条件概率、全概率公式
j 1 n
贝叶斯公式
P( Ai ) P( B | Ai ) P( Ai | B) n P( Aj ) P( B | Aj )
j 1
(i 1, 2, , n)
假定 A1, A2, , An 为导致试验结果的“原因” 称 P( Ai ) (i 1, 2, , n) 为先验概率 若试验事件B发生了, 则要探讨事件发生的“原因 先验概率反映了各种 ” P( Ai | B) (i “原因” 1, 2, , n) 发生的可能性 大小（在试验前是知道 称 P( Ai | B) 为后验概率 的） 后验概率反映了试验后对各种 后验概率可以通过 Bayes 公式进行计算 P( B | Ai ) P( Ai ) “原因”发生的可能性大小的推 P( Ai | B) n (i 1, 2, , n) P( B | A断 j ) P( Aj )
若 P( A) 0, P( B) 0 ,则
P( AB) P( A B) P( B) P( B | A) P( A)
推广 （1）对三个事件A, B, C，若P(AB)＞0，则有
P( ABC ) P( A) P( B A) P(C AB)
（2）对于n个事件A1 ,…, An,若 P( A1 An1 ) 0 ，有
S 设 A1, A2, , An 满足上面的两条件，则
对任何事件 B 有
B BS B( A1 A2 An ) BA1 BA2 BAn 于是 P( B) P( BA1 BA2 BAn )
P( BA1) P( BA2 ) P( BAn )
P( B | A1) P( A1) P( B | A2 ) P( A2 ) P( B | An ) P( An )
P(B)=( 0 .6 ).
2.2 全概率公式
如何将一个复杂概率计算问 题分解为简单计算问题之和
设 S 为样本空间，若事件 A1, A2, , An 满足：
A1, A2, , An 两两不相容，即 Ai Aj (i j, i, j 1, 2, , n)
A1 A2 An SS
AB的面积 p B A A的面积 AB的面积 S 的面积 A的面积 S的面积 p AB . p A
（2）规范性 对必然事件 S ，有 p S A 1;
（1）非负性 对任意事件B，有 p B A 0; （3）可列可加性 对于两两互不相容的事件B1,B2,…， 有
P( A1 A2
An ) P( An A1 A2 An1 )
P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
乘法公式一般用于计算几个 事件同时发生的概率
例3.4 某球队要经过三轮比赛才能出线. 该球队第一轮 比赛被淘汰的概率为0.5,第二轮比赛被淘汰的概率为 0.6, 第三轮比赛被淘汰的概率为0.7 . 求球队出线的概率. 解 记 Ai { 球队第 i 轮被淘汰 } , (i 1, 2,3) 则 “球队出线”= A1A2 A3
设 为样本空间,且事件 A已发生 ( P( A) 0)
A已发生，所以样本空间变为
从而条件概率
A
P( B A )
可视为缩小的“样本空间” A 即 A 为样本空间.
上的概率,
例3.2 有10个人,其中色盲人3人,从这10人中每次任选一 人,共选两次.设A={第一次选出色盲人},Ｂ={第二次选出 色盲人},求 p B A .
A={第一次取到白球}, B={第二次取到白球}.
不放回抽样：试验的基本事件总数为54=20. (1)事件B包含基本事件数为32+21=8,故
8 2 P B . 20 5
(2)事件AB包含基本事件数为21=2. 事件A包含基本事件数为24=8. 2 1 8 2 P AB , P A . 20 10 20 5
PB P Ai PB Ai 0.0315.
4 i 1
PB P Ai PB Ai 0.0315.
4 i 1
A1
0.05 0.95
0.04 0.96
B
B B B
0.15 0.20
A2
0.30 A3
0.35
概率树
A4
0.03 0.97 0.02 0.98
P( A P|( B A)
3/ 4
P( B)
P( A) 1 为在事件 A 发生的条件下事件 2B 发生的条件概率.
在几何概型的场合，如果向平面上的正方形内随机 地投点，A表示事件“点落在圆形区域A内”，B表示 “点落在圆形区域B内”， 在已知事件A发生的条件下 事件B 发生的条件概率为
§第二章
条件概率与独立性
2.1 条件概率、乘法定理 2.2 全概率公式 2.3 贝叶斯(Bayes)公式 2.4 事件的独立性 2.5 重复独立试验、二项概率公式
2.1 条件概率、乘法定理 1 .条件概率 将一枚硬币连抛两次，则样本空间是 设 A, B 是随机试验E两个事件，且 P( A) 0, 则称 {HH, HT, TH, TT} P( AB) P( B | A) } { HT,TH}, 则 记 A { 一次正面一次反面 P( A)
条件概率 P( A) 的性质
P B A i PBi A. i 1 i 1 （4） P A 0;
P B A 1 PB A;
PB1 B2 A PB1 A PB2 A PB1 B2 A.
P AB 1 PB A . P A 4
2. 乘法公式 由条件概率 可推得 乘法公式
P( AB) P( A | B) P( B)
( P( B) 0)
P( AB) P( A | B) P( B)
对称地,若 P( A) 0
P( AB) P( B | A) P( A)
如果我们已经知道试验结果中“至少出现了一次 若 P( B) 0, 则称 正面”,问此时 两个概率含义不 P ( AB ) P|(B A) ) P( A 同，值也不相同 P( B) 记 B { 至少出现一次正面 } {HH, HT,TH} 为 B 发生的条件下 A 发生的 条件概率. 由于 B 已发生,故“样本空间”变为 B 注意 (1)区别P )与 P (AB ).} B ( |A { HH, HT, TH 从而 (2)一般地 P( B A) P 试验的所有可能结果 (4 B). P( AB) 2/
10 2 . 25 5
放回抽样：试验的基本事件总数n=55=25.
(1)B包含基本事件数为 52=10. 故 PB (2)事件AB包含基本事件数为 22=4. 事件A包含基本事件数为 25=10.
P AB 2 PB A . P A 5
4 10 2 P AB , P A , 25 5 25
P{ 球队出线 } P( A1A2 A3) P( A3 | A1A2 ) P( A1A2 ) P( A3 | A1A2 ) P( A2 | A1) P( A1)
(1 0.7)(1 0.6)(1 0.5) 0.06
例1 已知 0＜P(B)＜1，且 P{(A1 A2)|B}=P(A1|B)+P(A2|B) ） 记C=S-B ,则下列选项成立的是（ （2 ） ①P{(A1 A2)|C}=P(A1|C)+P(A2|C) ②P(A1B A2B)=P(A1B)+P(A2B) ③P(A1 A2)=P(A1|B)+P(A2|B) ④P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 例2 设事件A是B的子事件,0＜ P(B) , P(A) ＜ 1， (1) ） 则下列选项必然成立的是（ ①P(A) ＜ P(A|B) ②P(A)≤P(A|B) ③P(A)>P(A|B) ④P(A)≥P(A|B) 例3 P(A)=0.6,P(A B)=0.84,P((S -B)|A)=0.4,则
P A1 0.15, P A2 0.20, P A3 0.30, P A4 0.35.
P B A1 0.05, P B A2 0.04, P B A3 0.03, P B A4 0.02.
根据全概率公式可得
P( A) 0.9,
P( A) 0.1,
P( B A) 0.15， P( B A) 0.8
P( B ) P( B A) P( A) P( B A) P( A)
0.15 0.9 0.8 0.1 0.215
P( B) 1 P( B ) 1 0.215 0.785
注意:区别P(B|A)与P(AB).
例3.3 设袋中有5个大小和形状完全一样的球，其中有2个 白球，3个黑球。从袋中取球2次，每次随机地取1个球。 按放回抽样和不放回抽样两种取球方式，求： (1)第二次取到白球的概率； (2)在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率 .
解 设A={第一次取到白球}, B={第二次取到白球}.
B
B
B
B
3.3 贝叶斯(Bayes)公式
设 A1, A2, , An 两两不相容，P( B) 0, P( Ai ) 0(i 1, 2, , n)
，且 A1 A2 An B(或A1 A2 An S )
则由乘法公式有 P( Ai B) P( Ai | B) P( B) P( Ai ) P( B | Ai ) (i 1, 2, , n) 由全概率公式有
解法1
3 p A 10
故
利用条件概率公式计算
3 2 1 p AB 10 9 15 p AB 1 15 2 pB A p A 3 10 9
4条件概率和全概率公式
= 0.0038
练习：
第一章 随机事件与概率
16
10个考签中有4个难签, 今有3人按甲先、乙次、丙最后的次序 参加抽签（不放回）. 求甲、乙、丙分别抽到难签的概率. 解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙分别抽到难签. 4 P (A) = ; P (B) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) = 10 4 3 6 4 4 = ⋅ + ⋅ = 10 9 10 9 10
第一章 随机事件与概率
1
第四节 条件概率与全概率公式
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
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第一章 随机事件与概率
2
一 条件概率
引例 某批产品共100件, 其中40件是甲厂生产的（35 件正品，5件次品）， 60件是乙厂生产的（45件正 品，15件次品），任取一件，已知它是甲厂生产， 问取出的是次品的概率。 定义1.8 设A, B为两个事件, 且 P(A)>0, 称
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第一章 随机事件与概率
7
例4 第一个袋中有黑、白球各 2 只, 第二个袋中有黑、 白球各 3 只. 先从第一个袋中任取一球放入第二个袋 中,再从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白 球的概率. 记 Ai {= 第 i 次取到白球 } , (i 1, 2) 则
P ( A1) = 1 2 P ( A2 | A1) = 4 7
i =1 i =1
P ( B A )= 1 − P ( B A)
P ( B1 B2 A ) = P ( B1 A ) + P ( B2 A) − P ( B1 B2 A)
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第一章 随机事件与概率
概率论与数理统计计算公式
概率论与数理统计计算公式概率论和数理统计是数学中的两个重要分支，广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。
在实际中，我们经常需要计算各种概率和统计量，因此理解和掌握概率论和数理统计中的计算公式是十分重要的。
接下来，我将给出概率论和数理统计中一些常用的计算公式。
一、概率计算公式：1.加法原理：如果A和B是两个事件，那么它们的和事件(A∪B)的概率可以由如下公式计算：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.条件概率：如果A和B是两个事件，且P(A)>0，那么事件B在已知事件A发生的条件下发生的概率可以由如下公式计算：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)3.全概率公式：如果{B1,B2,...,Bn}是一个对样本空间Ω的一个划分，那么对于任意事件A，我们有：P(A)=ΣP(A，Bi)P(Bi)，其中i取1到n。
4.贝叶斯公式：如果{B1,B2,...,Bn}是一个对样本空间Ω的一个划分，那么对于任意事件A和i取1到n，我们有：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/ΣP(A，Bj)P(Bj)，其中j取1到n。
5.乘法定理：如果A和B是两个事件，那么它们的交事件的概率可以由如下公式计算：P(A∩B)=P(A)P(B，A)=P(B)P(A，B)二、统计量计算公式：1.样本均值：对于由n个观测值组成的样本，样本的均值可以由如下公式计算：\(\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i\)2.样本方差：对于由n个观测值组成的样本，样本的方差可以由如下公式计算：\(S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{X})^2\) 3.标准差：样本的标准差是样本方差的平方根\(S = \sqrt{S^2}\)4.相关系数：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以由如下公式计算：\(\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\)5.协方差：样本的协方差可以由如下公式计算：\(Cov(X,Y) = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})\)以上只是概率论和数理统计中的一些常用计算公式，实际应用中还有很多其他的公式和方法。
条件概率公式与全概率公式
2021/3/27
CHENLI
9
推论2 在 A 与 B, A 与 B,A 与 B ， A 与 B这四对事件中,若 有一对独立,则另外三对也相互独立。
证明 不妨设A.B独立,则
P (A B ) P (A B ) P (A ) P (A) B P (A ) P (A )P (B ) P (A )1 ( P (B ) )P (A )P (B )
20课上练习小王忘了朋友家电话号码的最后一位故只能随意拨最后一个号求他至多拨三次由乘法公式设事件表示三次拨号至少一次拨通表示第i次拨通他只能随意拨最后一个号他连拨三次由乘法公式表示第i次拨通10件产品中有3件次品从中任取2在所取2件中有一件是次品的条件下设事件表示所取2件中有一件次品事件表示另一件也是次品
3
14 1 10 10 10
3. 5
2021/3/27
CHENLI
16
一般 B 1, ： ,B n为 设 的一个 A 为划 一分 事， 件
P(Bi
|
A)
P( P
AB (A
i
)
)
P(Bi )P(A| Bi ) P( A)
P(Bi )P(A | Bi )
n
P(BK )P(A | BK )
❖——贝叶斯(Bayes)公式
2021/3/27
CHENLI
2
例2 10个人为两张球票抽签，依次抽取，取后不 放回，若已知第一个人抽到球票，求第2个人也 抽到球票的概率。
解1：设A=“第一个人抽到球票”。 B=“第二个人抽到球票”。
1
则所求为
9
记为 P ( B A)
2021/3/27
CHENLI
3
定义P(： B| A)P(AB) P(A)
条件概率与全概率公式
条件概率与全概率公式
条件概率是指在一定条件下某事件发生的概率，例如，已知某人感染了疾病，求这个人的年龄在40岁以下的概率。
这里，已知某人感染了疾病就是条件，年龄在40岁以下是事件。
条件概率的公式为：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中，P(A|B)表示在条件B下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
全概率公式是指将一个事件拆分成多个互不重叠的子事件，并计算每个子事件的概率，然后将它们相加得到整个事件发生的概率。
例如，某医院有三个科室，分别是内科、外科和儿科，每个科室的病人比例为60%、30%和10%。
现在需要求这个医院的所有病人中，感染肺炎的比例。
这里，感染肺炎是整个事件，内科、外科和儿科是子事件。
全概率公式为：P(A) = Σ P(A|Bi) * P(Bi)，其中，P(A)表示事件A的概率，P(A|Bi)表示在条件Bi下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，Σ表示对所有的i求和。
在这个例子中，感染肺炎的比例为：P(肺炎) = P(肺炎|内科) * P(内科) + P(肺炎|外科) * P(外科) + P(肺炎|儿科) * P(儿科)。
- 1 -。
1.3,1.4条件概率,全概率公式
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
条件概率、乘法公式、全概率公式
• 条件概率的定义与性质 • 乘法公式及其应用 • 全概率公式及其应用 • 条件概率、乘法公式、全概率公式的
联系与区别 • 案例分析
01
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
条件概率是指在某一事件B已经发生的情况下，另一事件A发生的概率。数学上表示为P(A|B)，读作“在B 的条件下A的概率”。
总结词
应用乘法公式
详细描述
天气预报中经常使用概率模型来预测未来天 气情况。例如，预测明天下雨的概率是70%， 那么应用乘法公式可以计算出在明天下雨的 条件下，明天是阴天的概率是30%。
案例三：保险业务中的风险评估
总结词
利用全概率公式
详细描述
在保险业务中，全概率公式用于评估风险。例如，一辆 汽车在一年内发生事故的概率是0.01，那么可以根据全 概率公式计算出在1000辆汽车中，预计有10辆汽车会 发生事故。
条件概率的定义公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B) 表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
01
P(A|B) ≥ 0，即条件概率不能是负数。
归一性
02
P(A|B) = 1 - P(¬A|B)，即条件概率满足归一化条件，其中¬A
05
案例分析
案例一：赌博游戏中的概率计算
总结词
理解条件概率
VS
详细描述
在赌博游戏中，条件概率是一个重要的概 念。例如，在掷骰子游戏中，如果已知前 一个骰子的点数，那么下一个骰子的点数 与此无关。这可以通过条件概率公式来描 述，即P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
案例二：天气预报的概率模型
第十章 第四节 事件的独立性、条件概率与全概率公式
6．(全概率公式应用致误)在 A，B，C 三地爆发了流感，这三个地区分别有 6%，5%，4%的人患了流感．设这三个地区人口数的比为 3∶1∶1，现从这三个地 区中任选一人，这个人患流感的概率是__________．
答案：52070 解析：由全概率公式可得，现从这三个地区中任选一人，这个 人患流感的概率为 6%×3＋31＋1 ＋5%×3＋11＋1 ＋4%×3＋11＋1 ＝52070 .
2．事件 A 与事件 B 相互独立性
若事件 A 与事件 B 相互独立，则事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率，
即有
P(B|A) ＝ P(B). 反 之 ， 若
P(B|A) ＝ P(B) 成 立 ， 则
P(AB)
＝ P(A)
P（AB） P（A）
＝
P(A)P(B|A)＝P(A)P(B).
3．n 个事件的相互独立
答案：25 解析：设事件 A 为“解题成功”，即甲乙两个小组至少有一个小 组解题成功，
其概率为 P(A)＝1－1－23 ·1－12 ＝56 ，
事件 B 为“乙小组解题失败”，则 P(AB)＝23 ×1－12 ＝13 ， 所以在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为
1 P(B|A)＝PP（（AAB）） ＝35 ＝25 .
5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是 0.2，乙地降雨概率是 0.3.假设在这 段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率 为________．
答案：0.38 解析：设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一 地降雨为 A－B ∪－A B，
所以 P(A－B ∪－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝ P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.
事件的独立性、条件概率和全概率公式(精讲)【2024一轮复习讲义】(新高考通用)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、条件概率1.定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+ ．注：已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，一、知识点梳理根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A = ．2.事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()0i P A >，12i n = ，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．2.贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+（2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()01i P A <<，12i n = ，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：贝叶斯公式体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+.题型一事件的相互独立性1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．二、题型分类精讲A．332B．【答案】D【题型训练】一、单选题，从乙口袋内摸出一个白球的概率是6【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，不相互独立，所以本序号说法不正确；二、多选题不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以三、填空题四、解答题．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，题型二条件概率1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用条件概率的关键是求出【题型训练】一、单选题1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为d二、多选题、表示事件错误；三、填空题个红球，从中任意取出一球，已知它不是白题型三全概率公式全概率公式复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．【题型训练】一、单选题小时的学生中任意调查一名学生，则（二、多选题，所以表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，，对；三、填空题记任选一人去桂林旅游的事件为B ，则123()0.4,()()0.3P A P A P A ===，123(|)0.1,(|)0.2,(|)0.15P B A P B A P B A ===,由全概率公式得112233()(|)()(|)()(5|)30.15014P P A P B A P A P B A P A P B B A =⨯⨯++==++⨯.故答案为：0.145四、解答题附：()2P K k≥0.150.100.05k 2.072 2.706 3.841 (2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每来自甲生产的概率为3，来自乙生产的概率为(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为①A获得季军的概率；②D成为亚军的概率；，其余三人实力旗鼓相当，求题型四贝叶斯公式1.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算【题型训练】一、单选题。
条件概率及全概率公式
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P(A|
B)
P(AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2: P(A|B)31 62
在B发生后的 缩减样本空间 中计算
.
例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为 0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20 岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？
(2)
A 1A 2 A n . B=B1A B2A BnA
则称
A1, A2,An
为样本空间 Ω的一个划分。 BA1 BA2 …... BAn
A1 A2 …... An
Ω
.
1.全概率公式: 定理1.2
设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且
PA(1A, Ai)2>,0…，,Ai n=之1,一2,…同,时n, 发另生有，一即事件B B,n它A总i ，是与
综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
.
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从 中任意摸出一球，求取得红球的概率.
解：记 Ai={球取自i号箱},
.
多个事件的乘法公式
设A1，A2，，An为n个随机事件，且
PA 1A 2 A n 1 0
则有
P A 1A 2 A n P A 1 P A 2A 1 P A 3A 1 A 2P A nA 1 A 2 A n 1
条件概率与全概率公式
P ( A )＝ P ( B 1 ) P ( A ｜ B 1 )＋ P ( B 2 ) P ( A ｜ B 2 )＋ P ( B 3 ) P ( A ｜ B
3 )＋
P ( B 4 ) P ( A ｜ B 4 )＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋
0.35×0.02＝0.031 5，
∑ ()(｜)
=1
， i ＝1，2，···， n .
[小题诊断]
1.
1
1
若 P ( A ｜ B )＝ ， P ( B )＝ ，则 P ( AB )的值是(
9
3
A )
1
1
1
由 P ( AB )＝ P ( A ｜ B ) P ( B )，可得 P ( AB )＝ × ＝ .
9
3
27
2. 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失
[解]
设第1次抽到舞蹈节目为事件 A ，第2次抽到舞蹈节目为事件 B ，
则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件 AB .
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞
()
蹈节目的概率为 P ( B ｜ A )＝
＝
()
2
5
2
3
法二：因为 n ( AB )＝12， n ( A )＝20，
总产量的15％，20％，30％和35％，且四条流水线的产品不合格率分别
为0.05，0.04，0.03和0.02，现从该厂的这一产品中任取一件，问抽到不
合格品的概率是多少？
解：设 A ＝“任取一件这种产品，抽到不合格品”，
B i ＝“任取一件这种产品，结果是第 i 条流水线的产品”( i ＝1，