椭圆双曲线抛物线

1常用不等关系结论：对于椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y
a x
（1）c a >，（2）b a >，（3）c a PF c a +≤≤-||，（4）a x a ≤≤-0，（5）b y b ≤≤-0
2 椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ
=⎧⎨
=⎩. 离心率c
e a ==，
准线到中心的距离为
2
a
c
，焦点到对应准线的距离(焦准距)2
b
p c
=。

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：a
b
2
2
3椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:
2
1()a
PF e x a ex c
=+
=+，2
2(
)a
PF e x a ex c
=-=-；122
1||tan
2
F P F P F P F S c y b ∆∠==。

当到过短轴端点处时，21PF F ∠最大，2tan ||2
12
021PF F b y c S PF F ∠==∆
4椭圆的的内外部: （1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部22
00221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的外部22
2
2
1x y a b ⇔
+
>.
5 椭圆的切线方程: (1) 椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是002
2
1x x y y a
b
+
=. （2）过椭圆222
2
1x y a
b
+=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是
002
2
1x x y y a
b
+
=.
（3）椭圆222
21(0)x y a b a
b
+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是2
2
2
2
2
A a
B b c +=.
双曲线知识框图
1双曲线的焦半径：对于双曲线12
22
2=-
b
y a
x
2 焦准距c
b
p 2
=
； 准线间距c
a 2
2=
; 通径长2
2b
a
⨯
;
3 过双曲线焦点最短的弦长是a 2（与两支相交）或a
b
2
2（与一支相交），哪个小取哪个
4 双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>的离心率c e a
=
=2
a
c
，
焦点到对应准线的距离(焦准距)2
b
p c
=。

过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：a
b
2
2
5 双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1）若双曲线方程为
12
22
2=-
b
y a
x ⇒渐近线方程：
222
2
0x y a
b
-
=⇔x a
b y ±=.
(2)若渐近线方程为x a
b y ±=⇔0=±b
y a x ⇒双曲线可设为λ=-
2
22
2b
y a
x .
(3)若双曲线与
12
22
2=-
b y
a x
有公共渐近线，可设为
λ=-
2
22
2b
y
a x
（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b 。

6 双曲线的切线方程:
(1)双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是002
2
1x x y y a
b
-
=. (2)过双曲线222
2
1x y a
b
-
=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是
002
2
1x x y y a
b
-=.
（3）双曲线222
2
1x y a
b
-
=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222
A a
B b c -=.
抛物线知识框图
1抛物线px y 22
=的焦半径公式: 抛
物
线
2
2(0)y p x p =>焦半径0
2
p
C F x =
+.过焦点弦长
p x x p x p x CD ++=+
++=21212
2
.
2.焦点弦： 对于px y 22
=,过焦点的弦),(),,(2211y x B y x A ，
,sin 22
21α
p p x x AB =
++= 2
21p y y -=， 4
2
21p
x x =
3 . 焦半径为直径的圆与y 轴相切, 焦点弦为直径的圆与准线相切．
直线与圆锥曲线的位置关系
1 (1)相交：
0∆>⇔直线与椭圆相交；
0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；
0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时， 直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！
（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切；
（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。

2 直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。

如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点； 3过双曲线
2
22
2b
y
a x
-
＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：
①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；
②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；
③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； ④P 为原点时不存在这样的直线；
4过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

5只设不解，整体代换，是解析几何减少运算量的一种重要方法，常归思路是设出交点的坐标，通过联立方程组，消元，得出关于或的一元二次方程，然后根据根与系数的关系，得出两根和与与两根积。

整体代入目标中。

若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则
]4))[(1(||1||212
212212
x x x x k x x k
AB -++=
-+=
若
12
,y y 分别为A
、B
的纵坐标，则
]4))[(11(||11||212
212
212
y y y y k
y y k
AB -++
=-+
=，
若弦AB 所在直线方程设为，m ky x +=则A B 12y -。

特别地，焦点弦（过焦点的弦）：
焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

6 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

（1）在椭圆
12
22
2=+b y a
x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－02
02
y a x b ； （2）在双曲线
12
22
2=-
b
y a
x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=
202y a x b ；
（3）在抛物线)0(22>=p px y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0
y p k =。