宁夏高三元月调考数学试卷(理科)
宁夏银川一中2020届高三上学期第一次月考数学(理)试卷
银川一中2020届高三年级第一次月考理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集}056|{2≤+-∈=x x N x U ，A={2,3,4}，}2,1{=B C U ,B A =A ．{2,3}B ．{1,2}C ．{4}D ．{3,4}2．已知3tan -=α,α是第二象限角，则)2sin(απ+=A ．1010-B ．10103-C ．510D ．5523．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若x 2=4，则x=2”的否命题为：“若x 2=4，则2≠x ”．B ．“1x =-”是“x 2-x-2=0”的必要不充分条件．C ．命题“∃,R x ∈使得0123≤+-x x ”的否定是：“对∀,R x ∈均有0123≤+-x x ”．D ．命题“若x y =，则y x cos cos =”的逆否命题为真命题．4．已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A ．（-∞，-2）B ．（2，+∞）C ．（1，+∞）D ．（-∞，-1）5．下列函数中，在(-1,1)内有零点且单调递增的是A.xy 31log = B.13-=x y . C.212y x =- D.3y x =-6．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于y 轴对称，则函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为A ．B ．12-C ．12D7．已知⎩⎨⎧≥〈+-=1,log 1,4)23()(x x x a x a x f a ,对任意),(,21+∞-∞∈x x ,都有0)()(2121〈--x x x f x f ，那么实数a 的取值范围是A ．（0，1）B ．)32,0(C ．17⎡⎢⎣,)31D ．)32,72[8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +3)=f (x -1).若当]0,2[-∈x 时,13)(+=-x x f ,f (2019)=A ．6B ．4C ．2D ．19．函数y ＝||xxa x (a>1)的图象的大致形状是10．若53cos -=α，α是第二象限的角，则2tan 42tan32αα-+的值为A ．43-B ．2C ．4D ．-411．已知f （x ）=3x +ln，且f （3a ﹣2）+f （a ﹣1）＜0，则实数a 的取值范围是A ．)43,31(B ．41,(-∞C ．43,(-∞D ．]1,31(12．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x 满足对()[]20,,()log 3x f f x x ∀∈+∞-=,则方程2)()(='-x f x f 的解所在区间是A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B.⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C.()2,1 D.()3,2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数)45(log 221x x y -+=的单调递增区间是_____________________.14．⎰=-232)1(sin ππdx x .15．函数))(cos(πϕπϕ≤≤-+=x y 的图象向左平移3π个单位后，与函数)6sin(π+=x y 的图象重合，则ϕ=_________.16．若直线y kx b =+是曲线3ln +=x y 的切线，也是曲线)2ln(+=x y 的切线，则b =．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
宁夏固原市第一中学高三数学第一次综合考试试题 理
宁夏固原一中第一次模拟考试理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R ，集合{}lg(1)A x y x ==-，集合{}B yy ==，则A∩(C U B)= A ．[1,2]B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(1,2)2．已知直线m 、n 和平面α，则m ∥n 的必要非充分条件是 A ．m 、n 与α成等角 B. m ⊥α且n ⊥α C. m ∥α且n α⊂ D ．m ∥α且n ∥α 3．若等比数列}{n a 的前n 项和32n n S a =⋅-，则2a = A ．4B ．12C ．24D ．364．已知复数i bi a i 42))(1(+=++),(R b a ∈，函数()2sin()6f x ax b π=++图象的一个对称中心是 A. （1,6π-） B. （,018π-） C.（,36π-）5．如图给出的是计算11124100++⋅⋅⋅+判断框内（1）处和执行框中的（2理科数学试卷 第1页(共6页)A. i ＞100,n=n+1B. i ＞100,n=n+2C. i ＞50,n=n+2D. i≤50,n=n+26．设()0cos sin a x x dx π=-⎰，则二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的3x 项的系数为A. 160-B. 20C. 20-D. 1607．给出下列四个结论：（1）如图Rt ABC ∆中， 2,90,30.AC B C =∠=︒∠=︒D 是斜边AC 上的点，|CD|=|CB|. 以B 为起点 任作一条射线BE 交AC 于E 点，则E 点落在 线段CD （2）设某大学的女生体重y (kg)与身高x (cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的线性回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ；（3）为调查中学生近视情况,测得某校男生150名中有80名近视,在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时,应该用独立性检验最有说服力;（4）已知随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.79,N P σξ≤=则()20.21;P ξ≤-=其中正确结论的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 48．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯 视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正 方形.则这个四面体的外接球的表面积是 A.πB. 3πC. 4πD. 6π 9．已知y x z +=2，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 A.112 B. 41C. 4D. 21110．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：(第8题图)AB CDE数列{}n x 满足： 11x =，且对于任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图像上，则201420134321x x x x x x ++++++ 的值为 A. 7549B. 7545C. 7539D. 755311．已知F 2、F 1是双曲线22221y x a b-=(a>0，b>0)的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为 A ．3 B ． 3 C ．2 D ． 2 12．已知函数f (x )=1a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭-2lnx (a ∈R )，g (x )=a x -，若至少存在一个x 0∈[1，e ]，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的范围为A ．[1，+∞) B．(1，+∞) C．[0，+∞) D．(0，+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．等差数列{}n a 中，48126a a a ++=，则91113a a -= . 14．若(0,)απ∈，且3cos 2sin()4παα=-，则sin 2α的值为 .15．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 . 16．在直角坐标平面xoy 中，F 是抛物线C: 22x py =（p>0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M,F,O 三点的圆的圆心为Q,点Q 到抛物线C 的准线的距离为34，则抛物线C 的方程为__________________． 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量2(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)2B m B n B =-=-2(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)2Bm B n B =-=-且//m n （1）求锐角B 的大小；（2）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值．18．（本小题满分12分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面， DC ∥EB ，DC EB =，4=AB ，41tan =∠EAB ． ⑴证明：平面⊥ADE 平面ACD ； ⑵当三棱锥ADE C -体积最大时， 求二面角D AE B --的余弦值．19．(本题满分12分)某权威机构发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20．(本小题满分12分)己知A 、B 、C 是椭圆m ：22221x y a b+=（0a b >>）上的三点，其中点A 的坐标为，BC 过椭圆的中心，且0AC BC ⋅=，||2||BC AC =。
宁夏2021届高三第一次模拟考试数学【理】试卷及答案
2015年高三练习题 （理科）数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A=2|20x xx ，B=|sin ,y y x x R ，则（ ）（A ）A B （B ）B A （C ）1,2A B（D ）A B2.若121ai i bi ，其中,a b R ，则||a bi （ ）（A ）12i （B 5 （C ）52（D ）54 3.设n a 是首项为1a ，公差为 -1的等差数列，n S 是其前n 项的和，若124,,S S S 成等比数列， 则1a =（ ） （A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ） - 124. 若实数x ，y 满足10,0,310,xy xy yx 则2zx y 的最大值是（ ）（A ）3 （B ）32 （C ）34（Ｄ）325.阅读下列算法： （1）输入x.（2）判断x>2是否成立，若是，y=x; 否则，y=-2x+6. （3）输出y. 当输入的0,7x时，输出的y 的取值范围是（ ）（A ）2,7 （B ）2,6 （C ）6,7 （D ） 0,7 6. 将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是（ ） （A ）1 （B ）34 （C ）23（D ） 18213侧视图俯视图正视图7.下列命题正确的个数是（ ） ①命题“2000,13x R x x ”的否定是“2,13xR x x ”； ②“函数22cos sin f x ax ax 的最小正周期为”是“1a ”的必要不充分条件； ③“221,2x x ax x在上恒成立”“2maxmin2xxax在1,2x 上恒成立”； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ab <0”.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ） 48.把一个三棱锥适当调整位置，可以使它的三视图（正视图， 侧视图，俯视图）都是矩形，形状及尺寸如图所示，则这个 三棱锥的体积是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ） 69.若函数2sin 0f x x 在0,2上恰有两个极大值和一个极小值，则的取值范围是（ ） （A ）57,44 （B ）34,45 （C ）51,4 （D ）35,4410.设F 是抛物线C ：212y x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，若0FA FB FC ，则FAFB FC =（ ）（A ）3 （B ）9 （C ）12 （D ） 18 11.已知定义在R 上的函数f x 满足 1.5f x f x ，当0,3x 时，210.5f x x ，记集合A=|3 5.5n n yf x x y m m R 是函数的图像与直线的交点个数，则集合A 的子集个数为（ ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）6412.已知椭圆1C ：222210x y a b a b 的左右焦点分别为',F F ，双曲线2C ：222221x y a b b 与椭圆1C 在第一象限的一个交点为P ，有以下四个结论： ①'0PF PF ，且三角形'PFF 的面积小于2b ；②当2a b 时，''2PF F PFF ；③分别以'PF FF ，为直径作圆，这两个圆相内切；④曲线1C 与2C 的离心率互为倒数.其中正确的有（ ）（A ）4个. （B ）3个. （C ）2个. （D ）1个.第Ⅱ卷 （共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上． 13.已知向量a,b 的夹角为0120，若|a|=3，|b|=4，|a+b|=|a|，则实数的值为 ________. 14. 已知相关变量x,y 之间的一组数据如下表所示，回归直线y bx a 所 表示的直线经过的定点为(1.5,5),则mn=_____________.15.已知函数ln 213f xx ，若方程'3f x f x a有解，则实数a 的取值范围是_____________________. 16.已知数列n a 的首项11a ，前n 项和为n S ，且*1212n nS S n nN 且，数列n b 是等差数列，且114123,b a b a a a ，设11nn n c b b ，数列n c 的前n 项和为n T ，则10T =_________________.三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程写在指定位置） 17．（本小题满分12分） 已知函数f (x )＝sin 26x＋2cos 2x －1（Ⅰ）求函数f (x )的单调递增区间，并说明把)(x f 图像经过怎样的变换得到()sin 2g x x 的图像。
宁夏高三模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析
宁夏高三模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{1,2,3,4,5},{1,3,5},{1,4,5}U A B ===，则()A B =U（ ）A ．∅B ．{2}C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}2．如果复数()()22356i m m m m -+-+是纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或3D ．2或33．命题p ：若x y >，则tan tan x y >；命题：222x y xy +≥下列命题为假命题的是A ．p q ∧ B ．qC ．p q ∨D ．p ⌝4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若954S =，11121327a a a ++=则16S =（ ） A ．120B ．60C ．160D ．805．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是①已知0ab ≠，由2ab b a +≥，求得a b b a +的最小值为2②由2y =≥，求得2y =的最小值为2③已知1x >，由21y x x =+≥-21x x =-即2x =时等号成立，把2x =代入y 的最小值为4. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．以下哪个函数在定义域内既是奇函数，又是增函数（ ） A ．y x x =B ．1y x=-C ．3log y x =D ．3x y =7．2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取4个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（ ） A ．4704种B ．2800种C ．2688种D ．3868种8．用数学归纳法证明“223122221n n ++++++=-”，验证n =1时，则左边计算所得式子为 A ．1 B ．1+2C ．2122++D ．231222+++9．第24届冬奥会于2022年2月4日在国家体育场鸟巢举行了盛大开幕式．在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（每组数据以区间的中点值为代表）（ ）A ．直方图中b 的值为0.025B ．候选者面试成绩的中位数约为69.4C ．在被抽取的学生中，成绩在区间[)65,75之间的学生有30人D ．估计候选者的面试成绩的平均数约为69.5分10．设函数()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，则()()24log 5f f -+=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．811．已知函数()sin (,06f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭）的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移φ(φ0)>个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 A ．23πB ．3π C ．4π D ．8π12．已知实数x ，y 满足13y yx x -=6y --的取值范围是（ ）A ．)6⎡⎣ B ．)6⎡⎣C ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、填空题13．若单位向量1e ，2e 的夹角为120°，则21e e -=______．14．已知a ，b 表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若α∩γ=a ，β∩γ=b ，且a //b ，则α//β；②若a ，b 相交且都在α，β外，a //α，b //β，则α//β； ③若a //α，a //β，则α//β； ④若a ⊂α，a //β，α∩β=b ，则a //b . 其中正确命题的序号是________.15．设m ∈R ，圆22:260M x y x y +--=，若动直线1:20l x my m +--=与圆M 交于点A 、C ，动直线2210:mx y l m --+=与圆M 交于点B 、D ，则AC BD +的最大值是________．三、双空题 16．已知成等比数列，且1234123a a a a e a a a +++=++.若11a >，则1a ___________3a （填“>”或“<”）；2a ___________4a （填“>”或“<”）四、解答题17．在ABC 中，延长BA 到C ，使AC BA =，在OB 上取点D ，使13DB OB =(1)设OA a =，OB b =用a ，b 表示向量OC 及向量DC .(2)若π4OCB ∠=，2OC =和OB =OCB 的面积.18．在正方体1111ABCD A B C D －中，M N P ，，分别是1,AD BD 和1B C 的中点．(1)求异面直线MN 和AB 所成角的大小； (2)求证：平面//MNP 平面11CC D D .19．已知焦点在x 轴上的双曲线Γ经过点(,M N -.（1）求双曲线Γ的离心率e ；（2）若直线:1l y x =-与双曲线Γ交于,A B 两点，求弦长AB . 20．某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏． （1）当进行完3轮游戏时，则总分为X ，求X 的期望；（2）若累计得分为i 的概率为i p ，（初始得分为0分，01p =）． ①证明数列{}1i i p p --，（i ＝1，2，…，19）是等比数列； ②求活动参与者得到纪念品的概率． 21．已知函数211()ln 2f x x x x a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，(0)a ≠. （1）当12a =时，则求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）令2()()F x af x x =-，若()12F x ax <-在()1,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值.（参考数据：4ln 33<，5ln 44<）. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫< ⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，则求AOB 面积的最大值.23．已知函数()f x x =（1）求不等式()()1212f x f x x -+-≤的解集；（2）若0a >，0b >和0c >，且1491a b c++=，证明：()()36f x a f x b c ++--≥.参考答案与解析1．B【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】{}1,3,4,5A B =,所以(){2}A B =U故选：B 2．A【分析】由纯虚数的概念求得m 值，注意虚部不能为0． 【详解】根据纯虚数的概念可知: 230m m -=且2560m m -+≠解230m m -=，得0m =或3m =； 当0m =时，则2566m m -+=符合题意 当3m =时，则2560m m -+=（舍） 所以0m =. 故选：A. 3．A【分析】先判断命题p ，q 的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案． 【详解】若x 为钝角，y 为锐角，则x ＞y ，tanx ＜tany 故命题p ：若x ＞y ，则tanx ＞tany ，为假命题；（x ﹣y ）2≥0恒成立，故命题q ：x 2+y 2≥2xy 为真命题；故命题p ∨q ，￢p 均为真命题p ∧q 为假命题 故选A ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，正切函数，不等式的证明等知识点，难度基础． 4．A【分析】首先根据等差数列通项公式和前n 项和公式将题干条件中的等式转化成基本量1a 和d ，然后联立方程组解出1a 和d ，最后根据公式求解16S 即可. 【详解】{}n a 为等差数列，911989936542Sa d a d ⨯∴=+=+= 111213111110111233327a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=119+36=543+33=27a d a d ⎧⎨⎩，解得130=73=7a d ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩. 16116153031616120120277S a d ⨯=+=⨯+⨯=. 故选：A. 5．A【解析】根据基本不等式求最值得条件：一正、二定、三相等逐一判断即可. 【详解】对于①，当a 与b同号时，则2ab ba+≥； 当a 与b异号时，则2a b a b b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故①不正确.对于②，2y =≥，即23x =-，等号成立的条件不存在，故②不正确.对于③，211111y x x =-++≥=-当且仅当1x取等号，由于21y x x =+≥- 故选：A【点睛】本题考查了基本不等式使用的条件：一正、二定、三相等，属于基础题. 6．A【分析】探讨函数的奇偶性首先研究函数的定义域是否关于原点对称，由此排出C ，根据图象排除B 、D ，即可得到答案.【详解】对于A ，()()f x x x f x -=-=-，所以y x x =为奇函数.又当0x >时，则2yx ，函数单调递增；当0x <，2y x =-，也单调递增；且2y x 与2y x =-在0x =处都为0.所以y x x =在定义域内为增函数，所以A 对.对于B ，1y x=-在其定义域上不是单调函数，所以B 错.对于C ，函数3log y x =的定义域()0,∞+不关于原点对称，所以C 错. 对于D ，3x y =图象既不关于原点对称也不关于y 轴对称，所以D 错. 故选：A. 7．A【分析】将所有情况分成三种，利用排列组合的知识分别计算每种情况的情况种数，由分类加法计数原理计算可得结果.【详解】①同时选中哪吒和赤兔，则只需从剩余的8个初选名字中选出2个，再进行排列即可，有223823336C A A =种情况；②哪吒和赤兔有一个入选，则需从剩余的8个初选名字中选出3个，再进行排列，有1342842688C C A =种情况；③哪吒和赤兔都不选，则需从剩余的8个初选名字中选出4个，再进行排列，有481680A =种情况；∴不同的分析情况共有336268816804704++=种．故选：A.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列组合的应用，常见的排列组合问题求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）平均分组问题先选好人后，平均分了n 组，则除以nn A ；（5）定序问题采取“缩倍法”. 8．D【详解】当1n =时,左边计算的式子为231222+++，故选D. 9．C【分析】利用频率之和为1求得b ，由此判断A 选项的正确性，根据中位数、平均数的求法判断BD 选项的正确性，通过计算成绩在区间[)65,75之间的频数来判断C 选项的正确性.【详解】对于A ，∵()0.0050.0450.020.005101b ++++⨯=，∴0.025b =，故A 正确；对于B ，设候选者面试成绩的中位数为x ，则()()0.0050.02510650.0450.5x +⨯+-⨯=，解得69.4x ≈，故B 正确；对于C ，成绩在区间[)65,75的频率为0.045100.45⨯=，故人数有800.4536⨯=，故C 错误； 对于D ，500.00510600.02510700.04510800.0210900.0051069.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=故D 正确． 故选：C 10．D【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.【详解】因23252<<，则22log 53<<，而()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩ 所以()()2log 5224log 5log (44)2358f f -+=++=+=.故选：D 11．B【分析】首先求得ω的值，然后结合三角函数的性质和图象确定ϕ的值即可. 【详解】由函数的最小正周期公式可得：222T ππωπ=== 则函数的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度或所得的函数解析式为：()()sin 2sin 2266g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭函数图象关于y 轴对称，则函数()g x 为偶函数，即当0x =时： ()222662x k k Z πππϕϕπ-+=-+=+∈则()26k k Z ππϕ=--∈， ① 令1k =-可得：3πϕ=其余选项明显不适合①式. 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．B【分析】实数x ，y 满足13y yx x -=，通过讨论x ，y 得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，6y --60y --=距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案. 【详解】因为实数x ，y 满足13y yx x -= 所以当0,0x y ≥≥时，则2213y x -=，其图象是位于第一象限，焦点在x 轴上的双曲线的一部分（含点()1,0） 当0,0x y ><时，则22+13y x =其图象是位于第四象限，焦点在y 轴上的椭圆的一部分当0,0x y <>时，则2213y x --=其图象不存在 当0,0x y <<时，则2213y x -=其图象是位于第三象限，焦点在y 轴上的双曲线的一部分作出椭圆和双曲线的图象，其中13y yx x -=图象如下：任意一点(,)x y 60y --=的距离d =62y d --=6y --60y --=距离范围的2倍双曲线2213y x -=，2213y x -=0y -=60y --=平行通过图形可得当曲线上一点位于P 时，则2d 取得最小值，无最大值，2d 0y -=与60y --=之间的距离3的2倍0(0)y c c -+=<与2213y x +=其图像在第一象限相切于点P由2222063013y c x c y x -+=⇒++-=⎨+=⎪⎩因为()()224630x c c ∆=-⨯⨯-=⇒=c0y -60y --=62=6y d --=6y --的取值范围是)6⎡⎣． 故选：B ．【点睛】三种距离公式： （1）两点间的距离公式：平面上任意两点111222(,),(,),P x y P x y间的距离公式为12||PP =（2）点到直线的距离公式：点111(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =（3）两平行直线间的距离公式：两条平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间的距离d =13【解析】通过平方结合数量积公式即可求解.【详解】222122121211211cos1203e e e e e e ︒-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=，故123e e -=． 14．④【分析】根据线线、线面、面面之间的位置关系即可得出结果. 【详解】解析：①错误，α与β也可能相交； ②错误，α与β也可能相交； ③错误，α与β也可能相交； ④正确，由线面平行的性质定理可知.故答案为：④15．【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d ，根据几何关系表示出AC BD +，利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】2222260(1)(3)10x y x y x y +--=⇒-+-=圆心M (1，3)，半径r()120210x my m x m y l +--=⇒-+-=⇒过定点E (2,1)()2210210mx y m m x y l --+=⇒--+=⇒过定点E (2,1) 且1l ⊥2l如图，设AC 和BD 中点分别为F 、G ，则四边形EFMG 为矩形设MF d =，0d ME ≤≤MG ==则AC BD +＝2=(2210-22105d d -=+即d =时取等号.故答案为：16． > <【分析】根据式子的结构构造函数()()ln 1f x x x =--，判断出41231231a a a a a a a ++++≤+-，得到41a -≤，求出0q <.对q 进行分类讨论：1q <-和1q =-不合题意矛盾，得到10q -<<，即可比较大小.【详解】因为1234123a a a a e a a a +++=++，所以()1234123ln a a a a a a a +++=++.记()()ln 1f x x x =--，则()11f x x '=-. 令()0f x '<，得：01x <<；令0fx，得：1x >；函数()f x 在()0,1上单增，在()1,+∞上单减所以对任意0x >，都有()()10f x f ≤=，即ln 1≤-x x 恒成立 所以()123123ln 1a a a a a a ++≤++-，即41231231a a a a a a a ++++≤+-所以41a -≤，所以311a q ≤-.因为11a >，所以0q <.当1q =-时，则则124341230,e 1a a a aa a a a ++++++==，12131a a a a +=+>与题意矛盾，故舍去；当1q <-时,则()()()2321231141101a a a a a q q a q q q ++=++=+++<+即2413e 1a a a a +++<.又()()2321110a a a q a q q +=+=+>,所以1231a a a ++>,与题意矛盾,故舍去；所以10q -<<,从而2311a a q a =<,即13a a >；()242110a a a q q -=-> ,故42a a >，即24a a <. 故答案为：>,<【点睛】数列中比较大小的方法：（1）根据通项公式，利用函数的单调性比较大小； （2）利用作差法（作商法）比较. 17．(1)2OC a b =- 523DC a b =-(2)1OCB S =△【分析】（1）根据向量的线性运算，利用基底表示向量即可； （2）由正弦定理求出B ，再由三角形的面积公式求解. 【详解】（1）∵A 是BC 的中点，则2OC OB BC OB BA =+=+ ()222OB OA OB OA OB a b =+-=-=-故2OC a b =- 22522333DC OC OD OCOB a b b a b （2）由正弦定理可得πsin sin 4OB OCB =，解得1sin 2B = 由OC OB <可知，π4B <，故π6B =所以ππππsin sin[π()]sin()4646BOC ∠=-+=+=所以n 1221si 12OCB B S OC C OB O ∠==⨯⋅⋅⋅=△.18．(1)45︒ (2)证明见解析.【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量的夹角公式，结合异面直线所成角与向量夹角的关系即可求解；（2）根据（1）的坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面MNP 、平面11CC D D 的法向量，结合两平面的法向量平行即可求解. （1）由题意可知，不妨设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示所以()()()()1,0,1,1,1,0,2,0,0,2,2,0M N A B ()()0,1,1,0,2,0MN AB =-= 则cos ,0MN AB MN AB MN AB⋅<>====设异面直线MN 和AB 所成角为θ，则 cos cos ,MN AB θ=<>=所以异面直线MN 和AB 所成角为45︒.（2）由（1）知()()()()()1,0,1,1,1,0,1,2,1,0,0,0,2,0,0M N P D A()2,0,0DA =，()0,2,0MP =和()0,1,1MN =-由题意可知，DA ⊥平面11CC D D ,所以平面11CC D D 的法向量为()1,0,0n =. 设平面MNP 的法向量为(),,m x y z =，则m MP m MN ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=，即200y y z =-=⎧⎨⎩，令1x =，则0y =，0z =所以()1,0,0m = 由n m =，得平面//MNP 平面11CC D D . 19．（1）e =（2）8. 【解析】（1）设双曲线方程，用待定系数法可求；（2）联立双曲线Γ和直线l 的方程，表示出两根之和，两根之积，利用弦长公式可求.【详解】解：（1）设双曲线Γ的方程为22221x ya b -=，则((2222222211a b a b ⎧⎪-=⎪⎨⎪-⎪-=⎩ 2223b a ⎧=⎨=⎩ 所以2225c a b =+=c e a =（2）由（1）得双曲线Γ的方程为22132x y -=，设()()1122,,,A x y B x y221321x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，290x +-=和12129x x x x +=-⋅=-8AB =弦长AB 为8.【点睛】考查双曲线离心率的求法以及弦长的求法，中档题.20．（1）5；（2）①证明见解析；②1922153⎡⎤⎛⎫⨯+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为13，获得2分的概率为23，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，则得1分的次数为Y ，所以13,3YB ⎛⎫⎪⎝⎭，6X Y =-即可求出X 的期望； （2）①根据累计得分为i 的概率为i p ，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式2121(2,3,,19)33i i i P P P i --=+=⋯，再根据构造法即可证出数列{}1i i p p --是等比数列； ②根据①可求出12()3ii i p p --=-，再根据累加法即可求出(2,3,,19)i p i =⋯，然后由20182P 3P =从而解出．【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为13，获得2分的概率为23，设进行完3轮游戏时，则得1分的次数为Y ，所以13,3YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()3312,0,1,2,333k kk P Y k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而()236X Y Y Y =+-=-，即随机变量X 可能取值为3，4，5，6∴X 的分布列为：E （X ）＝12483456279927⨯+⨯+⨯+⨯＝5． （2）①证明：n ＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点113P =，则1023P P -=-，累计得分为i 分的情况有两种：（Ⅰ）i ＝（i ﹣2）＋2，即累计得i ﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为223i P -（Ⅱ）累计得分为i ﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为113i P -＝1，2，…，19）是首项为﹣23，公比为﹣23的等比数列．②∵数列{}1i i p p --，（i ＝1，2，…，19）是首项为﹣23，公比为﹣23的等比数列∴12()3ii i p p --=-∴活动参与者得到纪念品的概率为：1919201822222P 1135353P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=⨯+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．【点睛】本题第一问解题关键是明确得1分的次数为Y 服从二项分布，从而找到所求变量X 与Y 的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到i 分的情况，进而得到212133i i i P P P --=+，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出(2,3,,19)i p i =⋯，分析可知20182P 3P =，从而解出．21．（1）30x y --=； （2）3. 【分析】（1）（1）当12a =时，则得到2()2ln 4f x x x x =+-，求得1()44f x x x'=+-，得出(1)1f '=，且(1)2f =-，结合直线的点斜式方程，即可求解. （2）把()12F x ax <-在()1,+∞转化为1ln x a x+<在()1,x ∈+∞恒成立，令1()ln x h x x +=，利用导数求得函数的额单调性，零点的存在定理得到()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，从而求得min 0()a h x x <=，即可求得整数a 的最大值. 【详解】（1）（1）当12a =时，则可得2()2ln 4f x x x x =+-，则1()44f x x x'=+- 可得(1)1f '=，且(1)2ln142f =+-=- 即函数()f x 在点1,2处的切线的斜率1k = 所以切线方程为(2)1y x --=-，即30x y --= 函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程30x y --=. （2）由2()()ln (21)F x af x x a x a x =-=-+因为()12F x ax <-在()1,+∞恒成立，即ln (21)12a x a x ax -+<-在()1,+∞恒成立即1ln x a x+<在()1,x ∈+∞恒成立 令1(),1ln x h x x x+=>，可得21ln 1()ln x x h x x--'= 令1()ln 1(1)t x x x x=-->，可得()t x 在()1,+∞上单调递增，且(3)0,(4)0t t <> 所以存在0(3,4)x ∈，使得001()ln 10t x x x =--= 从而()h x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增所以00min 000011()()(3,4)1ln 1x x h x h x x x x ++====∈+ 因为1ln x a x+<在()1,+∞恒成立，所以min 0()a h x x <= 所以整数a 的最大值为3.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，则一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大. 22．(Ⅰ) 2sin ρθ= (Ⅱ34【分析】(Ⅰ)法一：将1C 化为直角坐标方程，根据对称关系用2C 上的点表示出1C 上点的坐标，代入1C 方程得到2C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将y x =化为极坐标方程，根据对称关系将1C 上的点用2C 上的点坐标表示出来，代入1C 极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l 和2l 的极坐标方程与12,C C 的极坐标方程经,A B 坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-= 设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y所以00x y y x=⎧⎨=⎩又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ= 法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ= ()R ρ∈设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ=()R ρ∈的对称点为()00,ρθ所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=(Ⅱ)直线1l 的极坐标方程为：θα=直线2l 的极坐标方程为：3πθα=+设()11,A ρθ (),B ρθ22所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1211sin sin sin 2332AOB S ππρρααααα∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅+=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 因为02πα≤<，所以42333πππα≤+<当232ππα+=即12πα=时，则sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S ∆34【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.23．（1）225x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）先分段讨论去绝对值，解不等式，再求并集即可；（2）先利用绝对值不等式求得()()f x a f x b c a b c ++--≥++，再妙用“1”进行代换()149149a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得14936a b c++≥即可. 【详解】解：（1）()()121121f x f x x x -+-=-+-当1x >时，则121121322x x x x x x -+-=-+-=-≤，则2x ≤，所以12x <≤当112x ≤≤时，则1211212x x x x x x -+-=-+-=≤，则0x ≥，所以112x ≤≤ 当12x <时，则121112232x x x x x x -+-=-+-=-≤，则25x ≥，所以2152x ≤< 综上：不等式()()1212f x f x x -+-≤的解集为225x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）由绝对值不等式的性质可得()()()()f x a f x b c x a x b c x a x b c a b c ++--=++--≥+---=++因为0a >，0b >和0c >，且1491a b c ++=，所以()149a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭44991491436b c a c a b a a b b c c =++++++++≥+= 当且仅当2b a =，3c a =时，则等号成立. 故()()36f x a f x b c ++--≥.。
宁夏银川一中2022届高三上学期第二次月考数学(理)试卷及答案
根据题意，结合定积分的性质和牛顿-莱布尼茨公式，直接求解即可.
解：
由题意得，
.
故选：B.
10．B
由已知分类讨论，求得使 成立的 的取值范围，再利用几何概型概率计算公式，求得所求概率.
解：
当 时， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ，
当 时， ， .
符合条件的 ，
所以 的概率为 .
故选：B.
点评:
（2）若集合 中的元素有且仅有2个，求实数 的取值范围．
18．设函数
（1）当 时，求曲线 的极值；
（2）若函数 在区间 内单调递减，求 的取值范围.
19．核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 ．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：
本小题主要考查取整函数的概念及运用，考查几何概型的计算，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
11．B
推导出 可判断A选项的正误；推导出 可判断B选项的正误；分析得出 可判断C选项的正误；推导出 可判断D选项的正误.
解：
对于A选项，因为 ，且 ，
则 ，即 ，A错；
对于B选项，因为 ，则 ，
因为 ，则 ，
解：
∵当 时， ，
∴当 时， ，
综上， ，
宁夏银川一中高三上学期第三次月考数学(理科)试卷有答案
()R A B ð=（D ．(2,2)-是虚数单位，则|a +3D 所在平面内一点，3BC CD =，则（．1433AD AB AC =-+ ．1433AD AB AC =-．4133AD AB AC =+ ．4133AD AB AC =-．函数πsin(2)y x =-在区间的简图是（ ）A ．B ．C ．D ．．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ==，则对任意的正实数1ta b c ++，的最小值是D ．4122)(2)x x -的取值范围是（(9,21) 分．x v x()（1）求曲线C 的极坐标方程（2）若直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【选修4—5：不等式选讲】23．已知函数|(|)f x x a =-，不等式()3f x ≤的解集为[]1,5-．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．S=ABC∴3135a a -=-⎧⎨+=⎩，解得：2a =； （Ⅱ）∵|(()(5)2||3||3)|2)(5f x f x x x x x ++=-++≥---=．又()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，∴5m ≤．宁夏银川一中高三上学期第三次月考数学（理科）试卷解析1．【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行运算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣4＜0}={x|﹣2＜x＜2}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁R B={x|x≤﹣1或x＞5}，∴A∩（∁R B）={x|﹣2＜x≤﹣1}=（﹣2，﹣1]．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵，∴由，得﹣a﹣2i=1+bi，∴，则a=﹣1，b=﹣2．∴|a+bi|=|﹣2﹣i|=．3．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，4．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；5．【分析】根据函数解析式可得当x=﹣时，y=sin[（2×﹣]＞0，故排除A，D；当x=时，y=sin0=0，故排除C，从而得解．【解答】解：当x=﹣时，y=sin[（2×﹣]=﹣sin（）=sin=＞0，故排除A，D；当x=时，y=sin（2×﹣）=sin0=0，故排除C；6．【分析】先利用正弦定理化简得c=2b，再由可得a2=7b2 ，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由及正弦定理可得c=2b，再由可得a2=7b2 ．再由余弦定理可得cosA===，故A=30°，7．【分析】由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a ＞0.【解答】解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0.8．【分析】直接利用奇函数的性质求出列出方程，然后求解即可．【解答】解：f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+2﹣x，f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）3+22=﹣4．即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣4．9．【分析】依题意，可求得{a n}是以3为周期的数列，且S3=2+﹣1=，从而可求得S2017的值．【解答】解：∵a1=2，a n+1=1﹣，∴a2=1﹣=；∴a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2，…，∴数列{a n}是以3为周期的数列，又S3=2+﹣1=，2017=3×672+1，∴S2017=672×+2=1010．10．【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f'（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数令g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，因为f（x）＞f'（x），所以g′（x）＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，所以g（﹣2016）＞g（0）＞g＜=e2016f（﹣2016），e2016f（0）＞f已知，是两个互相垂直的单位向量，且•=•=1，则对任意的正实数t，|+t+|的最小值是（）11．【分析】利用=0，，．建立如图所示的直角坐标系，取，．设，可得（x，y）•（1，0）=（x，y）•（0，1）=1．即可得到．再利用数量积的性质、基本不等式即可得出．【解答】解：∵=0，，．建立如图所示的直角坐标系，取，．设，∴（x，y）•（1，0）=（x，y）•（0，1）=1．∴x=y=1．∴．∴．∵t＞0.∴===，当且仅当t=1时取等号．12．【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范围．【解答】解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范围是（0，12）．13．【分析】根据诱导公式求得sinα=﹣，结合α的取值范围易得cosα=，将其代入求值即可．【解答】解：∵，∴sinα=﹣，∴cosα==，∴==﹣．14．【分析】由题意结合函数的单调性可得，函数的图象和y轴的交点在y轴的非正半轴上，故有+m ≤0，由此解得m的范围．【解答】解：由于函数y=+m 在R上是减函数，图象不经过第一象限，故函数的图象和y轴的交点在y轴的非正半轴上，故有+m≤0，解得m≤﹣2，．【分析】根据三角形三边长成公比为的等比数列，根据等比数列的性质设出三角形的三边为a，a ，2a ，根据2a 为最大边，利用大边对大角可得出2a所对的角最大，设为θ，利用余弦定理表示出cosθ，将设出的三边长代入，即可求出cosθ的值．【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，∵2a＞a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，则根据余弦定理得：cosθ==﹣．【解答】解：∵T[]﹣T[]组成的数列为：1000010000100001…（2）由（1）知b n==32n﹣1=，再利用等比数列的定义及其通项公式、求和公式即可得出．a q{}【分析】（1）由已知利用三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理可得=，结合sinC≠0，可得cosA=，进而可求A．方法二：选择①③，可求C=，由正弦定理可求c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．A ctan2【分析】（1）由已知条件得S n=n2（S n﹣S n﹣1）﹣n（n﹣1），从而=+1，由此能证明数列{S n}是首项为1，公差为1的等差数列，从而得到S n=n×=．（2）由b n====，利用裂项求和法能证明b1+b2+…+b n＜．1（3）利用（2）的结论，令x0=，则e x＞x2＞x，即x＜ce x．即得结论成立．。
宁夏银川市2023-2024学年高三上学期1月期末考试 数学(理)含答案
宁夏2023-2024学年第一学期高三数学（理科）月考五试卷（答案在最后）第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合{}{2230,M x x x N x y =+-===∣∣，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}3C.{}1- D.{}3-2.在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是()()2,3,3,2OA OB =-=- ，则复数122z z z +对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A.,1a eb ==- B.,1a eb == C.1,1a eb -== D.1,1a eb -==-4.据中国地震台测定，2023年12月18日深夜在甘肃省临夏积石山发生了6.2级地震.里氏震级μ可以测出最大振幅，其计算公式为0lg lg A A μ=-.其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是0级地震的振幅.请问8级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的几倍（）A.10B.100C.1000D.100005.下列说法不正确的是（）①命题“x ∀∈R ，sin 1x ≤”的否定是“x ∃∈R ,sin 1x ≥”；②“1a =”是“函数e e x ax y -=-为奇函数”的充分不必要条件；③命题[):1,p x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题:q x ∃∈R ,210x x ++<，则p q ∧为真命题；④“函数21x y x +=+在()(),11,-∞--+∞ 上是减函数”，为真命题.A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④6.函数2()sin ln f x x x =⋅的图象大致为（）A. B.C. D.7.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A.8种B.14种C.20种D.16种8.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm ，盆口直径40cm ，盆底直径20cm ．现往盆内倒入水，当水深6cm 时，盆内水的体积近似为（）A.31824cmB.32739cmC.33618cmD.34512cm 9.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，6a ，53a ，7a 成等差数列，若{}n a 中存在两项m a ，n a ，使得14a 为其等比中项，则14m n+的最小值为（）A .4B.9C.23D.3210.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且0OA OB +=，0AF FB ⋅= ，3BF FC =，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.3B.2C.2D.311.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱1,,AD DD CD 的中点，则下列说法错误的是（）A.直线11,AG C E 共面B.113D BEF V -=C.直线1A G 与平面11ADD A 所成角的正切值为4D.过点B ，E ，F 的平面截正方体的截面面积为912.已知定义在()22-，上的函数()f x 满足42()e ()0(1),e x f x f x f +-==，()f x '为()f x 的导函数，当[)02x ∈，时，()()2f x f x '>，则不等式()24e 2e x f x -<的解集为（）A.()11-， B.()12-，C.()14，D.()15，第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知一个半径为4的扇形圆心角为(02π)θθ<<，面积为2π，若tan()3θϕ+=，则tan ϕ=_____．14.设(5n x 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中3x 的系数为_______．15.抛物线24x y =-上的动点到点(0,1),(1,3)F E --的距离之和的最小值为________．16.已知,,A B C 是球O的球面上的三点，2,60AB AC ABC ==∠=︒，且三棱锥O ABC -的体积为463，则球O 的体积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在①2c s 2o c A ab=-，②()cos 2cos b C a c B =-中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知______．（1）求B ；（2）若ABC 的外接圆半径为2，且1cos cos 8A C =-，求ac ．注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．18.已知数列{}n a 满足11a =，且点111(,n na a +在直线2y x =-上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列1{}n n a a +前n 项和为n T ，求能使312n T m <-对*n ∈N 恒成立的m （Z m ∈）的最小值.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点，F 为棱PC上一点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；（2）若G 为PD 的中点，2AB AP ==，是否存在点F ，使得直线EG 与平面AEF 所成角的正弦值为15？若存在，求出PFPC的值；若不存在，请说明理由．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.已知直线()()10y k x k =->与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若MB AN =，求k 的值；（3）若点Q 的坐标为7,04⎛⎫⎪⎝⎭，求证：QA QB ⋅ 为定值.21.已知函数21()ln ,()2f x ax x a Z =-∈．（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若不等式()(1)1f x a x ≥-+恒成立，求整数a 的最小值．22.在直角坐标系xOy 中，曲线221:194x y C +=，曲线233cos :3sin x C y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点，求OB OA的最大值.23.已知函数()335f x x x =+--．（1）求不等式()0f x >的解集M ；（2）若m 是()f x 的最小值，且正数,,a b c 满足0a b c m +++=，证明：11134a b b c c a ++≥+++．宁夏2023-2024学年第一学期高三数学（理科）月考五试卷第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合{}{2230,M x x x N x y =+-===∣∣，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}3C.{}1- D.{}3-【答案】D 【解析】【分析】分别求一元二次方程的解和偶次根式型函数的定义域，求交集即得.【详解】由2230x x +-=可解得：3x =-或1x =，即{3,1}M =-，由函数y =120x -≥，解得：0x ≤，即{|0}N x x =≤，于是{3}M N =-I .故选：D.2.在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是()()2,3,3,2OA OB =-=- ，则复数122z z z +对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】由已知得出12,z z ，然后根据复数的除法运算化简得出12215i 1313z z z +=+，根据复数的几何意义，即可得出答案.【详解】由已知可得，123i z =-+，232z i =-，则()()()()1221i 32i 23i 32i32i 32i 32i z z z +++-++-==--+232i 3i 2i 15i 131313+++==+，所以，复数122z z z +对应的点为15,1313⎛⎫⎪⎝⎭，该点位于第一象限.故选：A .3.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A.,1a e b ==- B.,1a eb == C.1,1a eb -== D.1,1a eb -==-【答案】D 【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y xb =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．4.据中国地震台测定，2023年12月18日深夜在甘肃省临夏积石山发生了6.2级地震.里氏震级μ可以测出最大振幅，其计算公式为0lg lg A A μ=-.其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是0级地震的振幅.请问8级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的几倍（）A.10 B.100C.1000D.10000【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到010A A μ=，分别令8μ=和6μ=，求得最大振幅，即可求解.【详解】由函数0lg lg A A μ=-，可得0lgA A μ=，所以10AA μ=，可得010A A μ=，当8μ=时，地震的最大振幅为88010A A =；当6μ=时，地震的最大振幅为66010A A =，所以，两次地震的最大振幅之比为8806601010010A A A A ==.故选：B.5.下列说法不正确的是（）①命题“x ∀∈R ，sin 1x ≤”的否定是“x ∃∈R ,sin 1x ≥”；②“1a =”是“函数e e x ax y -=-为奇函数”的充分不必要条件；③命题[):1,p x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题:q x ∃∈R ,210x x ++<，则p q ∧为真命题；④“函数21x y x +=+在()(),11,-∞--+∞ 上是减函数”，为真命题.A.①②③ B.②③④C.①③④D.①②④【答案】C 【解析】【分析】对于①：根据全称命题的否定是特称命题分析判断；对于②：根据奇函数的定义结合充要条件分析判断；对于③：根据特称命题结合逻辑联结词分析判断；对于④：根据单调性的定义举例分析判断.【详解】对于①：命题“x ∀∈R ，sin 1x ≤”的否定是“x ∃∈R ,sin 1x >”，故①不正确；对于②：若1a =，则e e x x y -=-的定义域为R ，且()e e e e ----=-x x x x，所以函数e e x ax y -=-为奇函数，即充分性成立；若函数e e x ax y -=-为奇函数，且e e x ax y -=-的定义域为R ，可得()e e e e x ax x ax ----=-，整理得()()e ee 10x axax x +--=恒成立，解得1a =±，即必要性不成立；所以“1a =”是“函数e e x ax y -=-为奇函数”的充分不必要条件，故②正确；对于③：因为22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，即命题:q x ∃∈R ,210x x ++<为假命题，所以p q ∧为假命题，故③不正确；对于④：当2x =-时0y =，当0x =时2y =，但20-<，可得02<，所以函数21x y x +=+在()(),11,-∞--+∞ 上不是减函数，故④不正确；故选：C.6.函数2()sin ln f x x x =⋅的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性和赋值即可判断选项.【详解】由()2()sin ln f x x x f x -=-⋅=-，可知()f x 是奇函数，且定义域为{}0x x ≠，排除BD ；当πx =时，()2πsinπln π0f =⋅=，排除A.故选：C7.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A.8种B.14种C.20种D.16种【答案】B 【解析】【分析】分甲、乙都不在天和核心舱和甲、乙恰好有一人在天和核心舱两种情况求解可得.【详解】第一类，甲、乙都不在天和核心舱共有22A 2=种；第二类，甲、乙恰好有一人在天和核心舱，先排天和核心舱有1223C C 6=种，然后排问天实验舱与梦天实验舱有22A 2=种，所以，甲、乙恰好有一人在天和核心舱共有6212⨯=种.综上，甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验共有21214+=种.故选：B8.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm ，盆口直径40cm ，盆底直径20cm ．现往盆内倒入水，当水深6cm 时，盆内水的体积近似为（）A.31824cmB.32739cmC.33618cmD.34512cm 【答案】B 【解析】【分析】根据轴截面和相似关系，以及圆台体积即可求解.【详解】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC 与FD 于点G .根据题意，20cm AB =，10cm CD =，15cm AC =，6cm EC =，设cm CG x =，cm EF y =所以102015xx =+，610y x x+=解得15x =，14y =，所以()()2231π14π10π14106872π2739cm 3V =⋅+⋅+⋅⋅⋅=≈，故选：B .9.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，6a ，53a ，7a 成等差数列，若{}n a 中存在两项m a ，n a ，使得14a 为其等比中项，则14m n+的最小值为（）A.4B.9C.23D.32【答案】D 【解析】【分析】根据6a ，53a ，7a 成等差数列，可得56723a a a =⨯+，即可求得q 值，根据14a 为m a ，n a 的等比中项，可求得6m n +=，利用基本不等式“1”的活用，即可求得答案.【详解】因为6a ，53a ，7a 成等差数列，所以56723a a a =⨯+，又{}n a 为各项均为正数的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，所以4561116a q a q a q =+，所以260q q +-=，解得2q =或3q =-（舍），又14a 为m a ，n a 的等比中项，所以21(4)m n a a a =⨯，所以211224211111162222m n m n a a a a a --+-=⨯⨯⨯=⨯=⨯，所以24m n +-=，即6m n +=，所以141141413()1456662m m n m n m n n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=+⨯+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4m nn m=，即2,4m n ==时，等号成立，所以14m n +的最小值为32.故选：D【点睛】解题的关键是熟练掌握等差中项、等比中项、基本不等式等知识，并灵活应用，数列中应用基本不等式时，应注意取等条件，即角标m ，n 必须为正整数，属中档题.10.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且0OA OB +=，0AF FB ⋅= ，3BF FC =，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.3B.102C.2D.233【答案】B 【解析】【分析】设双曲线的左焦点为F '，连接,,AF BF CF '''，则由题意可得四边形AFBF '为矩形，设BF t =，则3FC t =，2,23BF a t CF a t ''=+=+，分别在Rt CBF '△和Rt BFF '△中，运用勾股定理，结合离心率公式可求得结果.【详解】设双曲线的左焦点为F '，连接,,AF BF CF '''，因为0AF FB ⋅= ，所以AF FB ⊥ ，因为0OA OB +=，所以OA OB =，因为OF OF '=，所以四边形AFBF '为矩形，设BF t =（0t >），则3FC t =，2,23BF a t CF a t ''=+=+，在Rt CBF '△中，222BC BF CF ''+=，所以()()()2224223t a t a t ++=+，化简得20t at -=，解得t a =，在Rt BFF '△中，222BF BF FF ''+=，所以()22224t a t c ++=，所以22294a a c +=，所以22104a c =，得2c =，所以离心率c e a ==，故选：B11.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱1,,AD DD CD 的中点，则下列说法错误的是（）A.直线11,AG C E 共面B.113D BEF V -=C.直线1A G 与平面11ADD A 所成角的正切值为24D.过点B ，E ，F 的平面截正方体的截面面积为9【答案】D 【解析】【分析】对于A 项，一般考虑寻找两平行线较易说明共面问题；对于B 项，三棱锥的体积问题，大都是通过等体积转化，使其易于求解即可；对于C 项，充分利用正方体条件，找到直线与平面所成的角，在三角形中求解即得；对于D 项，关键是寻找到经过三点的正方体的截面，然后求其面积即可.【详解】对于A 项，如图①，分别连接11,,AC EG AC ,,在正方体1111ABCD A B C D -中，易得矩形11AA C C ,故有11//A C AC ，又E ，G 分别是棱,AD CD 的中点，则//EG AC ,故11//EG A C ,即11,EG AC 可确定一个平面，故A 项正确；对于B 项，如图②，1111111||1123323D BEF B D EF D EF V V S AB --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△,故B 项正确；对于C 项，如图③，连接1A D ,因DC ⊥平面11ADD A ，故直线1A G 与平面11ADD A 所成角即1GA D ∠,在1Rt GA D △中，11tan 4DG GA D A D ∠===,故C项正确；对于D 项，如图④，连接11,,,BE EF BC C F ,易得111//,//EF AD AD BC ,因平面11//ADD A 平面11BCC B ，则1BC 为过点B ，E ，F 的平面与平面11BCC B 的一条截线，即过点B ，E ，F 的平面即平面1BEFC .由11EF BE BC C F ====可得四边形1BEFC 为等腰梯形，故其面积为：112BEFC S =9222==，即D 项错误.故选：D.12.已知定义在()22-，上的函数()f x 满足42()e ()0(1),e x f x f x f +-==，()f x '为()f x 的导函数，当[)02x ∈，时，()()2f x f x '>，则不等式()24e 2e x f x -<的解集为（）A.()11-， B.()12-，C.()14，D.()15，【答案】C 【解析】【分析】由题意设2()()exf xg x =，结合题意可得()()0g x g x +-=，即函数()g x 是定义在R 上的奇函数，又当[0x ∈，2)时，()2()f x f x '>，则2()2()()0e xf x f xg x '-'=>，可得()g x 在[0，2)上单调递增，在(2-，0]上单调递增，利用单调性，即可得出答案．【详解】令2()()e xf xg x =，则4()e ()0x f x f x +-=，即()()0g x g x +-=，故函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当[0x ∈,2)时，()2()f x f x '>，则2()2()()0e xf x f xg x '-'=>，故()g x 在[0,2)上单调递增，在(2-,0]上单调递增，所以()g x 在()2,2-上单调递增，又()21e f =，则()2(1)11e f g ==，则不等式24e (2)e x f x -<，即()2(2)(2)(2)11ex f x g x g --=-<=，故22221x x -<-<⎧⎨-<⎩，解得14x <<．故选：C ．第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知一个半径为4的扇形圆心角为(02π)θθ<<，面积为2π，若tan()3θϕ+=，则tan ϕ=_____．【答案】12##0.5【解析】【分析】由扇形面积公式先求θ，再根据两角和差的正切公式求得结果.【详解】已知扇形半径为4r =，圆心角为θ，∵扇形面积2211142π222θθ===⋅=S lr r ，∴π4θ=，∴()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--，解得：1tan 2ϕ=.故答案为：12.14.设(5n x 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中3x 的系数为_______．【答案】150【解析】【分析】利用赋值法及二项式系数和公式求出M 、N 列出方程求得n ，利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x 的指数为3得r 进而得系数．【详解】(5n x 中，令1x =得展开式的各项系数之和4n M =，根据二项式系数和公式得二项式系数之和2n N =，∵240M N -=，∴42240n n -=解得4n =，∴4(5)5)(n x x x x =--的展开式的通项为()()44442145=()15r rrrrr r r C C T x x x---+-=-，令432r-=得2r =，故展开式中3x 的系数为2245150C =，故答案为150.【点睛】本题主要考查赋值法是求二项展开式系数和的方法，利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题.15.抛物线24x y =-上的动点到点(0,1),(1,3)F E --的距离之和的最小值为________．【答案】4【解析】【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线24x y =-的焦点为()0,1F -，准线为:1l y =，设P 是抛物线上的任意一点，则题目所求为PF PE +的最小值，过P 作PH l ⊥，垂足为H ，根据抛物线的定义可知PF PH =，所以题意所求为PH PE +的最小值，根据图象可知，当,,E P H 三点共线时，PH PE +的值最小，故最小值为314+=.故答案为：416.已知,,A B C 是球O 的球面上的三点，2,23,60AB AC ABC ==∠=︒，且三棱锥O ABC -的体积为463，则球O 的体积为______．【答案】323π【解析】【分析】判断ABC 的形状并求出其外接圆的半径r ，利用锥体的体积公式求出球心到截面ABC 的距离，进而求出球半径即可求解．【详解】在ABC 中，2,23,60AB AC ABC ==∠=︒，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，即21224BC BC +-=，整理得2280BC BC --=，而0BC >，解得4BC =，显然222AC AB BC +=，即90BAC ∠=︒，则ABC 外接圆的半径122r BC ==，令球心O 到平面ABC 的距离为d ，而ABC 的面积为1232ABC S AB AC =⋅=△，由棱锥O ABC -的体积为463，得1462333d ⨯⨯=，解得22d =，球O 的半径R ，则有22212R r d =+=，23R =，所以球O 的体积3344ππ(23)323π33V R ==⋅=.故答案为：323π三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在①2c s 2o c A ab=-，②()cos 2cos b C a c B =-中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知______．（1）求B ；（2）若ABC 的外接圆半径为2，且1cos cos 8A C =-，求ac ．注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）π3B =（2）6ac =【解析】【分析】（1）选①利用余弦定理即可求出；选②根据正弦定理进行边换角即可得到答案；（2）首先求出3sin sin 8A C =，再利用正弦定理整体求出即可.【小问1详解】选择条件①：因为2c s 2o c A a b =-，在ABC 中，由余弦定理可得222222b c a c abc b+--=，即222a cb ac +-=，则2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为(0,π)B ∈，所以π3B =.选择条件②：因为cos (2)cos b C a c B =-，在ABC 中，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，即sin()2sin cos B C A B +=，则sin 2sin cos A A B =，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠，则1cos 2B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为π3B =，所以2π3A C +=，则1cos()2A C +=-，即1cos cos sin sin 2A C A C -=-，又1cos cos 8A C =-，所以113sin sin 288A C =-=.因为ABC 的外接圆半径2R =，所以由正弦定理可得3sin sin 448a c A C =⋅=，所以6ac =.18.已知数列{}n a 满足11a =，且点111(,n na a +在直线2y x =-上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列1{}n n a a +前n 项和为n T ，求能使312n T m <-对*n ∈N 恒成立的m （Z m ∈）的最小值.【答案】（1）121n a n =-（2）5【解析】【分析】（1）由题设易得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求其通项公式；（2）对数列1{}n n a a +的通项分析可通过裂项相消法求前n 项和n T ，将312n T m <-恒成立问题转化为求n T 的最大值或上界问题即得.【小问1详解】点111(,n na a +在直线2y x =-上，得1112n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为111a =，公差为2的等差数列．故()112121n n n a =+-=-，即121n a n =-．【小问2详解】11111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭即111111111+=123352121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫=--++-- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭ ，因1,n ≥*n ∈N ，故12n T <，故要使312n T m <-对*n ∈N 恒成立，需使13122m -≥，即256m ≥，又Z m ∈，所以m 的最小值为5.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点，F 为棱PC 上一点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；（2）若G 为PD 的中点，2AB AP ==，是否存在点F ，使得直线EG 与平面AEF 所成角的正弦值为15？若存在，求出PFPC的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；12PF PC =或45PF PC =【解析】【分析】（1）根据底面菱形的特点得到AE AD ⊥，再由线面垂直得到PA AE ⊥，⊥AE 平面PAD ，进而得到面面垂直；（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式2321sin 55584t t t θ-==⨯-+，求解即可.【小问1详解】证明：连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC 是正三角形，E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，又//,AD BC AE AD ∴⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，AE ⊂平面,ABCD PA AE ∴⊥，又,PA AD A AE =∴⊥ 平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PAD ．【小问2详解】由（1）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，直线AE ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设()01PF tPC t =≤≤ ，则()0,0,0A，)E，)C ，()002P ,,，()0,1,1G，),,22F t t -，所以)AE =uu u r，),,22AF t t =-，()EG = ．设平面AEF 的法向量(),,n x y z =r ，则0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即()0,220,ty t z ⎧=⎪++-=令z t =，得平面AEF 的一个法向量()0,22,n t t =- ．设EG 与平面AEF 所成的角为θ，则1sin cos ,5EG n EG n EG n θ⋅===== ，解得12t =或45t =，即存在点F ，使得直线EG 与平面AEF 所成角的正弦值为15，且12PF PC =或45PF PC =．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.已知直线()()10y k x k =->与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x轴，y 轴交于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若MB AN =，求k 的值；（3）若点Q 的坐标为7,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，求证：QA QB ⋅ 为定值.【答案】（1）22142x y +=（2）2k =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出22,a b ，则椭圆方程可得；（2）联立方程组，根据根与系数的关系以及向量相等的坐标关系即可求出k ；（3）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．【小问1详解】2c e a == ，222a c ∴=，代入222a b c =+得b c =.又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即1222b c ⨯=，即2bc =，以上各式联立解得224,2a b ==，则椭圆方程为22142x y +=.【小问2详解】直线()1y k x =-与x 轴交点为()1,0M ，与y 轴交点为()0,N k -，联立()22241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 得:()222124240k x k x k +-+-=，()()4222Δ164122424160k k k k =-+-=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则2122412k x x k+=+，()221,MB x y =- 又，()11,AN x k y =--- ，由MB AN = 得21224112k x x k +==+，解得:2k =±，由0k >得2k =.【小问3详解】证明：由（2）知2122412k x x k +=+，21222412k x x k -=+，)()()2112212127777,,114444QA QB x y x y x x k x x ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅-=--+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭ ()()22212127491416k x x k x x k ⎛⎫=++--+++ ⎪⎝⎭()222222224744911241216k k k k k k k-⎛⎫=++--++ ⎪++⎝⎭2284494915412161616k k --=+=-+=-+.QA QB ∴⋅ 为定值.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线中的定值问题常见的方法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数21()ln ,()2f x ax x a Z =-∈．（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若不等式()(1)1f x a x ≥-+恒成立，求整数a 的最小值．【答案】（1） 1()2f x =极小值，无极大值；（2）2.【解析】【分析】（1）将1a =代入，求出导函数()f x '，利用导数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性，进而求出极值.（2）不等式等价于22(ln 1)2x x a x x ++≥+在(0,)+∞上恒成立，设22(ln 1)(),(0,)2x x g x x x x++=∈+∞+，利用导数求出()g x 的最大值即可求解.【详解】解：（1）当1a =时，(1)(1)()(0)x x f x x x+->'=，令()0f x '=得1x =（或=1x -舍去），∵当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴ 1()(1)2f x f ==极小值，无极大值．（2）()(1)1f x a x ≥-+，即21ln (1)12ax x a x -≥-+，即()222ln 22a x x x x +≥++，∴0x >，即220x x +>，∴原问题等价于22(ln 1)2x x a x x ++≥+在(0,)+∞上恒成立，设22(ln 1)(),(0,)2x x g x x x x++=∈+∞+，则只需max ()a g x ≥．由()222(1)(2ln )()2x x x g x x x ++'=-+，令()2ln h x x x =+，∵2()10h x x='+>，∴()h x 在(0,)+∞上单调递增，∵1111(1)10,2ln 2ln 2ln 402222h h ⎛⎫=>=+=-=-< ⎪⎝⎭，∴存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0002ln 0h x x x =+=，∵当()00,x x ∈时，()0h x <，则()0,()g x g x >'单调递增，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，则()0,()g x g x <'单调递减，∴()00000max 022*********ln 222221()222x x x x x g x g x x x x x x x x ++-+++=====+++，∴01a x ≥即可．∴01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴01(1,2)x ∈，故整数a 的最小值为222.在直角坐标系xOy 中，曲线221:194x y C +=，曲线233cos :3sin x C y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点，求OBOA 的最大值.【答案】（1）1C 的极坐标方程是2245sin 36ρθ+=（），的极坐标方程是6cos ρθ=.（2）9510【解析】【分析】（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==将1C 的直角坐标方程化为极坐标方程；先把2C 的参数方程化为普通方程,再化为极坐标方程；（2）分别联立曲线1C 与2C 的极坐标方程与()0θαρ=≥,即可求得221OA ρ=,222OB ρ=,再利用二次函数的性质求得22OB OA 的最大值,进而求解.【详解】解:（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==,所以221:194x y C +=可化为22221cos sin :194C ρθρθ+=,整理得()2245sin 36ρθ+=,233cos :3sin x C y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数）,则33cos 3sin x y φφ-=⎧⎨=⎩（φ为参数）,化为普通方程为2260x y x +-=,则极坐标方程为26cos 0ρρθ-=,即6cos ρθ=.所以1C 的极坐标方程是()2245sin 36ρθ+=,2C 的极坐标方程是6cos ρθ=.（2）由（1）知,联立2245sin 36ρθθα⎧+=⎨=⎩（）可得22123645sin OA ρθ==+,联立6cos ρθθα=⎧⎨=⎩可得2222=36cos OB ρθ=,所以22OB OA =224222981cos (45sin )5cos 9cos 5(cos )1020θθθθθ+=-+=--+,当29cos 10θ=时,22OB OA 最大值为8120,所以OB OA 的最大值为9510.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查利用极坐标方程求弦长.23.已知函数()335f x x x =+--．（1）求不等式()0f x >的解集M ；（2）若m 是()f x 的最小值，且正数,,a b c 满足0a b c m +++=，证明：11134a b b c c a ++≥+++．【答案】（1）1(4)()2∞∞--⋃+，，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，将函数化为分段函数的形式，分类讨论计算，即可得到结果；（2）根据题意，结合基本不等式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】285()3354215281x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪--≤-⎩，，，，，，∴5()0280x f x x ≥⎧>⇔⎨+>⎩或15420x x -<<⎧⎨->⎩或1280x x ≤-⎧⎨-->⎩，解得5x ≥或152x <<或<4x -，∴不等式的解集为()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭；【小问2详解】证明：由28,5()42,1528,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=--<<⎨⎪--≤-⎩，可得()f x 的最小值为6-，则6m =-，6a b c ++=，∴[]1111111()()()()12a b b c c a a b b c c a a b b c c a ++=++++++++++++1(3)12b c c a a b c a a b b c a b a b b c b c c a c a++++++=++++++1(312≥+++193(3222)12124=+++==，当且仅当2a b c ===时，等号成立，∴11134a b b c c a ++≥+++．。
宁夏银川一中2022届高三上学期第一次月考数学试题(理科) Word版含解析
2021-2022学年宁夏银川一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，4}，则（C R A）∩B=（）A．{0，1} B．{0} C．{2，4} D．∅2．下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N﹡，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=23．，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cos2x B．y=log2|x| C ． D．y=x3+15．若tanθ+=4，则sin2θ=（）A ．B ．C ．D ．6．若x∈（0，1），则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为，Q 点的横坐标为．则cos∠POQ=（）A ．B ．C ．﹣D ．﹣8．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如下：则依据从左到右图象对应的函数序号支配正确的一组是（）A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③9．设函数，其中，则导数f′（﹣1）的取值范围（）A．[3，6]B ．C ．D ．10．函数的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位11．若函数f（x ）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g（x）=f （x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A ．B ．C．（0，1）D ．12．设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A．α＞β B．α＜β C．α+β＞0 D．α2＞β2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为．14．已知，，则=．15．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是．16．给出下列四个命题：①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为②若α，β为锐角，，则③是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件④函数的一条对称轴是其中正确的命题是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2021秋•乌拉特前旗校级月考）某同学用五点法画函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（ω＞0，|ϕ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+ϕ0 π2πxAsin（ωx+ϕ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象向左平移个单位后对应的函数为g（x），求g（x）的图象离原点最近的对称中心．18．（12分）（2022•江西）已知函数f（x ）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．19．（12分）（2022•佛山二模）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．20．（12分）（2022•天津模拟）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a∈[，]，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围．21．（12分）（2021•大观区校级四模）已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2021•金昌校级模拟）如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是⊙O的割线，AC=AB，CE交⊙O于点G．（Ⅰ）证明：AC2=AD•AE；（Ⅱ）证明：FG∥AC．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2021•鹰潭一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．选修4-5：不等式选讲24．（2021•鹰潭一模）已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．2021-2022学年宁夏银川一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，4}，则（C R A）∩B=（）A．{0，1} B．{0} C．{2，4} D．∅考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：由集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，4}，知C R A={x≤1}，由此能求出（C R A）∩B．解答：解：∵集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，4}，∴C R A={x≤1}，∴（C R A）∩B={0，1}．故选A．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．2．下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N﹡，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2考点：四种命题的真假关系．专题：简易规律．分析：本题考查全称命题和特称命题真假的推断，逐一推断即可．解答：解：B中，x=1时不成立，故选B．答案：B．点评：本题考查规律语言与指数函数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属简洁题．3．，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：利用定积分的几何意义计算定积分．解答：解：y=，即（x+1）2+y2=1，表示以（﹣1，0）为圆心，以1为半径的圆，圆的面积为π，∵，∴表示为圆的面积的二分之一，∴m=0，故选：B点评：本题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础学问，考查考查数形结合思想．属于基础题．4．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cos2x B．y=log2|x| C ． D．y=x3+1考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义及基本函数的单调性可作出推断．解答：解：函数y=log2|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且log2|﹣x|=log2|x|，∴函数y=log2|x|为偶函数，当x＞0时，函数y=log2|x|=log2x为R上的增函数，所以在（1，2）上也为增函数，故选B．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．5．若tanθ+=4，则sin2θ=（）A ．B ．C ．D ．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．解答：解：sin2θ=2sinθcosθ=====故选D．点评：本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算力量，属于基础题．6．若x∈（0，1），则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．考点：不等式比较大小．专题：不等式．分析：依据指数函数幂函数对数函数的图象与性质，得到不等式与0，1的关系，即可比较大小．解答：解：x∈（0，1），∴lgx＜0，2x＞1，0＜＜1，∴2x ＞＞lgx，故选：C．点评：本题考查了不等式的大小比较，以及指数函数幂函数对数函数的图象与性质，属于基础题．7．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为，Q 点的横坐标为．则cos∠POQ=（）A ．B ．C ．﹣D ．﹣考点：两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP 和sin∠xOQ，再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）的值．解答：解：由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；再依据cos∠xOQ=，可得sin∠xOQ=．∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）=cos∠xOP•cos∠xOQ﹣sin∠xOP•sin∠xOQ=﹣=﹣，故选：D．点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．8．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如下：则依据从左到右图象对应的函数序号支配正确的一组是（）A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y轴对称，是一个偶函数，其次个图象不关于原点对称，也不关于Y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y轴左侧，图象都在x轴的下方，再结合函数的解析式，进而得到答案．解答：解：分析函数的解析式，可得：①y=x•sinx为偶函数；②y=x•cosx为奇函数；③y=x•|cosx|为奇函数，④y=x•2x为非奇非偶函数且当x＜0时，③y=x•|cosx|≤0恒成立；则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③故选：D．点评：本题考点是考查了函数图象及函数图象变化的特点，解决此类问题有借助两个方面的学问进行争辩，一是函数的性质，二是函数图象要过的特殊点．9．设函数，其中，则导数f′（﹣1）的取值范围（）A．[3，6]B ．C ．D ．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数的值域．分析：先对原函数进行求导可得到f′（x）的解析式，将x=﹣1代入可求取值范围．解答：解：∵∴∴=2sin （）+4∵∴∴sin∴f′（﹣1）∈[3，6]故选A．点评：本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题．这两个方面都是高考中必考内容，难度不大．10．函数的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，函数的周期为π，由此求得ω=2，由g（x）=Acosωx=sin[2（x+）+]，依据y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律得出结论．解答：解：由题意可得，函数的周期为π，故=π，∴ω=2．要得到函数g（x）=Acosωx=sin[2（x+）+]的图象，只需将f（x）=的图象向左平移个单位即可，故选A．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，y=Asin（ωx+∅）的周期性，属于中档题．11．若函数f（x ）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g（x）=f （x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A ．B ．C．（0，1）D ．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数f（x ）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，求出x∈（﹣1，0）时，f（x）的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论．解答：解：函数f（x ）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴x∈（﹣1，0）时，f（x）+1==，f（x）=．由于g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，所以y=f（x）与y=mx+m的图象有两个交点，函数图象如图所示，由图象可得，当0＜m ≤时，两函数有两个交点，故选D．点评：此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的力量，体现了数形结合的思想．也考查了同学制造性分析解决问题的力量，属于中档题．12．设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A．α＞β B．α＜β C．α+β＞0 D．α2＞β2考点：正弦函数的单调性．专题：综合题．分析：构造函数f（x）=xsinx，x ∈，利用奇偶函数的定义可推断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx 可推断f（x）=xsinx，x∈[0，]与x∈[﹣，0]上的单调性，从而可选出正确答案．解答：解：令f（x）=xsinx，x ∈，∵f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=x•sinx=f（x），∴f（x）=xsinx，x ∈为偶函数．又f′（x）=sinx+xcosx，∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[﹣，0]单调递减；∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立；故选D．点评：本题考查正弦函数的单调性，难点在于构造函数f（x）=xsinx，x ∈，通过争辩函数f （x）=xsinx，的奇偶性与单调性解决问题，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为8．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象观看可得：y min=﹣3+k=2，从而可求k的值，从而可求y max=3+k=3+5=8．解答：解：∵由题意可得：y min =﹣3+k=2，∴可解得：k=5，∴y max=3+k=3+5=8，故答案为：8．点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基本学问的考查．14．已知，，则=．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用帮助角公式sinα+cosα=sin（α+），可求得sin（α+），结合α的范围，可α+∈（，），利用同角的三角函数关系可求cos（α+），tan（α+）的值．解答：解：∵sinα+cosα=sin（α+）=﹣，∴sin（α+）=﹣，∵α∈（，π），∴α+∈（，），∴cos（α+）=﹣=﹣．∴tan（α+）==．故答案为：．点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，考查了计算力量，属于基础题．15．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是．考点：导数的几何意义．专题：计算题；数形结合．分析：由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k的范围，再依据k=tanα，结合正切函数的图象求出角α的范围．解答：解：依据题意得f′（x）=﹣，∵，且k＜0则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k≥﹣1，又∵k=tanα，结合正切函数的图象由图可得α∈，故答案为：．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础学问，考查运算求解力量，考查数形结合思想、化归与转化思想．16．给出下列四个命题：①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为②若α，β为锐角，，则③是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件④函数的一条对称轴是其中正确的命题是②③④．考点：命题的真假推断与应用；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：①利用弧度制的定义可得公式：s扇形=Lr，L=αr，求解即可；②tan（α+2β）=tan（α+β+β）==1，再推断α+2β＜180°，得出答案；③考查了周期函数，+2kπ都能使函数y=sin（2x+φ）为偶函数，④考查三角函数对称轴的特征：过余弦函数的最值点都是对称轴，把代入得：y=cosπ=﹣1，是对称轴，解答：解：①s扇形=Lr，L=αr∴s=1，故错误；②tan（α+2β）=tan（α+β+β）==1∵α，β为锐角，，∴α+2β＜180°∴，故②正确；③+2kπ都能使函数y=sin（2x+φ）为偶函数，故③正确；④把代入得：y=cosπ=﹣1，是对称轴，故正确；故答案为：②③④．点评：考查了弧度制的定义和三角函数的周期性，对称轴和和角公式，属于基础题型，应娴熟把握．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2021秋•乌拉特前旗校级月考）某同学用五点法画函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（ω＞0，|ϕ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+ϕ0 π2πxAsin（ωx+ϕ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象向左平移个单位后对应的函数为g（x），求g（x）的图象离原点最近的对称中心．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由表中已知数据易得，可得表格和解析式；（2）由函数图象变换可得g（x）的解析式，可得对称中心．解答：解：（1）依据表中已知数据，解得数据补全如下表：ωx+ϕ0 π2πxAsin（ωx+ϕ）0 5 0 ﹣5 0∴函数的解析式为；（2）函数f（x ）图象向左平移个单位后对应的函数是g（x）=5sin[2（x+）﹣]=5sin（2x+），其对称中心的横坐标满足2x+=kπ，即x=﹣，k∈Z，∴离原点最近的对称中心是点评：本题考查三角函数解析式的确定和函数图象变换，涉及三角函数的对称性，属基础题．18．（12分）（2022•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而依据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f （）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最终利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f （）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f （）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin =．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学学问解决问题的力量．19．（12分）（2022•佛山二模）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）依据题中条件：“若已知与成正比”可设，再依据售价为10元时，年销量为28万件求得k值，从而得出年销售利润y关于x的函数关系式．（2）利用导数争辩函数的最值，先求出y的导数，依据y′＞0求得的区间是单调增区间，y′＜0求得的区间是单调减区间，从而求出极值进而得出最值即可．解答：解：（1）设，∵售价为10元时，年销量为28万件；∴，解得k=2．∴=﹣2x2+21x+18．∴y=（﹣2x2+21x+18）（x﹣6）=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．（2）y'=﹣6x2+66x﹣108=﹣6（x2﹣11x+18）=﹣6（x﹣2）（x﹣9）令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9明显，当x∈（6，9）时，y'＞0当x∈（9，+∞）时，y'＜0∴函数y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108在（6，9）上是关于x的增函数；在（9，+∞）上是关于x的减函数．∴当x=9时，y取最大值，且y max=135．∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．点评：本小题主要考查依据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的学问解决实际问题的力量．属于基础题．20．（12分）（2022•天津模拟）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a∈[，]，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）对于含参数的函数f（x）的单调区间的求法，需要进行分类争辩，然后利用导数求出函数的单调性；（Ⅱ）求出f（x）在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，设g（a）=4a3﹣12a+8，求出g（a）在[]内是减函数，问题得以解决．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x2﹣6ax=3x（x﹣2a），令f'（x）=0，则x1=0，x2=2a，（1）当a＞0时，0＜2a，当x变化时，f'（x），f（x）的变化状况如下表：x （﹣∞，0）0 （0，2a）2a （2a，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘微小值↗∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）和（2a，+∞）内是增函数，在区间（0，2a）内是减函数．（2）当a＜0时，2a＜0，当x变化时，f'（x），f（x）的变化状况如下表：x （﹣∞，2a）2a （2a，0）0 （0，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘微小值↗∴函数f（x）在区间（﹣∞，2a）和（0，+∞）内是增函数，在区间（2a，0）内是减函数．（Ⅱ）由及（Ⅰ），f（x）在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，又f（2）﹣f（1）=（8﹣12a+b）﹣（1﹣3a+b）=7﹣9a＞0，∴M=f（2），m=f（2a）=8a3﹣12a3+b=b﹣4a3，∴M﹣m=（8﹣12a+b）﹣（b﹣4a3）=4a3﹣12a+8，设g（a）=4a3﹣12a+8，∴g'（a）=12a2﹣12=12（a+1）（a﹣1）＜0（a∈[]），∴g（a）在[]内是减函数，故g（a）max=g （）=2+=，g（a）min=g （）=﹣1+4×=．∴≤M﹣m ≤．点评：本题考查利用导数争辩函数的极值和单调性，涉及构造函数的方法，属中档题．21．（12分）（2021•大观区校级四模）已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（1）易求f′（x）=a+1+lnx，依题意知，当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，即x≥e时，a≥（﹣1﹣lnx）max，从而可得a的取值范围；（2）依题意，对任意x＞1恒成立，令则，再令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），易知h（x）在（1，+∞）上单增，从而可求得g（x）min=x0∈（3，4），而k∈z，从而可得k的最大值．解答：解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范围为[﹣2，+∞）；（2）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）⇔k ＜，即对任意x＞1恒成立．令则，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则在（1，+∞）上单增．∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，=x0∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，即k max=3．点评：本题考查利用导数争辩函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值，着重考查等价转化思想与函数恒成立问题，属于难题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2021•金昌校级模拟）如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是⊙O的割线，AC=AB，CE交⊙O于点G．（Ⅰ）证明：AC2=AD•AE；（Ⅱ）证明：FG∥AC．考点：与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切线长与割线长的关系及AB=AC进行证明．（Ⅱ）利用成比例的线段证明角相等、三角形相像，得到同位角角相等，从而两直线平行．解答：证明：（Ⅱ）∵AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AD•AE=AC2．（Ⅱ）由（Ⅱ）有，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵圆的内接四边形对角互补，∴∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．点评：本题考查圆的切线、割线长的关系，平面的基本性质．解决这类问题的常用方法是利用成比例的线段证明角相等、三角形相像等学问．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2021•鹰潭一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．考点：简洁曲线的极坐标方程；圆的参数方程．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cosφ，=|OA|，命题得证．（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．再把它们化为直角坐标，依据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．解答：解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），…（2分）则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ，=|OA|．…（5分）（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣）．…（7分）C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），故直线的斜率为﹣，…（9分）所以m=2，α=．…（10分）点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（2021•鹰潭一模）已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；确定值不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（1）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类争辩，去掉确定值符号，解相应的一次不等式，最终取其并集即可；（2）在坐标系中，作出的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2争辩，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6} …（5分）（2），函数f（x）的图象如图所示：令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…（8分）当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，∴a≥2+，即a≥4时成立，综上a≤﹣2或a≥4．…（10分）点评：本题考查确定值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析力量，突出恒成立问题的考查，属于难题．。
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宁夏高三元月调考数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分）(2018·六安模拟) 已知集合，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高二下·河南期中) 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
3. （2分） (2017高二上·清城期末) 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）
A . 2
D . 16
4. （2分） (2015高一下·黑龙江开学考) 函数f（x）=2lnx﹣x2+4x﹣5的零点个数为（）
A . 3
B . 2
C . 1
D . 0
5. （2分） (2017高二下·武汉期中) 将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，事件B为“至少出现一个1点”，则条件概率P（A|B）和P（B|A）分别为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）(2014·湖南理) 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
A . 1
D . 4
7. （2分）已知的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是（）
A . 10
B . 11
C . 12
D . 13
8. （2分）(2020·淄博模拟) 某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：
甲说：丙或丁竞选成功；
乙说：甲和丁均未竞选上；
丙说：丁竞选成功；
丁说：丙竞选成功；
若这四人中有且只有2人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是（）
A . 甲
B . 乙
C . 丙
D . 丁
9. （2分） (2020高二下·广东期中) 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）函数f（x）=的最大值是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为（）
A .
B . 或
C .
D .
12. （2分） (2015高三上·荣昌期中) 若tanα= ，tan（α+β）= ，则tanβ=（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题： (共4题；共4分)
13. （1分） (2019高三上·洛阳期中) 已知点P是曲线上任意一点，过点P向y轴引垂线，垂足为H，点Q是曲线上任意一点，则｜PH｜＋｜PQ｜的最小值为________．
14. （1分）(2020·哈尔滨模拟) 若函数的图像向左平移个单位得到函数
的图像.则在区间上的最小值为________.
15. （1分） (2016高三上·六合期中) 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若 =﹣14，则 =________．
16. （1分） (2020高二下·徐汇期末) 如图，已知三棱柱的体积为4，则四面体
的体积为________.
三、解答题： (共7题；共80分)
17. （15分） (2020高一下·上海期末) 在等差数列中，，，令，数列的前n项和为 .
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和；
（3）是否存在正整数m、n（），使得、、成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值，若不存在，请说明理由.
18. （10分）(2018·郑州模拟) 如图，在三棱锥中，平面平面，，
，，为线段上的点，且， .
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离.
19. （15分） (2019高二下·长春期末) 为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛．从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段，，，，，，到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中a的值及样本的中位数与众数；
（2）若从竞赛成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成
绩之差的绝对值不大于5分为事件 ,求事件发生的概率.
（3）为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在内的为一等奖,得分在内的为二等奖, 得分在内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设为获得三等奖的人数,求的分布列与数学期望.
20. （10分） (2016高二下·浦东期末) 已知双曲线C1：．
（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；
（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当• =3时，求实数m的值．
21. （10分） (2016高二下·清流期中) 已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•ex的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；
（2）求证：m＜n；
22. （10分） (2017高二下·资阳期末) 在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
23. （10分） (2016高一上·如东期中) 已知a＞0且a≠1，函数，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移两个单位后得到函数y=g（x）的图象，若实数x满足g（x）≥0，求x 的取值范围．。