高三数学二模试题文
2024年上海静安区高三二模数学试卷和答案
上海静安区2023-2024学年第二学期教学质量调研高三数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．2024.4一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．1．中国国旗上所有颜色组成的集合为________．2．已知i 是虚数单位，复数i2i++=m z 是纯虚数，则实数m 的值为________．3．函数xxy +-=21ln的定义域为________．4．若单位向量a 、b 满足⊥a b，则=-||a ________．5．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩X 服从正态分布),100(2σN （试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间]120,80[的学生人数约为_______．6．已知物体的位移d (单位：m)与时间t (单位：s)满足函数关系t d sin 2=，则在时间段)6,2(∈t 内，物体的瞬时速度为s /m 1的时刻=t _______(单位：s)．7．已知等比数列的前n 项和为a S nn +⎪⎭⎫⎝⎛=21，则a 的值为________．8．在下列关于实数b a 、的四个不等式中，恒成立的是_______．(请填入全部正确的序号)①ab b a 2≥+；②ab b a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+22；③||||||b a b a -≤-；④1222-≥+b b a ．9．正四棱锥ABCD P -底面边长为2，高为3，则点A 到不经过点A 的侧面的距离为_______．10．某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有i (=i 0,1,2)个次品的概率如下：一批产品中有次品的个数i012概率0.30.50.2则各批产品通过检查的概率为________．(精确到0.01)11．已知实数)6,0(∈a ，记))(a x x x f -=．若函数)(x f y =在区间[]2,0上的最小值为2-，则a 的值为________．12．我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点),(y x P 都满足方程022||2||222=+-+-y x y y x x ．现将一边在x 轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,22M 到“爱心线”上任意一点的最小距离为d ，则用d 表示心吧面积的最大值为_______．xy O二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．13．函数)(cos sin 2R ∈-=x x x y 的最小正周期为…………………………………………()A ．2π；B ．π；C ．23π；D ．2π．14．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是………()A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；B ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β；C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；D ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β．15．设1>a ，则双曲线1)1(2222=+-a y a x 的离心率e 的取值范围是…………………………()A ．)2,2(；B ．)5,2(；C ．)5,2(；D ．)5,2(．16．如果一个非空集合G 上定义了一个运算*，满足如下性质，则称G 关于运算*构成一个群．(1)封闭性，即对于任意的G b a ∈,，有G b a ∈*；(2)结合律，即对于任意的G c b a ∈,,，有))(c b a c b a **=**（；(3)对于任意的G b a ∈,，方程b a x =*与b y a =*在G 中都有解．例如，整数集Z 关于整数的加法(+)构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的∈b a ,Z ，方程b a x =+与b y a =+都有整数解；而实数集R 关于实数的乘法(⨯)不构成群，因为方程10=⨯y 没有实数解．以下关于“群”的真命题有………………………………………………………………()1自然数集N 关于自然数的加法(+)构成群；2有理数集Q 关于有理数的乘法(⨯)构成群；3平面向量集关于向量的数量积(⋅)构成群；4复数集C 关于复数的加法(+)构成群．A ．0个；B ．1个；C ．2个；D ．3个．三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(满分12分)共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3=a ，5=b ，7=c ．(1)求角C 的大小；(2)求)sin(C A +的值．18．(满分15分)共3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．某高中随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[)165,160,[)170,165,[)175,170,[)180,175,[]185,180分组，得到样本身高的频率分布直方图(如下图所示).(1)求身高不低于170cm 的学生人数；(2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为A ，B ，C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求B 组中至少有1人被抽中的概率．19．(满分15分)共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分．如图1所示，ABCD 是水平放置的矩形，32=AB ，2=BC ．如图2所示，将ABD 沿矩形的对角线BD 向上翻折，使得平面⊥ABD 平面BCD ．(1)求四面体ABCD 的体积V ；(2)试判断与证明以下两个问题：①在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得AD l ⊥？②在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得AD l //？ABCD ABCD图1图220．(满分18分)共3个小题，每个小题均是满分6分．江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A 与点B ．现在准备以地平面上的点C 与点D 为起点建造上、下桥坡道，要求：①AC BD =；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为22:1(坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比)；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；(精确到0.1米)(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由(如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算)．21．(满分18分)共3个小题，第一小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知R ∈k ，记x x a k a x f -⋅+=)((0>a 且1≠a )．(1)当e =a (e 是自然对数的底)时，试讨论函数)(x f y =的单调性和最值；(2)试讨论函数)(x f y =的奇偶性；(3)拓展与探究：①当k 在什么范围取值时，函数)(x f y =的图像在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数)(x f y =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．(不必证明)C DAB20米参考答案与评分标准一、1．{红，黄}；2．21-；3．)1,2(-；4．2；5．1360；6．5π3；7．1-；8．②③④；9．5；10．0.91；11．3；12．225d -．二、13．A ；14．C ；15．D ．16．B ．三、17．解：(1)由余弦定理，有212cos 222-=-+=ab c b a C ，所以3π2=C …………………6分(2)解1：由正弦定理，有CcB b sin sin =，即.1435sin sin ==c C b B 所以B B C A sin )πsin()sin(=-=+.1435=………………………6分解2：由正弦定理，有C cA a sin sin =，即.1433sin sin ==c C a A 所以.1413sin 1cos 2=-=A A 故，.1435sin cos cos sin )sin(=+=+C A C A C A ………………………6分解3：由余弦定理，有14132cos 222=-+=bc a c b A ，所以.1433sin =A 故，.1435sin cos cos sin )sin(=+=+C A C A C A ………………………6分18．解:(1)由频率分布直方图可知515(0.070.040.020.01)x =-⨯+++，所以1[150.14]0.065x =-⨯=．身高在170cm 以上的学生人数为100(0.0650.0450.025)60⨯⨯+⨯+⨯=(人)．(2)A ,B ,C 三组的人数分别为30人,20人,10人.因此应该从A ,B ,C 三组中每组各抽取630360⨯=(人),620260⨯=(人),610160⨯=(人)．………………………4分设A 组的3位同学为1A ,2A ,3A ,B 组的2位同学为1B ,2B ,C 组的1位同学为1C ,则从6名学生中抽取2人有15种可能：12(,)A A ,13(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A C ,23(,)A A ,21(,)A B ,22(,)A B ,21(,)A C ,31(,)A B ,32(,)A B ,31(,)A C ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .其中B 组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .所以B 组中至少有1人被抽中的概率为93155P ==．……………6分19．解：(1)过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ．因为平面⊥ABD 平面BCD ，ABDEF有AE ⊥平面BCD，则AE =……………………4分所以11122332BCD V S AE ==⨯⨯⨯ △．………2分(2)①在平面BCD 上存在经过点C 的直线l ，使得AD l ⊥．……………………1分证明：过点C 作CF BD ⊥，垂足为F ．因为AE ⊥平面BCD ，则DE 为AD 在平面BCD 内的投影．由三垂线定理，CF AD ⊥，则存在l AD ⊥．……………………4分②在平面BCD 上不存在经过点C 的直线l ，使得AD l //……………………1分证明：假设存在//l AD ，因为AD 不在平面BCD 内，则//AD 平面BCD ，与AD 平面BCD D =矛盾．…3分所以不存在//l AD ．注：用异面直线判断定理证明给满分．20．解1：如图，以线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系.…………………1分……………………2分则，圆O 的方程为10022=+y x ；由221tan =C ，10=OE 得220=CE ，30=CO ．过点C 作圆O 的切线DE ，切点为E ，直线CE 的斜率为221，其方程为)30(221+=x y ．所以直线OE 的斜率为22-，其方程为x y 22-=，将其代入10022=+y x ，得点E 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3220,310．经过点D 作圆M 与圆O 切于点F （圆O 与y 轴的交点），设圆M 的半径为r ，则，222DM OM OD =+，即222)10(30r r =-+，解得50=r ．所以，圆M 的方程为22250)40(=++y x ，故，用函数表示过桥道路为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--<≤---<≤-+=.300,402500,0310,100,31030),30(22122x x x x x x y ……………………3分(2)解1：由点E 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3220,310，得22arctan 2π-=∠EOF ，CDAB20米E OFxy所以圆弧EF 的长为⎪⎭⎫⎝⎛-22arctan 2π10≈3.398，……………………2分由点D 的坐标为()0,30，点M 的坐标为()40,0-，得43arctan =∠DMF ，所以圆弧FD 的长为43arctan50≈32.175，……………………2分故，过桥道路的总长度为+220⎪⎭⎫⎝⎛-22arctan 2π1043arctan 50+9.63≈m ．……2分解2：(1)如图建系…………………………………………………………1分……………………2分作圆N 与x 轴相切于点D ，并和圆O 切于点G ，设圆M 的半径为r ，则，222ON DN OD =+，即222)10(30+=+r r ，解得40=r ．所以，圆N 的方程为22240)40()30(=-+-y x ，将直线OG 的方程代入10022=+y x 得，点G 的坐标为()6,8故，用函数表示过桥道路为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤---<≤---<≤-+=.306,)30(160040,6310,100,31030),30(22122x x x x x x y …………………3分(2)因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3220,310OE ，)8,6(=OG ，则15283,cos +-==〉〈OG OE OG OE ，即，15283arccos ,+-=〉〈OG OE ．所以圆弧EG 的长为15283arccos 10+-≈9.833．……………………2分又由点G 的坐标为)8,6(，得34arctan 2π-=∠OND ，所以圆弧GD 的长为⎪⎭⎫ ⎝⎛-34arctan 2π40≈25.740．………………………2分故，过桥道路的总长度为+22015283arccos10+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+34arctan 2π40≈63.9m ．………2分CDAB20米EGOxy(3)设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形ACE 为底面，高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形BDF (BDG )为底面，高为10米的柱体；……………………2分提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？……………………2分方案1：=-=∆AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOFDOM DMF BDF S S S S 扇形扇形曲边形--=∆所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DOM DMF AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形--+-∆∆)3m ．………2分方案2：=-=∆AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOGDNG ODN BDG S S S S 扇形扇形曲边形--=∆所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DNG ODN AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形--+-∆∆)3m ．………2分注:1、用直线和圆的方程表示坡道给满分；2、在拱桥右边设计与圆拱相切，切点不在圆拱最高点的上凸圆弧坡道，若计算正确，可酌情给满分；3、在拱桥右边设计与圆拱相切，与水平线相交的下凸圆弧作为坡道，若计算正确，可酌情给满分．4、若学生在拱桥左边设计圆的割线段，建议各扣1分；5、在拱桥右边设计相交圆弧作为坡道，但计算正确，建议各扣1分．21．解：(1)xx k x f -⋅-=e e )('，当0≤k 时，0)('>x f ，故函数)(x f y =在R 上为严格增函数；……………………1分函数)(x f y =在R 上无最值．……………………1分当0>k 时，令0)('=x f ，得k x ln 21=，所以，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈k x ln 21,时，0)('<x f ，函数)(x f y =在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-k ln 21,上为严格减函数；…1分当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,ln 21k x 时，0)('>x f ，函数)(x f y =在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,ln 21k 上为严格增函数．…………1分函数)(x f y =在R 上有最小值0，无最大值．……………………1分(2)因为“)(x f y =为偶函数”⇔“对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f =-”⇔对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且x x x x a k a a k a ⋅+=⋅+--；⇔对于任意的R ∈x ，0))(1(=---x x a a k ⇔1=k ．故，1=k 是)(x f y =为偶函数的充要条件．……………………3分因为“)(x f y =为奇函数”⇔“对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f -=-”⇔对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且x x x x a k a a k a ⋅+=⋅----；⇔对于任意的R ∈x ，0))(1(=++-x x a a k ⇔1-=k ．故，1-=k 是)(x f y =为奇函数的充要条件．……………………3分当1±≠k 时，)(x f y =是非奇非偶函数.(3)①当0<k 时，函数)(x f y =有对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛-0),log(21k ．即，当0<k 时，对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且=--))((log x k f a )(x f -．………2分证明：当0<k 时，令0)(=x f ，解得)(log 21k x a -=为函数)(x f y =的零点由xx a k a x f -⋅+=)(得，=--))((log x k f a ))((log )(log x k x k a a a k a -----⋅+x x a a k -⋅-=-)(x f -=．……………………2分②答案1：当0>k 时，函数)(x f y =有对称轴k x a log 21=．即，当0>k 时，对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且=-)(log x k f a )(x f ．………………3分参考证明：当0>k 时，由xx a k a x f -⋅+=)(得，=-)(log x k f a )(log log x k xk a aa k a ---⋅+x x a a k +⋅=-)(x f =．答案2：当1=k 时，)(x f y =的图像关于y 轴对称，即，对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f =-．………………………………………………1分答案3：当0<k 时，函数)(x f y =的零点为)(log 21k x a -=，即.0)(log 21=⎪⎭⎫⎝⎛-k f a …………1分答案4：表述函数)(x f y =的单调性和最值，并写出定义形式各给1分.。
2024年上海宝山区高三二模数学试卷和答案
上海宝山区2023-2024学年第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷考生注意：1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1.抛物线y x 42=的焦点坐标为______.2.已知3tan =α，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα_______.3.将()02>a a a 其中化为有理数指数幂的形式为_______.4.已知向量()2,2m a =，()1,1+=m b ，若10=⋅b a ，则实数=m .5.设实数y x 、满足()()()i 1i i 42i i +-=+-+y x y x ()为虚数单位i ，则=+y x .6.有一组数从小到大．．．．排列为：3，5，x ，8，9，10.若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_______.7.已知集合{}3,12++=a a A ，，且A ∈1，则实数a 的值为.8.在数列{}n a 中，()21lg,211≥-+==-n n na a a n n 且，则=100a _______.9.某公司为了了解某商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：月销售单价x （元/件）1015202530月销售量y （万件）1110865由表中数据可得回归方程y ax b =+中0.32a ∧=-，试预测当月销售单价为40元/件时，月销售量为万件.10.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，以双曲线的右顶点A 为圆心，b 为半径作圆，圆A与双曲线的一条渐近线交于N M 、两点，若60=∠MAN ，则双曲线的离心率为_______.11.某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位O 的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地11n n A A B B ；假设2：视探照灯为点M ，且距离地面20米；假设3：探照灯M 照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M 以某一俯角从1k k A A +侧扫描到1k k B B +侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环(),...3,2,1=k S k .由此，通过调整M 的俯角，逐次扫描形成扇环1S 、2S 、3S L .第一次扫描时，光斑的长轴为EF ，||30OE =米，此时在探照灯M 处测得点F 的俯角为30（如下右图）.记1||k k k A A d +=，经测量知1||80n A A =米，且{}k d 是公差约为1.0米的等差数列，则至少需要经过次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.12.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量a 、b 满足：2a b ⋅=，||1b = ，且存在实数t ，使得||2||0a a tb -+≥成立，则由a 构成的空间几何体的体积是.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.13.已知0>>b a ，则（）.A ．22ba >B ．ba22<C ．2121ba <D ．ba 2121log log >14.已知随机变量X 服从正态分布()20σ，N .若()65=≤a X P ，则()=≤a X P （）.A ．32B ．21C ．31D ．6115.已知直线n m l 、、与平面βα、，则下列命题中正确的是（）.A ．若βα//，α⊂l ，β⊂n ，则n l //B ．若βα⊥，α⊂l ，则β⊥l C ．若α⊥l ，β//l ，则βα⊥D ．若n l ⊥，n m ⊥，则ml //16.数列{}n a 中，n S 是其前n 项的和，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称数列{}n a 为“某数列”.现有如下两个命题：①等比数列{}n2为“某数列”；②对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“某数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n c b a +=.则下列选项中正确的是（）.A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，已知C A B C A sin sin sin sin sin 222+=+.（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为3，求c a +的最小值，并判断此时ABC ∆的形状.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径.（1）求证：P A BP 1⊥；（2）若,60,2=∠=BOP OA 圆柱的体积为π216，求异面直线AP 与B A 1所成角的大小.19．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为21，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为21，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为53，若前一次没投进，则该次投进的概率为52.(1)求甲投篮3次得2分的概率；(2)若乙投篮3次得分为X ,求X 的分布和期望；(3)比较甲、乙的比赛结果.20．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）已知双曲线1222=-y x 的左、右顶点分别为B A 、，设点P 在第一象限且在双曲线上，O 为坐标原点.（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；（2）若,9≤⋅PB P A 的取值范围；（3）椭圆C 的长轴长为22，且短轴的端点恰好是B A 、两点，直线AP 与椭圆的另一个交点为Q ．记POA ∆、QAB ∆的面积分别为1S 、2S .求2221S S -的最小值，并写出取最小值时点P 的坐标.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）函数()y g x =的表达式为()sin()g x x ω=()0ω>.（1）若1ω=，直线l 与曲线()y g x =相切于点(,1)2π，求直线l 的方程；（2）函数()y g x =的最小正周期是2π，令()()ln h x x g x x =⋅-，将函数()y h x =的零点由小到大依次记为12,,,,n x x x (1,)n n N ≥∈，证明：数列{sin }n x 是严格减数列；（3）已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()(2)()0f x a f x a +=->，对任意[0,2]x a ∈，当x a ≠时，都有()()f x f a <且()1f a =.记()()()F x f x g x =+，1()()()2G x f x g x =++.当ω=π时，是否存在12x x R ∈、，使得12()()4F x G x =+成立？若存在，求出符合题意的12x x 、；若不存在，请说明理由.参考答案1.()1,0 2.21 3.45a4.25.26.5.77.08.49.6.110.33211.1512.89π12.解：由已知得22||4||a a tb ≥+ ，所以2223||84||0a tab t b +⋅+≤ 所以存在实数t ，使得不等式224163||0t t a ++≤ 有解，则0∆≥，解得||a ≤又因为2a b ⋅= 且||1b =，所以a 在b 方向上的数量投影是2，所以，a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母的圆锥（如图）故由a 构成的空间几何体的体积218239ππ⋅⋅=13.A 14.A 15.C 16.C17.解：（1）由正弦定理得ac b c a +=+222..........................2分又由余弦定理得2122cos 222==-+=ac ac ac b c a B ...............................4分因为B 是三角形内角，所以3π=B ....................................6分（2）由三角形面积公式3433sin 21sin 21====∆ac ac B ac S ABC π..........................8分得4=ac .........................10分因为42=≥+ac c a ，当且仅当2==c a 时取等号，........................12分所以c a +的最小值为4，此时ABC ∆为等边三角形.............................14分18.解：（1）证明：圆柱1OO 中，易知O AB 圆⊥，从而AP 是P A 1在圆O 上的投影.....2分又AB 为圆O 的直径，可得AP BP ⊥.......................4分由三垂线定理，就得P A BP 1⊥.......................6分（2）延长PO 交圆O 于点Q ，连接BQ 、Q A 1、AQ ，易知AP BQ //，BQ A 1∠（或其补角）即为所求的角..........................8分由题知πππ2164112=⋅=⋅⋅=AA AA OA V 解得241=AA .................................10分BQ A 1∆中，34,6,3211===B A Q A QB 由余弦定理得2134322364812cos 1=⋅⋅-+=∠BQ A .......................13分从而601=∠BQ A 所以异面直线AP 与B A 1所成角的大小为60................................14分19.解：（1）甲投篮3次得2分，即只投中1次，概率8321121213=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=C p .................3分（2）由题意知X 的所有可能取值为6,4,2,0则()1339025550P X ==⨯=.................4分()1231221328225525525525P X ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=.................5分()1321221238425525525525P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.................6分()1339625550P X ==⨯⨯=.................7分随机变量X 的分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛5096258425825090..................8分期望()98890246350252550E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.................9分（3）设甲三次投篮的得分Y ，则Y =6,4,2,0可求得随机变量Y 的分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛816834832810所以()3816834832810=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E .............11分()3381683483281022222=-⨯+⨯+⨯+⨯=Y D ...........12分又可算得()25973509625842582509022222=-⨯+⨯+⨯+⨯=X D .......13分因为()()Y E X E =，()()Y D X D >所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定........16分另解：设甲三次投篮的次数为ξ，3,2,1,0=ξ则()23213=⨯=ξE 设甲的投篮得分为Y ，则ξ2=Y ，从而()()()322===ξξE E Y E 20.解：（1）两条渐近线方程为02=±y x .............................1分()()1,2,1,221-==n n 设两条直线夹角为θ，则313312cos =⋅-=θ........................2分所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为31...............................3分（2）设()()0,1,,1111>>y x y x P ，由已知得()()0,101B A 、，-..................4分()11,1y x P A ---=，()11,1y x PB --=，则912121≤+-=⋅y x PB P A 得102121≤+y x ..............................6分又点P 在双曲线上，有122121=-y x 即()122121-=x y 从而()10122121≤-+x x 得421≤x .又点P 是双曲线在第一象限的点，所以(]4,121∈x .()(]10,123122121212121∈-=-+=+=x x x y x OP (]101，OP ................................9分（3）椭圆C 中1,2==b a ，焦点在y 轴上，标准方程为1222=+x y ..................10分设()()0,0,,2222>>y x y x Q ，直线AP 的斜率为()0,>k k 则直线AP 的方程为()1+=x k y 联立方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122x y x k y 得()02222222=-+++k x k xk 该方程的两根分别为1-和22222k k x +-=同理可得22122k k x -+=所以121=⋅x x .........................12分记2121111y y S S POA =⨯⨯==∆222221y y S S QAB =⨯⨯==∆..........................13分则()()2522112124142221222122212221-+=---⨯=-=-x x x x y y S S 21251225222121-=-≥-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x当且仅当212122x x =即221=x 时取等号，.....................15分所以2221S S -的最小值为21-，此时点P 的坐标为()22，.................16分另解:1,12211+=+=x yk x y k AQ AP 因为AQ APk k =，所以112211+=+x yx y 即22221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y x y 又()122121-=x y ，()222212x y -=，代入上式化简得11112211+-=+-x x x x ，整理得121=⋅x x 21.解（1）1ω=时，()sin ,g x x =则'()cos g x x =..................1分从而'(cos022k g ππ===..................3分所以直线l 的方程是1y =..................4分（2）由22ωπ=π，可知1ω=，则()sin ln h x x x x =-（0x >），.......................5分当()0h x =时ln sin xx x=.......................6分①当01x <<时，ln sin 0,0xx x><，此时函数()y h x =没有零点；.....................7分②当1x ≥时，因为2ln 1ln ()'x x x x -=，可知ln x y x=在[]1,e 上严格增，在[,)e +∞严格减又sin y x =在[1,]2π上严格增，在[,]2e π严格减，所以[1,]x e ∈时，x y sin =在e x =时有最小值sin e ，xxy ln =在e x =时有最大值ln 1e e e =因为1sin e e >所以ln sin x x x=在[1,]e 上没有交点，即()sin ln h x x x x =-在[1,]e 上没有零点.......................9分所以函数()y h x =的零点n x 满足12n e x x x <<<<< ，.因为ln x y x =在[,)e +∞严格减，所以1212ln ln ln n nx x x x x x >>>> .又因为ln sin nn nx x x =，所以数列{sin }n x 是严格减数列........................10分（3）因为[]()(2)(4)(4)f x f x a f x a f x a =-+=--+=+，所以()y f x =是以4a 为周期的周期函数.................11分因为任意[0,2]x a ∈，当x a ≠时，都有()()f x f a <且()1f a =，所以当x a =时，()y f x =在[0,2]a 上有唯一的最大值1...............................12分由ω=π得()sin g x x =π，()()sin ,()()cos F x f x x G x f x x =+π=+π................13分假设存在12x x R ∈、，使得12()()4F x G x =+成立，即[]1122()sin ()cos 4f x x f x x +π-+π=成立故，当()14x a ka k Z =+∈时，1()f x 取得最大值1；当()122x m m Z 1=+∈时，1sin x π取得最大值1由422a ka m 1+=+，可知4182m a k +=+①时，()11max ()sin 2f x x +π=...................15分又因为()y f x =是奇函数，所以当x a =-时，()f x 在[20]a -，上有唯一的最小值1-故，当()24x a na k Z =-+∈时，2()f x 取得最小值1-；当()212x t t Z =+∈时，2cos x π取得最小值1-由412a na t -+=+，可知2141t a n +=-②时()22min ()cos 2f x x +π=-.....................17分若[]1122()sin ()cos 4f x x f x x +π-+π=成立，则由①②得41218241m t k n ++=+-，即(41)(41)(21)(82)m n t k +-=++因为,,,m n k t Z ∈，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立..............18分。
2024届上海市松江区高三二模数学试题及答案
上海市松江区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.函数 lg 2y x 的定义域是．2.在复平面内，复数z 对应点的坐标是 1,2，则i z ．3.4.已知点5.已知7x 6.7.8.9.已知1F 10.11.已知0 的取值范围是．12.某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1,2,3,,30 ，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有种不同的选择方法．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合04A x x ，2,B x x n n Z ，则A B （）.A 1,2；.B 2,4；.C 0,1,2；.D 0,2,4．14.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到右表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x ，则下列说法错误的是（）.A 变量x 、y 之间呈正相关关系；.B 可以预测当8x 时，y 的值为6；.C 3.9m ；.D 由表格中数据知样本中心点为 3.5,2.85．15.已知某个三角形的三边长为a 、b 及c ，其中a b ．若a 、b 是函数2y ax bx c 的两个零点，则a 的取值范围是（）.A 12．16.设n S ,2k N k ，则12S S ,2k N k ，则12S S .A .C 三、17.设 f x 为 ．（1）（2）， 32f A，求角C ．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD 平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）设平面ABE 与直线PC 相交于点F ，求证：//EF CD ；（2）若2AB ，60DAB ，PD ，求直线BE 与平面PAD 所成角的大小．19.现有甲、乙、，且每人能否闯（1）（2） E X ；（3）丙第20题图如图，椭圆22:12y x 的上、下焦点分别为1F 、2F ，过上焦点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆于M 、N两点，动点P 、Q 分别在直线MN 与椭圆 上．（1）求线段MN 的长；（2）若线段PQ 的中点在x 轴上，求2F PQ 的面积；（3）是否存在以2F Q 、2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆 上？若存在，求出所有满足条件的点Q 的纵坐标；若不存在，请说明理由．已知函数 ln f x x x a （a 为常数），记 y f x x g x ．（1）若函数 y g x 在1x 处的切线过原点，求实数a 的值．（2）对于正实数t ，求证： ln 2f x f t x f t t a ；（3）当1a 时，求证： e cos xg x x x．上海市松江区2024届高三二模数学试卷-简答1参考答案一、填空题1．(2,)2．2i3．0.24．1225．216．37．58．4910．(1,2)11．10,1212．1540二、选择题13．D14．C15．B16．C三、解答题17．解：（1）2()sin sin222f x x x x1cos 1=sin()2262x x x .……3分因为函数()y f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以2 T ，即22,1T.所以1()sin(62f x x .……6分（2）由3()2f A，得13sin(),sin()16226A A .2(0,)3A A.……9分，由sin sin a b A B ,sin B，化简得sin 2 B 所以角4 B .……12分所以角23412C .……14分218．解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以//CD AB ，解法2：如图建系，由题可得：2AC BD ，则A， 0,1,0B ， 0,1,0D ， 0,1,P ， 0,1,E ，……8分所以 0,2,BE ， DA， 0,0,DP，设平面PAD 的法向量为 ,,z n x y，由00n DA n DP，得00y ，解得0y z，取1x ，可得平面PAD 的一个法向量为n.……12分设直线BE 与平面PAD 所成角的大小为090，x yzO3则1sin cos 22n BE n BE，解得30 ,所以，直线BE 与平面PAD 所成角的大小为30 .……14分19．解：（1）设“计划依次派出甲乙丙进行闯关，该小组比赛胜利”为事件A ， 甲乙丙各自闯关成功的概率分别为134p ，223p ，312p ，每人能否闯关成功相互独立，解法1： 3323212311144343224P A解法2： P A 123111231(1)(1)(1)143224p p p ．……4分（2）按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，所需派出的人员数目X 的可能取值是1、2、3，11P X p ， 1221P X p p ， 12311P X p p ，所以X 的分布是： 11212123111p p p p p，……7分所以 1121212122(1)3(1)(1)23E X p p p p p p p p p ．……10分（3）若先派丙，再派乙，最后派甲，所需派出的人员数目Y 的分布是： 33232123111p p p p p，则 323223E Y p p p p ，所以 121232322323E X E Y p p p p p p p p ，21313213220p p p p p p p p ……13分所以先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望较小．……14分4521.(1)因为 ln +g x x x ，所以 22'g x x x x ，所以 '11g a ．……2分又因为 1ln11a g a ，所以 g x 在1x 处的切线方程为： 11y a x a ．点 0,0O 代入切线方程可得12a ．……4分(2)设函数 0h x f x f t x t ，ln ln +2h x x x t x t x a ，0x t .ln 1ln 1ln x h x x t x t x.……6分令 0h x ，得：2102x x t t x t t x t x ． h x 在,2t t 上严格递增；在0,2t 上严格递减； h x 的最小值为2t h，即总有： 2t h x h ．……8分而 ln +2ln 22222t t t t h f f t t a f t t a∴ ln 2f x f t x f t t a ．……10分6(3)当1a 时，即证1e ln cos xx x x x，（0x ）由于 cos 1,1x ，故e e cos 1x x x x x，只需证1e ln 1xx x x ，……12分令 1e ln 10xk x x x x x，只需证明 0k x .而 22211e e 111x x x x k x x x x x’，……14分因为0x ，所以1e 0x ，令 '0k x 得：01x ，令 '0k x 得：1x ，所以 k x 在1x 处取得极大值，也是最大值，……16分所以 max 12e<0k x k ，故 0k x 在 0,x 上恒成立，结论得证.……18分。
淮南市(二模)2023届高三第二次模拟考试数学试卷及答案
淮南市2023届高三第二次模拟考试学试题数本试卷分为第I卷（选择题〉和第E卷〈非选择题〉两部分．考试时间120分钟．第I卷，．．．．．．． 3、N··一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1己知全集U=R ，集合A＝�eRly＝�｝，则CuA=<D . {x i x 三－1}C .{x lx 豆－1}B .{x lx <O }A .{x lx <-1}2己知复数z 满足（2-i)·z = i2023,(i 是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于〉A.第一象限B.第二象限c.第三象限 D.第四象限3.四位同学各自在“五一”劳动节五天假期中任选一天参加公益活动，则甲在5月1日、乙不在5D .-25c 土25月1日参加公益活动的概率为（4 B. -54己知函数f(x )=A s 叫ω＋的，［A ＞阳〉喇〈立的相邻两个对称中心距离为2且图\2)象经过Ml 乏，A i ，若将f(x ）图象上的所有点向右平移至个单位长度得到函数g(x ）的图象，飞。
）6则函数g(x ）的单调递减区间是〈 B.[k π中π刽k eZ［叶，kπ叶ke ZA.D.[k 什叶十εZC.[k 7r,ktr +f J.k eZ〉〉汩。
A ..!_52,r5.在A ABC中，己知LACB＝一－，BC=4,AC=3,D是边AB的中点，点E满足3一－3一－1一一一一一『A E=-AB+-AC，则CD·DE=()4 4A.－三B.l c ..!.8 2 86.我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”朱世杰著有《四元玉鉴》和《算学启蒙》等，在《算学启蒙》中，最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题，其中记载有以下问题：“今有三角、四角果子垛各一所，共积六百八十五个，只云三角底子一面不及四角底子一面七个，问二垛底子一面几何？”其中“积”是和的意思，“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛，自上至下依次有I,3, 6, 10, 15, ...，个果子，“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛，自上至下依次有L4, 9, 16, ...，个果子，“底子一面”指每垛最底层每条边”根据题意，可知该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数是〈（参考公式：川山·＋n2＝巾＋俨1))A.4,11B.5,12 c.6,137.如圈，αiβ，αnβ＝l,Aeα，Beβ，点A,B在棱l上的射影分别是码，B i，若AA1=BB1 =2, AB=4，则异面直线AB1与A1B所成角的余弦值为D.7,14A.主B.I第7题图5521c.一D.一338.定义在R上的函数f(x）满足f(-x)+f(x)+2cosx=0，当x�O时，J'(x)>sinx，则不等式f(x)+2cosx>f（π－x）的解集为A.(J, +co)B.（斗） c.（－咒） D.（一∞，π）二、多项选择踵I;I 尔踵共4,J、踵，每小题5分，共20分．在每小踵给出的选项中，有多项符合匾目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.己知单位向盘a,b ，则下列命题正确的是（A. (;i+b ）土（;i -b )B剖＝（－手，J.b -(coC若｜二－bl 川，记向盘二，5的夹角为θ，则θ的最小值为子’－－‘’霄『－．－D 若（a.b) ＝二，则向盘b栩如上的投影向盘是γ飞’I 3IO.己知圆M 的方程为：x 2+y 2+ax ＋咿－2a-4=o,(a εR ），点P(l,l ），给出以下结论其中正确的有（A.过点P 的任意直线与圆M都相交B若因l M 与直线川＋川无交点则ae （÷棉）C.四M 面积最小时的圆与圆Q:x 2+ y 2 +6x-10y+16=0有三条公切线D.无论。
2024届上海普陀区高考数学二模试卷及答案
普陀区2023 -2024学年第二学期高三数学质量调研2024.4考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.务必用钢笔或圆珠笔在答题纸相应位置正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得票分.1.已知复数1i z =+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点的坐标为______.2.已知R a ∈，设集合{1,,4}A a =，集合{1,2}B a =+，若A B B =，则a =______.3.若3cos 35πθ⎛⎫−=⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 4.已知()2~4,2X N ，若(0)0.02P X <=，则(48)P X <<=______. 5.若实数a ，b 满足20a b −≥，则124ab+的最小值为______.6.设2012(1)(1,N)nn n x a a x a x a x n n +=++++≥∈，若54a a >，且56a a >，则1ni i a ==∑______.7.为了提高学生参加体育锻炼的积极性，某校本学期依据学生特点针对性的组建了五个特色运动社团，学校为了了解学生参与运动的情况，对每个特色运动社团的参与人数进行了统计，其中一个特色运动社团开学第1周至第5周参与运动的人数统计数据如表所示.若表中数据可用回归方程 2.3(118,N)y x b x x =+≤≤∈来预测，则本学期第11周参与该特色运动社团的人数约为______.（精确到整数）8.设等比数列{}n a 的公比为(1,N)q n n ≥∈，则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是______.9.若向量a 在向量b 上的投影为13b ，且|3|||a b a b −=+，则cos ,a b 〈〉=______.10.已知抛物线2y =的焦点F 是双曲线Γ的右焦点，过点F 的直线l 的法向量(1,3)n =−，l 与y 轴以及Γ的左支分别相交A ，B 两点，若2BF BA =，则双曲线Γ的实轴长为______.11.设k ，m ，n 是正整数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，11n n S a +=+，若()11ki ii m t S==−∑，且{0,1}i t ∈，记12()k f m t t t =+++，则(2024)f =______.12.已知R a ∈，若关于x 的不等式(2)e 0xa x x −−−>的解集中有且仅有一个负整数，则a 的取值范围是______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分.13.从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为A 、B ，白球标记为C ，则它的一个样本空间可以是（ ）A .{,}AB BC B .{,,}AB AC BC C .{,,,}AB BA BC CBD .{,,,,}AB BA AC CA CB14.若一个圆锥的体积为3，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为2π，则该圆锥的侧面积为（ ）AB .2πC .D .15.直线l 经过定点(2,1)P ，且与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，动圆M 在OAB △的外部，且与直线l 及两坐标轴的正半轴均相切，则OAB △周长的最小值是（ ）A .3B .5C .10D .1216.设n S 是数列{}n a 的前n 项和(1,N)n n ≥∈，若数列{}n a 满足：对任意的2n ≥，存在大于1的整数m ，使得()()10m n m n S a S a +−−<成立，则称数列{}n a 是“G 数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列{}n a 是“G 数列”；②任意等比数列{}n a 都不是“G 数列”.则（）A .①成立②成立B .①成立②不成立C .①不成立②成立D .①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤S ABCD −ABCD 2SA SB ==E F SC 17.（本题满分14 分）本题共有 2 个小题，第1 小题满分 6 分，第2 小题满分8 分如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1 的正方形， ， 、 分别是、BD 的中点.（1）求证：//EF 平面SAB ； （2）若二面角S AB D −−的大小为2π，求直线SD 与平面ABCD 所成角的大小. 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 设函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，0ϕπ<<，它的最小正周期为π.（1）若函数12y f x π⎛⎫=−⎪⎝⎭是偶函数，求ϕ的值；（2）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，6A π=，2B f ϕ−⎛⎫=⎪⎝⎭，求b 的值.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件A 为“张先生驾车从左侧直行车道通行”.（1）某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件B 为“大货车从中间直行车道通行”，求()P AB ；（2）用X 表示张先生每周工作日出行事件A 发生的次数，求X 的分布及期望[]E X .20.（本题满分18 分）本题共有 3 个小题，第1 小题满分 4 分，第2 小题满分6 分，第 3 小题满分8 分.设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=>，Γ的离心率是短轴长的4倍，直线l 交Γ于A 、B 两点，C 是Γ上异于A 、B 的一点，O 是坐标原点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 过Γ的右焦点F ，且CO OB =，0CF AB ⋅=，求CBF S ∆的值；（3）设直线l 的方程为(,R)y kx m k m =+∈，且OA OB CO +=，求||AB 的取值范围.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 对于函数()y f x =，1x D ∈和()y g x =，2x D ∈，设12D D D =，若1x ，2x D ∈，且12x x ≠，皆有()()()()1212(0)f x f x t g x g x t −≤−>成立，则称函数()y f x =与()y g x =“具有性质()H t ”.（1）判断函数2()f x x =，[1,2]x ∈与()2g x x =是否“具有性质(2)H ”，并说明理由；（2）若函数2()2f x x =+，(0,1]x ∈与1()g x x=“具有性质()H t ”，求t 的取值范围； （3）若函数21()2ln 3f x x x=+−与()y g x =“具有性质(1)H ”，且函数()y g x =在区间(0,)+∞上存在两个零点1x ，2x ，求证22122x x +>.参考答案一、填空题 1.()1,1− 2. 2 3.354.0.485. 26. 10237. 578. q=39.310.2 11. 7 12.211,23e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、选择题13.B 14. C 15. C 16. D 三、解答题 17.（1）证明略（2）3π18.（1）23π（2）19.（1）16（2）分布列：01234532808040101243243243243243243⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，期望5320.（1）2212x y +=（2）1（3）21.（1）具有，说明略 （2）[)2,+∞（3）证明略。
2024届上海市长宁区高三下学期二模数学试卷(解析版)
2024届长宁区二模2024.04.07一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.已知集合{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，则=a ______．【答案】2【解析】【分析】根据集合自己的概念即可求解．【详解】∵{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，∴集合A 里面的元素均可在集合B 里面找到，∴a =2．故答案为：22.不等式|21|3x -<的解集为________.【答案】{|12}x x -<<【解析】【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.【详解】∵|21|3x -<3213x ⇔-<-<12x ⇔-<<，∴不等式|21|3x -<的解集为{|12}x x -<<.故答案为：{|12}x x -<<.【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_______．【答案】4【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.【详解】由二项式定理可知，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为4421441C C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令422r -=，解得1r =，所以12224C 4T x x ==，所以二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为4.故答案为：4.4.在ABC ∆中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若222a b bc c =++，则A =_____________.【答案】120︒【解析】【分析】根据已知可化为余弦定理的形式，从而求出A 的余弦，进而求出A.【详解】由题意可知，2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，所以120A =︒.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理公式求三角形的角，属于中档题.5.已知236a b ==，则11a b +=________.【答案】1【解析】【分析】首先利用指数和对数互化得到2log 6a =，3log 6b =，再利用换底公式即可得到答案.【详解】由236a b ==可知2log 6a =，3log 6b =，所以66611log 2log 3log 61a b+=+==.故答案为：16.直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为_______．【答案】π4##45︒【解析】【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果.【详解】设直线230x y --=与直线350x y --=的倾斜角分别为,αβ，则1tan 2,tan 3αβ==，且[),0,παβ∈，所以αβ>，因为()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ---===++，所以π4αβ-=，即两条直线的夹角为π4，故答案为：π4.7.收集数据，利用22⨯列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中_______（填：有关或无关）【答案】无关【解析】【分析】根据题意，由零假设的定义，即可得到结果.【详解】零假设等价于两个变量相互独立，所以此题中的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中无关.故答案为：无关8.已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围为_______．【答案】{1|02a a -<<或}2a >【解析】【分析】由已知结合奇函数的定义可求出0x <及0x =时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式.【详解】因为函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()2log f x x =，当0x <时，0x ->，所以()()()2log f x x f x -=-=-，所以()()2log f x x =--，若()1f a >，当0a >时，可得2log 1a >，解得2a >，当a<0时，可得()2log 1a -->，解得102a -<<，当0a =时，可得01>，显然不成立，故a 的取值范围为{1|02a a -<<或}2a >.故答案为：{1|02a a -<<或}2a >.9.用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为π立方米，则至少需要_______平方米铁皮【答案】3π【解析】【分析】由柱体的体积公式可得21r h ⋅=，再求出圆柱形容器的表面积，由基本不等式求解即可.【详解】设圆柱形容器的底面半径为r ，高为h ，所以圆柱形容器的体积为2ππV r h =⋅=，所以21r h ⋅=，所以圆柱形容器的表面积为：()22π2ππ3π3πS r rh r rh rh =+=++≥⋅,当且仅当2r rh =，又21r h ⋅=，即1r h ==时等号成立，故至少需要3π平方米铁皮.故答案为：3π.10.已知抛物线2Γ:4y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在Γ上，,30MN l NFM ⊥∠=︒，则点M 的横坐标为_______．【答案】13【解析】【分析】过点F 作FH NM ⊥于点H ，由抛物线定义以及三角函数可用含M 的横坐标M x 的式子表示,NM HM ，注意到()112MN MH NH +==--=，由此即可列方程求解.【详解】如图所示：过点F 作FH NM ⊥于点H ，显然抛物线2Γ:4y x =的焦点为()1,0F ，准线为:l =1x -，由抛物线定义有MF MN =，结合30NFM ∠=︒得180230120NMF ∠=︒-⨯︒=︒，而()11,cos 6012M M MF MN x MH MF x ==+=︒=+，所以()()111111223M M M MN MH x x x +=+++=--=⇔=.故答案为：13.11.甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量t （单）783182258338油费s （元）107150110264110376平均每单里程k （公里）151515平均每公里油费a （元）0.70.70.7出租车空驶率=出租车没有载客行驶的里程出租车行驶的总里程；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型(),,,u f s t k a =，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%21.68%%x 、、，则x =_______（精确到0.01）【答案】20.68【解析】【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解.【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为s a，出租车有载客时行驶的里程为tk ，所以出租车空驶率1s tk tka a u s s a -==-，对于甲，7831150.710.232623.26%107150⨯⨯-≈=，满足题意；对于乙，8225150.710.216821.68%110264⨯⨯-≈=，满足题意；所以上述模型满足要求，则丙的空驶率为8338150.7%10.206820.68%110376x ⨯⨯=-≈=，即20.68x =.故答案为：20.68.12.已知平面向量,,a b c 满足：2a b c === ，若()()0c a c b -⋅-= ，则a b - 的最小值为_______．【答案】2【解析】【分析】先利用()2214a b a b a b ⋅=+-- 和()()2240a b a b ++-= 证明228a b --≤ ，再解不等式得到22824a b --≤ ，从而有2a b -≥ ，再验证()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c =时2a b -= ，即得到a b - 的最小值是2.【详解】由于()()()()()()()2222222211122444a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅-+-⋅=+--=+-- ，且()()()()()()222222222222101040a b a b a b a b a b a b a b ++-=++⋅++-⋅=+=+= ，故有()()0c a c b =-⋅- ()2c a b c a b =-+⋅+⋅ 2c a b c a b ≥-++⋅ 42a b a b =-++⋅ ()()()221424a b a b a b =-+++-- ()()21424024a b a b =-++-- ()2144024a b =-+--21142a b =--- ，所以228a b --≤ ，记228a b x --= ，则有x ≤，从而120x -≤≤或()21612x x ≤+，即120x -≤≤或824x ≤≤.总之有24x ≤，故22824a b --≤ ，即2a b -≥ .存在()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c = 时条件满足，且此时2a b -= ，所以a b - 的最小值是2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：对于a b - 的最小值问题，我们先证明2a b -≥ ，再给出一个使得2a b -= 的例子，即可说明a b - 的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可.二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）13.设C z ∈，则“z z =”是“R z ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可.【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，由z z =可得0b =，所以R z a =∈，充分性成立，当R z ∈时，即z a =，则z a =，满足z z =，故“z z =”是“R z ∈”的充要条件.故选：C .14.已知直线,a b 和平面α，则下列判断中正确的是（）A.若//,//a b αα，则//a bB.若//,//a b b α，则//a αC.若//,a b αα⊥，则a b⊥ D.若,//a b b α⊥，则a α⊥【答案】C【解析】【分析】利用空间线线线面的位置关系判断A 错误；举反例判断B 错误；利用线面平行的性质定理和线面垂直性质得到C 正确；由线面平行和线线垂直的性质判断D 错误.【详解】A ：若//,//a b αα，则两直线平行或异面或相交，故A 错误；B ：若//,//a b b α，当直线a 在平面α内时，则直线a 不平行于平面α，故B 错误；C ：若//a α，设过a 的平面与α相交于c ，则//a c ，又因为b α⊥，c α⊂，所以b c ⊥，所以b a ⊥，所以a b ⊥ ，故C 正确；D ：若,//a b b α⊥，则a α⊥或//a α或a α⊂，故D 错误；故选：C.15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6、9.7、9.5、9.9、9.4、9.8、9.3、10.0；已知这组数据的第x 百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）A.65B.70C.75D.80【答案】D【解析】【分析】先利用古典概型分析m 的取值范围，再利用百分位数的定义逐一分析各选项，从而得解.【详解】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列：9.3、9.4、9.5、9.6、9.7、9.8、9.9、10.0，因为从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，一共有8个数，所以比m 大的数有两个，则9.89.9m ≤<，对于A ，因为80.65 5.2⨯=，所以第65百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于B ，因为80.7 5.6⨯=，所以第70百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于C ，因为80.756⨯=，所以第75百分位为第6,7个数的平均数，即9.89.99.852+=，满足题意；对于D ，因为80.8 6.4⨯=，所以第80百分位为第7个数，即9.9，不满足题意.故选：D.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c =+，则称数列{}n a 具有性质p ：①存在等差数列{}n a 具有性质p ；②不存在等比数列{}n a 具有性质p ；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假【答案】B【解析】【分析】直接构造21n a n =-和()11n n a -=-，说明存在等差数列{}n a 具有性质p ，且存在等比数列{}n a 具有性质p ，从而得到①真②假.【详解】一方面，对21n a n =-，知{}n a 是等差数列.而()211212n S n n n =⋅+-=，令1c =就有2211n n n a c ==-+=+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等差数列{}n a 具有性质p ；另一方面，对()11n n a -=-，知{}n a 是等比数列.当n 为奇数时，1n a =；n 为偶数时，1n a =-.故当n 为奇数时，1n S =；n 为偶数时，0n S =.故当n为奇数时，2111n a ==+=+；n为偶数时，0111n a ==-+=+.这表明1n a =+恒成立，再令1c =就有n a c =+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等比数列{}n a 具有性质p .综上，①正确，②错误，故B 正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造21n a n =-和()11n n a -=-作为例子，直接判断命题的真假，是判断选项正确性的简单有效的方法.三、解答（共78分）17.某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx ∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0（1）请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；（2）设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x fx x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；【答案】（1）补充表格见解析，()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）10,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由表得ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解方程组即可得,ωϕ，进一步可据此完成表格；（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简()g x 的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.【小问1详解】由题意ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解得π2,6ωϕ==，所以函数()y f x =的解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π206x +=时，解得π12x =-，当5π12x =时，ππ2π,sin 2066x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，将表中Δ处的数据补充完整如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx π12-π65π122π311π12()sin x ωϕ+0101-0【小问2详解】若1,0ωϕ==，则()22πsin sin sin sin sin cos 2g x x x x x x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭1cos 212π1πsin 2sin 20,222422x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=+=-+∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π2,444x⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，进而πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以函数()y g x =的值域为10,2⎡⎤+⎢⎢⎥⎣⎦.18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AD AA ===；（1）求二面角1D AC D --的大小；（2）若点P 在直线11A C 上，求证：直线//BP 平面1D AC ；【答案】（1）6arccos 3（2）见解析【解析】【分析】（1）以A 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面1ACD 和平面ACD 的一个法向量()1,1,2n =- 和()0,0,1m =，结合向量的夹角公式，即可求解.（2）设()11101A P A C λλ=≤≤ ，求出()2,2,1P λλ，则()22,2,1BP λλ=- ，再由0BP n ⋅=可证明直线//BP 平面1D AC .【小问1详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,2,0A D B C ，()()()()11110,0,1,0,2,1,2,0,1,2,2,1A D B C ，因为()()12,2,0,0,2,1AC AD ==，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AC x y n AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =-，可得1,2x z ==，所以()1,1,2n =-，设平面ACD 的法向量为()0,0,1m =所以6cos ,361m nn m n m ⋅===⨯，所以二面角1D AC D --的大小为6arccos3.【小问2详解】设(),,P x y z ，则设()11101A P A C λλ=≤≤ ，()()111,,1,2,2,0A P x y z A C =-=，所以2,2,1x y z λλ===，所以()2,2,1P λλ，()22,2,1BP λλ=-平面1ACD 的法向量为()1,1,2n =-，22220BP n λλ⋅=--+=，因为BP ⊄平面1D AC ，所以直线//BP 平面1D AC .19.盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望与方差；【答案】（1）23（2）分布见解析，期望()()47,318E X D X ==【解析】【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可运算求解古典概型概率；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得X 的分布，结合期望、方差计算公式即可求解.【小问1详解】第一次取出红球的概率为23，取出白球的概率为13，第一次取出红球，第二次取出红球的概率为231342⨯=，第一次取出白球，第二次取出红球的概率为111326⨯=，所有第二次取出的球是红球的概率为112263+=；【小问2详解】X 的所有可能取值为0，1，2，()()()21123636222999C C C C 1150,12C 12C 2C 12P X P X P X =========，所以X 的分布为01211512212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，它的期望为()1154012122123E X =⨯+⨯+⨯=，它的方差为()22214145470121232312318D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20.已知椭圆22Γ:1,63x y O +=为坐标原点；（1）求Γ的离心率e ；（2）设点()1,0N ，点M 在Γ上，求MN 的最大值和最小值；（3）点()2,1T ，点P 在直线3x y +=上，过点P 且与OT 平行的直线l 与Γ交于,A B 两点；试探究：是否存在常数λ，使得2PA PB PT λ⋅= 恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；【答案】（1）22（2）MN 的最大值为1+（3）54λ=【解析】【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率；（2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解；（3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得2,,PT PA PB，再联立直线l 与椭圆方程得到1212,x x x x +关于a 的表达式，进而化简PA PB ⋅ 得到PA PB ⋅ 与2PT 的关系，由此得解.【小问1详解】设Γ的半长轴长为a ，半短轴长为b ，半焦距为c ，则a b ==，则c =22c e a ===.【小问2详解】依题意，设(,)M x y，则x ≤≤22163x y +=，故2232x y =-，则MN ==所以由二次函数的性质可知，当2x =时，MN取得最小值为，当x =时，MN1=+【小问3详解】设()()1122(,3),,,,P a a A x y B x y -，又()2,1T，易得12OT k =，则直线l 为()()132y a x a --=-，即13322y x a =+-，而()()22222312(2)PT a a a =-+--=- ，()111111131,3,33,2222a PA x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()222222131,3,33,2222a PB x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，联立2213322163y x a x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得222(2)3(2)40x a x a +-+--=则()222Δ4(2)43(2)48420a a a a ⎡⎤=--⨯--=--+>⎣⎦，得22a -<<+所以212122(2),3(2)4x x a x x a +=--=--，故()()()()121214PA PB x a x a x a x a ⋅=--+--()()()21212125544x a x a x x a x x a =--=-++()2253(2)4224a a a a =--+-+252(2)4a =-，所以25||||4PA PB PT ⋅= ，故存在54λ=，使得2||||PA PB PT λ⋅= 恒成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数k ，使得对于任意x D ∈，都有()f x k ≤，则称函数()y f x =有上界，实数k 的最小值为函数()y f x =的上确界；记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}；（1）求函数2(26)1y x x =<<-的上确界；（2）若()3212ln f x x hx x x M =-+∈，求h 的最大值；（3）设函数()y f x =一定义域为()0,∞+；若()2f x M ∈，且()y f x =有上界，求证：()0f x <，且存在函数()y f x =，它的上确界为0；【答案】（1）2（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由函数的单调性求出值域再根据题意可得；（2）求出()f x y x=的表达式，求导，再利用()nf x y x=在()0,∞+上严格递增得到导函数大于等于零恒成立，然后利用基本不等式求出最小值即可；（3）假设存在，由单调性可得()()102210f x f x xx>>，再取21x x >，且2x >可得()()212221f x f x x x >，推出①②互相矛盾，然后令()1,0f x x x=->，根据题意求出值域最后确定上确界即可.【小问1详解】因为函数21y x =-在区间()2,6上严格递减，所以函数2(26)1y x x =<<-的值域为2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以函数2(26)1y x x =<<-的上确界为2.【小问2详解】()22ln f x y x hx x x==-+，22,0y x h x x'=-+>，因为记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}，所以0y '≥恒成立，因为224x h h h x -+≥=-，当且仅当1x =时取等号，所以4h ≤，所以h 的最大值为4.【小问3详解】证明：因为函数()y f x =有上界，设()f x k ≤，假设存在()00,x ∈+∞，使得()00f x ≥，设10x x >，因为()2y f x M =∈，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，进而()()102210f x f x xx>>，得()10,0f x k >>，取21x x >，且2x >，由于21x x >，得到()()212221f x f x xx>，①由2x >，得()()12222122f x f x k x x x >≥，②显然①②两式矛盾，所以假设不成立，即对任意()0,x ∈+∞，均有()0f x <，令()1,0f x x x =->，则()231f x y x x==-，因为当0x >时，430y x'=>，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，()2y f x M =∈，因为()1,0f x x x=->的值域为(),0∞-，所以函数()1f x x=-的上确界为零.【点睛】关键点点睛：（1）第二问的关键是导函数大于等于零恒成立，用基本不等式求解；（2）第三问关键是根据不等式的结构能够想到取2x >，再得到()()12222122f x f x k x x x >≥与当21x x >，得到()()212221f x f x x x >矛盾.。
江西省南昌市2023届高三二模数学(文)试题(含答案)
江西省南昌市2023届高三二模数学〈文〉试题学校姓名：班级－考号：一、单选题l.己知集合A={xl ι4x-5豆叶，B = {xjlog 2 x ＜牛则A r B =( ) A.(-1,4)B.[-1,4]c.[-l,5]D.(0,4)2.己知复数z满足（z+i)i=l+z ，则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C 第三象限D.第四象限7π3.执行如l到所示的程序框图，若输入x ＝τ，则输出y的值为（）开始每�d－2A ..fj B.－一－l－2C D.24已知数列｛a 小若a ,+a zn ”I =4n-6，则。
7= ()A.9B.l lc.13 D.155.己知α＝log, 0.4, b = l og 0., 0.2, c = 0.4°·2，则（〉A.C>a>bB.c>b ＞。
C.b>c>aD.a>c>b6.己知函数f（对＝2•;n，，命题p :3码，与ε（0，π），使得f (x,)+ f （毛）＝2，命题q:Vx,,Xz el －�，.＇.： I，当引〈乓时，都有！（，飞）＜f(x 2），则下列命题中为真命趣的是（〉飞Z 2)A.pvqB.p,-...qC.pA （「q)D.(-p )A(-q)7.己知抛物线C:y 2=4x 的准线为l，点Mf是抛物线上一点，若因M过点A(3,0）且与革线l相切，则因M与y轴相交所得弦长是（A. 2../2B. 2./3c.4 D.2./5P-ABC 的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，贝I]三棱锥P-ABC 的体积为（〉’...＋ (7)A／主视BA..!_B.14－3户UD.豆39.己知如t J ｛饨，｝的前峭的积为T,，，若a.＝＿＿！！＿＿，则汇的最大值为〈〉2n-5A.豆3B.2c .1D . .!_310.在“ABC 中，角A,8, C所对的边分别为α，b,c ，若a 2,b 2,C 2成等差数列，且J JJC 的丽积为号，则叫＝（A.tB. 2A吨－qJCD.三411.己知函数f(x)= X 3＋旷＋bx+c 的三个零点分别为1，抖，毛（O<x,＜与），若函数/(x + I）为奇函数，则／（2）的取值范围为（〉A. [0,1]B.(0,1)c.(0,2)D.[0,2J12.己知M是因C : (x-1)2 + y 2= 4上的动点，以点M为圆心，IOMI为半径作圆M,设圆M 与圆C 交于A,B 两点，则下列点中，直线AB 一定不经过（）、飞’EE，，／AU4－5／fa『B’飞、A、、It－－／l －2 ， －A －qtM fttlk口υc肚子）、、IBEE－J 5－4AU／FIll－－、D二、填空题13.f(x）是以2为周期的函数，若xe[O,I J时，I＜心＝2‘，则／（3）＝一一一一··14.某红绿灯十字路口早上9点后的某分钟内10辆汽车到达路口的时间依次为（单位：在n,l, 2, 4, 7, I L 16, 21, 29, 37, 46，令A(i)(i = I, 2, 3, · ·, 10）表示第i辆车到达路口的时间，记B(i)= A(i)-A (i-l)(i = 2, 3, ·, 10），则B (i ）的方差为－15.圆锥曲线都具有光学性质，女日双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发敞的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截而因是一条双曲线的部分，AP 是它的一条对称轴，F 是它的FBC 90？，贝I]1亥双曲线的离心率等于一一一一··A16.己知正四面体的棱长为2币，现截去四个金等的小正四面体，得到如图的八丽体，若这个八面体能放进半径为J6的球形容！击cl才，则截去的小正四面体的楼长最小值为．三、解答题17.如｜因是瞅f(x）＝叫叫（仙O叫司的部分图象己知AB·A印y, 步BA x(1）求ω：（�）＝子求伊创胖.r18.如阂，在四棱锥P-ABCD中，已知底iii ABCD是边长为4的菱形，平面PABJ_平π面ABCD，且ζPAB=LDAB＝一，PAJ_PB，点E在结段附上，BE=2PE.3c(1）求证：AB.LDE;(2）求点E jlj平丽PAD 的距离19.一地质探测队为探测一矿中金属键的分布悄况，先设了l个原点，再确定了5个采样点，这5个采样点到原点距离分别为儿，其中x = i (i = 1,2,3,4,5），并得到了各采样点金属锐的含量Y ；，得到一组数据（码，只），i =1,2,3,4,S ，经计算得到如下统计量的值：主只＝62，主（λ；-x ）（川）＝47，主li;""4.烈主（川)2,::: l饥�：（u, -u)(y, -y) "'19.38，其中问＝I叫，（i = 1,2,3,4,5).(1）利用相关系数判断y =a+bx 与y ＝α＋blnxl!)J l l 一个更适宣作为y关于x的回归模型：(2）建立y关于x的回归方程．参考公式：回归方程y ＝α＋bf 中斜率、截距的最小二乘估计公式、相关系数公式分别为艺（t,－η（y;-y) 艺以－f 冯工（t;-T)(y, -y)b = .l=• " ＝牛一一－,a= y-bt ,三（，，-r )'L r? -n,-2 19.382参考数据：－一一＝232.56l .615，＝i（卜，')120.己失u椭困C ：兰＋t =l （α＞b >O ）的焦距为2♂，左、右］页，奇分别为A ，’Az，上顶α0 为8，且t a nLA,B O =2.(1）求椭圆C的方程：(2）若过A，且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交干点Q ，与Z主线A,B 相交于点P,与y辅相交子点M ，旦IPAillMQI = 3IQAzllM叫．求k的值．21.己知函数f （巾。
2024北京西城区高三二模数学试题及答案
2024北京西城高三二模数 学2024.5本试卷共 6 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是,1)-，则⋅=z z （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（2）已知向量,a b 满足(4,3)=a ，2(10,5)-=-a b ，则（A ）0+=a b （B ）0=⋅a b （C ）||||>a b （D ）//a b（3）已知集合{}1,0,1=-A ，{|}>=x x c B ．若{}0,1=A B I ，则c 的最小值是（A ）1（B ）0（C ）1-（D ）2-（4）设443243210(21)-=++++x a x a x a x a x a ，则1234+++=a a a a （A ）1-（B ）0（C ）1（D ）2（5）已知,R R ∈∈a b ．则“1>ab ”是“222+>a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22:1+=C mx ny 的焦点在y 轴上，且C 的离心率为2，则（A ）30-=m n （B ）30-=m n （C ）30+=m n （D ）30+=m n （7）将函数()tan =f x x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()=g x （A ）1tan -x （B ）1tan --x （C ）tan (1)--x （D ）tan (1)-+x （8）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF ，其中面ABCD 为正方形．若6cm =AB ，3cm =EF ，且EF 与面ABCD 的距离为2cm ，则该楔体形构件的体积为（A ）318cm （B ）324cm （C ）330cm （D ）348cm （9）已知{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，1233,2==a S ．若对任意正整数n ，都有(1)0--⋅>n n S A ，则A 的取值范围是（A ）(3,1)-（B ）[2,1)-（C ）3(3,)2-（D ）3[2,)2-（10）一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
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北京市朝阳区2017届高三数学二模试题文
（考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）已知i 为虚数单位，则复数对应的点位于
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
（2）已知，则下列不等式一定成立的是
（A ）（B ）（C ）（D ）
（3）执行如图所示的程序框图，则输出的值是
（A）15 （B）29（C）31（D）63
否
（4）“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（5）将函数图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，则实数的最大值为
（A ）（B ）（C ）（D ）
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为
（A）（B ）（C）（D ）
（7
）已知过定点
的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当
的面积最大时，直线的倾斜角为 （A ） （B ）
（C ）
（D ）
（8）“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为，，（
且
），选手最终得分为各项得分之和．已知
甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是
(A)甲（B ）乙（C ）丙（D ）乙和丙都有可能
第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知集合
，
，则．
（10）在平面直角坐标系中，已知点
,
,
，点
为
边界及
内部的任意一点，则的最大值为．
（11）已知平面向量满足
，且
，
，则与的夹角等于.
（12）设函数
则
；若在其定义域内为单调递增函数，则
实数的取值范围是．
俯视图
正视图
侧视图。