03-1 弦的横向振动
弦的横振动问题
§8.1弦的横振动问题一、引言二、方程的导出三、定解条件1.定解条件的必要性2.初始条件3.边界条件4.定解问题四、例题一、引言(展示)数学物理方程主要指从物理问题中导出的偏微分方程。
解决任何物理问题通常分三步：第一，把物理问题化为数学问题，即利用相应的物理规律导出方程并确定定解条件(初始条件和边界条件)；第二，求解数学问题，即求满足方程及定解条件的解；第三，给得出的结果以物理解释。
本章以弦振动问题为例，说明处理任何物理问题的过程与方法。
导出物理问题的偏微分方程的步骤是：首先把物理对象作适当简化，并确定表征该物理过程的物理量u，再从所研究的体系中划出任意的一小部分，根据相应的物理规律，分析邻近部分与这小部分的相互作用以及这种相互作用在短时间内如何影响物理量u，然后把这种相互作用与影响用数学式子表达出来，经过整理就得到该物理问题的偏微分方程——数学物理方程。
返回页首二、方程的导出(展示1234)在弦的横振动中，如果弦比较细，就可以抽象为一维问题来处理，又设弦是完全柔软的，即任意点处的张力总是沿着弦在该点的切线方向，这样分析力的作用就比较方便。
这根完全柔软的细弦，平衡时沿着一条直线绷紧，取这条直线为x轴，并以坐标x标志弦上各点。
设弦在同一平面内作微小横振动，表征这一振动过程的物理量是弦上x点在t时刻沿垂直于x方向的位移u(x，t)。
在弦上任取一小段x1x2(图8。
1)，设在t时刻成为弧长。
由于弦作微小振动，在精确到一阶无穷小时，可以认为在振动过程中，弦长没有发生变化，即(8.1-1)根据H o o k e定律，张力与伸长成正比，由于弦长不随时间变化，弦上各点的张力T亦不随时间变化。
设弦的线密度为，在垂直于x方向上作用于单位弦长上的外力为，则段弦的横向运动方程为(8.1-2)式中和分别表示在M1点M2点的弦的张力，和分别为在这两点的切线与x轴的夹角。
根据弦作微小振动的假定，有(8.1-3)(8.1-4)因此，有(8.1-5)将上式代入(8.1-2)式,可得由于x1、x2的任意性，被积函数为零，得出一般的弦的横振动方程(8.1-6)讨论：1）如果弦作完全横振动，则在纵向合力应为零，即(8.1-7)即张力与x无关。
ft解弦振动方程
ft解弦振动方程弦振动是指弦上的波动现象，当弦受到外力作用时，会产生一系列的波动，即弦振动。
弦振动的基本原理可以通过一维波动来描述。
在弦振动中，弦的长度相对较长，可以近似看作一维的直线波动。
弦上的振动可以分解为横向和纵向的振动，而横向振动是指弦的横向位移，纵向振动是指弦的纵向位移。
根据弦振动的性质，可以得到弦振动方程，即描述弦振动的数学表达式。
最常见的弦振动方程是一维波动方程，也称为弦的振动方程。
一维波动方程可以用来描述弦上的横向振动，它的一般形式为：∂^2u/∂t^2 = v^2∂^2u/∂x^2其中，u是弦的横向位移，t是时间，x是弦上的位置，v是波速。
该方程表示了弦上的横向位移随时间和位置的变化关系。
弦振动方程的解决过程涉及到波动方程的求解技巧。
通常情况下，我们需要先确定弦振动的边界条件和初始条件，然后利用适当的数学方法求解弦振动方程。
对于简单的情况，可以使用分离变量法、叠加原理等方法求解。
弦振动方程的解决过程可以帮助我们理解弦振动的特性。
通过求解弦振动方程，我们可以得到弦上不同位置的振动情况，包括振幅、频率、波长等。
这些振动特性对于乐器演奏和声波传播等应用有着重要的影响。
在乐器演奏中，弦振动方程可以帮助我们理解音乐中的和弦、音高等概念。
不同的弦振动模式会产生不同的音高和音质，这也是乐器演奏中的重要技巧和表现手段。
在声学领域中，弦振动方程可以用来描述声波在弦上的传播过程。
声波的传播速度和频率与弦的特性密切相关，通过求解弦振动方程可以得到声波传播的特性参数，从而对声波传播进行分析和预测。
弦振动方程是描述弦振动的重要数学模型。
通过求解弦振动方程，我们可以深入理解弦振动的基本原理和特性。
弦振动方程在乐器演奏、声波传播等领域中具有广泛的应用，对于进一步研究和应用弦振动具有重要的意义。
弦振动实验原理
弦振动实验原理弦振动是物理学中一个重要的研究对象，它不仅在乐器演奏中起着关键作用，还在工程领域和科学研究中有着广泛的应用。
弦振动实验是研究弦振动特性的重要手段，通过实验可以直观地观察到弦的振动规律，从而深入理解弦振动的原理和特性。
本文将介绍弦振动实验的原理，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的物理现象。
首先，我们来介绍一下弦振动的基本原理。
当一根弦被拉紧并以一定的力量振动时，弦上将产生波动。
这种波动可以是横波，也可以是纵波，而在弦的振动实验中，一般研究的是横波。
横波是指波动方向与能量传播方向垂直的波动，而纵波则是波动方向与能量传播方向一致的波动。
在弦振动实验中，我们通常研究的是弦的频率、波长、振幅等特性，以及这些特性与弦的材料、长度、张力等因素的关系。
在进行弦振动实验时，我们需要一些基本的实验装置和仪器。
首先是弦，我们可以选择不同材质和不同长度的弦进行实验，以研究它们的振动特性。
其次是振动源，通常我们会用手指或者拨片等方式激发弦的振动。
另外，还需要频率计、振幅计等测量仪器，用来测量弦的振动频率和振幅。
通过这些实验装置和仪器，我们可以进行一系列的实验，研究弦的振动规律。
在实验中，我们可以通过调节弦的张力、改变弦的长度、用不同的材料制作弦等方式，来研究这些因素对弦振动特性的影响。
例如，当我们增加弦的张力时，会发现弦的振动频率会增大；当我们改变弦的长度时，会发现弦的波长会发生变化。
通过这些实验，我们可以得出一些定量的规律，从而更好地理解弦振动的原理。
除了定量的实验研究，我们还可以通过定性的实验观察弦振动的现象。
例如，我们可以用慢动作摄像机来观察弦的振动形态，可以用荧光粉等方式标记波节和波腹，以便更清晰地观察波动的特点。
这些定性的实验可以帮助我们更直观地理解弦振动的规律。
总之，弦振动实验是研究弦振动原理的重要手段，通过实验可以直观地观察和研究弦的振动特性。
在实验中，我们可以通过调节不同的参数，研究这些参数对弦振动特性的影响，从而更深入地理解弦振动的原理。
数理方程—横向纵向振动问题、波动方程
SY [ ux(x+dx, t) – ux(x, t) ]
用牛顿第二定律
SY [ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = S dxutt
由
T ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) utt dx
ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) uxx ( x , t ) dx
设细弦上各点线密 度为 ρ, 细弦上质点 之间相互作用力为 张力T(x，t)
O
u
T2
T1 x
ds
ρgds x
x+dx
水平合力为零
T2 cos 2－T1 cos 1 = 0 T2≈T1≈T
cos 1≈cos 2 ≈1
铅直合力: F=m a T( sin 2－sin 1) = ρds utt sin 1 ≈tan 1 T( tan 2－tan 1) = ρds utt
T[ ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = ρds utt
d s≈ dx utt= a2 uxx
T ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) utt dx
其中 utt = a2 uxx
T
a2
一维波动方程:
考虑有恒外力密度f(x，t)作用时，可以得到一维 波动方程的非齐次形式 utt = a2 uxx + f(x, t)
3/16
二阶偏导数 utt 物理意义——物体运动加速度
二阶偏导数:
u x ( x x , t ) u x ( x , t ) u xx ( x , t ) lim x 0 x tan 2 tan 1 u xx ( x , t ) lim x 0 x
03-3 梁的横向振动
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★下面着重讨论等截面均质梁弯曲振动的固有频率和固 有振型。 1、简支梁
简支梁的边界条件为
Y 0 0,
d 2Y 0 0, 2 dx
Y L 0,
d 2Y L 0 2 dx
将第一组边界条件代入下式
Y x C1sin x C2cos x C3sh x C4ch x 2 d Y x 2 2 2 2 C sin x C cos x C sh x C ch x 1 2 3 4 2 dx
★取微段dx，如图所示， 用 Q(x,t) 表 示 剪 切 力 ， M(x,t)表示弯矩。
★在铅直 y 方向的运动方 程为
2 y x, t Q x A x dx Q Q dx f x, t dx 2 t x
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等截面均质梁的固有振动为
y ( x, t ) C1 sin x C2 cos x C3sh x C4 ch x
A sin t B cos t
d2 d 2Y ( x) 2 EJ ( x) ( x) A( x)Y ( x) 0 2 2 dx dx
若单位体积质量(x)==常数，横截面积A(x)=A=常数，横截
面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=常数。
4 d 振型方程可以简化为 EJ Y ( x) 2 AY ( x) 0 dx 4 2 d 4Y x 4 A 4 式中 Y x 0 4 dx EJ 该方程为四阶
03-1 弦的横向振动解析
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2 y y 2 y dx 2 f x ,t dx T 2 dx t x x T y 2 y y 2 dx dx T x x x x
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简单的连续系统振动演示
3.1
弦的横向振动
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设 有一 根细弦 张紧 于两固定点之间，弦长 为 L 。两固定点连线方 向取为 x 轴，与 x 轴垂直 的 方 向取 为 y 轴 ， 如 图 所示。 弦的单位长度质量为 (x)，在横向分布力 f(x,t)作用下作 横向振动，张力为 T(x,t) ，跨长为 L ，弦 x 处的横向位移 函数为y=y(x,t)。
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◆在研究连续系统的振动时，假设材料是均匀连续的和 各向同性的，并在弹性范围内服从虎克 ( Ｈ ook) 定理， 这些都是建立连续线性系统振动理论的前提。 ◆连续系统的偏微分振动方程只在一些比较简单的特殊 情况下才能求得解析解。例如均匀的弦、杆、轴和梁等 的振动问题。 ◆实际问题往往是复杂的，并不能归结为简单的连续系 统情形，因而常常需要离散化成有限自由度系统进行计 算或利用各种近似方法求解。 ◆实际工程中常用的有限元法是将连续系统离散化的实 用有效方法之一。
弦振动的振型演示实验
一、实验目的 1851 年，傅科在巴黎圣母院用 67 米长的单摆进行实验，根据摆的振动平面偏转效应证明地球
自转博得了很大的声誉，被命名为傅科摆。我国北京自然博物馆门口就有一个傅科摆。我们将在实 验室重复这个相似实验。
通过实验，让学生观察实验现象，以及了解非惯性实验平台的组成和实验方法。 二、实验内容 1、 认识非惯性平台的各个组成部分； 2、 通过傅科摆演示，观察和理解地球的自转规律。
信号发生器
率时，获得各阶主振型。系统的前三阶的主振型如图 3 所示。
图2
第一阶主振型 第二阶主振型 第三阶主振型
图3
ω
n1=
πa l
， φ1 ( x)
=
πx l
ω n2
=
2π l
a
，φ（2 x)
=
2π l
x
ω n3
=
3π l
a
，φ（3 x)
=
3π x l
思考题 1．弦振动的固有频率与什么因素有关？ 2．如何从实验观察中判断振型的阶次？ 3．为什么利用稳态正弦激励可获得系统的各阶主振型？
=
iπa l
（i
= 1,2,3L）
主振型： φ i
(x)
=
sin
iπx l
（
i
=
1,2,3L）
系统的受迫振动响应可表示为各阶主振型的线性组合，即
（2)1 （2)2
∑ y( x, t )
=
∞ i =1
H
i
(t
)
sin
iπx l
（3）其中
H i (t) （ i = 1,2,3L）称为主坐标，它表示系统各相应阶主振型对响应的贡献。 将式（3）代入式
弦的横振动方程
弦的横振动方程弦的横振动方程物理问题：有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动，列出弦的横振动方程。
取弦的平衡位置为x轴，令其端点坐标为x = 0和x = l。
设u(x, t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的横向位移，在线上隔离出长为dx的一小段弦元，弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点。
弦是完全柔软的：该质点只在弦的切线方向受到两端随时间与位置变化的力T(x, t)的作用，这个张力是切向应力。
我们忽略了法向应力和重力作用。
我们将T沿着水平方向与竖直方向分解，由于做横振动的弦在水平方向上没有运动，所以方程为小振动：x + dx与x两点间任意时刻横向位移之差u(x + dx, t) - u(x, t)与dx 相比是一个小量，也就是相邻两点位移之差比起两点之间的距离来讲是一个小量，即这个式子也是切线的斜率，所以所以，由水平方向的运动方程可以得到在x + dx和x处的拉力是相同的，即弦中各点张力与空间无关。
对于竖直方向上（位移u的方向上）的运动方程，我们有这里用了中值定理与极限。
最终我们导出了弦振动的方程：其中ρ是弦的线密度（单位长度的质量）。
进一步的，我们定义有通过考察量纲，我们可以发现a就是弦的振动传播速率。
其实在小振动近似（准确到一级项u / x）下，弦元的伸长是一个二阶无穷小量，我们将其忽略，所以弦元长度不随时间变化，张力T也不随时间变化。
当振动受到重力或者粘滞阻力，这些力一般沿着位移u的方向。
设单位长度受到的外力为f，我们的公式为因此，最终方程为新出现的非齐次项为单位质量所受外力。
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●观察弦的自由振动同样可以发现存在着同步运动 的特征，即在运动中弦线位移的一般形状不随时间改变， 但一般形状的幅度是随时间而改变的； ●运动中弦的各点同时到达最大幅值，又同时通过平 衡位置； ●用数学的语言讲，描述弦振动的位移函数 y(x,t) 在 时间和空间上是分离的。
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2 1 d 2 F t 1 d Y x 2 2 a 2 2 F t dt Y x dx
由该式得到如下 两个方程
d 2 F t 2 F t 0 2 dt
关于时间变量t的常微分方程。 关于空间变量 x 的常 微分方程。
d 2Y x 2 Y x 0 0 x L 2 dx 将偏微分方程转化为两个二阶常 微分方程！——分离变量法。 a
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2 1 d 2 F t 1 d Y x 2 a 2 F t dt Y x dx 2
左端只依赖于t，右端只依赖于x，要使其对任意的t和x都 成立，必然等于同一常数。用-2表示这个常数，得
r
r 1, 2,
r 1, 2,
E=0
Yr x Dsinr x Ecosr x
因为振型只确定系统中各点振 r Y x sin x r 动幅度的相对值，其表达式无 L 需带常数因子D，取D=1。
r 1, 2,
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弦的横向振动偏微分方程
2 y y 2 T f x, t (0 x L) t x x 式中： =(x)，T=T(x,t)，y=y(x,t)。
★弦横向振动的边界条件：两端处位移为零，即
y0, t yL, t 0
★弦横向振动的数学模型 2 y y 2 T f x, t x x t y 0, t y L, t 0 ★上式为偏微分方程的边界值问题。
连续系统具有无限多个自由度。
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◆在数学上，离散系统的运动方程为方程数目与自由度
数目相等的二阶常微分方程组；
◆连续系统需要用时间和坐标的函数来描述它的运动状
态，因此连续系统运动方程是偏微分方程。
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◆在研究连续系统的振动时，假设材料是均匀连续的和 各向同性的，并在弹性范围内服从虎克 ( Ｈ ook) 定理， 这些都是建立连续线性系统振动理论的前提。 ◆连续系统的偏微分振动方程只在一些比较简单的特殊 情况下才能求得解析解。例如均匀的弦、杆、轴和梁等 的振动问题。 ◆实际问题往往是复杂的，并不能归结为简单的连续系 统情形，因而常常需要离散化成有限自由度系统进行计 算或利用各种近似方法求解。 ◆实际工程中常用的有限元法是将连续系统离散化的实 用有效方法之一。
式中： A ， B( 或 C ， ) 为积分常数。由两个初始条件 y(x,0) 和 y x,0 来确定。
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关于空间变量x的常微分方程 上式通解为 Y x Dsinx Ecosx
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关于时间变量t的常微分方程
d 2 F t 2 F t 0 2 dt
方程的通解为
F t A sin t B cos t C sin t
y sin tan 在微振动条件下，有 x 2 y y 2 y dx 2 f x ,t dx T 2 dx t x x T y 2 y y 2 dx dx T x x x x
式中，不计 dx 的二次项， 两边同时除 以 dx ，整理 得
2 y 2 y T y 2 f x ,t T 2 t x x x
式中
2 y T y y T 2 T x x x x x
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◆若把一个连续系统离散为一个有限单元的集合，便成 了离散系统。反之，离散系统的极限情况就是连续系统。 离散系统是连续系统的近似描述，这也说明连续系统具 有无限多的自由度。
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◆离散系统和连续系统具有相同的动力特性。连续系统的振动理 论在概念方面严格地与离散系统相似；分析计算的过程也相似： (1)建立系统运动微分方程 离散系统:常微分方程组; 连续系统:偏微分方程组。 (2)求固有频率、振型、正则振型 离散系统:根据特征方程求固有频率、确定振型向量；根据正交性 确定正则振型向量。 连续系统:根据边界条件求固有频率、确定振型函数；根据正交性 确定正则振型函数。 (3)求正则坐标下的响应 离散系统:正则坐标数为系统自由度数。 连续系统:正则坐标数为无限个。 (4)求原广义坐标下的响应
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取 微 段 弦 线 单 元 体 dx 。 假设弦作微小横向振动， 则由牛顿定律得
2 y dx 2 f x, t dx t T T dx sin dx T sin x x
d 2Y x 2 Y x 0, 2 dx
a
0 x L
称为振型函数
式中： D ， E 为积分常数。由边界条件 y(0 ， t) 和 y(L ， t) 来确定。 Y 0 Y L 0 y x, t Y x F t
y 2 y a 2 2 t x
2 2
a T
Y(x)表示弦的振动位形，只 取决于变量x；
●
★上述边界值问题的解 可以写成下面的形式
y x, t Y x F t
F(t)表示弦的振动规律，只 取决于时间t。
●
2 y 2 2 y a 2 ★将上式代入自由振动的波动方程 2 t x 2 d2 F t 1 d 2 F t 1 d 2Y x 2 d Y x 2 Y x a F t a 2 2 2 dt dx F t dt Y x dx 2
由特征方程，可求得无 r a r T r r 1, 2, 限多阶固有频率： L L ★第1阶固 频率1称为基频，或基谐波； ★高阶固有频率r (r=2，3，…)称为高次谐波。 ★高次谐波是基谐波的整数倍。 ★对应于无限多阶固有频率，有无限多阶固有振型函数
r r a L
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3.1
弦的横向振动
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设 有一 根细弦 张紧 于两固定点之间，弦长 为 L 。两固定点连线方 向取为 x 轴，与 x 轴垂直 的 方 向取 为 y 轴 ， 如 图 所示。 弦的单位长度质量为 (x)，在横向分布力 f(x,t)作用下作 横向振动，张力为 T(x,t) ，跨长为 L ，弦 x 处的横向位移 函数为y=y(x,t)。
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2 y y 2 y dx 2 f x ,t dx T 2 dx t x x T y 2 y y 2 dx dx T x x x x
对应于第r阶固有频率，弦的固有振动为
r yr x, t Yr x Fr t Ar sin r t Br cos r t sin x L
弦的自由振动可以表示为各阶固有振动的叠加，即有
r y x, t Yr x Fr t Ar sin r t Br cos r t sin x L r 1 r 1
★离散系统的固有振型是以各质点之间的振幅比来表示 的； ★当离散系统的质点数趋向于无穷时，各质点振幅就成 为x的连续函数，即为连续系统中的振型函数Y(x)；
★ 离散系统所描绘的固有振型只是连续系统振型函数 Y(x)所表达的真实振型的近似解。
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E 0,
D sin L 0
显然，D=0不是振动解。
D 0 sin L 0
y 0, t =0，y L, t =0
弦振动的特征方程
sin
a
L0
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