费马原理
费马原理证明反射定律和折射定律
费马原理证明反射定律和折射定律1. 引言嘿，大家好！今天我们聊聊光的旅行，这可是个让人兴奋的话题，尤其是当我们谈到反射和折射的时候。
你有没有想过，光线是怎么“选择”最短的路走到目的地的？别急，咱们要通过费马原理来揭开这个谜底。
费马可是个大牛，他告诉我们光总是选择“最省事”的方式，简直就像我们在公交车上总是找最近的站一样。
接下来，让我们一起看看这个原理是怎么工作的吧！2. 费马原理的基础2.1 什么是费马原理？好吧，先来聊聊费马原理是什么。
简单来说，费马原理就是光线在不同介质中传播时，总是选择“最短时间”的路径。
就像你去超市，总是选择离家最近的那条路，不会绕远路。
光线也是一样，它不会自找麻烦，偏偏走一条冤屈的路去达到目的地。
想象一下，光线在空气中飞快地穿行，突然遇到水面，它的速度会改变，就像你在路上踩油门，突然遇到红灯，不得不停下。
2.2 光的反射和折射光的反射就像是你在镜子前照镜子时，那光线碰到镜子就会反弹回来。
折射呢，就是光线从一种介质（比如空气）进入另一种介质（比如水）时，速度变化导致光线改变方向。
这个变化就像你在沙滩上走，突然踩到了水中，脚下的感觉完全不同。
光线在这两种情况下都在遵循费马的“最短时间”原则。
3. 反射定律的证明3.1 反射定律的来临现在我们来聊聊反射定律。
反射定律说的是入射角等于反射角。
换句话说，就是你往镜子里看，光线的反射角和入射角完全一致。
我们可以想象一下，光线以一个角度“飞”到镜子上，然后同样的角度“飞”回来。
根据费马原理，光线为了最短的时间，必然选择了这个“合适”的角度，才能够高效反弹。
就像你抛一个球，它总会以同样的角度反弹回来，不会乱七八糟的。
3.2 从几何角度理解如果用几何的眼光看待这个问题，假设光线从A点出发，经过镜子反射到B点。
根据费马原理，光线在A到镜子再到B的路程中，要是能保持入射角和反射角相等，那就能确保这个路径是最短的。
这样一来，反射定律就不攻自破，简单明了。
费马原理ppt课件
由光程取极值:
(n1l1 n2l2 ) 0 (n1l1 n2l2 ) 0
y
x
(n1l1 n2l2 ) n1 y n2 y 0
y
l1 l2
(n1l1 n2l2 ) x
n1
x
x1 l1
n2
x2 l2
x
0
x
x1 l1
sin i1
x2 l2
x
sin i2
n1 sin i1 n2 sin i2
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4. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的 传播方向。若路径AB的路径取极值，则其逆路径BA的 光程也取极值——包含了光的可逆性。
11
例一 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后， 会聚于焦点F。试证所有这些光到达焦点上光程相等。
M
A1 N
12
M
A1 A2
P1
Q1
P2
Q2
F N
分析：
F 为抛物面的焦点，MN为其准线
抛物线性质
P1F P1Q1 P2F P2Q2 则 A1P1 P1F A2P2 P2F
即
[ A1P1F ] [ A2P2F ]
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知， 光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平 行光束。
13
例二 折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为 ，
在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点 O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面
波，试求界面 的形状。（ n1 > n2 ）
z sC
P A M
Q Q
n1 O O
n2 N N
14
z
P A M
费马原理的内容
费马原理的内容
费马原理最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1660年提出,又名“最短光时”原理。
费马原理：光沿着所需时间为平稳的路径传播.（所谓的平稳是数学上的变分概念,可以简单理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点.多数情况是极小值.宇宙学中指的时空透镜就是极大值,椭圆状镜面的表面则是拐点.）
光程 s=n l(n 为光所在介质的折射率,l为几何路程) 又因为 n=c/v 和
l=vt 所以得到 s=ct. 由此可见,光在某种介质中的光程等于同一时间内光在真空中所走的几何路程。
费马原理指出,光从一点传播到另一点,其间无论经过多少次折射和反射,光程为极值.也就是说,光是沿着光程为极值（极大值、极小值或常量）的路径传播的。
费马原理为几何光学中的基本原理，费马原理也被称为最短时间原理。
通过费马原理可以推导斯涅尔定律、反射定律和光线传播定律。
以及有关各种光学器件的定理也可以从费马原理或上述定律中推导出来。
费马原理的精确表示：在光运动的各种情形下，光会沿着一阶变量为0的路径传播。
这种表述较最短时间原理相比更为准确，在反射定律的例子中，光沿着入射角等于出射角的路径传播。
可是依据最短时间，光线并没有沿着最短的路径传播，毕竟两点之间线段最短。
因此在存在约束的条件下，“在光运动的各种情形下，光会沿着一阶变量为0的路径传播”此表述更为精确。
通过费马原理可以推导出光沿着直线传播，因为相同的一束光在同一种介质内的传播速度相同，所以若这一束光要从点A传播至点B，则根据两点之间线段最短得到光线将沿着此先短传播。
十大著名物理定理
十大著名物理定理物理学是自然科学的重要分支，研究物质、能量以及它们之间的相互作用。
在物理学的发展过程中，许多重要的定理被提出并被广泛应用。
以下是十大著名物理定理的介绍。
1. 费马原理费马原理是光学中的基本原理之一，它阐述了光线在两点之间传播时所遵循的最短时间路径。
根据费马原理，光线在两点之间的传播路径是使得光程取极值的路径，这一路径被称为光线的轨迹。
费马原理在光学设计和成像中有广泛的应用。
2. 等效原理等效原理是爱因斯坦提出的一项重要物理定理，它描述了引力和加速度之间的等效关系。
根据等效原理，质量产生的引力效应与物体的加速度效应等效，即质量决定了物体对引力的响应。
这一原理是广义相对论的基础，对解释引力以及宇宙的演化具有重要意义。
3. 热力学第一定律热力学第一定律，也称为能量守恒定律，阐述了能量在物理系统中的转化和守恒关系。
根据热力学第一定律，一个系统的内能变化等于吸收的热量与做功的和。
这一定律在能量转化和热力学循环等方面有重要应用。
4. 电磁感应定律电磁感应定律是描述磁场和电场相互作用的重要定理。
法拉第定律和楞次定律是电磁感应定律的两个主要方面。
根据法拉第定律，当一个闭合线圈中的磁通量发生变化时，将在线圈中产生感应电动势。
根据楞次定律，感应电动势的方向使得感应电流产生的磁场抵消磁通量的变化。
5. 熵增定律熵增定律是热力学中的重要定理，描述了在孤立系统中熵的增加趋势。
根据熵增定律，封闭系统的熵总是趋向于增加，而不会减少。
这一定律对解释自然界中的不可逆过程和热力学平衡有重要意义。
6. 相对论狭义和广义相对论是爱因斯坦提出的一套重要物理理论，包括狭义相对论和广义相对论。
狭义相对论描述了高速运动物体的相对性原理，推翻了牛顿力学的观念。
广义相对论则是更一般的相对论理论，描述了引力的几何性质和时空的弯曲。
7. 不确定性原理不确定性原理是量子力学中的基本原理之一，提出了测量精度的限制。
根据不确定性原理，无法同时准确测量粒子的位置和动量，以及能量和时间。
费马定理
费马原理定义：最小光程原理。
光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径。
应用学科：费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。
因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。
光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
地震学中的费马原理地震波沿射线传播的旅行时和沿其他路径传播的旅行时相比为最小，亦是波沿旅行时最小的路径传播。
光学中的费马原理光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径[1]。
在大部分情况下，此极值为最小值，但有时为最大值，有时为恒定值。
费马原理详解光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
又称最小时间原理或极短光程原理，法国数学家费马于1657年首先提出。
设介质折射率n在空间作连续变化，光传播路程ds 所需时间为式中c为真空中的光速。
光沿ACB曲线从A点传播到B点所需时间为费马原理指出了光传播的实际路径，这是一条所需时间τ为极小值的路径。
实际上τ除取极小值外，还可取极大值或稳定值，总之，τ应取极值。
光在介质中传播时，光传播的几何路程与介质折射率之乘积称为光程。
上式中的积分就是光沿ACB曲线从A点传到B点的总光程。
故费马原理也可表述为：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。
光程取极值的条件为光程的一级变分等于零，即此即费马原理的数学表达式。
费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
费马原理的应用例子
费马原理的应用例子1. 费马原理简介费马原理是由17世纪法国数学家费马提出的一条关于光的传播规律的基本原理。
该原理指出光在两点间传播时，会沿着路径所需时间最短的方向传播。
费马原理在光的传播、折射、反射等现象的解释和应用方面有重要作用。
以下是几个具体的应用例子。
2. 光的折射光在从一种介质到另一种介质传播时，会发生折射现象。
费马原理可以用来解释光的折射规律。
当光从一种介质进入另一种介质时，光线在两种介质的交界面上会发生折射，折射角和入射角之间遵循斯涅尔定律。
应用举例：水中的游泳池底部的边缘会出现一种“抬高”的幻觉。
这是因为光在水和空气之间折射的结果。
根据费马原理，光线会选择经过所需时间最短的路路径传播，所以我们看到的位置略高于实际位置。
3. 光的反射光在遇到光滑的表面时，会发生反射现象。
费马原理可以用来解释光的反射规律。
根据费马原理，光线在反射时会选择经过所需时间最短的路径。
光线的入射角等于反射角，根据这个原理可以推导出光的反射规律。
应用举例：我们常见的镜子就是利用光的反射原理制作的。
镜子表面光滑致使光线在入射时发生反射。
通过调整镜子的形状，我们可以改变反射光线的方向，实现镜面成像。
4. 光的路径优化费马原理可以应用于光的路径优化问题。
根据费马原理，光在传播过程中会选择所需时间最短的路径。
因此，当需要设计光学系统时，可以利用费马原理来优化光路径，使得光能够以最短的时间到达目标位置。
应用举例：激光切割机是一种利用激光束进行切割的设备。
设计激光切割机的时候，可以利用费马原理来优化激光束的路径，使得激光能够以最短的路径到达需要切割的位置，提高切割精度和效率。
5. 光学薄膜设计光学薄膜设计是利用光的干涉和反射原理来制备具有特定光学性质的薄膜材料。
费马原理是光学薄膜设计中的一个基本原理，可以用来优化光的传播过程，从而实现特定的光学效果。
应用举例：太阳能电池板上常用的反射膜就是利用光学薄膜设计制备的。
通过控制反射膜的厚度和折射率，可以达到减少反射和提高光吸收效率的目的。
费马原理推导折射公式
费马原理推导折射公式费马原理，这个名字听起来很高大上，其实说白了就是光线在传播的时候，总是选择一条“最省时间”的路线。
想象一下，你和朋友约好一起去吃饭，你肯定不会绕远路吧？光线也是这个道理，哪条路最快，它就走哪条。
真是个聪明的家伙，对吧？所以，费马原理就像一个聪明的导航系统，帮助光线在各种介质中穿梭。
好，我们先来个简单的比喻。
你在海滩上玩耍，突然想要去对面的小岛。
海水、沙滩都让你左右为难，嘿，你知道吗？光线也是如此！当它从空气跳进水里，速度就得慢下来，就像你在沙滩上走路变得有点别扭。
此时，光线就会找一条“捷径”，那就是它在不同介质中折射的过程。
这时，咱们就得用到一个数学工具，叫做折射率。
这玩意儿就像是介质的“身份证”，告诉你在每个介质中光速的变化。
我们来看看折射公式，挺有意思的。
它的样子就是：n₁*sin(θ₁) = n₂*sin(θ₂)。
这意味着，入射光线和折射光线之间的关系就像是一场舞会，大家都得遵守规矩，才能跳得欢快。
n₁和n₂就代表着两种不同介质的折射率，而θ₁和θ₂则是光线与法线之间的夹角。
你看，这不就像是大家在聚会时，尽量保持一定的距离，避免撞到一起吗？在实际生活中，这个公式真的是用得上，像是你在水边看一个物体时，它看起来总是“歪歪扭扭”的。
物体的真实位置和你看到的地方并不一致。
费马原理告诉我们，光线在水中折射时，像是调皮的小孩，总是要选择那些最有趣的路线。
说实话，这也反映了生活的真谛：总要选那条最方便的路走。
再聊聊这折射现象。
想想在夏天，阳光透过水面，波光粼粼，就像无数小精灵在水中舞蹈。
可是当你试图去抓住这些光线的时候，嘿，光线就玩起了捉迷藏，跑到了另一个地方。
这时，你就得明白，光线在水中是怎么“变换身份”的。
它就像是一个变色龙，随时准备转换状态，绝对让你眼前一亮。
所以，每当你看到彩虹，或者是那水中的倒影，别忘了，这背后可是有费马原理在默默支持。
光线的折射现象让我们看到了自然的美好，生活的奇妙。
费马定理
三.费马原理的应用
光程最小即为路程最短,根据直线是两点间最短距 离这一几何公理,对于真空或均匀介质,费马原理 可直接得到光线的直线传播定律. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的
传播方向.若路径AB的光程取极值,则其逆路径BA
的光程也取极值——包含了光的可逆性.
11
光程为极值的例子
6
1.均匀介质中光程
l nl
2.如果光从A点出发,经过 k 种不同的均匀介质
而到达B点,则总光程为：
l1
A v1
l2 v 2
l3 v 3
li v i
lk v k
B
l ni li
i 1
k
7
3.若由A到B充满着折射律连续变化的介质, 则光由A到B的总光程为
[ L]
B
A
实像和虚像
1.单心光束：凡具有单个顶点的光束.
发散单 心光束
会聚单 心光束
16
光线经反射或折射后,如果光束的单心性没有 2.像：
被破坏,即虽然光线的方向改变了,但光束中仍
能找到一个顶点,这个顶点就叫做发光点的像.
实像
反射和折射后实际光线的汇聚点.
虚像
反射和折射后实际光线的反向延长线的汇聚点.
17
复 习
几何光学的基本实验定律
1.光在均匀介质中的直线传播定律 2.光在两种介质分解面的反射定律和折射定律 3.光的独立传播定律和光路可逆原理
1
§1.2 费马原理
费马原理是一个描述光线传播行为的原理.
光
程
费马原理的表述 费马原理的应用
2
一. 光 程
定义：
l nl
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t [l] nl [l] ct cc
2. 光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在真 空中所能传播的路程。
◆ 分区均匀介质:
k
[l] 1 k
[l] nili
i 1 nili
◆ 连续介质:
[l] ndl (l)
二.费马原理的表述及讨论
空间中两点间的实际光线路 径是所经历光程的平稳路径
即
[ A1P1F ] [ A2P2F ]
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知， 光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平 行光束。
例二 折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为 ，
在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点 O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面
利用梯度折射率介质中光线的弯曲,可以表解释蜃景的 现象
例一 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后，
会聚于焦点F。试证所有这些光到达焦点上光程相等。
分析：
M
A1 A2
P1
Q1
P2
Q2
F 为抛物面的焦点，MN为其准线
F
抛物线性质
N
P1F P1Q1 P2F P2Q2
则 A1P1 P1F A2P2 P2F
三.费马原理的应用
1. 根据直线是两点间最短距离这一几何公理,对于真空 或均匀介质,费马原理可直接得到光线的直线传播定律。
2. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的 传播方向。若路径AB的路径取极值，则其逆路径BA的 光程也取极值——包含了光的可逆性。
3. 由费马原理导出光的反射定律
AB的光程为
(x n2d )2 n1 n2
d 2n12 /(n1 n2 )2
(n1
z2 n2 )d 2 /(n1 n2 )
1
z P A M
Q Q
s C n1 O O
n2 N N
S 是一个焦点
椭圆的几何参量：
中心 [n2d /(n1 n2 ), 0] a n1d /(n1 n2 ) b (n1 n2 ) /(n1 n2 )d
波，试求界面 的形状。（ n1 > n2 ）
z P A M
Q Q
s C n1 O O
n2 N N
S 是一个焦点
解：S 发出的球面波经 面折射后 成平面波，各折射光线路径是等 光程。
P(x, y)
n1SP n2PQ n1SO
上式化为 n1(x2 z 2 )1/ 2 n2 (d x) n1d
平稳：当光线以任何方式对该路径有无限小的偏离时， 相应的光程的一阶改变量为零。如果有改变只能是二阶 或二阶以上的无限小量。
换言之：在A、B两点间光线传播的实际路径，与任何 其他可能路径相比其光程为极值，极值为极大或极小或 恒定值。即光线的实际路径上光程变分为零：
B
[l] A ndl 0
两点之间光沿着所需时间为极值的路径传播
2c 2 a2 b2 2n2d /(n1 n2 ) 偏心率e n2 1
n1
[l] n1AM n2M B n1 (x x1)2 y12 z2 n1 (x x2 )2 y22 z2
光程取极值
[l] x
1
n1(x x1)
(x x1)2 y12 z2
n1(x x2 )
0
(x x2 )2 y22 z2
[l]
n1z
n1z
0
z
(x x1)2 y12 z 2
(n1l1 n2l2 ) 0 (n1l1 n2l2 ) 0
y
x
(n1l1 n2l2 ) n1 y n2 y 0
y
l1 l2
(n1l1 n2l2 ) x
n1
x x1 l1
n2
x2 l2
x
0
x
x1 l1
sin
i1
x2 l2
x
sin
i2
n1 sin i1 n2 sin i2
四.梯度折射率介质中光线的弯曲 即为折射率随不同位置呈连续变化的介质
CH 1-2
费马原理
principle of Fermat
1.2 费马原理
费马原理是一个描述光线传播行为的原理 一.光程
在均匀介质中,光程[l ]为光在介质中通过的几何路程 l
与该介质的折射率 n 的乘积： [l] nl
n c [l] l
c
l t [l]
c
1. 直接用真空中的光速来计算光在不同介质中通过一 定几何路程所需要的时间。
x x2
sin i
(x x2 )2 y22
i i
4. 由费马原理导出折射定律
P(x, y, z) A(x1, y, z1) B(x2 , y, z2 )
[ APB] n1l1 n2l2 l1 z12 (x x1)2 y2 l2 z22 (x x2 )2 y2
由光程取极值:
实际光程在不同情况下相应于极大值、极小值和拐点
变分：对一般一元或多元函数，当自变量发生变化时， 函数的一阶或高阶改变量可以表示为函数的一阶或高阶 微分。但光程与一般的空间坐标函数不同，对给定点A B，每一可能的光线路径均为空间坐标函数，而光程一 般随不同路径而变化，即它可以称为函数的函数，这时 光程的改变一般称为变分。
(x x2 )2 y22 z2
z 0
入射线和反射线应在xy平面内. M (x,0, z) M (x,0,0)
AM MB AM M B 光程[l]取极小值
z0
有
n1(x x1) n1(x2 x)
(x x1)2 y12
(x x2 )2 y22
x x1
sin i
(x x1)2 y12