信号与系统课件第二章
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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
信号与系统 第二章ppt剖析
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。
第
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
7 页
电阻
iR t
1 R
vt
电感
iLt
1 L
t v d
ist
电容
iC
t
C
dv d
t
t
iR iL R LC
a ic
vt
b
根据KCL iRt iLt iC t iS t
系统的完全响应
第 17
页
求出齐次解rh t 和特解rp t 相加即得方程的完全解:
n
rt Aieit rp t i 1
利用初始条件求待定系数Ai 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应
的求解区间定为 t ,如0 果响应在0时刻没有跳变，通常
取t=0,这样对应的一组条件称为初始条件。
1
2
10
B1
, 3
B2
, 9
B3 27
所以，特解为
rp t
1 3
2 9
t
10 27
第 15
页
(2)
(原方程：
d2 rt
dt2
2
d rt
dt
3r t
d et
dt
et
）
当et et时, 很明显, 可选rt Bet。这里，B是待定系数。
代入方程后有：
Bet 2Bet 3Bet et et
于是，特解为 1 et。 3
B 1 3
几种典型激励函数相应的特解
第 16
页
激励函数e(t)
E(常数)
响应函数r(t)的特解
第
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
7 页
电阻
iR t
1 R
vt
电感
iLt
1 L
t v d
ist
电容
iC
t
C
dv d
t
t
iR iL R LC
a ic
vt
b
根据KCL iRt iLt iC t iS t
系统的完全响应
第 17
页
求出齐次解rh t 和特解rp t 相加即得方程的完全解:
n
rt Aieit rp t i 1
利用初始条件求待定系数Ai 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应
的求解区间定为 t ,如0 果响应在0时刻没有跳变，通常
取t=0,这样对应的一组条件称为初始条件。
1
2
10
B1
, 3
B2
, 9
B3 27
所以，特解为
rp t
1 3
2 9
t
10 27
第 15
页
(2)
(原方程：
d2 rt
dt2
2
d rt
dt
3r t
d et
dt
et
）
当et et时, 很明显, 可选rt Bet。这里，B是待定系数。
代入方程后有：
Bet 2Bet 3Bet et et
于是，特解为 1 et。 3
B 1 3
几种典型激励函数相应的特解
第 16
页
激励函数e(t)
E(常数)
响应函数r(t)的特解
信号与系统 第二章ppt_part2
1
0 t 1
[1 e(t 1) ]
演示
[1 e(t 1) ]u(t 1) f1 (t ) f2 (t )
f1 (t )* f2 (t )
1
0
1
t
解法二：f 2 ( ) 不变，反褶 f1 ( ), f 2 ( ) f1 ( )
1 1 1
f1 (t ) f2 (t ) f 2 ( ) f1 (t )d
f
( 1) 2
t e d u ( ) e t u (t ) (1 e t )u (t ) (t ) e u ( )d 0
t
f1(t)*f2(t)=(1-e-t) u(t)- [(1-e-(t-2)] u(t-2)
n
即
y zs (t ) lim x(kt )h(t kt )t
t 0 k 0
y zs (t ) lim x(kt )h(t kt )t
t 0 k 0
n
当 t 0 时，t d , kt ,
t 0
t 0
lim
t k 0 0
s(t )
1 e
T
(t T )
e ]u(t T )
t
t
(t T )
]u(t T )
1
0
t
T
演示
例2-13 已知信号x(t)与h(t)如下图所示，求 h(t) x(t) 1 1
y(t ) x(t ) h(t )
-1/2 0 解：
1
t
0
2
t
y (t ) x( )h(t )d
h(t )
1
0 t 1
[1 e(t 1) ]
演示
[1 e(t 1) ]u(t 1) f1 (t ) f2 (t )
f1 (t )* f2 (t )
1
0
1
t
解法二：f 2 ( ) 不变，反褶 f1 ( ), f 2 ( ) f1 ( )
1 1 1
f1 (t ) f2 (t ) f 2 ( ) f1 (t )d
f
( 1) 2
t e d u ( ) e t u (t ) (1 e t )u (t ) (t ) e u ( )d 0
t
f1(t)*f2(t)=(1-e-t) u(t)- [(1-e-(t-2)] u(t-2)
n
即
y zs (t ) lim x(kt )h(t kt )t
t 0 k 0
y zs (t ) lim x(kt )h(t kt )t
t 0 k 0
n
当 t 0 时，t d , kt ,
t 0
t 0
lim
t k 0 0
s(t )
1 e
T
(t T )
e ]u(t T )
t
t
(t T )
]u(t T )
1
0
t
T
演示
例2-13 已知信号x(t)与h(t)如下图所示，求 h(t) x(t) 1 1
y(t ) x(t ) h(t )
-1/2 0 解：
1
t
0
2
t
y (t ) x( )h(t )d
h(t )
1
信号与系统第2章信号的复数表示
π
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
信号与系统-第2章
f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.
信号与系统讲义-2
f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解： D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
,
d
02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即
R2
L C
（自然频率、固有频率）
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
信号与系统 第二章
( x1 ( t ) + x2 ( t ))* h( t ) = x1 ( t )* h( t ) + x2 ( t )* h( t )
Application: Parallel system a common system Can break a complicated convolution into several simpler ones
Signals & Systems
Example 2.10
1 n x[n] = ( ) u[ n] + 2n u[− n] 2 h[n] = u[n]
Signals & Systems
2.3.3 The Associative Property
x[n]* ( h1 [n]* h2 [n]) = ( x[n]* h1 [n])* h2 [n] x ( t )*[h1 ( t )* h2 ( t )] = [ x ( t )* h1 ( t )]* h2 ( t )
1 h[n] = 0 n = 0,1 otherwise
Example 2.9
If the system is LTI,determine the relationship between input and output If the system is not LTI,determine the relationship between input and output
Signals & Systems
2.2 Continuous-Time LTI System: The Convolution Integral
2.2.1 The Representation ContinuousTime Signals In Term Of Impulse
信号与系统第二章ppt课件
解 先画出f1(t－τ)|t=0, 即f1(－τ)和f2(τ)波形如题解图2.6(a)所 示。再令t从－∞ 开始增长，随f1(t－τ)波形右移，分区间计算卷 积积分：
30
第2章 连续信号与系统的时域分析 31
最后整理得
第2章 连续信号与系统的时域分析
波形如题解图2.6(b)所示。
32
第2章 连续信号与系统的时域分析
3
(2) 因为
第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2； (2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c) 所示。 (4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t·ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有 所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4
30
第2章 连续信号与系统的时域分析 31
最后整理得
第2章 连续信号与系统的时域分析
波形如题解图2.6(b)所示。
32
第2章 连续信号与系统的时域分析
3
(2) 因为
第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2； (2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c) 所示。 (4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t·ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有 所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4