2019年北京市东城区中考数学二模试卷(解析版)
2019年北京市东城区中考数学二模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x＝32．（2分）若a＝，则实数a在数轴上对应的点P的大致位置是（）A．B．C．D．3．（2分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．棱柱B．圆柱C．棱锥D．圆锥4．（2分）二元一次方程组的解为（）A．B．C．D．5．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，3），点B的坐标（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A'的坐标为（﹣2，0）．则点B的对应点B'的坐标为（）A．（5，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣2）7．（2分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则AB两地之间的距离约为（）A．1000sinα米B．1000tanα米C．米D．米8．（2分）如图1，动点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D．设点P的运动时间为（s），△P AB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为（）A．B．C．2D．2二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）分解因式：x2y﹣y＝．10．（2分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是．11．（2分）如果x﹣y＝，那么代数式（x+2）2﹣4x+y（y﹣2x）的值是．12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD ＝°．13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P（1，﹣3），则关于x的不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集是．14．（2分）用一组k，b的值说明命题“若k＞0，则一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限”是错误的，这组值可以是k＝，b＝．15．（2分）如图，B，C，D，E为⊙A上的点，DE＝5，∠BAC+∠DAE＝180°，则圆心A 到弦BC的距离为．16．（2分）运算能力是一项重要的数学能力．王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中5位同学的测试成绩．（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高．）①在5位同学中，有位同学第一次成绩比第二次成绩高；②在甲、乙两位同学中，第三次成绩高的是．（填“甲”或“乙”）三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴＝．在▱ABCD中，AD∥BC．即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形（）（填推理的依据）．18．（5分）计算：19．（5分）解不等式﹣≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．20．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根大于3，求m的取值范围．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与双曲线y＝的一个交点是A（m，3）．（1）求m和k的值；（2）设点P是双曲线y＝上一点，直线AP与x轴交于点B．若AB＝3PB，结合图象，直接写出点P的坐标．23．（6分）2019年中国北京世界园艺博览会已于2019年4月29日在北京市延庆区开展，吸引了大批游客参观游览．五一小长假期间平均每天入园人数大约是8万人，佳佳等5名同学组成的学习小组，随机调查了五一假期中入园参观的部分游客，获得了他们在园内参观所用时间，并对数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：a．参观时间的频数分布表如下：b．参观时间的频数分布直方图如图：根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）这里采用的调查方式是；（2）表中a＝，b＝，c＝；（3）并请补全频数分布直方图；（4）请你估算五一假期中平均每天参观时间小于4小时的游客约有多少万人？24．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OC，过点A作AD∥OC交BC的延长线于点D，∠ABC＝45°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若sin∠CAB＝，⊙O的半径为，求AB的长．25．（6分）如图，点B是所对弦DE上一动点，点A在ED的延长线上，过点B作BC⊥DE交于点C，连接AC，已知AD＝3cm，DE＝6cm，设A，B两点间的距离为xcm，△ABC的面积为ycm2．（当点B与点D，E重合时，y的值为0．）小亮根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△ABC的面积为8cm2时，AB的长度约为cm．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m的值；（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，直接写出k的取值范围．27．（7分）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB，给出如下定义：M为图形P 上任意一点，N为直线AB上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”，记作d（P，直线AB）．已知A（2，0），B（0，2）．（1）求d（点O，直线AB）；（2）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1，若d（⊙T，直线AB）≤1，直接写出t的取值范围；（3）记函数y＝kx，（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形Q．若d（Q，直线AB）＝1，直接写出k的值．2019年北京市东城区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故选：A．2．【分析】根据，即可选出答案【解答】解：∵，故选：C．3．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．故选：D．4．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：2x＝4，解得：x＝2，①﹣②得：2y＝0，解得：y＝0，则方程组的解为，故选：C．5．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．6．【分析】根据点A、点A的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B的对应点的坐标即可．【解答】解：∵A（1，3）的对应点的坐标为（﹣2，0），∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减3，∴点B（2，1）的对应点的坐标为（﹣1，﹣2）．故选：B．7．【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝1000米，根据tanα＝，即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝1000米，∴tanα＝，∴AB＝＝米．故选：C．8．【分析】由图2知，菱形的边长为a，对角线AC＝，则对角线BD为2＝2，当点P在线段AC上运动时，y＝AP×BD＝×x，即可求解．【解答】解：由图2知，菱形的边长为a，对角线AC＝，则对角线BD为2＝2，当点P在线段AC上运动时，y＝AP×BD＝×x，由图2知，当x＝时，y＝a，即a＝××，解得：a＝，故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】观察原式x2y﹣y，找到公因式y后，提出公因式后发现x2﹣1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：x2y﹣y，＝y（x2﹣1），＝y（x+1）（x﹣1），故答案为：y（x+1）（x﹣1）．10．【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．故答案为：丙．11．【分析】根据x﹣y＝，可以求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：∵x﹣y＝，∴（x+2）2﹣4x+y（y﹣2x）＝x2+4x+4﹣4x+y2﹣2xy＝x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝（）2＝2，故答案为：2．12．【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE＝∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．【解答】解：在△DCE和△ABD中，∵，∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE＝∠DAB，∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝90°，故答案为：90．13．【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y＝﹣x+a的图象都在y＝bx﹣4的图象下方，所以不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集为x＞1；【解答】解：当x＞1时，函数y＝﹣x+a的图象都在y＝bx﹣4的图象下方，所以不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集为x＞1；故答案为x＞1．14．【分析】直接利用一次函数的性质结合经过象限的特点分析得出答案．【解答】解：若k＞0，则一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，故b＞0，则说明此命题错误时，b≤0即可．则这组值可以是k＝2，b＝﹣3（答案不唯一）．故答案为：2，﹣3（答案不唯一）．15．【分析】延长CA交⊙A于F，连接BF，作AH⊥BC于H，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出BF，根据垂径定理得到CH＝HB，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长CA交⊙A于F，连接BF，作AH⊥BC于H，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠BAF＝∠DAE，∴＝，∴BF＝DE＝5，∵AH⊥BC，∴CH＝HB，又CA＝AF，∴AH＝BF＝，故答案为：．16．【分析】①看横坐标比纵坐标大的有几个同学；②看甲、乙两位同学哪个的气泡大．【解答】①在5位同学中，有3个同学横的横坐标比纵坐标大，所以有3位同学第一次成绩比第二次成绩高；故答案为：3；②在甲、乙两位同学中，甲的气泡大，所以第三次成绩高的是甲．故答案为：甲．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可．【解答】解：（1）四边形ABEF为所求作的菱形．（2）∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE，在▱ABCD中，AD∥BC．即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形．）故答案为：AF，BE，邻边相等的平行四边形是菱形．18．【分析】直接利用负指数幂的性质、绝对值的意义、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+﹣1+2﹣，＝2．19．【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：去分母得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，4x﹣2﹣15x﹣3≥6，﹣11x≥11，x≤﹣1，在数轴上表示不等式的解集为：．20．【分析】（1）根据判别式△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0即可得；（2）因式分解法得出x1＝1，x2＝m﹣1，由方程有一个根大于3知m﹣1＞3，解之可得．【解答】（1）证明：依题意，得△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，∵（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）x2﹣mx+m﹣1＝0，（x﹣1）（x﹣m+1）＝0，∴x1＝1，x2＝m﹣1，∵方程有一个根大于3，∴m﹣1＞3，∴m＞4．∴m的取值范围是m＞4．21．【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．（2）证明△AEF∽△BCF，推出＝＝，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∴∠AEB＝90°，∵∠ABE＝30°，AE＝2，∴BE＝2，BC＝4，∴EC＝2，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴＝＝，∴EF＝EC＝．22．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）分两种情形①当点B在第四象限时，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，由AE∥PF，得到＝＝3，推出BF＝1，②当点B在第一象限时，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，由AE∥BF，得＝＝3，推出BF＝1，由此即可解决问题．【解答】解：（1）把点A（m，3）的再把代入y＝得到m＝2，再把A（2，3）的再把代入y＝kx+2，3＝2k+2，解得k＝，所以m＝2，k＝．（2）①当点P在第三象限时，如图1，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，∵AE∥PF，∴＝＝3，∴＝3，∴PF＝1，∴P（﹣6，﹣1）．②当点P在第一象限时，如图2，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，∵AE∥PF，∴＝＝3，∴＝3，∴PF＝1，∴P（6，1），综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣6，﹣1）或（6，1）．23．【分析】（1）由抽样调查的概念求解可得；（2）根据频率＝频数÷总数求解可得；（3）根据以上所求结果补全图形；（4）总人数乘以样本中对应部分的频率和即可得．【解答】解：（1）这里采用的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查；（2）c＝25÷0.05＝500，a＝85÷500＝0.17，b＝500×0.1＝50，故答案为：0.17，50，500；（3）补全直方图如下：（4）五一假期中平均每天参观时间小于4小时的游客约有8×（0.05+0.17+0.32）＝4.32（万人）．24．【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理可知∠AOC＝2∠ABC＝90°，利用平行线的性质即可求出∠OAD＝90°，从而可知AD是⊙O的切线；（2）过C作CE⊥AB于E，根据勾股定理得到AC＝5，根据三角函数的定义得到CE＝3，AE＝4，于是得到结论．【解答】解：（1）连接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COA＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）过C作CE⊥AB于E，∵∠AOC＝90°，AO＝OC＝，∴AC＝5，∵∠AEC＝90°，∴sin∠CAE＝＝，∴CE＝3，AE＝4，∵∠CEB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCE＝45°，∴CE＝BE＝3，∴AB＝AE+BE＝7．25．【分析】（1）如图1，x＝5时，点B在B′处，x＝7时，点B在B处，此时，B′C′＝BC，则y＝S△ABC＝S△AB′C′，即可求解；（2）依据表格数据描点即可；（3）从图象可以看出，当△ABC的面积为8cm2时，AB的长度约为5.43或8.30．【解答】解：（1）如图1，x＝5时，点B在B′处，x＝7时，点B在B处，此时，B′C′＝BC，则y＝S△ABC＝S△AB′C′＝9.898≈9.9，故答案为9.9；（2）图象如下图所示：（3）从图象可以看出，当△ABC的面积为8cm2时，AB的长度约为5.43或8.30，故答案为：5.43或8.30．26．【分析】（1）化成顶点式即可求得；（2）根据题意求得OC＝3，即可得到m2﹣1＝3，从而求得m＝2；（3）将点A（2k，0），B（0，k），代入抛物线，此时时抛物线与线段刚相交的时候，k 在此范围内即可使抛物线与线段AB有且只有一个公共点．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣1）；（2）由对称性可知，点C到直线y＝﹣1的距离为4，∴OC＝3，∴m2﹣1＝3，∵m＞0，∴m＝2；（3）∵m＝2，∴抛物线为y＝x2﹣4x+3，当抛物线经过点A（2k，0）时，k＝或k＝；当抛物线经过点B（0，k）时，k＝3；∵线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点，∴≤k＜或k＞3．27．【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠DAB＝∠CAE，AB＝AC，AD＝AE，即可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE；（2）过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG＝BD，∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC，可证△BFD≌△CFG，可得结论；（3）由题意可证点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，由直径是圆的最大弦可得EF的最大值．【解答】证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°∴△ADE是等边三角形∵△ABC为等边三角形∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠DAB＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE∴△ADB≌△AEC（SAS）∴BD＝CE（2）如图，过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60°∴∠BDG＝30°∵CG∥BP∴∠G＝∠BDG＝30°，∵△ADB≌△AEC∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30°∴∠G＝∠GEC＝30°∴GC＝CE，∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC∴△BFD≌△CFG（AAS）∴BF＝FC∴点F是BC中点（3）如图，连接AF，∵△ABC是等边三角形，BF＝FC∴AF⊥BC∴∠AFC＝90°∴∠AFC＝∠AEC＝90°∴点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，∴EF最大为直径，即最大值为128．【分析】（1）如图1中，作OH⊥AB于H．求出OH即可解决问题．（2）如图2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．分两种情形求出d（⊙T，直线AB）＝1时，点T的坐标即可．（3）当直线经过点D（2﹣，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为y＝﹣x+2﹣，求出直线y＝kx经过点E，点F时，k的值即可．【解答】解：（1）如图1中，作OH⊥AB于H．∵A（2，0），B（0，2），∴OA＝OB＝2，AB＝2，∵×OA×OB＝×AB×OH，∴OH＝，∴d（点O，直线AB）；（2）如图2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．当d（⊙T，直线AB）＝1时，DH＝1，∴TH＝2，AT＝2，∴OT＝2﹣2，∴T（2﹣2，0），根据对称性可知，当⊙T在直线AB的右边，满足d（⊙T，直线AB）＝1时，T（2+2，0），∴满足条件的t的值为2﹣2≤t．（3）如图3中，当直线经过点D（2﹣，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为y＝﹣x+2﹣，当直线y＝kx经过E（1，1﹣）时，k＝1﹣，当直线y＝kx经过F（﹣1，3﹣），k＝﹣3+，综上所述，满足条件的k的值为﹣3+或1﹣．。
2019年北京市东城区初三数学二模试题和答案(Word版,可编辑)
2019年北京市东城区初三数学二模试题和答案(Word 版,可编辑）一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个 1.若分式31-x 有意义，则x 的取值范围是 A ．3≠xB ．3<xC ． 3>xD ．3=x2.若a= ，则实数a 在数轴上对应的点P 的大致位置是A. B. C. D.3.下图是某几何体的三视图，该几何体是 A ．棱柱 B ．圆柱C ．棱锥D ．圆锥4. 二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+22y x y x 的解为A.B.C.D. ⎩⎨⎧=-=02y x5.下列图形中，是中心对称图形但不是．．轴对称图形的是A.B.,C.D.6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（2，1）.将线段AB 沿某一方向平移后，若点A 的对应点A'的坐标为（-2，0）．则点B 的对应点B'的坐标为A ．（5，2）B ．（-1，-2）C ．（-1，-3）D ．（0，-2）7.如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A 、B 在同一水平面上）．为了测量A 、B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则A 、B 两地之间的距离约为A ．1000sin α米B ．1000tan α米C ．1000tan α米 D ． 1000sin α米 8. 如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→C→D 以1cm/s 的速度运动到点D ．设点P 的运动时间为x(s),△PAB 的面积为y(cm 2).表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为图1 图2AB ．52C ． 2D ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.分解因式： = ．10.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加东城区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数x （单位：分）及方差s 2，如果要选出一个成绩较好11. 如果x y -=2(2)4(2)x x y y x +-+-的值是 ．12. 如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C ，D 均落在格点上，则∠BAC+∠ACD=________°．13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若直线y 1=－x+a 与直线y 2=bx －4相交于点P （1,－3），则关于x 的不等式－x+a ＜bx －4的解集是 .14.用一组,k b 的值说明命题“若0k >，则一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限”是错误的，这组值可以是k =____________，b =____________.15. 如图，B ，C ，D ，E 为⊙A 上的点，DE ＝5，∠BAC +∠DAE ＝180°，则圆心A 到弦BC 的距离为 ．16.运算能力是一项重要的数学能力。
2019年北京市东城区初三二模数学试题及答案
ABCDE 122019年东城区中考二模数学试题2019.6一、选择题：（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．5-的倒数是A ．-5B ．5C ．15-D ． 152. 2010年北京市高考人数约8万人，其中统考生仅7.4万人，创六年来人数最低. 请将74 000用科学记数法表示为A ．47.410⨯B ．37.410⨯C ．40.7410⨯ D ．50.7410⨯3．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩均是9.2环，方差分别为0.56s =2甲，0.60s =2乙，20.50s =丙，20.45s =丁，则成绩最稳定的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．若10m +=，则2m n +的值为A ．1-B ．0C ．1D ．3 5. 如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ， 则∠1+∠2等于A . 90°B . 135°C . 150°D . 270°6．把代数式32x xy -分解因式，下列结果正确的是 （第5题图）A ．2()x x y + B ． 2()x x y - C ．22()x x y - D ．()()x x y x y -+7．如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成. 现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体. 则下列选择方案中，能够完成任务的为DCO AB·PA ．模块①，②，⑤B ．模块①，③，⑤C ．模块②，④，⑤D ．模块③，④，⑤8．用{}min ,,a b c 表示a 、b 、c 三个数中的最小值，若{}2min ,2,10(0)y x x x x =+-≥，则y 的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 二、填空题：（本题共16分，每小题4分） 9．若分式221x x -+的值为0，则x = ． 10. 如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧»AB 上 不同于点B 的任意一点，则∠BPC= 度．（第10题图） 11．四张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这四张卡片中随机抽取两张，则取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ．12. 如图，正方形OA 1B 1C 1的边长为2，以O 为圆心、OA 1为半径作弧A 1C 1交OB 1于点B 2，设弧A 1C 1与边A 1B 1、B 1C 1围成的阴影部分面积为1S ；然后以OB 2为对角线作正方形OA 2B 2C 2，又以O 为圆心、OA 2为半径作弧A 2C 2交OB 2于点B 3，设弧A 2C 2与边A 2B 2、B 2C 2围成的阴影部分面积为2S ；…，按此规律继续作下去，设弧n n A C 与边n n A B 、n n B C 围成的阴影部分面积为n S ．则=1S ，=n S .（第12题图）三、解答题：（本题共30分，每小题5分）ABCDEF13.101()20104cos 453-+-︒．14. 解方程：2210x x +-=．15. 已知20x y -=，求22()2x y xy y x x xy y -⋅-+的值．16．如图，AD ∥BC ，∠BAD =90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过C 点作CF ⊥BE ，垂足为F . 线段BF 与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明. 结论：BF = .（第16题图）17．列方程或方程组解应用题：.《九章算术》方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”18．已知如图，Rt ABC ∆位于第一象限，A 点的坐标为（1，1），两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，且AB=3，AC=6（1）求直线BC 的方程； （2）若反比例函数(0)ky k x=≠的图象与直线BC 有交点，求 k 的最大正整数. （第18题图）四、解答题：（本题共20分，每小题5分）运营费 36%建设费 专项费6% EDCB A 19. 已知如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=o，45C ∠=o，E 是DC 上一点，∠EBC=45°，AD=2，CD= ．求BE 的长． （第19题图）20．根据上海市政府智囊团关于上海世博会支出的一份报告，绘制出了以下两个统计图表：表一：上海世博会运营费统计表：图一：上海世博会支出费用统计图：求：（1）上海世博会建设费占总支出的百分比； （2）表二中的数据A 、B ； （3）上海世博会专项费的总金额．（第20题图）21．将一个量角器和一个含30︒角的直角三角板如图1放置，图2是由它抽象出的几何图形，其中点B 在AB CDEOA BCD A B CDABCDEFO半圆O 的直径DE 的延长线上，AB 切半圆O 于点F ，BC=OD ． （1）求证：FC // DB ； （2）当OD =3，3sin 5ABD ∠=时，求AF 的长． （第21题图1） （第21题图2）22．请阅读下面材料，完成下列问题：（1）如图1，在⊙O 中，AB 是直径，CD AB ⊥于点E ，AE a =，EB b =．计算CE 的长度（用a 、b 的代数式表示）；（2）如图2，请你在边长分别为a 、b （a b >）的矩形ABCD 的边AD 上找一点M，使得线段CM =，保留作图痕迹；（3）请你利用（2）的结论，在图3中对矩形ABCD 进行拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形.要求：画出拼成的正方形，并用相同的数字表明拼接前与拼接后的同一图形.（第22题图1） （第22题图2） （第22题图3）五、解答题：（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分） 23．已知：关于x 的一元二次方程2220kx x k ++-=（1k ≥）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）当k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．24．如图，二次函数过A （0，m ）、B （3-，0）、C （12，0），过A 点作x 轴的平行线交抛物线于一点D ，线段OC 上有一动点P ，连结DP ，作PE ⊥DP ，交y 轴于点E ． （1）求AD 的长；（2）若在线段OC 上存在不同的两点P 1、P 2，使相应的点1E 、2E 都与点A 重合，试求m 的取值范围． （3）设抛物线的顶点为点Q ，当6090BQC ︒≤∠≤︒时，求m 的变化范围．25．已知，正方形ABCD 的边长为1，直线1l //直线2l ，1l 与2l 之间的距离为1，1l 、2l 与正方形ABCD的边总有交点．（1）如图1，当1l AC ⊥于点A ，2l AC ⊥交边DC 、BC 分别于E 、F 时，求EFC ∆的周长；lD AC Al 1CC A（2）把图1中的1l 与2l 同时向右平移x ，得到图2，问EFC ∆与AMN ∆的周长的和是否随x 的变化而变化，若不变，求出EFC ∆与AMN ∆的周长的和；若变化，请说明理由；（3）把图2中的正方形饶点A 逆时针旋转α，得到图3，问EFC ∆与AMN ∆的周长的和是否随α的变化而变化，若不变，求出EFC ∆与AMN ∆的周长的和；若变化，请说明理由．（第25题图1） （第25题图2） （第25题图3）2010年东城区中考二模数学试题答案一、选择题：（本题共32分，每小题4分）二、填空题：（本题共16分，每小题4分）9. 2， 10. 45︒， 11.23， 12.. 4π-，3122nn π---. 三、 解答题：（本题共30分，每小题5分）13．解：原式101()20104cos 453-+-︒3142+- …………………………………………4分4=-4=. ………………………………………………………………5分14.解：2210x x +-=.∴2221(1)20x x x +-=+-=. ∴2(1)2x +=.∴1x +=∴1x =-±∴原方程的解为：11x =-21x =-. …………………5分15. 解： 22()2x y xy y x x xy y -⋅-+ =22222x y xyxy x xy y -⋅-+ =2()()()x y x y xyxy x y -+⋅-=x yx y+-. …………3分 Q 20x y -=， ∴2x y =.∴x y x y +-=2332y y yy y y+==-. ∴原式=3. …………5分 16．结论：BF=AE . ……1分 证明：Q CF ⊥BE ，∴90BFC ∠=o.A B CDEFABCDEF又Q AD ∥BC ，∴AEB FBC ∠=∠. …………2分由于以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，∴BE BC =. …………3分 在ABE △与CB △F 中，,90,.AEB FBC BAE CFB BE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩ABE CB ∴△≌△F . …………4分∴BF=AE . … …………5分17．解：设每只雀、燕的重量各为x 两，y 两，由题意得：5616,45.x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩…………2分解方程组得：32,1924.19x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………4分答：每只雀、燕的重量各为3219两，2419两. ………………………………………5分18．解：（1）Q A 点的坐标为（1，1），两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，AB=3，AC=6，∴B （4，1），C （1，7）.∴直线AB 的方程为：29y x =-+. ………2分 （2）把k y x=代入29y x =-+整理得2290x x k -+=. …………3分 由于248180b ac k ∆=-=-≥，解得：818k ≤. …………4分∴k 的最大正整数为10. …………5分四、解答题：（本题共20分，每小题5分）19．解：如图，过点D 作DF AB ∥交BC 于点F ．…………………… 1分∵AD BC ∥，∴四边形ABFD 是平行四边形． ∴BF=AD=2．……………………2分由DF AB ∥， 得90DFC ABC ∠=∠=o．在Rt DFC △中，45C ∠=o，CD=由cos CFC CD=， 求得CF=4．……………………3分 所以6BC BF FC =+=．ABCDEFO在BEC △中，∵45C ∠=o ，∠EBC=45°，∴90BEC ∠=o. 由 sin BEC BC=，求得BE=5分 20. 解：（1）上海世博会建设费占总支出的百分比为：1-6%-36% = 58% ．…………………1分（2）表二中A=9000，B=0.1．…………………3分 （3）上海世博会专项费的总金额为600036%6%=100000.1÷⨯（万美元）． ……5分 21.（1）证明：∵AB 切半圆O 于点F ，∴OF AB ⊥． ∴90OFB ∠=︒．又∵ABC ∆为直角三角形，∴90ABC ∠=︒． ∴OFB ABC ∠=∠．∴//OF BC ． 又∵,OF OD OD BC ==，∴OF BC =．∴四边形OFCB 是平行四边形．∴//FC OB ．即//FC DB ．………………3分 （2）解：在Rt OFB ∆中，∵90OFB ∠=︒，3sin 5ABO ∠=，3OF OD ==， ∴5,4OB FB ==．在Rt ABC ∆中，∵90ABC ∠=︒，30A ∠=︒，3BC OD ==，∴AB =4AF =-．………………5分22．（1）解：如图1，连接AC 、BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒．∴90ACE ECB ∠+∠=︒． 又∴CD AB ⊥于点E ，∴90AEC ∠=︒．∴90ACE A ∠+∠=︒． ∴A ECB ∠=∠． ∴ACE CBE ∆∆:．∴AE CE CE BE=．∴2CE AE BE ab =⋅=． ∵CE为线段，∴CE =2分（2）如图2，延长BC ，使得CE=CD ．以BE 为直径画弧，交CD 的延长线于点P ．以C 为圆心，以CP 为半径画弧，交AD 于点M ．点M 即为所求． …………4分（3）如图3．正方形MNQC 为所求．…………………5分ABFB图1 图2 图3 五、解答题：（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分） 23．（1）证明：2244(2)4844(1)0k k k k k ∆=--=-+=-≥Q ，∴方程恒有两个实数根.…………………3分（2）解： 方程的根为x==1k ≥Q ，∴1(1)k x k-±-==. ∴11x =-，221x k=-. …………………5分 1k ≥Q ，∴当1k =或2k =时，方程的两个实数根均为整数. …………7分24. 解：（1）ΘB （3-，0）、C （12，0）是关于抛物线对称轴对称的两点，轴x AD //，∴A 、D 也是关于抛物线对称轴对称的两点． ）（m A ,0Θ，),9(m D ∴．9=∴AD ．…………2分 （2）方法一ΘPE ⊥DP ，∴要使线段OC 上存在不同的两点P 1、P 2，使相应的点1E 、2E 都与点A 重合，也就是使以AD 为直径的圆与BC 有两个交点，即m r >．29=r Θ，29<∴m ． 又0>m Θ，290<<∴m ．…………4分 方法二：0>m Θ，∴点E 在x 轴的上方．过D 作DF ⊥OC 于点F ，设x OP =，OE y =， 则 FC ＝OC －AD ＝3，PF ＝9x -． 由△POE ∽△DFP ，得OE OPPF DF =，∴9y x x m =-．∴x m x m y 912+-=． 当m y =时，219m x x m m=-+，化为0922=+-m x x ．当△=0，即22940m -=，解得92m =时，线段OC 上有且只有一点P ，使相应的点E 点A 重合．0>m Θ，∴线段OC 上存在不同的两点P 1、P 2，使相应的点1E 、2E 都与点A 重合时，m 的取值范围为290<<m ．……4分 （3）设抛物线的方程为：)12)(3(-+=x x a y ，又Θ抛物线过点A （0，m ），a m 36-=∴．m a 361-=∴． m x m x x m y 1625)29(361)12)(3(3612+--=-+-=∴． ΘQM BM BQM =∠tan ，m QM 1625=，又6090BQC ︒≤∠≤︒Q ，∴由抛物线的性质得：3045BQM ︒≤∠≤︒．∴当︒=∠30BQM 时，可求出3524=m ， 当︒=∠45BQM 时，可求出524=m ．m ∴的取值范围为245m ≤≤．…………7分25．解：（1）如图1，Q 正方形ABCD 的边长为1，∴AC =．又Q 直线1l //直线2l ，1l 与2l 之间的距离为1．∴1CG =．∴2,2EF EC CF ===-lC lC l Al 1C∴ EFC ∆的周长为2EF EC CF ++=．…………2分 （2）EFC ∆与AMN ∆的周长的和不随x 的变化而变化．如图2，把1l 、2l 向左平移相同的距离，使得1l 过A 点，即1l 平移到4l ，2l 平移到3l ，过E 、F 分别做3l 的垂线，垂足为R ，G ．可证,AHM ERP AHN FGQ ∆≅∆∆≅∆．∴AM=EP ，HM=PR ，AN=FQ ，HN=GQ ．∴EFC ∆与AMN ∆的周长的和为CPQ ∆的周长，由已知可计算CPQ ∆的周长为2，∴EFC ∆与AMN ∆的周长的和为2．…………5分（3）EFC ∆与AMN ∆的周长的和不随α的变化而变化．如图3，把1l 、2l 平移相同的距离，使得1l 过A 点，即1l 平移到4l ，2l 平移到3l ，过E 、F 分别做3l 的垂线，垂足为R ，S ．过A 做做1l 的垂线，垂足为H ．可证,AHM FSQ AHN ERP ∆≅∆∆≅∆，∴AM=FQ ，HM=SQ ，AN=EP ，HN=RP ． ∴EFC ∆与AMN ∆的周长的和为CPQ ∆的周长．如图4，过A 做3l 的垂线，垂足为T ．连接AP 、AQ ． 可证,APT APD AQT AQB ∆≅∆∆≅∆， ∴DP=PT ，BQ=TQ ．∴CPQ ∆的周长为DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2．∴EFC ∆与AMN ∆的周长的和为2． …………8分图 1 图2l图3 图4。
2019北京市东城区第八中学初三二模数学试卷(含答案)
2019北京市东城区第八中学初三二模数学一．选择题（满分16分，每小题2分）1.在下图的四个立体图形中，从正面看是四边形的立体图形有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.12月2日，2018年第十三届南宁国际马拉松比赛开跑，2.6万名跑者继续刷新南宁马拉松的参与人数纪录!把2.6万用科学记数法表示为（）A. 0.26×103B. 2.6×103C. 0.26×104D.2.6×1043.实数a、b在数轴上的位置如图，则化简|a|+|b|的结果为（）A. a﹣bB. a+bC. ﹣a+bD. ﹣a﹣b4.如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D.①②③④5.若一个多边形的内角和与外角和总共是900°，则此多边形是（）A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形6.若a2+2a﹣3＝0，则代数式（a值是（）A. 4B. 3C. ﹣3D. ﹣47.一年期定期储蓄的年利率是2.25%，国家对存款利息征收20%的个人所得税．设某人以定期一年的形式存入人民币x元，到期本息全部取出，交纳税金后共取出人民币y元，则y关于x的函数表达式是（）A. yB. yC. yD. yx8.如图，是某厂2018年各季度产值统计图（单位：万元），则下列说法中正确的是（）A. 四季度中，每季度生产总值有增有减B. 四季度中，前三季度生产总值增长较快C. 四季度中，各季度的生产总值变化一样D. 第四季度生产总值增长最快二．填空题（满分16分，每小题2分）9.若a，b都是实数，b﹣2，则a b的值为_____．10.如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是_____．11.用一组a、b、c的值说明命题“若a＞b，则ac＞bc”错误的，这组值可以是a＝，b＝，c＝．12.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为_____．13.2018年6月14日，第21届世界杯足球赛在俄罗斯举行．小李在网上预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共10张，总价为15800元，其中小组赛门票每张850元，决赛门票每张4500元，若设小李预定了小组赛门票x张，决赛门票y张，根据题意，可列方程组为_____．14.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①∠ACD＝30°；②S▱ABCD＝AC•BC；③OE：AC6；④S▱OEF▱ABCD，成立的是_____．15.如图，A、B两地相距200km，一列火车从B地出发沿BC方向以120km/h的速度行驶，在行驶过程中，这列火车离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式是_____．16.如图，点P为矩形ABCD边AD上一点，点E、F分别为PB、PC的中点，若矩形ABCD的面积为5，那么△PEF的面积为________．三．解答题17.下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A求作：直线AP，使得AP∥l作法：如图①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．②连接AC，AB，延长BA到点D；③作∠DAC的平分线AP．所以直线AP就是所求作的直线根据小星同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（填推理的依据）∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（填推理的依据）∴∠DAC＝2∠ABC∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP∴∠DAP＝∠ABC∴AP∥l（填推理的依据）18.计算：﹣24﹣4sin60°|+（2015π）0．19.20.关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．21.如图，BD是△ABC角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG．（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；（2）若∠ABC=60°，∠C=45°，DE BC的长．22.如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝4，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，作直线DE．（1）当点D运动到BC中点时，求k的值；（2（3）连接DA，当△DAE k值．23.如图，AB是⊙O弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且BC是⊙O的切线，（1）求证：CE=CB；（2）连接AF，BF，求tan∠ABF；（3）如果CD=15，BE=10，O的半径．24.为了深入贯彻党的十九大精神，我县某中学开展了十九大精神进校园知识气赛活动，特对本校部分学生（随机抽样）进行了一次相关知识的测试（成绩分为A，B，C，E五个组，x 表示测试成绩），通过对测试成绩的分析得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：A组：90≤x≤100B组：80≤x＜90C组：70≤x＜80D组：60≤x＜70E组：x＜60（1）参加调查测试的学生共有人，扇形C的圆心角的度数是；．（2）请将两幅统计图补充完整；（3）本次调查测试成绩的中位数落在哪个小组内，说明理由；（4）本次调查测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，该中学共有3000人，请估计全校测试成绩为优秀的学生有多少人？25.AB所对的半圆弧，C D DA，DB，DC．已知AB＝5cm，设D，A两点间的距离为xcm，D，B两点间的距离为y1cm，D，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数经验．分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数位所对应的点（x ，y 1），（x ，y 2）并画出函数y 1，y 2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接BC ，当△BCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，DA 的长度约为 cm ．26.已知二次函数y ＝x 2+（a ﹣5）x +5． （1）该抛物线与y 轴交点的坐标为 ； （2）当a ＝﹣1时，求该抛物线与x 轴的交点坐标；（3）已知两点A （2，0）、B （3，0），抛物线y ＝x 2+（a ﹣5）x +5与线段AB 恰有一个交点，求a 的取值范围．27.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且∠ECF ＝45°，CF 的延长线交BA 的延长线于点G ，CE 的延长线交DA 的延长线于点H ，连接AC ，EF ，GH ． （1）填空：∠AHC ∠ACG ；（填“＞”或“＜”或“＝”） （2）线段AC ，AG ，AH 什么关系？请说明理由； （3）设AE ＝m ，①△AGH 的面积S 有变化吗？如果变化．请求出S 与m 的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH 是等腰三角形的m 值．28.定义：两个三角形有两组对应边和一对对应角分别对应相等的两个三角形称为兄弟三角形．显然，兄弟三角形不一定是全等三角形（这里可能是边角边，也可能是边边角）①如图1，△ABC中，CA＝CB，D是AB上任意一点，则△ACD与△BCD是兄弟三角形；②如图2，⊙O中，点D是弧BC的中点，则△ABD与△ACD是兄弟三角形；（1）对于上述两个判断，下来说法正确的是A．①正确②错误B．①正确②正确C．①错误②错误D．①错误②正确（2）如图3，以点A（3，3）为圆心，OA为半径的圆，△OBC是圆A的内接三角形，点B（6，0），∠COB＝30°，①求∠C的度数和OC的长；②若点D在⊙A上，并使得△OCD与△OBC是兄弟三角形时，求由O、B、C、D四点所围的四边形的面积．数学试题答案一．选择题（满分16分，每小题2分）1.【答案】B【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形,比较即可．【详解】解：正方体的主视图是四边形；球的主视图是圆；圆柱的主视图是四边形；圆锥的主视图是等腰三角形；从正面看是四边形的立体图形有两个．故选：B．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．2.【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】2.6万用科学记数法表示为：2.6万=26000=2.6×104.故选D.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】根据数轴可知，a<0，b>0，原式=−a+b.故选：C.点睛：此题考查数轴及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.4.【答案】D【解析】分析：根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．详解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C=β-α．（2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，∴∠AE2C=α+β．（3）如图，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C=α-β．（4）如图，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，∴∠AE4C=360°-α-β．∴∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC=α-β或β-α．故选：D．点睛：本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等．5.【答案】B【解析】【分析】本题需先根据已知条件，再根据多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数【详解】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，∴多边形的内角和是900°﹣360°＝540°，∴多边形的边数是：540°÷180°+2＝3+2＝5．故选：B．【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出本题即可．6.【答案】B【解析】【分析】先通分计算括号里的分式减法,然后对多项式分解因式做乘法运算，得到最简结果，将已知的等式变形后代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．【详解】解：原式由a2+2a﹣3＝0，得到a2+2a＝3，则原式＝3，故选：B．【点睛】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．7.【答案】C【解析】【分析】根据题意列出函数解析式，化简即可.【详解】解：由题意得，y＝（1+2.25%）x﹣2.25%×20%x，即y，故选：C．【点睛】此题考查了根据实际问题列一次函数关系式，掌握本息和的计算公式是解题关键．8.【答案】D【解析】【分析】折线图的横轴表示每个季度，纵轴表示生产总值，根据折线图可以得到每个季度的生产总值，分析折线统计图即可求出答案．【详解】解：图为增长率的折线图，分析可得：四季度中，每季度生产总值都持续增加，所以选项A错误；第四季度生产总值增长最快，所以选项B、C错误．选项D正确.故选：D．【点睛】本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率．二．填空题（满分16分，每小题2分）9.【答案】4【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．【详解】解：∵b2，∴1-2a=0，解得：b=-2，故a b=）-2=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．10.【答案】【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】故答案为【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．11.【答案】1；﹣1，0．（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．【详解】解：当a＝1，b＝﹣1，c＝0时，1＞﹣1，而1×0＝0×（﹣1），∴命题“若a＞b，则ac＞bc”是错误的，故答案为：1；﹣1，0．（答案不唯一）【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12.【答案】【解析】延长AO交⊙O与点E，连接BE,则AE=2OB=4.∵AD⊥BC，AD=BD,∵∠E=∠C, ∠ABE=∠ADC=90°,∴△ABE∽△ADC,,13. 【答案】【解析】【分析】设小李预定了小组赛门票x 张，决赛门票y 张，由总价＝单价×数量结合小李在网上预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共10张总价为15800元，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，此题得解．【详解】解：设小李预定了小组赛门票x 张，决赛门票y 张，故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．14.【答案】①②③【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE 是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC ⊥BC ，得到S ▱ABCD =AC•BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到，于是得到OE ：6；故③正确；根据相似三＝，求得S △OCF =2S △OEF ，所以S △OEF=△OEC ，又因为，S △OEC =S △OEB ，所以S △OEC = S △OEB =△ABD ▱ABCD ，可得：S △S ▱ABCD ，故④不正确． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，∴∠DCE=∠BCE=60°∴△CBE 是等边三角形，∴BE=BC=CE ，∵AB=2BC，∴AE=BC=CE，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S=AC•BC，故②正确，▱ABCD在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴，∵AO=OC，AE=BE，∴，∴OE：AC=，∴OE：6；故③正确；∵AO=OC，AE=BE，∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，，∴S△OCF：S△OEF=2，∴S△OCF=2S△OEF，∴S△△OEC，又∵OE=，S△OEC= S△OEB，，∴ S△OEC= S△OEB=△ABD▱ABCD即S△▱ABCD故④不正确．故答案为：①②③．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．15.【答案】y＝120t+200（t≥0）【解析】【分析】根据火车从B地出发沿BC方向以120千米/小时的速度行驶，则火车行驶的路程=速度×时间，火车离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式是：火车离A地的路程=A、B两地的距离+火车行驶的路程．【详解】∵A、B两地相距200km，一列火车从B地出发沿BC方向以120km/h的速度行驶，∴离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式是y=120t+200（t≥0）．故答案为：y=120t+200（t≥0）．【点睛】本题考查的知识点是一次函数关系式，解题关键是掌握路程的等量关系．16.【答案】【解析】【分析】先根据S矩形ABCD=5知S△PBC矩形ABCD再证△PEF∽△PBC据此可得答案．【详解】∵矩形ABCD的面积为5，∴S△PBC 矩形ABCD ∵E、F分别是PB、PC的中点，∴EF∥BC，且，∴△PEF∽△PBC，∴S△PEF=，故答案为：【点睛】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质与相似三角形的判定与性质．三．解答题17.【答案】(1)详见解析；（2）（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；（2）分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得．【详解】解：（1）如图所示，直线AP即为所求．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），∴∠DAC＝2∠ABC，∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP，∴∠DAP＝∠ABC，∴AP∥l（同位角相等，两直线平行），故答案为：（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题主要考查作图能力，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定．18.【答案】-16【解析】【分析】根据实数的运算法则以及特殊角的锐角三角函数值即可求出答案．【详解】解：原式＝﹣16﹣﹣＝﹣16﹣1+1＝﹣16．【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型．19.【答案】﹣4≤x＜1，数轴表示见解析．【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．，解①得x≥﹣4，解②得x＜1，所以不等式组的解集为﹣4≤x＜1，用数轴表示为．故答案为：，数轴表示见解析．【点睛】本题考查解一元一次不等式组：求出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．20.【答案】（1）m＞（2）x1=0，x2=1．【解析】试题分析：解答本题的关键是是掌握好一元二次方程的根的判别式．（1）求出△＝5+4m＞0即可求出m的取值范围；（2）因为m=﹣1为符合条件的最小整数，把m=﹣1代入原方程求解即可．试题解析：解：（1）△＝1+4（m＋1）＝5+4m＞0（2）∵∴m=﹣1．∴x1＝0，x2＝1．考点：1．解一元二次方程；2．根的判别式．21.【答案】（1）四边形EBGD为菱形（2）【解析】试题分析：（1）先证明四边形BEDG为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形得出四边形EBGD为菱形．（2）作EM⊥BC于M，先求得BM和CM的值，再根据BC＝BM+CM即可．试题解析：（1）四边形EBGD为菱形；理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，∴DE∥BG，同理BE∥DG，∴四边形BEDG为平行四边形，又∵DE=BE，∴四边形EBGD为菱形；（2）如答图，过D作DM⊥BC于M，由（1）知，∠DGC=∠ABC=60°，∠DBM ABC=30°，DE=DG∴在Rt△DMG中，得DM=3，在Rt△DMB中，得BM又∵∠C=45°，∴CM=DM=3，∴BC22.【答案】（1）k＝6；（2；（3）当△DAE的面积为k的值为4或8．【解析】【分析】（1）由OA，OC的长度结合矩形的性质可得出BC的长度及点B的坐标，根据点D为边BC 的中点可得出CD的长度，进而可得出点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）由OA，OC的长度利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点D，E的坐标，进而可得出BD，BE（3）由（2）可得出AE，BD的长度，由三角形的面积公式结合S△DAE k的一元二次方程，解之即可得出k值．【详解】（1）∵OA＝3，OC＝4，四边形OABC为矩形，∴BC＝OA＝3，点B的坐标为（3，4）．∵点D为边BC的中点，∴CD∴点D的坐标为（4）．又∵点D在反比例函数y k＞0）的图象上，∴k6．（2）∵点D，E在反比例函数y k＞0）的图象上，∴点D4），点E的坐标为（3．又∵点B的坐标为（3，4），∴BD＝3BE＝4（3）由（2）可知：AE BD＝3∴S△DAE＝AE•BD×（3）＝整理，得：k2﹣12k+32＝0，解得：k1＝4，k2＝8，∴当△DAE k的值为4或8．【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、三角形的面积以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用矩形的性质找出点D的坐标；（2）利用矩形的性质结合反比例函数图象上点的坐标特征，找出点D，E的坐标；（3）利用三角形的面积公式，找出关于k的一元二次方程．23.【答案】（1）详见解析；（2）∠ABF（3）⊙O的半径是【解析】【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和切线的性质可得∠AED=∠CBE，即可证明CE=CB；（2）连接OF，AF，BF，可证△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理可得∠ABF=30°，即可得出结论；（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可得EG=5，再由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理即可得出结论.【详解】（1）证明：连接OB，如图，∵OA=OB，∴∠DAE=∠OBA，∵BC切⊙O于B，∴∠OBC=90°，∴∠OBA+∠CBE=90°，∵DC⊥OA，∴∠ADE=90°，∴∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠CBE=∠CEB，∴CE=CB；（2）解：连接OF，AF，BF，如图，∵DA=DO，CD⊥OA，∴AF=OF，∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF=60°，∴∠ABF AOF=30°，即∠ABF的正弦值是（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，如图∴=5，又∵Rt△ADE∽Rt△CGE，∴sin∠ECG=sin∠A，又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，∵Rt△ADE∽Rt△CGE，O【点睛】本题综合考查圆的性质及相关计算问题.（1）关键是利用等角的余角相等的性质得出∠AED=∠CBE；（2）证明△OAF是等边三角形是解题关键；（3）证明△ADE∽△CGE是关键.24.【答案】（1）400、72°；（2）详见解析；（3）中位数在B组；（4）1650人．【解析】【分析】（1）根据D组人数是60，所占的百分比是15%，据此即可求得总人数，用C组人数除以总C的圆心角的度数.（2）用总人数乘以B组所占的百分比，求出B组人数完成条形图，根据频率等于频数÷数据总数求出A、C两组所占百分比，完成扇形图；（3）利用中位数的定义，就是大小处于中间位置的数即可做判断；（4）利用总人数乘以对应的百分比即可求解.【详解】（1）400、72°；（2）A C B分组人数为400×30%=120人，统计图补充如下，（3）∵一共有400人，其中A组有100人，B组有120人，C组有80人，D组有60人，E 组有40人．∴最中间的两个数在落在B组，∴中位数在B组．故答案为B组；（4）3000×（25%+30%）=1650人．答：估计全校测试成绩为优秀的学生有1650人．【点睛】本题主要考查数据的收集、处理以及统计图表.25.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4.6．【解析】【分析】(1)填表即可；（2）描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1，y2的图象即可；（3）由表中y1，y2与x的对应值，AD=0cm时，DB=5cm，即点D与点A重合，DC=AC=4cm，当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，分两种情况：①CD=BC时，即CD=3cm时，由函数图象得：y2=3时，x=5cm，点D与点B重合，△BCD不存在；②CD=DB 时，即y 1与y 2相交时，由图象得出x≈4.6cm 即可． 【详解】解：（1AB 所对的半圆弧，C∴∠ACB ＝90°， ∵DA ＝2cm ，AB ＝5cm ，即当D 、A 两点间的距离为2cm 时y 1＝4.58cm ； 如下表所示：（2）描出补全后的表中各组数位所对应的点（x ，y 1），（x ，y 2），画出函数y 1，y 2的图象，如图所示：（3）由表中y 1，y 2与x 的对应值，AD ＝0cm 时，DB ＝5cm ，即点D 与点A 重合，DC ＝AC ＝4cm ， ∵AB ＝5cm ，当△BCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，分两种情况： ①CD ＝BC 时，即CD ＝3cm 时，由函数图象得：y 2＝3时，x ＝5cm ，点D 与点B 重合，△BCD 不存在； ②CD ＝DB 时，即y 1与y 2相交时，x ≈4.6cm ， 即DA 的长度约为4.6cm ； 故答案为：4.6．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、函数与图象以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是关键．26.【答案】（1）（0，5）；（2）（1，0），（5，0）；（3≤a＜a=﹣，【解析】【分析】（1）当x=0时，y=5．即抛物线与y轴的交点坐标为（0，5）（2）由题意可得抛物线解析式，当y=0时，可求抛物线与x轴的交点坐标．（3）分抛物线的顶点在线段AB上，抛物线与x轴的其中一个交点在线段AB上两种情况讨论，列不等式组可求a的取值范围．【详解】（1）当x=0时，y=5．即抛物线与y轴的交点坐标为（0，5）（2）当a=-1时，抛物线解析式为y=x2-6x+5．当y=0时，0=x2-6x+5解得：x1=1，x2=5∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）（3）①∵抛物线y=x2+（a-5）x+5与线段AB恰有一个交点∴△=（a-5）2-20=0∴a=±2∵2≤∴-1≤a≤1∴②∵抛物线y=x2+（a-5）x+5与线段AB恰有一个交点解得：≤a＜或无解综上所述：≤a＜【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．27.【答案】（1）=；（2）结论：AC 2＝AG •AH ．理由见解析；（3）①△AGH 的面积不变．②m 的值2或8﹣.【解析】 【分析】（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，即可推出∠AHC=∠ACG ； （2）结论：AC 2=AG•AH．只要证明△AHC ∽△ACG 即可解决问题； （3）①△AGH 的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可； ②分三种情形分别求解即可解决问题.【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ＝CD ＝DA ＝4，∠D ＝∠DAB ＝90°∠DAC ＝∠BAC ＝45°， ∴AC∵∠DAC ＝∠AHC +∠ACH ＝45°，∠ACH +∠ACG ＝45°， ∴∠AHC ＝∠ACG ． 故答案为＝．（2）结论：AC 2＝AG •AH ．理由：∵∠AHC ＝∠ACG ，∠CAH ＝∠CAG ＝135°， ∴△AHC ∽△ACG ，∴AC 2＝AG •AH ．（3）①△AGH 的面积不变．理由：∵S △AGHAH •AG22＝16．∴△AGH 的面积为16．②如图1中，当GC ＝GH 时，易证△AHG ≌△BGC ，可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，∵BC∥AH，∴AE＝AB＝．如图2中，当CH＝HG时，易证AH＝BC＝4，∵BC∥AH，1，∴AE＝BE＝2．如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5．在BC上取一点M，使得BM＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，∴CM＝EM，设BM＝BE＝m，则CM＝，∴m＝4，∴m＝41），∴AE＝4﹣41）＝8﹣综上所述，满足条件的m2或8﹣【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．28.【答案】（1）B；（2）①∠OCB＝45°，OC＝；②由O、B、C、D四点所围的四边形的面积为：．【解析】【分析】（1）根据兄弟三角形的定义，分析出①，②中构成兄弟三角形的条件，得出结论；（2）①利用A坐标，得△AOB为等腰直角三角形，∠OAB=90°，由圆周角定理得∠OCB=45°；过点B作BE⊥OC于点E，∠COB=30°，∠OCB=45°，利用直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得OE，BE的长，求的OC；②根据兄弟三角形的定义，分类讨论得D点的位置，利用三角形面积求四边形的面积．【详解】解：（1）①∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，∵CD＝CD，②∴△ACD与△BCD是兄弟三角形，故①正确；②∵点D是弧BC的中点，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△ABD与△ACD是兄弟三角形，故②正确；故选B．（2）如图3,①连接OA，OB，∵AO＝AB，∴∠AOB＝∠ABO，∵点A（3，3），∴∠AOB＝∠ABO＝45°，∴∠OAB＝90°，∴∠OCB＝45°；过点B作BE⊥OC于点E，∵∠COB＝30°，∠OCB＝45°，OB＝6，∴BE＝CE＝3，则OE＝故OC＝；②当OD1＝BC，CO＝CO，∠COD1＝∠OCB＝45°，则△OCD1与△OBC是兄弟三角形，可得BD1＝3，故四边形OD1BC）×3＝当OD2＝BC，CO＝CO，∠OCD2＝∠COB＝30°，则△OCD2与△OBC是兄弟三角形，设OD2与y轴交与点M，∵∠OCD2＝∠COB＝30°，∴CD2∥OB，∵CD⊥OB，CD∥y轴，∴四边形OMCD为矩形，在Rt△OMD2与Rt△CDB中，∴Rt△OMD2≌Rt△CDB，∴Rt△OMD2与Rt△CDB面积相等，∴四边形OD2CB的面积等于矩形OMCD的面积，∵OC＝，∠COB＝30°，∴矩形OMCD的面积：故四边形OD2CB的面积为：.当CD3＝BC，CO＝CO，∠OCD3＝∠COB＝30°，则△OCD3与△OBC是兄弟三角形，故四边形OD3CB的面积等于四边形OD2CB当CD4＝BO，CO＝CO，∠COD4＝∠OCB＝45°，则△OCD4与△OBC兄弟三角形，过D4作OC的垂线垂足为N，∵∠COD4＝∠OCB＝45°，由四点共圆∠OCD4＝60°，∴△OCD4面积为：△OCB故四边形OD4CB面积为：当CD5＝BO，CO＝CO，∠OCD5＝∠OCB＝45°，则△OCD5与△OBC是兄弟三角形，故四边形OD5CB的面积等于四边形OD4CB的面积为：；故由O、B、C、D【点睛】本题主要考查了含30°直角三角形和等腰直角三角形性质、四点共圆和圆周角定理等.利用分类讨论和理解兄弟三角形的定义是解答此题的关键．。
2019年北京市中考二模数学试题(附答案)
2019北京市中考二模数学试题学校 姓名 准考证号考 生 须 知1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上。
在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效。
4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．据有关部门数据统计，2015年中国新能源汽车销量超过33万辆，创历史 新高．数据“33万”用科学记数法表示为 A ．43310⨯ B ．43.310⨯ C ．53.310⨯ D ．60.3310⨯2．下列计算正确的是A ．632a a a =⋅B ．()222b a ab = C ．()532a a =D ．42232a a a =+3．如图，数轴上有四个点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的数互为相反数，则 图中表示绝对值最大的数对应的点是 A ．点M B ．点N C ．点P D ．点Q 4．若312--x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 A ．3≠x B ．21>x 且3≠x C ．2≥x D ．21≥x 且3≠x 5．从长度分别是2，3，4的三条线段中随机抽出一条，与长为1，3的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是 A ．1 B ．32 C ．31D ．0 6．将代数式2105x x -+配方后，发现它的最小值为A ．30-B ．20-C ．5-D ．07．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x 人，物品价格为y 钱，可列方程组为A ．⎩⎨⎧=+=-y x y x 4738B ．⎩⎨⎧=-=+y x y x 4738C ．⎩⎨⎧=-=-4738x y x yD ．⎩⎨⎧=-=-4738y x y x PMNQ8．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD 的度数为A ．32°B ．58°C ．64°D ．116° 9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标 点A ，在近岸取点B ，C ，D ，E ，使点A ，B ，D 在一 条直线上，且AD ⊥DE ，点A ，C ，E 也在一条直线上 且DE ∥BC ．如果BC=24m ，BD=12m ，DE=40m ，则 河的宽度AB 约为 A ．20mB ．18mC ．28mD ．30m10．如图1，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，点P 为AB 边上的一个动点，设AP =x ，图1中线段DP 的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象如图 2所示，则等边△ABC 的面积为 A ．4 B ． C ．12 D ．二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：2484x x -+= .12．某班学生分组做抛掷瓶盖实验，各组实验结果如下表：根据表中的信息，估计掷一枚这样的瓶盖，落地后盖面朝上的概率为 ． （精确到0.01）13．写出一个函数，满足当x>0时，y 随x 的增大而减小且图象过（1，3），则这个函数的表达式为 .14．甲、乙两名队员在5次射击测试中，成绩如下表所示：若需要你根据两名队员的5次成绩，选择一名队员参加比赛，你会选择队员 ，选择的理由是 .ECDB A PCDBA图1 图2第14题图 第15题图15．如图为44⨯的正方形网格，图中的线段均为格点线段（线段的端点为格点），则12345∠+∠+∠+∠+∠的度数为 ．16．为预防“手足口病”，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量y (mg)与时间x (分钟)的函数关系如图所示．已知，药物燃 烧阶段，y 与x 成正比例，燃完后y 与x 成 反比例．现测得药物10分钟燃完，此时教 室内每立方米空气含药量为8mg ．当每立方 米空气中含药量低于1.6mg 时，对人体才能 无毒害作用．那么从消毒开始，经过 分钟后教室内的空气才能达到安全要求．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：131833tan 303-⎛⎫--+-︒ ⎪⎝⎭．18．已知0142=++x x ，求代数式()()71212++--x x x 的值．19．解方程：221111x x x x --=--． 20．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 在边AB 上，且DB =BC ，过点D 作EF ⊥AC于E ，交CB 的延长线于点F ．求证：AB=BF ．21．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数12y x b =+的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数8y x=的图象交于点P （2，m ）． （1）求m 与b 的值； 成绩/环 五次射击测试成绩DEFCB A 54321x /8O10y /mg（2）取OP 的中点B ，若△MPO 与△AOP 关于点B 中心对称，求点M 的坐标．22．为了促进旅游业的发展，某市新建一座景观桥．桥的拱肋ADB 可视为抛物线的一部分，桥面AB 可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB 为40米，桥拱的最大高度CD 为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），求与CD 的距离为5米的景观灯杆MN 的高度．23．如图，CD 垂直平分AB 于点D ，连接CA ，CB ，将BC 沿BA 的方向平移，得到线段DE ，交AC 于点O ，连接EA ，EC ． （1）求证：四边形ADCE 是矩形； （2）若CD =1，AD =2，求sin ∠COD 的值．24．阅读下面材料：当前，中国互联网产业发展迅速，互联网教育市场增长率位居全行业前列．以下是根据某媒体发布的2012 2015年互联网教育市场规模的相关数据，绘制的统计图表的一部分．（1）2015年互联网教育市场规模约是亿元（结果精确到1亿元），并补全条形 统计图；（2）截至2015年底，约有5亿网民使用互联网进行学习，互联网学习用户的年龄分布 如右图所示，请你补全扇形统计图，并估年份年增长率/%年份市场规模/亿元 NDOECDBA学习用户分布图截至2015年底互联网36-55岁9%其他7-17岁18-35岁56%7-17岁 %GHEFB C DA计7-17岁年龄段有 亿网民通过互联 网进行学习；（3）根据以上材料，写出你的思考、感受或建议（一条即可）．25．如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC于点E ，交BC 于点F ，连接DF ． （1）求证：DF=2CE ； （2）若BC =3，sin B =54，求线段BF 的长．26．阅读下面材料：小骏遇到这样一个问题：画一个和已知矩形ABCD 面积相等的正方形．小骏发现：延长AD 到E ，使得DE =CD ， 以AE 为直径作半圆，过点D 作AE 的垂线， 交半圆于点F ，以DF 为边作正方形DFGH ， 则正方形DFGH 即为所求．请回答：AD ，CD 和DF 的数量关系为 ． 参考小骏思考问题的方法，解决问题：画一个和已知□ABCD 面积相等的正方形，并写出画图的简要步骤．FOE DC BA B CDA27．已知关于x 的方程()021222=-+-+m m x m x ．（1） 求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2） 抛物线()m m x m x y 21222-+-+=与x 轴交于()0,1x A ，()0,2x B 两点，且210x x <<，抛物线的顶点为C ，求△ABC 的面积；（3） 在（2）的条件下，若m 是整数，记抛物线在点B ，C 之间的部分为图象G （包含B ，C 两点），点D 是图象G 上的一个动点，点P 是直线b x y +=2上的一个动点，若线段DP 的最小值是55，请直接写出b 的值．28．如图，正方形ABCD ，G 为BC 延长线上一点，E 为射线BC 上一点，连接AE ． （1）若E 为BC 的中点，将线段EA 绕着点E 顺时针旋转90°，得到线段EF ，连接CF ． ①请补全图形；②求证：∠DCF =∠FCG ；（2）若点E 在BC 的延长线上，过点E 作AE 的垂线交∠DCG 的平分线于点M ，判断AE 与EM 的数量关系并证明你的结论．29．在平面直角坐标系xOy 中，对图形W 给出如下定义：若图形W 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，下图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．E GD C BAMAB C DGE yDCB A12345（1）已知点)3,0(-A ，)1,1(--B ，在点)0,2(C ，)0,1(-D ，)2,2(-E 中，选一点，使得以该点及点A ，B 为顶点的三角形的坐标角度为90°，则满足条件的点为 ；（2）将函数2ax y =)31(≤≤a 的图象在直线1=y 下方的部分沿直线1=y 向上翻折，求所得图形坐标角度m 的取值范围；（3）记某个圆的半径为r ，圆心到原点的距离为l ，且)1(3-=r l ，若该圆的坐标角度︒≤≤︒9060m ．直接写出满足条件的r 的取值范围．答案及评分参考阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案CBDDCBAABD二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．()241x -；12．0.53；13．如3y x=，答案不唯一； 14．选择队员甲，理由：甲乙成绩的平均数相同，甲的成绩比乙的成绩稳定； 15．225︒；16．50．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：原式=323333-+-⨯………………………………………………4分 =523-．…………………………………………………………5分18．解：原式=2221227x x x x -+--+ ………………………………………2分 =248x x --+．……………………………………………………3分2410x x ++=∴241x x +=- ．……………………………………………………… 4分∴原式=()248x x -++189.=+= ………………………………………………………5分 19. 解：去分母得：2(1)(21)1x x x x +--=-…………………………………1分 解得：2x =………………………………………………………………4分 经检验，2x =是原方程的解……………………………………………5分 ∴原方程的解为2x =20．证明：∵EF ⊥AC ，∴∠A ＋∠ADE =90°．∵∠ABC =90°，∴∠F ＋∠FDB =90°，∠DBF =90°∴∠A =∠F ………………………………1分在△ABC 和△FBD 中A FABC FBD BC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩D E A∴△ABC ≌△FBD ………………………………4分∴AB =BF ．………………………………………5分 21．解：（1）∵12y x b =+与8y x =交于点P （2，m ），∴4m =，3b =．………………………………………………………2分（2）法一：由中心对称可知，四边形OA PM 是平行四边形 ∴OM ∥AP 且OM =AP∵一次函数12y x b =+的图象与y 轴交于点A (0,3)(2,4),(0,0)A P O ∴∴由平移规律可得点A 关于点B 对称点M 的坐标为(2,1)．………5分 法二：∵一次函数12y x b =+的图象与y 轴交于点A ∴(0,3)A ． ∵B 为OP 的中点∴(1,2)B ．∴点A 关于点B 对称点M 的坐标为(2,1)．………………5分22．解：如图建立坐标系………………………………………………………………1分设抛物线表达式为216y ax =+ …………………………………………………2分 由题意可知，B 的坐标为(20,0) ∴400160a += ∴125a =-∴211625y x =-+…………………………………………………………………4分 ∴当5x =时，15y =答：与CD 距离为5米的景观灯杆MN 的高度为15米．………………………5分23．（1）证明：由已知得BD //CE ，BD =CE ． ∵CD 垂直平分AB ，∴AD =BD ，∠CDA =90°．∴AD //CE ，AD =CE ．∴四边形ADCE 是平行四边形．…………………………………1分 ∴平行四边形ADCE 是矩形． …………………………………2分（2） 解：过D 作DF ⊥AC 于F ，xyNM DCB AOEC D BA在Rt △ADC 中，∠CDA =90°，∵CD =1，AD =2， 由勾股定理可得：AC =5．∵O 为AC 中点，∴OD =52． …………………………………3分 ∵AC DF AD DC ⋅=⋅，∴DF =255． ………………………4分 在Rt △ODF 中，∠OFD =90°，∴sin ∠COD =DF OD =45………5分 24．（1）1610，并补全图形； ……………………………………………………2分 （2）1.6； ………………………………………………………………………4分 （3）略．…………………………………………………………………………5分 25．（1）证明：连接OE 交DF 于G ，∵AC 切⊙O 于E ，∴∠CEO =90°． 又∵BD 为⊙O 的直径，∴∠DFC =∠DFB =90°．∵∠C =90°，∴四边形CEGF 为矩形．∴CE =GF ，∠EGF =90°…………………1分 ∴DF =2CE ．………………………………2分（2）解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∵BC =3，4sin 5B =，∴AB =5．…………………………………3分设OE =x ，∵OE //BC ，∴△AOE ∽△ABC ． ∴OE AO BC AB =，∴535x x -=，∴158x =．………………………4分 ∴BD =154． 在Rt △BDF 中，∠DFB =90°，∴BF =94…………………………5分 26．解：2DF AD CD =⋅………………………………………………………………1分解决问题：法一：过点A 作AM ⊥BC 于点M ，延长AD 到E ，使得DE =AM ，以AE 为直径作半圆，过点 D 作AE 垂线，交半圆于点F ，以DF 为边 作正方形DFGH ，正方形DFGH 即为所求．……………………………………………………………………………………5分GFO ED C A GHEF CDA法二：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点D 作DN ⊥BC 交BC 延长线于点N ，将平行四边形转化为等面积矩形，后同小骏的画法． ……………………………………………………………………………………5分 说明：画图2分，步骤2分．27．解：（1）∵1=a ，()12-=m b ，m m c 22-=∴()()0424144222>=---=-=∆m m m ac b ∴无论m 取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根． ……2分（2）令，则()021222=-+-+m m x m x ()()02=-++m x m x∴m x -=或2+-=m x∵210x x <<∴m x -=1，22+-=m x …………………………………………4分 ∴2=AB当1+-=m x 时，1-=y∴1-=c y∴121=⨯=∆c ABC y AB S ．………………………………………5分 （3） 0=b 或3-=b ． …………………………………………………….. 7分28．（1）①补全图形，如图所示．…………………………………..1分②法一：证明：过F 作FH ⊥BG 于H ，连接EH ……..2分F EG D C B A DAG H E F D A由已知得AE ⊥EF ，AE =EF ．在正方形ABCD 中，∵∠B =∠AEF =∠EHF =90°，∴∠AEB +∠FEC =90°∠AEB +∠BAE =90°∴∠BAE =∠HEF∴△ABE ≌△EHF ．…………………………………………………..3分∴BE =FH ，AB =EH ，∵E 为BC 中点，∴BE =CE =CH =FH ．∴∠DCF =∠HCF=45°． …………………………………………..4分法二证明：取线段AB 的中点H ，连接EH ． …………………………………..2分由已知得AE ⊥EF ，AE =EF ．∴∠AEB +∠FEC =90°．在正方形ABCD 中，∵∠B =90°，∴∠AEB +∠BAE =90°．∴∠FEC =∠BAE ． ∵AB =BC ，E ，H 分别为AB ，BC 中点，∴AH=EC ，∴△ECF ≌△AHE ．…………………………………………………..3分∴∠ECF =∠AHE =135°，∴∠DCF =∠ECF ∠ECD =45°．∴∠DCF =∠HCF ．…………………………………………………..4分（2）证明：在BA 延长线上取一点H ，使BH =BE ，连接EH ． …………..5分在正方形ABCD 中，∵AB =BC ，∴HA =CE ． ∵∠B =90°，∴∠H =45°． ∵CM 平分∠DCG ，∠DCG =∠BCD =90°，∴∠MCE =∠H=45°．∵AD //BG ，∴∠DAE =∠AEC ．∵∠AEM =∠HAD =90°, ∴∠HAE =∠CEM ．∴△HAE ≌△CEM ．………………………………………………. 6分∴AE =EM ． ………………………………………………………. 7分H F E G D CB A HMA B C D GE9. （1）满足条件的点为)0,1(-D ，)2,2(-E ……………………………… 3分（2）当1=a 时，角的两边分别过点）（1,1-，）（1,1，此时坐标角度︒=90m ； 当3a =时，角的两边分别过点）（1,33-，）（1,33，此时坐标角度︒=60m ，所以︒≤≤︒9060m ；……………………………………………………… 6分（3）3233≤≤-r ．…………………………………………………….8分。
2019学年北京市东城区中考二模数学试卷【含答案及解析】
2019学年北京市东城区中考二模数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三四总分得分一、选择题1. 如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（）A．点B与点 D B．点A与点CC．点A与点 D D．点B与点C2. 据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约为50 000 000 吨，将50 000 000用科学记数法表示为（）A．5×107 B．50×106 C．5×106 D．0．5×1083. 下列运算正确的是（）A． B． C． D．4. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加了射击预选赛，他们射击的平均环数及其方差如下表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，应选运动员（）5. 甲乙丙丁7887111．21．8td6. 如图，已知⊙Ｏ的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．37. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从此布袋里任意摸出1个球，该球是红球的概率为，则a等于（）A．1 B．2 C．3 D．48. 如图，将△ABC沿BC方向向右平移2cm得到△ＤEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（）A．16cm B．18cm C．20cm D．32cm中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长9. 如图，在已知的△ABC为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为（）A．90° B．95° C．100° D．105°10. 如果三角形的一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1,2,3 B．1,1， C．1,1， D．1，，2 11. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→Ｃ的方向在AB和BC 上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题12. 使有意义的x的取值范围是．的度数是．13. 如图，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°．则∠ABE14. 一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限且经过（0,2）点．任写一个满足上述条件的一次函数的表达式是_________________．15. 小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是_____________．16. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为．1=1，17. 如图，已知A1，A2，……，An，An＋1在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3=……=AnAn＋分别过点A1，A2，……，An，An＋1作x轴的垂线交直线y＝x于点B1，B2，……，Bn，Bn＋1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，……，AnBn＋1，BnAn＋1，依次相交于点P1，P2，P3，……，Pn，△A1B1P1，△A2B2P2，……，△AnBnPn的面积依次为S1，S2，……，Sn，则S1= ，Sn= ．三、计算题18. 计算：．四、解答题19. 如图，C，D为线段AB上两点，且AC=BD，AE∥BF．AE=BF．求证：∠E=∠F．20. 若实数a满足，计算的值．21. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，求实数k的值．22. A，B两个火车站相距360km．一列快车与一列普通列车分别从A，B两站同时出发相向而行，快车的速度比普通列车的速度快54km/h，当快车到达B站时，普通列车距离A站还有135km．求快车和普通列车的速度各是多少？23. 一次函数的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M（m，4）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．24. 如图，矩形ABCD中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC．求证：（1）四边形EBFD是菱形；（2）MB : OE=3：2 ．25. 以下是根据全国人力资源和社会保障部公布的相关数据绘制的统计图的一部分，请你根据图中信息解答下列问题：（1）2015年全国普通高校毕业生人数年增长率约是多少？（精确到0．1%）（2）2013年全国普通高校毕业生人数约是多少万人？（精确到万位）（3）补全折线统计图和条形统计图．26. 如图，已知AB是⊙Ｏ的直径，C是⊙Ｏ上一点，∠BAC的平分线交⊙Ｏ于点D，交⊙Ｏ的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙Ｏ的切线；（2）若DF=3，DE=2．①求值；②求的度数．27. 阅读材料如图1，若点P是⊙Ｏ外的一点，线段PO交⊙Ｏ于点A,则PA长是点P与⊙Ｏ上各点之间的最短距离．图1 图2证明：延长PO 交⊙Ｏ于点B，显然PB>PA．如图2，在⊙Ｏ上任取一点C（与点A，B不重合），连结PC，OC．∵PO＜PC+OC 且PO=PA+OA，OA=OC ∴PA＜PC∴PA 长是点P与⊙Ｏ上各点之间的最短距离．由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．请用上述真命题解决下列问题．（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是．图3 图4（2）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接AC,①求线段A′Ｍ的长度; ②求线段A′Ｃ长的最小值．28. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A（-3,0）B（1,0）两点， D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式;（2）若点F和点D关于轴对称, 点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O、F、P、Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P坐标;若不存在，请说明理由．29. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．（1）若CA=CB，CE=CD①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算的值．30. 定义：如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的等分线。
北京市东城区2019-2020学年中考数学二模考试卷含解析
北京市东城区2019-2020学年中考数学二模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．某公园有A、B、C、D四个入口，每个游客都是随机从一个入口进入公园，则甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率是（）A．12B．14C．16D．182．已知函数()()()()22113{513x xyx x--≤=--＞，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．33．下列计算正确的是（）A．2a2﹣a2＝1 B．（ab）2＝ab2C．a2+a3＝a5D．（a2）3＝a64．下列运算结果是无理数的是（）A．32×2B．32⨯C．722÷D．22135-5．已知一元二次方程1–（x–3）（x+2）=0，有两个实数根x1和x2（x1<x2），则下列判断正确的是( ) A．–2<x1<x2<3 B．x1<–2<3<x2C．–2<x1<3<x2D．x1<–2<x2<36．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是()A．2 B．2C3D．38．下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是（）A．y=3x2+2 B．y=3（x﹣1）2C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=2x29．已知M，N，P，Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是( )A．∠NOQ＝42°B．∠NOP＝132°C．∠PON比∠MOQ大D．∠MOQ与∠MOP互补10．如图，AB∥CD，FH平分∠BFG，∠EFB＝58°，则下列说法错误的是（）A．∠EGD＝58°B．GF＝GH C．∠FHG＝61°D．FG＝FH11．已知3x+y＝6，则xy的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．612．随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》一书也随之热销．如果一次性购买10本以上，超过10本的那部分书的价格将打折，并依此得到付款金额y（单位：元）与一次性购买该书的数量x（单位：本）之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（）A．一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本B．a＝520C．一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折D．一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花80元二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为.14．因式分解：－3x2＋3x=________．15．用4块完全相同的长方形拼成正方形(如图)，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可得到1个关于a b、的等式为________.16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为_____．17．如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为______米（结果保留根号）．18．如图，当半径为30cm的转动轮转过120 角时，传送带上的物体A平移的距离为______cm ．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c 与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．20．（6分）如图,已知CD=CF,∠A=∠E=∠DCF=90°,求证:AD+EF=AE21．（6分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m+3）x+m+2=1．（1）求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根的平方等于4，求m 的值．22．（8分）如图1，BAC ∠的余切值为2，25AB =，点D 是线段AB 上的一动点（点D 不与点A 、B 重合），以点D 为顶点的正方形DEFG 的另两个顶点E 、F 都在射线AC 上，且点F 在点E 的右侧，联结BG ，并延长BG ，交射线EC 于点P ．（1）点D 在运动时，下列的线段和角中，________是始终保持不变的量（填序号）；①AF ；②FP ；③BP ；④BDG ∠；⑤GAC ∠；⑥BPA ∠；（2）设正方形的边长为x ，线段AP 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果PFG ∆与AFG ∆相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．23．（8分）水龙头关闭不紧会造成滴水，小明用可以显示水量的容器做图①所示的试验，并根据试验数据绘制出图②所示的容器内盛水量W （L ）与滴水时间t （h ）的函数关系图象，请结合图象解答下列问题：容器内原有水多少？求W 与t 之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升？图①图②24．（10分）解不等式组：2(3)47{22x xxx+≤++>并写出它的所有整数解．25．（10分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且AD CD CD BD=．求证：△ACD∽△CBD；求∠ACB的大小．26．（12分）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD 为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°.求这两座建筑物的高度（结果保留根号）.27．（12分）﹣（﹣1）20184﹣（13）﹣1参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中确定出甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果数，再利用概率公式计算可得．【详解】画树状图如下：由树状图知共有16种等可能结果，其中甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果有4种，所以甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率为416=14，故选B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．2．D【解析】【详解】解：如图：利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个.故选：D.3．D【解析】【分析】根据合并同类项法则判断A、C；根据积的乘方法则判断B；根据幂的乘方法判断D，由此即可得答案. 【详解】A、2a2﹣a2＝a2，故A错误；B、(ab)2＝a2b2，故B错误；C、a2与a3不是同类项，不能合并，故C错误；D、(a2)3＝a6，故D正确，故选D．【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握各运算的运算性质和运算法则是解题的关键．4．B【解析】【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】A选项：原式＝3×2＝6，故A不是无理数；B，故B是无理数；C6，故C不是无理数；D=12，故D不是无理数故选B．【点睛】考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．5．B【解析】【分析】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）根据二次函数的图像性质可知y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1个单位长度，根据图像的开口方向即可得出答案.【详解】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）∵y=0时，x=-2或x=3，∴y=-（x﹣3）（x+2）的图像与x轴的交点为（-2，0）（3，0），∵1﹣（x﹣3）（x+2）=0，∴y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1，与x轴的交点的横坐标为x1、x2，∵-1<0，∴两个抛物线的开口向下，∴x1＜﹣2＜3＜x2，故选B.【点睛】本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.6．D【解析】【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD 为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．【详解】解:Q 四边形ABCD 是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，//AB CD ∴，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D 分别作BC ，CD 边上的高为AE ，AF ．则AE AF =（两纸条相同，纸条宽度相同）； Q 平行四边形ABCD 中，ABC ACD S S ∆∆=，即⨯=⨯BC AE CD AF ，BC CD ∴=，即AB BC =．故B 正确；∴平行四边形ABCD 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．ABC ADC ∠=∠∴，BAD BCD ∠=∠（菱形的对角相等），故A 正确； AB CD =，AD BC =（平行四边形的对边相等），故C 正确； 如果四边形ABCD 是矩形时，该等式成立．故D 不一定正确．故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”．7．C【解析】【分析】由OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，CP=2，CP ∥OA ，易得△OCP 是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE 的值，继而求得OP 的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM 的长．【详解】解：∵OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP ∥OA ，∴∠AOP=∠CPO ，∴∠COP=∠CPO ，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE ⊥OB ，∴∠CPE=30°，∴CE=12CP=1，∴=，∴∵PD ⊥OA ，点M 是OP 的中点，∴DM=12 故选C ．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．8．D【解析】分析：根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解： A 、y=3x 2的图象向上平移2个单位得到y=3x 2+2，故本选项错误；B 、y=3x 2的图象向右平移1个单位得到y=3（x ﹣1）2，故本选项错误；C 、y=3x 2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到y=3（x ﹣1）2+2，故本选项错误；D 、y=3x 2的图象平移不能得到y=2x 2，故本选项正确．故选D ．9．C【解析】试题分析：如图所示：∠NOQ=138°，选项A 错误；∠NOP=48°，选项B 错误；如图可得∠PON=48°，∠MOQ=42°，所以∠PON 比∠MOQ 大，选项C 正确；由以上可得，∠MOQ 与∠MOP 不互补，选项D 错误．故答案选C ．考点：角的度量.10．D【解析】【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到正确的结论．【详解】解：AB CD EFB 58∠︒Q P ，＝，EGD 58＝∠∴︒，故A 选项正确；FH BFG ∠Q 平分，BFH GFH ∠∠∴＝，又AB CD Q PBFH GHF ∠∠∴＝，GFH GHF ∠∠∴＝，GF GH ＝，∴故B 选项正确； BFE 58FH ∠︒Q ＝，平分BFG ∠， ()118058612BFH ︒︒︒∴∠=-=， AB CD Q PBFH GHF 61∠∠∴︒＝＝，故C 选项正确；FGH FHG ∠∠≠Q ，FG FH ∴≠，故D 选项错误；故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 11．B【解析】【分析】根据已知方程得到y=-1x+6，将其代入所求的代数式后得到：xy=-1x 2+6x ，利用配方法求该式的最值．【详解】解：∵1x+y=6，∴y=-1x+6，∴xy=-1x 2+6x=-1（x-1）2+1．∵（x-1）2≥0，∴-1（x-1）2+1≤1，即xy的最大值为1．故选B．【点睛】考查了二次函数的最值，解题时，利用配方法和非负数的性质求得xy的最大值．12．D【解析】【分析】A、根据单价＝总价÷数量，即可求出一次性购买数量不超过10本时，销售单价，A选项正确；C、根据单价＝总价÷数量结合前10本花费200元即可求出超过10本的那部分书的单价，用其÷前十本的单价即可得出C正确；B、根据总价＝200+超过10本的那部分书的数量×16即可求出a值，B正确；D，求出一次性购买20本书的总价，将其与400相减即可得出D错误．此题得解．【详解】解：A、∵200÷10＝20（元/本），∴一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本，A选项正确；C、∵（840﹣200）÷（50﹣10）＝16（元/本），16÷20＝0.8，∴一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折，C选项正确；B、∵200+16×（30﹣10）＝520（元），∴a＝520，B选项正确；D、∵200×2﹣200﹣16×（20﹣10）＝40（元），∴一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花40元，D选项错误．故选D．【点睛】考查了一次函数的应用，根据一次函数图象结合数量关系逐一分析四个选项的正误是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（10，3）【解析】【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．【详解】∵四边形AOCD为矩形,D的坐标为(10,8),∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中=6，∴FC=10−6=4，设EC=x，则DE=EF=8−x，在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，即EC的长为3.∴点E的坐标为(10,3).14．－3x(x－1)【解析】【分析】原式提取公因式即可得到结果．【详解】解：原式=-3x（x-1），故答案为-3x（x-1）【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．15．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【解析】【分析】根据长方形面积公式列①式，根据面积差列②式，得出结论．【详解】S阴影＝4S长方形＝4ab①，S阴影＝S大正方形﹣S空白小正方形＝（a+b）2﹣（b﹣a）2②，由①②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．故答案为（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，此题有机地把代数与几何图形联系在一起，利用几何图形的面积公式直接得出或由其图形的和或差得出．16．1【解析】分析: 由PD−12PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝1．详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵221PBBG==，422BCPB==，∴PB BC BG PB=，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴12 PG BGPC PB==，∴PG＝12 PC，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝2243+＝1．故答案为1点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．17．1002．【解析】解：如图，连接AN，由题意知，BM⊥AA'，BA=BA'，∴AN=A'N，∴∠ANB=∠A'NB=45°，∵∠AMB=22.5°，∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN，∴AN=MN=200米，在Rt△ABN中，∠ANB=45°，∴AB=2AN=1002（米），故答案为1002．点睛：此题是解直角三角形的应用﹣﹣﹣仰角和俯角，主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠ANB=45°．18．20π【解析】解：1203801π⨯=20πcm．故答案为20πcm．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E （x ，x 2﹣4x+3），则F （x ，﹣x+3），∵0＜x ＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x 2﹣4x+3）=﹣x 2+3x ，∴S △CBE =S △EFC +S △EFB =EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x 2+3x ）=﹣（x ﹣）2+， ∴当x=时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为（，），即当E 点坐标为（，）时，△CBE 的面积最大．考点：二次函数综合题．20．证明见解析.【解析】【分析】易证△DAC ≌△CEF ，即可得证.【详解】证明：∵∠DCF=∠E=90°,∴∠DCA+∠ECF=90°,∠CFE+∠ECF=90°, ∴∠DCA=∠CFE,在△DAC 和△CEF 中：90DCA CFE A E CD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ,∴△DAC ≌△CEF(AAS),∴AD=CE,AC=EF,∴AE=AD+EF【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.21．（1）证明见解析；（2）m 的值为1或﹣2．【解析】【分析】（1）计算根的判别式的值可得（m+1）2≥1，由此即可证得结论；（2）根据题意得到 x=±2 是原方程的根，将其代入列出关于m 新方程，通过解新方程求得m 的值即可．【详解】（1）证明：∵△=[﹣（m+3）]2﹣2（m+2）=（m+1）2≥1，∴无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有一个根的平方等于 2，∴x=±2 是原方程的根，当 x=2 时，2﹣2（m+3）+m+2=1．解得m=1；当 x=﹣2 时，2+2（m+3）+m+2=1，解得m=﹣2．综上所述，m 的值为 1 或﹣2．【点睛】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时要分类讨论，这是此题的易错点． 22．（1）④⑤；（2）2(12)2x y x x =<-…；（3）75或54. 【解析】【分析】（1）作BM AC ⊥于M ，交DG 于N ，如图，利用三角函数的定义得到2AM BM=，设BM t =，则2AM t =，利用勾股定理得222(2)t t +=，解得2t =，即2BM =，4AM =，设正方形的边长为x ，则2AE x =，3AF x =，由于1tan 3GF GAF AF ∠==，则可判断GAF ∠为定值；再利用//DG AP 得到BDG BAC ∠=∠，则可判断BDG ∠为定值；在Rt BMP ∆中，利用勾股定理和三角函数可判断PB 在变化，BPM ∠在变化，PF 在变化；（2）易得四边形DEMN 为矩形，则NM DE x ==，证明BDG BAP ∆∆∽，利用相似比可得到y 与x 的关系式；（3）由于90AFG PFG ︒∠=∠=，PFG ∆与AFG ∆相似，且面积不相等，利用相似比得到13PF x =，讨论：当点P 在点F 点右侧时，则103AP x =，所以21023x x x =-，当点P 在点F 点左侧时，则83AP x =，所以2823x x x =-，然后分别解方程即可得到正方形的边长． 【详解】（1）如图，作BM AC ⊥于M ，交DG 于N ，在Rt ABM ∆中，∵cot 2AM BAC BM∠==， 设BM t =，则2AM t =，∵222AM BM AB +=，∴222(2)(25)t t +=，解得2t =，∴2BM =，4AM =，设正方形的边长为x ，在Rt ADE ∆中，∵cot 2AE DAE DE ∠==， ∴2AE x =，∴3AF x =， 在Rt GAF ∆中，1tan 33GF x GAF AF x ∠===， ∴GAF ∠为定值；∵//DG AP ，∴BDG BAC ∠=∠，∴BDG ∠为定值；在Rt BMP ∆中，222PB PM =-，而PM 在变化，∴PB 在变化，BPM ∠在变化，∴PF 在变化，所以BDG ∠和GAC ∠是始终保持不变的量；故答案为：④⑤（2）∵MN ⊥AP ，DEFG 是正方形，∴四边形DEMN 为矩形，∴NM DE x ==，∵//DG AP ，∴BDG BAP ∆∆∽，∴DG BN AP BM=， 即22x x y -=， ∴2(12)2x y x x =<-… （3）∵90AFG PFG ︒∠=∠=，PFG ∆与AFG ∆相似，且面积不相等，∴GF PF AF GF =，即3x PF x x =， ∴13PF x =， 当点P 在点F 点右侧时，AP=AF+PF=133x x +=103x ， ∴21023x x x =-， 解得75x =， 当点P 在点F 点左侧时，18333AP AF PF x x x =-=-=， ∴2823x x x =-， 解得54x =，综上所述，正方形的边长为75或54． 【点睛】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质． 23．（1）0.3 L ；（2）在这种滴水状态下一天的滴水量为9.6 L.【解析】【分析】（1）根据点()0,0.3的实际意义可得；（2）设W 与t 之间的函数关系式为W kt b =+，待定系数法求解可得，计算出24t =时W 的值，再减去容器内原有的水量即可.【详解】（1）由图象可知，容器内原有水0.3 L.（2）由图象可知W 与t 之间的函数图象经过点（0，0.3），故设函数关系式为W ＝kt ＋0.3.又因为函数图象经过点（1.5，0.9），代入函数关系式，得1.5k ＋0.3＝0.9，解得k ＝0.4.故W 与t 之间的函数关系式为W ＝0.4t ＋0.3.当t ＝24时，W ＝0.4×24＋0.3＝9.9（L ），9.9－0.3＝9.6（L ），即在这种滴水状态下一天的滴水量为9.6 L.【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是利用待定系数法正确求出一次函数的解析式.24．原不等式组的解集为122x-≤<，它的所有整数解为0，1．【解析】【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后写出它的所有整数解即可．【详解】解：()2347{22x xxx+≤++>①②，解不等式①，得1-2x≥，解不等式②，得x＜2，∴原不等式组的解集为12 2x-≤<，它的所有整数解为0，1．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法．解一元一次不等式组的简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．25．（1）证明见试题解析；（2）90°．【解析】试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．试题解析：（1）∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵AD CD CD BD=．∴△ACD∽△CBD；（2）∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．考点：相似三角形的判定与性质．26．甲建筑物的高AB为（303－30）m，乙建筑物的高DC为303m 【解析】【详解】如图，过A作AF⊥CD于点F，在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，∵CDBC=tan∠DBC，∴3，∴乙建筑物的高度为3；在Rt△AFD中，∠DAF=45°，∴DF=AF=BC=30m，∴AB=CF=CD﹣DF=（330）m，∴甲建筑物的高度为（330）m．27．-1.【解析】【分析】直接利用负指数幂的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案．【详解】原式=﹣1+1﹣3=﹣1．【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．。
北京市北京市东城区第八中学2019年中考数学二模考试试卷及参考答案
北京市北京市东城区第八中学2019年中考数学二模考试试卷一、选择题（满分16分，每小题2分）1. 在下图的四个立体图形中，从正面看是四边形的立体图形有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. 12月2日，2018年第十三届南宁国际马拉松比赛开跑，2.6万名跑者继续刷新南宁马拉松的参与人数纪录!把2.6万用科学记数法表示为（ ）A . 0.26×10B . 2.6×10C . 0.26×10D . 2.6×10二、填空题（满分16分，每小题2分）3. 若a ，b 都是实数，b ＝ + ﹣2，则a 的值为________.4. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是________．5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝BD.若⊙O 的半径OB ＝2，则AC 的长为________.6. 2018年6月14日，第21届世界杯足球赛在俄罗斯举行.小李在网上预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共10张，总价为15800元，其中小组赛门票每张850元，决赛门票每张4500元，若设小李预定了小组赛门票x 张，决赛门票y 张，根据题意，可列方程组为________.7. 如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：①∠ACD ＝30°；②S ＝AC•BC ；③OE ：AC ＝：6； ④S ＝S ， 成立的是________．8. 如图，A 、B 两地相距200km ，一列火车从B 地出发沿BC 方向以的速度行驶，在行驶过程中，这列火车离A 地的路程 与行驶时间 之间的函数关系式是________．三、解答题9. 计算：﹣2﹣ +|1﹣4sin60°|+（2015π）.3344b ▱A BCD ▱OEF ▱A BCD 4010.解不等式组：并将解集在数轴上表示.11. 关于x 的一元二次方程x ﹣x ﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根.（1） 求m 的取值范围；（2） 若m 为符合条件的最小整数，求此方程的根.12. 如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝4，分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合），反比例函数y ＝ （k ＞0）的图象经过点D 且与边BA 交于点E ，作直线DE．（1） 当点D 运动到BC 中点时，求k 的值；（2） 求 的值；（3） 连接DA ，当△DAE 的面积为 时，求k 值．13. 如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且∠ECF ＝45°，CF 的延长线交BA 的延长线于点G ，CE 的延长线交DA 的延长线于点H ，连接AC ，EF ．，GH ．（1） 填空：∠AHC ∠ACG ；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2） 线段AC ，AG ，AH 什么关系？请说明理由；（3） 设AE ＝m ，①△AGH 的面积S 有变化吗？如果变化．请求出S 与m 的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH 是等腰三角形的m 值．参考答案1.2.3.4.25.6.7.8.9.10.11.12.13.。
北京市东城区2019届初三统一练习数学试题(二)含答案
北京市东城区2019—2019学年第二学期统一练习（二） 初三数学 2019.6学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为A ．63.510⨯B ．73.510⨯C ．53510⨯D ． 80.3510⨯2．如图，已知数轴上的点A ，O ，B ，C ，D 分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数2的点P 应落在线段球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是A ．13 B ．25 C ．12 D ． 234. 下列图案中 ，既是中心对称又是轴对称图形的是A B C D5．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是A B C D7．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是A．4 B．3 C．2 D．19. 如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省A．1元B．2元C．3元D．4元10. 某班有20位同学参加乒乓球、羽毛球比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对C.若乙错，则甲错D.若甲错，则乙对二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：2242ax ax a -+= ．12．关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．13. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，请你添加一个条件，使得△ABP ∽△ACB ，这个条件可以是 ．14. 九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ．15．定义运算“*”，规定x *y =a （x +y ）+xy ，其中a 为常数，且1*2=5，则2*3= ． 16．在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n 步的走法是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是 ；当走完第2019步时，棋子所处位置的坐标是 ．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：0112sin 60(3π)()4-︒-+.18．已知023a b =≠，求代数式22422a b a b a ab-++的值．19．如图，已知∠ABC =90°，分别以AB 和BC 为边向外作等边△ABD 和等边△BCE ，连接AE ，CD . 求证：AE =CD ．20．列方程或方程组解应用题：为迎接“五一劳动节”，某超市开展促销活动，决定对A ，B 两种商品进行打折出售．打折前，买6件A 商品和3件B 商品需要108元，买3件A 商品和4件B 商品需要94元.问：打折后，若买5件A 商品和4件B 商品仅需86元，比打折前节省了多少元钱？21. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的等腰三角形．（要求：画出三个．．大小不同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）DCBADCBADCBA22．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD于点E ．（1）求证：∠BAM =∠AEF ；（2）若AB =4，AD =6，4cos 5BAM ∠=，求DE 的长.23.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)my x x=>的图象经过点D . （1）求反比例函数的解析式；（2）经过点C 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数的图象交于P 点，当k ＞0时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 24.阅读下列材料：2019年是北京市正式执行新《环境空气质量标准》的第一年.这一年，北京建立起35个覆盖全市的监测站点，正式对PM2.5、二氧化硫、二氧化氮等六项污染物开展监测.2019年全年,本市空气质量一级优的天数有41天；二级良天数135天.本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为89.5微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，全年共有204天达到一级优或二级良水平.2019年全年， PM2.5年均浓度为85.9微克/立方米.，PM2.5优良天数总计204天，其中PM2.5一级优天数达到93天，比2019年的71天增加了22天.2019年全年，本市空气质量达标天数为186天，即空气质量优良的好天儿占了一半，比2019年增加了14天. 本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，2019年PM2.5优良天数累计达到223天，其中一级优天数首次突破100达到105天，二级良天数累计为118天. 根据以上材料解答下列问题：（1）北京市2019年空气质量达到优良的天数为 天；单就PM2.5的浓度而言，北京市2019年全年达到二级良的天数为 天；（2）选择统计表或统计图，将2019—2019年北京市PM2.5的年均浓度和PM2.5的优良天数表示出来.25. 如图，在△ABC 中，BA =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F ． （1）求证：∠ABC =2∠CAF ；（2）若AC =sin 10CAF ∠=，求BE 的长．26. 阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°， AB =1，∠A =α，求sin2α（用含sin α，cos α的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠COB = 2α，然后利用锐角三角函数在Rt △ABC 中表示出AC ，BC ，在Rt △ACD 中表示出CD ，则可以求出sin 2α=CD OC=21sin AC ⋅α=21cos sin αα⋅=ααcos sin 2⋅．图1 图2阅读以上内容，回答下列问题：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =1. (1)如图3，若BC =13，则 sin α= ， sin2α= ；图3(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sin α，cos α的式子表示）．27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.28. 【问题】在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点E 在直线BC 上（B ,C 除外），分别经过点E 和点B 做AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系. 【探究发现】某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G （如图1），通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；图1【数学思考】那么当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”；“点E 在线段BC 的延长线”；“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；图2【拓展应用】当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE =nBC （01n ＜＜），请直接写出ABC S △：AEF S △的值．备用图29. 定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个最小值函数图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.①直接写出△ABM 的面积，其面积是 ；②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆. 在此圆上找一点P ，使PA 的值最小，直接写出此最小值.北京市东城区2018-2019学年第二学期统一练习（二） 初三数学参考答案及评分标准 2019.6二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．计算：0112sin 60(3π)()4-︒-+.解：原式14+ …………4分 =3-. …………5分18. 解： 22422a b a b a ab -++=224(2)(2)a b a a b a a b -++=2a ba - …………3分 023a b=≠，∴设2,3.a k b k == …………4分∴ 原式=-2 . …………5分 19. 证明：△ABD 和△BCE 为等边三角形，∴∠ABD =∠CBE =60°，BA=BD ，BC=BE. …………2分∴∠ABD+∠ABC =∠CBE+∠ABC ，即∠CBD =∠ABE. …………3分∴△CBD ≌△EBA.（SAS ） …………4分∴AE=CD. …………5分20.解：设打折前一件商品A 的价格为x 元，一件商品B 的价格为y 元. …………1分依据题意，得631083494x y x y +=⎧⎨+=⎩. …………3分 解得：1016x y =⎧⎨=⎩. …………4分 所以5×10+4×16-86=28（元） 答：比打折前节省了28元. …………5分 21. 满足条件的所有图形如图所示：…………5分注意：画出一个给2分，二个给4分，三个给5分. 22.解：（1）∵矩形ABCD ，∴∠B =∠BAC =90°.∵EF ⊥AM ，∴∠AFE =∠B =∠BAD =90°.∴∠BAM +∠EAF =∠AEF+∠EAF =90°. ∴∠BAM =∠AEF . …………2分 （2）在Rt △ABM 中，∠B =90°，AB =4，cos ∠BAM =45， ∴AM =5.∵F 为AM 中点， ∴AF =52. ∵∠BAM =∠AEF ， ∴cos ∠BAM = cos ∠AEF =45. ∴sin ∠AEF =35.在Rt △AEF 中， ∠AFE =90°，AF =52，sin ∠AEF =35， ∴AE =256. ∴DE=AC-AE =6-256=116. …………5分 23.解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，，∴BC =2.∴D （1,2）. ∵反比例函数my x=的图象经过点D ， ∴21m =. ∴2m =.∴2y x=. …………3分（2）233p x <<. …………5分 24.解：（1）172；133. …………2分25.（1）证明：连结BD .∵AB 是O 的直径， ∴90ADB ∠=︒.∴90DAB DBA ∠+∠=︒. ∵AB AC =，∴2ABD ABC ∠=∠，12AD AC =. ∵AF 为⊙O 的切线， ∴∠F AB =90°.∴90FAC CAB ∠+∠=︒. ∴FAC ABD ∠=∠.∴2.ABC CAF ∠=∠ …………2分⑵ 解：连接AE.∴∠AEB =∠AEC =90°.∵sin CAF ABD CAF CBD CAE ∠=∠=∠=∠=∠，∴sin sin ABD CAF ∠=∠．∵90ABD AC ∠=︒=，∴AD 10sin AD AB ABD==∠=BC .∵90AEC AC ∠=︒=，∴sin 2CE AC CAE =⋅∠=.∴1028BE BC CE =-=-=. …………5分26.解：（1）sin α=13， sin2α=9. …………2分 （2）∵AC = cos α，BC =sin α，∴CD =AC BC AB⨯=sin cos αα⋅. ∵∠DCB =∠A ，∴在Rt △BCD 中，BD =sin 2α.∴OD =12- sin 2α. ∴tan2α=CD OD =22sin cos 2sin cos 112sin sin 2αααααα⋅⋅=--. …………5分 27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7），∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩， ∴21.b c =-⎧⎨=-⎩， ∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++. ∴2C 的顶点为（1,2）.∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+.令x =1，则y =4.∴2C 的顶点不在直线AB 上. …………4分（3）414m <≤或4m =-. …………7分28.解：【探究发现】：相等. …………1分【数学思考】证明：在AC 上截取CG=CE ，连接GE.∵∠ACB =90°,∴∠CGE =∠CEG =45°.∵AE ⊥EF ，AB ⊥BF ，∴∠AEF =∠ABF =∠ACB =90°,∴∠FEB +∠AEF =∠AEB =∠EAC +∠ACB.∴∠FEB =∠EAC.∵CA=CB ，∴AG=BE ，∠CBA =∠CAB =45°.∴∠AGE =∠EBF =135°.∴△AGE ≌△EBF .∴AE=EF .…………5分 【拓展应用】ABC S △：AEF S △=1：（222n n ++）…………7分 29.解：（1）图象略；是.…………2分 （2）①2.…………4分 ②M （3,3）.…………6分…………8分。
2019年北京市东城区初三二模数学试卷(含答案及解析)
2019年北京东城区初三二模数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. A.B.C.D.若分式有意义，则的取值范围是（ ）．2. A.B.C. D.若，则实数在数轴上对应的点的大致位置是（ ）．3.主视图左视图俯视图A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）．4. A.B.C.D.二元一次方程组的解为（ ）．5. A. B. C. D.下列图形中，是中心对称图形但轴对称图形的是（ ）．不.是.6.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段沿某一方向平移后，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）．A. B. C. D.7. A.米 B.米 C.米 D.米如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道（点、在同一水平面上）．为了测量、两地之间的距离，一架直升飞机从地起飞，垂直上升米到达处，在处观察地的俯角为，则、两地之间的距离约为（ ）．8. A.B.C.D.如图，动点从菱形的顶点出发，沿以的速度运动到点．设点的运动时间为（），的面积为（）．表示与的函数关系的图象如图所示，则的值为（ ）．图图二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.分解因式：．10.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 ．甲乙丙丁11.如果，那么代数式的值是 ．12.如图所示的网格是正方形网格，点，，，均落在格点上，则．13.如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线 相交于点，则关于的不等式的解集是 ．14.用一组，的值说明命题“若，则一次函数的图象经过第一、二、三象限”是错误的，这组值可以是 ， ．15.如图，，，，为上的点，，，则圆心到弦的距离为 ．16.（1）（2）运算能力是一项重要的数学能力．王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中位同学的测试成绩．（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高）．第一次成绩第二次成绩甲乙在位同学中，有 位同学第一次成绩比第二次成绩高．在甲、乙两位同学中，第三次成绩高的是 ．(填“甲”或“乙”)．三、解答题（共68分）17.（1）（2）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形是平行四边形．求作：菱形（点在上，点在上）．作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；②以为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．所以四边形为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）完成下面的证明．证明：∵，，∴．在 中，．即．∴四边形为平行四边形．∵，∴四边形为菱形（ ）（填推理的依据）．18.计算：．19.解不等式，并把解集在数轴上表示出来．20.（1）（2）关于的一元二次方程．求证：方程总有两个实数根．若方程有一根大于，求的取值范围．21.（1）（2）如图，在中，，为中点，，且．求证：四边形是矩形．连接交于点，若，，求的长．22.（1）（2）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点是．求和的值．设点是双曲线上一点，直线与轴交于点，若，结合图象，直接写出点的坐标．23.年中国北京世界园艺博览会已于年月日在北京市延庆区开展，吸引了大批游客参观游览．五一小长假期间平均每天入园人数大约是万人，佳佳等名同学组成的学习小组，随机调查了五一假期中入园参观的部分游客，获得了他们在园内参观所用时间，并对数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息．参观时间的频数分布表如下：（1）（2）（3）（4）时间（时）频数（人数）频率合计．参观时间的频数分布直方图如下：频数人数时间时（）根据以上图表提供的信息，解答下列问题：这里采用的调查方式是 ．表中，， ．并请补全频数分布直方图．请你估算五一假期中平均每天参观时间小于小时的游客约有多少万人？24.（1）（2）如图，⊙是的外接圆，连接，过点作交的延长线于点，．求证：是⊙的切线．若，⊙的半径为，求的长．25.（1）（2）（3）如图，点是所对弦上一动点，点在的延长线上，过点作交于点，连接，已知，，设，两点间的距离为，的面积为．（当点与点，重合时，的值为．）小亮根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为时，的长度约为．26.（1）（2）（3）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．试用含的代数式表示抛物线的顶点坐标．将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线与轴交于点，若，，求的值．已知，，在（）的条件下，当线段与抛物线只有一个公共点时，直接写出的取值范围．27.如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．（1）（2）（3）求证：．延长交于点，求证：为的中点．若的边长为，直接写出的最大值．28.（1）（2）（3）对于平面直角坐标系中的图形和直线，给出如下定义：为图形上任意一点，为直线上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形和直线之间的“确定距离”，记作（，直线）．已知，．求（，直线）．⊙的圆心为，半径为，若（⊙，直线），直接写出的取值范围．记函数，的图象为图形．若（，直线），直接写出的值．2019年北京东城区初三二模数学试卷(详解)一、选择题（本题共16分，每小题2分）2. A.B.C. D.【答案】【解析】若，则实数在数轴上对应的点的大致位置是（ ）．C ∵，∴点应该在之间．故选．3.主视图左视图俯视图A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥【答案】下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）．D1. A.B.C.D.【答案】【解析】若分式有意义，则的取值范围是（ ）．A ∵有意义，∴，解得．4. A. B. C. D.【答案】【解析】二元一次方程组的解为（ ）．A ①②，得，得，①②，得，得．故选．①②5. A. B. C. D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】下列图形中，是中心对称图形但轴对称图形的是（ ）．C是轴对称图形，不是中心对称图形．是轴对称图形，也是中心对称图形．不是轴对称图形，是中心对称图形．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选 C .不.是.6. A.B. C. D.【答案】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段沿某一方向平移后，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）．B【解析】∵点坐标为，点坐标为，将线段平移至，点的对应点的坐标为，∴向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，∴点的对应点的坐标为．故选：．7. A.米 B.米 C.米 D.米【答案】【解析】如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道（点、在同一水平面上）．为了测量、两地之间的距离，一架直升飞机从地起飞，垂直上升米到达处，在处观察地的俯角为，则、两地之间的距离约为（ ）．C由题意得：，在中，，∴米．故选．8. A.B. C.D.【答案】如图，动点从菱形的顶点出发，沿以的速度运动到点．设点的运动时间为（），的面积为（）．表示与的函数关系的图象如图所示，则的值为（ ）．图图B【解析】由函数图象知：，．又∵．∴，∴在中，，，由勾股定理得：，∴，∴在中，，，，由勾股定理得：，解得．故选．二、填空题（本题共16分，每小题2分）分解因式： ．9.【答案】【解析】．10.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 ．甲乙丙丁【答案】【解析】丙因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．11.【答案】【解析】如果，那么代数式的值是 ．．12.【答案】方法一：方法二：【解析】如图所示的网格是正方形网格，点，，，均落在格点上，则．量角器量取即可．∵，，又∵，，∴．13.【答案】【解析】如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线 相交于点，则关于的不等式的解集是 ．由图象可得当时，．14.【答案】【解析】用一组，的值说明命题“若，则一次函数的图象经过第一、二、三象限”是错误的，这组值可以是 ， ．; 不唯一，，即可．15.【答案】【解析】如图，，，，为上的点，，，则圆心到弦的距离为 ．延长交与点，连接．≌，∴，∵是直径，∴，∵是的中点，过作，∴是的中位线，∴．16.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】运算能力是一项重要的数学能力．王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中位同学的测试成绩．（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高）．第一次成绩第二次成绩甲乙在位同学中，有 位同学第一次成绩比第二次成绩高．在甲、乙两位同学中，第三次成绩高的是 ．(填“甲”或“乙”)．甲在位同学中，有个同学横的横坐标比纵坐标大，所以有位同学第一次成绩比第二次成绩高；故答案为：；在甲、乙两位同学中，根据甲、乙两位同学的位置可知第一次和第二次成绩的平均分差不多，而甲的气泡大，表示三次成绩的平均分的高，所以第三次成绩高的是甲．故答案为：甲．三、解答题（共68分）17.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形是平行四边形．求作：菱形（点在上，点在上）．作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；②以为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．所以四边形为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）完成下面的证明．证明：∵，，∴．在 中，．即．∴四边形为平行四边形．∵，∴四边形为菱形（ ）（填推理的依据）．画图见解析．；；一组邻边相等的平行四边形是菱形．解析见图片，如下图：∵，，∴ ．即．∴四边形为平行四边形．∵，∴四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形 ）（填推理的依据）．18.【答案】【解析】计算：．．原式．19.【答案】【解析】解不等式，并把解集在数轴上表示出来．原不等式的解集为；画图见解析．，，，．在数轴上表示如图所示：20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】关于的一元二次方程．求证：方程总有两个实数根．若方程有一根大于，求的取值范围．证明见解析．．∵．（2）∴方程有两个实数根．，∴，∴，．∵若方程有一根大于，∴，∴．21.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】如图，在中，，为中点，，且．求证：四边形是矩形．连接交于点，若，，求的长．证明见解析．．∵，，∴四边形是平行四边形，∵，为中点，∴，∴，∴四边形是矩形．∵四边形是矩形，∴ ，∵，，∴，，∴，∵，∴∴，∴．故答案为：．22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点是．求和的值．设点是双曲线上一点，直线与轴交于点，若，结合图象，直接写出点的坐标．，．或．把代入，得，把代入，得．或．23.年中国北京世界园艺博览会已于年月日在北京市延庆区开展，吸引了大批游客参观游览．五一小长假期间平均每天入园人数大约是万人，佳佳等名同学组成的学习小组，随机调查了五一假期中入园参观的部分游客，获得了他们在园内参观所用时间，并对数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息．参观时间的频数分布表如下：时间（时）频数（人数）频率合计．参观时间的频数分布直方图如下：（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】频数人数时间时（）根据以上图表提供的信息，解答下列问题：这里采用的调查方式是 ．表中，， ．并请补全频数分布直方图．请你估算五一假期中平均每天参观时间小于小时的游客约有多少万人？抽样调查;;画图见解析．万人．同学们随机调查了部分游客，所以是抽样调查．①由表格中一组中，人数是人，频率为，得总人数：（人），所以．②人，所以．③人，所以．解析见图片，如下图：频数人数时间时（）在样本数据中，小于小时共占．所以约占（万人）．24.如图，⊙是的外接圆，连接，过点作交的延长线于点，．（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】求证：是⊙的切线．若，⊙的半径为，求的长．证明见解析．．如图，连接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴， ∵是⊙的半径，∴是⊙的切线．如图，作于点，由（）可知，，∵，∴， 在中，，，∴，，在中，，，∴，∴，∴．25.（1）（2）（3）（1）【答案】如图，点是所对弦上一动点，点在的延长线上，过点作交于点，连接，已知，，设，两点间的距离为，的面积为．（当点与点，重合时，的值为．）小亮根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为时，的长度约为 ．（2）（3）（1）（2）（3）【解析】画图见解析．或画图，测量，时，，故面积：．故答案为：画出函数图象．在图象中，可找到当时，或．故答案为：或．26.（1）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．试用含的代数式表示抛物线的顶点坐标．（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线与轴交于点，若，，求的值．已知，，在（）的条件下，当线段与抛物线只有一个公共点时，直接写出的取值范围．．．或．∵，∴抛物线的顶点坐标为．由对称性可知，点到直线的距离为，∴，∴，∵，∴．的取值范围为：或．27.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．求证：．延长交于点，求证：为的中点．若的边长为，直接写出的最大值．证明见解析．证明见解析．．（1）（2）【解析】∵线段绕点逆时针旋转得到线段，∴是等边三角形，在等边和等边中，，，，∴，在和中，，∴≌，∴．如图，过点作交的延长线于点，∴，∵，，∴，∴，由（）可知，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，（3）∴，即为的中点．．28.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）【解析】对于平面直角坐标系中的图形和直线，给出如下定义：为图形上任意一点，为直线上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形和直线之间的“确定距离”，记作（，直线）．已知，．求（，直线）．⊙的圆心为，半径为，若（⊙，直线），直接写出的取值范围．记函数，的图象为图形．若（，直线），直接写出的值．．．或．∵，，∴是等腰直角三角形，如图，作于点，x2y24O ∴点是的中点．∵，∴（点，直线）．如图所示，①当圆在直线右侧时，作，x246y–224O（3）且时，（⊙，直线），由题意得为等腰直角三角形，∴，∴．②当圆在直线左侧时，由对称性得，∴，综上，．①当时，如图函数图象，∴，即，解得，∵，即，将代入中，得．②当时，如图图象，∴，即，解得，∴，即，将代入中，得，综上所述：或．。
北京市东城区2019-2020学年中考数学仿真第二次备考试题含解析
北京市东城区2019-2020学年中考数学仿真第二次备考试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列各式：①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243=22；其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个2．计算（﹣12）﹣1的结果是（ ） A ．﹣12B ．12C ．2D ．﹣23．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>；230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④4．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 、D 是半圆O 的三等分点，弦2CD =.现将一飞镖掷向该图，则飞镖落在阴影区域的概率为( )A ．19B ．29C ．23D ．135．如图，点D 在△ABC 边延长线上，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线EF ∥BC ，交∠BCA 的平分线于点F ，交∠BCA 的外角平分线于E,当点O 在线段AC 上移动（不与点A ，C 重合）时，下列结论不一定成立的是（ ）A ．2∠ACE=∠BAC+∠B B ．EF=2OC C ．∠FCE=90°D ．四边形AFCE是矩形6．七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下：甲组158 159 160 160 160 161 169乙组158 159 160 161 161 163 165以下叙述错误的是（）A．甲组同学身高的众数是160B．乙组同学身高的中位数是161C．甲组同学身高的平均数是161D．两组相比，乙组同学身高的方差大7．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB 于点E，F，则DE的长是（）A．5B．136C．1 D．568．如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案中共有（）和黑子．A．37 B．42 C．73 D．1219．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为250000m2，则250000用科学记数法表示为( )A．25×104m2B．0.25×106m2C．2.5×105m2D．2.5×106m210．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（）A．27分钟B．20分钟C．13分钟D．7分钟11．半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A．3 B．4 C．5D．712．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤23AM MF=．其中正确结论的是（）A．①③④B．②④⑤C．①③⑤D．①③④⑤二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若AC＝3DF，则OE：EB＝_____．14．为了了解贯彻执行国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况，将某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制成了如图所示的条形统计图，根据统计图提供的数据，该班50名同学一周参加体育锻炼时间的中位数与众数之和为_____．15．若正n边形的内角为140︒，则边数n为_____________.16．2018年5月13日，中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务，其排水量超过6万吨，将数60000用科学记数法表示应为_______________.17．如图，已知圆柱底面周长为6cm ，圆柱高为2cm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为_____cm ．18．如图所示，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，将△ABC 中的∠A 沿DE 向下翻折，使点A 落在点C 处．若AE=3，则BC 的长是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某校初三进行了第三次模拟考试，该校领导为了了解学生的数学考试情况，抽样调查了部分学生的数学成绩，并将抽样的数据进行了如下整理．（1）填空m =_______，n =_______，数学成绩的中位数所在的等级_________． （2）如果该校有1200名学生参加了本次模拟测，估计D 等级的人数；（3）已知抽样调查学生的数学成绩平均分为102分，求A 级学生的数学成绩的平均分数． ①如下分数段整理样本 等级等级分数段各组总分人数 A110120X <≤ P4B100110X <≤ 843 n C90100X <≤ 574 mD8090X <≤1712②根据上表绘制扇形统计图20．（6分）如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，连接AF ，求∠OFA 的度数21．（6分）已知：如图，在半径是4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，M 是OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞MC ，连接DE ，DE=15． （1）求证：△AMC ∽△EMB ； （2）求EM 的长； （3）求sin ∠EOB 的值．22．（8分）先化简，再求值：22111211a a a a a a ---÷----，其中21a =．23．（8分）已知抛物线，2:3L y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A B -、两点，与y 轴交于点C ，且抛物线L 的对称轴为直线1x =．（1）抛物线的表达式；（2）若抛物线'L 与抛物线L 关于直线x m =对称，抛物线'L 与x 轴交于点','A B 两点（点'A 在点'B 左侧），要使'2ABC A BC S S ∆∆=，求所有满足条件的抛物线'L 的表达式．24．（10分）某门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元．该门市为促销制定了两种优惠方案：方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品； 方案二：按购买金额打八折付款．某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x()件．(1)分别直接写出优惠方案一购买费用(元)、优惠方案二购买费用(元)与所买乙种商品x(件)之间的函数关系式；(2)若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件．设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，其余按方案二的优惠办法购买．请你写出总费用w与m之间的关系式；利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠．25．（10分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B、点C均落在格点上．（I）计算△ABC的边AC的长为_____．（II）点P、Q分别为边AB、AC上的动点，连接PQ、QB．当PQ+QB取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ、QB，并简要说明点P、Q的位置是如何找到的_____（不要求证明）．26．（12分）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD 于点E．（1）求证：DE＝DB：（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长27．（12分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点，点D是弧BC中点，过点D作⊙O切线DF，连接AC并延长交DF于点E．（1）求证：AE⊥EF；（2）若圆的半径为5，BD＝6 求AE的长度．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】17=1不能计算；，正确.故选A.2．D【解析】【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【详解】解：1112122-⎛⎫-==-⎪⎝⎭-，故选D．【点睛】本题考查了负整数指数幂，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．3．D【解析】【分析】根据抛物线开口方向得到a0>，根据对称轴02bxa=->得到b0<，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c0<，所以0abc>；1x=-时，由图像可知此时0y>，所以0a b c-+>；由对称轴123bxa=-=，可得230a b+=；当2x=时，由图像可知此时0y>，即420a b c++>，将23a b=-代入可得40c b->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。