2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案

2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。

2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并粘好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在本试卷上无效。

4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。

答在本试卷上无效。

5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：∑∑∑∑====--=---=n i i ni ii n i i ni iixn x yx n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于（A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数cb a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为(A) cb a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数(C)cb a ,,都是奇数 (D)cb a ,,都是偶数（3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111...4131211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成（A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立（C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有（A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种(5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C)22e (D)492e(6)已知随机变量X服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A) 81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdxa ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为(A)1 (B) 23 (C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为(A) 87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是(A)]9,24[- (B)]24,24[- (C) ]24,4[(D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122 (11)已知函数)()()(2R b xbx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是(A) ⎪⎭⎫⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C)⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D)⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38(12)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~23题为选考题。

考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

(13)定积分()=⎪⎭⎫⎝⎛---⎰dx x x 10211________.(14)若nx a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2展开式中二项式系数之和是32，常数项为15，则实数=a ______ (15)已知函数ax x xx f --+=331)(23在[]2,1-上有零点，则实数a 的取值范围是________ (16)观察下列数表： 1 3，5 7，9，11，1315，17，19，21，23，25，27，29 ...设999是该表第m行的第n个数，则=+n m _________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)已知复数()()bi i a z -+=12，其中i 是虚数单位. (I)若i z -=5，求b a ,的值；(II)若z 的实部为2，且0,0>>b a ，求证：412≥+ba(18)（本小题满分12分） 设函数)0(3)(3>+-=m n mx x x f 的极大值为6，极小值为2，求：（I ）实数n m ,的值；（II ）)(x f 在区间[]3,0上的最大值和最小值.(19)(本小题满分12分)为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表：患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 大于40岁 16 小于等于40岁 12 合计40已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为.52(I)请将22⨯列联表补充完整；(II)已知大于40岁患心肺疾病的市民中有4名重症患者，现从这16名患者中选出2名，记重症患者的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (III)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？ 下面的临界值表供参考：（参考公式：))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中dc b a n +++=）(20)(本小题满分12分)是否存在常数b a ,，使等式()()21212 (5)323112222++=+-++⨯+⨯bn n an n n n 对于一切*N n ∈都成立？若存在，请给出证明；若)(2k K P ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828不存在，说明理由.(21)(本小题满分12分) 已知函数)(,ln )(R a x a x x f ∈-=.(I)讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；(II)设x a x g 1)(+-=，若不等式)()(x g x f >对任意[]e x ,1∈恒成立，求a 的取值范围.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

如果多做，则按第（22）题计分。

(22)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为1=ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系（单位长度相同），直线l 的参数方程为为参数）（t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=21236.(I)写出直线l 的普通方程与曲线1C 的直角坐标方程；(II)设曲线1C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 3得到曲线2C ，在曲线C上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并2求出最小距离.(23)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数4|1-=x-=xf.-gxx+)|,2(|3)(+|(I)若不等式3gf，求实数x的取值范围；x+x)()(>(II)若不等式1xg-mxf的解集为R，求实数m的))≥((+取值范围.高二数学（理科）试题参考答案2017.7一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

1—5 DBCAC 6—10 DBAAD 11—12 BA二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.42-π 14.3- 15.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311,35 16. 254三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)解：（I ）由复数)1)(2(bi i a z -+=，又i z -=5，得()()()()i i ab b a bi i a -=-++=-+52212，.............................2分则⎩⎨⎧-=-=+1252ab b a .............................4分 解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==23213b a b a 或.............................6分(II)证明：若z的实部为2，即22=+b a ..............................7分因为220,0=+>>b a b a 且，所以,1)2(21=+b a .............................8分所以()b a b a b a 2122112+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+4424214421=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=b a a b b a a b (10)分 当且仅当baa b =4，即时取等号，21,1==b a .............................11分所以412≥+ba ..............................12分 (19)（本小题满分12分） 解：(I)因为)0(3)(3>+-=m n mx x x f ，所以))((333)(2m x m x m x x f +-=-='，.............................2分令0)(='x f ，得mx =，或mx -=.............................3分当x 在()+∞∞-,变化时，)()(x f x f 及'的变化情况如下表：x()m -∞-,m-()mm ,-m()+∞,m)(x f ' + 0 — 0 + )(x f增极大值减极小值增............................5分 由上表及题意可知⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++-=-23)(63)(n m m m m m f n m m m m m f .............................6分解得⎩⎨⎧==41n m ， 所以，实数4,1==n m ..............................7分 (II)由(I)可知43)(3+-=x x x f ，令0)1)(1(333)(2=+-=-='x x xx f ，.............................8分解得1=x ，或1-=x .............................9分当x 在[]3,0上变化时，)()(x f x f 及'的变化情况如下表：x0 ()1,01 ()3,13 )(x f ' — 0 + )(x f4减2增22.............................10分 由上表可知，2)1()(min ==f x f ，22)3()(max ==f x f ..............................11分所以，)(x f 在区间[]3,0上的最大值是22，最小值是2..............................12分(19)(本小题满分12分)解：(I)设40人中有x 人不患心肺疾病，则5240=x ，解得16=x .............................1分所以，全部的40人中有16人不患心肺疾病. (3)分 (II)ξ可以取0,1,2，............................4分，201112066)0(216212====C C P ξ............................5分，5212048)1(21611214====C C C P ξ.............................6分，2011206)2(21624====C C P ξ...........................患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 大于40岁 16 4 20 小于等于40岁 81220合计 24 16 40..7分 故ξ的分布列为ξ 012P2011 52 201.............................8分()21201252120110=⨯+⨯+⨯=ξE .............................9分 (III)635.6667.616242020)481216(402>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ，.........................11分所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关........12分 (20)(本小题满分12分)解：若存在常数b a ,使等式成立，则将2,1==n n 代入上式， 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=2224154312131b a b a ， (2)分解得⎩⎨⎧==41b a ，............................3分 即有()()241212 (5)323112222++=+-++⨯+⨯n nn n n n 对于2,1==n n 成立.........4分 猜想：()()241212 (5)323112222++=+-++⨯+⨯n nn n n n 对于一切*N n ∈都成立......5分 证明如下： （1）当1=n 时，左边313112=⨯=，右边3121411=+⨯+=，所以等式成立；.....6分（2）假设),1(*N k k k n ∈≥=且时等式成立，即()()241212 (5)323112222++=+-++⨯+⨯k kk k k k .....7分则当1+=k n 时，()()()()321211212 (5)323112222+++++-++⨯+⨯k k k k k k ）（.....8分=()()321212422++++++k k k k k k ）（)3212(121+++++=k k k k k )32(22521212+++⋅++=k k k k k)32(2)2)(12(121+++⋅++=k k k k k 64)2)(1+++=k k k （2)1(4)1()12+++++=k k k （.....10分也就是说，当1+=k n 时，等式成立......11分根据(1)(2)可知，等式对于任何*N n ∈都成立......12分(21)(本小题满分12分) 解：(I)因为)0(,ln )(>-=x x a x x f ，所以,1)(xax x a x f -=-=' .....1分 ①0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f 在()∞+，0上递增，)(x f 无极值；.....2分②0>a 时，令0)(>'x f ，解得a x >，令0)(<'x f ，解得a x <<0，.所以)(x f 在()a ，0上递减，在()∞+，a 上递增，所以)(x f 有1个极小值点；.....3分(II)若不等式)()(x g x f >对任意[]e x ,1∈恒成立， 令)()()(x g x f x h -=，即0)(>最小值x h 在[]e ,1恒成立， (5)分因为)(1ln )(R a x a x a x x h ∈++-=，所以22)]1()[1(11)(xa x x x a x a x h +-+=+--='， 令)(='x h ，得1-=x (舍去），或1+=a x .....6分①当11≤+a ，即0≤a 时，0)(≥'x h ，所以)(x h 在[]e ,1上为增函数，所以011)1()(min>++==a h x h ，解得2->a ，即02≤<-a .....7分 ②当e a ≥+1，即1-≥e a 时，0)(≤'x h ，所以)(x h 在[]e ,1上单调递减， 所以01)()(min >-++==a e a e e h x h ，解得112-+<e e a因为1112->-+e e e ，所以1112-+<≤-e e a e .....8分③当e a <+<11，即10-<<e a 时，)(x h 在]1,1[a +上单调递减，在],1[e a +上单调递增，所以)1ln(2)1()(min a a a a h x h +-+=+=， (9)分因为,1)1ln(0<+<a 所以,)1ln(0a a a <+< 所以2)1ln(2)1(>+-+=+a a a a h ，此时)1(>+a h 成立， .....10分所以，10-<<e a.....11分 综上，1122-+<<-e e a 时，不等式)()(x g x f >对任意[]e x ,1∈恒成立. .....12分 22.(本小题满分10分)解：（I ）由为参数）（t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=21236，消参，得63:=-+y x l ； .....1分由1=ρ得，曲线1C ：122=+y x. .....2分(II)设点),(y x P 是曲线1C 上的任意一点，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 3得到点),(y x P '''， 由⎩⎨⎧='='yy x x 3，得⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 31 .....3分把⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 31代入曲线1C ：122=+y x，得1922='+'y x ，所以曲线2C ：1922='+'y x . (4)分令[)πϕϕϕ2,0),sin ,cos 3(∈M ， .....5分 则点M 到直线l 的距离2|6sin 3cos 3|-+=ϕϕd . ...6分2|6)21sin 23(cos 32|-⋅+⋅=ϕϕ2|6)6cos(32|--=πϕ .....7分所以，当6=-πϕ即6πϕ=时，332326min -=-=d ， .....8分此时，21sin ,233cos 3==ϕϕ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,233M , .....9分 所以，当点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,233时，点M 到直线l 的距离最小，且最小距离为33-.......10分（23）(本小题满分10分) 解：（I ）不等式3)()(>+x g x f 等价于1|1||3|>+--x x ， 以上不等式可化为 ⎩⎨⎧>++--≤1131x x x 或⎩⎨⎧>---<<-11331x x x 或⎩⎨⎧>---≥1133x x x .......3分 解得2111<<--≤x x 或 .......4分 即21<x 所以，x 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,. .......5分(II)6|1||3|)()(-++-=-x x x g x f 6|1||3|-++-=x x6|)1()3(|-++-≥x x 64-=2-=， . ......6分当且仅当()0)1(3≥+-x x ，即31≤≤-x 时等号成立. .......7分 所以，()2)()(min -=-x g x f ， .......8分 从而，根据题意可得21-≤+m ，解得3-≤m ， ......9分 所以，m 的取值范围是(]3,-∞-........10分。