九年级下册数学解直角三角形同步练习3
人教版九年级数学下册28.2 解直角三角形 同步练习附答案【新】
28.2 解直角三角形第3课时坡角、方向角与解直角三角形1. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1:3，堤坝高BC=50 m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100 m B．1003 mC．150 m D．503 m2. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．(6+3)米 B. 12米 C. (4－23)米 D. 10米3. 如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路l的距离为米．4. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1:5，则AC的长度是cm．5. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003 m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500 m到达目的地C点．（1）求A、C两点之间的距离；（2）确定目的地C在营地A的什么方向？参考答案1．A2．A3．4．2105．解：（1）过B 点作BE ∥AD ，如图，∴∠DAB =∠ABE =60°.∵30°+∠CBA +∠ABE =180°，∴∠CBA =90°， 即△ABC 为直角三角形.由已知可得：BC =500 m ，AB ，由勾股定理可得：AC 2=BC 2+AB 2，∴1000(m)=AC .（2）在Rt △ABC 中，∵BC =500 m ，AC =1000 m ， ∴∠CAB =30°.∵∠DAB =60°，∴∠DAC =30°. 即点C 在点A 的北偏东30°的方向.。
九年级数学下册解直角三角形及其应用同步练习3(新版)新人教版
九年级数学下册解直角三角形及其应用同步练习3〖新版〗新人教版一﹨双基整合:1．轮船航行到C 处时，观测到小岛B 的方向是北偏西35°，那么同时从B•观测到轮船的方向是_________．2．如图1所示，在离地面高度为5m 的C 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成α角，•则拉线AC 的长为_____m 〖用α的三角函数表示〗．(1) (2) (3)3．如图2所示，点B 在点A 北偏西60°方向，且AB=5km ，点C 在点B 北偏东30°方向，且BC=12km ，则A 到C 的距离为________．4．如图3，为了测量河对岸旗杆AB 的高度，在点C 处测得旗杆顶端A 的仰角为30°，•沿CB 方向前进20m 到达D 处，在点D 处测得旗杆顶端A 的仰角为45°，则旗杆AB 的高度为_______〖精确到0.1m ，参考数据：2=1.414，3=1.732〗5．如图4所示，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距〖相邻两树间的水平距离〗•是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是〖 〗A ．6米B ．35米C ．3米D ．12米(4) (5) (6)6．如图5所示，一架飞机在空中A 点处测得飞行高度为h 米，从飞机上看到地面指挥站B 的俯角为α，则飞机与地面指挥站间的水平距离为〖 〗A ．h ·sin α米B ．h ·cos α米C ．h ·tan α米D ．tan h米 7．如图6，在高为h 的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h 表示这个建筑物的高度为〖 〗A ．23hB ．32h C 3h D 38．如图7，上午9时，一条船从A 处出发以20里/时的速度向正北航行，11时到达B 处，从A ﹨B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是〖 〗A ．20里B ．36里C ．72里D ．40里(7) (8)9．如图8所示，拦水坝的横断面为梯形ABCD，已知上底长CB=5米，迎水面坡度为1：3，背水面坡度为1：1，坝高为4米，求：〖1〗坡底宽AD的长；〖2〗迎水坡CD的长；〖3〗坡角α﹨β．二﹨探究创新10．如图，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，•高为AB，•当太阳光与水平线成50°角时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为7m，求树高．〖精确到0.1m〗三﹨智能升级11．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A﹨B﹨C，•景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量，景点D位于景点A的北偏东30′方向8km处，•位于景点B 的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB=5km．〖1〗景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考试其他因素，求出这条公路的长．〖结果精确到0.1km〗．〖2〗求景点C与景点D之间的距离．〖结果精确到1km〗〖参考数据：3，5，sin53°=0.80，sin37°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=0.62，sin52°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73〗．2．如图，海平面上灯塔O方圆100千米范围内有暗礁，•一艘轮船自西向东方向航行，在点A处测量得灯塔O在北偏东60°方向，继续航行100米后，在点B•处测量得灯塔O在北偏东37°方向．请你作出判断，为了避免触礁，这艘轮船是否要改变航向？〖参考数据：sin37°≈0.6018，cos37°≈0.7986，tan37°≈0.7536，cot37°≈1.327，3≈1.732〗答案:1．南偏东55° 2．5sin3．13km 4．27．3m 5．B 6．D 7．A 8．D9．〖1〗〖9+43〗m；〖2〗8m；〖3〗α=30°，β=45°10．解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，∴∠BCD=15°，∠ACD=50°，在Rt△CDB中，CD=7×cos15°，BD=7×sin15°，在Rt△CDA•中，•AD=•CD•×tan50°=7×cos15°×tan50°，∴AB=AD-BD=〖7×cos15°×tan50°-7×sin15°〗=7〖cos15°×tan50°-sin15°〗≈6.2〖m〗11．〖1〗约3.1km；〖2〗约4km12．解：如图过点O作OC垂直于AB的延长线于点C，在Rt△COB中，∠BOC=37°，BC=OC．tan37°，在Rt△AOC中，∠AOC=60°，AC=OCtan60°=3OC，又∵AC=AB+BC，AB=100千米，即3OC=100+•OC·tan37°，≈102.2〖千米〗，∴OC=-︒3tan37故OC>100千米，这艘轮船可以不改变航向，不会触礁．。
人教版九年级数学下册《解直角三角形》同步作业(含答案)
图28-3练习9 解直角三角形一、自主学习1.如图28-3所示，Rt △ABC 中 (1)它三边之间的关系是_________. (2)它两锐角之间的关系是________. (3)它的边角之间的关系是：___________________,____________________； ___________________，__________________； ___________________，____________________； 二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________.3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________.4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________.5.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.6.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.7.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________8.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________.9.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=____.10.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.11.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________.三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21C.1D.)32(21+13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.23514.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的图28-4影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5 图28-6 图28-7A.3m B.3 m C.2 m D.1.5 m15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( ) A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-) D.(23,21-)16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32m C.3 m ，1 mD.1 m,3m17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33m C.3+32 m D.32 m18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552C.553D.3219.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m图28-8 图28-920.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66cm B.68 cm C.38 cm D.154cm21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53B.55C.51 D.52四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-1023.小华所在的学校A位于某工地O的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O出发，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m，问小华所在的学校A是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-1124.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12图28-13参考答案一、自主学习1.如图28-3所示，Rt△ABC中(1)它三边之间的关系是_________.(2)它两锐角之间的关系是________.(3)它的边角之间的关系是：__________________________,_______________________ ______；____________________________，__________________________；___________________________，_________________________；图28-3答案：(1)a 2+b 2=c 2 (2)∠A+∠B=90° (3)sinA=ca ，cosA=cb ，tanA=bacotA=ab ，sinB=cb ，cosB=ca ，tanB=ab ，cotB=ba二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________. 答案：30°3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________. 答案：3310m4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________. 答案：255.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.答案：10106.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.答案：627.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________ 答案：8548.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________. 答案：2329.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=__________.图28-4答案：3310.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.答案：611.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________. 答案：530° 60°三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21 C.1D.)32(21+答案：B13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.235答案：C14.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5A.3m B.3 m C.2 mD.1.5 m 答案：C15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( )A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-)D.(23,21-)答案：A16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32 m C.3 m ，1 mD.1 m,3m图28-6答案：A17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33 m C.3+32mD.32m图28-7答案：C18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552 C.553D.32 答案：D19.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )图28-8A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m 答案：A20.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66 cm B.68 cm C.38cmD.154cm答案：D21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53 B.55C.51 D.52图28-9答案：B 四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-10答案：112 m23.小华所在的学校A 位于某工地O 的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O 出发，以5m/s 的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m ，问小华所在的学校A 是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-11答案：受影响的时间为20 s24.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12 图28-13答案：(1)略(2)约为21.3海里(提示：用题目中的结论)。
人教版九年级数学下册解直角三角形同步练习
人教版九年级数学下册解直角三角形同步练习基础训练知识点1 已知两边解三角形1‘在Rt△ABC中,∠C=90°‘(1)若c=6,a=6,则b=_________,∠B=_______,∠A=_______;(2)若a=4,b=4,则∠A=_______,∠B=_______,c=_______‘2‘如图,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cos A=( )A‘B‘ C‘D‘3‘如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,则tan B=( )A‘2B‘2C‘D‘知识点2 已知一边及一锐角解三角形4‘在Rt△ABC中,∠C=90°‘(1)若∠B=60°,BC=,则∠A=__________,AC=_________,AB=_________;(2)若∠A=45°,AB=2,则∠B=_________,AC=_________,BC=_________‘5‘在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC 等于( )A‘3sin 40°B‘3sin 50°C‘3tan 40°D‘3tan 50°6‘如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,P是BC边上的动点,则AP长不可能是( )A‘3‘5 B‘4‘2 C‘5‘8 D‘77‘如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, D为BC上一点,∠DAC=30°,BD=2,AB=2,则AC的长是( )A‘ B‘2 C‘3 D‘知识点3 已知一边及一锐角的三角函数值解三角形8‘如图,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC=,则对角线AC的长为‘9‘如图,△ABC中,AC=5,cos B=,sin C=,则△ABC的面积是( )A‘B‘12 C‘14 D‘2110‘如图,已知菱形ABCD中,AE⊥BC于点E‘若sin B=,AD=6,则菱形ABCD的面积为( )A‘12 B‘12C‘24 D‘5411‘如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=CD,cos ∠DCA=,BC=10,则AB的值是( )A‘3 B‘6 C‘8 D‘912‘在△ABC中,AB=2,AC=,∠B=30°‘求∠BAC的度数‘提升训练考查角度1 利用三角函数解直角三角形13‘如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=3,解这个直角三角形‘14‘在Rt△ABC中,∠C=90°,已知b=10,∠B=60°,解这个直角三角形‘15‘如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1‘(1)求BC的长;(2)求tan ∠DAE的值‘考查角度2 利用三角函数解斜三角形问题(化斜为直法)16‘如图,在△ABC中,sin B=,∠A=105°,AB=2,求△ABC的面积‘考查角度3 利用三角函数解与相似有关的综合问题17‘如图,在△A BC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD,过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H‘(1)求BD·cos∠HBD的值;(2)若∠CBD=∠A,求AB的长‘18‘如图,两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起,固定△ABC,将△DEF进行如下变换:(1)如图①,△DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动),连接AF,AD,BD,请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系‘(2)如图②,当点F平移到线段BC的中点时,若四边形AFBD为正方形,那么△ABC应满足什么条件?请给出证明‘(3)在(2)的条件下,将△DEF沿DF折叠,点E落在FA的延长线上的点G处,连接CG,请你画出图形,并求出sin∠CGF的值‘①②19‘如图,PB为☉O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交☉O于点A,连接PA,AO‘并延长AO交☉O于点E,与PB 的延长线交于点D‘(1)求证:PA是☉O的切线‘(2)若=,且OC=4,求PA的长和tan D的值‘参考答案1‘【答案】(1)6;45°;45°(2)60°;30°;82‘【答案】D 3‘【答案】B4‘【答案】(1)30°;;2(2)45°;;5‘【答案】D 6‘【答案】D 7‘【答案】A8‘【答案】249‘【答案】A解：如图,过点A作AD⊥BC‘因为cos B=,所以∠B=45°,所以AD=BD‘因为sin C==,所以=,所以AD=BD=3,所以DC===4,所以BC=BD+DC=7,所以S△BC·AD=×7×3=‘ABC=10‘【答案】C解：∵四边形ABCD是菱形,AD=6,∴AB=BC=6‘在Rt△ABE中,sin B=,∵sin B=,∴=,解得AE=4‘∴菱形ABCD的面积是6×4=24‘故选C‘11‘【答案】B解：∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB‘∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA‘∴∠ACB=∠DCA‘∴cos∠ACB=cos∠DCA=,即==,∴AC=8,∴AB==6‘12‘解:(1)如图①,当∠BAC是钝角时,过点A作AD⊥BC,垂足为点D‘在Rt△ABD中,∵∠B=30°,∴∠BAD=60°,AD=AB·sin 30°=1‘在Rt△ACD中,CD===1,∴△ACD是等腰直角三角形,则∠CAD=45°,∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°‘(2)如图②,当∠BAC是锐角时,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D‘∵∠B=30°,∴AD=AB·sin 30°=1,∠BAD=60°‘∴CD===1,∴∠DAC=45°,∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=60°-45°=15°‘综上可知,∠BAC的度数为105°或15°‘常见错解:解题时只考虑了一种情况(∠BAC为钝角或∠BAC为锐角),而忽略了另一种情况(∠BAC为锐角或∠BAC为钝角),从而造成漏解‘13‘解:在Rt△ABC中,AB===6‘∵tan A===1,∴∠A=45°‘∴∠B=90°-∠A=90°-45°=45°‘14‘解:∵∠B=60°,∴∠A=90°-∠B=30°‘∵tan B=,∴a====‘∵sin B=,∴c====‘方法解：已知一个锐角时,可以先根据直角三角形的两锐角互余来计算另一个锐角的度数‘已知一个锐角及对边,常通过正切和正弦来解直角三角形‘15‘解:(1)在△ABC中,∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°‘在△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,∴DC=AD=1‘在△ADB中,∵∠ADB=90°,sin B=,AD=1,∴AB==3,∴BD==2,∴BC=BD+DC=2+1‘(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=BC=+,∴DE=CE-CD=-,∴tan ∠DAE==-‘16‘解:过A作AD⊥BC于D‘在Rt△ABD中,易得∠B=45°,又AB=2,∴∠DAB=∠B=45°,AD=BD=2×=,∴∠CAD=105°-45°=60°‘在Rt△CAD中,tan∠CAD=,∴CD=AD·tan∠CAD=×tan 60°=‘∴BC=CD+BD=+‘∴S△ABC=·BC·AD=(+)×=+1‘17‘解:(1)∵DH∥AB,∴∠BHD=∠ABC=90°, ∴△ABC∽△DHC,∴=‘∵AC=3CD,BC=3,∴CH=1‘∴BH=BC+CH=4‘在Rt△BHD中,cos ∠HBD=‘∴BD·cos∠HBD=BH=4‘(2)方法一:∵∠A=∠CBD,∠ABC=∠BHD,∴△ABC∽△BHD,∴=‘∵△ABC∽△DHC,∴==,∴AB=3DH,∴=,DH=2,∴AB=6‘方法二:∵∠CBD=∠A,∠BDC=∠ADB,∴△CDB∽△BDA,∴=,BD2=CD·AD‘∴BD2=CD·4CD=4CD2‘∴BD=2CD‘∵△CDB∽△BDA,∴=‘∴=‘∴AB=6‘18‘解:(1)S△ABC=S四边形AFBD‘(2)△ABC为等腰直角三角形,即:AB=AC,∠BAC=90°‘理由如下:∵F为BC的中点,∴CF=BF‘∵CF=AD,∴AD=BF‘又∵AD∥BF,∴四边形AFBD为平行四边形‘∵AB=AC,F为BC的中点,∴AF⊥BC‘∴平行四边形AFBD为矩形‘∵∠BAC=90°,F为BC的中点,∴AF=BC=BF‘∴四边形AFBD为正方形‘(3)正确画出图形如图‘由(2)知,△ABC为等腰直角三角形,AF⊥BC,设CF=k,则GF=EF=CB=2k‘由勾股定理,得:CG=k‘sin ∠CGF===‘19‘(1)证明:如图,连接BO,∵PB为☉O的切线,B为切点,∴OB⊥PD,∠PBO=90°‘又∵OA=OB,OC⊥AB,∴∠AOC=∠BOC‘又∵OP=OP,∴△PAO≌△PBO,∴∠PAO=∠PBO=90°,PA=PB,∴PA是☉O的切线‘(2)解:∵∠ACO=∠PAO=90°,∠AOC=∠POA,∴△AOC∽△POA,∴==‘又∵OC=4,∴AC=6‘在Rt△AOC中,OA===2,∴PA=OA=3,∴PB=3‘在Rt△PAO中,PO===13‘如图,连接BE‘∵AE为直径,∴∠ABE=90°‘又∵OC⊥AB, ∴BE∥OP,∴△DBE∽△DPO,BE=2OC=8‘∴=‘即=‘解得BD=‘∴在Rt△DBO中,tan D===‘。
人教版九年级下册数学 28.2.1解直角三角形 同步练习
28.2.1解直角三角形同步练习一．选择题1．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为a，若cos a＝，则这条射线是（）A．OA B．OB C．OC D．OD3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则BC：AC：AB等于（）A．1：2：5B．1：：C．1：：2D．1：2：4．如图：∠C＝90°，∠DBC＝30°，AB＝BD，利用此图可求得tan75°的值是（）A．2﹣B．2+C．﹣2D．+15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠B的余切值为（）A．B．C．D．6．如图，在▱ABCD中，AB：AD＝3：2，∠ADB＝60°，那么cos∠A的值等于（）A．B．C．D．7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，cos C＝，则△BCD与△ABD 的面积比是（）A．1：3B．2：7C．2：9D．2：118．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sin A＝，那么点C的位置可以在（）A．点C1处B．点C2处C．点C3处D．点C4处9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm10．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若＝，则tan∠A＝．12．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，连接AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．13．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，已知AB∥FC，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝8，则CD的长为．14．如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，则tan A＝．15．如图，平面上七个点A、B、C、D、E、F、G，图中所有的连线长均相等，则cos∠BAF ＝．三．解答题16．如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．17．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AB上一点，且tan∠DCB＝．（1）试求cos B的值；（2）试求△BCD的面积．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，CF⊥BD，垂足为点F，延长CF与边AB交于点E．求：（1）∠ACE的正切值；（2）线段AE的长．参考答案一．选择题1．解：过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，∴AB＝＝＝5，AH＝3，∴cos∠BAC＝＝，故选：C．2．解：∵点A的坐标为（3，4），∴OA＝5，∴cos a＝，则这条射线是OA．故选：A．3．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝＝，∴∠A＝30°，cos A＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：2．故选：C．4．解：∵AB＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠DBC＝∠A+∠ADB＝30°，∴∠A＝15°，∴∠ADC＝75°，设CD＝a，在Rt△BCD中，∵∠DBC＝30°，∴BD＝2a，BC＝a，∴AC＝AB+BC＝BD+BC＝2a+a＝（2+）a，在Rt△ACD中，tan∠ADC＝tan75°＝＝＝2+．故选：B．5．解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴cot B＝＝＝，故选：A．6．解：作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E．设DF＝x，则AD＝2x，∵∠ADB＝60°，∴AF＝x，又∵AB：AD＝3：2，∴AB＝3x，于是BF＝x，∴3x•DE＝（+1）x•x，DE＝x，sin∠A＝，cos∠A＝＝．故选：A．7．解：作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，∴BE＝EC＝BC，∵在Rt△AEC中，cos C＝＝，∴AC＝3EC，∴AC＝BC，在Rt△BCD中，cos C＝＝，∴BC＝3CD，∴AC＝CD，∴＝，∴＝＝＝，故选：B．8．解：过点C作CD⊥直线AB于点D，如图所示．∵AB＝5，△ABC的面积为10，∴CD＝4．∵sin A＝，∴AC＝4，∴AD＝＝8，∴点C在点C4处．故选：D．9．解：∵∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，∴BD＝AD，∴CD+BD＝8，∵cos∠BDC＝＝，∴＝，解得：CD＝3，BD＝5，∴BC＝4．故选：A．10．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝＝，∴＝，∴OE＝，∴AE＝＝，作EH⊥AB于H．∵S△ABE＝•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH＝，∴AH＝＝，∴tan∠BAD＝＝＝，故选：B．二．填空题11．解：连接EB，∵D是AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵＝＝，设EC＝3k，则AE＝BE＝4k，AC＝5k+3k＝8k，在Rt△BCE中，BC＝＝4k，在Rt△ABC中，tan∠A＝＝＝，故答案为：．12．解：如图，过点E作EH⊥BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，∴∠EDH＝60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∴EH＝DE•sin60°＝，∴E到直线BD的距离为，故答案为．13．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝8，∴∠ABC＝30°，BC＝AC×tan60°＝8，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝8×＝4，CM＝BC×cos30°＝12，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝4，∴CD＝CM﹣MD＝12﹣4．14．解：分三种情况：①如图1，高AC＝BC，此时tan A＝＝＝2；②如图2，高BC＝AC，此时tan A＝＝＝；③如图3，高CD＝AB，设AC＝x，BC＝y，CD＝a，则AB＝2a，由三角形面积公式和勾股定理得：，解得：x＝y＝a（负数舍去），tan A＝＝1；故答案为：或2或1．15．解：连接AC、AD，过点D作DM⊥AC，垂直为M．设AE的长为x，则AB＝AG＝BG＝CG＝CB＝AF＝AE＝EF＝x，∴△ABG、△AEF、△CBG和△DEF都是等边三角形，四边形ABCG、四边形AEDF是菱形，∴∠BAC＝∠EAD＝30°∴AC＝AD＝2×cos∠BAC×AB＝2×x＝x∵∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠EAD＝∠BAE﹣60°，∠BAF＝∠BAE﹣∠EAF＝∠BAE﹣60°，∴∠BAF＝∠CAD在Rt△AMD中，因为DM＝sin∠CAD×x，AM＝coa∠CAD×x，CM＝x﹣cos∠CAD×x，在Rt△CMD中，CD2＝CM2+MD2，即x2＝（x﹣cos∠CAD×x）2+（sin∠CAD×x）2整理，得5x2＝6x2cos∠CAD∴cos∠CAD＝∴cos∠BAF＝．故答案为：三．解答题16．解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△F AC，∴＝，即＝，解得CF＝；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH＝＝，∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tan D＝tan∠ECH＝＝．17．解：（1）作AE⊥BC于E，如图，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝×8＝4，在Rt△ABC中，cos B＝＝；（2）作DF⊥BC于F，如图，在Rt△CDF中，tan∠DCF＝＝，设DF＝3x，则CF＝5x，在Rt△ABE中，AE＝＝3，∴tan B＝＝，在Rt△BDF中，tan B＝＝，而DF＝3x，∴BF＝4x，∴BC＝BF+CF＝4x+5x＝9x，即9x＝8，解得x＝，∴DF＝3x＝，∴S△BCD＝×DF×BC＝××8＝．18．解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°，又∵CF⊥BD，∴∠CFB＝90°，∴∠BCE+∠CBD＝90°，∴∠ACE＝∠CBD，∵AC＝4且D是AC的中点，∴CD＝2，又∵BC＝3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°．∴tan∠CBD＝＝，∴tan∠ACE＝tan∠CBD＝；（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，在Rt△EHA中，∠EHA＝90°，∴tan A＝，∵BC＝3，AC＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴tan A＝＝，∴＝，设EH＝3k，AH＝4k，∵AE2＝EH2+AH2，∴AE＝5k，在Rt△CEH中，∠CHE＝90°，∴tan∠ECA＝＝，∴CH＝k，∴AC＝AH+CH＝k＝4，解得：k＝，∴AE＝．。
人教版九年级数学下册28.2 解直角三角形 同步练习3 含答案
28.2解直角三角形（3）一、选择题1. 一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶,共走了500m,那么这山的高度是[ ]m.A.230B.240C.250D.2602. 一个人从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到达B点，再从B点出发向南偏东15°方向走了一段距离到C点，则∠ABC的度数为 [ ]A.15°B.75°C.105°D.45°3. 为了求河对岸建筑物AB的高,在地平面上测得基线CD=180米,在C点测得A点的仰角为30°,在地平面上测得∠BCD=∠BDC=45°,那么AB的高是[ ]米.4. 如图,一船向正北航行,看见正东有两个相距10海里的灯塔,船航行半小时后,一个灯塔在船的东南,另一个灯塔在船的东22°30′南,则船的速度(精确到0.1米)是[ ]米/时(tg22°30′=0.4142)A.12.1B.13.1C.14.1D.15.15. 一只船向正东航行,上午7时在灯塔A的正北C处,上午9时到达塔的北偏东60°B处,已知船的速度为每小时20千米,那么AB的距离是[ ]千米.6. 如图：B处有一船,向东航行,上午9时在灯塔A的西南58.4千米的B上午11时到达灯塔的南C处,那么这船航行的速度是[ ]千米/时.A.19.65B.20.65C.21.65D.22.657. 如图：一只船以每小时20千米的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°,2小时后,船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°,则灯塔B到船的航海线AC的距离是 [ ]千米.二、填空题一只船向东航行,上午9点到一座灯塔的西南68海里处,上午11点到达这座灯塔的正南,这只船航行的速度是_____________.(答案可带根号)三、解答题1. 如图：已知一船以每小时20海里的速度向正南行驶,上午10时在A 处见灯塔P 在正东,1小时后行至B 处,观察灯塔P 的方向是北60°东.求正午12时船行驶至C 处距灯塔P 的距离.(答案可带根号)2．如图：东西方向的海岸线上有A 、B 两码头，相距100 )13(-千米，由码头A 测得海上船K 在北偏东30°，由码头B 测得船K 在北偏西15°，求船K 距海岸线AB 的距离（已知tan75°=32+-）参考答案一、选择题1. C2. B3. C4. C5. D6. B7. C二、填空题时海里/217三、解答题1．米7202．350千米。
新人教版九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形同步测试(含答案)
解直角三角形1．△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( A )A ．c sin A ＝aB ．b cos B ＝cC ．a ta n A ＝bD ．c tan B ＝b2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，c ＝2，则b 的值等于( D )A.55 B.255 C.355 D.455【解析】 ∵tan A ＝a b ＝12，∴a ＝b 2，又∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋b 2＝4，∴5b 24＝4，∴b ＝45 5.3．如图28－2－1，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于( B ) A ．m ·sin α米 B ．m ·tan α米 C ．m ·cos α米 D.mtan α米图28－2－1图28－2－24．如图28－2－2，△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A.212B ．12C ．14D ．21 5．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高．则下列结论中，正确的是( B ) A ．AD ＝32AB B ．AD ＝12AB C ．AD ＝BD D ．AD ＝22BD 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23，则∠B ＝__30°__．【解析】 本题是已知两直角边解直角三角形，由tan B ＝b a ＝236＝33，得∠B ＝30°.7．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°，则a ＝__12__，b ＝．【解析】 本题是已知一锐角和斜边解直角三角形，由sin A ＝a c ，得a ＝sin A ·c ＝32×83＝12.由∠A ＝60°，得∠B ＝30°，所以b ＝12c ＝4 3.8．等腰三角形底边长为26，底边上的高为32，则底角为__60°__． 【解析】 底边上的高将等腰三角形分割成两个直角三角形，通过解直角三角形即可求底角． 9．在△ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形． (1)已知∠A ＝60°，b ＝4，求a ； (2)已知a ＝13，c ＝23，求b ；(3)已知c ＝282，∠B ＝30°，求a ；(4)已知a ＝2，cos B ＝13，求b .解：(1)∵tan A ＝a b，∴a ＝b ·tan A ＝4·tan60°＝4×3＝43；(2)∵a 2＋b 2＝c 2， ∴b ＝c 2－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝13； (3)∵cos B ＝a c， ∴a ＝c ·cos B ＝282×32＝146； (4)∵cos B ＝a c ，∴c ＝a cos B ＝213＝6.又∵b 2＝c 2－a 2，∴b ＝c 2－a 2＝62－22＝4 2. 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°. (1)已知a ＝4，b ＝8，求c .(2)已知b ＝10，∠B ＝60°，求a ，c . (3)已知c ＝20，∠A ＝60°，求a ，b .解：(1)c ＝a 2＋b 2＝42＋82＝45；(2)a ＝b tan B ＝10tan60°＝103＝1033，c ＝b sin B ＝10sin60°＝1032＝2033；(3)a ＝c ×sin A ＝20×32＝103，b ＝c ×cos A ＝20×12＝10. 11．根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，∠B ＝60°； (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，b ＝ 6.解：(1)∠A ＝90°－∠B ＝30°，c ＝acos B＝16，b ＝a ·tan B ＝83；(2)∠B ＝90°－∠A ＝45°，a ＝b ·tan A ＝6，c ＝bcos A＝2 3.图28－2－312．如图28－2－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝ 22，解这个直角三角形．解：∵∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝22，∴sin B ＝AC AB ＝12，∴∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°.BC ＝AB 2－AC 2＝8－2＝ 6.13．如图28－2－4，已知△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，D 是AC 上一点，∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD ＝( A )图28－2－4A.35B.105C.310D.4914．如图28－2－5，已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，求△ABC 的周长(结果保留根号)． 解：∵△ABD 是等边三角形，∴∠B ＝ 60°. 在Rt △ABC 中，∵cos B ＝AB BC ，sin B ＝AC BC，∴BC ＝ AB cos B ＝2cos60°＝4，∴AC ＝BC ·sin B ＝4×sin60°＝23， ∴△ABC 的周长＝AB ＋AC ＋BC ＝6＋2 3.图28－2－5图28－2－615．如图28－2－6，△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，已知∠BDC ＝45°，BD ＝102，AB ＝20.求∠A 的度数．解：在Rt △BDC 中，因为sin ∠BDC ＝BC BD， 所以BC ＝BD ×sin ∠BDC ＝102×sin45°＝102×22＝10. 在Rt △ABC 中，因为sin A ＝BC AB ＝1020＝12，所以∠A ＝30°. 16．如图28－2－7，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，求AB 的长．图28－2－7第16题答图解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°，∴CD ＝BD . ∵∠A ＝30°，AC ＝23，∴CD ＝12AC ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理得：AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.17．某学校的校门是伸缩门(如图①)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图②)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图③)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.087 2，cos5°≈0.996 2，sin10°≈0.173 6，cos10°≈0.984 8)．图28－2－8 解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABC D.根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0．3米．∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6(米)；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1.根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0．3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1＝5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B1A1O1·A1B1＝sin5°×0.3＝0．02616(米)，∴B1D1＝2B1O1＝0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464米；∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．故校门打开了5米．。
【新】人教版九年级数学下册： 解直角三角形及其应用 同步练习 (含答案)
解直角三角形及其应用同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，cosC=，则△BCD与△ABD的面积比是（）A．1：3B．2：7C．2：9D．2：112．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为（）A．1B．C．0.5D．3．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（）A．1B．2C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，延长CA到点D，使AD=AB，连接BD．根据此图形可求得tan15°的值是（）A．B．C．D．5．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31°，缆车速度为每分钟40米，从山脚下A到达山顶B缆车需要15分钟，则山的高度BC为（）A．600•tan31°B．C．600•sin31°D．6．小明同学在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知他的目高AB为1.5米，他先站在A处看路灯顶端O的仰角为30°，向前走3米后站在C处，此时看灯顶端O的仰角为60°，则灯顶端O 到地面的距离约为（）A．3.2米B．4.1米C．4.7米D．5.4米7．如图所示，小明所住高楼AB高为100米，楼旁有一座坡比为3：1的山坡CE，小明想知道山坡的高度，于是小明来到楼顶B俯视坡底C，测得俯角为45°，仰视坡项E，测得仰角为27°，请根据小明提供的信息，帮小明求出斜坡CE的高度ED的值．（结果均精确到0.1米．参考数据：sin27°≈0.45，cos37°≈0.89，tan27°≈0.51）（）A．151.1米B．168.7米C．171.6米D．181.9米8．如图，要测量小河两岸相对的两点P、A之间的距离，可以在小河边PA的垂线PB上取一点C．测得PC=80米，∠PCA=32°，则PA的长为（）A．80sin32°米B．80tan32°米C．D．9．如图，某“拓展训练营”的一个自行车爬坡项目有两条不同路线，路线一：从C到B，路线二：从D到A，AB为垂直升降梯．其中BC的坡度为i=1：2，BC=12米，CD=8米，∠D=36°（其中A，B，C，D均在同一平面内），则垂直升降梯AB的高度约为（精确到0.1米）（）（参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）A．8.6B．11.4C．13.9D．23.410．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个测点，AB=4km，从A处测得船C在北偏东45°的方向，从B 处得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离CD的长为（）A．4kmB．(4+2)kmC．(4+)kmD．(4-)km11．某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福土最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头项正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i=1：2的斜坡CD走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）A．301.3米B．322.5米C．350.2米D．418.5米12．诗人卞之琳的代表作《断章》：“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你，明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦”．2019年国庆，重庆来福士广场开业，吸引了全国各地游客前来，重庆又有了一张新的名片．10月2日，游客小王从南滨路的A处，沿坡度i=1：0.75的斜坡上行20米到达B处，再往正前方水平走8米到达C处，对来福士广场拍照．同时，小王身后的一栋居民楼里面的重庆市民小张在D处测得C处的俯角为42°，若居民楼底端E处与A处的距离是45米，A、B、C、D、E在同一平面内，DE⊥AE于点E．则DE的长约为（）米．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9）A．74.5B．74.1C．61.2D．58.5二．填空题（共6小题）13．已知一段公路的坡度为1：20，沿着这条公路前进，若上升的高度为2m，则前进了．14．如图，l是一条笔直的公路，道路管理部门在点A设置了一个速度监测点，已知BC为公路的一段，B 在点A的北偏西30°方向，C在点A的东北方向，若AB=50米．则BC的长为米．（结果保留根号）15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，tanB=0.75，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC，垂足为点E，则DE=．16．如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，则A处与灯塔C的距离是．17．在△ABC中，∠A=30°，AB=2，AC=6，则BC的长为18．如图，为了测量塔CD的高度，小明在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，那么塔的高度是m．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）．三．解答题（共5小题）19．如图，正在海岛C西南方向20海里作业的海监船A，收到位于其正东方向渔船B发出的遇险求救信号，已知渔船B位于海岛C的南偏东30°方向，海岛C周围13海里内都有暗礁．（参考数据）（1）如果海监船A沿正东方向前去救援是否有触礁的危险？（2）求海监船A与渔船B的距离．（结果精确到0.1海里）20．某中学为数学实验“先行示范校”，一数学活动小组带上高度为1.5m的测角仪BC，对建筑物AO进行测量高度的综合实践活动，如图，在BC处测得直立于地面的AO顶点A的仰角为30°，然后前进40m至DE处，测得顶点A的仰角为75°．（1）求∠CAE的度数；（2）求AE的长（结果保留根号）；（3）求建筑物AO的高度（精确到个位，参考数据：．21．如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC，A、C、D在同一直线上．量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．求台灯的高（即台灯最高点E到底盘AB 的距离）．（结果取整，参考数据sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，22．某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，AD=BD=DE=30cm，CE=40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC=53°，图1中B、E、C三点共线，图2中的座板DE与地面保持平行．问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：sin53°）23．如图①是某小区入口实景图，图②是该入口抽象成的平面示意图，已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．上的O点处装有一盏灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长1.2米，（1）求点M到地面的距离，（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车能否从该入口安全通过？如果能安全通过，请直接写出货车离门卫室外墙AB的最小距离（精确到0.01米）；如果不能安全通过，请说明理由．（参考数据：参考答案1-5：BDBAC 6-10:BDBBB 11-12:BA13、214、）15、16、17、18、19、20、21、22、在Rt△CEN中，∵CE=40cm，∴由勾股定理可得CN=32cm，则BC=18+30+32=80（cm），答：BC的长度发生了改变，增加了4cm23、（1）过点M作MN⊥OA于点N，∵OM长1.2米，∠AOM=60°．∴ON=0.6米，∴BN=OB+ON=3.3+0.6=3.9米．答：点M到地面的距离为3.9米．（2）一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车能从该入口安全通过，理由如下：过点A作AE⊥BA，垂足为A，∵设货车高AB=3.5米，则OA=3.5-3.3=0.2∴AE=OAtan60°=≈0.35答：货车离门卫室外墙AB的最小距离为0.35米。
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九年级下册数学解直角三角形同步
练习3
一·选择题
1. 一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶,共走了500m,那么这山的高度是
[ ]m.
A.230
B.240
C.250
D.260
2. 一个人从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到达B点,再从B点出发向南偏东15°方向走了一段距离到C点,则∠ABC的度数为 [ ]
A.15°
B.75°
C.105°
D.45°
3. 为了求河对岸建筑物AB的高,在地平面上测得基线CD=180米,在C点测得A点的仰角为30°,在地平面上测得∠BCD=∠BDC=45°,那么AB的高是[ ]米
.
4. 如图,一船向正北航行,看见正东有两个相距10海里的灯塔,船航行半小时后,一个灯塔在船的东南,另一个灯塔在船的东22°30′南,则船的速度(精确到0.1米)是[ ]米/
时(tg22°30′=0.4142)
A.12.1
B.13.1
C.14.1
D.15.1
5. 一只船向正东航行,上午7时在灯塔A的正北C处,上午9时到达塔的北偏东60°B
处,已知船的速度为每小时20千米,那么AB的距离是[ ]千米.
6. 如图：B处有一船,向东航行,上午9时在灯塔A的西南58.4千米的B
上午11时到达灯塔的南C处,那么这船航行的速度是[ ]千米/时.
A.19.65
B.20.65
C.21.65
D.22.65
7. 如图：一只船以每小时20千米的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°,2小时后,船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°,则灯塔B到船的航海线AC的距离是 [ ]千米.
二·填空题
一只船向东航行,上午9点到一座灯塔的西南68海里处,上午11点到达这座灯塔的正南,这只船航行的速度是_____________.(答案可带根号)
三·解答题
1. 如图：已知一船以每小时20海里的速度向正南行驶,上午10时在A 处见灯塔P 在正东,1小时后行至B 处,观察灯塔P 的方向是北60°东.求正午12时船行驶至C 处距灯塔P 的距离.(答案可带根号)
2．如图：东西方向的海岸线上有A ·B 两码头,相距100 )13(-千米,由码头A 测得海上船K 在北偏东30°,由码头B 测得船K 在北偏西15°,求船K 距海岸线AB 的距离（已知tan75°=32+-）
参考答案
一·选择题
1. C
2. B
3. C
4. C
5. D
6. B
7. C 二·填空题
时
海里/217 三·解答题
1．米720
2．350千米。