高数下册积分重点
高三数学积分知识点
高三数学积分知识点数学积分是高三数学教学中的一个重要知识点，它是微积分的一个分支，主要涉及函数的定积分、不定积分以及应用问题。
本文将介绍高三数学积分的相关概念和常用方法，帮助学生更好地掌握和应用积分知识。
一、定积分定积分是积分的一种形式，它表示在函数曲线与坐标轴之间的有界区域的面积。
定积分可以用来求函数的面积、曲线的长度以及质量、体积等相关问题。
定积分的计算需要用到积分上限、下限和被积函数，一般记作∫(a,b)f(x)dx，其中a和b是积分上下限，f(x)是被积函数。
定积分的计算可以通过多种方法，常用的方法有：1. 用几何图形求解：当被积函数与坐标轴之间的区域可以表示为几何图形（如矩形、三角形、圆形）时，可以直接使用相应几何图形的求面积公式计算定积分。
2. 用基本积分公式求解：对于一些简单的函数，可以根据其基本积分公式进行求解。
例如，对于幂函数f(x)=x^n，当n不等于-1时，其基本积分公式为∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常数。
3. 用换元法求解：对于一些复杂的函数，可以通过引入新的变量进行变换，将原函数转化为求解简单的形式。
换元法的关键是选择合适的代换变量，使得被积函数在新变量下的积分形式更加简单。
二、不定积分不定积分是对原函数的求解，它表示求解一个函数的导函数。
不定积分的结果通常带有一个不确定的常数C，并且不定积分与导函数有着一一对应的关系。
不定积分的记号为∫f(x)dx，其中f(x)表示被积函数。
不定积分的计算需要用到基本积分公式和积分的线性性质，常见的基本积分公式包括：1. ∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n不等于-1；2. ∫k f(x) dx = k∫f(x) dx，其中k为常数；3. ∫(f(x)±g(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx。
对于复杂的函数，不定积分的计算同样可以使用换元法、分部积分法等方法。
高数大一下积分知识点总结
高数大一下积分知识点总结在大一下学期的高等数学课程中，积分是一个重要的知识点。
积分作为微积分的一个重要分支，不仅具有理论上的意义，也有实际应用价值。
下面我将对大一下积分的知识点进行总结，以帮助同学们更好地学习和掌握这一内容。
1. 定积分定积分是积分的一种形式，表示函数在某一区间上的总和。
其定义如下：$$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$$其中，$f(x)$是被积函数，$a$和$b$为积分的下限与上限，$F(x)$为$f(x)$在区间$[a,b]$上的原函数。
2. 基本积分公式在求解定积分时，常常需要用到基本积分公式。
以下是一些常用的基本积分公式：- $\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$n\neq-1$，$C$为常数。
- $\int e^xdx=e^x+C$- $\int \sin xdx=-\cos x+C$- $\int \cos xdx=\sin x+C$- $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$3. 积分法则积分法则是指求解积分时常用的一些规则和方法，包括线性性质、分部积分法、换元积分法等。
- 线性性质：$\int (af(x)+bg(x))dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx$，其中$a,b$为常数。
- 分部积分法：$\int u \cdot dv = uv - \int v \cdot du$，其中$u$和$v$是可微函数。
- 换元积分法：设$y=g(x)$为$x=f(u)$的反函数，若$f'(u)$与$g'(x)$都存在且连续，则有$\int f(u)g'(u)du=\int f(x)dx$。
4. 微元法与定积分的关系微元法是使用微积分中的微分思想求解积分的方法，通过将函数分割为无穷小的微元，将积分问题转化为求和问题。
定积分可以看作是微元法的一个特例，当区间上的微元无穷小时，定积分就可以表示为无穷和的极限形式。
高中数学积分知识归纳总结
高中数学积分知识归纳总结积分是高中数学中非常重要的概念，它在微积分领域扮演着至关重要的角色。
本文将对高中数学积分的相关知识进行归纳总结，帮助读者更好地理解与掌握积分概念和应用。
1. 积分的概念与性质积分是微积分的基本概念之一，它与导数有着密切的联系。
积分的定义可以用极限的概念进行描述，即通过将一个函数逐段近似，求出每个小面积的和，从而得到函数的积分值。
积分具有线性性质、保号性质和可加性等重要性质，这些性质在积分计算中起着重要的作用。
2. 不定积分与定积分在积分的计算中，常常会涉及到不定积分和定积分。
不定积分是对函数进行积分运算，得到一个含有常数项的表达式，通常记作∫f（x）dx。
定积分则是对函数在给定区间上的积分运算，得到一个确定的数值结果，通常用记号∫a^bf（x）dx表示。
不定积分和定积分是积分的两个基本概念，它们有着密切的联系和相互转化的关系。
3. 基本积分公式为了更方便地进行积分计算，高中数学课程给出了一系列基本积分公式。
这些公式包括常数函数积分、幂函数积分、指数函数积分、三角函数积分、与自然对数相关的积分等。
学生应该牢记这些基本积分公式，并能够熟练地运用它们解决具体问题。
4. 积分的计算方法积分的计算方法有很多种，其中常见的方法包括换元法、分部积分法、有理函数的积分、三角函数的积分、凑微分法等。
这些方法在具体题目中的应用需要灵活运用，才能有效地求解积分。
5. 积分的应用积分不仅仅是一种纯数学运算，更是在实际应用中的重要工具。
高中数学中，积分的应用非常广泛，如求曲线的面积、求解定积分方程、求取物体的质量与重心等。
在物理、经济、生物等领域，积分的应用更是与实际问题的建模和求解密切相关。
通过以上总结，我们可以看到高中数学积分不仅是数学知识体系中重要的一环，更是与实际应用紧密相连的工具。
掌握了积分的概念、性质、不定积分与定积分的区别，以及基本积分公式和计算方法，对于高中数学学习和日后的大学数学学习都具有重要意义。
高等数学（下册）线积分要点总结
线积分要点总结
对弧长的曲线积分 积分路径 积分路径 L 路径的数学描述 平面路径 计算公式和典型例题
L : y ( x) ,( x ) x (t ) ( t ) L: ( ) y t
L
f ( x, y, z )ds f ( (t ), (t ), (t ))
2 (t ) 2 (t ) 2 (t )dt
典型题：130 页例 2、3；131 页，作业题 3 题（5，6，7）。
路径对称性和函数奇偶性：路径 L 关于 X 轴对称，函数关于 Y 是奇函数；路径 L 关于 XOY 平面对称，函数关于 Z 函数奇函数；积分都是 0。 应用：知道弧线 L 的线密度 ( x, y, z ) ，求 L 的质量，公式： 对坐标的曲线积分 积分路径 L 路径的数学描述 平面路径： 计算公式和典型例题 化成一元函数积分，计算公式： 典型题：137 页，例 1，2，3，4z ) ds
L : y ( x) , ( x 从 到 对应曲线正向) x (t ) L: y (t ) ( t 从 到 对应曲线正向)
空间路径：
x (t ) L : y (t ) z (t ) ( t 从 到 对应曲线正向)
x (t ) L : y (t ) ( t ) z (t )
L
f ( x, y ) ds f ( x, y ( x)) 1 y '2 ( x) dx
a
b
典型题：130 页例 1；131 页，作业题 3 题（2，3，4）
高数下册积分重点
微积分下册常见六种积分考试重点二重积分、三重积分第一型曲线积分、曲面积分第二型曲线积分、曲面积分二重积分/累次积分⎰⎰Dd y x f σ),(1）⎰⎰D在有界闭区域D 上进行积分的积分符号；D Oxy 平面上的有界闭区域，积分区域；f (x,y )被积函数（其在D 上连续才可积），比如可以是区域D 的密度大小，也可以表示底面是D 的曲顶柱体的高。
2）d σ Oxy 平面上微小区域面积，面积元素（d 微分；σ D 中微小区域，微小曲顶柱体的底面积）。
3）微小面质量=微小面密度×微小面积；微小曲顶柱体面积=微小曲顶柱体高×微小曲顶柱体底面长度；f (x,y )d σ 微小面质量或者微小面积，被积表达式。
4）σd y x f D⎰⎰),( 曲面D 的质量，曲顶柱体面积。
此处应注意：f (x,y )>0时，二重积分积分的现实意义才成立。
5）的面积。
即为时，注意：当D D d y x f y x f D)(),(1),(σσ=≡⎰⎰6）二重积分的计算：化二重积分为二次积分{}{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=≤≤≤≤==≤≤≤≤==)()(21)()(212121),(),(,),()(),(),(),(,),()(),()1y x y x baDx y x y ba Ddxy x f dy d y x f b y a y x x y x y x D dy y x f dx d y x f b x a x y y x y y x D dxdyd σσσ当当型域条件下， {}⎰⎰⎰⎰⎰⎰==≤≤≤≤=⎩⎨⎧===⨯=)()(2121)sin ,cos ()sin ,cos (),(),()(),(,sin cos )2x r x r DDrdrr r f d dr rd r r f d y x f r r r r D r y r x drrd dr rd d θθθθθθσβθαθθθθθθθσβα极坐标条件下， ⎰⎰⎰⎰'=≠∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂='→⎩⎨⎧===D DdudvJ v u y v u x f d y x f vy uyv xu xv u y x J D D v u y y v u x x D dudvJ d )),(),,((),(0),(),(,,),(),()3σσ令对于区域换元条件下，三重积分dV z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(1）⎰⎰⎰Ω在有界闭区域Ω上进行积分的积分符号；Ω Oxyz 空间中的有界闭区域，积分区域，代表一几何体；f (x,y,z ) 被积函数（其在Ω上连续才可积），可以是区域Ω的密度大小。
04高数——多元函数积分学知识点速记
多元函数积分学1、不定积分1）原函数定义定义在某区间I 上的函数()f x ，若对I 的一切x ，均有()()F x f x '=，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数。
若函数()f x 存在原函数，则()f x 就有无穷多个原函数，可表示为()F x C +。
2）不定积分定义函数()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰。
若()F x 是()f x 的一个原函数，则()()d f x x F x C =+⎰（C 为任意常数）3）不定积分计算：①第一类换元积分法：设()f u 具有原函数()F u ，而()u x ϕ=可导，则有()()()()d d f x x x f u u F x C ϕϕϕ'==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰②第二类换元积分法：设()x t ϕ=在区间[],αβ上单调可导，且()0t ϕ'≠，又设()()f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦具有原函数()F t ，则有()()()()()1d d f x x f t t t F t c F x Cϕϕϕ-'⎡⎤==+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰式中，()1x ϕ-为()x t ϕ=的反函数。
高 数多元函数积分学知识点速记③分部积分法：设()u x ，()v x 可微，且()() d v x u x ⎰存在，由公式()d d d uv u v v u =+得到分部积分公式d d u v uv v u=-⎰⎰2、定积分1）两点规定：①当a b =时，()d 0b a f x x =⎰；②当a b >时，()()d d b a a b f x x f x x =-⎰⎰2）积分上限函数及其导数①()d xa f x x ⎰为积分上限函数，记作()()d x ax f x x Φ=⎰，经常写成如下形式()()()d xa f t t a x xb Φ=≤≤⎰②积分上限函数的导数()()()d x a x f t t f x '⎡⎤'Φ==⎢⎥⎣⎦⎰()a xb ≤≤③()()()()()()()d g x h x f t t f g x g x f h x h x '⎡⎤''==⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰3、定积分的应用旋转体的体积：设由曲线()y f x =，直线x a =，x b =以及x 轴围成的平面图形，绕x 轴旋转一周而生成的旋转体的体积，则()2πd b x aV f x x =⎡⎤⎣⎦⎰平行截面面积为已知的立体的体积：设立体由曲面S ，以及平面x a =、x b =所围成，且对于[],a b 上任一点x 作垂直截面，截得的面积()A A x =为x 的连续函数，则()d bc V A x x =⎰4、二重积分1）二元函数(),f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(),d D f x y σ⎰⎰2）(),d f x y σ⎰⎰表示以曲面(),z f x y =为顶，以区域D 为底，以D 的边D界为准线，母线平行于 Oz 轴的柱面围成的曲顶柱体的体积。
高等数学积分知识点总结
高等数学积分知识点总结高等数学积分知识点总结漫长的学习生涯中，很多人都经常追着老师们要知识点吧，知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。
相信很多人都在为知识点发愁，下面是店铺整理的高等数学积分知识点总结，仅供参考，希望能够帮助到大家。
高等数学积分知识点总结1一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3.参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >=()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0<x<兀 2时，2="" 兀<<1<="" p="">2. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a)<= <=M(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法高等数学积分知识点总结2A．Function函数（1）函数的定义和性质（定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等）（2）幂函数（一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数）（3）指数和对数（指数和对数的公式运算以及函数性质）（4）三角函数和反三角函数（运算公式和函数性质）（5）复合函数，反函数*（6）参数函数，极坐标函数，分段函数（7）函数图像平移和变换B．Limit and Continuity极限和连续（1）极限的定义和左右极限（2）极限的运算法则和有理函数求极限（3）两个重要的极限（4）极限的应用-求渐近线（5）连续的定义（6）三类不连续点（移点、跳点和无穷点）（7）最值定理、介值定理和零值定理C．Derivative导数（1）导数的定义、几何意义和单侧导数（2）极限、连续和可导的关系（3）导数的求导法则（共21个）（4）复合函数求导（5）高阶导数（6）隐函数求导数和高阶导数（7）反函数求导数*（8）参数函数求导数和极坐标求导数D．Application of Derivative导数的应用（1）微分中值定理（D-MVT）（2）几何应用-切线和法线和相对变化率（3）物理应用-求速度和加速度（一维和二维运动）（4）求极值、最值，函数的增减性和凹凸性*（5）洛比达法则求极限（6）微分和线性估计，四种估计求近似值（7）欧拉法则求近似值E．Indefinite Integral不定积分（1）不定积分和导数的关系（2）不定积分的公式（18个）（3）U换元法求不定积分*（4）分部积分法求不定积分*（5）待定系数法求不定积分F．Definite Integral 定积分（1）Riemann Sum（左、右、中和梯形）和定积分的定义和几何意义（2）牛顿-莱布尼茨公式和定积分的.性质*（3）Accumulation function求导数*（4）反常函数求积分H．Application of Integral定积分的应用（1）积分中值定理（I-MVT）（2）定积分求面积、极坐标求面积（3）定积分求体积，横截面体积（4）求弧长（5）定积分的物理应用I．Differential Equation微分方程（1）可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程（2）斜率场*J．Infinite Series无穷级数（1）无穷级数的定义和数列的级数（2）三个审敛法-比值、积分、比较审敛法（3）四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数（4）函数的级数-幂级数（收敛半径）、泰勒级数和麦克劳林级数（5）级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差注意：（1）问答题主要考察知识点的综合运用，一般每道问答题都有3-4问，可能同时涵盖导数、积分或者微分方程的内容，解出的答案一般都是保留3位小数。
高数(同济第六版)下册多元函数的积分学及其应用知识点
第十章多元函数的积分学及其应用一、二重积分1．二重积分的概念�定义：设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，“分割、近似、求和、取极限”：01(,)lim (,)n i iii D f x y d f λσξησ→==∆∑∫∫其中：D 为积分区域，(,)f x y 称为被积函数，d σ为面积元素。
�几何意义：当(,)0f x y ≥，(,)D f x y d σ∫∫表示以区域D 为底、以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积。
�非均匀平面薄片的质量：(,)DM x y d µσ=∫∫。
2．二重积分的性质�性质1（线性性质）.),(),()],(),([∫∫∫∫∫∫±=±DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα�性质2（区域具有可加性）如果闭区域D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域1D 和2D ,则.),(),(),(21∫∫∫∫∫∫+=D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ�性质3如果在闭区域D 上,σ,1),(=y x f 为D 的面积,则.1σσσ==⋅∫∫∫∫DD d d 几何意义：以D 为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
�性质4（单调性）如果在闭区域D 上,有),,(),(y x g y x f ≤则.),(),(∫∫∫∫≤DD d y x g d y x f σσ推论1.|),(|),(∫∫∫∫≤DD d y x f d y x f σσ推论2设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值,σ为D 的面积,则.),(σσσM d y x f m D≤≤∫∫这个不等式称为二重积分的估值不等式。
�性质5（积分中值定理）如果函数(,)f x y D 上连续，σ是D 的面积，那么在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅∫∫。
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微积分下册常见六种积分考试重点二重积分、三重积分第一型曲线积分、曲面积分第二型曲线积分、曲面积分二重积分/累次积分⎰⎰Dd y x f σ),(1）⎰⎰D 在有界闭区域D 上进行积分的积分符号；D Oxy 平面上的有界闭区域，积分区域；f (x,y ) 被积函数（其在D 上连续才可积），比如可以是区域D 的密度大小，也可以表示底面是D 的曲顶柱体的高。
2）d σ Oxy 平面上微小区域面积，面积元素（d 微分；σ D 中微小区域，微小曲顶柱体的底面积）。
3）微小面质量=微小面密度×微小面积；微小曲顶柱体面积=微小曲顶柱体高×微小曲顶柱体底面长度；f (x,y )d σ 微小面质量或者微小面积，被积表达式。
4）σd y x f D⎰⎰),( 曲面D 的质量，曲顶柱体面积。
此处应注意：f (x,y )>0时，二重积分积分的现实意义才成立。
5）的面积。
即为时，注意：当D D d y x f y x f D )(),(1),(σσ=≡⎰⎰6）二重积分的计算：化二重积分为二次积分{}{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=≤≤≤≤==≤≤≤≤==)()(21)()(212121),(),(,),()(),(),(),(,),()(),()1y x y x b a D x y x y b a D dx y x f dy d y x f b y a y x x y x y x D dy y x f dx d y x f b x a x y y x y y x D dxdyd σσσ当当型域条件下， {}⎰⎰⎰⎰⎰⎰==≤≤≤≤=⎩⎨⎧===⨯=)()(2121)sin ,cos ()sin ,cos (),(),()(),(,sin cos )2x r x r D D rdr r r f d dr rd r r f d y x f r r r r D r y r x drrd dr rd d θθθθθθσβθαθθθθθθθσβα极坐标条件下， ⎰⎰⎰⎰'=≠∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂='→⎩⎨⎧===D D dudvJ v u y v u x f d y x f vy u yv x u xv u y x J D D v u y y v u x x D dudvJ d )),(),,((),(0),(),(,,),(),()3σσ令对于区域换元条件下，三重积分dV z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(1）⎰⎰⎰Ω在有界闭区域Ω上进行积分的积分符号；Ω Oxyz 空间中的有界闭区域，积分区域，代表一几何体；f (x,y,z ) 被积函数（其在Ω上连续才可积），可以是区域Ω的密度大小。
2）dV Oxyz 空间中微小区域体积，体积元素（d 微分，V Ω中的微小几何体）。
3）微小体质量=微小体密度×微小体积；f (x,y,z )dV 微小体质量，被积表达式。
4）⎰⎰⎰ΩdV z y x f ),,( 几何体Ω的质量。
此处应注意：f (x,y,z )>0时，三重积分积分的现实意义才成立。
5）的体积。
即为时，注意：当ΩΩ=≡⎰⎰⎰Ω)(),,(1),,(V dV z y x f z y x f6）三重积分的计算：化三重积分为三次积分{}公式应当做相应调整型域型域或者型域，若是是注：此处上的投影在是，其中）先一后二,),,(]),,([),,(),(),,(),(),,(1),(),(),(),(212121xz yz xy dz z y x f d d dz z y x f dV z y x f Oxy D D y x y x z z y x z z y x y x z y x z D y x z y x z D xy xy xy xy Ω==Ω∈≤≤=Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωσσ{}{}。
及公式应当做相应调整型域，型域或者型域，若是是另外，整。
型域，公式应做相应调型域，若是是注：此处）三管齐下xy xy y x z y x z x y x y b a xy xy D xz yz xy y x D dzz y x f dy dx dV z y x f b x a x y y x y y x D D y x y x z z y x z z y x Ω=≤≤≤≤=∈≤≤=Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω),(),()()(21212121),,(),,(),()(),(),(),,(),(),,(2 {}公式应做相应调整取定，或者取定，另外，若对中已将注：所得区域的平面截闭区域是，其中）先二后一z z D b a z z D y x z D dxdy z y x f dz dV z y x f z z D b z a D y x z y x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω=≤≤∈=ΩΩ),,(),,(,),(),,(3 ),(),,(21),sin ,cos (),,(,sin cos sin cos ,,])2,0[,0)(,,(),,()4220000202200z y x z y x f z drdzrd z r r f dV z y x f drdz rd dV zz r y r x y x x z r y x z r r r x Oxy M P z M r r z r z y x M +Ω==⎪⎩⎪⎨⎧===Ω===+=>=<∈≥→⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩϕθθθθθθθθθθθθπθθ可化成）其部分，（轴为旋转轴的旋转体或是以）（积分的最佳条件利用球面坐标计算三重令对于区域的平面，方程轴正向夹角为轴与代表过；方程轴为旋转轴轴的柱面，以代表半径为轴正向面上的投影，在是轴的距离，到代表点柱面坐标OP)(),,(21sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(sin sin ,cos sin sin cos sin sin cos sin cos ,,,])2,0[],,0[,0)(,,(),,()5222220000022002022200z y x z y x f dr d d r r r r f dV z y x f dr d d r dr d r rd dxdydz dV r z r y r x y x x z y x x z r z y x r r r x Oxy M P z r r r M z y x M ++Ω==⨯⨯==⎪⎩⎪⎨⎧===Ω==+===++=>=<>=<=∈∈≥→⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩϕθϕϕϕθϕθϕθϕϕθϕϕϕθϕθϕθθθθθϕϕϕϕθϕπθπϕθϕ可化成）分构成，（由球面或圆锥面或其部）（积分的最佳条件利用球面坐标计算三重令对于区域的平面，方程轴正向夹角为轴与代表过轴为轴的圆锥面，方程代表原点为顶点，程球心在原点的球面，方代表半径为轴正向面上的投影，在是，轴正向，球面坐标OP OM OM ϕθϕθθθθθsin 100cos sin 0cos cos )),,(),,,(),,,((),,(0),,(),,(,),,(),,(),,()62r J r z y x r r J z r z y x dudvdwJ w v u z w v u y w v u x f dV z y x f w z vzu z w y v y u y w x v xu x w v u z y x J w v u z z w v u y y w v u x x dudvdwJ dV -=-==≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=Ω'→Ω⎪⎩⎪⎨⎧===Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ的函数，、、都是、、在球面坐标中，的函数，、、都是、、在柱面坐标中，常用范例。
求三重积分是换元法的柱面坐标、球面坐标法法。
用到求三重积分的换元注：极少数情况下，才，令对于区域换元条件下，第一型曲线积分⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰LL ds z y x f ds y x f ),,(),( 第一型曲线积分又叫作对弧长的曲线积分，或数量值函数的曲线积分1）⎰L 在线段L 上进行积分的积分符号；L 当被积函数是二元函数时，其是Oxy 平面上一条光滑曲线，当被积函数是三元函数时，其是Oxyz 空间中一条光滑曲线；f (x ,y ,z ) 被积函数，一函数值，比如可以是线L 的密度大小，也可以表示底边是L 的曲边梯形的高。
2）ds 微小弧长（d 微分；s 微小线段，微小曲边梯形的底边长度）。
3）微小线质量=微小线密度×微小线长度；微小曲边梯形面积=微小曲边梯形高×微小曲边梯 形底边长度；f (x,y,z )ds 微小线质量或者微小曲边梯形面积，被积表达式。
4）ds z y x f L ⎰),,( 线质量，曲边梯形面积。
此处应注意：f (x,y,z )>0时，第一型曲线积分的现实意义才成立。
5）的长度。
即为时，注意：当L L s ds z y x f z y x f L)(),,(1),,(=≡⎰6）第一型曲线积分计算公式 dt t y t x ds y x f dt t y t x ds b a t t y y t x x L x L d x y ds y x f dxx y ds b a x x x y y L dy dx ds Oxy L dt t z t y t x ds z y x f dt t z t y t x ds b a t t z z t y y t x x L L dx x z x y ds z y x f dxx z x y ds b a x x x z z x y y L dz dy dx ds L b a L b a L b a L ba L ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+'='+'=∈=='+='+=∈==+='+'+'='+'+'=∈==='+'+='+'+=∈===++=)()(),()()(],[),(),(2)(1),()(1],,[),(1)()()(),,()()()(],[),()()(2)()(1),,()()(1],[)()(1222222222222222222222，则：）如果（，公式应做对应调整采用采用线的其他方程若则：）若（平面上的一条光滑曲线是，则若被积函数是二元函数，则，，：）如果（，公式应做对应调整采用采用线的其他方程若，则，，：）若（的方程应首先解出第一型曲线积分的计算第一型曲面积分⎰⎰∑dS z y x f ),,(第一型曲面积分又叫作对面积的曲面积分，或数量值函数的曲面积分1)⎰⎰∑在有界光滑曲面Σ上进行积分的积分符号；Σ一空间有界光滑曲面；f (x ,y ,z ) 被积函数，一函数值，比如可以是曲面Σ的密度大小，也可以表示底面是Ω的曲面体的高（有限制）。