数值分析试题1参考答案
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题1. 下列哪个方法不适合用于求解非线性方程的根？A. 二分法B. 牛顿法C. 弦截法D. 正割法2. 当使用二分法求解非线性方程的根时，需要满足的条件是：A. 函数f(x)在区间[a, b]上连续B. 函数f(x)在区间[a, b]上单调递增C. 函数f(x)在区间[a, b]上存在根D. 函数f(x)在区间[a, b]上可导3. 数值积分是通过将定积分转化为求和的方法来近似计算积分值的过程。
下列哪个方法是常用的数值积分方法？A. 矩形法则B. 辛普森规则C. 梯形规则D. 高斯-勒让德法则4. 龙格-库塔法是常用于求解常微分方程的数值解法。
以下哪个选项是描述龙格-库塔法的特点？A. 该方法是一种多步法B. 该方法是一种多项式插值法C. 该方法是一种单步法D. 该方法是一种数值积分法5. 用有限差分法求解偏微分方程时，通常需要进行网格剖分。
以下哪个选项是常用的网格剖分方法？A. 多边形剖分法B. 三角剖分法C. 矩形剖分法D. 圆形剖分法二、解答题1. 将函数f(x) = e^x 在区间[0, 1]上用复化梯形规则进行数值积分，分为6个子区间，求得的近似积分值为多少？解：将区间[0, 1]等分为6个子区间，每个子区间的长度为h = (1-0)/6 = 1/6。
根据复化梯形规则的公式，近似积分值为：I ≈ (1/2) * h * [f(0) + 2f(1/6) + 2f(2/6) + 2f(3/6) + 2f(4/6) + 2f(5/6) +f(1)]≈ (1/2) * (1/6) * [e^0 + 2e^(1/6) + 2e^(2/6) + 2e^(3/6) + 2e^(4/6) +2e^(5/6) + e^1]2. 使用二分法求解方程 x^3 - 3x + 1 = 0 在区间[1, 2]上的根。
要求精确到小数点后三位。
解：首先需要判断方程在区间[1, 2]上是否存在根。
数值分析习题和答案解析(最新整理)
(1)
要使
应满足（）.
(2) 已知方程组
，则解此方程组的
Jacobi 迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度 R(B)=
公式（6.13）直接计算即可。
对
，取 n=8,在分点处计算 f(x)的值构造函数表。
按式（6.11）求出
，按式（6.13）求得
，
积分
2. 用 Simpson 公式求积分 ，并估计误差 解：直接用 Simpson 公式（6.7）得
由（6.8）式估计误差，因
，故
3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量 高，并指明求积公式所具有的代数精确度.
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11. 填空题
(1) 满 足 条 件
的插值多项式
p(x)=( ).
(2)
,则 f［1,2,3,4］=( )，f［1,2,3,4,5］
=( ).
(3) 设
为互异节点， 为对应的四次插值基函
数，则
＝( )，
＝( ).
(4) 设
是区间［0,1］上权函数为 ρ(x)=x 的最
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误差估计由公式（5.19）得
这里 仍为 0.565 8． 求 一 个 次 数 不 高 于 四 次 的 多 项 式 p(x),使 它 满 足
解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处
可先造 使它满足
，显然 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2
，再令
由 p(2)=1 求出 A＝ ，于是
5.计算
取 ，利用 ：
式计算误差最小。
四个选项： 第二、三章 插值与函数逼近
习题二、三
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。
2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。
b) 二分法是一种______法则。
c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。
3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。
b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。
c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。
试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。
b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。
2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。
b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。
c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。
3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。
b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。
c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。
答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。
它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。
b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。
迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
1 5
数值分析练习题加答案(一)
数值分析期末考试一、 设80~=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取几位有效数字？（4分）解：设x 有n 位有效数字。
因为98180648=<<=，所以可得x 的第一位有效数字为8（1分） 又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε，令321=⇒-=-n n ，可知x 至少具有3位有效数字（3分）。
二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond （4分）。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A （1分） 1A =7（1分） 2711=-A （1分）249)(1=A Cond （1分）三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组（6分）942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解：→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x （1分）回代得1,3,5123==-=x x x （1分）四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1）求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式；（6分） 2）求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得： +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2）计算差商表如下：i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3）)2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。
数值分析试题答案(1)
《数值分析》模拟试题(一)一、填空题 (20分)(1) 设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有________位有效数字. (2) 设3()1f x x x =+-，则差商[0,1,2,3]f =_____________，[0,1,2,3,4]f =________________.(3) ()x f x =求方程根的牛顿迭代格式是__________________. ^4).梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式 (对或错). 5).牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0nn k k C =∑ .二、计算题(每小题15分，共60分)(1) 用二次拉格朗日插值多项式2()L x 计算sin0.34的值。
插值节点和相应的函数值是(0，0)，，，，.(2) 用二分法求方程3()1f x x x =--在[1.0,1.5]区间内的一个根，误差限210ε-=. |(3) 用列主元消去法解线性方程组1231231232346,3525,433032.x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩(4) 确定求积公式012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h -≈-++⎰.中待定参数i A 的值(0,1,2)i =，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度. |三、证明题 (10分)设()[,]f x C a b ∈，()max |()|n n a x bM f x ≤≤=，若取21cos ,1,2,,222k a b a b k x k nn+--=+= 作节点，证明Lagrange 插值余项有估计式21()max |()|!2nn n a x b M b a R x n -≤≤-≤. 四、程序题(10分);试用Matlab 语言写出(Gauss--Seidel)迭代公式求解线性方程组Ax=b 的算法. 要求：输入方程个数n,矩阵A 的元素和b,初始向量120000(,,,)n T x x x x =，输出近似解和迭代次数.《数值分析》模拟题一参考答案一、填空题(每小题4分,共20分),(1) 3； (2)1，0； (3)1()1()n n n n n x f x x x f x +-=-'-； (4)错； (5)1.二、计算题(每小题15分,共60分) (1)020*******010*********()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x f f f x x x x x x x x x x x x ------=++------=*(2) N=61234561.25 1.375 1.31251.34375 1.3281251.3203125x x x x x x ======(3)解：234643303243303235253525352543303223462346433032433032011/441/219011/441/21903/21110002/114/1143303201182380012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭即\123123233433032,13,118238,8,2.2.x x x x x x x x x ++==⎧⎧⎪⎪-=-⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩(4)分别将2()1,,f x x x =，代入求积公式，可得02114,33A A h A h===。
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参考答案1 一、1．2
2．),1,0()
()
(1 ='-=+n x f x f x x n n n n 3．1, 0 4．7,
7
25 6. 12
1,
2013531)1(1)
1(2)
(2
)1(1⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=+++k k k k x x x x
二、(1) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---=
10
04310003
2
1
000211,451000341
00023100
02U L (2)
)
(;
)(4654356532652165155565545643563256215616565u l u l u l u l a u u u l u l u l u l a l +++-=+++-=
三、 先造差分表如下：
21
4-650-7
25-2-15-7
23-34-2
2012
213
24
i
y ∆i
y i y 3∆i
y 4∆i
y 5∆i y 2∆
（1）选0.1,8.0,6.0,4.04321====x x x x 为节点，构造三次向前Newton 插值多项式
)2)(1(!
3)1(!2)(1
3121113--∆+-∆+∆+=+t t t y t t y y y th x N 将h x 和1代入上式，则有
)2)(1(*6/5)1(*2/1225)2.04.0(3--+---=+t t t t t t N
所以
解得由,5.17.02.04.0==+t t
3125.21)7.0()7.0(=≈N f
(2) 选2.1,0.1,8.0543===x x x 为节点，构造二次向前Newton 插值式
)1(!
2)(3
23332-∆+∆+=+t t y t y y th x N
将h x 和3代入上式，则有
)1(20)2.08.0(2-++=+t t t t N 由0.8+0.2t=0.95解得t=0.75,所以 5625.20)95.0()95.0(2=≈N f
（3）由
5
.030792.0)
2)(1(max *008.0*!
3600
)2)(1(2.0!3)()2.0()20,2.12.0()2)(1(!
3)()(20323
02<=--≤--'''=+≤≤<<--'''=
+≤≤t t t t t t f t x （R t t t t h f th x R t i ξξξ有
可知f(x)有两位整数，故能保证有两位有效数字。
四、
设
()()()()()()()()()()()2
0110101101
10001011002210*16/1516/3)(16/3,16/152/115/23/23/22)(,,1x x P a a f ，f a a ，，，，a a x a x a x P M x f x x x +===⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+===所求最佳平方逼近元为解得即满足如下正规方程组
和则中的最佳平方逼近元为
在ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
五、 (1)
.
0)(0,0)(,0,，==≥=≥x f x Qx x x f Qx x x Q T
T 时且当仅当故二次型则对任意向量对称正定因
(2) )
()()()(2x f c Qx x c Qx x c cx Q cx cx f ，c T T T ====
则
为任意实数设
(3)
的一种范数
是所以三角不等式立则有
代入上面的于是有
从而一定有因子分解形式则对称正定因成立下边证明三角等式x Qx x x ，f y f x f Qy y Qx x Qy y Qx x Qy y Qx x By B y Bx B x Qy y Qx x y x f y x f By By Bx Bx By Bx Qy x By Bx Qy x B
B Q 。
Q ，Q Qy
x Qy y Qx x Qx y Qy x Qy y Qx x y x Q y x y x f y f x f y x f T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T =+=+=++=++≤++≤===++=+++=++=++≤+)()
()(22)()()()()()()()(),)((2)()()(.
)()()(
六、。
x B Au u u BAB A u ，
A BA
B A Au u u A u Au u Bu A Bu Au u BABu
u Au u u BAB A u u Bu ，，u B T T T T T T T T T T 都收敛点因此此格式对任意初始即
故
正定和因为从而
则为相应的特征向量的任一特征值为设)0(2221
)(,10
10)1()()
)(1()()()()()(,0<<>->-=---=-=-=-=-=≠ρλλλλλλλλ。