雅礼中学2020届高三月考试卷(七)理科数学试卷及答案.pdf
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高三(下)月考数学试卷(理科)(六)
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x≤3}，B＝{x|﹣1≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{0，1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5分）若复数z满足|z+1|+|z﹣1|＝4，则的最小值为（）A．1B．C．D．23．（5分）已知，则λ＞﹣是“与的夹角为钝角”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要4．（5分）函数y＝xlnx的图象大致是（）A．B．C．D．5．（5分）在等差数列{a n}中，其公差d≠0，若S7＝S12，现有以下四个命题：①S19＝0；②S10＝S9；③若d＞0，则S n有最大值；④若d＞0，则S n有最小值．则关于这四个命题，正确的是（）A．①②③B．①②④C．①④D．②③．6．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）在空间中，a、b、c是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，则a⊥bC．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b D．若α∥β，a⊂α，则a∥β8．（5分）已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x681012y6m32A．变量x，y之间呈现负相关关系B．可以预测，当x＝20时，y＝﹣3.7C．m＝4D．该回归直线必过点（9，4）9．（5分）﹣4cos10°＝（）A．1B．C．D．210．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞＞a 11．（5分）在数列{a n}中，a1＝a，a n+1＝2a n﹣1，若a n为递增数列，则a的取值范围为（）A．a＞0B．a＞1C．a＞2D．a＞312．（5分）双曲线C：上存在一点P，使，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．B．（1，2]C．D．[2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为．14．（5分）点P为椭圆C：+＝1（a＞1）上的任意﹣一点，AB为圆M：（x﹣1）2+y2＝1的任意一条直径，若的最大值为15，则a＝．15．（5分）在（x+y+z）6的展开式中，所有形如x3y a z b（a∈N，B∈N）的项的系数之和为．16．（5分）函数f（x）＝的最小值为．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（a+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C．（1）求角A的大小；（2）求的取值范围．18．（12分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均为2，∠AA1D1＝∠AA1B1＝60°，∠D1A1B1＝90°．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）求对角线AC1的长；（3）求二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值的大小．19．（12分）已知中心在原点的双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且该双曲线过点（2，2）．（1）求双曲线C的标准方程；（2）点A为双曲线C上任一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过其中的一个焦点作∠F1AF2的角平分线的垂线，垂足为点P，求点P的轨迹方程．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a，a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x≥1时，恒有g（x）＝（x+1）f（x）﹣lnx≤0恒成立，求a的取值范围.. 21．（12分）现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，依此类推．（1）通过三次传球后，球经过乙的次数为ξ，求ξ的分布列和期望；（2）设经过n次传球后，球落在甲手上的概率为a n，（i）求a1，a2，a n；（ii）探究：随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率是否相等，并简单说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于A、B两点，P（1，3），求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣6|（x∈R），记f（x）的最小值为c．（1）求c的值；（2）若实数a、b满足a＞0，b＞0，a+b＝c，求的最小值．2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（理科）（六）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x≤3}，B＝{x|﹣1≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{0，1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}【解答】解：∵集合A＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}，B＝{x|﹣1≤x≤5}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：C．2．（5分）若复数z满足|z+1|+|z﹣1|＝4，则的最小值为（）A．1B．C．D．2【解答】解：设z对应的点为（x，y），则+＝1，所以最小值＝．故选：C．3．（5分）已知，则λ＞﹣是“与的夹角为钝角”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要【解答】解：∵，∴与的夹角为钝角⇔﹣2λ﹣1＜0且﹣2+λ≠0，即λ＞且λ≠2．∴λ＞﹣是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）函数y＝xlnx的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x→0+时，lnx→﹣∞，∴xlnx＜0，排除A、B选项，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除C选项，故选：D．5．（5分）在等差数列{a n}中，其公差d≠0，若S7＝S12，现有以下四个命题：①S19＝0；②S10＝S9；③若d＞0，则S n有最大值；④若d＞0，则S n有最小值．则关于这四个命题，正确的是（）A．①②③B．①②④C．①④D．②③．【解答】解：在等差数列{a n}中，其公差d≠0，若S7＝S12，则：a8+a9+a10+a11+a12＝0，整理得5a10＝0，所以a10＝0，所以A：＝19a10＝0．B：由S10＝S9；整理得a10＝0，C：若d＞0，则S n有＝，所以S n有最小值．故；①②④正确．故选：B．6．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，基本事件总数n＝，甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数m＝＝20，∴甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为：P＝＝．故选：A．7．（5分）在空间中，a、b、c是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，则a⊥bC．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b D．若α∥β，a⊂α，则a∥β【解答】解：对于选项A：若a⊥c，b⊥c，则a和b可能是异面直线，故错误．对于选项B：若a⊂α，b⊂β，则a和b不能判定有垂直和平行的关系，故错误．对于选项C：若a∥α，b∥β，α∥β，则a和b可能异面，故错误．对于选项D：若α∥β，a⊂α，则a∥β，正确．故选：D．8．（5分）已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x681012y6m32A．变量x，y之间呈现负相关关系B．可以预测，当x＝20时，y＝﹣3.7C．m＝4D．该回归直线必过点（9，4）【解答】解：对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为，b＝﹣0.7＜0，负相关．对于B，当x＝20时，代入可得y＝﹣3.7．对于C：根据表中数据：＝＝9．可得＝4．即，解得：m＝5．对于D：由线性回归方程一定过（），即（9，4）．故选：C．9．（5分）﹣4cos10°＝（）A．1B．C．D．2【解答】解：原式＝＝＝＝．故选：C．10．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞＞a【解答】解：，∴，又，∴a＞c＞b．故选：A．11．（5分）在数列{a n}中，a1＝a，a n+1＝2a n﹣1，若a n为递增数列，则a的取值范围为（）A．a＞0B．a＞1C．a＞2D．a＞3【解答】解：∴a n+1＝2a n﹣1，∴a n+1﹣1＝2（a n﹣1），∴，又∵a1﹣1＝a﹣1，∴数列{a n﹣1}是首项为a﹣1，公比为2的等比数列，∴，∴，又∵{a n}为递增数列，∴＞0，∴a﹣1＞0，∴a＞1，故选：B．12．（5分）双曲线C：上存在一点P，使，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．B．（1，2]C．D．[2，+∞）【解答】解：设P在右支上，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m﹣n＝2a，又因为＝，可得，所以＝，所以n＝＞c﹣a，即c2﹣2ac﹣a2＜0，即e2﹣2e﹣1＜0，解得1﹣，由于e＞1，所以可得1，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，4）．化目标函数z＝x﹣2y为y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4＝﹣5．故答案为：﹣5．14．（5分）点P为椭圆C：+＝1（a＞1）上的任意﹣一点，AB为圆M：（x﹣1）2+y2＝1的任意一条直径，若的最大值为15，则a＝3．【解答】解：圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心M（1，0），半径为1，AB为圆M的直径，可得＝﹣，椭圆C：+＝1（a＞1）的焦点为（﹣1，0），（1，0），则＝（+）•（+）＝（+）•（﹣）＝||2﹣||2＝||2﹣1，又P为椭圆上一点，M为椭圆的右焦点，可得||2﹣||2≤（a+c）2﹣1＝15，当P为椭圆的左顶点（﹣a，0），上式取得等号，则a+c＝4，又c＝1，可得a＝3．故答案为：3．15．（5分）在（x+y+z）6的展开式中，所有形如x3y a z b（a∈N，B∈N）的项的系数之和为160．【解答】解：（x+y+z）6表示6个因式（x+y+z）的乘积，其中有3个因式都取x，得，另外的三个因式取y或z，即可得到形如x3y a z b（a∈N，B∈N）的项．而（y+z）3的各项系数和为23，故所有形如x3y a z b（a∈N，B∈N）的项的系数之和为•23＝160，故答案为：160．16．（5分）函数f（x）＝的最小值为5．【解答】解：＝＝，由f′（x）＝0可得cos x＝2sin x即tan x＝，又因为0＜x＜，根据导数与单调性的关系可知，当tan x＝时，函数取得最小值，此时sin x＝，cos x ＝，故f（x）min＝5．故答案为：5．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（a+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C．（1）求角A的大小；（2）求的取值范围．【解答】解：（1）∵（a+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C．由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c．化为b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得：cos A＝＝，∵A∈（0，π），∴A＝．（2）∵A＝，∴a2＝b2+c2﹣bc≥﹣（）2＝，∴（）2≤4，∴≤2，可得的最大值为2，又b+c＞a，∴的取值范围为（1，2]．18．（12分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均为2，∠AA1D1＝∠AA1B1＝60°，∠D1A1B1＝90°．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）求对角线AC1的长；（3）求二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值的大小．【解答】解：（1）证明：（1）∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均为2，∴AD1＝AB1＝2，连结A1C1，B1D1，交于点O，连结AO，∵∠AA1D1＝∠AA1B1＝60°，∠D1A1B1＝90°．∴AO⊥B1D1，∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴B1D1⊥A1C1，∴B1D1⊥平面A1ACC1，∵A1C⊂平面A1ACC1，∴B1D1⊥A1C．（2）解：在△AB 1D1中，AO＝，，AA1＝2，∴，∴AO⊥A1O，∵AO⊥B1D1，∴AO⊥平面A1B1C1D1，∴AO⊥OC1，∴AC1＝＝2．（3）解：由（2）知AO⊥平面A1B1C1D1，以点O为原点，OA1为x轴，OB1为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，），B1（0，，0），C1（﹣，0，0），＝（0，，﹣），＝（﹣，0，﹣），设平面AB1C1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣1），平面AB1D1的法向量＝（1，0，0），设二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值为．19．（12分）已知中心在原点的双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且该双曲线过点（2，2）．（1）求双曲线C的标准方程；（2）点A为双曲线C上任一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过其中的一个焦点作∠F1AF2的角平分线的垂线，垂足为点P，求点P的轨迹方程．【解答】解：（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y＝±2x，则设双曲线方程为：4x2﹣y2＝λ，（λ≠0），点（2，2）代入得：λ＝12，则双曲线方程为：4x2﹣y2＝12，即＝1，（2）∵F1，F2是双曲线＝1的左右焦点，过F2作角的平分线AB的垂线，垂足为P，并且交AF1于Q，连接OP，则，由角的平分线定理可得：|AQ|＝|AF2|，∴|F1Q|＝|AF1|﹣|AQ|＝|AF1|﹣|AF2|＝2a，∴|OP|＝a＝，由圆的定义可知，点P的轨迹是以点O为圆心，为半径的圆，所以P的轨迹方程为：x2+y2＝3．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a，a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x≥1时，恒有g（x）＝（x+1）f（x）﹣lnx≤0恒成立，求a的取值范围..【解答】解（1）函数的定义域（0，+∞），＝，（i）当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，（ii）当a＞0时，由f′（x）＞0可得，0＜x＜，此时函数单调递增，由f′（x）＜0可得，x＞，此时函数单调递减，（2）当x≥1时，g（x）＝（x+1）（lnx﹣ax+a）﹣lnx＝xlnx﹣ax2+a，g′（x）＝lnx+1﹣2ax，令h（x）＝lnx+1﹣2ax，则h′（x）＝，（i）当a≤0时，h′（x）＞0恒成立，h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）＝1﹣2a＞0，即g′（x）》0，故g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）≥g（1）＝0，不合题意；（ii）当0＜a＜时，h（x）在[1，]上单调递增，h（x）≥h（1）＝1﹣2a＞0，此时g（x）在[1，]上单调递增，所以g（）＞g（1）＝0，不合题意；（iii）当a时，h′（x）≤0，h（x）在[1，+∞）上单调递减，所以h（x）≤h（1）＝1﹣2a＜0，故g′（x）≤0，所以g（x）在[1，+∞）上单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，所以g（x）≤0恒成立．21．（12分）现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，依此类推．（1）通过三次传球后，球经过乙的次数为ξ，求ξ的分布列和期望；（2）设经过n次传球后，球落在甲手上的概率为a n，（i）求a1，a2，a n；（ii）探究：随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率是否相等，并简单说明理由．【解答】解：（1）由题意得ξ的取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝++＝，P（ξ＝2）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ012P∴E（ξ）＝＝．（2）（i）由题意可知，，a n＝，n≥2，∴a n﹣＝﹣（），（n≥2），∴a n﹣＝（）×（﹣）n﹣1，∴a n＝．（ii）由（i）可知，当n→+∞时，a n→，∴当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数，又第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，∴球落在每个人手上的概率都相等，∴球落在乙、丙、丁手上的概率为（1﹣）÷3＝，∴随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等，都是．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于A、B两点，P（1，3），求的值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程y＝2x+1，曲线C的极坐标方程为，即8ρ2sin2θ+ρ2＝9，∴x2+y2+8y2＝9，∴曲线C的直角坐标方程为+y2＝1；（2）直线的参数方程改写为（t为参数），代入+y2＝1，t2+t+73＝0，t1+t2＝﹣，t1t2＝，＝||＝＝．∴当直线l与曲线C相交时，＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣6|（x∈R），记f（x）的最小值为c．（1）求c的值；（2）若实数a、b满足a＞0，b＞0，a+b＝c，求的最小值．【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣6＝|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣3|，f（x）表示数轴上的点到数轴上1，3，3对应点的距离之和．∴f（x）min＝f（3）＝2，∴c＝2．（2）∵a+b＝2，∴+＝[（a+1）+（b+1）]（+）；＝[a2+b2++]≥（a2+b2+2ab）＝（a+b）2＝1；当且仅当，即时，有最小值1．。
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第3次月考数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足()11i z i +=-（其中i 是虚数单位），则1z +=（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】A【解析】对复数进行化简变形11iz i i-==-+，11z i +=-即可得解. 由题：()11i z i +=-，()()()()11121112i i i i z i i i i ----====-++-，112z i +=-=.故选：A此题考查复数的基本运算，涉及乘法运算和除法运算，求复数的模长. 2．下列命题中，真命题是（ ） A ．00,0x x R e∃∈≤B ．0a b +=的充要条件是0a b ==C ．若,0x R x ∀∈>D ．若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 至少有一个大于1 【答案】D【解析】试题分析：00,x e >∴Q A 假；0,,a b a b +=∴=-∴Q C 假；无意义，C 假，故选D. 【考点】命题的真假．3．已知2log 0.8a =，0.82b =，20.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数单调性，结合中间值1,0进行比较. 由题：22log 0.8log 10a =<=，0.80221b =>=，2000.80.81c <=<=，所以a c b <<. 故选：C此题考查指数对数的大小比较，关键在于熟练掌握指数函数和对数函数的性质，根据单调性结合特殊值进行比较.4．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c c a a >.其中正确的式子的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】D【解析】根据图形关系分析1212,a a c c >>，1122a c PF a c -==-，辨析为1221a c a c +=+平方处理，结合2212b b >即可得到离心率的关系.由图可知：1212,a a c c >>所以1122a c a c +>+，所以①不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得：11a c PF -=，椭圆轨道Ⅱ中可得：22PF a c =-， 所以1122a c a c -=-，所以②正确；1221a c a c +=+，同时平方得：22221212212122a c a c a c a c ++=++，所以22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即2211222122b a c b a c +=+，由图可得：2212b b >，所以122122a c a c <，2121c c a a <，所以③错误，④正确. 故选：D此题考查椭圆的几何性质，根据几何性质辨析两个椭圆a ，b ，c 的基本关系，涉及等价变形处理离心率关系.5．函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数解析式得函数为偶函数，计算()221s 202in 1e ef -=⋅<+即可得出选项. ()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e ----=⋅-=⋅---=++⋅=+，所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A此题考查根据函数解析式选择函数图象，涉及奇偶性与特殊值的辨析，此类图象问题常用排除法求解.6．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）A ．168B ．98C ．108D ．88【答案】D【解析】由三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得答案．由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4， 底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4， ∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6＝16， ∴几何体的表面积S ＝2×12×6×4+（5+5+6）×4＝24+64＝88． 故选：D ．本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量.7．在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．-2 B ．-1C ．23-D ．83-【答案】B【解析】根据平面向量线性关系表示出()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，23BE AC AB =-u u u r u u u r u u u r，结合数量积的运算量即可求解.边长为2的正ABC ∆中，22cos602AB AC ︒⋅=⨯⨯=u u u r u u u r设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ，()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r23BE AE AB AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AD BE ⋅=u u u r u u u r ()1223AB AC AC AB ⎛⎫+- ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r 22121233AB AC AB AC ⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r 1824233⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1=-故选：B此题考查平面向量的基本运算，涉及线性运算和数量积运算，关键在于根据运算法则准确计算求解，此类问题常用一组基底表示其余向量求解.8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若120C =︒，sin C A =，则（ ）A ．a b =B ．a b <C ．a b >D ．a 与b 的大小关系不能确定【答案】C【解析】根据120C =︒，sin C A =求出sin A A ==<=30A ︒>，则30B ︒<，结合正弦定理即可得解.由题：在ABC ∆中，120C =︒，A为锐角，sin C A =，A =，sin A A ==<=所以30A ︒>，则30B ︒<， 所以,sin sin A B A B >>， 根据正弦定理a b >. 故选：C此题考查根据三角形三内角和的关系求解三角函数值并根据三角函数值比较角的大小，结合正弦定理比较边的大小关系.9．在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是（ ） A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【解析】求出6个数字表示的信息一共64个，该信息恰有3个0共20种情况，即可得到概率.用6个数字的一个排列（数字允许重复），所用数字只有0和1， 可以表示的信息一共6264=个，该信息恰有3个0：共有3620C =个，所以所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是2056416=. 故选：A此题考查求古典概型，关键在于准确求出基本事件总数和恰有3个0包含的基本事件个数，其本质考查基本计数原理，组合的知识.10．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，则()40.1587P X >=.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①④说法正确，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望发生改变，调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法；根据利用残差进行回归分析可得①说法正确；将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差均没有变化，期望发生改变，所以②说法错误；调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法，所以③错误；已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，根据正态分布密度曲线特征则()10.682640.15872P X ->==，所以④正确. 故选：B此题考查回归分析，抽样方法，期望方差的性质，正态分布的特点，需要熟练掌握，统计相关概念及结论辨析和基本计算.11．关于函数()()()sin cos cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； ③()f x 的周期是π；④()f x 的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．②④C ．①②D ．①③【答案】C【解析】根据()f x -判断奇偶性，结合复合函数单调性判断②，利用反证法排除③④.()()()sin cos cos sin f x x x =+，()()()()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin f x x x x x -=-+-=+- ()()()sin cos cos sin x x f x =+=，所以()f x 为偶函数，①正确；()()0,,sin 0,1,cos 0,12x x x π⎛⎫∈∈∈ ⎪⎝⎭，0,,sin 2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，cos x 单调递减，()0,1,sin t t ∈单调递增，cos t 单调递减，根据复合函数单调性判断法则，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos ,cos sin y x y x ==均为减函数，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以②正确；假设()f x 的周期是π，必有()()0ff π=()()()0sin cos0cos sin0sin111f =+=+>， ()()()sin cos cos sin sin1cos11f πππ=+=-+<，所以()()0ff π≠，所以()f x 的周期不可能是π，所以③错误；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()()sin cos 1,cos sin 1a a ==， 则cos 2,2a k k Z ππ=+∈与[]cos 1,1a ∈-矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C此题考查三角函数相关性质的辨析，涉及奇偶性单调性周期性的综合应用，以及利用反证法推翻命题.12．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切且分别交双曲线的左、右两支于A 、B 两点，若2AB BF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．30x y ±=B ．0y ±=C ．)10x y ±=D ．)10x y ±=【答案】C【解析】根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解.由双曲线的定义可知12112a BF BF BF AB AF =-=-=，2124AF a AF a =+=，在12AF F ∆中，()()()()()22212224cos 222a c a bAF F c a c +-=∠=， 整理得22220b ab a --=.解得1ba=所以双曲线的渐近线方程为(1y x =±+.故选：C此题考查双曲线的几何特征，结合直线与圆的位置关系和余弦定理解题，求渐近线方程或离心率常用到构造齐次式解题.二、填空题13．根据下列算法语句，当输入x 为80时，输出y 的值为______.【答案】33【解析】根据算法语句得出分段函数关系即可求值. 由算法语句可得，该程序的作用是：求解函数值， 当50x ≤时，0.5y x =，当50x >，()150.650y x =+-，所以当输入x 为80时，输出()150.6805033y =+-=. 故答案为：33此题考查根据算法语句输入数值，求输出的值，关键在于读懂算法语句表达的意思. 14．已知()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，若02a ，1a ，2a 成等差数列，则n =______. 【答案】4【解析】根据二项式定理求出系数，结合等差数列关系即可得解. 由题：()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，由二项式定理可得：012012,,n n n a C a C a C ===，()*2,n N n ∈≥02a ，1a ，2a 成等差数列，所以10222a a a =+，即10222n n n C C C =+，()1222n n n -=+， 2540n n -+=解得：4n =或1n =（舍去）， 所以4n =. 故答案为：4此题考查二项式定理，根据定理求出系数，根据某几项系数成等差数列关系列方程求解. 15．已知非负实数a ，b 满足2a b +≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______. 【答案】512【解析】根据非负实数a ，b 满足2a b +≤，可得有序数对(),a b 表示的区域面积，根据关于x 的方程220x ax b ++=有实根得出限制条件，结合定积分求出面积即可得解. 记区域0,02a b a b ≥≥⎧⎨+≤⎩的面积为12S =，区域20,02a b a b b a ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩的面积为12312001115112326S x dx x=+⨯⨯=+=⎰， 因此21512S p S ==. 故答案为：512此题考查几何概型，属于面积型，关键在于根据关于x 的方程220x ax b ++=有实根得出限制条件，利用定积分准确计算面积.16．在四面体ABCD 中，已知2AB BD DC CA ====，则此四面体体积的最大值是______.【解析】以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设未知数表示出锥体体积根据函数单调性求体积最值即可.根据该锥体的几何特征，考虑平面ABC 与平面BCD 绕BC 旋转而成的几何体， 其体积等价于考虑平面ABD 与平面ACD 绕AD 旋转而成的几何体， 以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设,04BC x x =<<，取BC 中点E ，连接,AE DE ，有,AE BC DE BC ⊥⊥，244x AE DE ==-根据面面垂直的性质，AE ⊥平面BCD ， 所以锥体体积()222311444164464241132A BCD x x x x x x x V -⎛⎫--=-=-+ ⎪⎝⎭=⨯ 考虑函数()()3116,0424f x x x x =-+<< ()()()()21131643432424f x x x x '=-+=+，43x ⎛∈ ⎝⎭，()0f x ¢>，函数单调递增，434x ⎫∈⎪⎪⎝⎭，()0f x ¢<，函数单调递减，所以()3max4314343163163243327f x f ⎛⎛⎛ ==-+⋅= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭163. 故答案为：327此题考查求几何体体积，涉及变量问题考虑函数结合单调性处理.三、解答题17．已知正数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()*11n n a a S S n N =+∈．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求证：122n b b b +++<L ． 【答案】（1）()*2nn a n N =∈；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >⇒12a =；当2n ≥时()122n n n n a S S a -=-=--()122n a --⇒12n n a a -=，因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列⇒()*2n n a n N =∈；（2）令12231232222n n n nT b b b L L =+++=++++，利用错位相减法求得()12222nn T n ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭．试题解析： （1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >，所以12a =；当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列，故()*2n n a n N =∈．（2）令12231232222n n n n T b b b L L =+++=++++， 则234111*********n n n n nT +-=+++++L ， 两式相减得23111111222222n n n nT +=++++-L ，所以()231111111222222222nn n n n T n -⎛⎫=+++++-=-+< ⎪⎝⎭L 【考点】1、数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、错位相减法. 18．如图，已知AB 是半径为2的半球O 的直径，,P D 为球面上的两点且060DAB PAB ∠=∠=，6PD =（1）求证：平面PAB⊥平面DAB；（2）求二面角B AP D--的余弦值．【答案】（1）见解析（2）5【解析】试题分析：（1）P作PH AB⊥于点H，连HD，由勾股定理及三角形全等得PH HD⊥，根据线面垂直的判定定理得PH⊥平面ABD，进而可得结果；（2）以H为原点，,,HB HD HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面APD与平面的APB一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 试题解析：（1）在PAB∆中，过P作PH AB⊥于点H，连HD．由Rt APB Rt ADB∆≅∆可知DH AB⊥，且3,1PH DH AH===，又222336PH HD PD+=+==，∴PH HD⊥．又AB HD H⋂=，∴PH⊥平面ABD，又PH⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABD．（2）由（1）可知,,HB HD HP两两垂直，故以H为原点，,,HB HD HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，可知()()()()1,0,0,3,0,0,0,3,0,0,0,3A B D P-．设平面APD的法向量为(),,m x y z=r，则·0·0m ADm AP⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rru u u rr，即()()()(,,3,00,,30x y zx y z⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴3030xx z⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令3x=1y z==，∴()3,1,1m=-，又平面APB 的法向量()0,1,0n r=， ∴·cos ,m n m n m n 〈〉===r r r r r r， 而二面角B AP D --与,m n 的夹角相等，因此所求的二面角B AP D --的余弦值为【方法点晴】本题主要考查利用面面垂直的判定定理以及空间向量求法向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19．已知函数()sin 1f x x x =-. （1）求曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）判断()f x 在()0,π内的零点个数，并加以证明.【答案】（1）10x y --=（2）()f x 在()0,π内有且仅有两个零点，证明见解析 【解析】（1）求出导函数，根据在某点处的切线方程即可得解； （2）结合函数的单调性和取值范围依据根的存在性定理讨论零点个数. （1）()'sin cos f x x x x =+，所以切线方程为'222y f f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1y x =-，亦即10x y --=.（2）①当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'sin cos 0f x x x x =+>，所以()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()010f =-<，1022f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一的零点1x .②当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()()'g x f x =，则()'2cos sin 0g x x x x =-<，所以()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()0g ππ=-<，所以存在,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g α=，所以当,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0f x g x =>，即()f x 在,2πα⎛⎫⎪⎝⎭递增， 当(),x απ∈时，()()'0f x g x =<，即()f x 在(),απ递减. 又()1022f f ππα⎛⎫>=->⎪⎝⎭，()10f π=-<. 故()f x 在(),απ内有唯一的零点2x .综上，()f x 在()0,π内有且仅有两个零点1x ，2x .此题考查导数的综合应用，涉及导数的几何意义，求在某点处的切线，根据导函数讨论函数单调性处理零点个数问题，综合性比较强.20．某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量. (I)求Z 的分布列和均值；(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.【答案】（Ⅰ）Z 的分布列见解析，()9708E Z =；（Ⅱ）0．973．【解析】（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512,{?20,0,? 0.x y W x y x y x y +≤+≤-≥≥≥（1）目标函数为10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0,?0),?(2.4,?4.8),?(6,?0)A B C ．将10001200z x y =+变形为，当 2.4,?4.8x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(7.5,?0)A B C ．将10001200z x y =+变形为，当3,?6x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(6,?4),?(9,?0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为，当6,4x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=． 故最大获利y 的分布列为y8160 10200 10800 Z0．30．50．2因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=【考点】线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布．21．已知曲线1C 上任意一点M 到直线l ：4y =的距离是它到点()0,1F 距离的2倍；曲线2C 是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. （1）求1C ，2C 的方程；（2）设过点F 的动直线与曲线2C 相交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点引曲线2C 的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 相交于点P .连接PF 的直线交曲线1C 于C ，D 两点. （i ）求证：CD AB ⊥； （ii ）求AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值.【答案】（1）1C 的方程为22134x y +=，2C 的方程为24x y =（2）（i ）证明见解析（ii ）7【解析】（1）根据几何特征列方程即可求解曲线方程；（2）联立直线与曲线方程，结合韦达定理处理，（i ）证明斜率之积为-1，（ii ）化简代数式根据基本不等式求解最值.（1）设(),M x y ，则由题意有4y =-，化简得：22134x y +=. 故1C 的方程为22134x y +=，()0,1F 为抛物线的焦点，设其方程22x py =，1,22pp == 易知2C 的方程为24x y =.（2）（i ）由题意可设AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，由214y x =有1'2y x =，所以1l ，2l 的方程分别为2111124y x x x =-，2221124y x x x =-.故1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭， 即()2,1P k -，1PF k k=-，从而CD AB ⊥. （ii ）可设CD 的方程为11y x k =-+，代入22134x y +=得()22224384120ky k y k +-+-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则2342234284341243k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以()()AD CB AF FD CF FB ⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AF CF FD CF F FB F D A FB +=⋅+⋅⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAF FB FD CF =+u u u r u u u r u u u r u u u r ()()123411114422y y y y =+++-⋅-()()()()1234122444kx kx y y =+++--()()21212343412444k x x k x x y y y y =++++-++()()22291139414344k k t k t +⎛⎫=++=++ ⎪+⎝⎭（其中2433t k =+≥）. 设()()934t t f t t =+≥，则()2229491044'f t t t t-=-=>，故()f t 在[)3,+∞单调递增， 因此139133374444t A B t D C ⎛⎫=++≥++= ⎪⎭⋅⎝=u u u r u u u r ， 当且仅当3t =即0k =等号成立. 故AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值为7.此题考查求曲线轨迹方程，直线与曲线的综合问题，将几何关系转化成代数关系，利用韦达定理处理与根有关的问题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为221x y +=；直线l 的直角坐标方程为30x y -+=（2）12+ 【解析】（1）根据参数方程与普通方程的转化关系，极坐标方程与直角坐标方程的转化关系求解；（2）结合圆的参数方程设点的坐标和点到直线距离公式求解最值.（1）因为222222221111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为221x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设()cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为d ==1≤. 等号成立当且仅当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()724k k Z πθπ=+∈，即P ⎝⎭. 因此点P 到直线l1+. 此题考查坐标系与参数方程相关知识，涉及极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程解决点到直线距离问题. 23．（1）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：1119a b c++≥； （2）解关于x 不等式：2323x x x x <-<. 【答案】（1）证明见解析；（2）1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）根据柯西不等式处理()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭即可得证； （2）根据不等式形式分析出0x <，再去绝对值解不等式. （1）a ，b ，c 均为正数，由柯西不等式有()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭9=， 所以有1119a b c++≥. （另解()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）（2）由2323x x x x <-<有x x <可知0x <.因此原不等式等价于2323x x x x <-<-，即21231x x >->-.即22123231x x x x ⎧>-⎪⎨->-⎪⎩，2221032031x x x x -+>--<⎧⎪⎨⎪⎩， 23210x x -+>恒成立，只需解23210x x --<且0x <解之得103x -<<. 因此原不等式的解集为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.此题考查不等式的证明和解不等式，考查对柯西不等式的应用，也可对乘积拆开用基本不等式求解，解含绝对值不等式，先结合题意分析绝对值内部符号，避免分类讨论.。
2020年湖南省雅礼中学高三1-6次月考 理科数学、文科数学(含答案)
预计去年消费金额在!$$!'$$(内的消费者今年都将会申请办理普通 会员$消费金额在 !!'$$$1#$$(内的消费 者都将会 申 请办 理银 卡会 员$消费金额在!1#$$$2"$$(内 的 消 费 者 都 将 会 申 请 办 理 金 卡 会 员! 消费者在申请办理会员时$需一次性缴清相应等级的消费金额! 该健身机构在今年 底 将 针 对 这 些 消 费 者 举 办 消 费 返 利 活 动$现 有 如 下两种预设方案# 方案!#按分层抽样 从 普 通 会 员$银 卡 会 员$金 卡 会 员 中 总 共 抽 取 #& 位-幸运之星.给予奖励#普通会员中的-幸运之星.每人奖励&$$元1 银卡会员中的-幸运之星.每人奖励'$$元1金卡会员 中的 -幸 运之 星.每人奖励"$$元! 方案##每位会员均可参加摸奖游戏$游戏规则如下#从一个装有1个 白球%#个红球!球只有颜色不同"的箱子中$有放回地摸三次球$每次 只能摸一个球!若摸到红球的总数为#$则可获得#$$元奖励金1若摸 到红球的总数为1$则可获得1$$元奖励金1其他情况不给予奖励!规 定每位普通会员均可参加!次摸奖游戏1每位银卡会员均可参加#次 摸奖游戏1每位金卡会员均可参加1次摸奖游戏!每次摸奖的结果相 互独立"! 以方案#的奖励金 的 数 学 期 望 为 依 据$请 你 预 测 哪 一 种 方 案 投 资 较 少0 并说明理由!
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2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第3次月考数学(理科)试题(解析版)
雅礼中学2020届高三月考试卷（三）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()11i z i +=-（其中i 是虚数单位），则1z +=（ ）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】 对复数进行化简变形11i z i i-==-+，11z i +=-即可得解. 【详解】由题：()11i z i +=-，()()()()11121112i i i i z i i i i ----====-++-，11z i +=-=故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及乘法运算和除法运算，求复数的模长.2. 下列命题中，真命题是（ ）A. 00,0x x R e ∃∈≤B. 0a b +=的充要条件是0a b ==C. 若0x R ∀∈>D. 若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 至少有一个大于1【答案】D【解析】试题分析：00,x e >∴Q A 假；0,,a b a b +=∴=-∴Q C 假；无意义，C 假，故选D. 考点：命题的真假．3.已知2log 0.8a =，0.82b =，20.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b <<【答案】C【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合中间值1,0进行比较.【详解】由题：22log 0.8log 10a =<=， 0.80221b =>=，2000.80.81c <=<=，所以a c b <<.故选：C【点睛】此题考查指数对数的大小比较，关键在于熟练掌握指数函数和对数函数的性质，根据单调性结合特殊值进行比较.4.中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c c a a >.其中正确的式子的序号是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】D【解析】【分析】根据图形关系分析1212,a a c c >>，1122a c PF a c -==-，辨析为1221a c a c +=+平方处理，结合2212b b >即可得到离心率的关系.【详解】由图可知：1212,a a c c >>所以1122a c a c +>+，所以①不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得：11a c PF -=，椭圆轨道Ⅰ中可得：22PF a c =-，所以1122a c a c -=-，所以②正确；1221a c a c +=+，同时平方得：22221212212122a c a c a c a c ++=++，所以22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即2211222122b a c b a c +=+，由图可得：2212b b >，所以122122a c a c <，2121c c a a <，所以③错误，④正确.故选：D【点睛】此题考查椭圆的几何性质，根据几何性质辨析两个椭圆a ，b ，c 的基本关系，涉及等价变形处理离心率关系.5.函数()21sin 1x x e f x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式得函数为偶函数，计算()221s 202in 1e e f -=⋅<+即可得出选项. 【详解】()211sin sin 11x x x e x f x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x x e e e x x x f x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+， 所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e ef -=⋅<+，排除B ， 故选：A【点睛】此题考查根据函数解析式选择函数图象，涉及奇偶性与特殊值的辨析，此类图象问题常用排除法求解.6.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）A. 168B. 98C. 108D. 88【答案】D【解析】【分析】 由三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得答案．【详解】由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4Ⅰ底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4Ⅰ∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6Ⅰ16Ⅰ∴几何体的表面积S Ⅰ2×12×6×4+Ⅰ5+5+6Ⅰ×4Ⅰ24+64Ⅰ88Ⅰ 故选D Ⅰ【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量.7.在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ，则AD BE ⋅=u u u r u u u r （ ）A -2 B. -1 C. 23-D. 83- 【答案】B【解析】【分析】 根据平面向量线性关系表示出()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，23BE AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，结合数量积的运算量即可求解. 【详解】边长为2的正ABC ∆中，22cos602AB AC ︒⋅=⨯⨯=u u u r u u u r 设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r， ()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 23BE AE AB AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以AD BE ⋅=u u u r u u u r ()1223AB AC AC AB ⎛⎫+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r 22121233AB AC AB AC ⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r 1824233⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1=-故选：B【点睛】此题考查平面向量的基本运算，涉及线性运算和数量积运算，关键在于根据运算法则准确计算求解，此类问题常用一组基底表示其余向量求解.8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若120C =︒，sin C A =，则（ ） A. a b =B. a b <C. a b >D. a 与b 的大小关系不能确定 【答案】C【解析】【分析】根据120C =︒，sin C A =求出sin A A ==<=得出30A ︒>，则30B ︒<，结合正弦定理即可得解.【详解】由题：在ABC ∆中，120C =︒，A 为锐角，sin C A =，所以2A =，sin 4442A A ==<= 所以30A ︒>，则30B ︒<，所以,sin sin A B A B >>，根据正弦定理a b >.故选：C【点睛】此题考查根据三角形三内角和的关系求解三角函数值并根据三角函数值比较角的大小，结合正弦定理比较边的大小关系.9.在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是（ ） A. 516 B. 1132 C. 2132 D. 1116【答案】A【解析】【分析】求出6个数字表示的信息一共64个，该信息恰有3个0共20种情况，即可得到概率.【详解】用6个数字的一个排列（数字允许重复），所用数字只有0和1，可以表示的信息一共6264=个，该信息恰有3个0：共有3620C =个，所以所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是2056416=. 故选：A 【点睛】此题考查求古典概型，关键在于准确求出基本事件总数和恰有3个0包含的基本事件个数，其本质考查基本计数原理，组合的知识.10.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法； ④已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，则()40.1587P X >=.A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】①④说法正确，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望发生改变，调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法；【详解】根据利用残差进行回归分析可得①说法正确；将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差均没有变化，期望发生改变，所以②说法错误；调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法，所以③错误；已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，根据正态分布密度曲线特征则()10.682640.15872P X ->==，所以④正确. 故选：B 【点睛】此题考查回归分析，抽样方法，期望方差的性质，正态分布的特点，需要熟练掌握，统计相关概念及结论辨析和基本计算.11.关于函数()()()sin cos cos sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减； ③()f x 的周期是π；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②③B. ②④C. ①②D. ①③【答案】C【解析】【分析】 根据()f x -判断奇偶性，结合复合函数单调性判断②，利用反证法排除③④.【详解】()()()sin cos cos sin f x x x =+，()()()()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin f x x x x x -=-+-=+-()()()sin cos cos sin x x f x =+=，所以()f x 为偶函数，①正确；()()0,,sin 0,1,cos 0,12x x x π⎛⎫∈∈∈ ⎪⎝⎭， 0,,sin 2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，cos x 单调递减， ()0,1,sin t t ∈单调递增，cos t 单调递减，根据复合函数单调性判断法则，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos ,cos sin y x y x ==均为减函数， 所以()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以②正确； 假设()f x 的周期是π，必有()()0f f π=()()()0sin cos0cos sin0sin111f =+=+>，()()()sin cos cos sin sin1cos11f πππ=+=-+<，所以()()0f f π≠，所以()f x 的周期不可能是π，所以③错误；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()()sin cos 1,cos sin 1a a ==， 则cos 2,2a k k Z ππ=+∈与[]cos 1,1a ∈-矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误.故选：C【点睛】此题考查三角函数相关性质的辨析，涉及奇偶性单调性周期性的综合应用，以及利用反证法推翻命题.12.已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切且分别交双曲线的左、右两支于A 、B 两点，若2AB BF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 30x y ±=B. 0y ±=C. )10x y +±=D. )10x y ±= 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解. 【详解】由双曲线的定义可知12112a BF BF BF AB AF =-=-=，2124AF a AF a =+=，在12AF F ∆中，()()()()()22212224cos 222a c a b AF F c a c +-=∠=， 整理得22220b ab a --=.解得1b a=所以双曲线的渐近线方程为(1y x =±.故选：C【点睛】此题考查双曲线的几何特征，结合直线与圆的位置关系和余弦定理解题，求渐近线方程或离心率常用到构造齐次式解题. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.根据下列算法语句，当输入x 为80时，输出y 的值为______.【答案】33 【解析】 【分析】根据算法语句得出分段函数关系即可求值.【详解】由算法语句可得，该程序的作用是：求解函数值， 当50x ≤时，0.5y x =，当50x >，()150.650y x =+-，所以当输入x 为80时，输出()150.6805033y =+-=. 故答案为：33【点睛】此题考查根据算法语句输入数值，求输出的值，关键在于读懂算法语句表达的意思. 14.已知()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，若02a ，1a ，2a 成等差数列，则n =______.【答案】4 【解析】 【分析】根据二项式定理求出系数，结合等差数列关系即可得解. 【详解】由题：()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，由二项式定理可得：012012,,n n n a C a C a C ===，()*2,n N n ∈≥02a ，1a ，2a 成等差数列，所以10222a a a =+，即10222n n n C C C =+，()1222n n n -=+， 2540n n -+=解得：4n =或1n =（舍去）， 所以4n =. 故答案为：4【点睛】此题考查二项式定理，根据定理求出系数，根据某几项系数成等差数列关系列方程求解. 15.已知非负实数a ，b 满足2a b +≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______. 【答案】512【解析】 【分析】根据非负实数a ，b 满足2a b +≤，可得有序数对(),a b 表示的区域面积，根据关于x 的方程220x ax b ++=有实根得出限制条件，结合定积分求出面积即可得解.【详解】记区域0,02a b a b ≥≥⎧⎨+≤⎩的面积为12S =，区域20,02a b a b b a ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩的面积为12312001115112326S x dx x=+⨯⨯=+=⎰， 因此21512S p S ==. 故答案为：512【点睛】此题考查几何概型，属于面积型，关键在于根据关于x 的方程220x ax b ++=有实根得出限制条件，利用定积分准确计算面积.16.在四面体ABCD 中，已知2AB BD DC CA ====，则此四面体体积的最大值是______.【答案】27【解析】 【分析】以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设未知数表示出锥体体积根据函数单调性求体积最值即可.【详解】根据该锥体的几何特征，考虑平面ABC 与平面BCD 绕BC 旋转而成的几何体， 其体积等价于考虑平面ABD 与平面ACD 绕AD 旋转而成的几何体， 以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设,04BC x x =<<，取BC 中点E ，连接,AE DE ，有,AE BC DE BC ⊥⊥，AE DE ==根据面面垂直的性质，AE ⊥平面BCD ，所以锥体体积()231141664241132A BCD x x x x x V -⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭=⨯ 考虑函数()()3116,0424f x x x x =-+<< ()()()()211316442424f x x '=-+=+，x ⎛∈ ⎝⎭，()0f x ¢>，函数单调递增，4x ⎫∈⎪⎪⎝⎭，()0f x ¢<，函数单调递减，所以()3max1163243327f x f ⎛⎛⎛ ==-+⋅= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】此题考查求几何体体积，涉及变量问题考虑函数结合单调性处理.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()*11n n a a S S n N=+∈．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求证：122n b b b +++<L ． 【答案】（1）()*2nn a n N =∈；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >⇒12a =；当2n ≥时()122n n n n a S S a -=-=--()122n a --⇒12n n a a -=，因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列⇒()*2nn a n N =∈；（2）令12231232222n n n n T b b b L L =+++=++++，利用错位相减法求得()12222nn T n ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭．试题解析： （1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >，所以12a =；当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=， 因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列，故()*2nn a n N =∈．（2）令12231232222n n n n T b b b L L =+++=++++，则234111*********n n n n n T +-=+++++L ， 两式相减得23111111222222n n n nT +=++++-L ，所以()231111111222222222nn n n n T n -⎛⎫=+++++-=-+< ⎪⎝⎭L 考点：1、数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、错位相减法.18.如图，已知AB 是半径为2的半球O 的直径，,P D 为球面上的两点且060DAB PAB ∠=∠=，PD =（1）求证：平面PAB ⊥平面DAB ； （2）求二面角B AP D --的余弦值．【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）P 作PH AB ⊥于点H ，连HD ，由勾股定理及三角形全等得PH HD ⊥，根据线面垂直的判定定理得PH ⊥平面ABD ，进而可得结果；（2）以H 为原点，,,HB HD HP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面APD 与平面的APB 一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）在PAB ∆中，过P 作PH AB ⊥于点H ，连HD ．由Rt APB Rt ADB ∆≅∆可知DH AB ⊥，且1PH DH AH ===， 又 222336PH HD PD +=+==，∴PH HD ⊥．又AB HD H ⋂=， ∴PH ⊥平面ABD ，又PH ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABD ．（2）由（1）可知,,HB HD HP 两两垂直，故以H 为原点，,,HB HD HP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，可知()()()(1,0,0,3,0,0,,A B D P -．设平面APD 的法向量为(),,m x y z =r，则·0·0m AD m AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即()()()(,,0,,0x y z x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴00x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令x =1y z ==，∴()m =，又平面APB 的法向量()0,1,0n r=，∴·cos ,m n m n m n 〈〉===r r r r r r ，而二面角B AP D --与,m n 的夹角相等，因此所求的二面角B AP D --的余弦值为5． 【方法点晴】本题主要考查利用面面垂直的判定定理以及空间向量求法向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19.已知函数()sin 1f x x x =-. （1）求曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）判断()f x 在()0,π内的零点个数，并加以证明.【答案】（1）10x y --=（2）()f x 在()0,π内有且仅有两个零点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据在某点处的切线方程即可得解；（2）结合函数的单调性和取值范围依据根的存在性定理讨论零点个数. 【详解】（1）()'sin cos f x x x x =+，所以切线方程为'222y f f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1y x =-，亦即10x y --=.（2）①当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'sin cos 0f x x x x =+>，所以()f x 0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()010f =-<， 1022f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一零点1x .②当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()()'g x f x =，则()'2cos sin 0g x x x x =-<，所以 ()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()0g ππ=-<，所以存在,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g α=，所以当,2x πα⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()'0f x g x =>，即()f x 在,2πα⎛⎫⎪⎝⎭递增， 当(),x απ∈时，()()'0f x g x =<，即()f x 在(),απ递减.又()1022f f ππα⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，()10f π=-<.故()f x 在(),απ内有唯一的零点2x .综上，()f x 在()0,π内有且仅有两个零点1x ，2x .【点睛】此题考查导数的综合应用，涉及导数的几何意义，求在某点处的切线，根据导函数讨论函数单调性处理零点个数问题，综合性比较强.20.某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ⅠB 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ⅠB 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为的该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量.(I)求Z 的分布列和均值；(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率. 【答案】（Ⅰ）Z 的分布列见解析，()9708E Z =；（Ⅱ）0．973． 【解析】【详解】（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512,{?20,0,? 0.x y W x y x y x y +≤+≤-≥≥≥（1）目标函数为10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0,?0),?(2.4,?4.8),?(6,?0)A B C ． 将10001200z x y =+变形为，当 2.4,?4.8x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(7.5,?0)A B C ． 将10001200z x y =+变形为，当3,?6x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(6,?4),?(9,?0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为，当6,4x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=． 故最大获利y 的分布列为因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=考点：线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布． 【此处有视频，请去附件查看】21.已知曲线1C 上任意一点M 到直线l ：4y =的距离是它到点()0,1F 距离的2倍；曲线2C 是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. （1）求1C ，2C 的方程； （2）设过点F动直线与曲线2C 相交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点引曲线2C 的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 相交于点P .连接PF 的直线交曲线1C 于C ，D 两点. （i ）求证：CD AB ⊥；（ii ）求AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值.【答案】（1）1C 的方程为22134x y +=，2C 的方程为24x y =（2）（i ）证明见解析（ii ）7 【解析】 分析】（1）根据几何特征列方程即可求解曲线方程；（2）联立直线与曲线方程，结合韦达定理处理，（i ）证明斜率之积为-1，（ii ）化简代数式根据基本不等式求解最值.【详解】（1）设(),M x y ，则由题意有4y =-，化简得：22134x y +=. 故1C 的方程为22134x y +=，()0,1F 为抛物线的焦点，设其方程22x py =，1,22pp == 易知2C 的方程为24x y =.（2）（i ）由题意可设AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，由214y x =有1'2y x =，所以1l ，2l 的方程分别为2111124y x x x =-，2221124y x x x =-.故1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭， 即()2,1P k -，1PF k k=-，从而CD AB ⊥. （ii ）可设CD 的方程为11y x k =-+，代入22134x y +=得()22224384120ky k y k +-+-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则2342234284341243k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 【所以()()AD CB AF FD CF FB ⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AF CF FD CF F FB F D A FB +=⋅+⋅⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AF FB FD CF =+u u u r u u u r u u u r u u u r ()()123411114422y y y y =+++-⋅- ()()()()1234122444kx kx y y =+++-- ()()21212343412444k x x k x x y y y y =++++-++ ()()22291139414344k k t k t +⎛⎫=++=++ ⎪+⎝⎭（其中2433t k =+≥）. 设()()934t t f t t =+≥，则()2229491044'f t t t t-=-=>，故()f t 在[)3,+∞单调递增， 因此139133374444t A B t D C ⎛⎫=++≥++= ⎪⎭⋅⎝=u u u r u u u r ， 当且仅当3t =即0k =等号成立.故AD CB ⋅u u u r u u u r 的最小值为7.【点睛】此题考查求曲线轨迹方程，直线与曲线的综合问题，将几何关系转化成代数关系，利用韦达定理处理与根有关的问题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为221x y +=；直线l 的直角坐标方程为30x y -+=（2）12+ 【解析】【分析】（1）根据参数方程与普通方程的转化关系，极坐标方程与直角坐标方程的转化关系求解；（2）结合圆的参数方程设点的坐标和点到直线距离公式求解最值.【详解】（1）因为222222221111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为221x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设()cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为d ==12≤+. 等号成立当且仅当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()724k k Z πθπ=+∈，即P ⎝⎭. 因此点P 到直线l的距离的最大值为12+. 【点睛】此题考查坐标系与参数方程相关知识，涉及极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程解决点到直线距离问题.23.（1）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：1119a b c++≥； （2）解关于x 不等式：2323x x x x <-<. 【答案】（1）证明见解析；（2）1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】 （1）根据柯西不等式处理()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥+ ⎪⎝⎭即可得证； （2）根据不等式形式分析出0x <，再去绝对值解不等式.【详解】（1）a ，b ，c 均为正数，由柯西不等式有()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥+ ⎪⎝⎭9=， 所以有1119a b c++≥. （另解()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭） （2）由2323x x x x <-<有x x <可知0x <.因此原不等式等价于 2323x x x x <-<-，即21231x x >->-.即22123231x x x x ⎧>-⎪⎨->-⎪⎩，2221032031x x x x -+>--<⎧⎪⎨⎪⎩， 23210x x -+>恒成立，只需解23210x x --<且0x < 解之得103x -<<. 因此原不等式的解集为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考查不等式的证明和解不等式，考查对柯西不等式的应用，也可对乘积拆开用基本不等式求解，解含绝对值不等式，先结合题意分析绝对值内部符号，避免分类讨论.。
2020年湖南省雅礼中学高三第2次月考 理科数学、文科数学(含答案)
#!!!本小题满分!#分" 已知函数)!#"'&!#(!"15!#(!")##)&#!&)$"是减函数! !!"试确定&的值+ !#"已 知 数 列 '&*($&* '15*!*((!!"$9* '&!&#&0 --&* !*+, "$求 证# 15*!*(#"9*)$!)*#!
!!"若甲解开密 码 锁 所 需 时 间 的 中 位 数 为 46$求 &&' 的 值$并 分 别 求 出 甲&乙在!分钟内解开密码锁的频率+
!#"若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时 间位于该区间的概率$并 且 丙 在 ! 分 钟 内 解 开 密 码 锁 的 概 率 为 $!%$ 各人是否解开密码锁相互独立! 按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员 数目的数学期望更小% 试猜想#该团队以怎样的先后顺序派出人员$可使所需派出的人员 数目 8 的数学期望达到最小$不需要说明理由!
炎德英才大联考雅礼中学#$#$届高三月考试卷!二"
数学!理科"参考答案
一#选择题$本大题共"#个小题%每小题%分%共&$分!在每小题给出的四个选项中%只有一个选项是符合题目 要求的! 题!号 " # ' ( % & ) * + "$ "" "#
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2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第二次月考数学（理）试题一、单选题1．集合{}{}{}202,1,1A a B a A B ==⋂=，，，若，则a 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．-1D ．±1【答案】C【解析】{}{}221,02,1,A B A a a⋂==⇒=，又{}1,B a = ，1a ∴=- ，故选C.2．已知向量()()2,1,,2a b λ==r r ，若a b ⊥r r，则实数λ= （ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．4【答案】B【解析】由题得=0a b ⋅r r，解方程即得解.【详解】因为a b ⊥r r，所以=220,1a b λλ⋅+=∴=-r r .故选B 【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是2i -+，1i -，22i +，则点D 对应的复数为（ ）A ．4i -B ．32i --C ．5D ．14i -+【答案】D【解析】分析：利用平行四边形的性质得到AB DC =u u u r u u u r,再把点的坐标代入计算即得点D 的坐标，再写出点D 对应的复数.详解：由题得A(-2，1),B(1，-1),C(2，2),设D(x,y)，则(3,2),(2,2),AB DC x y =-=--u u u v u u u v因为AB DC =u u u r u u u r，所以2322x y -=⎧⎨-=-⎩，解之得x=-1,y=4.所以点D 的坐标为（-1，4）， 所以点D 对应的复数为-1+4i, 故选D.点睛：本题方法比较多，但是根据AB DC =u u u r u u u r求点D 的坐标，是比较简单高效的一种方法，大家解题时，注意简洁高效. 4．已知集合2{|0}1x A x x -=<+，{|}B x x a =<，若“1a =”是“B A ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】化简两个集合，分别讨论充分性和必要性，可选出答案. 【详解】由题意，集合()()2{|0}{|120}{|12}1x A x x x x x x x -=<=+-<=-<<+， 先来判断充分性，若1a =，则{|11}B x x =-<<，满足B A ⊆，即“1a =”是“B A ⊆”的充分条件； 再来判断必要性，若B A ⊆，①集合B =∅，0a ≤，此时符合B A ⊆；②集合B ≠∅，此时21a a a a -<⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩，解得01a <≤.故B A ⊆时，1a ≤，即“1a =”不是“B A ⊆”的必要条件. 所以“1a =”是“B A ⊆”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的包含关系，考查充分性与必要性，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.5．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间()1,4内有解,则实数a 的取值范围是 A ．2a <- B ．2a >-C ．6a >-D ．6a <-【答案】A【解析】由题意可得224a x x +<-在区间(1,4)内成立，由224(2)4y x x x =-=--，求得顶点处的函数值和端点处的函数值，即可得到所求范围． 【详解】解：关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解， 即为224a x x +<-在区间(1,4)内成立， 由224(2)4y x x x =-=--，可得2x =处函数y 取得最小值4-；1x =时，3y =-；4x =时，0y =； 则函数24y x x =-的值域为[)4,0-，可得20a +<， 解得2a <-． 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想和二次函数的值域求法，考查运算能力，属于中档题．6．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数()g x 图象的一个对称中心可以是（ ） A ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】试题分析：()1sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,2,263x k x k k Z ππππ+=∴=-∈，令0,3k x π==-，∴()g x 图象的一个对称中心是,03π⎛⎫-⎪⎝⎭． 【考点】三角函数图象的平移、三角函数的对称中心．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，则异面直线DE 与AB 所成角的正切．．值为（ ）A ．2B C D【答案】C【解析】依据异面直线所成角的定义，结合//AB DC ，就得到异面直线DE 与AB 所成角，解三角形，即可求出异面直线DE 与AB 所成角的正切值. 【详解】如图，因为//AB DC ，所以EDC ∠（或其补角）即为异面直线DE 与AB 所成角， 连接EC ，设正方体棱长为2，利用勾股定理可以求得：2CD =，5CE =，3DE =，因此三角形DEC 是直角三角形，∴5tan EDC ∠=. 故选：C【点睛】本题考查了异面直线所成的角，属于基础题.8．已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由于，由题意知，，，因此，双曲线的离心率为，故选B.【考点】双曲线的离心率9．已知直线1:(3)10l mx m y +-+=，直线2:(1)10l m x my ++-=，若12l l ⊥则m =（ ）A ．0m =或1m =B ．1m =C ．32m =-D ．0m =或32m =- 【答案】A【解析】根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果. 【详解】因为直线1:(3)10l mx m y +-+=与直线2:(1)10l m x my ++-=垂直， 所以(1)(3)0m m m m ++-=，即(1)0m m -=，解得0m =或1m =. 故选A 【点睛】本题主要考查根据直线垂直求参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型.10．已知函数2()log (46)x xf x a b =-+，满足2(1)1,(2)log 6f f ==，,a b 为正实数，则()f x 的最小值为（ ） A ．6- B ．3-C ．0D ．1【答案】D【解析】试题分析：22462{466a b a b -+=-+=，解得2{4b a ==， ∴222()log (44?26)log [(22)2]x x x f x =-+=-+，当1x =时，min ()1f x =，故选D .【考点】对数函数的性质11．直线l 是抛物线22x y =在点()2,2-处的切线，点P 是圆22420x y x y +--=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ）A 2BCD ．65【答案】C【解析】先由题意求出直线l 的方程，再求出圆22420x y x y +--=的圆心到直线的距离，减去半径，即为所求结果. 【详解】因为22x y =，所以y x '=，因此抛物线22x y =在点()2,2-处的切线斜率为22x y x =-==-'，所以直线l 的方程为22(2)y x -=-+，即22y x =--，又圆22420x y x y +--=可化为22(2)(1)5x y -+-=，所以圆心为(2,1)，半径r =则圆心到直线的距离为d ==又因点P 是圆22420x y x y +--=上的动点，所以点P 到直线l的距离的最小值等于d r -=. 故选C 【点睛】本题主要考查圆上的点到直线距离的最值问题，熟记直线与圆位置关系即可，属于常考题型.12．若对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式22ln 30x x x mx +-+≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．132e e+- B ．32e e++C ．2e 1-D ．4【答案】D【解析】通过分离变量将恒成立的不等式变为32ln m x x x≤++，由此可知当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，min 32ln m x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，通过导数求解出右侧函数在区间内的最小值，从而得到结果. 【详解】22ln 30x x x mx +-+≥ 22ln 3mx x x x ⇒≤++ 32ln m x x x⇒≤++22ln 30x x x mx +-+≥在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于min 32ln m x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()32ln g x x x x =++，则()22223231x x g x x x x+-'=+-= 令()0g x '=，解得13x =-，21x =则1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；(]1,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增则1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()min 12ln1134g x g ==++= 4m ∴≤ 即m 的最大值为4 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用恒成立问题的求解，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与某一函数的最值比较的问题，通过求解函数最值得到所求参数的取值范围，属于恒成立问题中的常规题型.二、填空题13．已知抛物线24y x =-的准线经过椭圆2221(0)4x y b b+=>的焦点，则b =________． 【答案】3【解析】先根据抛物线的方程求得准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，代入抛物线的准线方程求得b ． 【详解】解：依题意可得抛物线24y x =-的准线为1x =，又因为椭圆焦点为()240b ±-，所以有241b -=．即b 2＝3故b 3=． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握． 14．若实数x ，y 满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】化简题设条件，得到的取值范围，再化简为x 的二次函数，借助二次函数的图象与性质，即可求解函数的最值，得到答案． 【详解】由题意，实数x ，y 满足，即，可得．则，则函数的对称轴为，开口向下，所以在上，时函数取得最大值6，时，函数取得最小值．所以的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到变量的取值范围，再结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．15．设x，y满足约束条件20230x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46yx++的取值范围是__________．【答案】[]3,1-【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由数形结合进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图所示：则46yx++的几何意义是区域内的点到定点P（﹣6，﹣4）的斜率，由230x yx y-+=⎧⎨+=⎩得x＝﹣1，y＝1，即A（﹣1，1），则AP的斜率k＝1416+-+＝1，由20230x yx y--=⎧⎨-+=⎩得x＝﹣5，y＝﹣7，即B（﹣5，﹣7），则BP的斜率k＝7456-+-+＝﹣3，则46yx++的取值范围是[﹣3，1]故答案为：[﹣3，1]．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于中档题.16．在数列{}n a 中，1253a a +=，()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________．【答案】10【解析】解法一：利用数列的递推公式，化简得122n n n a a a ++=+，得到数列{}n a 为等差数列，求得数列的通项公式313n a n =-，得到12100a a a >>>>L ，1112130a a a >>>>L ，得出所以1280b b b >>>>L ，90b <，100b >，1112130b b b >>>>L ，进而得到结论；解法二：化简得()128 11n n a a n n n n +-=---，令1n n a c n +=，求得11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而求得313n a n =-，再由0n b ≥，解得8n ≤或10n =，即可得到结论．【详解】解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，①-②，得122n n n na na na ++=+即122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列． 在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此12100a a a >>>>L ，1112130a a a >>>>L 所以1280b b b >>>>L ，99101180b a a a =⋅⋅=-<，10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>>L所以12389T T T T T <<L ， 9101112T T T T >>L 又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值． 解法二：由()11280n n n a na +--+=，得()12811n n a a n n n n +-=---， 令1n n a c n +=，则11111282811n n c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=- 所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值． 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档试题.三、解答题17．在锐角ABC V 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 0a B =. （1）求角A 的大小；（2）若4a =，求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）60A =︒（2）【解析】（1）由正弦定理可得sin sin 0A B B -=，结合sin 0B ≠，可求出sin A 与A ；（2）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，结合基本不等式可得162bc bc bc ≥-=，即可求出16bc ≤，从而可求出1sin 2ABC S bc A =V 的最大值.【详解】解：（1）因为sin 0a B =，所以sin sin 0A B B =，又sin 0B ≠，所以3sin 2A=， 又ABC V 是锐角三角形，则60A =o .（2）因为2222cos a b c bc A =+-，60A =o ，4a =， 所以222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-， 所以162bc bc bc ≥-=，即16bc ≤（当且仅当4b c ==时取等号）， 故11sin 16sin 432260ABC S bc A =≤⨯⨯=V o . 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =⋅⋅⋅数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑ ()()81iii x x y y =-⋅-∑ ()()81iii w w y y =-⋅-∑46.6 5636.8289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =8118i i w w ==∑.（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-.根据（2）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ()()()121niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，µµv u αβ=-. 【答案】（1）y c =+适宜（2）100.6y =+3）（i ）年销售量y 的预报值576.6，年利润的预报值66.32（ii ）46.24x =【解析】（1）根据所给的两个函数解析式的特点，结合图象直接选择即可； （2）令w =y 关于w 的线性回归方程，利用表中所给的数据求解即可.（3）（i ）由（2）知，把49x =代入，100.6y =+即可；（ii ）根据（2）的结果知，求出年利润z 的预报值的函数关系式，利用配方法求出当年利润的预报值最大时，年宣传费的值. 【详解】（1）由散点图可以判断，这些点明显不在同一条直线上，也不是在一条直线的附近，所以y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. （2）令w =y 关于w 的线性回归方程，由于()()()81821108.8681.6iii i i w w y y d w w==--===-∑∑，56368 6.8100.6cy dw =-=-⨯=$， 所以y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+， 因此y 关于x的回归方程为100.6y =+（3）（i ）由（2）知，当49x =时，年销售量y的预报值100.6576.6y =+=，年利润的预报值0.2576.64966.32z=⨯-=$. （ii ）根据（2）的结果知，年利润z 的预报值()0.2100.66813.620.12x x x x z=+-=-++$， 所以当13.66.82x ==，即46.24x =时，z 取得最大值. 【点睛】本题考查了根据图象选择函数的解析式，考查了求线性回归方程，考查了线性回归方程的应用，考查了数学运算能力.19． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（III 3【解析】（I ）连接BD ，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到GH PD P ，利用线面平行的判定定理证得结果；（II ）取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DN PA ⊥，利用线面垂直的判定定理证得结果；（III ）利用线面角的平面角的定义得到DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角，放在直角三角形中求得结果. 【详解】（I ）证明：连接BD ，易知AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，故GH PD P ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以GH ∥平面PAD .（II ）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥， 又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC I 平面PCD PC =， 所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥， 又已知PA CD ⊥，CD DN D =I ， 所以PA ⊥平面PCD .（III ）解：连接AN ，由（II ）中DN ⊥平面PAC ， 可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角.因为PCD ∆为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点， 所以3DN =DN AN ⊥， 在Rt AND ∆中，3sin 3DN DAN AD ∠==， 所以，直线AD 与平面PAC 3【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.20．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析.【解析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0). 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．已知函数（I ）若在处的切线的斜率为，求的值；（Ⅱ），不等式恒成立，求整数的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题意得,解之即得a 的值；（Ⅱ）不等式或化为，设，再利用导数研究函数h(x)的图像和性质得解.【详解】 解：（Ⅰ），由题意得，则.（Ⅱ）不等式或化为.设，．设，当时，，则在单调递增. 又，，则在存在唯一零点满足.则当时，单调递减，当时，单调递增，则.又因为，则，因为，则，则整数的最大值为. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查函数的最值、单调性、零点问题的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.【答案】（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）2. 【解析】（1）求出直线l 的直角坐标方程为y =+2，曲线C，1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x 2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程． （2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6πθ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由126MONS OM ON sin π==V u u u u r u u u r 2sin （23πθ+）△MON 面积的最大值．【详解】（1）由题意可知将直线l的直角坐标方程为2y =+，曲线C是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C相切，可得：2r ==；可知曲线C的方程为(()2214x y +-=，∴曲线C的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>21211sin ?4sin ?sin 2sin cos 26432MONS OM ON πππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u v u u u vsin22sin 23πθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭当12πθ=时，2MON S ∆≤MON ∴∆面积的最大值为2+.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23．设函数()2f x x x a =--+． (1)当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；(2)当()()(),22x y R f y f x f y a ∈-+≤≤+时，，求的取值范围． 【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）[]3,1-- 【解析】(1) 求出函数f （x ）的分段函数的形式，通过讨论x 的范围求出各个区间上的x 的范围，取并集即可；(2)()()()22f y f x f y -+≤≤+等价于()()()()max min 22f x f y f x f x ⎡⎤⎡⎤-≤⇔-≤⎣⎦⎣⎦，求出()f x 的最值即可.【详解】（1）当a =1时，()3,1,12,123,2x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩，可得()2f x <-的解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（2）当,x y R ∈时，()()()()()()()max min 2222f y f x f y f x f y f x f x ⎡⎤⎡⎤-+≤≤+⇔-≤⇔-≤⎣⎦⎣⎦,因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+， 所以()222a a +--+≤. 所以21a +≤，所以31a -≤≤-. 所以a 的取值范围是[-3，-1] 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.。
2020届雅礼中学高三第1次月考试卷-理科数学答案
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湖南省长沙市雅礼中学2020届高三数学上学期第一次月考试题文(含解析)
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2}{0|A x x x =-<（），{|11}B x x =-<<，则A B =I （） A. {|12}x x -<< B. {|1x x <-或2x >} C. {|01}x x << D. {|0x x <或}【答案】C 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集，找出两集合的交集即可【详解】由题意可得{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，所以{|01}A B x x =<<I .故选C.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则,实数a 等于 A. -2 B. 2C.12D. -1【答案】C 【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C.3.“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B试题分析：若方程22126x ym m+=--表示椭圆，则20{6026m m m m->->-≠-，解得26m <<且4m ≠，所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．4.如果()()221f x ax a x =--+在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，则a 的取值（ ）A. (]0,1B. [)0,1C. [] 0,1D. ()0,1【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用一元二次函数的性质，对a 进行讨论，即可推得答案。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高三第二学期月考(理科)数学试卷(Word解析版)
2019-2020学年高三第二学期月考数学试卷（理科）一、选择题.1．设复数z满足z（1+i）2＝4i，则复数z的共轭复数z=（）A．2B．﹣2C．﹣2i D．2i2．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．￢p∨q D．￢p∨（￢q）3．已知(x3+ax)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（）A．20B．30C．40D．504．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin A，sin B，sin C成等比数列，且c ＝2a，则sin B的值为（）A．34B．√74C．1D．√336．执行如图所示的程序框图，若输出的k＝6，则输入整数p的最大值是（）A．32B．31C．15D．167．已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x的线性回归方程为y =1.3x ﹣1，则m 的值为（ ） x 1 2 3 4 y 0.11.8 m4A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.88．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，直线y =√3x 与C 相交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则C 的离心率为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√3−12D ．√3−19．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →=3BD →，|AD →|=2，则AC →⋅AD →的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．1610．通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且X ～N （3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若X ～N （μ，σ2），有P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.9544，P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9974） A ．0.0456B ．0.6826C ．0.9987D ．0.977211．在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是（ ） ①直线②圆③椭圆④抛物线 A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②④12．已知P ＝{α|f （α）＝0}，Q ＝{β|g （β）＝0}，若存在α∈P ，β∈Q ，使得|α﹣β|＜n ，则称函数f （x ）与g （x ）互为“n 距零点函数”若f （x ）＝log 2020（x ﹣1）与g （x ）＝x 2﹣ae x （e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1e2，4e ] B ．(1e，4e 2] C ．[4e2，2e ) D ．[4e 3，2e2) 二、填空题13．∫ 30|x ﹣1|dx ＝ ．14．已知函数y ＝cos x 与y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，则φ的值是 ．15．一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为 （用数字回答）． 16．已知α，β，γ∈(0，π2)，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝2，则cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值为 ． 三、解答题17．已知圆柱OO 1底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ． （1）求曲线Γ长度；（2）当θ=π2时，求点C 1到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D ﹣AB ﹣P 的大小为π4？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＞0，S n 2＝a n +12﹣λS n +1，其中λ为常数． （1）证明：S n +1＝2S n +λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．19．如图，过抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点P （1，2），作两条直线分别交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y 1+y 2的值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距b ∈[﹣1，3]时，求△ABP 面积S △ABP 的最大值．20．响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人． （1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 参考数据： P （K 2＞k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 k 00.4550.7081.3232.0722.7063.84121．已知函数f （x ）＝xlnx +ax +1，a ∈R ．（1）当时x ＞0，若关于x 的不等式f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围； （2）当n ∈N *时，证明：n 2n+4＜ln 22+ln 232+⋯+ln 2n+1n＜n n+1．22．已知直线l 的参数方程为{x =−1+t y =3−t曲线C 的参数方程为{x =1cosφy =2tanφ．（1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为（1，1），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |•|PB |的值． 23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：ba +a b+c+c b≥2；（2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，求a+b+cx+y+z的值．参考答案一、选择题1．设复数z满足z（1+i）2＝4i，则复数z的共轭复数z=（）A．2B．﹣2C．﹣2i D．2i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）2＝4i，得z=4i(1+i)2=4i2i=2，∴z=2．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．￢p∨q D．￢p∨（￢q）【分析】利用配方法判断命题p为真，举例说明命题q为假，再由复合命题的真假判断得答案．解：∵x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞0，∴命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0为真命题；由a2＜b2，不一定有a＜b，如a＝1，b＝﹣2，则命题q：若a2＜b2，则a＜b为假命题．∴p∨q为真命题；p∨（￢q）为真命题；￢p∨q为假命题；￢p∨（￢q）为真命题．故选：C．【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题．3．已知(x3+ax)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（）A．20B．30C．40D．50【分析】由题意可得：2n＝32，（1+a）n＝243，解得n，a．再利用通项公式即可得出．解：由题意可得：2n＝32，（1+a）n＝243，解得n＝5，a＝2．∴展开式中通项公式T k+1=∁5k（x3）5﹣k(2x)k=2k∁5k x15﹣4k，令15﹣4k＝7，解得k＝2．∴x 7的系数=22∁52=40． 故选：C ．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（ ） A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列{a n }、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出a 1，由等比数列的通项公式求出答案即可． 解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{a n }，且公比为12，∵6天后共走了378里，∴S 6=a 1(1−126)1−12=378，解得a 1＝192，∴第三天走了a 3＝a 1×(12)2=192×14=48，故选：B ．【点评】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题． 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则sin B 的值为（ ） A ．34B ．√74C ．1D ．√33【分析】由已知结合正弦定理可得a ，b ，c 的关系，然后结合余弦定理及同角平方关系即可求解．解：由题意可得，sin 2B ＝sin A sin C ， 由正弦定理可得，b 2＝ac ， 又c ＝2a ，则可得b =√2a ，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 24a 2=34，所以sin B=√1−9=√74．16故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角平方关系的应用，属于基础试题．6．执行如图所示的程序框图，若输出的k＝6，则输入整数p的最大值是（）A．32B．31C．15D．16【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算变量k的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S k循环前/1 1第一圈是 2 2第二圈是 4 3第三圈是8 4第四圈是16 5第五圈是32 6第六圈否可得：范围16＜p≤32，即输入整数p的最大值是32．故选：A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y 关于x 的线性回归方程为y =1.3x ﹣1，则m 的值为（ ） x 1 2 3 4 y 0.11.8 m4A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.8【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解．解：由题意，x =2.5，代入线性回归方程为y =1.3x ﹣1，可得y =2.25， ∴0.1+1.8+m +4＝4×2.25， ∴m ＝3.1． 故选：B ．【点评】本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础． 8．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，直线y =√3x 与C 相交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则C 的离心率为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√3−12D ．√3−1【分析】可解得点A 、B 坐标，由AF ⊥BF ，得AF →•BF →=0，把b 2＝a 2﹣c 2代入该式整理后两边同除以a 4，得e 的方程，解出即可，注意e 的取值范围解：由{x 2a 2+y 2b 2=1y =√3x，消y 可得得（3a 2+b 2）x 2＝a 2b 2，解得x ＝±√3a 2+b 2，分别代入y＝±√3ab√3a 2+b2， ∴A （√3a 2+b 2，√3ab √3a 2+b 2），B （√3a 2+b ，√3ab √3a 2+b ），∴AF →=（√3a 2+b 2+c ，√3ab √3a 2+b 2），BF →=（c √3a 2+b ，√3ab √3a 2+b ）， ∴AF →•BF →=c 2−a 2b23a 2+b2−3a 2b23a 2+b2=0，∴c 2=4a 2b23a 2+b2，（*）把b 2＝a 2﹣c 2代入（*）式并整理得4a 2c 2﹣c 4＝4a 2（a 2﹣c 2）， 两边同除以a 4并整理得e 4﹣8e 2+4＝0，解得e 2＝4﹣2√3 ∴e =√3−1， 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题．9．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →=3BD →，|AD →|=2，则AC →⋅AD →的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．16【分析】结合已知得到AC →=−3AB →+4AD →代入数量积的计算即可 解：∵在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →=3BD →，|AD →|=2， ∴AC →⋅AD →=（AB →+BC →）•AD →＝（AB →+4BD →）•AD →＝[AB →+4（AD →−AB →）]•AD →＝（﹣3AB →+4AD →）•AD →＝﹣3AB →⋅AD →+4AD →2 ＝0+4×22＝16； 故选：D ．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 10．通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且X ～N （3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若X ～N （μ，σ2），有P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）A．0.0456B．0.6826C．0.9987D．0.9772【分析】利用正态分布的对称性来求解．解：P（X≤3100）＝P（X≤3000+2×50）＝1−12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]＝0.9772，故选：D．【点评】本题考查正态分布的应用，属于基础题目．11．在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是（）①直线②圆③椭圆④抛物线A．①②B．①③C．①②③D．②④【分析】先根据题意画出示意图，将题中仰角相等转化成比例式，从而得到线段相等，进而建立空间直角坐标系，化简即可得到点的轨迹解：设电线杆的下端分别为B，D且高度分别为a，b以B为原点，BD所在直线为y轴建系，由仰角的正切相等知a|PD|＝b|PB|，设D（0，t）P（x，y）⇒a√x2+(y−t)2)=b√x2+y2则当a＝b时，点P的轨迹为BD的垂直平分线，当a≠b时，点P的轨迹为圆，故选：A．【点评】本题的考点是圆锥曲线的轨迹问题，主要考查曲线方程的建立，考查方程与曲线的关系，解题的关键是“仰角相等”转化成比例式12．已知P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈P，β∈Q，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n距零点函数”若f（x）＝log2020（x﹣1）与g（x）＝x2﹣ae x （e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1e 2，4e] B ．(1e，4e 2] C ．[4e 2，2e) D ．[4e 3，2e 2) 【分析】由g （x ）＝x 2﹣ae x ＝0，得x 2＝ae x ，即a =x 2ex ．构造函数h(x)=x 2ex (x ∈(1，3))，结合导数可判断单调性，进而可求．解：易知函数f （x ）只有一个零点2，故P ＝{2}，由题意知|2﹣β|＜1，即1＜β＜3．由题意知，函数g （x ）在（1，3）内存在零点， 由g （x ）＝x 2﹣ae x ＝0，得x 2＝ae x ，所以a =x 2ex ．记h(x)=x 2ex (x ∈(1，3))，则h′(x)=2xe x −e x x 2(e x )2=x(2−x)e x，x ∈(1，3)． 所以当x ∈（1，2）时，h '（x ）＞0，函数h （x ）单调递增；当x ∈（2，3）时，h '（x ）＜0，函数h （x ）单调递减； 所以h(x)≤h(2)=4e 2，而h(1)=1e ，h(3)=9e 3＞1e ，1e ＜h(x)≤h(2)=4e 2， 所以实数a 的值范围为(1e ，4e 2]． 故选：B ．【点评】本题主要考查了利用但是研究函数的单调性求解函数的最值，属于中档试题 二、填空题 13．∫ 30|x ﹣1|dx ＝52．【分析】将：∫03|x ﹣1|dx 转化成∫01（1﹣x ）dx +∫13（x ﹣1）dx ，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．解：∫03|x ﹣1|dx ＝∫01（1﹣x ）dx +∫13（x ﹣1）dx ＝（x −12x 2）|01+（ 12x 2﹣x ）|13=52．故答案为：52【点评】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．已知函数y ＝cos x 与y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，则φ的值是π3．【分析】直接利用函数的图象的应用求出结果．解：函数y ＝cos x 与y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，所以cos π6=√32=sin(2×π6+φ）， 所以：φ=π3(0＜ϕ＜π2)． 故答案为：π3．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为 70 （用数字回答）．【分析】要求交点个数，等价转化为将8个点任意取4个分为一组，总共有多少组．由此结合排列组合公式加以计算，可得本题答案 解：在圆上任取4个点，组成一个凸四边形， 该四边形的两条对角线在圆内恰有一个交点， 故交点个数为C 84=70． 故答案为：70【点评】本题给出圆上的8个同的点，求经过其中任意两点作弦在圆内所得交点个数．着重考查了圆的性质和排列组合公式等知识，属于基础题 16．已知α，β，γ∈(0，π2)，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝2，则cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值为√2 ．【分析】根据基本不等式可知sinα+sinβ≤√2(sin 2α+sin 2β)=√2cosγ，同理可得sin β+sin γ≤√2cosα，sin γ+sin α≤√2cosβ，进一步求出cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值．解：由题意，知sin 2α+sin 2β+sin 2γ＝1，由基本不等式可知sinα+sinβ≤√2(sin 2α+sin 2β)=√2cosγ， 同理sinβ+sinγ≤√2(sin 2β+sin 2γ)=√2cosα， sinγ+sinα≤√2(sin 2γ+sin 2α)=√2cosβ， 上述式子相加可得cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ≥√2．所以cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值为√2．故答案为：√2．【点评】本题考查了基本不等式和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想，属基础题． 三、解答题17．已知圆柱OO 1底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ． （1）求曲线Γ长度；（2）当θ=π2时，求点C 1到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D ﹣AB ﹣P 的大小为π4？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD ，从而可求曲线Γ长度；（2）当θ=π2时，点B 1恰好为AB 的中点，所以P 为B 1C 1中点，故点C 1到平面APB 的距离与点B 1到平面APB 的距离相等．（3）由于二面角D ﹣AB ﹣B 1为直二面角，故只要考查二面角P ﹣AB ﹣B 1是否为π4即可．解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD ． 由于AB ＝πr ＝π，AD ＝π，所以这实际上是一个正方形． 所以曲线Γ的长度为BD =√2π．（2）当θ=π2时，点B 1恰好为AB 的中点，所以P 为B 1C 1中点， 故点C 1到平面APB 的距离与点B 1到平面APB 的距离相等． 连接AP 、BP ，OP ．由AB ⊥B 1P 且AB ⊥A 1B 1知：AB ⊥平面APB ，从而平面A 1B 1P ⊥平面APB ．作B 1H ⊥OP 于H ，则B 1H ⊥平面APB ，所以B 1H 即为点B 1到平面APB 的距离． 在Rt △OB 1P 中，OB 1=1，B 1P =BB 1̂=π2，所以OP =√12+(π2)2=√π2+42．于是：B 1H =OB 1×B 1P OP =1×π2√π+42=√π+4． 所以，点C 1到平面APB 的距离为√π2+4．（3）由于二面角D ﹣AB ﹣B 1为直二面角，故只要考查二面角P ﹣AB ﹣B 1是否为π4即可． 过B 1作B 1Q ⊥AB 于Q ，连接PQ ．由于B 1Q ⊥AB ，B 1P ⊥AB ，所以AB ⊥平面B 1PQ ，所以AB ⊥PQ ． 于是∠PQB 1即为二面角P ﹣AB ﹣B 1的平面角． 在Rt △PB 1Q 中，B 1Q =sinθ，B 1P =BB 1̂=θ． 若∠PQB 1=π4，则需B 1P ＝B 1Q ，即sin θ＝θ．令f （x ）＝sin x ﹣x （0＜x ＜π），则f ′（x ）＝cos x ﹣1＜0， 故f （x ）在（0，π）单调递减．所以f （x ）＜f （0）＝0，即sin x ＜x 在（0，π）上恒成立． 故不存在θ∈（0，π），使sin θ＝θ．也就是说，不存在θ∈（0，π），使二面角D ﹣AB ﹣B1为π4．【点评】本题考查点到平面距离的计算，考查面面角，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，S n2＝a n+12﹣λS n+1，其中λ为常数．（1）证明：S n+1＝2S n+λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用已知条件通过a n+1＝S n+1﹣S n，推出S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，然后证明：S n+1＝2S n+λ；（2）求出数列的通项公式，利用数列是等比数列，求解即可．【解答】（1）证明：∵a n+1＝S n+1﹣S n，S n2=a n+12−λS n+1，∴S n2=(S n+1−S n)2−λS n+1，∴S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，∴a n＞0，∴S n+1＞0，∴S n+1﹣2S n﹣λ＝0；∴S n+1﹣2S n+λ（2）解：∵S n+1＝2S n+λ，S n＝2S n﹣1+λ（n≥2），相减得：a n+1＝2a n（n≥2），∴{a n}从第二项起成等比数列，∵S2＝2S1+λ即a2+a1＝2a1+λ，∴a2＝1+λ＞0得λ＞﹣1，∴a n={1，n=1(λ+1)2n−2，n≥2，若使{a n}是等比数列则a1a3=a22，∴2（λ+1）＝（λ+1）2，∴λ＝1经检验得符合题意．【点评】本题考查数列的应用，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．19．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y1+y2的值；（2）若直线AB在y轴上的截距b∈[﹣1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．【分析】（1）由P在抛物线上，将P的坐标代入抛物线方程可得p，进而点到抛物线方程，再由A，B的坐标满足抛物线方程，结合两直线的倾斜角互补，可得它们的斜率之和为0，化简计算可得所求值；（2）由点差法结合直线的斜率公式可得直线AB的斜率，设直线AB的方程为y＝﹣x+b （b∈[﹣1，3]），联立抛物线方程，消去y，可得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，结合三元均值不等式，计算可得所求最大值．解：（1）点P（1，2）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，可得2p＝4，即p＝2，可得抛物线的方程为y2＝4x，由题意可得y12＝4x1，y22＝4x2，k PA+k PB=y1−2x1−1+y2−2x2−1=y1−2y124−1+y2−2y224−1=4y1+2+4y2+2=0，则y1+y2＝﹣4；（2）由题意可得y12＝4x1，y22＝4x2，相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），则k AB=y1−y2x1−x2=4y1+y2=−1，可设直线AB的方程为y＝﹣x+b（b∈[﹣1，3]），联立抛物线方程y2＝4x，可得x2﹣（2b+4）x+b2＝0，△＝（2b+4）2﹣4b2＝16（1+b）＞0，且x1+x2＝2b+4，x1x2＝b2，则|AB|=√1+1•|x1﹣x2|=√2•√(x1+x2)2−4x1x2=√2•√(2b +4)2−4b 2=4√2√1+b ， P （1，2）到直线AB 的距离为d =|1+2−b|2=3−b2， 可得S △ABP =12|AB |•d ＝2（3﹣b ）√1+b =√2•√(2+2b)(3−b)2≤√2•√(2+2b+3−b+3−b 3)3=32√39，当且仅当2+2b ＝3﹣b ，即b =13时，上式取得等号， 则S △ABP 的最大值为32√39． 【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，考查直线的斜率公式的运用，以及方程思想和运算能力，属于中档题．20．响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人． （1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 参考数据： P （K 2＞k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 k 00.4550.7081.3232.0722.7063.841【分析】（1）根据所给条件，制作列联表，求出K 2的观测值k =43＞1.323，由所给临界值表得在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关． （2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则ξ＝m +n ，根据已知条件可得ξ＝1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解：（1）根据所给条件，制作列联表如下：男 女 总计 喜欢阅读古典文学 64 36 100 不喜欢阅读古典文学56 44 100 总计12080200所以K 2的观测值k =n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(64×44−56×36)2120×80×100×100=43，因为K 2的观测值k =43＞1.323， 由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则ξ＝m +n ， 根据已知条件可得ξ＝1，2，3，4，5，P(ξ=1)=P(m =1，n =0)=C 31C 22C 53⋅C 22C 42=120， P(ξ=2)=P(m =1，n =1)+P(m =2，n =0)=C 31C 22C 53⋅C 21C 21C 42+C 21C 32C 53⋅C 22C 42=310， P （ξ＝3）＝P （m ＝1，n ＝1）+P （m ＝2，n ＝1）+P （m ＝3，n ＝0）=C 31C 22C 53+C 32C 21C 53+C 20C 32C 53⋅C 22C 42=715， P =(ξ=4)=P(m =2，n =2)+P(m =3，n =1)=C 32C 21C 53⋅C 22C 42+C 20C 33C 53⋅C 21C 21C 42=16； P(ξ=5)=P(m =3，n =2)=C 20C 33C 53⋅C 22C 42=160， 所以ξ的分布列是：ξ 12345p12031071516160所以Eξ=1×120+2×310+3×715+4×16+5×160=145． 【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．已知函数f （x ）＝xlnx +ax +1，a ∈一、选择题．（1）当时x ＞0，若关于x 的不等式f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围；（2）当n∈N*时，证明：n2n+4＜ln22+ln232+⋯+ln2n+1n＜nn+1．【分析】（1）由f（x）≥0，得xlnx+ax+1≥0（x＞0）．整理，得−a≤lnx+1x恒成立，即−a≤(lnx+1x)min．令F(x)=lnx+1x．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）由n2n+4为数列{1(n+1)(n+2)}的前n项和，nn+1为数列{1n(n+1)}的前n项和．因此只需证明1(n+1)(n+2)＜ln2n+1n＜1n(n+1)即可．由（1），当a＝﹣1时，有xlnx﹣x+1≥0，即lnx≥x−1x．令x=n+1n＞1，即得lnn+1n＞1−nn+1=1n+1．可得ln2n+1n＞(1n+1)2＞1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2．现证明ln2n+1n＜1n(n+1)，即2ln√n+1n√n√n+1=√n√n+1=√n+1n−√n n+1．通过构造函数利用导数研究函数的单调性极值即可证明2lnx＜x−1x(x＞1)．解：（1）由f（x）≥0，得xlnx+ax+1≥0（x＞0）．整理，得−a≤lnx+1x恒成立，即−a≤(lnx+1x)min．令F(x)=lnx+1x．则F′(x)=1x−1x2=x−1x2．∴函数F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴函数F(x)=lnx+1x的最小值为F（1）＝1．∴﹣a≤1，即a≥﹣1．∴a的取值范围是[﹣1，+∞）．（2）∵n2n+4为数列{1(n+1)(n+2)}的前n项和，nn+1为数列{1n(n+1)}的前n项和．∴只需证明1(n+1)(n+2)＜ln2n+1n＜1n(n+1)即可．由（1），当a＝﹣1时，有xlnx﹣x+1≥0，即lnx≥x−1 x．令x=n+1n＞1，即得lnn+1n＞1−nn+1=1n+1．∴ln2n+1n＞(1n+1)2＞1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2．现证明ln2n+1n＜1n(n+1)，即2ln√n+1n1n√n+1=n+1−nn√n+1=√n+1n−√n n+1．（*）现证明2lnx ＜x −1x(x ＞1)．构造函数G(x)=x −1x−2lnx （x ≥1），则G′(x)=1+1x2−2x=x 2−2x+1x 2≥0． ∴函数G （x ）在[﹣1，+∞）上是增函数，即G （x ）≥G （1）＝0． ∴当x ＞1时，有G （x ）＞0，即2lnx ＜x −1x成立． 令x =√n+1n，则（*）式成立．综上，得1(n+1)(n+2)＜ln 2n+1n＜1n(n+1)．对数列{1(n+1)(n+2)}，{ln 2n+1n}，{1n(n+1)}分别求前n 项和， 得n 2n+4＜ln 22+ln 232+⋯+ln 2n+1n＜n n+1．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．已知直线l 的参数方程为{x =−1+t y =3−t曲线C 的参数方程为{x =1cosφy =2tanφ． （1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为（1，1），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |•|PB |的值． 【分析】（1）先求出直线l 和曲线C 的普通方法，然后利用点到直线的距离公式求出，曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）将直线l 的方程改写为{x =1−√2t2y =1+√2t2，然后代入曲线C 中，再根据|PA |•|PB |＝|t 1t 2|求出|PA |•|PB |的值．解：（1）直线l 的普通方程为x +y ﹣2＝0， 曲线C 的普通方程为x 2−y 24=1，故曲线C 的右顶点（0，1）到直线l 的距离d =√22．（2）将直线l 的参数方程改为{x =1−√2t2y =1+√2t2，并代入x 2−y 24=1，得3t 2−10√2t −2=0，设其两根为t 1，t 2，则t 1+t 2=10√23，t 1t 2=−23，∴|PA |•|PB |＝|t 1t 2|=23．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程，点到直线的距离公式和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题． 23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：ba +a b+c+c b≥2；（2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，求a+b+cx+y+z的值．【分析】（1）直接利用三元基本不等式求出ba+a b+c+c b的最小值，即可证明b a+a b+c+c b≥2；（2）柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）（x 2+y 2+z 2）≥（ax +by +cz ）2，再结合方程组即可得到a ，b ，c 之间的关系，进一步求出a+b+c x+y+z 的值．解：（1）由三元基本不等式知，ba+a b+c +c b=b a+a b+c+b+c b−1≥3√b a ⋅a b+c ⋅b+c b −1=2，当且仅当ba =a b+c =b+cb时取等号， ∴b a+a b+c+c b≥2．．（2）由柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）（x 2+y 2+z 2）≥（ax +by +cz ）2， ∵{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，结合上述不等式取等号，可设ax =b y=c z=k （k ＞0），即a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，∴a 2+b 2+c 2＝k 2（x 2+y 2+z 2），∴4＝9k 2，∴k =23， ∴a+b+c x+y+z=k =23．【点评】本题考查了利用基本不等求最值和柯西不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．。
湖南省雅礼中学2020届高三第七次月考(理数PDF版)理数试题
雅礼中学2020届高三月考试卷（七）数 学（理科）第I 卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合{|1},A y y x B ==-={x|(x+1)(x-2)<0},则A∩B= A.[1,2)B.(-1,1]C.[0,2)D.(-1,2)2.已知复数z 满足0,z z -=且4z z ⋅=，则z= A.2B.2iC.±2iD.±23.下列说法正确的是 A."若,6πα=则1sin 2α=的否命题是“若6πα=，则1sin 2α≠” B.若命题p,¬q 均为真命题，则命题p ∧q 为真命题C.命题p:“2000,50x x x ∃∈-->R ”的否定为¬p:“2,50x x x ∀∈--≤R ”D.在△ABC 中“2C π=”是"sinA=cosB”的充要条件4.已知向量a 、b 满足|a |1,||2,|2|3|2|==+=-b a b a b ,则a 与b 夹角为 A.30°B.45°C.60°D.120°5.已知3cos()63πα+=,则sin(2)6πα-的值为 1.3A1.3B -22.3C22.3D -6.已知函数1(),ln 1f x x x =--则y=f(x)的图象大致为7.如果将函数55y x =x 的图象向右平移(0)2πθθ<<)个单位得到函数y=3sinx+acosx(a<0)的图象,则tanθ的值为1.3A1.2B C.2 D.38.现有10名学生排成一-排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有()种.2267.A A A3247.B A A322367.C A A A362467.D A A A9.已知△ABC 外接圆的半径R=2,且2sin .2AA =，则△ABC 周长的取值范围为.4]A.(4,B4C +.(4D +10.已知双曲线C 2222:1(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过原点的直线与双曲线C 交于A,B 两点,若2260,AF B ABF ︒∠=∆2,，则双曲线的离心率为.2A.3B C.2D11.已知()f x '是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x 都有()(21)xf x e x '=++f(x),f(0)=-2,则不等式()4x f x e <的解集为A.(-2,3)B.(-3,2)C.(-∞,-3)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(3,+∞)12.在三棱锥S-ABC 中,AB ⊥BC,2,AB BC SA SC ====二面角S-AC-B 的余弦值是3-,若S,A,B,C 都在同一球面上，则该球的表面积是A.6πB.8πC.12πD.18π第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题分,共20分.13.设随机变量2~(3,)N ξσ,若P(ξ≥7)=0.16,则P(-1≤ξ≤7)=___.14.向曲线22|||x y x y +=+|所围成的区域内任投一点,这点正好落在21y x =-与两坐标轴非负半轴所围成区域内的概率为___.15.过直线l:x+y=3上任一点P 向圆22:1C x y +=作两条切线,切点分别为A,B,线段AB 的中点为Q,则点Q 到直线l 的距离的取值范围为___.16.定义在实数集R 上的偶函数f(x)满足(2)2f x +=f(2021)=___.三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S ,首项11,a =，且202020173.20202017S S -=数列{}n b 的前n 项和为,n T 且满足*2().n n T b n =-∈N(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}2n na b 的前m 项和.'n S18. (本小题满分12分)如图,三棱锥P-ABC 中,平面PAB ⊥平面ABC, PA=PB,∠APB=∠ACB=90° ,点E,F 分别是棱AB,PB 的中点,点G 是△BCE 的重心.(1)证明:GF//平面PAC;(2)若GF 与平面ABC 所成的角为60°,求二面角B-AP-C 的余弦值.19. (本小题满分12分)在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标x.将指标x 按照[0,0.2),[0.2,0.4),[0.4,0.6),[0.6,0.8),[0.8,1.0]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若0≤x<06,则认定该户为“绝对贫困户”,否则认定该户为“相对贫困户”;当0≤x<0.2时,认定该户为"亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测,家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.(1)完成下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关:(2)上级部门为了调查这个村的特困户分布情况,在贫困指标处于[0,0.4)的贫困户中,随机选取两户,用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数,求X的分布列和数学期望EX.20. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离x3点2)M在椭圆C上,焦点为12,,F F圆O的直径为12.F F(1)求椭圆C及圆O的标准方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P, 且直线l与椭圆C交于A,B两点.记△OAB的面积为S,证明: 3.S<21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=1+x-2sinx,x ＞0. (1)求f(x)的最小值; (2)证明:2().xf x e ->请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos() 2.3πρθ+=(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程;(2)直线l 与x 轴的交点为P,经过点P 的直线m 与曲线C 交于A,B 两点,若|PA ||PB +=求直线m 的倾斜角.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=2|x+1|+|x-m|(m>--1). (1)若m=3,求不等式f(x)>7的解集;(2)若0,x ∃∈R 使得0()2f x <成立,求实数m 的取值范围.。