曲面积分的计算
对面积的曲面积分公式
对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。
- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。
把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
2. 对面积的曲面积分的计算方法。
- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。
- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。
- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。
- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。
- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。
曲线积分与曲面积分的计算
第21章 曲线积分和曲面积分的计算 教学目的： 教学重点和难点：§1 第一类曲线积分的计算设函数(),,f x y z 在滑腻曲线l 上有概念且持续，l 的方程为()()()()0x x t y y t t t T z z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩则()()()(),,,,Tlt f x y z ds f x t y t z t =⎡⎣⎰⎰。
特别地，若是曲线l 为一条滑腻的平面曲线，它的方程为()y x ϕ=，()a x b≤≤，那么有((,) , ()blaf x y ds f x x ϕ=⎰⎰。
例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。
求22()l x y ds +⎰。
例：设l 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分lyds ⎰。
例：计算积分2lx ds ⎰，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。
例：求()lI x y ds =+⎰，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。
§2 第一类曲面积分的计算一 曲面的面积（1）设有一曲面块S ，它的方程为 (),z f x y =。
(),f x y 具有对x 和y 的持续偏导数，即此曲面是滑腻的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。
则该曲面块的面积为xyS σ=。
（2）若曲面的方程为 ()()(),,,x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 令222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222v v v G x y z =++，则该曲面块的面积为S ∑=。
例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。
例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。
曲面积分
y
R( x, y, z) d x d y D
(S ) xy
说明: 如果积分曲面 取下侧, 则
R( x, y, z ) d x d y Dx y R( x, y, z( x, y)) d x d y
若记 正侧的单位法向量为 n ( cos , cos , cos )
令 d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y )
A ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
2
2
2 d
0
2
0
rdr 1 r cos
2
1 r
2
4
d 1 r2
cos 2 1 r 2 0
4 tan 1
例8 计算
其中Σ为平面x+y+z=1，与三坐标 平面所围
( x 1)dydz ydzdx dxdy,
4
立体的表面，取外侧
解：
z
I
o x Dx y
y
f ( x, y, z ) dS 存在, 且有
Dx y
f ( x, y ,
)
一代、二换、三投影 化为二重积分计算
Dx y
f ( x, y,
)
一代、二换、三投影, 化为二重积分计算 “一代”: 将z=z(x，y)代入被积函数f (x，y，z)， 得f [x，y，z(x，y)]； “二换”：将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 2 如Σ：z=z(x，y)，则 dS 1 z x z 2 dxdy y “三投影”：认清Σ在xOy平面上的投影区域Dxy，二 重积分是在区域上Dxy进行的。 说明: 如果曲面方程为
曲面积分
1 2 2 = − ∫− 1 1 − x dx − 2 1 − x
+ arcsin x 1 −1
=−
π
2
+π =
π
2
，
⎛ x xdS = ∫∫ x 1 + ⎜ ∫∫ ⎜ 2 S 32 D ⎝ 1− x
所以 从而 2．计算
S3 S S31
⎞ x π ⎟ + 0dxdz = ∫∫ dxdz = ， ⎟ 2 2 1 − x D ⎠
S32
2
∫∫ xdS = ∫∫ xdS + ∫∫ xdS = π
I = ∫∫ xdS = ∫∫ xdS + ∫∫ xdS + ∫∫ xdS = π
S1 S2 S3
2 2 2 2 ∫∫ f ( x, y, z )dS ，其中 S 为球面 x + y + z = a ，
S
1
⎧ z < x2 + y2 ⎪ 0, f ( x, y , z ) = ⎨ 2 2 2 2 ⎪ ⎩x + y , z ≥ x + y
x 2 + y 2 = 1 介于平面 z = 0 与 z = x + 2 之间的部分。根据第一型曲面积分的计算公式，并
利用二重积分的性质，得
S1
∫∫ xdS = ∫∫ x 1 + 0 + 0dxdy = 0 ， ∫∫ xdS = ∫∫ x 1 + 1 + 0dxdy = 0
D S3 D
2 2
对于 S 3 ，由于其方程为 x + y = 1 ，所以不能写成 z = z ( x, y ) 的形式，故只能考虑 其在 xOz 或 yOz 坐标面上的投影。为了简单起见，考虑 S 3 在 xOz 坐标面上的投影域 D ， 根据题中条件易知 D = {( x, z ) − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x + 2} ，且 S 3 可以分成 S 31 与 S 32 两部 分，其中 S 31：y = 1 − x , ( x, z ) ∈ D ； S 32：y = − 1 − x , ( x, z ) ∈ D ，因为
曲面积分
4: z=1-x-y, Dxy: x+y =1, x=0, y=0所围, ds= 3 dxdy ,
I= = 3 xy(1-x-y)dxdy = 3 D
4 xy
1 1-x xdx 0 y(1-x-y)dy 0
3 . 120
8
1 例3. 计算 I = ––––––––– ds , : x2+y2=R2 被 z=0, 2 2 2 x +y +z z 1 z=1所夹的第一卦限部分。(补充) 解: : x R y , x y
1
x
R
dydz; R 0
R
1
R 1 1 dz dy 2 2 2 2 0 R z R y
1 1 z y arctan . R arctan arcsin R R R0 R0 2
10
对坐标的曲面积分(P159)
一、对坐标的(第二类)曲面积分的概念与性质
1. 有向曲面: 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向
4. 规定: 若 =1+2 ,
则: f(x, y, z)ds= 1 f(x, y, z)ds+ 2 f(x, y, z)ds ;
5. 若f(x, y, z)1,则: f(x, y, z)ds=曲面 的面积;
6. 若为闭曲面, 积分记为: f(x , y , z)ds 。
对面积的曲面积分有与对弧长的曲线积分类似的性 质;
4
1 ds , 其中 是x2+y2+z2=a2 被 z=h 例1. 计算 I = —— z 截出的顶部, 0< h < a 。
解: : z= a2 -x2-y2 , Dxy: x2+y2 a2-h2,
曲面积分的方法(分面投影法)
注意：对第二曲面积分，投影方向是固定的，不能 随意选定，积分曲面S向xoz坐标平面投影（投影的 区域可以是零区域，但对第一曲面积分来讲，投影 在坐标面上的区域不能为零区域； 三定号 ：由积分曲面S所选定的一侧，来确定面积元 素（如面积元素dxdy）前所带的符号是“+” 还是“-”，一般地，选定的积分曲面S的一侧为上、 右、前侧（即曲面S上的外法线向量向上、向右、向 前）时，取“+”，否则取“—”，
（如；计算± ∫∫ Px, y, z ( x, y) dxdy 时，若选定曲面的上
Dxy
侧时，取“+”，否则取“-”）； 四换域：改变积分区域，即积分区域S换为投影域 （如Dxy )，最后计算二重积分。
计算第二曲面积分（坐标曲面积分）的方法 ( 分面投影法) 以计算 ∫∫ P ( x, y, z )dxdy为例： S 一代：将积分的曲面S 的显式方程（如z=z( x,y)) 二投：将S投影到与面积元素( 如 dxdy)中两个变 量同名的坐标平面( 如xoy平面,得投影区域 Dxy ) 上， 转化为二重积分 （如∫∫ P ( x, y, z )dxdy = ± ∫∫ P x, y, z ( x, y ) dxdy,
闭合曲面和非闭合曲面的求积分公式
闭合曲面和非闭合曲面的求积分公式==================================在数学和物理学中，曲面上的积分问题是一个重要的研究领域。
曲面上的积分可以帮助我们计算曲面的重心、质心以及对流体力学和电磁学等领域中的一些问题进行求解。
本文将介绍闭合曲面和非闭合曲面的求积分公式，并探讨它们在实际问题中的应用。
闭合曲面的求积分公式---------------------1. 对于向量场的曲面积分对于向量场F(x, y, z)和曲面S，闭合曲面积分的公式为∬_S F*dS = ∬∬_D F(r(u, v))·(ru×rv)dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，dA为面积微元。
2. 对于标量场的曲面积分对于标量场f(x, y, z)和曲面S，闭合曲面积分的公式为∬_S f*dS = ∬∬_D f(r(u, v))·|ru×rv|dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，|r u×rv|为面积元素的模长。
非闭合曲面的求积分公式-----------------------1. 对于向量场的曲面积分对于向量场F(x, y, z)和曲面S，非闭合曲面积分的公式为∬_S F*dS = ∬∬_D F(r(u, v))·(ru×rv)dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，dA为面积微元。
2. 对于标量场的曲面积分对于标量场f(x, y, z)和曲面S，非闭合曲面积分的公式为∬_S f*dS = ∬∬_D f(r(u, v))·|ru×rv|dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，|ru×rv|为面积元素的模长。
第5讲 曲面积分的计算
第5讲 曲面积分一.第一型曲面积分的计算1(,,)lim (,,)niiiid i Sf x y z dS f Sξηζ→==∆∑⎰⎰1.曲面的面积设曲面S 的方程为：(,)z f x y = (,)xy x y D ∈.xyD S =⎰⎰若曲面方程为(,)x x y z =,将曲面投影到yOz 面上(投影域为yz D )yzD S =⎰⎰若曲面方程为(,)y y z x =,将曲面投影到zOx 面上(投影域为zx D )zxD S =例1 求球面2222x y z R ++=(0z ≥)介于平面(0)z h h R =<<和平面0z =之间部分的面积.2. 第一型曲面积分的计算设S 的方程为：(,)z z x y = (,)xy x y D ∈.(,,)(,,(,xySD f x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰若曲面方程为(,)x x y z =(,,)((,),,yzSD f x y z dS f x y z y z =⎰⎰⎰⎰若曲面方程为(,)y y z x =(,,)(,(,),zxSD f x y z dS f x y z x z =⎰⎰⎰⎰例1 计算SxzdS ⎰⎰,其中S 是锥面z =被圆柱面222(0)x y ax a +=>所截下部分.例2 计算SzdS ⎰⎰,其中S 是由圆柱面222x y R +=,平面0z =和z x R -=所围立体的表面.二、向量值函数在有向曲面上的积分 1、曲面的侧空间曲面方程：(,)(,)(,)(,,)0(,)(,)(,)(,)(,)(,)z z x y x y D x y F x y z y y z x z x D z x x x y z y z D y z =∈⎧⎪=⇔=∈⎨⎪=∈⎩任一点处的法向量(,,)x y z n F F F =在光滑曲面S 上取一定点0M ，则曲面S 在点0M 处的单位法向量有两个方向，选取其中的一个方向作为曲面S 在点0M 处的单位法向量，记为0n .双侧曲面：S 上的动点M 从点0M 出发,在曲面S 上连续移动而不超过S 的边界回到0M 时,其单位法向量与出发前的0n 相同。
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1. 基本方法
曲面积分
第一类(
第二类(
对面积 对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负Hale Waihona Puke 有向投影(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
A
4
思考题
1) 二重积分是哪一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面 : z 0 , (x, y) D ,问下列等式是否成立?
A
1
内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式: P d y d z Q d z d x R d x d y
P x
Q y
R z
d
xd
yd
z
应用: (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:
P d y d z Q d z d x R d x d y 0 P Q R 0 x y z
(3) 两类曲面积分的转化
A
6
练习:
例1. 计算 x d y d z y d z d x z d x d y,
其中为半球面 z R2 x2 y2的上侧.z
提示: 以半球底面 0为辅助面,
且取下侧 ,记半球域为 ,利用
o
高斯公式有
x
y
0
原式 = 3d x d y d z 0 xdydz ydzdx zdxdy
f (x, y, z) d S D f (x, y,0) d xdy
f (x, y, z) d x d y D f (x, y,0) d xdy
不对 ! 对坐标的积分与 的侧 有关
A
5
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算
(2)
利用高斯公式
注意公式使用条件 添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
A
2
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2. 通量与散度
设向量场 A (P,Q, R), P, Q, R, 在域G内有一阶 连续
偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
G 内任意点处的散度为
div A P Q R x y z
A
3
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习题课（2）曲面积分的计算法
例5. 已 知 向 量 A=x2i+y2j+z2k,Σ 为 圆 柱 x2+y2 ≤a2(0≤z≤h)的全表面，求A穿过曲面Σ而流向其外侧 的通量
解： A dS x2dydz y2dzdx z2dxdy
divAdv 2(x y z)dV
0
0
2
zdv
2
h
dxdy0
zdz
a
2h2
Dxy
3 2 R3 0 2 R3
3
A
7
例2. 计算曲面积分
I
x r3
d
yd
z
y r3
d
zd
x
z r3
d
xd
y
其中, r x2 y2 z2 , : x2 y2 z2 R2 取外侧.
解:
I
1 R3
xdy dz
y dzdx
z dxdy
思考: 计算 ?
1 R3
3
d
x
d
y
d
本题改为椭球面
z x a
(2x 2z) d S 2 (x z)ydS
用重心公式
利用对称性
2(x z) d S 0
32
A
9
2
2
4
y2 b2
z2 c2
1
时,应如何
提示:在椭球面内作辅助小球面 x2 y2 z2 2 取
内侧,然后用高斯公式 .
A
8
例3.计算曲面积分 I (x y)2 z2 2 yz d S,其
中是球面 x2 y2 z2 2x 2z .
解: I (x2 y2 z2 ) 2xy 2 yz dS