2007年中山大学高等数学B考研真题
【中大】高等数学习题及详细解答

1. 求由下列曲线所围成的平面图形的面积:(1) y =e x 与直线x =0及y =e; (2) y =x 3与y =2x ;(3) y =x 2,4y =x 3; (4) y =x 2与直线y =x 及y =2x ;解 (1)可求得y =e x 与y =e 的交点坐标(1,e), y =e x 与x =0的交点为(0,1),它们所围成的图形如图6-1中阴影部分,其面积eee111d ln d (ln )1S x y y y y y y ===-=⎰⎰图6-1 图6-2(2)解方程组32y x y x ⎧=⎨=⎩得022,,,02222x x x y y y ⎧⎧==-=⎧⎪⎪⎨⎨⎨==-=⎩⎪⎪⎩⎩ 即三次抛物线3y x =和直线2y x =的交点坐标分别为(0,0),(2,22),(2,22)--,它们所围成的图形的面积20334224222011(2)d (2)d ()()244S x x x x x x x x x x --=-+-=-+-=⎰⎰.(3)解方程234y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩得两曲线的交点为(0,0),(4,16),所求面积为 4233440011116()d ()|43163S x x x x x =-=-=⎰.图6-3 图6-4(4)可求得2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1);2y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4); y =x 与y =2x 的交点为(0,0),它们所围图形如图6-4中阴影所示,其面积为:121122012231201(2)d (2)d d(2)d 117()236S x x x xx x x x x x xx x x =-+-=+-=+-=⎰⎰⎰⎰2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积:(1) y =e x ,x =0,y =0,x =1,绕y 轴; (2) y =x 3,x =2,x 轴,分别绕x 轴与y 轴; (3) y =x 2,x =y 2,绕y 轴;解 (1)如图6-9所求旋转体的体积为矩形OABD ,与曲边梯形CBD 绕y 轴旋转所成的几何体体积之差,可求得y =e x 与x =1的交点为(1,e), y =e x 与y 轴的交点为(0,1),所以,所求旋转体的体积.222111(ln )(ln )2(ln )22(1)2(ln )eee11ee1πe πd πe πd πe πe ππe e π.d y V y y y y y y y y y ⎡⎤=⋅⋅-=--⎣⎦⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦⎰⎰⎰72226200128(2)7ππd πd π7x x V y x x x ===⋅=⎰⎰ 2588228330036428323255πππd ππd ππy V x y y y y =⨯⨯-=-=-⋅⋅=⎰⎰.图6-5 图6-6(3)解方程组22y xx y⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点(0,0),(1,1),所求旋转体的体积 25114100031025πd πd ππx x x V x x x x ⎛⎫=-=⋅=- ⎪⎝⎭⎰⎰.图6-8图6-73、.求二曲线θsin =r 与θcos 3=r 所围公共部分的面积解: 当θ等于0和3π时,两曲线相交,所围公共部分的 面积为4324π5d θθcos 321d θθsin 212π3π23π02-=+=⎰⎰A .4、 设有一截锥体, 其高为h , 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B , 求这截锥体的体积.解 建立坐标系如图. 过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面, 则平面与截锥体的截面为椭圆, 易得其长短半轴分别为y h a A A --, y hb B B --.截面的面积为π)()(y hb B B y h a A A --⋅--.于是截锥体的体积为])(2[61)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h+++=--⋅--=⎰ππxyO3πθ=5、计算曲线x y ln =相对应于3=x 到8=x 的一段曲线弧长.解:由弧长的公式得:23ln 211d 1d 11d 1832832832+=+=+='+=⎰⎰⎰x x x x xx y s .6、求阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)相应于θ 从0到2π 一段的弧长. 解: 弧长元素为θθθθd a d a a ds 22221+=+=.于是所求弧长为⎰+=πθθ2021d a s )]412ln(412[222ππππ++++=a .7、求星形线33cos sin x a ty a t ⎧=⎨=⎩的全长. 解:由弧长的参数方程公式得:446s t a θ===.1、 电量为+q 的点电荷位于r 轴的坐标原点O 处它所产生的电场力使r 轴上的一个单位正电荷从r =a 处移动到r =b (a <b )处求电场力对单位正电荷所作的功.提示: 由物理学知道, 在电量为+q 的点电荷所产生的电场中, 距离点电荷r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为2r qkF = (k 是常数). 解: 在r 轴上, 当单位正电荷从r 移动到r +dr 时, 电场力对它所作的功近似为dr r qk2,即功元素为dr r qkdW 2=. 图6-9 于是所求的功为dr rkq W b a2⎰=b a r kq ]1[-=)11(b a kq -=.2、设把一金属杆的长度由a 拉长到x a +时,所需的力等于akx,其中k 为常数,试求将该金属杆由长度a 拉长到b 所作的功.解:由于金属杆拉长所需的力f 与拉长的长度成正比x ,且akxf =,其中k 为常数。
中山大学历年考试试题总结

4.(20分)设 的线性变换在标准基下的矩阵A= .
(1).ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA的特征值和特征向量.(2).求 的一组标准正交基,使在此基下的矩阵为对角矩阵.
5.(20分)设 为n维欧氏空间V中一个单位向量,定义V的线性变换如下:
证明:
(1).为第二类的正交变换(称为镜面反射).
3.(16分)设 在[0,1]连续, 求 。
4.(16分)求极限 。
5.(16分)(1)证明级数 在 一致收敛;
(2)令 , ,证明 在 一致连续。
2009.1.11数据库(871)
2008.1.20数据库(879)
(2).V的正交变换是镜面反射的充要条件为1是的特征值,且对应的特征子空间的维数为n-1.
2009.1.15数学分析(650)
2008.1.20数学分析(636)
2007.1.21数学分析(752)
2006.1.15数学分析
2003年数学分析试题
1.(16分)求 在 上的极值;求方程 有两个正实根的条件。2.(16分)计算 ,S为V: 的表面外侧。
中山大学历年考研真题
2009.11.1线性代数(651)
2009.1.11 高等代数(870)
2008.1.20线性代数(651)
2008.1.20高等代数(851)
2007.1.21高等代数(441)
2006.1.25高等代数
2004年高等代数试题(70分)
1.(10分)计算下列n阶行列式:
2.(10分)设 是数域P上线性空间V中一线性无关向量组,讨论向量组 的线性相关性。
2007级高等数学11-2B答案

2007级高等数学Ⅱ-2B0809试卷参考答案一、填空题(每小题3分,共15分)1.设2cos z y x =,则z y∂=∂ 2c o s x 2.设arctan y z x =,则dz = 22ydx xdy x y-++ 3.微分方程440y y y '''-+=的通解为 212()x y e c c x =+4.幂级数211n n x n ∞=∑的收敛域为 []1,1- 5.交换二次积分100(,)y dy f x y dx ⎰⎰的积分次序为110(,)xdx f x y dy ⎰⎰ 二、计算题(每小题7分,共21分)1. 求过点(1,2,3)M -且垂直于直线3460:24310x y z L x y z -++=⎧⎨+--=⎩的平面方程. 解:平面的法向量为12134(7,11,10)243i j k n n n =⨯=-=--所求平面方程为7(1)11(2)10(3)0x y z -++-+-=,即71110590.x y z -++-=2. 设2(,32)z f x y x y =+-,f 具有二阶连续偏导数,求2,.z z x x y ∂∂∂∂∂ 解:12111221223,223(22).z z f f f y f f y f x y∂∂=+=⋅-+⋅-∂∂ 3. 求曲面22249x y z =+在点(6,12,5)处的切平面方程和法线方程. 解:令222(,,),49x y F x y z z =-+则2,,229x y z x y F F F z =-=-= 所以曲面在点(6,12,5)处的切平面的法向量为8(3,,10)3n =-- , 所以切平面方程为83(6)(12)10(5)0.3x y z ----+-=法线方程为6125.38310x y z ---==-- 三、计算题(每小题7分,共28分)1. 计算二重积分D xydxdy ⎰⎰,其中D 是由直线1,2y x ==及y x =所围成的平面区域. 解:22311119().28x D xydxdy dx xydy x x dx ==-=⎰⎰⎰⎰⎰ 2. 计算三重积分222()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰,其中2222:5.x y z Ω++≤ 解: 2522222000()sin 2500.xy z dxdydz d d r r dr ππθϕϕπΩ++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3. 计算曲线积分22()Lx y ds +⎰,其中Γ为圆周222(0).x y a a +=> 解:圆的参数方程为cos ,sin ,02,x a t y a t t ds adt π==≤≤=2222210()2.n n n L xy ds a adt a ππ++=⋅=⎰⎰4. 计算曲面积分122222()()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰,其中∑为下半球面z =的上侧,a 为大于零的常数.解:作辅助平面12220:z x y a=⎧∑⎨+≤⎩,取下侧.则 122222()1()()axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a x y z ∑∑++=++++⎰⎰⎰⎰ 112211()()axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a a ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰ 222211(22)x y a a z a dv a dxdy a a Ω+≤=-++-⎰⎰⎰⎰⎰ 2233001sin (32cos ).2a d d a r r dr a a a ππππθϕϕϕπ=-+-=-⎰⎰⎰四、计算题(每小题7分,共28分)1. 判断级数18!nn n ∞=∑的敛散性.解:118(1)!8lim lim lim 018!1n n n n n n na n a n n ρ++→∞→∞→∞+====<+,所以原级数收敛. 2. 将函数()ln f x x =展开成(3)x -的幂级数.解:3()ln ln(3(3))ln 3ln(1)3x f x x x -==+-=++ 111(3)ln 3(1),(0,6]3n n nn x x n ∞-=-=+-∈∑ 3. 求微分方程522(1)1dy y x dx x -=++的通解. 解:22532222(1)(1)(1)3dx dx y e C x e x C x -⎡⎤⎡⎤⎰⎰=++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ 4. 求微分方程2x y y y xe '''--=的通解.解:原方程对应的齐次方程的特征方程为220r r --=,特征根为122, 1.r r ==- 所以对应的齐次方程的通解为212x x Y c e c e -=+又1λ=不是特征方程的根,所以原方程的特解可设为()x y ax b e *=+, 代入原方程可得11,24a b =-=-,即11().24x y x e *=-+ 故原方程的通解为21211().24x x x y c e c e x e -=+-+ 五、应用题(8分)求由方程22222880x y z xz z +++-+=所确定隐函数(,)z z x y =的极值.解:484,281281z x z z y x z x y z x ∂--∂-==∂+-∂+- 令0,0z z x y ∂∂==∂∂可解得2,0x z y =-=,代入原方程得2780z z +-=,从而解得1281,7z z ==-,于是驻点为16(2,0),(,0).7- 222(48)(281)8(2)(4)(281)z z x x z x x z z x z x ∂∂∂∂--+-+++∂=∂+- 2224(281)8(281)z y z x z y z x ∂∂-+-+∂=∂+-228(281)8(2)(281)z z y y z x x z z x y z x ∂∂∂∂-+-++∂=∂∂+- 在点(2,0)-处且1z =时,22222(,)(2,0)(,)(2,0)(,)(2,0)11144,0,,1515x y x y x y z z z z z z A B C x x y y =-=-=-===∂∂∂======∂∂∂∂且 20,0AC B A ->>,故(,)z z x y =在驻点(2,0)-处取得极小值 1.z = 同理可得(,)z z x y =在驻点16(,0)7处取得极大值87z =-.。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(广东.理)含答案

试卷类型:B2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数 学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,选划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.如果事件A B ,互斥,那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A B ,相互独立,那么()()()P A B P A P B =.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑,a y bx =-.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1.已知函数()f x =M ,()ln(1)g x x =+的定义域为N ,则M N =( ) A .{|1}x x >-B .{|1}x x <C .{|11}x x -<<D .∅2.若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数(i 是虚数单位,b 是实数),则b =( ) A .2B .12C .12-D .2-3.若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ,则()f x 是( )A .最小正周期为π2的奇函数 B .最小正周期为π的奇函数 C .最小正周期为2π的偶函数D .最小正周期为π的偶函数4.客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达内地.下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中,正确的是( )s (km s (km s (km s (km5.已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,第k 项满足58k a <<,则k =( ) A .9B .8C .7D .66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1210A A A ,,,(如2A 表示身高(单位:cm )在[)150155,内的学生人数).图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm (含160cm ,不含180cm )的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( ) A.6i <B.7i < C.8i < D.9i <1 2 3 60 8010t (1 2 3 6080 10t (1 2 3 6080 10t (1 2 36080 10t (A .B .C .D .0 0 0 45505560人数/人7.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给A B C D ,,,四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将A B C D ,,,四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那么要完成上述调整,最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为( ) A.15B.16C.17D.188.设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a b S ∈,,对于有序元素对(a b ,),在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应).若对任意的a b S ∈,,有()**a b a b =,则对任意的a b S ∈,,下列等式中不恒成立的是( ) A .()**a b a a = B .[()]()****a b a a b a = C .()**b b b b =D .()[()]****a b b a b b =二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中13~15题是选做题,图3考生只能选做二题,三题全答的,只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球,2个白球,乙袋装有1个红球,5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球是红球的概率为 .(答案用分数表示)10.若向量,a b 满足1==a b ,a 与b 的夹角为120,则a a +a b = . 11.在平面直角坐标系xOy 中,有一定点(21)A ,,若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点,则该抛物线的准线方程是 .12.如果一个凸多面体是n 棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条,这些直线中共有()f n 对异面直线,则(4)f = ;()f n = .(答案用数字或n 的解析式表示) 13.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩(参数t ∈R ),圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(参数[)02θ∈π,),则圆C 的圆心坐标为 ,圆心到直线l 的距离为 .14.(不等式选讲选做题)设函数()213f x x x =-++,则(2)f -= ;若()5f x ≤,则x 的取值范围是 .图5图415.(几何证明选讲选做题)如图5所示,圆O 的直径6AB =,C 为圆周上一点,3BC =.过C 作圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,AD 分别与直线l 、圆交于点D E ,,则DAC =∠ ,线段AE 的长为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ,,(00)B ,,(0)C c ,. (1)若5c =,求sin A ∠的值; (2)若A ∠是钝角,求c 的取值范围.17.(本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+;(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=) 18.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy,已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于坐标原点O .椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C 的方程;(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ,使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长,若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 19.(本小题满分14分)如图6所示,等腰ABC △的底边AB =,高3CD =,点E 是线段BD 上异于点B D ,的动点,点F 在BC 边上,且EF AB ⊥,现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置,使PE AE ⊥,记BE x =,()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积. (1)求()V x 的表达式;(2)当x 为何值时,()V x 取得最大值?(3)当()V x 取得最大值时,求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值. 20.(本小题满分14分)已知a 是实数,函数2()223f x ax x a =+--,如果函数()y f x =在区间[]11-,上有零图6P ED F BCA点,求a 的取值范围. 21.(本小题满分14分)已知函数2()1f x x x =+-,αβ,是方程()0f x =的两个根(αβ>),()f x '是()f x 的导数,设11a =,1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-=',,. (1)求αβ,的值;(2)证明:对任意的正整数n ,都有n a α>; (3)记ln(12)n n n a b n a βα-==-,,,求数列{}n b 的前n 项和n S .绝密★启用前 试卷类型:B2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分。
2007年普通高等学校全国招生统一考试(广东卷)数学(理科B卷)参考答案

2007年普通高等学校全国招生统一考试 (广东卷)数学(理科B 卷)参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B B C B A9.91 10.2111.x= -5412.2)1(+n n ,12,2)1)(2(--n n n13.(0,2),22 14.[ -1,1] 15.30°,3 三、解答题16. 解:(1) (3,4)AB =--, (3,4)AC c =--当c=5时,(2,4)AC =- cos cos ,5255A AC AB ∠=<>==⨯进而25sin 1cos 5A A ∠=-∠=(2)若A 为钝角,则AB ﹒AC= -3(c -3)+( -4)2<0 解得c>325 显然此时有AB 和AC 不共线,故当A 为钝角时,c 的取值范围为[325,+∞) 特别声明本资料乃本人向广大教师和考生提供以作参考的参考解答,不失其时效性,但解答内容所涉及的观点和方法仅代表本人立场,与官方答案绝无任何相关性,如有不足或错漏之处,请各位读者予以斧正。
欢迎来件进行交流合作!联系邮箱:xieyunfeng-xc@作者:谢超17. 解: (1)如下图01234567012345产量能耗(2)y x i ni i ∑=1=3⨯2.5+4⨯3+5⨯4+6⨯4.5=66.5x =46543+++=4.5y =45.4435.2+++=3.5∑=ni x i 12=32+42+52+62=86266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b-⨯⨯-===-⨯- ˆˆ 3.50.7 4.50.35aY bX =-=-⨯= 故线性回归方程为y=0.7x+0.35(3)根据回归方程的预测,现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7⨯100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)18. 解: (1)设圆心坐标为(m ,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x -m )2+(y -n )2=8已知该圆与直线y=x 相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则2n m -=22即n m -=4 ①又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得 m 2+n 2=8 ②联立方程①和②组成方程组解得⎩⎨⎧=-=22n m故圆的方程为(x +2)2+(y -2)2=8 (2)a =5,∴a 2=25,则椭圆的方程为+=1其焦距c=925-=4,右焦点为(4,0),那么OF =4。
2007全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分

2007-2010年全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分一、2007年:1、(2007年数学一、二、三、四) 设向量组321,,ααα线性无关,则下列向量组线性相关的是(A) 133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.(C) 1332212,2,2αααααα---. (D) 1332212,2,2αααααα+++. [ ] 【答案】A【详解】用定义进行判定:令0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ,得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x .因321,,ααα线性无关,所以 1312230,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 又 011011101=---, 故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.2、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ ] 【答案】B【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(B) .3、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为 . 【答案】1【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1.4、(2007年数学一、二、三、四)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++04,02,03221321321xa x x ax x x x x x ①与方程12321-=++a x x x ②有公共解,求a 的值及所有公共解.【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=++=++=++.12,04,02,03213221321321a x x x x a x x ax x x x x x ③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得:→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112104102101112a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11000)1)(2(0001100111a a a a a .于是1° 当a =1时,有)()(A r A r ==2<3,方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解,此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→0000000000100101A , 此时方程组③为齐次线性方程组,其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101,所以①与②的全部公共解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101k ,k 为任意常数.2° 当a =2时,有)()(A r A r ==3,方程组③有唯一解, 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→0000110010100001A ,故方程组③的解为:011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭, 即①与②有唯一公共解: 为123011x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.5、(2007年数学一、二、三、四)设3阶对称矩阵A的特征值,2,2,1321-===λλλ T)1,1,1(1-=α是A的属于1λ的一个特征向量,记E A A B +-=354其中E 为3阶单位矩阵.(I) 验证1α是矩阵B的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量.(II) 求矩阵B.【分析】 根据特征值的性质可立即得B 的特征值, 然后由B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】 (I) 由11αα=A 得 1112ααα==A A , 进一步 113αα=A , 115αα=A , 故 1351)4(ααE A A B +-=113154ααα+-=A A1114ααα+-=12α-=,从而1α是矩阵B的属于特征值−2的特征向量.因E A A B +-=354, 及A的3个特征值,2,2,1321-===λλλ 得 B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ.设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量, 又A为对称矩阵,得B 也是对称矩阵, 因此1α与32,αα正交, 即0,03121==ααααT T 所以32,αα可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解:0)1,1,1(321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x ,其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101 , 故可取2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, 3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101.即B 的全部特征值的特征向量为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111k , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101132k k , 其中01≠k ,是不为零的任意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数.(II) 令),,(321ααα=P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111, 则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121BP P ,得 1112-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102012112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110.二、2008年:1、(2008年数学一、二、三、四)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若30A =,则[ ]则下列结论正确的是:(A) E A -不可逆,则E A +不可逆. (B) E A -不可逆,则E A +可逆.(C) E A -可逆,则E A +可逆. (D) E A -可逆,则E A +不可逆. 【答案】应选(C).【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=,23()()E A E A A E A E +-+=+=. 故E A -,E A +均可逆.故应选(C).2、(2008年数学一)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程()1x x yz A y z ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图,则A 的正特征值个数为[ ](A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面,此曲面的标准方程为222221x y z a c +-=.故A 的正特征值个数为1.故应选(B).3、(2008年数学二、三、四)设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭,则在实数域上,与A 合同矩阵为[ ] (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ . (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. (C) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. (D) 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【答案】 应选(D). 【详解】2212(1)423(1)(3)021E A λλλλλλλλ---==--=--=+-=--则121,3λλ=-=,记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭,则2212(1)423(1)(3)021E D λλλλλλλλ--==--=--=+-=-则121,3λλ=-=,正负惯性指数相同.故选D.4、(2008年数学一) 设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,10A α=,2122A ααα=+.则A 的非零特征值为___________.【答案】应填1.【详解】根据题设条件,得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.记12(,)P αα=,因12,αα线性无关,故12(,)P αα=是可逆矩阵.因此0201AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭,从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭.记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则A 与B 相似,从而有相同的特征值. 因为2||(1)01E B λλλλλ--==--,0λ=,1λ=.故A 的非零特征值为1.5、(2008年数学二)设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式|2|48A =-,则λ=___________. 【答案】应填1-.【详解】由482-=A ,依据方阵行列式的性质,则有48223-==A A ,即6-=A .又A 等于其特征值的乘积,即632321-=⨯⨯=⨯⨯=λλλλA ,得1-=λ. 6、(2008年数学三)设3阶方阵A 的特征值为1,2,2,E 为单位矩阵,则=--E A 14 .【答案】应填3.【详解】由方阵特征值的性质,E AA f -=-14)(,则14)(1-=-λλf ,故方阵EA --14的特征值分别为1,1,3,又由方阵行列式等于其特征值的乘积,则有341=--E A .7、(2008年数学四)设3阶方阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A ,则A 的秩为 . 【答案】应填2.【详解】由题可知,方阵A 的特征值含有0,而其余两个非零,故A 的秩为2.8、(2008年数学一)设,αβ为3维列向量,矩阵TTA ααββ=+,其中,TTαβ分别是,αβ得转置.证明: (I ) 秩()2r A ≤;(II )若,αβ线性相关,则秩()2r A <.【详解】(I )【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤. 【证法2】因为TTA ααββ=+,A 为33⨯矩阵,所以()3r A ≤. 因为,αβ为3维列向量,所以存在向量0ξ≠,使得0,0T T αξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0Ax =有非零解,从而()2r A ≤.【证法3】因为TTA ααββ=+,所以A 为33⨯矩阵.又因为()00T TTT A αααββαββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以|||0|00TT a A αββ==故 ()2r A ≤.(II )【证法】由,αβ线性相关,不妨设k αβ=.于是()2()()(1)()12TT T r A r r k rααβββββ=+=+≤≤<. 9、(2008年数学一、二、三、四) 设n 元线性方程组Ax b =,其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(I )证明行列式||(1)n A n a =+;(II )当a 为何值时,该方程组有惟一解,并求1x . (III )当a 为何值时,该方程组有无穷多解,并求其通解.【详解】(I )【证法1】数学归纳法.记2222212121||212n na a a a aD A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+.当1n =时,12D a =,结论成立. 当2n =时,2222132a D a a a==,结论成立. 假设结论对小于n 的情况成立.将n D 按第一行展开得n n n a a a aD aD a a a a 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+.【注】本题(1)也可用递推法.由2122n n n D aD a D --==-得,2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-=.于是(1)n n D n a =+(I )【证法2】消元法.记2222212121||212na a a a aA a a a a =22122213121212212na a a ar ar a a a a -322222130124123321212naa a r ar a aa a a a -=n n na a a n r ar nn a n n a n 121301240113111----+(1)n n a =+.(II )【详解】当0a ≠时,方程组系数行列式0n D ≠,故方程组有惟一解.由克莱姆法则,将n D 得第一列换成b ,得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a aa aD na a a a a a a a a ---===所以,11(1)n n D ax D n a-==+. (III )【详解】 当0a =时,方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -,所以方程组有无穷多组解,其通解为()()010100TTx k =+,其中k 为任意常数.10、(2008年数学二、三、四)设A 为3阶矩阵,12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量,向量3α满足321A ααα=+,(I)证明123,,ααα线性无关; (II)令123(,,)P ααα=,求1P AP -.【详解】(I)【证明】设有一组数123,,k k k ,使得 122330k k k ααα++=. 用A 左乘上式,得112233()()()0k A k A k A ααα++=. 因为 11A αα=-, 22A αα=,321A ααα=+, 所以 1123233()0k k k k ααα-+++=, 即113220k k αα-=.由于12,αα是属于不同特征值得特征向量,所以线性无关,因此130k k ==,从而有20k =.故 123,,ααα线性无关.(II )由题意,100011001AP P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.而由(I )知,123,,ααα线性无关,从而123(,,)P ααα=可逆.故1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.三、2009年:1、(2009年数学一)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为()A 101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. ()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.()D 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα=,则A 称为基12,,,n ααα到12,,,nηηη的过渡矩阵。
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中山大学601高等数学A专业课考研真题(2008-2019年)

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【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站:1考研高分学姐总结出的考研政治选择题解题技巧考研政治的试题分为两大部分,在答题的时候也有不同的方法。
在历年的研究生考试中,各位考研高人得出各种各样的解题方法,都是值得借鉴的。
在经历考研并且成功之后,针对这类问题结合我的经历,我总结出两类题型的解答技巧,与大家分享。
题型1评价分析型题型特点:评价分析型选择题一般以引文作为材料,引文的内容不正确或不完全正确,该类题目注重考查考生的理解和判断能力。
这类题在马克思主义哲学部分出现最多,所考查的知识点本身并不难,但对考生理解能力的要求较高。
这就要求考生在平时的学习中,不仅要扎实掌握政治课本中的基本概念和基本原理,还要注重“腹有诗书气自华”的文学素质的培养以及审美素养的提高。
解题诀窍:对这种类型选择题,考生要能够理解引文中蕴涵着哪些观点,这些观点正确与否,引文中的错误是什么,错误原因又是什么。
要特别注意:(1)如果题目是考查考生对引文的理解,那么判断备选项是否正确并不是以这个备选项所显露的“事实”正确与否为依据,而是以该备选项的观点是否蕴涵在材料中为依据。
即使这个观点是错误的,也可能选。
(2)如果题目是考查分析引文中作者的观点是否错误及其原因,要注意分析的角度,是站在“我们”的角度,还是站在材料的作者或漫画中的人物的角度。
题型2因果关系型【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站:2题型特点:因果关系型选择题主要是分析政治、经济、社会现象的原因、目的、影响。
一般包括两种情况,一是知道结果考原因,题干为果,选项为因。
可以是一因一果,也可以是多因一果或是一因多果。
常用引导语是“因为”、“其原因是”、“之所以”。
另一种是知道原因考结果,其引导语是“目的是”、“是为了”、“结果是”、“影响是”、“因此”、“所以”等。
其中在考查原因时又有根本原因、直接原因、主要原因、客观原因、主观原因等。
解题诀窍1.要分清是考查原因还是考查结果。
解答因果关系选择题,应把题干和备选项结合起来分析,找好切入点。
如果题干为因,备选项应该是此原因的结果;反之亦然。
问结果的选择题的选项都比较发散,往往是“一因多果”。
2.要正确理解题目常用各种原因的含意,把握和理解各种原因的区别与联系。
(1)客观原因与主观原因。
一般来说,政治、经济、社会现象的发生是由多种因素造成的。
在诸多因素中事物发展的客观因素是客观原因,而人的因素是主观原因。
(2)主要原因和次要原因。
主要原因是指在诸多原因中起主导作用的因素,但这种主导因素有时不止一个,其中起决定性作用的称之为“最主要的原因”,不属于主要原因的就是次要原因。
如果题目要求分析主要原因,那就要对选项进行比较,在比较中找出主要原因。
(3)根本原因和直接原因。
根本原因是从本质上说的,即导致事物发生变化的最本质的因素。
这种因素是一种历史的客观存在,它不以人的意志为转移,它反映着客观规律的要求。
【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站:3分析根本原因一般是政治现象从经济上找原因,生产关系从生产力中找原因。
而直接原因是导致事件发生的直接因素,它往往是一种表面现象。
3.要将选定的答案代入题干中比较,看是否合乎逻辑。
这一步往往容易为考生所忽略。
值得注意的是,因果关系型选择题中有三种备选项是不能入选的:(1)答非所问者不选;(2)与题干的规定性重复或变相重复者不选;(3)因果颠倒者不选,即题干问的是原因,但备选项却答成结果。
作为一名考研成功者,我想说考研政治只是其中的一个因素,还有考研英语、考研数学、考研专业课,这其中的每一科目都能决定你考研的成败,为了了解更多的考研信息和考研方法以及得到更多的考研资料,我建议大家在考研复习的时间里经常登录中大考研网,本人能考研成功,很大一部分得益于中大考研网,在这里,我不仅得到考研的很多资料,更有历届考研牛人分享他们的考研心得,同时还可以与研友交流并肩作战。
【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站:42007年中山大学高等数学B 考研真题【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站:5考研政治大题答题技巧在全国硕士研究生入学考试中的试卷中,考研政治客观题和主观题各占半边天,其中,客观题的考察角度和难度要比主观题容易些,主要是对基本知识点的掌握和理解。
主观题考察考生运用所学原理比较和分析有关社会现象或实际问题,层次和难度相对有所提升。
方法/步骤.仔细审题找出本题目是关于哪个科学的哪个章节,在草稿纸上写下此章节内所有可能与本题有联系的基本概念及原理。
大多数题目是跨章节,甚至跨学科的,要注意思维的发散性。
..不留空白如果自己写出的相关概念太多,则视试卷留出的空白捡重要的写,解释概念和原理一般不要超过本题答题空间的二分之一。
什么?太多了?不要怕,答多了不扣分。
但要注意答题时每个概念和原理要作为一段,字迹要工整清晰。
..联系实际如果本题是论述题,则根据本题联系实际中的一些现象,给出评价,如果本领是材料题,【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站:6则材料就是实际,指出材料中的一些问题,也就是将材料用你学过的关于政治的术语再复述一遍。
这部分一定有要有,而且要作为一个段落。
...引用材料准确饮用材料中的文字和印证其中的有关事实,运用有关理论作出恰当的综合、概括、比较、鉴别和分析。
因此考生要分清每个材料所蕴含的主要观点,然后再用心选择与题目要求相符合的基本原理,运用所学原理和材料"对号入座",加以归纳和概括。
.罗列要点解答材料题时,尤其要注意层次和逻辑,不要自相矛盾,在答案中最好把问题一一罗列出来,便于阅卷教师找到要点。
..简短总结这一部分是绝对送分的,但也要有技巧。
要将其作为一个段落,如果此题是论述题,则将整个题目再复述一遍,不要忘了在前面加上一个所以;如果此题是材料题,则提倡材料中好的做法,批评材料中坏的做法。
【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站:7考研英语单词的复习方法和答题技巧考研新大纲要求考生应掌握5500个左右的英语词汇。
这个单词量多不多呢?5000多个听起来很吓人,其实,我们只要想一想就不用担心了:我们在中学时就已经掌握了大约2000个语汇,而大学英语四级考试所要求的词汇量是4000个左右。
因此,既然大学毕业时基本上都能达到英语四级水平,那么,在现有的词汇量上,再增加1000多个左右的单词量就符合了考研对词汇的要求,而1000多个单词对于很多同学来说就没什么难的了。
要求我们在记忆单词的过程中不仅要记基本释义,还要学会引申,放到具体的语言环境中去理解单词。
拿到一本词汇手册,如何来记忆呢?下面是考研1号为我们综合分析各种词汇复习方法,同时结合考研英语的特点为大家总结的单词记忆法。
∙(一)考研英语复习的准备∙拿到词汇手册后,首先应该大胆地排除已经熟练掌握的词汇。
一定不要手软,如果你现在不把它们排除。
日后它们就会无偿地榨取你宝贵的时间。
这里,特别要注意的是在考研英语词汇中,有一种熟词生义的情况。
如school、book 等是不能排除的,因为它们往往是出题者的偏爱。
∙【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站:8(二)考研英语词汇复习的原则(1)有计划地带。
英语单词几乎是天天必背的,但一定要有计划性,有的人常常用整段的时间如整个上午来背单词,有时候又一天都不翻一下单词书,这是不可取的。
最好制定一个计划,多少天背完一遍,每天背多少个,每天什么时候背,都应该规划地清清楚楚。
关于每天什么时候背,应该因人而异,但这里可以推荐一个方案,即每整段时间的开头半个小时。
(2)大量但快速地背。
考研要做的事情实在是太多,因此,由不得我们慢悠悠地来,背单词不可能花太多时间,但背单词又必顺要用时间来磨的。
而且,我们能早一点把单词过一遍对于我们复习英语是具体题型也有好处,如阅读理解,如果你一篇文章中有几十个词都不认识,那么你很难读下去了,因此,一个行之有效的方法是每次大量地背,迅速地背。
(3)全面地背。
背单词时,尤其是第一遍时,不能投机取巧,一定要对单词的音形义进行全面地掌握。
对于重要的单词,不仅要掌握其基本词义,还要能够拼写,知道它的语法特点、习惯搭配以及语体色彩等。
(4)有重点地背1)重点学习和记忆核心词任何时候学习单词都应该有区分、有重点地学习。
而且考研大纲对于不同的考研词汇往往有不同的要求,比如有的词只要知其义,有的词则要求掌握其搭配和用法。
一般来说,考研单词分为以下四类:【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站:9第一类为为熟词,指我们已经掌握的词,如age、ant、bee、car、dog、die、job、man、rest 等等。
对于这类词,我们只需蒙往中文意思,快速浏览过去,看是不是完全掌握了,掌握了的单词用途线划去,不太熟悉的词做上记号。
第二类为熟词新义,指那些我们以前学习过的熟词,这类词的某些意思我们已经掌握,但在考研词汇大纲中,它们又有了一些新的意义,如book“预定”:change“找头”,second“赞成,附和”,school“学派”等等。
对于这些新的意义,我们一琮要高度重视,因为这些是命题人最偏爱的考点。
第三类词是生词,这指我们以前没有学过,或者我们比较陌生的词,它们的特点是意义比较偏,使用频率不是很高,有些单词的拼写还比较复杂,但是它们的用法比较固定,本身没有带短语,也不和其他词构成习惯搭配。
如anaiversary、earthenware、homogeneous、microcomputer 等等。
对于这类词,能够识记即可,也就是说当文章中出现这类单词时,我们能够知道其意思。
第四类词是核心词,这是复习备考中最重要的词。
这类词本身意思多。
附带的短语多,搭配活跃,在各种场合出现的频率高,并且有许多同义词和近义词。
如apply、adhere、confine、considerable、continuos 等等。
对于这类词,大家要全面掌握。
2)抓好动词、介词以及各种短语和搭配我们知道,在英语中句子的核心是动词,同时动词在句子中的搭配最为灵活,比如,它可以与许多介词搭配构成各种各样的动词短语,而且这些短语大都是固定的。
因此抓住动词、介词以及各种短语和搭配就变得相当关键了,这对于听力、英语知识运用、阅读理解、英译汉和短文写作都至关重要。
【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站:103)按照考试对词汇的要求有区别地记忆学习英语单词,还可以将单词根据不同题型的要求分类进行重点记忆。
如,我们可以将一些单词归类为考研听力核心词汇,指那些在听力题中经常出现的单词。
如:college、first、interview、bell、direction、culture、hotel、pollution、rare 等等。