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等差数列前项n 和公式的推导
问题：设等差数列 an 的首项为 a1 ，公差为 d ，
Sn a1 a2 a3 an ?
思路一：因为有等式
a1 an a2 an1 a3 an2
但是，到底有多少组这样的组合呢？ n 似乎与 的奇偶有关，这个思路似乎进行不下去！！！
这就是倒序相加法
思路三：受思路二的启发，可得
2Sn n[a1 a1 (n 1)d ]
n( n 1) 于是 S n na1 d 2
于是得到了两个公式：
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) S n na1 d 2
应用举例：
１、如图，一个堆放铅笔的V形架的最下 面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下 面一层多放一支，最上面一层放120支。这 个V形架上共放着多少支铅笔？ 解 a1 =1，a120 120, 根据等差数列
等差数列的前 n 项和
授课人：秦利芬 2010年5月20日
知识回顾:
(1)什么叫等差数列? 一般地，如果一个数列从第2项起,每一项 与它前一项的差等于一个常数,那么这个数列 就叫做等差数列。
(2)等差数列的通项公式是怎样的?
an a1 (n 1)d
（3）等差数列的性质：若 m n p q , 则
第2项与倒数第2项的和：2+99=101,
第3项与倒数第3项的和：3+98=101, · · · · · · 第50项与倒数第50项的和：50+51=101. 于是所求的和为： （ 1 100）
பைடு நூலகம்
100 5050 2
观察
(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；
(2)任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项 的和。
前n项和的公式：
n(a1 an ) sn 2 120 (1 120 ) s120 7260 2
答：V形架上共放着7260支铅笔。
小结
1.公式的推导方法:倒序求和。 2.等差数列的前n项和。
n( a 1 a n ) Sn 2
S n na1 n( n 1) d 2
2 S n ( a 1 a n ) ( a 2 a n 1 ) ( a 3 a n 2 ) ( a n 2 a 3 ) ( a n 1 a 2 ) ( a n a 1 ) 2 S n n (a1 a n )
n(a1 an ) 于是有： Sn 2
3.公式的应用。
am an a p aq
m , n , p , q
问题：
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放 1支铅笔， 往上每一层都比它下面一层多放一 支，最上面一层放120支.这个V形架上共放着多 少支铅笔？
引例：1+2+3+· · ·+99+100=?
高斯的算法： 首项与末项的和：1+100=101,
n
思路二：因为有
a1 an a2 an1 a3 an2
为了回避 n 的奇偶数问题，将Sn做一改写:
Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
Sn an an1 an2 a3 a2 a1
两式左右分别相加，得