向量法求二面角
二面角法向量求法
二面角的表示方法
二面角是由两个半平面所组成 的图形，其大小由两个半平面
的夹角决定。
二面角可以用角度制或弧度制 来表示，与平面角和空间角类
似。
二面角的大小与两个半平面的 方向有关，与半平面的大小无 关。
在求解二面角的大小时，通常 需要先找到两个半平面的法向 量，然后计算两个法向量之间 的夹角即可得到二面角的大小 。
二面角法向量求法
汇报人：XX 2024-01-23
• 引言 • 二面角的表示方法 • 法向量的求解方法 • 二面角法向量的性质 • 二面角法向量的应用 • 总结与展望
01
引言
二面角的定义
二面角是由两个半平面所组成的 图形，其大小由这两个半平面的
夹角决定。
二面角的大小范围在0°到180°之 间，当两个半平面重合时，二面 角为0°；当两个半平面形成一条
面积射影定理
根据面积射影定理，二面角的余弦值等于两个半 平面在棱上的投影面积之比。因此，可以通过求 出两个半平面在棱上的投影面积，然后利用面积 射影定理求出二面角的大小。
三垂线定理及其逆定理法
利用三垂线定理或其逆定理，可以构造出与二面 角的棱垂直的线段，进而通过解三角形求出二面 角的大小。
空间向量夹角公式
03
法向量的求解方法
平面法向量的求解方法
直接法
如果平面上的一个向量 已知，则该向量即为平 面的法向量。
待定系数法
设平面的法向量为 n=(x,y,z)，根据平面的 方程可以列出关于x,y,z 的方程组，通过求解方 程组得到法向量。
向量积法
如果平面上有两个不共 线的向量a和b，则平面 的法向量n可以通过计 算向量a和b的向量积得 到，即n=a×b。
法向量法求二面角课件-2025届高三数学一轮复习
平面，、 ⊂ 平面，则, .
∴ 以为原点，为x轴，以过点与平行的直线为轴，为轴 . 建立
空间直角坐标系.
1、建立坐标系
所以 0,0,0 , 0,0,1 , 1,1,0 , 1,0,0 ,
| ∙ |
1
1
3、利用数量积
所以： = | , | =
=
=
2∙ 2 2
所以二面角 − −
的大小为
3
4、判断角大小
变式训练，构建模型
2、如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，
A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，O1O⊥底
n1，
n2
n1，
n2
l
cos
n1，
n2
n1，
n2
l
cos n1, n2 cos
cos n , n
1
2
总结:解题时我们只需观察图形是二面角是锐角还是钝角，
再根据所求法向量夹角的余弦值下结论即可！
法向量法求二面角的步骤：
1、建立坐标系，两两互垂直
面ABCD. 求二面角B－A1C－D的余弦值.
解
因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又
O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角
坐标系.
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，
所以 OB＝ 3，OC＝1，
利用法向量求二面角
2
课前热身
在正方体ABCD A1B1C1D1中，求锐二面角A1 DB A的余弦值。
解：作DB的中点O, 连结AO 1 , AO 在正方体中A1D AB, AD AB AO BD, AO BD 1
AOA 为二面角A1 DB A的平面角 1 A1 不妨设AA 2，则AO 2，
7
课后练习
在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO ⊥面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8， PO=4，AO=3，OD=2. 在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二 面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理 由。
P
A O Bห้องสมุดไป่ตู้D
C
课堂总 结
思想方法
1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、 面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、 利用数量积的夹角公式计算. 2.合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系， 建系 方法的不同可能导致解题的简繁程度不同. (2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就 以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽 可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建 立时以其中的垂直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系， 在没有现成的垂直关系时要通过其 他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.
课题：利用法向量求二面角
——小越中学 章惠芳
1
复习回顾
高中数学求二面角技巧
高中数学求二面角技巧
高中数学中，求解二面角是一项重要的技巧。
二面角是指两个平面相交而形成的角度，常常出现在几何题目中。
以下是一些求解二面角的技巧：
1. 使用向量法求解二面角
向量法是求解二面角的常用方法。
假设有两个平面AB和CD，且它们相交于一条直线EF。
设向量AB=n，向量CD=m，向量EF=a，则二面角θ的余弦值为：
cosθ=(n·m)/( |n|·|m| )
其中，n·m表示n和m的数量积，|n|和|m|表示向量n和向量m 的模长。
2. 利用三角函数求解二面角
如果已知二面角的两个面的斜率，可以使用三角函数求解二面角。
设两个平面的斜率分别为k1和k2，则二面角的正切值为：
tanθ=(k1-k2)/(1+k1k2)
可以使用反正切函数求解出二面角的值。
3. 利用平面几何知识求解二面角
通过平面几何知识，可以求解出两个平面的交线与一个球面的交线，从而求解二面角。
设两个平面在点O处相交，交线为AB和CD，球心为O，球面与交线AB和CD的交点分别为P和Q，则二面角θ等
于∠POQ。
以上是求解二面角的一些常用技巧，希望对高中数学学习有所帮
助。
法向量求二面角公式
法向量求二面角公式在几何学中，二面角是一种重要的概念，它由两条相交的平面构成。
此外，当两条相交的直线所在的平面具有相同的法向量时，它们构成的夹角叫做二面角。
而要求出两个法向量构成的二面角，可以采用“法向量求二面角公式”。
“法向量求二面角公式”可以用下面的公式表示：α = arccos (N1 . N2 / (|N1| |N2|))其中，N1、N2分别是两个法向量，“.”表示内积，“|N1| |N2|”表示两个法向量的向量积，α表示由N1、N2两个法向量构成的夹角。
要用“法向量求二面角公式”求出N1、N2两个法向量的夹角，第一步是求出N1、N2的值。
N1、N2的值可以用下面的公式求得： N1 = (x1, y1, z1)N2 = (x2, y2, z2)其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别表示两个法向量在三个坐标方向上的值，x1、y1、z1是N1在三个坐标方向上的值，x2、y2、z2是N2在三个坐标方向上的值。
第二步，根据求得的N1、N2值，就可以用“法向量求二面角公式”求出N1、N2所构成的夹角，具体公式如上所述。
以上就是“法向量求二面角公式”的介绍，它可以帮助我们快速确定两个法向量构成的夹角。
这种公式的优点在于它可以简单快速地求得椭圆夹角、圆柱夹角、椎体夹角等复杂夹角，为几何学研究带来了方便。
当然，如果希望用“法向量求二面角公式”求出精确的夹角，需要准确求出N1、N2的值，还需要采用精度更高的计算机程序。
另外，在计算N1、N2的值时，也要注意两个法向量的向量积及其长度是否相等，不然就会得到错误的结果。
本文介绍了“法向量求二面角公式”，它可以用于求出相交的两个法向量构成的夹角，使几何学研究变得更加容易简单。
然而，为了保证计算出来的结果准确无误，求值时需要考虑到N1和N2之间的向量积及长度等因素。
向量法求二面角
2 2 B 1 ( 0 , a , b ), D ( 3 a , 1 a , 0) 4r uuuu r 3 1 4 uuuu
10
立体几何中的向量方法三
异面直线所成的角
rr 设异面直线a、b的方向向量为a、 b，所成的角为θ， 则有
r r a ⋅b rr cos θ =cos a， = r r b a b
斜线与平面所成的角
r r 设平面α的一个法向量为n，斜线AB的一个方向向量为a， AB与α 所成的角为θ，则有
r r n ⋅a rr sin θ = cos a， = r r n n a
例2、在正方体 1中，E是BB1中点，求 、在正方体AC 是 中点， 的大小； （1）二面角 ）二面角A-DE-B的大小； 的大小
(2 ) 面 A D E 与 面 B 1C 1 E 所 成 二 面 角 的 余 ( 3) 求面ADE与面A1DE所成二面角的大小； Z D1 C1
弦 ；
A1 D A X
二面角及其平面角
B
α
l
o
A
β
例1：（1）已知二面角α -l-β的大小为1200，AC ⊂ α， BD ⊂ β , AC ⊥ l，BD ⊥ l , B、A为垂足， AC = 1, AB = 1, BD = 1, 求CD的长；
D1 A1 B1C1D Fra bibliotek BC
（2）已知二面角α -l-β中，AC ⊂ α，BD ⊂ β , AC ⊥ l， BD ⊥ l , B、A为垂足， AC = 1, BA = 1, BD = 1, CD =2； 求二面角α -l-β的大小；
向量法求二面角的大小
向量投影的计算方法：先求出两个向量的点积和模长然后根据定义计算投影长度。
向量投影的应用：在几何、物理和工程等领域中向量投影是重要的概念用于描述方向、速度和力等物理量在某个 方向上的分量。
向量投影的定义：向量的投影是该向量在给定平面上的正交投影长度。
向量法在二面角计算中的步 骤
向量法的基本原理
ห้องสมุดไป่ตู้
向量法在二面角计算中的优 势
向量法在二面角计算中的注 意事项
向量法求二面角大 小的步骤
确定原点：选择一个方便的点作为 原点通常选择二面角的顶点
确定坐标：根据需要在x轴和y轴上 选择单位长度并确定其他点的坐标
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
确定轴：选择两个垂直的向量作为 x轴和y轴通常选择二面角的两个法 向量
向量投影的性质：投影长度总是非负的且与原向量平行。
向量投影的计算方法：先求出原向量与给定平面的法向量的点积再除以法向量的模的平 方。
向量投影的应用：在求解二面角的大小、向量的模等问题中可以通过计算向量投影来简 化计算。
向量法求二面角大 小的原理
单击此处添加标题
向量法定义：利用向量的数量积、向量积和向量的混合积计算二面角的大小。
向量的模定义：向 量的大小或长度记 作||计算公式为|| = √(x^2 + y^2)。
向量的数量积定义： 两个向量的点乘记 作 ·b 计 算 公 式 为 ·b = ||·|b|·cosθ其中 θ为两向量之间的 夹角。
向量的数量积性 质 ： ·b = b ·即 点 乘 满足交换律；分配 律 ： ( + b ) ·c = ·c + b ·c 。
空间向量二面角求法
空间向量二面角求法空间向量二面角是指两个非零向量之间的夹角。
在空间中，向量的方向和大小都是重要的，因此求解空间向量的二面角是一项重要的任务。
本文将介绍几种常见的方法来计算空间向量的二面角。
一、点乘法点乘法是最简单直接的方法之一。
给定两个向量a和b，它们的点乘结果可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。
通过对点乘结果进行逆余弦运算，可以得到夹角的大小。
然而，点乘法只适用于平面内的向量，对于空间向量则不适用。
二、向量投影法向量投影法是通过将一个向量投影到另一个向量上，然后计算投影向量与原向量之间的夹角来求解二面角。
具体方法是，首先计算向量a在向量b上的投影向量p，然后计算向量a与投影向量p之间的夹角θ。
这种方法适用于空间向量，但需要计算向量的投影，相对复杂一些。
三、向量叉乘法向量叉乘法是一种常用的求解空间向量二面角的方法。
给定两个向量a和b，它们的叉乘结果可以表示为|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。
通过对叉乘结果进行逆正弦运算，可以得到夹角的大小。
这种方法适用于空间向量，且不需要计算向量的投影，相对简单方便。
四、三角函数法三角函数法是一种基于三角函数的计算方法。
给定两个向量a和b，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ=(a·b)/(∥a∥∥b∥)sinθ=∥a×b∥/(∥a∥∥b∥)tanθ=sinθ/cosθ通过上述公式，可以根据向量的点乘和叉乘结果来计算夹角的大小。
这种方法适用于空间向量，且具有较高的计算准确性。
总结：空间向量的二面角求解是一个重要的问题，涉及到向量的方向和大小。
本文介绍了几种常见的求解方法，包括点乘法、向量投影法、向量叉乘法和三角函数法。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法来求解空间向量的二面角。
在实际应用中，需要根据具体问题的要求和计算复杂度来选择合适的方法。
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实践操作
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：
1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；
2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的
夹角；
3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或
钝角，得出问题的结果．
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
巩固练习： 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC 的中点，求二面角A—DQ—A1的余弦值．
n1 n cos cos n1 , n2 2 n1 n2
根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
n1 , n2
n1 n cos cos n1 , n2 2 n1 n2
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,
1 AD SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1， ， 2
求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值．
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,
1 AD SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1， ， 2
四、教学过程的设计与实施
1
温故知新
异面直线所成的角
v1
v2
v1
|
v2
v1 , v2
v1 , v2
四、教学过程的设计与实施
1
温故知新
直线与平面所成的角
n
直线的方向向量为 a ，平面的法向量为 n
a
a
B
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
问题3：
法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么
时候互补？
再次演示课件
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
当法向量 n1 ， n 2 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时， 二面角的大小 n1 , n2 ； 当法向量 n1 ， n 2 同时指向二面角内或二面角外时， 二面角的大小 n1 , n2 ．
向量法求二面角的大小
四、教学过程的设计与实施
1
温故知新
如何度量二面角α—l—β的大小
B O A
l
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
问题1： 二面角的平面角AOB 能否转化成向量的夹角？
B
O l A
AOB OA, OB 二面角 OA, OB
四、教学过程的设计与实施
求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值．
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
解：由 SA⊥平面 ABCD，AB⊥AD，SA，AB，AD 两两互相垂直． 以 A 为坐标原点，AD 所在的直线为 x 轴，AB 所在的直线为 y 轴 建立空间直角坐标系 A-xyz，则
1 1 S (0, 0,1) ， S ( , 0, 0) ， C (1,1, 0) ， SD ( , 0, 1) ， SC (1,1, 1) ， 2 2 设平面 SCD 的法向量为 n (x, y, z)，则 nSD 0， nSC 0，
转化为坐标运算，得
1 x z 0, 2 x y z 0.
取 z=1，则 n (2,1,1) ，
1 2 0 (1) 0 1 n AD 6 2 cos n, AD 1 3 ． n AD 6 2
四、教学过程的设计与实施
1 x z 0, 2 x y z 0.
取 z=1，得 n (2,1,1) ，
1 ,0,0) ， 2
C(1,1,0， SC (1,1,1) ， SD ( 1 ,0,1) ， 2
cos n, AD
n AD n AD
6 3
1 AD ( ,0,0) 为平面 SAB 的法向量， 2
2
探究方法
二面角 n1 , n2
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
问题2：
求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与
平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半
平面的法向量有没有关系？
n
n1
n2
a
l
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
n1 , n2
四、教学过程的设计与实施
板书设计
用向量法求二面角的大小 1、
3、例题 解： SA、 、 两两垂直， A 为坐标原点， AB AD 以 由 n SC 0 ， n SD 0 ，得
n1 , n2 , cos
2、
n1 n2 n1 n2
AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz， 则 A(0,0,0)，S(0,0,1)，D (
2
a, n
n
a, n
2
n, AD 与二面角大小相等
n1 , n2
cos n1 n2 n1 n2
n1 , n2
cos n1 n2 n1 n2
, 设平面 SCD 的法向量为 n (x y, z)，
平面 SAB 与平面 SCD
二面角的余弦值
的所成
6 3
四、教学过程的设计与实施
4
归纳总结
半平面内分别垂直于棱的向量的夹角
两种方法
两个平面的法向量的夹角求解
一个步骤
用法向量求二面角大小的步骤
数形结合
两个思想
类比化
四、教学过程的设计与实施
4
归纳总结
课后作业：
1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1 ，
试用多种方法求二面角A1－BD－C1的余弦值．