D ．536．已知2225152x x ---=，则222515x x -+-的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．67．已知：a=123-，b=123+，则a 与b 的关系是（ ） A ．相等 B ．互为相反数C ．互为倒数D ．平方相等8．以下运算错误的是（ ）A ．3535⨯=⨯B ．2222⨯=C ．169+=169+D ．2342a b ab b =（a ＞0）9．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18B ．13C 24D 0.310．751m +m 的值为（ ） A ．7B ．11C ．2D ．1二、填空题11．化简并计算：()()()()()()()...112231920xx x x x x x x +=+++++++________．（结果中分母不含根式）12．设a ﹣b=2+3，b ﹣c=2﹣3，则a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____．13．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；⑵根据以上规律写出n a 的表达式．14．已知3x x+=，且01x <<，则2691x x x =+-______．15．已知a ＝﹣73+，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 16．化简：-32=_________,1x=________. 17．若a 、b 为实数，且b ＝2211a a -+-+4，则a+b ＝_____． 18．化简(322)(322)+-的结果为_________.19．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____．20．2a ·8a (a ≥0)的结果是_________.三、解答题21．先观察下列等式，再回答问题： 2211+2+()1=1+1=2； 2212+2+()212=2 12； 2213+2+()3=3+13=313；…（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．【答案】（1=144+=144；（2=211n n n n++=，证明见解析． 【分析】（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，=414+=414；（2=n 211n n n++=”，再利用222112n n n n++=+（）（）开方即可证出结论成立．【详解】（1=1+1=2=212+=212；=313+=313；里面的数字分别为1、2、3，= 144+= 144．（2=1+1=2，=212+=212=313+=313=414+=414= 211n n n n++=．证明：等式左边==n 211n n n++==右边．=n 211n n n++=成立． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律=n 211n n n++=”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．22．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如3、3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：535==33333⨯⨯；22(31)2(31)=313+1(3+1)(31)(3)1⨯-⨯-==--- . 以上这种化简过程叫做分母有理化.3+1还可以用以下方法化简：22(3)1(3+1)(31)=313+13+13+13+1--===-. （1）请用其中一种方法化简1511-；（2）化简：++++3+15+37+599+97.【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1. 【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511－；（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.23．计算下列各题（1）12126233⎛÷ ⎝（2）2(53)(53)(232)-【答案】(1)1;(2)6． 【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可； (2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.24．计算下列各式：（1；（2【答案】（12 ；（2） 【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可. 【详解】（1）原式2=-2=；（2）原式==. 【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，)0,0a b =≥≥=（a ≥0，b >0）.25．一样的式子，其实我==3==，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：221111===-=（12）化简：2n+++【答案】（1-2.【解析】试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．试题解析：（1）=====（2）原式2n+++=12.考点：分母有理化．26．（1）计算：21)-（2）已知a，b是正数，4a b+=，8ab=【答案】（1）5-2【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数， ∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．27．计算：（1）()22131)()2---+（2【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可； （2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2） 【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．28．化简求值：212(1)211x x x x -÷-+++，其中1x =．【解析】分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 详解：原式2112,2111x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪++++⎝⎭2112,211x x x x x -+-=÷+++ ()211,11x x x x -+=⋅-+ 1.1x =+当1x =时，11x ==+ 点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】∴a ≥0，且a故选项中-2，32，8都不合题意， ∴a 的值可能是2． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．2．A解析：A 【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负列出不等式，求解，再依此选择合适的选项． 【详解】解：由题意得： x-1≥0 解之：x≥1.1>． 故选：A ． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．理解二次根式有意义，被开方数非负是解题关键．3．A解析：A 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质分析得出答案． 【详解】AB ，有意义，不合题意；CD 、33110=10-，有意义，不合题意； 故选A. 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质，正确把握二次根式的定义是解题关键．4．C解析：C 【分析】根据二次根式的性质对A 进行判断；根据二次根式的加减法法则对B 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断． 【详解】A 、原式＝2，故该选项错误；B ＝，故该选项错误；C 4，故该选项正确；D 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则是解题关键．5．B解析：B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x ，把y=-x 代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数，∴a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0， a （x-a ）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a （y-a ）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a 只能等于0，代入等式得，所以有x=-y ， 即：y=-x ，由于x ，y ，a 是两两不同的实数， ∴x ＞0，y ＜0． 将x=-y 代入原式得： 原式=()()()()2222313x x x x x x x x +---=--+-． 故选B ． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a 、x 、y 的值和代入求分式的值是解此题的关键．6．C解析：C 【解析】2=，2222251510x x =-=--+=，5=. 故选C.7．C解析：C 【解析】因为1a b ⨯==,故选C. 8．C解析：C【分析】利用二次根式的乘法法则对A、B进行判断；利用二次根式的化简对C、D进行判断．【详解】A．原式=所以A选项的运算正确；B．原式＝所以，B选项的运算正确；C．原式==5，所以C选项的运算错误；D．原式＝2，所以D选项的运算正确．故选C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．9．B解析：B【详解】A不是同类二次根式，故此选项错误；B3C=不是同类二次根式，故此选项错误；D=不是同类二次根式，故此选项错误；10故选B．10．C解析：C【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式即为同类二次根式.【详解】解=m=7时==，故A错误；当m=11时==B错误；当m=1时=故D错误；当m=2时=故C正确；故选择C.【点睛】本题考查了同类二次根式的定义.二、填空题11．【分析】根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．【详解】解：原式==．故答案为．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观【分析】-，将原式进行拆分，然后合并可得出答案． 【详解】解：原式====220400x x x-．【点睛】 此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．12．15【解析】根据题意，由a ﹣b=2+，b ﹣c=2﹣，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac=====15.故答案为：15.解析：15【解析】根据题意，由a ﹣b ﹣c=2，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac=2222222222a b c ab ac bc ++﹣﹣﹣=2222222222a ab b b bc c a ac c +++++﹣﹣﹣=222()()()2a b b c a c -+-+-=15. 故答案为：15.13．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an ＝（n 为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC ＝1，∠B＝90°．∴在Rt△ABC 中，AC ＝＝＝．同理：AE ＝2，EH ＝2，解析：（1）a 2，a 3＝2，a 4＝；（2）a n n 为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，ACAE ＝2，EH ＝，…，即a 2a 3＝2，a 4＝（2）an n 为正整数）．14．．【分析】利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．【详解】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴原式．故答案是：．【点睛】本题考查二次根式的运解析：12．【分析】，再把它们相乘得到1xx-，再对原式进行变形凑出1xx-的形式进行计算．【详解】3=，∴221239xx=++==，∴17xx+=，∴212725xx=-+=-=，∵01x<<，=，∴1xx=-=-∴原式====．故答案是：12．【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．15．-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可. 【详解】解：当a＝－＝－＝－3时，原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(解析：-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】－3时，解：当a原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3＝7a－7－7a+3＝－4．故答案为：－4．【点睛】本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.16．【解析】根据二次根式的性质，化简为：-=-=-4；==.故答案为； .解析：【解析】根据二次根式的性质，化简为：故答案为；17．5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的值，b的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得，解得a＝1，或a＝﹣解析：5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得221010a a ⎧-≥⎨-≥⎩， 解得a ＝1，或a ＝﹣1，b ＝4，当a ＝1时，a +b ＝1+4＝5，当a ＝﹣1时，a +b ＝﹣1+4＝3，故答案为5或3．【点睛】本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．18．1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.解析：1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=(223981-=-=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键. 19．﹣2a【分析】首先根据实数a 、b 在数轴上的位置确定a 、b 的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a ＜0＜b ，|a|＜|b|，∴=-a-b+b-a=-解析：﹣2a【分析】首先根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，．故答案为-2a．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，其中正确利用数轴的已知条件化简是解题的关键，同时也注意处理符号问题．20．4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.【详解】===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.解析：4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.)0a≥===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
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最简二次根式与同类二次根式
内容分析
最简二次根式和同类二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，是进一步研究二次根式运算的的知识基础．重点是最简二次根式、同类二次根式的判断，难点是同类二次根式的合并及最简二次根式的化简．
知识结构
模块一：最简二次根式
知识精讲
1、最简二次根式的概念：
（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．
被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
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【例1】将下列二次根式化成最简二次根式： （1）2248xy y -（0y <）； （2）22()()(0)a b a b a b -+≥≥；
（3）322(1)x x x x -+>．
【例2】将下列二次根式化成最简二次根式：
（1）8
3
； （2）31.5a ；
（3）2
3b a
（0b <）
（4）5
327b a c
（0a >，0b >，0c >）．
【例3】将下列二次根式化成最简二次根式：
（1）
2
(0)()a b
a b a b +<<-；
（2）
(0)m n
m n m n
+>>-； （3）
5
3
(2)(2)(2)a a a +>-．
【例4】若n m
x y p
-是最简二次根式，则m =________，n =________，p =________．
（其中m ，n ，p 不为0）
例题解析
【例5
】如果
【例6】将下列式子化成最简二次根式：
（1
）)
a b
<<；（2
0)
y x
>>．
【例7】将下列式子化成最简二次根式：
（1
（2
）a
-（3
）(1a
--
【例8】已知02
x
<<
【例9】已知53
x y xy
+==
，
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【例10】 已知0a <，化简求值：
2
2
1
4()1
4()a a a a
-++-．
1、同类二次根式的概念：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
【例11】
判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？
（1）32a a a +和331b ab b +； （2）22329124a b a ab b +++和32a
a b
+．
【例12】
若最简二次根式2a b a b +-与3a b -+是同类二次根式，求a 、b 的值．
例题解析
知识精讲
模块二：同类二次根式
师生总结
1、 满足最简二次根式的条件是什么？
2、如何将一个二次根式化成最简二次根式？
【例13】当3
x=-时，二次根式，求m的值．【例14】合并下列各式中的同类二次根式：
（1）
（2）-
（3123
x
【例15】计算：
（1x
>-
x x
=++（2）35
【例16】合并下列各式中的同类二次根式：
（1
（2(3x-
（32)
+-．
x xy
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【例17】 若最简二次根式b a a b a 85++和是同类二次根式，求ab 的值？
【例18】 若785与+x 是同类二次根式，求x 的最小正整数？
【习题1】 将下列二次根式化成最简二次根式：
（1）5
32
； （2）1x -； （3）45278c a b 0,0a b <<（）
； （4）
28
45a b
．
【习题2】 判断下列各组根式是否是同类根式：
（1）175-，15316-，23
8534
；
（2）当0m n <<时，
n m ，m
n
，2n m m n +-．
【习题3】 已知最简二次根式423m +和32m -是同类根式，求m 的值．
随堂检测
【习题4】 合并下列各式中的同类二次根式并计算．
（1）-； （2）
（3）；
（4）．
【习题5】 将下列二次根式化成最简二次根式：
（10)x y ≥≥； （220)m n >>；
（3)x y <<．
【答案】(1) 【解析】
【习题6】 把(a b -
【习题7】 已知1
2
y =的值．
【习题8】 合并下列各式中的同类二次根式：
（1 （2）+-；
（32 （40m n >>）．
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【作业1】 若0,0a b <>，则3a b -化简得（
）
（A ）a ab --；
（B ）a ab -； （C ）a ab -； （D ）a ab ．
【作业2】 将下列二次根式化成最简二次根式．
（1）3445x y ；
（2）()39600a b a b ≥≥，；
（3）2348(0)a a a -<；
（4）422x x y +0x ≥（）；
【作业3】
【作业4】 将下列二次根式化成最简二次根式．
（1）3
64； （2）212564a b (00)a b >>，；
（3）()23
4
2500121a b a b c ≥≥，；
（4）
2
5169x
y (00)x y ≥>，；
【作业5】 合并下列各式中的同类二次根式．
（1）3ab x ab y ab -+；
（2）1215)()536
a b a b --+(； （3）3234
27310833a a a a a a -+-；
（4）332b a a
b a b ab a b
-+-(0,0)a b >>．
课后作业
【作业6】把下列二次根式化简．
（1）(a-（2）
【作业7】已知：51
，，求
+=-=
a b ab
【作业8】已知a a b
+的值．【作业9】观察下列各式，你能得出怎样的结论？并给出证明．
=
=。