表上作业法例题
运输问题的匈牙利解法和表上作业法
运输问题的解法运输问题是一类特殊的线性规划问题，最早是从物质调运工作中提出的，后来又有许多其它问题也归结到这一类问题中。
正是由于它的特殊结构，我们不是采用线性规划的单纯方法求解，而是根据单纯形方法的基本原理结合运输问题的具体特性须用表上作业的方法求解。
§1 运输问题的数学模型及其特性1.1 运输问题的数学模型设有 个地点（称为产地或发地） 的某种物资调至 个地点（称为销地或收地），各个发点需要调出的物资量分别为个单位，各个收点需要调进的物资量分别为 个单位。
已知每个发点到每个收点的物资每单位运价为 ，现问如何调运，才能使总的运费最小。
我们把它列在一张表上（称为运价表）。
设表示从产地运往销地的运价（ =1，2，…， ； =1，2，…，）。
表3-1如果（总发量）（总收量），我们有如下线性规划问题：m mA A A ,,,21 n nB B B ,,,21 ma a a ,,,21 nb b b ,,,21 iA jB ijc ijx iA jB i m jn（3.1）（3.1）式称为产销平衡运输问题的数学模型。
当（总发量）（总收量）时。
即当产大于销（）时，其数学模型为（3.2）当销大于产（）时，其数学模型为（3.3）因为产销不平衡的运输问题可以转化为产销平衡的运输问题。
所以我们先讨论产销平衡的运输问题的求解。
运输问题有个未知量,个约束方程。
例如当≈40,=70时（3.1）式就有2800个未知量，110个方程,若用前面的单纯形法求解，计算工作量是相当大的。
我们必须寻找特殊解法。
∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==≠nj jm i i ba 11∑∑==>nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==<nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=≤==∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij mn n m +m n1.2 运输问题的特性由于运输问题也是线性规划问题，根据线性规划的一般原理，如果它的最优解存在，一定可以在基可行解中找到。
作业排序优制材料
i2
P
i3
p
i
i
1
2
3
4
P
i1
1
2
6
3
P
8
4
2
9
4
5
8
2
13
11
16
例：一批制品，批量n =4件，须经四道工序加工，各工序时间分别为：t1=10, t2=5, t3=15, t4=10。
n——加工批量； m——工序数目； ti——工件在第i工序的单件工时；
四、相同零件、不同移动方式下加工周期的计算
一批零件在上道工序全部加工完毕后,才整批转移 到下道工序加工。
n——加工批量； m——工序数目； ti——工件在第i工序的单件工时；
3、平行顺序移动方式
工序
M1
M2
M3
M4
T平顺
t2
t1
t3
时间
t4
第2种情况：ti≥ ti+1 考虑设备加工的连续性
第1个工序的所有工件加工完成的时刻为基准，向前推（n-1）个t2时间，作为第2个工序的开始时间。即从红线开始向前推3个作为第2个工序的开始时间。
3、平行顺序移动方式
x
T=nt1+t2+x+t4
k=1，2，3...m
例：有一个4/3/P/ Fmax 问题，其加工时间如下表所示，用Palmer法求解。
表
11
-
5
加工时间矩阵
i
1 2 3 4
P
i1
1 2 6 3
P
i2
8 4 2 9
二、n/2/F/Fmax问题的最优算法
（一）Johnson算法： ① 从加工时间矩阵中找出最短的加工时间。 ② 若最短的加工时间出现在M1上，则对应的零件尽可能往前排；若最短加工时间出现在M2上，则对应零件尽可能往后排。然后，从加工时间矩阵中划去已排序零件的加工时间。若最短加工时间有多个，则任挑一个 ③ 若所有零件都已排序，停止。否则，转步骤①。
物流 表上作业法与图上作业法
1
A13 5
(3)
(1)
1
4
B1
2
(1)
4
B2
3
该是收点数+发点数-1。图上作 1 业法要求在流向图上的箭头数（ 有调运量的边数）也应为收点数 +发点数-1。这一要求也可以等 (1) 2 价地表述为：在去线破圈后得到 的不成圈的交通图上，要求每边 都应该有流向。 (2) 3 A2
B3
3
• 因此，某一边无流向时，必须在这一边上添上调运量为0的虚流 向，和其它流向同样对待。按照这一要求，应在A3边上添上虚 流向。于是，再补上去掉的边，得下图：
工地800需求量t2503003504005001800工地800需求量t250300350400500180030025050300运费21001300240022005250420075083006500工地300200400100200250503002131工地300200400100300250502001工地30040020010030025050200运费31001300240022005250430075072006000课后作业销地产地657075销量50455560210无分支不闭合运输回路60303025有分支不闭合运输回路101518022070607590806513011010016017015010080b4b3b2b1a4a2a3a128018031711811816516525234953525520302020有某物资7t由发出点a1a2a3发出发量分别为331t运往收点b1b2b3b4收量分别为2311t收发量平衡交通图如下图问应如何调动才使tkm最小
• 四个销售地，每天的 需求量为：B1：3吨， B2：6吨，B3：5吨， B4：6吨。运价表如 图所示
对偶单纯形法及运输问题
从理论上讲，运输问题也可用单纯形法来求解， 但是由于运输问题涉及的变量及约束条件较多， 因此直接用单纯形法求解计算量太大。幸运的 是，其数学模型具有特殊的结构，约束条件里 大多数系数都为零，且不为零的部分又呈现出 明显的结构，因此存在一种比单纯形法更简便 的计算方法——表上作业法。用表上作业法来 求解运输问题比用单纯形法可节约计算时间与 计算费用。表上作业法的实质仍是单纯形法。
例题讲解
例6 用对偶单纯形法求解
min
2 x1 3x2 +4x3
x1 2 x2 + x3 3 2 x - x +3x 4 1 2 3 x1 x3 0
第三章 运输问题
运输问题（Transportation Problem，简记为 TP）是一类常见而且极其特殊的线性规划问题。 它最早是从物资调运工作中提出来的，是物流 优化管理的重要内容之一。1939年前苏联经济 学家康托洛维奇提出这一问题，1941年美国数 学家F.L.Hitchcock提出运输问题的数学模型， 1951年Dantzig将此类问题的解法系统化、完 善化，改为用表上作业法求解。
表上作业法
表上作业计算步骤
初始调运方案的确定
课堂练习 P79 例1
作业 P97 习题3.2 用最小元素法确定表3-44 表示运输问题的初始调运方案
2.6
对偶单纯形法
•在单纯形表进行迭代时，在b列中得到的是 原问题的基可行解，而在检验数行得到的是 对偶问题的基解。通过逐步迭代，达到最优 表。 •最优表的判断标准： •第一，b列非负，即原问题可行； •第二，检验数行非正，即对偶问题可行。
对偶单纯形法的适用条件
初始解可以原问题不可行，但必须对偶 可行，即检验数必须非正。
材料表界面 作业答案
(cm3 )
边长为0.04μm银的立方体个数： n
0.1 1.488*1014 (个） 16 6.72*10
m v 10.5*6.4*1017 6.72*1016
0.1g银可得到上述大小的银胶体粒子数目： n
2
0.1 1.488*1014 (个） 16 6.72*10
7
非离子型表面活性剂。 其中离子型表面活性剂可分成阴离子、阳离子和两性表 面活性剂。 4. 何谓 HLB 值？HLB 值对表面活性剂的选用有何指导意义？
（1） HLB 值是指表面活性剂的亲水性与亲油性的相对大小。 （2）HLB 越大表示该表面活性剂的亲水性越强,HLB 值越低,则亲油性越强.由此,可根据表 面活性剂的HLB 值的大小,初步选择我们所需要的活性剂类型.
二维理想气体定律 理想气体状态方程
πA=RT
表面压较小的情况下成立
pv=RT
忽略了分子间互相作用力，利用理想化模型推导公式 低压、高温条件下成立
总结： 界面化学四大定律(1/ r1 1/ r2 )
P 2 V 2 M P0 r r
11
（2）单个粒子的表面积： A 6a 6*(4*10 ) 9.6*10 所有这些粒子的总表面积：n*A=1.428*10 (cm )
4 2
6 2
cm2
比表面积=
表面积 1.428*104 5 = =1.428*10（ cm 2/g) 质量 0.1
(3) 0.1g银的体积： v
m 0.1g 0.0095cm3 3 10.5 g / cm
2hr 2hr WSL LG (1 cos ) , tan 2 2 h r r h2
运筹学例题及答案
1 0 1/2 1
-5/2M3/2 3/2M+ 1/2
2 2 -1
3/4 1 7/2 0 7/4 0
Cj-zj
0
0 0 1
0
0 1
0
0
3/8 1/8 1/4 -3/8 -1/8 -1/2 -1/4 1/4 1/2 1/4 -1/4 -1/4 -1/8 -3/8 1/8 1/8 3/8 5/4 -
0 x4 1/3 1/3 -1 -1/3 -5/3
0 x5 2/3 -1/3 -1 -2/3 -1/3
0 x6 0 0 0 1 0
即新解为
x (1,2,2,0,0,0)
b) 将cj的改变反应到最终单纯形表上,得表（4） cj b 4/3 10/3 3 2/3
zj
cB 5 2 0 0
xB x2 x1 x5 x6
zj
3 x1 0 1 0 0 0
2 x2 1 0 0 0 0
0 x3 2/3 -1/3 -1 -2/3 -1/3
0 x4 -1/3 2/3 1 1/3 -4/3
0 x5 0 0 1 0 0
0 x6 0 0 0 1 0
分析下列各种条件单独变化时，最优解将如何变化。 （a）第1，2个约束条件的后端项分别由6变7，8变4； （b）目标函数变为 maxz 2 x1 5 x2 ;
x3 ，系数为 c3 4, p3 (1,2,3,2)T （c） 增加一个变量
x2 的系数变为 (4,3,2,1,2)T （d）问题中变量
（e）增加一个新的约束 x1 4
解：a）
1 4 b 0 0
2/ 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 b 1 1 2 / 3 1 / 3 0 0 1 0 0 1 2 0 4 3 0 0 5 1 0 2
作业成本法ABC概述
10000
12000
5000
50000
28
界定作业，确认资源
▪ 经研究，发现本企业间接费用的成本动因 有5个：材料领用数量，包装批次，质量检 验小时，设备维修时数和装卸搬运次数。 其他有关资料如表所示：
2020/10/30
29
表3 作业类别和相关作业量
作业类别 成本动因 材料领用 材料领用数量
作业量
概述?date?2路漫漫其悠远一abc的背景一产品特征?需求的多元化?品质的独特个性?产品寿命周期的变化?战略管理思想的引入?date?3路漫漫其悠远二成本特征?制造技术的改变与先进制造模式的采用使得制造类企业生产组织发生重大变革导致产品成本结构发生了巨大的变化制造费用间接费用在产品成本中比例越来越大?传统的以劳动密集型大批大量生产为主的成本计算方法不能正确的反映产品成本的消耗?date?4路漫漫其悠远成本结构变化直接材料直接人工50制造间接费用2030主要成本直接材料直接人工10制造间接费用50次要成本主要成本次要成本?date?5路漫漫其悠远三传统成本计算的局限性1间接费分配基础的疑问?费用与产品的关联度的削弱?人工小时与机器小时的不足2成本计算方法对决策的影响?举例说明?date?6路漫漫其悠远例例1单一品种的成本计算原材料直接归入法人工费某一品种产品间接费用?date?7路漫漫其悠远例例2多品种的成本计算原材料直接人工不同品种产品直接归入间接费用中间账户平均分配?date?8路漫漫其悠远传统成本计算的缺陷传统管理会计按产品产量或工时指标直接人工小时或机器小时分摊间接费用进入各产品成本之中未能揭示成本产生的直接动因不能提供准确的成本信息
本对象（产品/服务）
2020/10/30
22
▪ 第一步 确认主要
▪
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
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7 A3
4
10
6
5 9
3
收量 3
6
5
6
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 - 10 + 7
4
3
A2
1- 9 31
2
8
+
1 -1
4
7
4
10
A3
+
6
5 -3 9
收量 3
6
5
6
收
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B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
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4
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A2
31
4 1 -1
7 A3 10
4
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5
6+
-3 9
收量 3
6
5
6
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B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 +
10 -
7
4
3
1
9
A2
31
2
8
1
-1 +
4
7 A3 10
B
的单位运价
j
发该量问题便称作
运输问题。若，
a1 m
n
则a2称i1作ai 发产j量销1 bj平
衡问题，否则
称为产销不平
衡am问题。
收量 b1 b2 … bn
问题：在满足供需要求的前提下，如何安排调运计划，
可使总运费最小。
收站 发站
B1
B2
…
A1
C11
C12
x11
x12
…
A2
C21
C22
x 21
x22
Vogel法给出初始方案
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
11
3 10
A1
5
7 1070
2
1
9
2
8
A2
3
4 168
1
7 A3
4
10
6
5 9 12
3
收量 3
6
5
6
2
5
1
32
位势法检验初始运输方案
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
B2
B3
B4
3
11
3 10
5
2
1
9
2
8
3
1
7
4
10 5
6
3
3
6
5
6
发量 7 uu 11 0 4 uu22 2 9 uu33 5
运输问题及表上作业法
运输问题及其数学模型 产销平衡问题的表上作业法 运输问题解的讨论 产销不平衡运输问题
运输问题及其数学模型
下表为调运同一种物资的物资调收运站表
收站 发站
A1
A2
B1
C11
发C21 站
B2
C12
C22
… Bn
…
C1n
…
C2n
Am
Cm1
Cm2
…收量Cmn
cij 表示从Ai 运往
85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
B2
B3
B4
3
11
3 10
0
2
5
2
1
9
2
8
32
1
7
4
10 5
6
3
3
6
5
6
发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
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3
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2
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9
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8
3
1
7
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10 5
6
3
3
6
5
6
发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
B2
B3
B4
3
11
3 10
0
2
5
2
1
9
2
8
3
1
7
4
10 5
6
3
3
6
5
6
发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
表上作业法的算法步骤流程图：
开始
给出初始 运输方案
改进运 输方案
no
检验 运输方案是否
最优
（1）闭回路法
yes
（2）位势法
结束
例1 给出下面的运输问题的最优解。
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
11
3 10
A1
7
43
1
9
2
8
A2
3
4
1
7 A3
4
10
6
5 9
3
收量 3
6
5
6 86
首先(最小元素法)、 其次(位势法、闭回路法) Vogel法给出初始运 检验初始运输方案 输方案
85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
B2
B3
B4
3
11
3 10
0
2
5
2
1
9
2
8
32
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
7
4
10 5
9
6 12
3
3
6
5
6
发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
闭回路法法给出初始
方案
闭回路是指从
…
Bn
发量 m n个变元，
C1n
x1n
a1 m n个约束
C2n
x2n
a2的线性规划问题
mn
Am
… a Cm1
Cm2
V: miCznmn
c ij x ij
xm1
xm2
n
x min1 j 1 m
数学收模V量:型m ：n 设 iznxbi1j表 im1 示 jnb1cA 2iji由 x调 ij s.往 t…B. j的 ix jm i11jxx 数 iijj0 b，n(bai量 ij 则((1 i有,j 11,,m 2,2,;, j, ,mn1 ,)) ,n )
xij ai (i1,2,,m)
s.t.
j1 m
x ij 0(i 1 , ,m ;j 1 , ,n )
xij bj (j1,2,,n)
x 1x 1 1 2x 1 nx 2x 1 2 2x 2 n x m 1x m 2 x mn
1 1 1
a1
1 1 1
a2
1 1 1 am
1
1
1
b1
11
3 10
0
2
5
2
1
9
2
8
32
1
1
7
4
10 5
6
3
3
6
5
6
发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
B2
B3
B4
3
11
3 10
0
2
5
2
1
9
2
8
32
1
1
7
4
10 5
9
6
3
3
6
5
6
发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
3 10
+
4 -3 7
1
9
2
8
A2
3
4 1
7 A3
4
10
-6
5 +3 9
收量 3
6
5
6
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 +
10 -
7
4
3
1
9
2
8
A2
3+
1
4
7 A3
4
10
-6
5+
9
3
收量 3
6
5
6
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 +
10 -
7
4
3
1
9
A2
31
2
8
1
+4
1
1
1
b2
1
1
1 bn
说明( 1 ) ： r (A ) r (A ~ ) m n 1 (2) A中任系Am意 (数m矩nn)阵( m1n 行 ) 组成的行 增A~(广m 向 矩n )阵( m性 量 n 1) 无 组关 都线