湖南省长沙市第一中学2018-2019学年高一上学期第一次月考数学试题+PDF版含答案【KS5U+高考】
的定义域为（ ）
A. 3, 2
3
B. 3,
3 3 3 , 2 2 2 3 3 3 , 2 2 2
C. 3,
3 2
D. 3,
7、已知集合 M x x 2 4 , N x ax 4 ，若 N M , 则实数 a 的取值集合为（ ） A. 2 B. 2, 2
20、某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成 本为 12000 元，公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不 超过 30 人，每人的培训费用 850 元；若公司参加培训的员工人数多于 30 人，则给予优惠：每多一 人，培训费减少 10 元，已知该公司最多有 60 位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为 x 人， 每位员工的培训费为 y 元，培训机构的利润为 Q 元。
长沙市一中 2018 学年高一第一学期第一次阶段测试 数学试卷
一、选择题（共 12 道，每道 5 分） 1、集合 a, b 的子集的个数是（ ） A.1 B.2
x2
C.3
D.4
2、已知函数 f x a A. 0,1 3、函数 y A. 1,1
1 a 0, a 1 图像过点 P，则 P 的坐标是（ ）
4 x x2
C. 2, 0
D 2, 2, 0
1 8、函数 f x 3
的单调性增区间是（ ）
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A. 1, 2
B. 1,3
C. , 2
D 2, 9 、 已 知 函 数
f x x 2 2 x 3 在区间 0, t 上的最大值是 3，最小值是 2，则实数 t 的取值范围是（ ）
* （1）写出 y 与 x x 0, x N 之间的函数关系式；
（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润。
21、已知函数 f x x 4 x +a+3,g x mx 5 2m.
2
（1）若 f x 0 在 1,1 上有解，求实数 a 的取值范围； （2）当 a 0 时，若对于任意的 x1 1, 4 ，总存在 x2 1, 4 ，使 f x1 g x2 ，求实数 m 的 取值范围
9 x k 3x 1 ，若对任意的实数 x1 , x2 , x3 ，不等式 f x1 f x2 f x3 恒 9 x 3x 1
。
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成立，则实数 k 的取值范围是
高一数学
三、解答题（共 6 小题，共 70 分）
1 17、计算： （1） 5 16
C. 2,1 D. 2, 2
B. 0, 2
x2 1 的值域为（ ） x2 1
B. 1,1
3
C. 1,1
D 1,1
4、已知函数 f x ax bx 7 （其中 a, b 为常数） ，若 f 7 17 ，则 f 7 的值为（ ） A.31 B.17
5、设 U=R，集合 P x y A. 1, 6、函数 f x B.
x 2 1 , Q y y x 2 1 ，则 CU P Q =（ ）
C. 0,1
0
C.-17
D.15
D 1,1
2 x 3 x3
3 2x
2 1 ，则 2 1 3
x
f log2 3
A.1 B.
4 5
C.
1 2
D.0
二、填空题（共 4 题，每题 5 分） 13、已知定义在 f x x 2 ，且 f a 6 ,则 a
2
。
14、某小学五年级 1 班共有 40 名同学，在某次摸底测试中语文 20 人优秀，数学 23 人优秀，两门都 不是优秀者 6 人，则两门都是优秀的同学共有 人。 15、若定义在 R 上的偶函数 f x 在 0, 上单调递增，且 f 2 0 ，则 xf x 0 的解集 为 16、已知函数 f x 。
A. 1, 2 C. 1, 10、已知函数 f x A.8 B. 0,1 D. 0, 2
1 1 2 x 2 ，则 f 3 （ ） x x
C.10 D.11
B.9
11、定义在 R 上的函数 f x 满足：对任意 x1 , x2 R, f x1 x2 1 f x1 f x2 A. f x 为奇函数 B. f x 为偶函数 C. f x 1 为奇函数 D. f x 1 为偶函数 12 、已知函数 f x 是 R 上的单调函数，且对任意的实数 x ，都有 f f x
0.5
10
2
3 2 3 27 4 4
6 0
1
（2） log 5 25 lg
1 2 ln e 2log2 3 log 2 3 log 9 8 100 3
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18、已知集合 A x a 7 2 x 1 a ,集合 B x x 1 x 2 0 （1）若 a 0 ，求 A B, A B ； （2）若 B A, 求实数 a 的取值范围。
。
19、已知函数 f x 2 x , 其中 x 表示不超过 x 的最大整数，如 2.1 2, 2.1 3, 3 3 （1）判断函数 f x x R 的奇偶性，并证明； （2）当 x
3 , 2 时，求出函数 f x 的值域。 2
长沙市一中2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题含答案
长沙市一中2018-2019学年度上学期高一期末联考试题数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1.设集合{1,1,2}A =-，={|51}x B x >，则A B = （ ）A ．{1,1}-B ．{1,2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}-2.过点(1,1)且与直线2y x =垂直的直线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --= C ．230x y +-= D ．230x y +-= 3.若函数()f x 满足(1)2f x x -=，则()f x =（ ）A ．22x +B ．21x +C ．21x -D ．22x -4.若,m n 表示两条不同直线，α表示平面，则下列命题中真命题是A ．若m α⊥，n α⊥，则//m nB ．若//m n ，//n α，则//m αC.若//m α，//n α，则//m n D ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥5.设函数6()2x f x x -=+，则当()2f x =时，x 的取值为（ ） A ．-4 B ．4 C.-10 D ．106.若直线1x y +=与圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点，且||AB ，则r =（ ）A ．2B C.1 D ．12 7.计算：1364lg0.001-+的值为（ ）A ．114-B ．23- C. 54 D ．348.棱长分别为12的长方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为（ ）AB ． C. D ． 9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．18+．21+C. 18+．21+10.若函数()(2)a f x m x =+是幂函数，且其图像过点(2,4)，则函数()log ()a g x x m =+的单调增区间为（ ）A ．(2,)-+∞B ．(2,)+∞ C. (1,)-+∞ D ．(1,)+∞11.在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是1,AB BB 的中点，则直线MN 与平面11A BC 所成角的余弦值为（ ）A B D ．1312.已知函数2|log |,0()|2|1,0x x f x x x >⎧=⎨+-≤⎩，若函数()y f x m =-有四个零点,,,a b c d ，则abcd 的取值范围是（ ）A ．[0,2)B ．[0,3) C. [1,2) D ．[2,3)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系中，设(1,2,3)A ，(1,0,1)B ，且AB 中点为C ，O 是坐标原点，则||OC = ．14.直线23y =-的倾斜角为α，直线y kx =的倾斜角为2α，则k = ． 15.已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，且(1)0f =，则不等式414(log )(log )0f x f x +≥的解集为 ．16.点A B 、分别为圆22:(3)1M x y +-=与圆22:(3)(8)4N x y -+-=上的动点，点C 在直线0x y +=上运动，则||||AC BC +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U R =，集合{1,2,}A a =，2{2,}B a =，21{|327}x C x -=>.（1）若{1,2,}A B a = ，求a 的值；（2）若()U A C C ⊆，求实数a 的取值范围.18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA垂直于底面，,,E F G 分别是,,AB PC CD 的中点.求证：（1）平面EFG ⊥平面PAB ；（2）平面//EFG 平面PAD .19.已知函数()lg(1)lg(1)f x x x =--+.（1）求函数的定义域；（2）若()lg(1)f x x =+，求x 的值；（3）求证：当,(1,1)a b ∈-时，()()()1a b f a f b f ab ++=+.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，E 在线段11B C 上，113B E EC =，14AC BC CC ===.（1）求证：1BC AC ⊥；（2）试探究：在AC 上是否存在点F ，满足//EF 平面11A ABB ，若存在，请指出点F 的位置，并给出证明；若不存在，说明理由.21.已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切.过点(2,0)B -的直线l 与圆A相交于,M N 两点，Q 是MN 的中点，||MN =（1）求圆A 的标准方程；（2）求直线l 的方程.22.已知函数4()2f x x=+，()2x g x =. （1）设函数()()()h x g x f x =-，求函数()h x 在区间[2,4]上的值域；（2）定义min{,}p q 表示p q 、中较小者，设函数()min{(),()}H x f x g x =(0)x >. ①求函数()H x 的单调区间及最值；②若关于x 的方程()H x k =有两个不同的实根，求实数k 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BDAAC 6-10:CAADD 11、12：CB二、填空题13. 1[,4]416.7 三、解答题17.解：（1）∵{1,2,}A a =，2{2,}B a =，{1,2,}A B a = ，∴2a a =或21a =， ∴0a =或1a =或1a =-，经验知0a =或1a =-.（2）21{|327}x C x -=>={|213}{|2}x x x x ->=>，{|2}C C x x =≤ ，由()A C C ⊆ ，得2a ≤，又2a =及1a =与集合中元素相异矛盾，所以a 的取值范围是(,1)(1,2)-∞ .18.证明：（1）∵PA ⊥底面ABCD ，EG ⊂平面ABCD ，∴PA EG ⊥，又矩形ABCD 中，,E G 分别为,AB CD 中点，∴//EG AD ，AD AB ⊥，∴EG AB ⊥，∵PA AB A = ，PA ，AB ⊂平面PAB ，∴EG ⊥平面PAB ， ∵EG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PAB .（2）∵矩形ABCD 中，,E G 分别为,AB CD 中点，∴//EG AD ，∵EG ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴//EG 平面PAD ，∵F 是PC 的中点，∴//FG PD ，∵FG ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴//FG 平面PAD ，∵EG FG G = ，EG ，FG ⊂平面EFG ，∴平面//EFG 平面PAD .19.解：（1）由10x ->，10x +>得函数的定义域为(1,1)-.（2）()lg(1)f x x =+，即lg(1)lg(1)lg(1)x x x --+=+，∴1lglg(1)1x x x -=++，∴111x x x-=++且11x -<<，∴0x = （3）∵1()lg(1)lg(1)lg 1x f x x x x -=--+=+，(1,1)x ∈-， ∴,(1,1)a b ∈-时，()()f a f b +=11lg lg 11a b a b--+=++(1)(1)lg (1)(1)a b a b --++， 又∵()1a b f ab +=+11lg 11a bab a b ab +-+=+++1lg 1ab a b ab a b +--=+++(1)(1)lg (1)(1)a b a b --++， ∴()()()1a b f a f b f ab++=+. 20.解：（1）∵1AA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，∴1BC AA ⊥.又∵BC AC ⊥，1AA ，AC ⊂面11AA C C ，1AA AC A = ，∴BC ⊥面11AA C C ， 又1AC ⊂面11AA C C ，∴1BC AC ⊥.（2）（法一）当3AF FC =时，//FE 平面11A ABB .理由如下：在平面111A B C 内过E 作11//EG AC 交11A B 于G ，连结AG .∵113B E EC =，∴1134EG AC =， 又11//AF AC ，且1134AF AC =，∴//AF EG 且AF EG =， ∴四边形AFEG 为平行四边形，∴//EF AG ，又EF ⊄面11A ABB ，AG ⊂面11A ABB ，∴//EF 平面11A ABB .（法二）当3AF FC =时，//FE 平面11A ABB .理由如下：在平面11BCC B 内过E 作1//EG BB ，交BC 于G ，连结FG .∵1//EG BB ，EG ⊄面11A ABB ，1BB ⊂面11A ABB ，∴//EG 平面11A ABB ，∵113B E EC =，∴3BG GC =，∴//FG AB ，又AB ⊂面11A ABB ，FG ⊄面11A ABB ，∴//FG 平面11A ABB .又EG ⊂面EFG ，FG ⊂面EFG ，EG FG G = ，∴平面//EFG 平面11A ABB .∵EF ⊂面EEG ，∴//EF 平面11A ABB .21.解：（1）设圆A 的半径为R ，因为圆A 与直线1:270l x y ++=相切，∴R ==A 的方程为22(1)(2)20x y ++-=. （2）①当直线l 与x 轴垂直时，易知2x =-符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=.连接AQ ，则AQ MN ⊥，∵MN =1AQ ，则由1AQ ==得34k =，∴直线l 为：3460x y -+=， 故直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=.22.解：（1）∵函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增， ∴函数()h x 在区间[2,4]上单调递增，故(2)()(4)h h x h ≤≤，即0()13h x ≤≤，所以函数在区间[2,4]上的值域为[0,13].（2）①在同一坐标系中，作出()f x ，()g x 的图像如图所示， 根据题意得：2,02()42,2x x H x x x ⎧<≤⎪=⎨+>⎪⎩， 由（1）知：2x y =在区间(0,2]上单调递增，42y x=+在区间上单调递减，故max ()(2)4H x H ==， ∴函数()H x 的单调递增区间为(0,2]，单调递减区间为(2,)+∞.()H x 有最大值4，无最小值. ②∵4()2f x x =+在[2,)+∞上单调递减，∴4224x <+≤. 又()2x g x =在(0,2]上单调递增，∴124x <≤.∴要使方程()H x k =有两个不同的实根，则需满足24k <<. 即k 的取值范围是(2,4).。
函数的单调性+奇偶性(含答案)
函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（ ） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的 表达式为（ ）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（ ） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。
湖南省长沙市2024届高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
大联考2024届高三月考试卷（一）数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2|log 4M x x =<，{}|21N x x =≥，则M N ⋂=（）A.{}08x x ≤< B.182xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C.{}216x x ≤< D.1162xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】直接解出集合,M N ，再求交集即可.【详解】{}{}2|log 4|016M x x x x =<=<<，1|2N x x ⎧⎫=≥⎨⎩⎭，则1162M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：D.2.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（）A.3 B.2C.－2D.－3【答案】A 【解析】【分析】由题得a 3＝7，设等差数列的公差为d ，解方程组11+27516a d a d =⎧⎨+=⎩即得解.【详解】解：由等差数列性质可知，S 5＝152a a +×5＝5a 3＝35，解得a 3＝7，设等差数列的公差为d ，所以11+27516a d a d =⎧⎨+=⎩，解之得3d =.故选：A.3.已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根.若11i z =+，则2z =（）A.2B.1C.D.2【答案】C 【解析】【分析】由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，由韦达定理求出2z ，再由复数的模长公式求解即可.【详解】法一：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，得122z z +=，所以()21221i 1i z z =-=-+=-，所以21i z =-=法二：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，得122z z ⋅=，所以21221i z z ==+，所以2221i 1i z ====++.故选：C .4.函数sin exx x y =的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】分析函数sin exx x y =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】令()sin exx x f x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin eexxx x x x f x f x ----===，所以，函数sin exx x y =为偶函数，排除AB 选项，当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx x y =>，排除C 选项.故选：D.5.已知220x kx m +-<的解集为()(),11t t -<-，则k m +的值为（）A.1B.2C.-1D.-2【答案】B 【解析】【分析】由题知=1x -为方程220x kx m +-=的一个根，由韦达定理即可得出答案.【详解】因为220x kx m +-<的解集为()(),11t t -<-，所以=1x -为方程220x kx m +-=的一个根，所以2k m +=．故选:B ．6.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A.45.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m【答案】B 【解析】【分析】数形结合，根据三角函数解三角形求解即可；【详解】设球的半径为R ，,tan10R AB AC ==，100tan10RBC =-=- ，25250.760.985R R ==故选:B.7.已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（）A.1B.-1C.2D.-3【答案】B 【解析】【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将()()()2023311f f f ==-=-.【详解】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2=f x f x -，又由()()40f x f x ++-=，得()()4f x f x +=--，所以()()()846f x f x f x +=---=-+，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==-=-．故选:B ．8.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 棱长为，则模型中九个球的表面积和为（）A.6πB.9πC.31π4D.21π【答案】B 【解析】【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE ==，AE DE ===，过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==1R =，即1OM OF ==，则413AO =-=，故1sin 3OM EAF AO ∠==设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若2sin 23α=，则21cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象C.函数()2sin cos cos 26f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D.()22tan 1tan xf x x =-的最小正周期为2π【答案】AC 【解析】【分析】利用二倍角公式和诱导公式可求得2cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭，知A 正确；根据三角函数平移变换可求得()2sin 2g x x =，知B 错误；利用三角恒等变换公式化简得到()f x 解析式，利用整体对应的方式可求得单调递增区间，知C 正确；利用特殊值判断D 错误.【详解】对于A ，21cos 21sin 212cos 4226παπαα⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭，A 正确；对于B ，()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 26f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()2sin 2g x x =，B 错误；对于C ，()13sin 2cos 2sin 222222226f x x x x x x x π⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，则由222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈得：36k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，()f x \的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，C 正确；对于D ，()π002f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，无意义，∴2π不是函数的周期，D 错误.故选：AC.10.如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A -组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（）A.若AD AC ⊥，则1AD A C⊥B.若平面11AC D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //l C.三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为143πD.当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A 的最大距离为3-【答案】BD 【解析】【分析】根据空间线面关系，结合题中空间几何体，逐项分析判断即可得解.【详解】对于选项A ，若AD AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ，但是D 不一定在平面ABC 上，所以A 不正确；对于选项B ，因为11//A C AC ，所以//AC 平面11AC D ，平面11AC D ⋂平面ACD l =，所以//AC l ，所以B 正确；对于选项C ，取ABC ∆的中心O ，111A B C ∆的中心1O ，1OO 的中点为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径3R ==，所以外接球的表面积为22843R ππ=，所以C 不正确；对于选项D ，该几何体的外接球即为三棱柱111ABC A B C -的外接球，1OO 的中点为该外接球的球心，该球心到平面11ACC A 的距离为3，点D 到平面11ACC A 的最大距离为33R -=，所以D 正确.故选：BD11.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（）A.a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B.0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C.如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D.如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点.【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x --=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x --，故()()0e e x xa b b a --+-=，即()()2e =xa b a b --，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误；对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b -+-+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b -+-+++，因为e 0x >，e 0x ->，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确；对于C ，()=e e x xa f xb --'，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e0=xxa xb f -->'恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e0=xxa xb f --<'恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 为单调函数，故C 正确；对于D ，()2e e e ==e x xxxa ba b f x ---'，令()=0f x '得1=ln 2bx a，又0ab >，若0,0a b >>，当1,ln 2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减.当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值.若0,0a b <<，当1ln2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值.所以函数存在极值点，故D 正确.故答案为：BCD.12.设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a -⋅-<，则下列选项正确的是（）A.{}n a 为递减数列B.202220231S S +<C.2022T 是数列{}Tn 中的最大项D.40451T >【答案】AC 【解析】【分析】根据题意先判断出数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选项一一验证：对于A ：利用公比的定义直接判断；对于B ：由20231a <及前n 项和的定义即可判断；对于C ：前n 项积为nT 的定义即可判断；对于D ：先求出4045T 40452023a =，由20231a <即可判断.【详解】由()()20222023110a a -⋅-<可得：20221a -和20231a -异号，即202220231010a a ->⎧⎨-<⎩或202220231010a a -<⎧⎨->⎩.而11a >，202220231a a >⋅，可得2022a 和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1.因为11a >，所有20221a >，20231a <，即数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.对于A ：公比202320221a q a =<，因为11a >，所以11n n a a q -=为减函数，所以{}n a 为递减数列.故A 正确；对于B ：因为20231a <，所以2023202320221a S S =-<，所以202220231S S +>.故B 错误；对于C ：等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以2022T 是数列{}Tn 中的最大项.故C 正确；对于D ：40451234045T a a a a = ()()()240441111a a q a q a q = 404512340441a q +++= 4045202240451a q ⨯=()404520221a q =40452023a =因为20231a <，所以404520231a <，即40451T <.故D 错误.故选：AC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知(2,),(3,1)a b λ=-=，若()a b b +⊥ ，则a = ______.【答案】【解析】【分析】根据题意求得(1,1)a b λ+=+，结合向量的数量积的运算公式求得λ的值，得到a的坐标，利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为(2,),(3,1)a b λ=-= ，可得(1,1)a b λ+=+，又因为()a b b +⊥，可得()(1,1)(3,1)310b b a λλ=+⋅=++=⋅+ ，解得4λ=-，所以(2,4)a =--，所以a ==故答案为：14.已知函数51,2()24,2xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则函数()()g x f x =-的零点个数为______.【答案】3【解析】【分析】令()0g x =得()f x =，根据分段函数性质可在同一直角坐标系中作出()f x，y =的大致图象，由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即可得出答案．【详解】令()0g x =得()f x =，可知函数()g x 的零点个数即为函数()f x与y =的交点个数，在同一直角坐标系中作出()f x，y =由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即函数()g x 有3个零点，故答案为：3.15.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.【答案】4【解析】【分析】利用正方体的结构特征，判断平面α所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，可知在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与直线1AA ，11A B ，11A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与平面α平行，由正方体的对称性：要求截面面积最大，则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心），边长为2，所以其面积为26424S ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：4.16.如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ''，则20n n n y y ='=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）【答案】914【解析】【分析】根据题意可得1, 1.1n n n y n y '=+=，进而利用错位相减法运算求解.【详解】由题意可知：1, 1.1n n n y n y '=+=，则()202011920011.111.12 1.120 1.1211.1n n n n n y y n =='=+=⨯+⨯++⨯+⨯∑∑L ，可得2012202101.111.12 1.120 1.1211.1nn n yy ='⨯=⨯+⨯++⨯+⨯∑L ，两式相减可得：2120120212101 1.10.1 1.1 1.1 1.1211.1211.11 1.1n n n y y =-'-⨯=+++-⨯=-⨯-∑L 2121221 1.10.1211.11 1.118.1491.40.10.10.1-+⨯⨯++====----，所以20914nn n yy ='=∑.故答案为：914.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CA CB ==，AB =13AA =，M 为AB 的中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ；（2）求点A 到平面1B CM 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）11【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)利用等体积法求解.【小问1详解】连接1BC 交1B C 于点N ，连接MN ，则有N 为1BC 的中点，M 为AB 的中点，所以1//AC MN ，且1AC ⊄平面1B CM ，MN ⊂平面1B CM ，所以1//AC 平面1B CM .【小问2详解】连接1AB ,因为2CA CB ==，所以CM AB ⊥,又因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以1AA CM ⊥，1AB AA A ⋂=,所以CM ⊥平面11ABB A ,又因为1MB ⊂平面11ABB A ,所以1CM MB ⊥,又222CA CB AB +=，所以ABC是等腰直角三角形，112CM AB MB ====,所以1112222CMB S CM MB =⋅=△,1111222ACM ACB S S CA CB ==⨯⋅=△△,设点A 到平面1B CM 的距离为d ，因为11A B CM B ACM V V --=,所以111133B CM ACM S d S AA ⨯⨯=⨯⨯ ,所以1132211ACM B CM S AA d S ⨯== .18.记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin()sin()cos cos A B A C B C--=．（1）求证：B C =；（2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值．【答案】（1）见解析；（2）2516.【解析】【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可；（2）根据（1）中结论运用正弦定理得sin 2sin sin 12b a C R A b A R === ，然后等量代换出2211a b+，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解.【小问1详解】证明：由题知sin()sin()cos cos A B A C B C--=，所以sin()cos sin()cos A B C A C B -=-，所以sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos A B C A B C A C B A C B -=-,所以cos sin cos cos sin cos A B C A C B =因为A 为锐角，即cos 0A ≠，所以sin cos sin cos B C C B =，所以tan tan =B C ，所以B C =.【小问2详解】由（1）知：B C =，所以sin sin B C =，因为sin 1a C =，所以1sin C a=，因为由正弦定理得：2sin ,sin 2b a R A B R==，所以sin 2sin sin 12ba C R Ab A R===,所以1sin A b=，因为2A B C C ππ=--=-，所以1sin sin 2A C b==，所以222211sin sin 2a bC C +=+221cos 2(1cos 2)213cos 2cos 222CC C C -=+-=--+因为ABC 是锐角三角形，且B C =，所以42C ππ<<，所以22C ππ<<，所以1cos 20C -<<，当1cos 24C =-时，2211a b+取最大值为2516，所以2211a b+最大值为：2516.19.甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1-分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．【答案】（1）分布列见解析；期望为112（2）79192【解析】【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算.【小问1详解】记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立，由题意得：()1111233P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()1111224P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，甲的得分X 的可能取值为1,0,1-，()()()()11111346P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()11117011343412P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()11111344P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X 1-01p1671214()1711101612412E X =-⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464P ⎛⎫== ⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为2223177C 41264P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分的概率为2233111C 4632P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749C 412192P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192P =+++=.20.已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N*+=+∈.（1）令11n n n b a a +=-+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）3n =.【解析】【分析】（1）求得21a =，12b =，利用递推公式计算得出12n n b b +=，由此可证得结论成立；（2）由（1）可知112nn n a a +-+=，利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式，可得出213n n nn c --=，利用定义法判断数列{}n c 的单调性，进而可得出结论.【详解】（1）在数列{}n a 中，10a =，12n n a a n +=+，则21211a a =+=，11n n n b a a +=-+ ，则12112b a a =-+=，则()()()111112211212n n n n n n n n b a a a n a n a a b ++--=-+=+-+-+=-+=，所以，数列{}n b 为等比数列，且首项为2，所以，1222n n n b -=⨯=；（2）由（1）可知，2nn b =即121n n n a a +-=-，可得2123211212121n n n a a a a a a ---=-⎧⎪-=-⎪⎨⎪⎪-=-⎩，累加得()()()()1211212222112112n n n n a a n n n ----=+++--=--=--- ，21n n a n ∴=--.213n n n n c --∴=，()111112112233n n n n n n n c +++++-+---==，11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=，令()212nf n n =+-，则()11232n f n n ++=+-，所以，()()122nf n f n +-=-.()()()()1234f f f f ∴=>>> ，()()1210f f ==> ，()310f =-<，所以，当3n ≥时，()0f n <.所以，123c c c <<，345c c c >>> .所以，数列{}n c 中，3c 最大，故3n =.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n 1-项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第n 1-项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1b m k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n N *∈）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.21.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接PA ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）221169x y -=（2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=．法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F -，125,28c a MF MF ∴==-=，22294,a b c a ∴===-，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=．【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 的方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+，联立221169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m -++--≠，12218916mt y y m -∴+=-，21229144916t y y m -=-，122916y y m -=±-，AC 的方程为11(4)4y y x x =++，令2x =，得1164p y y x =+，BD 的方程为22(4)4y y x x =--，令2x =，得2224p y y x -=-，1221112212623124044y y x y y x y y x x -∴=⇔-++=+-()()21112231240my t y y my t y y ⇔+-+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+-++=()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+-++--=()222249144(24)1824(8)9160916916916m t t mt t t m m m m ---⇔-±=---3(8)(0m t t ⇔-±-=(8)30t m ⎡⇔-=⎣，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =-（舍去），∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+，联立22,1,169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 得()2229161891440m y mty t -++-=，2121222189144,916916mt t y y y y m m --∴+==--，AC 的方程为(4)6n y x =+，BD 的方程为(4)2n y x =--，,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n n y x y x ∴=+=--，两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y ---=⇔+=+-，又22111169x y -=，()()211194416x x y ∴+-=．将()2112344x y x y --+=代入上式，得()()1212274416x x y y ---=⇔()()1212274416my t my t y y -+-+-=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++-++-=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mt m t m t m m --++-+-=--．整理得212320t t +=-，解得8t =或4t =（舍去）．∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.22.设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i i A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.（2）见解析【解析】【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥-≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>-⨯，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式.【小问1详解】()sin f x x x '=-+，设()sin s x x x =-+，则()cos 10s x x '=-+≥（不恒为零），故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥-≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =-+≥，则()2cos 1()02x u x x f x '=-+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥-≥恒成立.当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i i i i i i i i g g k ++++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==- ⎪⎝⎭-11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）可得()2cos 102x x x ≥->，故12311cos 1022i i ++≥->，故111112311112sin 2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-≥-- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≥-- ⎪ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224422117111711111622626262i i i i i +++++⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯>-⨯ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭,故1214627111...16222n n k k k n -⎛⎫+++>--+++ ⎪⎝⎭ 41111771112411166123414n n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--⨯=--⨯ ⎪⎝⎭-771797172184726n n n n =--+⨯>->-.。
长沙市一中2017-2018学年高一第一学期第一次月考数学试卷.
A.0 N
B. 3 Q
C. R
2.下列各式错误的是
D. Z
A. 22 2
B. 4 2
C. 3 27 3
D. 4 3 4 3
3.函数 f x
9 x2
的定义域是
x2
A. 2,3
C. 3, 2∪2,3
B. 3,3 D. ,3∪3,
4. 已知函数 f x 2 x 2, 6 ,则函数 f x
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分）
设方程 x2 + px + q = 0 的解集 A ,方程 3x2 + 2qx + p = 0 的解集为 B ， A B = {1} .
（1）求 p, q 的值； （2）求 A B .
A.增函数且最小值为 4
B.增函数且最大值为 4
C.减函数且最小值为 4
D.减函数且最大值为 4
10. 若 f x 为奇函数, g x 为偶函数,且 F x x2 f x x g x 2 ，若
F 2 6, 则 F 2
A. 8
B. 2
C. 0
D. 2
11.已知集合 A x | x 2 , B x | ax 1 ,若 B A ,则实数 a 的取值范围的集合为
x 1
A.为奇函数
B.在 2, 6 上为单调递减
C.最小值为 2 5.下列从集合 A 到集合 B 的对应是映射的是 A. A B N * ,对应关系 f : x y x 3
D.最大值为 2
B.
A
R,
B
0,1
,对应关系
f
:
2018-2019学年湖南省长沙一中高一上学期期中数学试题(解析版)
第1页（共6页） 第2页（共6页） 2018-2019学年湖南省长沙一中 高一上学期期中测试题 数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 1．已知集合{}Z 1A x x =∈≤，且集合,A B 满足A B A ⋃=，则符合条件的集合B 共有 A ． 4个 B ． 8个 C ． 9个 D ． 16个 2．函数()=23x f x x +的零点0x 所在的区间是 A ． ()2,1-- B ． ()1,0- C ． ()0,1 D ． ()1,2 3．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图是 A ． B ． C ． D ．4．设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的大小关系是 A ． b c a >> B ． a b c >> C ． c a b >> D ． a c b >> 5．半径为R 的半圆卷成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积为 A ．3R B ．3R C ．3R D ．3R 6．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体放入体积为，则为 A ．B ．C ．D ．7．若长方体1111ABCD A BC D -中， 1AB =， 11,B C C D 分别与底面ABCD 所成的角45°，60°，则长方体1111ABCD A BC D -的外接球的体积为 A ．6 B ．C ．D ．8．定义在R 上的奇函数()f x 满足： ()10f =，且在区间()0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集是 A ． {}1,1x x x -或 B ． {}01,10x x x <<-<<或 C ． {}01,1x x x <<<-或 D ． {}10,1x x x -<或 9．已知,m n 表示两条不同的直线， α表示一个平面，给出下列四个命题： ①{ ||m m n n αα⊥⇒⊥；②{ ||m n m n αα⊥⇒⊥； ③||{ ||||m m n n αα⇒；④{ ||m m n n αα⊥⇒⊥. 其中正确命题的序号是此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号第3页（共6页）第4页（共6页） A ． ①② B ． ②③ C ． ②④ D ． ①④10．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积与天数的t 的关系式为： e kt V a -=⋅，已知新丸经过50天后，体积变为49a ；若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为A ． 75天B ． 100天C ． 125天D ． 150天11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()21,01,{ 1, 1.x x f x x x -≤<=≥偶函数()g x 的定义域为{}0x x ≠，且当0x >时， ()2log g x x =.若存在实数a ，使得()()f a g b =成立，则实数b 的取值范围是A ． 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． 12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ． []2,2-D ． 112,,222⎡⎤⎡⎤--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）12．已知幂函数()223222m m y m m x --=--在区间()0,+∞是减函数，则实数m 的值是__________．13．轴截面为正方形的圆柱的侧面积为8π，则此圆柱的体积为__________．14．如图，在三棱锥P ABC -中， ABC ∆与PBC ∆是边长为2的正三角形， 3PA =， D 为PA 的中点，则二面角D BC A --的大小为__________．15．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上， SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ， SA AC =， SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为83，则球O 的表面积为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知集合{}225120A x x x =--≥， (){}2log 2B x y x ==-.（1）求集合A B ⋂， ()R A B ⋃. （2）若集合{}22C x m x m =-≤≤且()R A C C ⋂=，求m 的取值范围. 17．如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且2PC =， E 是侧棱PC 上的动点. （1）求四棱锥P ABCD -的表面积； （2）是否在棱PC 上存在一点E ，使得AP 平面BDE ；若存在，指出点E 的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 18．如图， AB 是O 直径， PA O ⊥所在的平面， C 是圆周上不同于,A B 的动点. （1）证明：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）若2PA AB ==，且当二面角P BC A --AB 与平面PBC 所成的角的正弦值. 19．在如图所示的几何体中，平面ACE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形， 90ACB ∠=︒， EF BC ，AC BC == 1AE EC ==. （1）求证： AE ⊥平面BCEF ； （2）求F 到平面ABCD 的距离； （3）求三棱锥B ACF -的体积.第5页（共6页） 第6页（共6页）20．已知函数()()()2log 41R xf x kx k =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若函数()y f x x a =--没有零点，求a 得取值范围；（3）若函数()()221f x x x h x m +=+⋅-， []20,log 3x ∈的最小值为0，求实数m 的值.21．已知函数()()222f x x m x m =-+-+-， R x ∈.（1）若函数()y f x =在[]1,0-上是减函数，求实数m 的取值范围；（2）是否存在整数,a b ，使得()a f x b ≤≤的解集恰好是[],a b ，若存在，求出,a b 的值；若不存在，说明理由.第1页（共12页）第2页（共12页） 数学 答 案参考答案1．B 【解析】{}{}Z 1101A x x =∈≤=-，，，∴A 的子集个数为328=个；A B A ⋃=，即B A ⊆，∴符合条件的集合B 共有8个.故选：B2．B【解析】由函数()23x f x x =+可知函数()f x 在R 上单调递增，又()11302f -=-<，()010f =>，∴()()100f f -<，可知：函数()f x 的零点所在的区间是()1,0-，故选B.3．B【解析】试题分析：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形， 1AD 在右侧的射影是正方形的对角线， 1B C 在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B ．故选B ．考点：简单空间图形的三视图．4．D 【解析】∵13y x =为()0∞+，上的单调增函数， 又2133> ∴113321 33a c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵1y 3x⎛⎫= ⎪⎝⎭在()∞∞-+，上单调递减，又2133> ∴12331133c b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴a c b >>故选：D 点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 5．A【解析】2312,,23R r R l R r h V h r R πππ==∴==∴==,选A. 6．B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面积，体积，解得，故答案为B. 考点：由三视图求几何体的体积. 7．A 【解析】试题分析：依题意可求得，则长方体的体对角线长为．易知长方体的体对角线长即为外接球的直径，所以，所以长方体1111ABCD A BC D -的外接球的体积为77π．选A ． 考点：多面体与其外接球的关系． 8．B 【解析】∵定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，且f （1）=0， ∴函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且f （﹣1）=0， ∴不等式()0xf x >等价于()()0{ 1x f x f >>或()0{ 1x f x f <<（﹣） ∴0<x<1或﹣1<x<0 ∴不等式xf （x ）>0的解集为{}01,10x x x <<-<<或． 故选：B 9．D第3页（共12页）第4页（共12页） 【解析】①{ m n αα⊥⊥⇒m ∥n ，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，故①正确．②{ m m n α⊥⊥⇒n ∥α，由m ⊥α，m ⊥n 得n ∥α或n ⊂α，故②不正确．③{ m n αα⇒m ∥n ，由m ∥α，n ∥α，则m ，n 可能平行、可能相交、可能异面．故③不正确． ④{ m m n n αα⊥⇒⊥ ，则m ，n 可能相交、可能异面，根据异面直线所成的角，可知m ⊥n ．故④正确．故选D ．10．A【解析】试题分析：由题意，得，解得；令，即，即需经过的天数为75天.考点：指数的运算.11．D【解析】∵()21,01,{ 1, 1.x x f x x x -≤<=≥，∴当0≤x≤1时，2x ﹣1∈[0，1]，当x≥1时， 1x ∈（0，1]，即x≥0时，f （x ）的值域为[0，1]，∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴x≤0时f （x ）的值域为[﹣1，0]，∴在R 上的函数f （x ）的值域为[﹣1，1]．∵定义在{x|x≠0}上的偶函数g （x ），x ＞0的g （x ）=log 2x ，∴g （x ）=log 2|x|（x≠0）∵存在实数a ，使得f （a ）=g （b ）成立，∴令﹣1≤g （b ）≤1．即﹣1≤log 2|b|≤1． 即有12≤|b|≤2， ∴12≤b≤2或﹣2≤b≤﹣12． 故选：D ． 点睛：存在实数a ，使得()()f a g b =成立等价于()(){}|g b y y f a ∈=,同时本题考查了分段函数的应用及奇偶性的应用. 12．3 【解析】∵幂函数()223222m m y m m x --=--在区间()0,+∞是减函数 ∴22221{ 320m m m m --=--<，解得： 3m = 故答案为：3 13．【解析】22,28r h rh h r V r h πππ==∴==== 14．60° 【解析】因为,AB PB PC AC BD CD ==∴=,取BC 中点M,则,DM BC AM BC ⊥⊥ ,所以 二面角D BC A --的平面角为DMA ∠ ,因为3,22AD AM DM ==== 所以060DMA ∠=，即二面角D BC A --的大小为60︒ 15．16π 【解析】 32121822,4163323S ABC ABO V S SO R R S R ππ-=⨯⨯=⨯=∴=== 点睛：(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. (2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画第5页（共12页）第6页（共12页） 内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16．（1）{}4A B x x ⋂=≥， ()R 32A B x x ⎧⎫⋃=>-⎨⎬⎩⎭；（2）()1,2,22m ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭.【解析】试题分析：（1）化简集合A 、B ，根据交集与并集和补集的定义计算即可；（2）根据题意（∁R A ）∩C=C 知C ⊆∁R A ，讨论C=∅和C≠∅时，分别求出m 的取值范围． 试题解析：（1）()22512023x x x --≥⇒+ ()404x x -≥⇒≥或32x ≤-， ∴342A x x x ⎧⎫=≥≤-⎨⎬⎩⎭或， {}2B x x =>， ∴{}4A B x x ⋂=≥， ()R 32A B x x ⎧⎫⋃=>-⎨⎬⎩⎭.（2）∵()R A C C ⋂=，∴()R C A ⊆， R 342A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭.①当C =∅时， 22m m ->，即2m <-时满足()R C A ⊆，∴2m <-；②当C ≠∅时，要使()R C A ⊆，则223{2 224m m m m -≤->-⇒< 211{ 2222m m m m ≥->⇒<<<综上所述， ()1,2,22m ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭.点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.17．（1；（2）当E 时PC 的中点时， AP 平面BDE .【解析】试题分析：（1）先根据条件确定四棱锥各侧面形状，再根据直角三角形面积公式以及正方形面积公式求表面积（2）连接AC 交BD 于点O ，当E 是PC 的中点时，由三角形中位线性质得//OE AP ，再根据线面平行判定定理证结论试题解析：（1）四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且2PC=， ∴PB PD ==． ∵AB CB ⊥， AB PC ⊥， ∴AB ⊥平面PCB，∴AB PB ⊥， ∴12PAB S ABPB ∆=⋅=．同理，PAD S ∆=．∴1113P ABCD ABCD PAB PAD PCD PCB S S S S S S -∆∆∆∆=++++=+=． （2）当E 是PC 的中点时， //AP 平面BDE ． 证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，则在三角形ACP 中， O 、E 分别为AC 、PC 的中点， ∴//OE AP ， 又∵OE ⊂平面BDE ， AP ⊄平面BDE ， ∴//AP 平面BDE ． 18．（1）详见解析；（2）3. 【解析】试题分析：（1）先根据圆的性质得BC AC ⊥，再根据线面垂直得BC PA ⊥，根据线面垂直判定定理得BC ⊥平面PAC ，最后根据面面垂直判定定理得结论（2）先根据二面角定义得二面角P BC A --的平面角为PCA ∠，再过过A 作AH PC ⊥于H ，易得ABH ∠为直线AB 与平面PBC 所成的角．最后通过解三角形可得结论 试题解析：（1）证明：∵C 在圆O 上， AB 为圆O 的直径， ∴BC AC ⊥， 又∵PA O ⊥所在的平面，∴BC PA ⊥， 而PA AC A ⋂=，∴BC ⊥平面PAC ， 由于BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ． （2）解：如图，过A 作AH PC ⊥于H ，连接BH ，第7页（共12页）第8页（共12页）∵BC ⊥平面PAC ，∴BC AH ⊥，∴AH ⊥平面PBC ，则ABH ∠即为所求的角，∵BC ⊥平面PAC ，∴PCA ∠为二面角P BC A --的平面角．又tan PAPCA AC ∠== 2PA =，∴AC =在Rt PAC ∆中，PA AC AH PC ⋅===，在Rt ABH ∆中，3sin 2AHABH AB ∠===，即直线AB 与平面PBC19．（1）详见解析；（23【解析】试题分析：（1）先根据面面垂直性质定理得BC ⊥平面AEC ，即得BC AE ⊥，再利用勾股定理得AE EC ⊥，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）先根据平行转化F 到平面ABCD 的距离为点E 到平面ABCD 的距离，再作EG AC ⊥，由面面垂直性质定理得EG ⊥平面ABCD ，最后计算EG 即得结果（3）由于已知F 到平面ABCD 的距离，所以利用等体积法先转化为B ACF F ACB V V --=，再根据锥体体积公式求体积试题解析：（1）∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面ACE ⋂平面ABCD AC =，又BC ⊂平面ABCD ， BC AC ⊥，∴BC ⊥平面AEC ，而AE ⊂平面AEC ，∴BC AE ⊥，∵AC = 1AE EC ==，∴222AC AE CE =+，∴AE EC ⊥，又BC EC C ⋂=，∴AE ⊥平面BCEF ．（2）设AC 的中点为G ，连接EG ，∵AE CE =，∴EG AC ⊥． ∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面ACE ⋂平面ABCD AC =， ∴EG ⊥平面ABCD ， ∵//EF BC ， EF ⊄平面ABCD ， 所以点F 到平面ABCD 的距离就等于点E 到平面ABCD 的距离， 即点F 到平面ABCD 的距离为EG =． （3）∴13B ACF F ACB ACB V V S EG --∆==⋅，∵11122ACB S AC BC ∆=⋅==，∴11326B ACF V -=⨯⨯=，即三棱锥B ACF -的体积为6． 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 20．（1）1k =-；（2）(],0-∞；（3）1m =-. 【解析】试题分析：（1）若函数()()()2log 41R x f x kx k =++∈是偶函数，则f （﹣x ）=f （x ），可得k 的值； （2）函数()y f x x a =--没有零点，即方程()2log 412x x a +-=无实数根，令()()2log 412x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点，则a 不属于函数g （x ）值域； （3）函数()()221f x x x h x m +=+⋅-， []20,log 3x ∈，令t=2x ∈[1，3]，则y=t 2+mt ，t ∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m 的值． 试题解析： （1）∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=， 即()()22log 41log 41x x kx kx -+-=++对任意R x ∈恒成立. ∴()()222log 41log 41x x kx -=+-+= 2241log log 4241x x x x --+==-+，∴1k =-.第9页（共12页）第10页（共12页） （2）函数()y f x x a =--没有零点，即方程()2log 412xx a +-=无实数根.令()()2log 412xg x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点，∵()()()222log 412log 41log 4x x xg x x =+-=+-22411log log 144x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 又1114x +>，∴()21log 104x g x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，∴a 的取值范围是(],0-∞.（3）由题意()42x x h x m =+⋅， []20,log 3x ∈，令[]21,3x t =∈， ()2t t mt ϕ=+， []1,3t ∈， ①当12m-≤，即2m ≥-时，()()min 110t m ϕϕ==+=， 1m =-； ②当132m<-<，即62m -<<-时，()2min 024m m t ϕϕ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 0m =（舍去）； ③当32m-≥，即6m ≤-时，()()min 3930t m ϕϕ==+=， 3m =-（舍去）.综上可知，实数1m =-.21．（1）(][),02,-∞⋃+∞；（2）符合要求的整数a b 、是1,{1, 2,a b m =-==或2,{4, 8,a b m ===.【解析】试题分析：（1）求出函数的对称轴，由于y=|f （x ）|在[﹣1，0]上是减函数，则讨论区间在对称轴的右边，且f （0）不小于0，区间在对称轴的左边，且f （0）不大于0．解出它们即可；（2）假设存在整数a ，b ，使得a≤f （x ）≤b 的解集恰好是[a ，b]．则f （a ）=a ，f （b ）=a ，a≤f （22m -）≤b ，由f （a ）=f （b ）=a ，解出整数a ，b ，再代入不等式检验即可．试题解析：（1）令()0f x =，则()()()()224226m m m m ∆=---=--.当0∆≤，即26m ≤≤时， ()()2220f x x m x m =-+-+-≤恒成立，所以()()222f x x m x m =--+-. 因为()y f x =在[]1,0-上是减函数， 所以202m -≥，解得0m ≥， 所以26m ≤≤. 由0∆>，解得2m <或6m >. 当6m >时， ()y f x =的图象对称轴222m x -=>， 且方程()0f x =的两根均为正， 此时()y f x =在[]1,0-为减函数，所以6m >符合条件. 当2m <时， ()y f x =的图象对称轴202m x -=<， 且方程()0f x =的根为一正一负， 要使()y f x =在[]1,0-单调递减，则212m -≤-，解得0m ≤. 综上可知，实数m 的取值范围为(][),02,-∞⋃+∞. （2）假设存在整数a b 、，使()a f x b ≤≤的解集恰好是[],a b ，则 ①若函数()y f x =在[],a b 上单调递增，则()f a a =， ()f b b =且22m b -≥， 即()()2222,{ 22,a m a m a b m b m b -+-+-=-+-+-= 作差得到21m a b -=++，代回得到： 1ab a b --=，即()()112a b --=，由于a b 、均为整数， 故1a =-， 0b =， 2m =或2a =， 3b =， 8m =，经检验均不满足要求； ②若函数()y f x =在[],a b 上单调递减，则()f a b =， ()f b a =且22m a -≤， 即()()2222,{ 22,a m a m b b m b m a -+-+-=-+-+-= 作差得到21m a b -=++，代回得到： 221ab a b --=-，即()()223a b --=，由于a b 、均为整数， 故1a =-， 1b =， 1m =或3a =， 5b =， 9m =，经检验均不满足要求； ③若函数()y f x =在[],a b 上不单调，则22m f b -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ()()f a f b a ==且22m a b -<<，第11页（共12页） 第12页（共12页） 即()()2222,{ 22,a m a m a b m b m a -+-+-=-+-+-=作差得到2m a b -=+，代回得到： 20ab a b --=，即()()122a b --=，由于a b 、均为整数， 故2a =， 4b =， 8m =或1a =-， 1b =， 2m =，，经检验均满足要求； 综上，符合要求的整数a b 、是1,{1, 2,a b m =-==或2,{4, 8,a b m ===。
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024—2025第一次阶段性检测数学时量：120分钟 满分：150分得分______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（ ）C.3D.52.无论为何值，直线过定点（ ）A. B. C. D.3.在平行四边形中，，，，则点的坐标为（ ）A. B. C. D.4.已知，则（ ）A. B.C. D.5.直线关于对称的直线方程为（）A. B. C. D.6.已知椭圆：，则（ ）A. B.C.8或2D.87.已知实数满足，则的范围是（ ）A. B. C. D.8.已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ ）A. B. C. D.3i1iz +=+z =λ()()()234210x y λλλ++++-=()2,2-()2,2--()1,1--()1,1-ABCD ()1,2,3A -()4,5,6B -()0,1,2C D ()5,6,1--()5,8,5-()5,6,1-()5,8,5--π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭79-7929-292410x y --=0x y +=4210x y ++=4210x y +-=4210x y --=4210x y -+=C ()22104x y m m +=>m =,x y ()22203y x x x =-+ (4)1y x ++[]2,6(][),26,-∞+∞ 92,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]9,2,4⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭()5,0M l P 4PM =()5,0M ()5,0M 3y x =-2y =430x y -=210x y -+=二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，圆：，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）A.若圆关于直线对称，则B.点到直线C.存在两个不同的实数，使得直线与圆相切D.存在两个不同的实数，使得圆上恰有三个点到直线的距离为10.已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（ ）A.曲线的方程为B.曲线的方程为C.过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为D.曲线上的点到直线11.在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）A.与B.过，，三点的正方体的截面面积为3C.当在线段上运动时，的最小值为3D.若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.通过科学研究发现：地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放的能量分别为，，则______.13.直线的倾斜角的取值范围是______l 20x y λλ+--=C 221x y +=O C l 2λ=-O l λl C λC l 121F ()()222328x y m m ++=……2F ()()222310x y m -+=-M M C C 22110064x y +=C 2212516x y +=1F x C 325C 4510x ++=ABCD A B C D '-'''M BC AM D B ''A M D 'ABCD A B C D '-'''P A C 'PB PM '+Q B C C B ''EF A C 'QE QF +lg 4.8 1.5E M =+1E 2E 12E E =()243410ax ay +-+=14.如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知两圆和.求：（1）m 取何值时两圆外切？（2）当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长.16.（15分）在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点为的中点，点为棱上的动点.（1）求证：平面；（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.18.（17分）某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.1F 2F ()222210x y a b a b+=>>12F F 2PF Q 222PF F Q =1PF 222610x y x y +---=2210120x y x y m +--+=45m =A B C △()()cos 2cos 2cos A C b c a B -=-sin sin CA1cos 4B =2b =A BC △P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA AB AD ===ABCDAB AD ⊥B C A D ∥4BC =M PC E BC DM ∥PAB E PDE ADE 23BE（1）由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数；（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，证明：19.（17分）已知动直线与椭圆：交于，两点，且的面积为坐标原点.（1）证明：和均为定值；（2）设线段的中点为，求的最大值；（3）椭圆上是否存在三点D ，E ，G，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.[)70,90[)70,80[)80,90m x 21s n y 22s w 2s ()(){}22222121s m s x w n s y w m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+l C 22132x y +=()11,P x y ()22,Q x y OPQ △OPQ S △O 2212x x +2212y y +P Q M OM PQ ⋅C ODE ODG OEG S S S ===△△△D E G △长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期第一次阶段性检测数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案BAAACCADABDBCDAC1.B 【解析】∵，∴. .故选B.2.A 【解析】由得：，由得∴直线恒过定点.故选A.3.A【解析】设，则，，得.故选A.4.A 【解析】，又，所以.故选A.5.C 【解析】取直线关于对称的直线上任意一点，易知点关于直线对称的点的坐标为，由点在直线上可知，即.故选C.6.C 【解析】椭圆：的离心率为，，解得或.故选C.7.A 【解析】表示函数图象上的点与的连线的斜率，结合图象可知，斜率分别在与（相切时）处取最大值和最小值，()()()()23i 1i 3i 33i i i 2i 1i 1i 1i 2z +-+-+-====-++-z ==()()()234210x y λλλ++++-=()()223420x y x y λ++++-=220,3420x y x y ++=⎧⎨+-=⎩2,2,x y =-⎧⎨=⎩()()()234210x y λλλ++++-=()2,2-(),,D x y z ()5,7,3AB =- (),1,2DC x y z =---()5,6,1D --22πππ17cos 2cos 212sin 1233399ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2π22π33αα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭π2π2π7cos 2cos 2πcos 23339ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2410x y --=0x y +=()00,P x y P 0x y +=()00,Q y x --Q 2410x y --=002410y x -+-=004210x y --=C ()22104x y m m +=>==8m =2m =41y x ++()22203y x x x =-+……()1,4--()0,2()2,2所以的范围是.故选A.8.D 【解析】根据题意，当点到直线的距离时，该直线上存在点使得，此时直线为点的“相关直线”，对于A ，，即，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；对于B ，，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；对于C ，，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；对于D，，点到直线的距离，该直线不是点的“相关直线”.故选D.9.ABD 【解析】直线：过定点，圆：，圆心，半径，对选项A ：直线过圆心，则，解得，故选项A 正确；对选项B ：点O 到直线l的距离的最大值为B 正确；对选项C ：直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，故选项C 错误；对选项D ：当圆上恰有三个点到直线的距离为时，圆心到直线的距离，解得，故选项D 正确.故选ABD.10.BCD 【解析】对A 选项与B 选项，由题意知圆与圆交于点，则，，所以，所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，，即，，所以，所以曲线的方程为，故A 选项错误，B 选项正确；41y x ++[]2,6M l 4d …P 4PM =l()5,0M 30y x =-=30x y --=M l 4d <()5,0M 2y =M l 0224d =-=<()5,0M 430x y -=M l 4d ==()5,0M 210x y -+=M l 4d ()5,0M l 20x y λλ+--=()2,1P C 221x y +=()0,0C 1r =20λ--=2λ=-PC =l C 1d 34λ=-C l 12C l 12d λ=1F 2F M 1MF m =210MF m =-1212106MF MF F F +=>=M x 210a =26c =5a =3c =4b =C 2212516x y +=对C 选项，通径的长度为，故C 选项正确；对D 选项，设与直线平行的直线为，，将与联立得，令，解得，此时直线与椭圆相切，当时，切点到直线的距离最大，直线的方程为，故曲线上的点到直线D 选项正确.故选BCD.11.AC 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，∴，∴与A 正确；取的中点，连接，，，则，故梯形为过点，，的该正方体的截面，∵，，∴梯形，1632255⨯=4510x ++=l 40x t ++=51t ≠40x t ++=2212516x y +=221004000y t ++-=()22Δ3004004000tt =--=40t =±l 40t =-4510x ++=l 4400x +-=C 4510x ++=A 'A D ''A B ''A A '()0,0,2A ()1,2,2M ()2,0,0D '()0,2,0B '()2,2,0C '()1,2,0AM = ()2,2,0DB''=-cos ,AM D B AM D B AM D B '⋅'''''⋅==AM D B ''C C 'N M N D N 'AD 'M N BC AD ''∥∥M N D A 'A M D 'MN AD '=AM D N ='=M N D A '=∴梯形的面积为，故B 错误；由对称性可知，，故，又由于，，，四点共面，故，当为与的交点时等号成立，故C 正确，设点关于平面的对称点为，连接，当与平面的交点为时，最小，过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，此时，D 错误.故选AC.三、填空题12.1000 【解析】由题知，.13. 【解析】设直线的倾斜角为，当时，直线为，；当时，，当且仅当时取等号， ∴；当时，，当且仅当时取等号， ∴，综上可得.14.【解析】连接，，由点在以为直径的圆上，故.M N D A '1922⨯+=PB PD '='PB PM PD PM '++'=A 'B C D '3PB PM PD PM D M +=+'''=…P A C 'D M 'F B C C B ''F 'EF 'EF 'B C C B ''Q QE QF QE QF +=+'E AD 'F AB G 13EG AD =='2G F '=EF =='11112222lg 4.8 1.59,lg lg 3lg 31000lg 4.8 1.57E E EE E E E E =+⨯⎧⇒-=⇒=⇒=⎨=+⨯⎩π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()243410a x ay +-+=α0α=310x +=π2α=0α>2433tan 44a k a a a α+===+= (3)4a a =ππ,32α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭0α<24333tan 444a k a a a a a α+⎛⎫===+=--+-= ⎪-⎝⎭ (3)4a a -=-π2π,23α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦π2π,33α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦121PF 1QF P 12F F 12PF PF ⊥又，在椭圆上，故有，.设，则，，，.在中，由勾股定理得，解得，于是，，故.四、解答题15.【解析】（1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：，，则圆心分别为，，，解得.（2）当，则，所以两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为：，即，圆心到直线的距离，所以公共弦长.16.【解析】（1）由正弦定理得，所以，所以，化简得，又，所以，因此.（2）由，得，由余弦定理及，又，得，解得，从而.又因为，且，所以.P Q 122PF PF a +=122QF QF a +=2QF m =22PF m =122PF a m =-12QF a m =-3PQ m =1Rt PQF △()()()2223222m a m a m +-=-3a m =223a PF =143a PF =1121tan 2PF k PF F ∠==()()221311x y -+-=()()()22566161x y m m -+-=-<()1,3M ()5,6N =+25m =+45m =4=44<<+()22222611012450x y x y x y x y +----+--+=43230x y +-=()1,3M 43230x y +-=2d l ==()()cos 2cos sin 2sin sin cos A C B C A B -=-cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos A B C B C B A B -=-cos sin sin cos 2cos sin 2sin cos A B A B C B C B +=+()()sin 2sin A B B C +=+πA B C ++=sin 2sin C A =sin 2sin CA=sin 2sin C A =2c a =2222cos b a c ac B =+-1cos 4B =2b =22214444a a a =+-⨯1a =2c =1cos 4B =0πB <<sin B =因此.17.【解析】（1）因为平面，，平面，所以，，又，所以，，两两垂直.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，则，，，，因为点为中点，所以，，又，，所以，所以，，为共面向量，则在平面内存在直线与平面外的直线平行，所以平面.（2）设，，，，依题意可知，平面的法向量为，设平面的法向量为，则令，则.因为平面与平面所成角的余弦值为，所以，解得或，所以存在点使得平面与平面所成角的余弦值为，或.18.【解析】（1）由题意得：，解得，11sin 1222ABC S ac B ==⨯⨯=△PA ⊥ABCD A D AB ⊂ABCD PA AD ⊥PA AB ⊥AB AD ⊥PA AB A D A AB x A D y AP z ()0,0,2P ()2,0,0B ()0,2,0D ()2,4,0C M PC ()1,2,1M ()1,0,1DM =()0,0,2AP = ()2,0,0AB =1122DM AP AB =+ DM ,AP A BPAB l PAB DM DM ∥PAB ()2,,0E a 04a ……()0,2,2DP =- ()2,2,0DE a =-ADE ()0,0,2AP =PDE (),,n x y z =()220,220,DP n y z DE n x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩1z =2,1,12a n -⎛⎫= ⎪⎝⎭ PDE ADE 232cos ,3AP n AP n AP n ⋅==⋅23=1a =3a =E PDE ADE 231BE =3BE =()100.010.0150.020.0251t ⨯++++=0.03t =设第60百分位数为，则，解得，即第60百分位数为85.（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为，，在的有人，设为a ，b ，c .则样本空间为，.设事件“两人分别来自和”，则，，因此，所以两人得分分别来自和的概率为. （3）由题得：①；②略19.【解析】（1）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以，，因为在椭圆上，所以，①又因为，所以由①②得，，此时，.（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意知，将其代入得，其中，即，（*）又，，所以，x ()0.01100.015100.02100.03800.6x ⨯+⨯+⨯+⨯-=85x =[)70,8085220⨯=A B [)80,90125320⨯=()()()()()()()()()(){}Ω,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c =()Ω10n =M =[)70,80[)80,90()()()()()(){},,,,,,,,,,,M A a A b A c B a B b B c =()6n M=()()()63Ω105n M P M n ===[)70,80[)80,9035mx ny m n w x y m n m n m n+==++++l P Q x 21x x =21y y =-()11,P x y 2211132x y +=OPQ S =△11x y ⋅=1x =11y =22123x x +=22122y y +=l l y kx m =+0m ≠22132x y +=()()222236320k x kmx m +++-=()()2222Δ36122320k m k m =-+->2232k m +>122623km x x k +=-+()21223223m x x k -=+PQ ==因为点到直线的距离为，所以又，整理得，且符合（*）式，此时，，综上所述，，，结论成立。
湖南省长沙市第一中学2018-2019学年高一上学期第一次月考物理试题
湖南省长沙市第一中学2018-2019学年高一上学期第一次月考物理试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题1.2017 年 6 月 26 日，具有自主知识产权的中国标准动车组“复兴号”列车在京沪高铁正式双向首发，开启了中国铁路技术装备的一个崭新时代。
北京至上海的高铁运行距离约1318km，2017 年 9 月中旬，京沪高铁“复兴号”列车提速至 350km/h，使运行时间缩短至4 个半小时。
下列说法正确的是（）A. 4 个半小时指的是时刻B. 350km/h 是指列车的平均速度C. 由题目信息可以估算列车在任意一段时间内的平均速度D. 当研究“复兴号”列车经过某一站牌的时间时，不能将其看做质点【答案】D【解析】【详解】4个半小时对应时间轴上的一段，所以是时间间隔，A错误；由题可知350km/h是列车运动的最大速度，不是平均速度，B错误；不知道各段的位移与时间，所以不能估算列车在任意一段时间内的平均速度，C错误；当研究“复兴号”列车经过某一站牌的时间时，列车的长度是关键，所以不能将其看做质点，D正确．2.伽利略把小球在斜面上做匀加速直线运动的规律合理外推，得出自由落体运动的性质，他采用的研究方法是A. 控制变量B. 等效替代C. 理想模型D. 逻辑推理【答案】D【解析】伽利略在研究物体在无阻力的下落运动（即自由落体运动）时，发现不同质量的铜球沿阻力极小的斜面滚下，结果发现铜球的下滑加速度都是相同的。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________②对任意,,ÎÄ=Ä；③对任意()()()()a b R a b b aa b c R a b c c ab a c b c cÎÄÄ=Ä+Ä+Ä-，,,,2以下正确的选项是（）A．()202=0ÄÄB．()()ÄÄÄ2020=8C．对任意的,,a b c RÎ，有()()ÄÄ=ÄÄa b c b c aD．存在,,a b c RÎ，有()()()+ĹÄ+Äa b c a c b c五、解答题17．已知{}R ,{}A x x x m B x x =Î++==>∣∣2200，且A B Ç=Æ，求实数m 的取值范围.18．设全集是实数集R ，2{|2730}A x x x =-+£，2{|0}B x x a =+<.（1）当4a =-时，求A B Ç和A B È；（2）若()R C A B B =I ，求实数a 的取值范围．19．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．（1）现有可围36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为224m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？20．已知函数()2()24f x x a x =-++（a ∈R ）.(1)若关于x 的不等式()f x <0的解集为（1，b ），求a 和b 的值;(2)若对任意x ∈[]1,4，()1f x a ³--恒成立，求实数a 的取值范围.21．若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=.(1)求ab bc ca ++的最大值；【分析】首先求解集合,B C 再根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，即可判断选项.【详解】由集合的定义可知，{}0,1A B ==，{}{}{}{},0,1,0,1C =Æ，所以A C Î.故选：AC 12．BCD【分析】根据给定的新运算得到a b Ä的计算方法，再逐项计算并判断相应的结论是否成立，从而得到正确的选项.【详解】由题设有()()000020a b a b ab a b ab a b Ä=ÄÄ=Ä+Ä+Ä-´=++，对于A ，()2022222228ÄÄ=Ä=´++=，故A 错误；对于B ，()()200222ÄÄÄ=Ä，由①中结果可知()()20208ÄÄÄ=，故B 正确；对于C ，对任意()()(),,,a b c a b c a bc b c a bc b c a bc b cÎÄÄ=Ä++=++++++R abc ab ac bc a b c =++++++，而()()()ac a c b ac a c b ac a cb c a b =++=++++Ä+Ä+Äabc ab ac bc a b c =++++++，故()()a b c b c a ÄÄ=ÄÄ，故C 正确；对于④，取1,1a b c ===，则1212152Ä=´++=，而()()()1111211116Ä+Ä=´++=，故()()()1111111+ĹÄ+Ä，故D 正确.所以同时参加数学和化学小组的有故答案为：815。
湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题
湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}220A x x x =-=，{}20B x x x =+=，则A B ⋃=（ ）A ．{}0B ．1,0,1,2C ．{}1,0,2-D ．{}1,2-2．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x <B ．不存在x ∈R ，20x <C ．0x R ∃∈，200x ≥D ．0x R ∃∈，20x < 3．已知集合{}1,4A =-，{}10B x mx =+=，且B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ） A ．1,14⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,0,14⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{}1,4-D ．{}1,4,0-4．满足{}{}1,21,2,3,4,5X ⊆的集合X 有（ ） A ．4个B ．7个C ．8个D ．16个5．下列各选项中正确的是（ ）A ．当0ab >时，a b +≥B ．当0a >，0b >时，2≥+aba bC ．当a R ∈，b R ∈时，22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭D ．当a R ∈，b R ∈时，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭6．已知集合1,4M x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合1,24k N x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ）A ．MB ．NC ．∅D ．R7．设全集{|010,}U x x x Z =<<∈，A ，B 是U 的两个真子集，()(){}1,9U UA B =，{}2A B ⋂=，(){}4,6,8U A B ⋂=，则（ ）A ．5A ∈，且5B ∉ B ．5A ∉，且5B ∉C ．5A ∈，且5∈BD ．5A ∉，且5∈B8．设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集二、多选题9．下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，c d <，则a c b d ->- B ．若a b >，c d >，则ac bd > C ．若ac bc >，则a b > D ．若0a b >>，0c <，则c c a b> 10．设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的有（ ） A ．A B A = B ．UABC ．UUAB D ．UA BU11．下面命题正确的是（ ） A ．“3x >”是“5x >”的必要不充分条件B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件C ．设,x y R ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的充分不必要条件D ．“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件12．设集合{}22,,M a a x y x y Z ==-∈，则对任意的整数n ，在形如4n 、42n +、21n 、23n +的数中，是集合M 中的元素的有（ ） A ．4n B ．42n + C ．21n D ．23n +三、填空题13．已知28a ≤≤，03b ≤≤，则-a b 的取值范围是__________．14．某班有50名同学，有20名同学既不选修足球课程也不选修蓝球课程，有18名同学选修了足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有__________名．15．写出一个使得命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是假命题的实数a 的值__________．（写出一个a 的值即可）16．已知集合()()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,1,0A =--，(){},2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为__________．四、解答题17．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，求证：220a b ac bc --+=的充要条件是A B =．18．已知集合{}2680A x x x =-+<，{}22430B x x ax a =-+<．（1）若1a =，求()R B A ；（2）若0a >，设:p x A ∈，:q x B ∈，已知p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．已知函数()()211f x ax a x =-++，a R ∈． （1）若不等式()0f x <的解集为()m n ，，且32m n +=，求a 的值； （2）当0a >时，求关于x 的不等式()0f x >的解集． 20．（1）已知0a >，0b >，24a b +=，求ab 的最大值； （2）若正数a ，b 满足1a b +=，求911a b++的最小值． 21．销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式1atP t =+；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q bt =．其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y 万元 （1）求利润总和y 关于x 的表达式：（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．22．已知二次函数()2f x ax bx c =++．（1）若()0f x <的解集为()1,2，求不等式20bx ax c ++<的解集； （2）若不等式()2f x ax b ≥+对任意x ∈R 恒成立，求222b a c+的最大值．参考答案1．C 【分析】首先求出集合A 、B ，再根据并集的定义计算可得. 【详解】解：因为{}{}2200,2A x x x =-==，{}{}201,0B x x x =+==-，所以{}1,0,2A B ⋃=-故选：C. 2．D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可得到答案. 【详解】全称命题的否定是特称命题∴命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是：0x R ∃∈，200x <.故选：D. 3．B 【分析】根据题意B A ⊆，分类讨论当B =∅和B ≠∅两种情况，即可得出实数m 的取值. 【详解】解：由题可知B A ⊆，当B =∅时，10+=mx 无解，解得：0m =；当B ≠∅时，若{1}B =-，则1m =，若{4}B =，则14m =-，综上所述，m 的值为14-或0或1，即实数m 的取值集合为1,0,14⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选：B. 4．B 【分析】根据题意，可知集合X 中必含有元素1，2，且最多含有4个元素，即可列举出集合X 的所有情况，从而得出答案.【详解】解：由题意{}{}1,21,2,3,4,5X ⊆，可以确定集合X 中必含有元素1，2，且最多含有4个元素，因此集合X 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}，共7个． 故选：B. 5．C 【分析】A 选项举出反例即可判断；B 选项结合均值不等式即可判断；C 、D 选项利用做差法即可判断. 【详解】A 选项：若1,2a b =-=-，满足0ab >，但是a b +<，故A 错误；B 选项：因为0a >，0b >，所以a b +≥，则2aba b≤+当且仅当a b =时等号成立；故B 错误；C 选项：2222222222*********a b a b a b ab a b a b ab a b +++++--+-⎛⎫⎛⎫-=-==-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立；故C 正确；D 选项：2222220222442a b a b ab a b ab a b ab ab ++++--⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝≥⎭，当且仅当a b =时，等号成立；故D 错误； 故选：C. 6．A 【分析】由已知得41,4k M x x k Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，21,4k N x x k Z ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，由此可得选项. 【详解】 因为1,4x k k Z =+∈，所以41,4k x k Z +=∈，所以41,4k M x x k Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭； 又因为1,24k x k Z =-∈，所以21,4k x k Z -=∈，所以21,4k N x x k Z ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，又因为21,k k Z -∈表示所有的奇数，41,k k Z +∈表示部分奇数，所以M N ； 所以M N M ⋂=， 故选：A. 7．A 【分析】由题意作出韦恩图，由韦恩图即可得解. 【详解】由题意，{}{|010,}1,2,3,4,5,6,7,8,9U x x x Z =<<∈=， 可作出韦恩图，如图，由韦恩图可得，5A ∈，且5B ∉， 故选：A. 【点睛】本题考查了集合的运算及韦恩图的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 8．B 【分析】运用集合的子集的概念，令1m P ∈，推得2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；再由1b =，5b =，求得1Q ，2Q ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，可得当1m P ∈，即210m am ++>，可得220m am ++>，即有2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；故C 、D 错误 当5b =时，21{|50}Q x x x R =++>=，22{|250}Q x x x R =++>=， 可得1Q 是2Q 的子集；当1b =时，21{|10}Q x x x R =++>=，22{|210}{|1Q x x x x x =++>=≠-且}x R ∈， 可得1Q 不是2Q 的子集，故A 错误．综上可得，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集． 故选：B. 9．AD 【分析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，若,a b c d ><，所以>c d --，根据同向可加性，可得a c b d ->-，故A 正确；B 选项，若1,2,2,3a b c d ==-==-，满足,a b c d >>，但此时2,6ac bd ==，不满足ac bd >，故B 错误；C 选项，若0c <，则由ac bc >可得a b <，故C 错误；D 选项，若0a b >>，则110b a >>，又0c <，根据同向同正可乘性，可得c ca b>，故D 正确. 故选：AD. 10．BCD 【分析】结合Venn 图即可得出结论. 【详解】由Venn 图可知，B ，C ，D 都是B A ⊆的充要条件，故选：BCD ． 11．ABD 【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A 选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断B 选项；由“4x y +≥”，则不一定有“2x ≥且2y ≥”，即可判断C 选项；若2430x x -+≠，则1x ≠或3x ≠，结合必要不充分条件的定义，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，根据必要不充分条件的定义，可知A 正确；对于B ，若0ac <，则212Δ40,0cb ac x x a=->=<， 所以一元二次方程20ax bx c ++=有两个根，且一正一负根， 若一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根，则120cx x a=<，则0ac <，故B 正确； 对于C ，若“4x y +≥”，则不一定有“2x ≥且2y ≥”， 而若“2x ≥且2y ≥”，则一定有“4x y +≥”，所以“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的必要不充分条件，故C 不正确； 对于D ，若2430x x -+≠，则1x ≠或3x ≠，则若“1x ≠”，则不一定有“2430x x -+≠”，而“2430x x -+≠”时，一定有“1x ≠”， 所以“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件，故D 正确. 故选：ABD. 12．ACD 【分析】 由224(1)(1)nn n ，2221(1)n n n +=+-，可判断4n 、21n 、23n +是否是集合M 的元素，再假设42n M ，则存在,x y ∈Z 使得2242x y n ，则42()()n x y x y +=+-讨论x y +和x y -同为奇数或同为偶数可判断是否是集合M 的元素得选项.【详解】 解：因为224(1)(1)nn n ，所以4n M ．因为2221(1)n n n +=+-，所以21n M +∈，即所有奇数都是集合M 中的元素，所以23n M +∈． 若42nM ，则存在,x y ∈Z 使得2242x y n ，则42()(),nx y x y xy 和x y-同为奇数或偶数．若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +为偶数，不成立；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，不成立，∴42nM ．故选：ACD ． 13．[]1,8- 【分析】结合不等式的性质即可求出结果. 【详解】因为03b ≤≤，所以30b -≤-≤，且28a ≤≤，因此18a b -≤-≤， 故答案为：[]1,8-. 14．16 【分析】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学人数为x ，作出维恩图，列出方程，即可得出结果. 【详解】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学人数为x ，作出维恩图，如下图所示：则28182050x x x -++-+= 解得16x = 故答案为：16. 15．1- 【分析】根据题意，假设命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，根据不等式恒成立，分类讨论当0a =和0a ≠时两种情况，从而得出实数a 的取值范围，再根据补集得出命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”为假命题时a 的取值范围，即可得出满足题意的a 的值.【详解】解：若命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，则当0a =时成立，当0a ≠时有20Δ4120a a a >⎧⎨=-<⎩，解得：0<<3a ， 所以当03a ≤<时，命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，所以当(,0)[3,)a ∈-∞+∞时，命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”为假命题， 故答案为：1-.（答案不唯一，只需(,0)[3,)a ∈-∞+∞）16．45【分析】根据题意作出图示表示集合的点，然后结合A B ⊕的定义即可求出结果.【详解】集合A 中有5个元素，即5个点，如图中黑点所示． 集合{(,)2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点），即图中正方形ABCD 内部及正方形ABCD 边上的整点．所以123x x +=-或2-或1-或0或1或2或3，共7个值；所以123y y +=-或2-或1-或0或1或2或3，共7个值，所以集合A B ⊕=()()(){}12121122,,,,x x y y x y A x y B ++∈∈中的元素可看作图中正方形1111D C B A 内部及正方形1111D C B A 边上除去四个顶点外的整点，共77445⨯-=（个）．故答案为：45.17．证明见解析.【分析】先利用等腰三角形中等角对等边即可证得，再结合因式分解即可证得必要性.【详解】（1）先证充分性：若A B =，则a b =，∴220a b ac bc --+=成立（2）再证必要性：若220a b ac bc --+=成立，∵22()()()()()a b ac bc a b a b c a b a b a b c --+=+⋅---=-+-，∴()()0a b a b c -+-=，又因为ABC 中，0a b c +->，∴0a b -=，∴a b =，∴A B =．综上可知，220a b ac bc --+=的充要条件是A B =．18．（1）()[3,4)R B A ⋂=；（2）4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）将1a =代入题干，解不含参数的一元二次不等式，进而结合补集和交集的概念即可求出结果；（2）解含参数的一元二次不等式，进而由题意可得2,43a a ≤⎧⎨≤⎩且等号不能同时成立，即可得到结果.【详解】（1）当1a =时，{}2430(1,3)B x x x =-+<=，可得(,1][3,)R B =-∞⋃+∞， 又由{}2680(2,4)A x x x =-+<=，所以()[3,4)R B A ⋂=．（2）当0a >时，可得(,3)B a a =．因为p 是q 的充分不必要条件，则A B ，可得2,43a a ≤⎧⎨≤⎩等号不能同时成立， 解得423a ≤≤，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 19．（1）2；（2）答案见解析.【分析】（1）将问题转化为：m 和n 是()0f x =的两个根，由韦达定理列式求解即可；（2）将不等式进行变形，然后通过对两个根的大小比较进行分类，并得出a 的分类，进而分别求出解集，即可得到答案.【详解】（1）因为()0f x <的解集为()m n ，，所以m ，n 为方程()0f x =的两个根， 由韦达定理得：132a m n a ++==，解得2a =． （2）由()0f x >得：2(1)10ax a x -++>，所以(1)(1)0ax x -->，当01a <<时，11a>，不等式的解集是{1x x <或1}x a >； 当1a =时，不等式可化为2(1)0x ->，不等式的解集是{}1x x ≠；当1a >时，101a<<，不等式的解集是1{x x a <或1}x >． 综上所述，当01a <<时，不等式的解集是{1x x <或1}x a>； 当1a =时，不等式的解集是{}1x x ≠；当1a >时，不等式的解集是1{x x a<或1}x >． 20．（1）2；（2）8.【分析】（1）由基本不等式可求得答案；（2）由已知得91191[(1)]121a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭，根据基本不等式可求得答案； 【详解】 解：（1）211222222a b ab a b +⎛⎫=⨯≤= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b ==即2,1a b ==时取等号． 故ab 的最大值为2．（2）1a b +=，即(1)2a b ++=，∵0,0a b >>， 故91191191[(1)]10812121b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+++=++≥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，当且仅当911b a a b +=+时等号成立，又1a b +=，∴12a b ==时，min 9181a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+． 21．（1）31(3),0313x y x x x =+-≤≤+；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元． 【分析】（1）由题意得(3)1ax y b x x =+-+，代入数值计算即可求出结果； （2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.【详解】（1）因为对甲种商品投资x 万元，所以对乙种商品投资为3x -万元， 由题意知：(3)1ax y P Q b x x =+=+-+， 当3x =时，9()4f x =，当0x =时，()1f x =， 则39,4431,a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得13,3a b ==， 则31(3),0313x y x x x =+-≤≤+． （2）由（1）可得313(1)31()(3)11313x x f x x x x x +-=+-=+-++1331137(1)31333x x ⎡⎤=-++≤-=⎢⎥+⎣⎦，当且仅当2x =时取等号， 故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．22．（1）2{3x x <-或1}x >；（2）2. 【分析】（1）结合一元二次不等式的解集得到,,a b c 的关系，进而得到2320x x -->，从而解不等式即可求出结果；（2）由题意可得,,a b c 发关系，进而结合不等式的性质以及均值不等式即可求出结果.【详解】（1）∵()0f x <的解集为(1,2)，∴0a >且12,12b c a a+=-⨯=，∴30,2b a c a =-<=． 2220320320bx ax c ax ax a x x ++<⇔-++<⇔-->，∴该不等式的解集为2{3x x <-或1}x >．（2）若不等式()2≥+f x ax b 即2(2)()0ax b a x c b +-+-≥对任意x ∈R 恒成立，则20,Δ(2)4()0,a b a a c b >⎧⎨=---≤⎩即204(),0,b ac a a ⎧≤-⎨>⎩易知0c a ≥>， 当c a =时，2220,0b b a c ==+； 当c a >时，设10c t a =->，则1c t a=+，则2222222414()4422(1)121c b a c a t a a c a c t c t t a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤===≤=++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当1c t a=-=24()b a c a =-时，等号成立， 所以222b a c+的最大值为2．。
长沙市第一中学高一上学期第一次月考数学试题含答案
长沙市第一中学高一年级月考试卷数 学命题人：李鑫 审题人：龚日辉考生注意：本试卷共三道大题，22小题，满分150分，时量120分钟一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 集合{},a b 的子集个数是 （ ） A.1B.2C.3 C.42.已知函数2()1(0,1)x f x a a a -=+>≠的图像过定点P ，则P 的坐标是 （ ）A.（0，1）B.（0，2）C.（2，1）C.（2，2）3.函数2211x y x -=+的值域为 （ ）A.[)1,1-B.[]1,1-C.(]1,1- C.()1,1-4.已知函数3()7f x ax bx =++（其中,a b 为常数），若(7)17f -=-，则(7)f 的值为 （ ） A.31B.17C.-17C.155.设U R =,集合{}{}221,1P x y x Q y y x ==-==-，则()U C P Q =I （ ）A.[)1,+∞B.∅C.[)0,1C.[)1,1-6.函数0(23)()332x f x x x+=++-的定义域为 （ ）A.33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.3333,,222⎡⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭U C.33,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.3333,,222⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U 7.已知集合{}{}24,4M x x N x ax ====，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为 （ ） A.{}2B.{}2,2-C.{}2,0 C.{}2,2,0-8.函数241()()3x x f x -=的单调递增区间是 （ ）A.[]1,2B.[]1,3C.(],2-∞C.[)2,+∞9.已知函数2()23f x x x =-+在区间[]0,t 上的最大值是3，最小值是2，则实数t 的取值范围是（ ）A.[]1,2B.(]0,1C.[)1+∞,C.(]0,210.已知函数2211()f x x xx-=+，则(3)f = （ ） A.8B.9C.10C.1111. 定义在R 上的函数()f x 满足，对任意121212,,()1()()x x R f x x f x f x ∈+-=+，则下列说法中一定正确的是 （ ） A.()f x 为奇函数B.()f x 为偶函数C.()+1f x 为奇函数C.()+1f x 为偶函数12.已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意的实数x ，都有21(())213xf f x +=+，则2(log 3)f =的坐标是 （ ） A.1 B.45 C.12C.0二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知定义在(),0-∞上的函数2()2f x x =+，且()6f a =，则a = .14.某小学五年级1班共有40名同学，在某次摸底测试中语文20人优秀，数学23人优秀，两门都不是优秀者6人，则两门都是优秀的同学共有 人 .15.若定义在R 上的偶函数()f x 在()0,+∞单调递增，且(2)0f -=，则()0xf x <的解集为 .16.已知函数931()931x x x xk f x +⋅+=++，若对任意的实数123,,x x x ，不等式123()()()f x f x f x +≥恒成立，则实数k 的取值范围是 .三、解答题（共6大题，共70分）17.（10分）计算：（1）0.5202613(5)(10)23274()164π-+--⨯-⨯÷；（2）2log 352912log 25lg ln 2log 3log 81003e ++++⋅。