离散数学总复习,西工大离散复习
离散数学考前综合复习资料
《离散数学》综合复习资料一、判断题1． A 、B 、C 是任意命题公式，如果A ∧C ⇔B ∧C ，一定有A ⇔B 。
（ ）2．设<A ，*>是一个代数系统，且集合A 中元素的个数大于1。
如果该代数系统中存在幺元e 和零元θ，则e ≠θ。
（ ）3． A 、B 、C 为任意集合，已知A ⋃B=A ⋃C ，必须有B=C 。
（ ） 4． 自然数集是可数的。
（ ）5． 命题联结词{⌝，∧，∨}是最小联结词组。
（ ） 6． 有理数集是可数的。
（ ） 7． 交换群必是循环群。
（ ）8． 图G 的邻接矩阵A ，A l 中的i 行j 列表示结点v i 到v j 长度为l 路的数目。
（ ） 二、解答题1．求命题公式⌝(P →Q)的主析取范式。
2．举出A={a,b,c}上的二元关系R 和S 满足：（1）R 既不是自反的又不是反自反的，既是对称的又是反对称的； （2）S 既不是对称的又不是反对称的，是传递的。
3．以下哪些是函数？哪些是入射？哪些是满射？对任意一个双射，写出它们的逆函数。
（1） f: N →Q, f(x) = 1/x（2） f: R ⨯R →R ⨯R, f(x,y)=<y+1,x+1> 4．判断下列代数系统是否是群，并说明理由：(1) <R ，->：实数集关于减法； (2) <I ，+>：整数集关于加法；5.构造一非空偏序集，它存在一子集有上界，但没有最小上界。
它还有一子集，存在最大下界但没有最小元。
6.画一个有欧拉回路，但没有汉密尔顿回路的图。
d ︒ b ︒︒e ︒c︒a7.将下列命题符号化（1）如果张三和李四都不去，她就去。
（（⌝P ∧⌝Q ）→R ） （2）今天要么是晴天，要么是雨天。
（P ∀Q ） 8.设G=<V,E>，V={V1,V2,V3,V4}的邻接矩阵：（1）试画出该图。
（2）V2的入度d -(V2)和出度d +(V2)是多少？（3）利用邻接矩阵的性质求从V1到V2长度为3的路有几条？ 9.将下列命题符号化（1）除非你走否则我留下。
离散数学复习提纲
《离散数学》期末复习一、期末考试题型试题类型及分数分别为单项选择题和填空题各有15题，分数占60％；化简解答题与计算题及证明题，共占40％。
各章分数的比例大致与其所用课时比例相同。
单项选择题和填空题主要涉及基本概念、基本理论、重要性质和结论、公式及其简单计算。
单项选择题给出四个备选答案，其一正确。
填空题只需填写正确结论，不写计算、推论过程或理由。
化简解答题与计算题主要考核同学们的基本运算技能和速度，要求写出计算过程。
证明题主要考查应用概念、性质、定理及重要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。
二、各章复习要求和重点第1章命题逻辑复习要求1. 命题及其联结词。
命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义，六个联结词。
2. 命题公式及分类。
在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；真值表3. 命题的判定及命题演算的推理理论。
推理方法有：真值表法；等值演算法；主析取范式法，构造证明法(直接证明法、附加前提证明法和间接证明法)本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.。
第2章一阶逻辑复习要求1.谓词与量词谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。
谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间关系的词 量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”2. 2.公式与解释谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材).命题的符号化结果都是谓词公式.例如∀x(F(x)→G(x))，∃x(F(x)∧G(x))，∀x∀y(F(x)∧F(y)∧L(x,y)→H(x,y))等都是谓词公式3. 解释(赋值)，谓词公式A的个体域D是非空集合，则(1) 每一个常项指定D中一个元素；(2) 每一个n元函数指定D n到D的一个函数；(3) 每一个n元谓词指定D n到{0,1}的一个谓词；按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
《离散数学》总复习
(4) x H . 有 x a = a x， x 1 ( x a) x 1 = x 1 (a x) x 1
a x 1 = x 1 a.
x 1 H . 因此，< H, > 是 < G, > 子群。
《离散数学》总复习
十四.如果 < S, > 是半群，且 是可交换的，证明：若S中有元素a，b 使得a a = a, b b = b，则(a b) (a b) = a b。
S= G 。
15.群 < G, > 的运算表中每一行或每一列都是G中元素的 置换 。
1
16.n个结点的无向完全图Kn的边数 E =
n (n 1) 2
。
17.一棵树有一个结点的度数为2，二个结点的度数为3，三个结点的
度数为4，则有
10
个结点的度数为1。
解. 知识点: 树的基本概念及图的基本定理（握手定理）v
1
2
3
4
12.设 < A, > 是一个代数系统，A ，为定义在A上的二元运算。 若 x, y A, x y = y x，则称运算 为可交换的。 若 x, y, z A,( x y) Mz = x ( y z) ，则称运算 为可结合的。 若 x A, x x = x ，则称运算 为等幂的。
《离散数学》总复习
t(R) = {< a,a >,< a,b >,< a,c >,< a,d >,< b,a >,< b,b >,< b,c >,< b,d >,< c,d >}.
《离散数学》总复
八.已知A = {2,3,4,5,7,10,12,13,16,17,19,20,21,22,25, 29,30}，R是A上的
离散数学总复习,西工大离散复习
• 陪集、拉格朗日定理，与有限群相关的数量结果(P208)
• 正规子群，正规子群的陪集（G的同余类）(P210)
• 同态/同构映射与同态/同构（代数系统、半群、独异点、群）
• 同余关系（P183）
• 群同态诱导的等价关系是同余关系，核K是正规子群（P211）
17
第六章 代数—群
18
代数重点
• 代数结构中特殊元素的识别 • 半群、含幺半群、群、子群的证明方法 • 同态相关的证明
32
The End
• 好好复习，考出好成绩！ • 感谢大家一个学期的配合及努力 • 同学们辛苦了~ • PS:欢迎大家在四年后报考我的 研究生
33
15
函数的重点
• 单射函数、满射函数、双射函数的判断 • 函数的运算(合成、逆运算等) • f诱导的等价关系，规范映射
16
第六章 代数
知识点
• 代数系统、子代数系统的概念：封闭性； • 特殊的元素：幺元、零元、逆元、等幂元的识别（P172） • 主要的代数系统：广群、半群、独异点、群、子群；代数系 统之间的关系； • 置换群和循环群的定义（P202）
7
谓词逻辑的推理方法
• 规则：US、UG、ES、EG、命题逻辑的规则 • 可使用的公式表：命题逻辑的等价式、蕴含式； 谓词逻辑的常用等价式和蕴含式； • 推理方法： 同命题逻辑
8
谓词逻辑重点
• 自然语言的形式化（注意量词如何 加入和论述域） • 谓词逻辑推理方法
9
第二章 集合
知识点
1. 集合的基本概念与表示方法，全集与空集 2. 集合的运算:交并补差、环和(对称差)、环积、幂 集 3. 集合的三种关系(包含,相等,真包含)的定义及证明. 4. 归纳法的证明方法 5. 序偶与笛卡尔积；
离散数学--总复习
第一部分：集合论知识点：集合关系（∈，⊆,⊂,∉,=）集合运算（并、交、差、对称差、补集、幂集），特殊集合（∅，E，P(A)）集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、德摩根律、补交转换律(A-B=A⋂~B)、德·摩根律~(B⋃C)=~B~⋂C，A-(B⋃C)=(A-B)⋂(A-C)）证明集合包含或相等（根据定义, 通过逻辑等值演算证明、利用已知集合等式或包含式, 通过集合演算证明）1. 证:A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C)证∀x x∈A⋃(B⋂C)⇔ x∈A∨(x∈B∧ x∈C) (并,交的定义)⇔(x∈A∨x∈B)∧(x∈A∨x∈C) (逻辑演算的分配律)⇔x∈(A⋃B)⋂(A⋃C)2. 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证(A-C)-(B-C)= (A ⋂ ~C) ⋂ ~(B ⋂ ~C) (补交转换律)= (A ⋂ ~C) ⋂ (~B ⋃ ~~C) (德摩根律)= (A ⋂ ~C) ⋂ (~B ⋃ C) (双重否定律)= (A ⋂ ~C ⋂ ~B) ⋃(A ⋂ ~C ⋂ C) (分配律)= (A ⋂ ~C ⋂ ~B) ⋃(A ⋂∅) (矛盾律)= A ⋂ ~C ⋂ ~B (零律,同一律)= (A ⋂ ~B) ⋂ ~C (交换律,结合律)= (A – B) – C第二部分：逻辑学命题的定义（凡具有确定真假意义的陈述句均称为命题。
）联结词（⌝、∧、∨、→、↔、↑、↓（公式转化为只含↑、↓的表达形式））例：将p → q化为只含↑的公式p → q ⇔⌝p ∨q⇔⌝(p∧⌝q) ⇔ p↑⌝q⇔p↑⌝( q∧q)⇔ p↑ q↑ q命题符号化(1、王晓虽然聪明，但不用功.2、张辉与王丽都是三好生.3、张辉与王丽是同学.4、除非天冷，小王才穿羽绒服.5、除非小王穿羽绒服，否则天不冷.)等值演算（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、蕴涵等值式A→B⇔⌝A∨B等价等值式A↔B⇔(A→B)∧(B→A)假言易位等值式A→B⇔⌝B→⌝A等价否定等值式A↔B⇔⌝A↔⌝B）证明p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r证p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p⌝∨q)∨r （结合律）⇔⌝(p∧q)∨r （德摩根律）⇔ (p∧q) →r （蕴涵等值式）判断下列公式的类型q⌝∧(p→q)解q⌝∧(p→q)⇔ q⌝∧(⌝p∨q) （蕴涵等值式）⇔ q∧(p⌝∧q) （德摩根律）⇔ p∧(q⌝∧q) （交换律，结合律）⇔ p∧0 （矛盾律）⇔ 0 （零律）该式为矛盾式.命题公式（重言式、矛盾式、可满足式），利用真值表判断，等值演算，范式。
离散数学复习资料
离散数学复习资料离散数学是计算机科学与数学领域中的重要学科，它研究的是离散的数学结构和离散的数学对象。
在计算机科学领域，离散数学是构建算法和设计计算机系统的基础。
为了更好地复习离散数学，我们可以从以下几个方面入手。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其运算。
在集合论中，我们需要了解集合的定义、基本运算和集合间的关系。
此外，还需要掌握集合的代数运算法则，如交、并、差和补集等。
复习时可以通过解题来加深理解，例如证明集合之间的等价关系、集合的幂集等。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的重要分支，它研究的是推理和论证的规则。
在逻辑中，命题是最基本的逻辑单位。
复习时需要了解命题的定义和常见的逻辑运算符，如非、与、或、异或等。
此外，还需要熟悉命题的真值表和命题之间的逻辑等价关系。
通过解题和推理，可以提高对逻辑的理解和应用能力。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图及其性质。
在图论中，我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径、环等。
此外，还需要熟悉图的表示方法，如邻接矩阵和邻接表。
复习时可以通过解题来加深对图的理解，例如求最短路径、判断图的连通性等。
四、代数系统代数系统是离散数学中的一个重要内容，它研究的是代数结构及其性质。
在代数系统中，我们需要了解群、环、域等代数结构的定义和性质。
此外，还需要熟悉代数运算法则和代数结构之间的关系。
复习时可以通过解题来加深对代数系统的理解，例如证明一个集合构成一个群、判断一个环是否是域等。
五、概率论与统计学概率论与统计学是离散数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件和随机变量的概率性质。
在概率论与统计学中，我们需要了解概率的定义和性质，掌握常见的概率分布和统计方法。
此外，还需要熟悉概率的运算法则和统计推断的基本原理。
复习时可以通过解题和实际问题的分析来加深对概率论与统计学的理解。
总之，离散数学作为计算机科学与数学领域中的重要学科，对于计算机科学专业的学生来说具有重要意义。
离散数学期末复习总要
离散数学期末复习总要离散数学期末复习各个章节要点纲要（及定理）离散数学定义定理1.3.1命题演算的合式公式规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么（A∨B）、（A∧B）、（A→B）、（A?B）、都是合式公式。
（4）当且仅当有限次地应用（1）（2）（3）所得到的包含命题变元，连接词和圆括号的符号串是合式公式。
1.3.2 设Ai是公式A的一部分，且Ai是一个合式公式，称Ai是A的子公式。
1.3.3 设P为一命题公式，P1,P2,……，Pn为出现在P中的所有命题变元，对P1,P2,……，Pn指定一组真值称为对P的一种指派。
若指定的一种指派，使P的值为真，则称这组指派为成真指派。
若指定的一种指派，使P的值为假，则称这种指派为成假指派。
含n个命题变元的命题公式，共有2n个指派。
1.3.4 给定两个命题公式A和B，设P1,P2,……，Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1,P2,……，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，称A和B是等价的，记做A <=>B。
1.3.5 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称A为重言式或永真式。
1.3.6 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
1.3.7设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下至少存在一组成真指派，则称A为可满足式。
1.4.1 设X式合式公式A的子公式，若有Y也是一个合式公式，且X<=>Y，如果将Ａ中的Ｘ用Ｙ置换，得到公式Ｂ，则A<=>B。
1.4.2 设A，B为两个命题公式，A<=>B，当且仅当A ←→B为一个重言式。
P=>Q称做P蕴含Q或蕴含式，又称永真条件式。
蕴含式有下列性质：（1）对任意公式A，又A=>A；（2）对任意公式A，B和C，若A=>B，B=>C，则A=>C；（3）对任意公式A，B和C，若A=>B，A=>C，则A=>(B∧C); （4）对任意公式A，B和C，若A=>C，B=>C，则A∨B=>C.1.4.3设P，Q为任意两个命题公式，P<=>Q的充分必要条件式P=>Q,，Q=>P。
离散数学复习提纲(完整版)解析
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明）一、命题逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析]1、公式类型的判定判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。
例1.试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）解：（1） 真值表因此公式（1）为可满足。
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The End
• 好好复习，考出好成绩！ • 感谢大家一个学期的配合及努力 • 同学们辛苦了~ • PS:欢迎大家在四年后报考我的 研究生
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函数的重点
• 单射函数、满射函数、双射函数的判断 • 函数的运算(合成、逆运算等) • f诱导的等价关系，规范映射
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第六章 代数
知识点
• 代数系统、子代数系统的概念：封闭性； • 特殊的元素：幺元、零元、逆元、等幂元的识别（P172） • 主要的代数系统：广群、半群、独异点、群、子群；代数系 统之间的关系； • 置换群和循环群的定义（P202）
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第八章 图论
知识点
1．图的基本概念、结点度数与边数的关系公式；
2. 路径、回路、通路、连通图与非连通图、强连通图与弱 连通图、有向图与无向图；强分图、点割集、边割集； 3. 赋权图的最短路径的计算。 4. 欧拉路、欧拉回路、欧拉图；哈密尔顿路、哈密尔顿回路、 哈密尔顿图； 5. 赋权图的最短哈密尔顿回路的（近似）计算-最邻近算法
第一章 数理逻辑-命题逻辑
知识点
1．命题的概念、表示方法 => 会将命题符号化
2. 联结词的逻辑意义 (含义及真值表定义).
3．命题公式的递归定义=> 会用真值表计算命题公式 4．真值表的构造、命题公式等价的概念(P6)。 5．重言式与蕴涵式的定义、逻辑意义（P8）， 逻辑等价与逻辑蕴涵的意义和证明方法(P12)。 常用的逻辑等价公式和逻辑蕴涵公式(E和I)。
13
第四章 函数
知识点
1．函数的概念，定义域、值域、定义域与前域的 关系、值域与陪域的关系
2. 函数的类型：单射函数、满射函数、双射函数， 会判断，会证明（P140）
3.复合函数、逆函数的概念，复合函数与关系复合 的联系与区别，逆函数与逆关系的联系与区别。 合 成 函 数 fg 满 射 、 单 射 、 双 射 ， f,g 分 别 是?(P141) 4. f诱导的等价关系，规范映射的定义 5. 置换的定义，置换的合成运算
4
命题逻辑重点
• 主析（合）取范式求取方法 • 命题逻辑推理方法： 直接证明方法 间接证明方法 反证法（逆反证明法） CP规则 归谬法
5
第一章 数理逻辑-谓词逻辑
知识点
1.谓词与量词的概念与表示方法(P35) 2.谓词逻辑的合式公式与自然语言的翻译(P36-37) 3.谓词中变元约束（P38） 4.谓词逻辑的等价式和蕴含式（P43） 带量词的公式在论域内展开式,量词否定,量词辖 域扩充, 量词分配公式. 5.推理理论(P49)，参看下页
• 陪集、拉格朗日定理，与有限群相关的数量结果(P208)
• 正规子群，正规子群的陪集（G的同余类）(P210)
• 同态 /同构映射与同态 /同构（代数系统、半群、独异点、群）
• 同余关系（P183）
• 群同态诱导的等价关系是同余关系，核K是正规子群（P211）
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第六章 代数—群
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代数重点
• 代数结构中特殊元素的识别 • 半群、含幺半群、群、子群的证明方法 • 同态相关的证明
– – – – 极小元、极大元 最小元、最大元 上界、下界 上确界、下确界
6. 集合的等价关系与等价类，R诱导的等价关系（P123） 7. 集合的划分与覆盖，划分的大小与等价关系的大小(P127)
11
第三章 二元关系
关系的重点
• • • • 偏序集的特殊元素（极小元、极大元等） 关系的性质的证明与判别（P94） 关系闭包的计算，R诱导的等价关系(P124) 划分与等价关系（A/R）、划分是等价关 系的证明（P125）
3
第一章 数理逻辑-命题逻辑
知识点（续）
6．命题公式的对偶式(P12)、合取范式、析取范式、 主合取范式、主析取范式。逻辑小项、逻辑大项。 任给公式化为析取范式、任给公式化为主析取范 式、任给公式化为合取范式、任给公式化为主合 取范式(P16-P20)。
7．命题逻辑的证明：真值表、推理理论
常用推理规则：P规则、T规则(P26)。
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图论重点
赋权图的最短路径的计算 哈密尔顿最短回路的计算 欧拉图、哈密尔顿图的判定 利用m=2n计算边与点的个数
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考试题目主要来源
• 《离散数学》课本
– 作业题目 – 例题、定理
• 其他
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题形
• • • • 选择 填空 计算 证明
30
考试时间、地点
• 时间：2012年1月4日-1月10日 • 地点：???
• 教学内容： 数理逻辑 集合 二元关系
函数 代数 图论
1
复 习 时 注 意
准确掌握每个概念 灵活应用所学定理 注意解题思路清晰（细节推不出来时，别 忘了写解题思路） 证明问题时,先用反向思维(从结论入手)分 析问题,再按正向思维写出证明过程. 如果是后面几章的证明，一般从定义入手。
2பைடு நூலகம்
9
集合的重点
• 集合相等、包含等关系的证明 • 幂集 • 归纳法的应用
10
第三章 二元关系
知识点
1. 关系的概念、表示方法 ：关系矩阵、关系图（P93）； 2．关系的特性：自反、对称、传递（P94），关系闭包 （P106） 3.关系的运算：合成关系、逆关系、闭包运算（P106）； 合成关系的矩阵表示 4．次序关系(偏序、拟序（反自反)、线序、良序)、偏序集、 哈斯图（P112）。 5. 偏序集中特殊的元素（P113）
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谓词逻辑的推理方法
• 规则：US、UG、ES、EG、命题逻辑的规则 • 可使用的公式表：命题逻辑的等价式、蕴含式； 谓词逻辑的常用等价式和蕴含式； • 推理方法： 同命题逻辑
7
谓词逻辑重点
• 自然语言的形式化（注意量词如何 加入和论述域） • 谓词逻辑推理方法
8
第二章 集合
知识点
1. 集合的基本概念与表示方法，全集与空集 2. 集合的运算:交并补差、环和(对称差)、环积、幂 集 3. 集合的三种关系(包含,相等,真包含)的定义及证明. 4. 归纳法的证明方法 5. 序偶与笛卡尔积；