初中数学-四边形单元测试题有答案
初中数学-四边形单元测试题
一、选择题
1.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列说法一定正确的（）
A. AO=OD
B. AO⊥OD
C. AO=OC
D. AO⊥AB
2.如图,△ABC为等腰三角形,如果把它沿底边BC翻折后,得到△DBC,那么四边形ABDC为（）
A. 菱形
B. 正方形
C. 矩形
D. 一般平行四边形
3.如图,点D,E,F分别为△ABC三边的中点,若△DEF的周长为15,则△ABC的周长为（）
A. 30
B. 15
C. 7.5
D. 45
4.如图,在正方形ABCD中,BD=BE,CE∥BD,BE交CD于F点,则∠DFE的度数为（）
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 90°
5.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若AE=4,AF=6,且▱ABCD的周长为40,则▱ABCD 的面积为（）
A. 24
B. 36
C. 40
D. 48
6.若一个多边形的内角和小于其外角和,则这个多边形的边数是（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7.如图,在矩形ABCD中,E , F分别是AD , BC中点,连接AF , BE , CE , DF分别交于点M , N , 四边形EMFN是（）.
A. 正方形
B. 菱形
C. 矩形
D. 无法确定
8.已知□ABCD的周长为32,AB=4,则BC=（）
A. 4
B. 12
C. 24
D. 28
9.如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（）
A. 18
B. 28
C. 36
D. 46
10.若一个四边形的两条对角线相等,我们则称这个四边形为对角线四边形．下列图形是对角线四边形的是（）
A. 一般四边形
B. 平行四边形
C. 矩形
D. 菱形
11.如图,在△ABC中,D、E两点分别在BC、AC边上．若BD=CD,∠B=∠CDE,DE=2,则AB的长度是（)
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
12.如图,在正方形ABCD中,AB=4,P是线段AD上的动点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,则PE+PF 的值为（）
A. 2
B. 4
C. 4
D. 2
二、填空题
13.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是________
14.菱形的对角线长分别是5cm、12cm,则该菱形的面积为________
15.在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=3cm,则AC=________cm．
16.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,DE垂直平分AC , DF⊥BC , 当△ABC满足条件________时,四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线,②只需填一个符合要求的条件）
17. 如图,四边形ABCD与四边形AECF都是菱形,点E、F在BD上．已知∠BAD=120°,∠EAF=30°,则=________ ．
18.如图,在▱ABCD中,已知AD=6cm,AB=4cm,AE平分∠BAD交BC边于点E,则EC=________cm．
19.如图所示,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形,则这个条件是________．（只填一个条件即可,答案不唯一）
20.如图,平行四边形ABCD中,E是边AB的中点,F是对角线BD的中点,若EF=3,则BC=________
21.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,若AD=2,∠AOB=120°,则CD=________．
22.如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E、F分别为PB、PC的中点,若△PEF的面积为3,那么△PDC与△PAB的面积和等于________
三、解答题
23.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F,求证：OE=OF．
24.如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,CE=CF,∠FDC=30°,求∠BEF的度数．
25.如图：在▱ABCD中,∠BAD的平分线AE交DC于E,若∠DAE=27°,求∠C、∠B的度数．
26.如图,在四边形ABCD中,BC、AD不平行,且∠BAD+∠ADC=270°,E、F分别是AD、BC的中点,已知EF=4,求AB2+CD2的值．
27.已知：如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=4,∠BCD=120°,求四边形AODE的面积．
28.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求线段BE的长．
参考答案
一、选择题
C A A C
D A B B C C A A
二、填空题
13.平行四边形14.30 cm215.5 16.AC＝BC 17.18.2 19.∠BAD=90°或AC=BD
20.6 21.2 22.12
三、解答题
23.证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB,DC∥AB,
∴∠FDO=∠EBO,
在△DFO和△BEO中,
∴△DFO≌△BEO（ASA）,
∴OE=OF．
24.解：∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=∠DCF=90°,BC=CD, ∵CE=CF,∠FDC=30°,∴△BCE≌△DCF,
∴∠EBC=∠FDC=30°,
∴∠BEC=60°,
∵∠DCF=90°,CE=CF,
∴∠FEC=45°,
∴∠BEF=∠BEC+∠FEC=60°+45°=105°．
25.解：∵∠BAD的平分线AE交DC于E,
∴∠DAB=2∠DAE=54°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠C=∠DAB=54°,AD∥BC,
∴∠DAB+∠B=180°,
∴∠B=126°．
26.解：连接BD,取BD的中点M,连接EM并延长交BC于N,连接FM, ∵∠BAD+∠ADC=270°,
∴∠ABC+∠C=90°,
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点,
∴EM∥AB,FM∥CD,EM=AB,FM=CD,
∴∠MNF=∠ABC,∠MFN=∠C,
∴∠MNF+∠MFN=90°,即∠NMF=90°,
由勾股定理得,ME2+MF2=EF2=16,
∴AB2+CD2=（2ME）2+（MF）2=64．
27.（1）证明：∵DE∥AC,AE∥BD,
∴四边形AODE是平行四边形,
∵在菱形ABCD中,AC⊥BD,
∴平行四边形AODE是菱形,
故四边形AODE是矩形
（2）解：∵∠BCD=120°,AB∥CD,
∴∠ABC=180°﹣120°=60°,
∵AB=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴OA= ×4=2,
∵在菱形ABCD中,AC⊥BD
∴由勾股定理OB= =2 ,
∵四边形ABCD是菱形,
∴OD=OB=2 ,
∴四边形AODE的面积=OA•OD=2 =4
28.（1）解：在菱形ABCD中,AB=AD,∠A=60°, ∴△ABD为等边三角形, ∴∠ABD=60°；
（2）解：由（1）可知BD=AB=4, 又∵O为BD的中点, ∴OB=2,
又∵OE⊥AB,及∠ABD=60°,
∴∠BOE=30°,
∴BE=1．。
(易错题精选)初中数学四边形专项训练解析含答案(1)
（易错题精选）初中数学四边形专项训练解析含答案(1)一、选择题1．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）A ．7B ．7或8C ．8或9D ．7或8或9【答案】D【解析】试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=1080°，解得：n=8． 则原多边形的边数为7或8或9．故选D ．考点：多边形内角与外角．2．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°【答案】C【解析】【分析】 根据多边形内角和公式2180()n -⨯︒即可求出结果．【详解】解：黑色正五边形的内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．3．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A ．12B ．1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PC为底．③若以边PB为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，最小值为1；②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD1③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD的最小值为1故选D．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．4．在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】A点在原点上，B点在横轴上，C点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C5．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( )A．540°B．720°C．900°D．1080°【答案】A【解析】【详解】解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为：360572=，∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选A．【点睛】外角和是360°，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和．6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=43，⑤S△DOC=S四边形EOFB中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=D F正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．在△EBC和△FCD中，BC CDB DCFBE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；连接DE，如图所示，若OC=OE．∵DF⊥EC，∴CD=DE．∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC=DCFC=43，故④正确；∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故⑤正确；故正确的有：①③④⑤．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为()A．4 B．8 C．6 D．10【答案】B【解析】【分析】【详解】解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．8．下列说法中正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.9．如图，11,,33AB EF ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∥，已知60FCD ∠=︒，则P ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒【答案】B【解析】【分析】 延长BC 、EF 交于点G ，根据平行线的性质得180ABG BGE +=︒∠∠，再根据三角形外角的性质和平角的性质得60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠，最后根据四边形内角和定理求解即可．【详解】延长BC 、EF 交于点G∵//AB EF∴180ABG BGE +=︒∠∠∵60FCD ∠=︒∴60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠ ∵11,33ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠ ∴360P PBC BCF PFC =︒---∠∠∠∠2236012033ABG EFC =︒---︒∠∠ ()223606012033ABG BGE =︒--︒+-︒∠∠223604012033ABG BGE =︒--︒--︒∠∠ ()22003ABG BGE =︒-+∠∠ 22001803=︒-⨯︒ 80=︒故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质、平角的性质、四边形内角和定理是解题的关键．10．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=︒，若23AD =．则OC 的长为（ ）A ．3B ．3C 21D ．6【答案】C【解析】 【分析】 先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==【详解】解：∵AD BD ⊥∴90ADB ∠=︒∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=︒，23AD =∴243AB AD ==∴226BD AB AD =-=∵四边形ABCD 是平行四边形∴132OB OD BD ===，12OA OC AC ==∴在Rt AOD △中，AD =3OD =∴OA =∴OC OA ==故选：C【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．11．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，可添加的条件不正确的是（ ）A ．AB ∥CDB ．∠B ＝∠DC ．AD ＝BC D ．AB ＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定解答即可．【详解】∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故A 正确；∵AD ∥BC ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故C 正确；∵AD ∥BC ，∴∠D+∠C=180°，∵∠B=∠D ，∴∠B+C=180°，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故B 正确；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．12．如图，菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （0，DOB =60°，点P 是对角线OC 上的一个动点，已知A （﹣1，0），则AP +BP 的最小值为（ ）A．4 B．5 C．33D．19【答案】D【解析】【分析】点B的对称点是点D，连接AD，则AD即为AP+BP的最小值，求出点D坐标解答即可．【详解】解：连接AD，如图，∵点B的对称点是点D，∴AD即为AP+BP的最小值，∵四边形OBCD是菱形，顶点B（0，23），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（3，3），∵点A的坐标为（﹣1，0），∴AD=22+=，(3)419故选：D．【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．13．如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A．BA=BCB．AC、BD互相平分C．AC⊥BDD．AB∥CD【答案】B【解析】试题分析：根据矩形的判定方法解答．解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分．理由如下：∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴▱ABCD是矩形．其它三个条件再加上AC=BD均不能判定四边形ABCD是矩形．故选B．考点：矩形的判定．14．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则AMMD等于（）A．35B．23C．38D．45【答案】A【解析】试题分析：设AB=a,根据题意知AD=2a，由四边形BMDN是菱形知BM=MD，设AM=b,则BM=MD=2a-b.在Rt△ABM中，由勾股定理即可求值.试题解析：∵四边形MBND是菱形，∴MD=MB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．设AB=a，AM=b，则MB=2a-b，（a、b均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即a2+b2=（2a-b）2，解得a=4b3，∴MD=MB=2a-b=53 b，∴3553AM bMD b==.故选A.考点：1.矩形的性质；2.勾股定理；3.菱形的性质．15．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（ ）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【答案】A【解析】【分析】 首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，∴FB=FC ，∴∠FBC=∠FCB=25°，∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，故选：A ．【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，在 ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连结EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③S 四边形DEBC =2S △EFB ；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】分析：如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．证明△DFE ≌△FCG 得EF=FG ，BE ⊥BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题；详解：如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．点睛：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】D【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．18．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°【答案】B【解析】【详解】解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B．19．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形一定是矩形B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6D．“用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；D. “用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，故选：D.【点睛】此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.20．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）A．65B．85C．125D．245【答案】D【解析】【分析】连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，∴AD⊥BC，BD=DC=6，在Rt△ADB中，由勾股定理得：22221068AB BD=+=，∵S△ADB=12×AD×BD＝12×AB×DE，∴DE=8624105 AD BDAB⨯⨯==，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．。
初三数学四边形试题答案及解析
初三数学四边形试题答案及解析1.在ABCD中，，AE平分∠BAC，交BC于E. 沿AE将△ABE折叠，点B的对应点为F，连结EF并延长交AD于G，EG将ABCD分为面积相等的两部分. 则 .【答案】4.【解析】根据题意，AE平分∠BAC，交BC于E，沿AE将△ABE折叠，点B的对应点为F，∴点F在对角线AC上，且.∵EG将ABCD分为面积相等的两部分，∴点F为对角线AC的中点.∴（等底同高）.∵，∴.【考点】1.折叠问题；2.平行四边形的性质；3. 折叠对称的性质.2.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（）A．11+B．11﹣C．11+或11﹣D．11+或1+【答案】D.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，BC=AD=6，①如图：由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=15，求出AE=，AF=3，在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，把AB=5，AE=代入求出BE=，同理DF=3＞5，即F在DC的延长线上（如上图），∴CE=6-，CF=3+5，即CE+CF=11-，②如图：∵AB=5，AE=，在△ABE中，由勾股定理得：BE=，同理DF=3，由①知：CE=6+，CF=5+3，∴CE+CF=11+，故D．考点: 平行四边形的性质．3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD.（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC的长及四边形AOFE的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可.（2）分别求出AE、OH、CE、CF的长，再求出三角形AEC和三角形COF的面积，即可求出答案．试题解析：（1）∵CE∥AD且CE=AD，∴四边形ADCE是平行四边形.∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°.∴四边形ADCE是矩形.（2）∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴AC=4，∠DAC=30°.∴∠ACE=30°，AE=2，CE=.∵四边形ADCE为矩形，∴OC=OA=2.∵CF=CO，∴CF=2.如图，过O作OH⊥CE于H，∴OE=OC=1.∴.【考点】1.矩形的判定和性质；2.等边三角形的性质．4.如图，已知矩形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，，．（1）在BC边上求作一点E，使OE=OA；（保留作图痕迹，不写画法）（2）求出点E的坐标．【答案】（1）.作图见解析；（2）（8，6）．【解析】（1）利用EO=AO，以O为圆心AO为半径画弧得出E即可；（2）首先过点E作EF⊥OA，垂足为F，得出B点坐标，进而求出FO的长，即可得出E点坐标．试题解析：（1）如图所示：E点即为所求；（2）过点E作EF⊥OA，垂足为F．∵矩形OABC中OC=6，OA=10，∴B点坐标为（10，6）．∴EF=6．又∵OE=OA，∴OF==8．∴点E的坐标为（8，6）．【考点】1.作图—复杂作图；2.坐标与图形性质；3.勾股定理；4.矩形的性质．5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为 .【答案】.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC.∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴EF是△ABD的中位线.∴.∴.【考点】1．平行四边形的性质；2.三角形中位线定理.6.已知：如图，正方形ABCD，E，F分别为DC，BC中点．求证：AE=AF．【答案】证明书见解析．【解析】根据正方形的性质，证明△ADE≌△ABF，即可证得AE=AF．．∵四边形ABCD为正方形，∴ AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB．∵ E、F为DC、BC中点，∴ DE=DC，BF=BC．∴ DE=BF．∵在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）．∴ AE=AF．【考点】1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质．7.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD，求证：∠B＝∠E.【答案】见解析【解析】证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠BCD，∵AD∥BC，∴∠BCD＝∠CDE，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∴∠B＝∠E.8.如图，矩形纸片ABDC中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕A E上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为__________.【答案】.【解析】先根据题意画出图形，由翻折变换的性质得出F、B′重合，分别延长AE，CD相交于点G，由平行线的性质可得出GB′=AB′=AB=4，再根据相似三角形的判定定理得出△ACG∽△PB′G，求出其相似比，进而可求出答案．试题解析：如图所示，设PF⊥CD，由翻折变换的性质可得BP=B′P，又∵P到边CD的距离与到点B的距离相等，∴B'P⊥CD，∵AB平行于CD，∴∠BAG=∠AGC，∵∠BAG=∠B′AG，AGC=∠B′AG，∴GB′=AB′=AB=4，∵PB′⊥CD，∴PB′∥AC，∴△ACG∽△PB′G，∵Rt△ADB′中，AB′=4，AC=3，∴CB′=，在△ACG和△PB′G中．，解得：PB'=考点: 1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.矩形的性质.9.如图所示，在△中，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到．（1）线段的长是，的度数是；（2）连接，求证：四边形是平行四边形.【答案】（1）6，135°；(2)证明见解析.【解析】（1）旋转后的图形与原图形全等知OA1与OA相等，∠AOB1=∠AOA1+∠A1OB1=90°+45°=135°.(2)根据一组对边平等且相等的四边形是平等四边形可证明四边形是平行四边形. 试题解析：（1）6，135°；（2）∵∠AOA1=∠OA1B1=90°∴OA∥A1B1又OA=AB=A1B1，∴四边形是平行四边形．考点: 1.旋转的性质；2。
(易错题精选)初中数学四边形经典测试题附答案(1)
（易错题精选）初中数学四边形经典测试题附答案(1)一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D ．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.2．如图，在四边形ABCD 中，90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=o 连接对角线BD ，过点D 作//DE BC 交AB 于点,E 若23,AB AD CD =+=，则CD =（ ）A ．2B ．1C ．13+D 3【答案】B【解析】【分析】 先根据四边形的内角和求得∠ABC 30︒=，再根据平行线的性质得到∠AED 30︒=，∠EDB=∠DBC ，然后根据三角形全等得到∠ABD=∠DBC ，进而得到EB=ED ，最后在Rt ADE V 中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：在四边形ABCD 中∵90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=o∴∠ABC 30︒=∵//DE BC∴∠AED 30︒=，∠EDB=∠DBC在Rt ABD V 和Rt BCD △中 ∵AD CD BD BD =⎧⎨=⎩∴Rt ABD Rt BCD ≅V V∴∠ABD=∠DBC∴∠EDB=∠ABD∴EB=ED ∵23AB =+在Rt ADE △中，设AD=x,那么DE=2x,AE=232x +-()2222322x x x ++-=解得：121;73x x ==+（舍去）故选：B ．【点睛】此题主要考查四边形的内角和、全等三角形的判断、平行线的性质和勾股定理的应用，熟练进行逻辑推理是解题关键．3．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，BC 长为10cm ．当小莹折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处(折痕为AE )．则此时EC =( )cmA ．4B 2C ．22D ．3【答案】D【解析】【分析】 根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF ，在Rt △ABF 中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC ﹣BF=4，设CE=x ，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到:42+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°．∵长方形纸片ABCD折纸，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），∴AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，AB=8，AF=10，∴6=∴CF=BC﹣BF=4．设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，∴42+x2=（8﹣x）2，解得x=3∴EC的长为3cm．故选：D【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．4．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确；B、两直线平行，内错角相等，正确；C、等腰三角形的两个底角相等，正确；D、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D错误；故选：D.【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.Y的顶点O，A，C的坐标分别为(0,0)，(4,0)，(1,3)，则顶点B 5．如图，若OABC的坐标为（）A．(4,1)B．(5,3)C．(4,3)D．(5,4)【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标.【详解】解：∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，OA∥BC，∴点B的纵坐标为3，∵点O向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点C，∴点A向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点B，∴点B的坐标为：（5，3）；故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题.6．如图，矩形ABCD 中，AB＞AD，AB=a，AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点M，CN⊥AN于点N.则DM+CN 的值为（用含a 的代数式表示）( )A．a B．45a C2D3【答案】C【解析】【分析】根据“AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CNDE CE，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出．【详解】∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°， ∴00cos 4545D CNMcos +=CD ，在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，∴DM+CN=acos45°=22a. 故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE =7．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A ．12B ．1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 31③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD的最小值为31故选D．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC 【答案】A【解析】根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥即可：∵AD=DE，DO∥AB，∴OD为△ABE的中位线．∴OD=OC．∵在Rt△AOD和Rt△EOD中，AD=DE，OD=OD，∴△AOD≌△EOD（HL）．∵在Rt△AOD和Rt△BOC中，AD=BC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（HL）．∴△BOC≌△EOD．综上所述，B、C、D均正确．故选A．9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG ≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝12BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝12BD，AO＝CO，AB∥CD∵BD＝2AD∴BO＝DO＝AD＝BC，且点E是OC中点∴BE⊥AC，∴①正确∵E、F、分别是OC、OD中点∴EF∥DC，CD＝2EF∵G是AB中点，BE⊥AC∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB∴四边形BGFE是平行四边形，∴②④正确，∵四边形BGFE是平行四边形，∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE∴△BGE≌△FEG（SSS）∴③正确故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线及等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．10．如图，菱形ABCD中，对角线BD与AC交于点O， BD=8cm，AC=6cm，过点O作OH ⊥CB于点H，则OH的长为( )A．5cm B．52 cmC．125cm D．245cm【答案】C 【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB 、OC ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据△BOC 的面积列式计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，111163,842222OC AC OB BD ==⨯===⨯= 在Rt △BOC 中，由勾股定理得，2222345BC OB OC =+=+=∵OH ⊥BC ，1122BOC S OC OB CB OH ∴=⋅=⋅V ∴1143522OH ⨯⨯=⨯ ∴125OH =故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC 的面积列出方程．11．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）A ．2B ．322C ．52D ．3【答案】A【解析】【分析】 根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可.【详解】 ∵2119y x =-， ∴当0y =时，21019x =-， 解得：=3x ±，∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∴OC=4，∴BC 长度=2205OB C +=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，即：OE=12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∴BD 的最小值为4，∴OE=12BD=2， 即OE 的最小值为2，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点，若AB ＝AD ＝5，BD ＝8，∠ABD ＝∠CDB ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．40B ．24C ．20D ．15【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AC ⊥BD ，∠BAO=∠DAO ，得到AD=CD ，推出四边形ABCD 是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．【详解】∵AB ＝AD ，点O 是BD 的中点，∴AC ⊥BD ，∠BAO ＝∠DAO ，∵∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ，∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形，∵AB ＝5，BO 12=BD ＝4， ∴AO ＝3，∴AC ＝2AO ＝6，∴四边形ABCD 的面积12=⨯6×8＝24， 故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．13．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x ，y ，z ，则111x y z++的值为（ ） A ．1B ．23C ．12D ．13【答案】C【解析】分析：根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．详解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x 、y 、z ，那么这三个多边形的内角和可表示为：2180x x -⨯（）+2180y y -⨯（）+2180z z （）-⨯=360，两边都除以180得：1﹣2x+1﹣2y +1﹣2z =2，两边都除以2得：1x +1y +1z =12． 故选C ．点睛：解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．14．如图，在ABCD Y 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD Y 的面积为( )A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C【解析】【分析】 由勾股定理的逆定理得出90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，得出ABCD Y 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴142OC OC AC ===，132OB OD BD ===， ∴22225OA OD AD +==，∴90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，∴ABCD Y 是菱形，∴ABCD Y 的面积11862422AC BD =⨯=⨯⨯=； 故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．15．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在ADCD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB =，则EFGH 的面积是( )A．6 B．8 C．9 D．12【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH是等腰直角三角形，于是得到DE＝22EH＝22EF，EF＝22AE，即可得到结论．【详解】解：∵在正方形ABCD中，∠D＝90°，AD＝CD＝AB，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF，∠AFE＝∠FEH＝90°，∴∠AEF＝∠DEH＝45°，∴AF＝EF，DE＝DH，∵在Rt△AEF中，AF2＋EF2＝AE2，∴AF＝EF 2 AE，同理可得：DH＝DE＝22EH又∵EH＝EF，∴DE 2EF22AE＝12AE，∵AD＝AB＝6，∴DE＝2，AE＝4，∴EH2DE＝2，∴EFGH的面积为EH2＝（2）2＝8，故选：B．本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．16．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝12∠CGE．其中正确的结论是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE，，正确．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．17．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）A ．110°B ．120°C ．140°D ．150° 【答案】B【解析】【详解】解：∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=20°， 图b 中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B ．18．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，将边长为4的菱形OBCD 的边OB 固定在x 轴上，开始时30DOB ∠=︒，现把菱形向左推，使点D 落在y 轴正半轴上的点D ¢处，则下列说法中错误的是（ ）A ．点C '的坐标为()4,4B ．60CBC '∠=︒ C ．点D 移动的路径长度为4个单位长度D ．CD 垂直平分BC '【答案】C【解析】【分析】 先证明四边形OBC′D′是正方形，且边长=4，即可判断A ；由平行线的性质得∠OBC 的度数，进而得到60CBC '∠=︒，即可判断B ；根据弧长公式，求出点D 移动的路径长度，即可判断C ；证明CD ⊥BC ′，BC′=BC=2BE ，即可判断D ．【详解】∵四边形OBCD 是菱形，∴OB=BC=CD=OD ，∴OB=BC ′=C ′D ′=OD ′，∵∠BOD′=90°，∴四边形OBC′D′是正方形，且边长=4，∴点C '的坐标为()4,4，故A 不符合题意．∵30DOB ∠=︒，OD ∥BC ，∴∠OBC=180°-30°=150°，∵∠OBC ′=90°，∴60CBC '∠=︒，故B 不符合题意．∵点D 移动的路径是以OD 长为半径，圆心角为∠DOD ′=90°-30°=60°的弧长，∴点D 移动的路径长度=604180π⨯=43π，故C 符合题意. 设CD 与BC′交于点E ，∵在菱形OBCD 中，∠C=30DOB ∠=︒，∵60CBC '∠=︒，∴∠BEC=180°-60°-30°=90°，即CD ⊥BC ′，∴BC′=BC=2BE ，∴CD 垂直平分BC '，故D 不符合题意．故先C ．【点睛】本题主要考查菱形的性质，正方形的判定和性质以及点的坐标，熟练掌握菱形的性质和正方形性质，含30°角的直角三角形的性质，是解题的关键．19．如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC=2，▱ABCD 的周长是在14，则DM 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD ﹣MC=3，故选C．考点：平行四边形的性质．20．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( )A．540°B．720°C．900°D．1080°【答案】A【解析】【详解】解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为：3605 72，∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选A．【点睛】外角和是360°，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和．。
第一章 特殊平行四边形 单元测试（含答案解析）
初中数学北师大版九年级上学期第一章单元测试一、单选题1.已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（）A. ，B. 当时，四边形是菱形C. 当时，四边形是矩形D. 当且时，四边形是正方形2.如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，点E是上一点，连接，若，则的长是（）A. 2B.C. 3D. 43.如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC与G，则四边形EFOG的面积为（）A. B. C. D.4.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，正方形的面积为1，是的中点，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.6.如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则2EF+ED的最小值为( )A. 12B. 12C. 12D. 10二、填空题7.如图，在菱形中，，点E在上，若，则________.8.如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为________．9.如图，在矩形ABCD中，AB＝9，，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C 的对应点是R点，则∠CQP＝________．10.如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是________度.三、作图题11.在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F．（1）尺规作图：在图中求作点E，使得EF＝EC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接FC，求∠BCF的度数．四、综合题12.如图，的对角线AC，BD相交于点O，过点O作，分别交AB，DC于点E、F，连接AF、CE.（1）若，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由.13.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△F AE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．14.如图，的对角线，交于点O，过点D作于E，延长到点F，使，连接，.（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，，试求的长.15.如图，点是正方形外一点，点是线段上一点，且是等腰直角三角形，其中，连接、.（1）求证：；（2）判断与的位置关系，并说明理由.16.如图，菱形的三个顶点、、分别在正方形的边、、上，连接．（1）求证：；（2）当时，求证：菱形为正方形．答案解析部分一、单选题1. B解析：四边形是平行四边形，，故A正确，四边形是平行四边形，，不能推出四边形是菱形，故错误，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，故C正确，四边形是平行四边形，，，四边形是正方形.故D正确.故答案为：B.【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD；（2）根据菱形的判定“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知当AB=CD时，四边形ABCD是菱形错误；（3）根据一个角是直角的平行四边形是矩形可知当∠ABC=90°时，四边形是矩形；（4）根据对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形可知，当且时，四边形是正方形.2. B解析：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴CO=AC=4，OD=BD=3，AC⊥BD，∴DC==5，∠EOC+∠DOE=90°，∠DCO+∠ODC=90°，∵OE=CE，∴∠EOC=∠ECO，∴∠DOE=∠ODC，∴DE=OE，∴OE=CD=.故答案为：B.【分析】根据菱形的性质，可得CO=AC=4，OD=BD=3，AC⊥BD，利用勾股定理及等角的余角相等，可得DC=5，∠DOE=∠ODC，可得DE=OE，从而可得DE=OE=CE，继而得出OE=CD，据此即可求出结论.3. B解析：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，∵点E是线段BC的中点，∴EF、EG都是△OBC的中位线，∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝= S；故答案为：B．【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，证出四边形EFOG 是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，由矩形面积即可得出答案．4. B解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，∴∠AOB=90°，又∵AB+BC+CD+AD=32．∴AB=8，在Rt△AOB中，OE是斜边上的中线，∴OE= AB=4．故答案为：B．【分析】利用菱形的对边相等以及对角线互相垂直，进而利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案．5. B解析：如图，过点E作HF⊥AB，∵AM//CD，∴∠DCE=∠EAM，∠CDE=∠EMA，∴△AME∽△CDE，∴AM：DC=EH：EF=1：2，FH=AD=1，∴EH= ，EF= .∴阴影部分的面积=S正方形ABCD-S△AME-S△CDE-S△MBC=1- - - = .故答案为：B.【分析】根据正方形的性质可得到△AME∽△CDE，根据相似三角形的边对应边成比例，求得EH，EF的长，从而即可求得阴影部分的面积.6. B解析：如图，在AD上取点k，使AK=2，连接EK，在△AEK和△ADE中，∠EAK=∠DAE，∴△AEK∽△ADE，∴，即EK= ED，∴EF+ ED=EF+EK，当F、E、K三点共线时，EF+ ED=FK=6 ，∴(2EF+ED)最小=2(EF+ ED)=12 ，故答案为：B。
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题十(含答案) (55)
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题十（含答案）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE 求证：（1）△ABF△△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据等量代换得到BE=CF，根据平行四边形的性质得AB=DC．利用“SSS”得△ABF△△DCE．（2）平行四边形的性质得到两边平行，从而△B+△C=180°．利用全等得△B=△C，从而得到一个直角，问题得证.【详解】（1）△BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，△BF=CE．△四边形ABCD是平行四边形，△AB=DC．在△ABF和△DCE中，△AB=DC，BF=CE，AF=DE，△△ABF△△DCE．（2）△△ABF△△DCE，△△B=△C．△四边形ABCD是平行四边形，△AB△CD．△△B+△C=180°．△△B=△C=90°．△平行四边形ABCD是矩形．82．如图，长方形ABCD的纸片，长AD=10厘米，宽AB=8厘米，AD 沿点A对折，点D正好落在BC上的点F处，AE是折痕.（1）图中有全等的三角形吗？如果有，请直接写出来；（2）求线段EF的长；∆≅∆（2）5cm【答案】（1）ADE AFE【解析】【分析】（1）由折叠性质可得：△ADE≌△AFE；（2）由（1）可知AF=AD=10，EF=DE，利用勾股定理即可得到FC的长，根据勾股定理可求EF的长．【详解】解：（1）由折叠性质可得：△ADE≌△AFE；（2）△△ADE△△AFE，∴AD=AF=10cm，DE=EF，在Rt△ABF中，222AB，1086∵BC=AD=10cm，BF=6cm，∴FC=4cm，∵在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2．∴EF2=（8-EF）2+16，∴EF=5.【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长度是本题的关键．83．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN．【答案】见解析【解析】【分析】连结PB，由正方形的性质得到BC＝DC，△BCP＝△DCP，接下来证明△CBP△△CDP，于是得到DP＝BP，然后证明四边形BNPM是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP＝MN，从而等量代换可证得问题的答案．【详解】证明：如图，连结PB．△四边形ABCD是正方形，△BC＝DC，△BCP＝△DCP＝45°．△在△CBP和△CDP中，，△△CBP△△CDP（SAS）．△DP＝BP．△PM△AB，PN△BC，△MBN＝90°△四边形BNPM是矩形．△BP＝MN．△DP＝MN．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，证得四边形BFPE为矩形是解题的关键．84．如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，过点D作DE AC 与BC的延长线交于点E，连接AE交DC于F．（1）求证：BC CE =；（2）连结BF ，若DAF FBE ∠=∠，且2AD CF =，求证：四边形ABCD 是正方形．【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得：AD ∥BC ，AD=BC ，又由平行四边形的判定得：四边形ACED 是平行四边形，又由平行四边形的对边相等可得结论；（2）根据（1）：四边形ACED 是平行四边形，对角线互相平分可得：11,22DF CF CD AB ===结合2AD CF =，从而证明AD=AB ，即邻边相等，证明四边形ABCD 为菱形，再证明,BF AF EF == 从而∠ABC=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∵AC ∥DE ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴AD=CE ，∴BC=CE ；（2）由（1）知：四边形ACED 是平行四边形，∴DF=CF=12CD =12AB ，EF=AF ， ∵AD=2CF ，∴AB=AD ，四边形ABCD 为平行四边形，∴ 四边形ABCD 为菱形，∵AD ∥EC ，∴,DAF FEC ∠=∠DAF FBE ∠=∠,FBE FEB ∴∠=∠,FB FE FA ∴==,FAB FBA ∴∠=∠18090,2FBA FBE ︒∴∠+∠==︒ 90,ABE ∴∠=︒ ∴四边形ABCD 是正方形．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，属于基础题，正确利用平行四边形的性质是解题关键．85．如图，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA的中点.a．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是矩形．b．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是菱形．c．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是正方形．【答案】AC△BD AC=BD AC⊥BD且AC=BD【解析】【分析】首先连接AC，BD，由三角形中位线的性质，可判定EH∥FG，GH∥EF，继而可证得四边形EFGH是平行四边形;a、由EFGH是平行四边形可得当原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形;b、由EFGH是平行四边形可得原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC ＝BD时，四边形EFGH是菱形;c、由a与b可得：原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC ＝BD时，四边形EFGH是正方形．【详解】连接AC，BD，∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，同理：GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形．a、当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．∵由①得：四边形MONH是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是矩形．b、当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．∵HG＝12AC，EH＝12BD，∴EH＝GH，∴四边形EFGH是菱形；c、由a与b可得：原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC ＝BD时，四边形EFGH是正方形．故答案为a、AC⊥BD，b、AC＝BD，c、AC⊥BD且AC＝B D．【点睛】本题考查了中点四边形的性质，解题关键是注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．86．如图1、如图2均是边长为1的正方形网格，请按要求用实线画出顶点在格点上的图形。
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题二(含答案) (45)
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题二（含答案）如图，平行四边形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为CD 边的中点，连接OE，如果AB=4，OE=3，则平行四边形ABCD的周长为_____．【答案】20【解析】分析：平行四边形中对角线互相平分，则点O是BD的中点，而E是CD 边中点，根据三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半可得AD=6，进一步即可求得▱ABCD的周长．详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC，又∵点E是CD边中点∴AD=2OE，即AD=6，∴▱ABCD的周长为（6+4）×2=20．故答案为：20．点睛：此题主要考查了平行四边形的性质及三角形中位线定理，三角形中位线性质应用比较广泛；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三、解答题82．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）当m＝-12时，PQ最长，最大值为94；（3）R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．【解析】【分析】（1)根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；(3)根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR的长，根据点的坐标表示方法，可得答案【详解】解：（1）将A （1，0），B （﹣3，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：309330a b a b +-=⎧⎨--=⎩ 解得：12a b =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3，当x ＝﹣2时，y ＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，∴D （﹣2，﹣3），设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，将A （1，0），D （﹣2，﹣3）代入得： 023k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得：11k b =⎧⎨=-⎩∴直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1；因此直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1，抛物线的解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3．（2）∵点P 在直线AD 上，Q 抛物线上，P （m ，n ），∴n ＝m ﹣1 Q （m ，m 2+2m ﹣3）∴PQ 的长l ＝（m ﹣1）﹣（m 2+2m ﹣3）＝﹣m 2﹣m +2 （﹣2≤m ≤1） ∴当m ＝-11-=--122⨯ 时，PQ 的长l 最大＝﹣（1-2 ）2﹣（1-2）+2＝94． 答：线段PQ 的长度l 与m 的关系式为：l ＝﹣m 2﹣m +2 （﹣2≤m ≤1） 当m ＝1-2时，PQ 最长，最大值为94． （3）①若PQ 为平行四边形的一边，则R 一定在直线x ＝﹣2上，如图： ∵PQ 的长为0＜PQ ≤94的整数， ∴PQ ＝1或PQ ＝2，当PQ ＝1时，则DR ＝1，此时，在点D 上方有R 1（﹣2，﹣2），在点D 下方有R 2（﹣2，﹣4）；当PQ ＝2时，则DR ＝2，此时，在点D 上方有R 3（﹣2，﹣1），在点D下方有R4（﹣2，﹣5）；②若PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与DR互相平分，此时R与点C重合，即R5（0，﹣3）综上所述，符合条件的点R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．答：符合条件的点R共有5个，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．【点睛】此题考查一元二次方程-用待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，解题关键在于把已知点代入解析式83．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A 出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）AC的长是，AB的长是．（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．时，【答案】（1）AB=5，AC=10；（2）EF与AD平行且相等；（3）当t=103四边形AEFD为菱形【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，∠C=30°，则AC=2AB，根据勾股定理得到AC和AB的值．（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD∥EF，并且AD=EF，在运动过程中关系不变．（3）求得四边形AEFD为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出AE=AD 时，求出t的值，进而得出答案．【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，∴AC=2AB，根据勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2，∴3AB2=75，∴AB=5，AC=10；（2）EF与AD平行且相等．证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．∴四边形AEFD为平行四边形．∴EF与AD平行且相等．（3）解：能；理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=5，AC=10．∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．若使▱AEFD为菱形，则需AE=AD，．即t=10﹣2t，解得：t=103时，四边形AEFD为菱形．即当t=103故答案为：（1）AB=5，AC=10；（2）EF与AD平行且相等；（3）当t=103时，四边形AEFD为菱形．【点睛】本题考查平行四边形、菱形的判定与性质，以及30°角的直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．84．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．（1）则BC =____________cm ；（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．【答案】（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s【解析】【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【详解】（1）在Rt △ABC 中，BC12==(cm )．故答案为：12；（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，∴PC = PA =t ，PB =16-t ．在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +-=（， 解得：t =252． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132⨯-=(cm )；（3）分三种情况讨论：①当CQ =BQ 时，如图1所示，则∠C =∠CBQ ．∵∠ABC =90°，∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，∴∠A =∠ABQ ，∴BQ =AQ ，∴CQ =AQ =10，∴BC +CQ =22，∴t =22÷2=11(s )．②当CQ =BC 时，如图2所示，则BC +CQ =24，∴t =24÷2=12(s )．③当BC =BQ 时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯===，∴CE 365====7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，∴CQ =2CE =14.4，∴BC +CQ =26.4，∴t =26.4÷2=13.2(s )．综上所述：当t为11s或12s或13.2s时，△BCQ为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．85．按要求作图，不要求写做法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用．．直尺（不带刻度）在边AD上找点F，使DF=BE．．．（不带刻度）（2）如图2，BE是菱形ABCD的边AD上的高，请只用直尺．．．．作出菱形ABCD的边AB上的高DF．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析．【解析】【分析】（1）根据平行四边形是中心对称图形，找到对称中心——即对角线的交点，；连接EO并延长交边AD于点F即可得DF BE（2）根据菱形是关于对角线对称的轴对称图形，根据轴对称的性质作出线段BF关于AC对称的DF即可．【详解】解：（1）如图所示：①连接AC、BD交于O，②连接EO并延长交AD于F点，（2）如图所示：①连接AC、BD交于点G；②连接DG并延长交AB于点F，由轴对称可知，DF⊥AB，【点睛】本题考查了作图 复杂作图、平行四边形的性质、菱形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，菱形的对角线所在直线是菱形的对称轴．86．已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC+S△PAD=12BC•PF+12AD•PE=12BC（PF+PE）=12BC•EF=12S矩形ABCD．（1）请补全以上证明过程．（2）请你参考上述信息，当点P分别在图1、图2中的位置时，S△PBC、S△PAC、S PCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．【答案】（1）证明见解析；（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD；图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PCD，证明见解析.【解析】【分析】分析图2，先过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点，利用三角形的面积公式可知，经过化简，等量代换，可以得到S△PBC=S△PAD+1S矩形ABCD，2S矩形ABCD，故有S△PBC=S△PAC+S△PCD．而S△PAC+S△PCD=S△PAD+12【详解】S矩形ABCD,（1）证明：∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=12∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，∴S△PBC=S△PAC+S△PCD；（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD；图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PCD．证明：如图，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC=12BC•PF=12BC•PE+12BC•EF=1 2AD•PE+12BC•EF=S△PAD+12S矩形ABCDS△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+12S矩形ABCD∴S△PBC=S△PAC+S△PCD．【点睛】本题利用了三角形的面积公式，以及图形面积的整合等知识．87．如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？（如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？）【答案】（1）是，详见解析；（2）是，详见解析；（3）90°；（4）是，详见解析【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 与DEFG 是正方形，可得AD CD =，DG DE =，90ADC GDE ∠∠︒＝＝，进而得出ADG CDE ∠∠＝，然后由边角边即可判定ADG CDE ≌；（2）根据全等三角形的性质则可证得AG CE =；（3）根据全等三角形的性质和角的关系即可得出夹角是90︒；（4）根据全等三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：（1）结论：成立证明：∵ABCD 和DEFG 是正方形∴AD CD =，DG DE =，且90ADC GDE ∠∠︒＝＝∴ADG CDE ∠∠＝在ADG 与CDE △中AD CD ADG CDE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADG CDE SAS ≌；（2）结论：AG CE =证明：∵ADG CDE ≌∴AG CE =；（3）CE 与DG 交点为O ，如图：∵ADG CDE ≌∴DEC AGD ∠∠＝∵90DEC DOE ∠+∠︒＝∴90AGD DOE AGD GOH ∠+∠︒∠+∠＝＝∴90GHE ∠︒＝∴AG 和CE 的夹角为90︒；（4）结论：HD 平分AHE ∠证明：过点D 作MD AG ⊥，DN CE ⊥，如图：∵ADG CDE ≌∴DCE ADG S S ＝ ∴22CE DN AG DM ⋅⋅= ∵AG CE =∴DM DN ＝∵MD AG ⊥，DN CE ⊥∴HD 平分AHE ∠．由勾股定理可得：AC 2+GE 2=AE 2+CG 2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、角的和差、三角形的面积、角平分线的判定、三角形的内角和等知识点，体现了逻辑推理的核心素养，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．88．如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG ∥CD 交BE 于点G ，连接CG ．（1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若BC =10，cos ∠ABF 45=，求菱形CEFG 的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）174． 【解析】【分析】 （1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE ≌△BFE ，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF 的长，设EF=x ，则CE=x ，DE=6-x ，得出22+（6-x ）2=x 2，可得出答案．【详解】解：（1）由题意可得：△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC =∠BEF ，FE =CE ．∵FG ∥CE ，∴∠FGE =∠CEB ，∴∠FGE =∠FEG ，∴FG =FE ，∴FG =EC ，∴四边形CEFG 是平行四边形，又∵CE =FE ，∴四边形CEFG 是菱形；（2）∵矩形ABCD 中，BC =10，cos ∠ABF 45AB BF ==， 由翻折可知： BF =BC =10，∴AB =8，AD =10，∴∠BAF =90°，AD =BC =BF =10，∴AF =6，∴DF =4，设EF =x ，则CE =x ，DE =8﹣x ．∵∠FDE =90°，∴22+(8﹣x )2=x 2，解得：x174=，∴CE174 =．【点睛】本题考查了翻折变换、菱形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答．89．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4cm，AB＝6cm，BC=12cm，DC＝10cm.若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C 点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动. 当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动. 设点P、Q同时出发，并运动了t秒.（1）求梯形ABCD的面积.（2）当t为何值时，四边形PQCD成为平行四边形？（3）是否存在t，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC（如图(2)所示）？若存在，求出此时t的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）48cm2（2）t=49(3) t=74【解析】（1）作DH∥AB交BC于H，利用勾股定理说明DH∥BC再求得面积为；（2）若四边形PQCD成为平行四边形，则PD=CQ，即可得到结果；（3）连接DQ，根据面积相等得PQ=3t，即得CQ="5t," PC=14－4t，再根据勾股定理即可求得结果。
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题(含答案) (59)
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题一（含答案）在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE⊥AB 于点E，点F 在CD 上，CF =AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若AF 平分∠BAD，交DE与H点，且AB=3AE，BF=6，求AH 的长．【答案】（1）证明见解析; （2）4.【解析】【分析】（1）由CF =AE易得BE=DF．根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．（2）由AF 平分∠BAD，结合平行四边形性质可知AD=DF，而AB=3AE，即可知AD=DF=2AE，推出∠ADE=30°，由此可以解题.【详解】（1）证明：∵在□ABCD中，AB∠CD，AB=CD，∵CF=AE，∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF，∵BE∠DF，∴四边形DEBF是□DEBF，∵DE∠AB，∴∠DEB＝90º，∴四边形BFDE 是矩形. （2）解：∵AF 平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∠CD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD=DF，∵AB=3AE∴BD=2AE∵BD=DF，AD=DF∴AD=2AE，又∠AED=90º∴∠4=30º，∠DAE=60º在矩形DEBF中DE=BF=6∴在 Rt ΔAEH 中，∵∠AEH=90º，∠1=12∠DAE=30º ∴AH=cos30AE= 4 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、角平分线的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是通过线段比转化得出∠HAE=30°．102．如图所示,点B 、F 、C 、E 在同一直线上,AC 、DF 相交于G,AB ⊥BE,垂足为B,DE ⊥BE,垂足为E,且AB=DE,BF=CE.(1)求证:△ABC ≌△DEF;(2)如果GF=4,求GC 的长.【答案】（1）见解析；（2）GC ＝4【解析】【分析】(1)要证明三角形ABC 和DEF 全等．这两个三角形中已知的条件有一组直角，AB=DE ，那么只需证得BC=EF 即可得出两三角形全等的结论，已知了BF=CE ，等式两边都加上FC 后，就可得出BC=EF ，那么这两三角形也就全等了（SAS ）；(2)根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠DFE ，再根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明:AB BE DE BE ，，⊥⊥90ABC DEF ∴∠=∠=︒，BF CE =，BC EF ∴=，ABC DEF ∆∆在与中，AB DE ABC DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABC DEF SAS ∴∆∆≌（）(2)ABC DEF ∆∆≌，ACB DFE ∴∠=∠，4GC GF ∴==．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质．利用全等三角形来得出角相等或线段相等是解此类题的关键．103．如图，平行四边形,,ABCD AD AC AD AC =⊥．（1）如图，点E 在AD 延长线上，//CE BD ，求证：点D 为AE 中点．（2）如图，点E 在AB 中点，F 是AC 延长线上一点，且ED EF ⊥，求证：ED EF =．（3）在（2）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论（先补全图形再解答）．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）四边形ACPE是平行四边形，补图与证明见详解．【解析】【分析】（1）先由平行四边形ABCD可得AD∠BC，AD＝BC，再证四边形BDEC 为平行四边形可得BC＝DE，再等量代换即可得证；（2）连接CE，根据三线合一可证得∠AEC＝90°，结合∠DEF＝90°，可得∠AED＝∠CEF，根据∠ACB＝90°，E为AB中点可得CE＝AE，再结合∠DAE ＝∠ECF＝135°即可证得∠DAE∠∠ECF进而得证；（3）四边形ACPE是平行四边形，理由如下：先证得∠CEB＝∠EBP＝∠ECP ＝90°可得矩形BECP，进而得CP＝BE等量代换得AE＝CP，再结合AE∥CP 即可得证．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∠BC，AD＝BC，∵AD∠BC，CE∥BD，∴四边形BDEC为平行四边形，∴BC＝DE，又∵AD＝BC，∴AD＝DE，∴点D为AE中点．（2）如图，连接CE，∵AD∠AC，AD∠BC，∴∠ACB＝∠DAC＝90°，∵AD＝BC，AD＝AC，∴BC＝AC，∵BC＝AC，点E为AB中点，∴CE∠AB，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∴∠AED＋∠DEC＝90°，∵ED⊥EF，∴∠CEF＋∠DEC＝∠DEF＝90°，∴∠CEF ＝∠AED ，∵∠ACB ＝90°，BC ＝AC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∴∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAB ＝135°，∵∠ACB ＝90°，点E 为AB 中点，∴CE ＝AE ＝12AB ， ∴∠ACE ＝∠CAB ＝45°，∴∠FCE ＝180°－∠ACE ＝135°，∴∠FCE ＝∠DAE ，在△DAE 和△FCE 中，DAE FCE AE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DAE ≌△FCE （ASA ），∴DE ＝EF ．（3）如图，四边形ACPE 是平行四边形，理由如下：∵△DAE ≌△FCE ，∴AD ＝CF ，∵AD ＝BC ，∴BC＝CF，又∵∠FCB＝180°－∠ACB＝90°，∴∠CBF＝∠CFB＝45°，∵∠CBA＝45°，∴∠EBF＝∠CBF＋∠CBA＝90°，∵AB∠CD，∠BEC＝90°，∴∠ECP＝180°－∠BEC＝90°，∴∠ECP＝∠BEC＝∠EBF＝90°，∴四边形BECP为矩形，∴BE＝CP，又∠AE＝BE，∴AE＝CP，∠AE＝CP，AE∥CP，∴四边形ACPE是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形、矩形等图形的判定与性质，是一道四边形的综合题，熟练运用相关图形的性质，作出正确的辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．104．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过A作AF∥BC交BE延长线于F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与△ACD 面积相等的三角形（不包含△ACD ）．【答案】（1）见解析；（2）与△ACD 面积相等的三角形有：△ABD ，△ACF ，△AFB【解析】【分析】（1）首先由E 是AD 的中点，AF ∥BC ，易证得△AFE ≌△DBE ，即可得AF ＝BD ，又由在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，可得AD ＝BD ＝CD ＝AF ，证得四边形ADCF 是平行四边形，继而判定四边形ADCF 是菱形；（2）根据平行线之间的距离处处相等、等高模型和菱形的性质即可解决问题；【详解】（1）证明：如图，∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE ，∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，∴AE ＝DE ，BD ＝CD ，在△AFE 和△DBE 中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFE ≌△DBE （AAS ）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝12 BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）∵BD=CD，而△ABD的边BD上的高即为△ACD的边CD上的高∴S△ACD=S△ABD；∵四边形ADCF是菱形∴S△ACD=S△ACF；∵AF∥CD∴△ACD的边CD上的高等于△BAF的边AF上的高∵AF=CD∴S△ACD=S△AFB综上：与△ACD面积相等的三角形有：△ABD，△ACF，△AFB．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形的性质和三角形的面积，掌握全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行线之间的距离处处相等是解决此题的关键．105．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：(1)四边形OCED是矩形；(2)OE＝BC．【答案】见解析【解析】试题分析：()1根据菱形的定义即可证得；()2根据平行四边形的对边相等即可证得．，，试题解析：()1DE AC CE BD∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴⊥AC BD.DOC∴∠=︒90.∴四边形OCED是矩形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴=BC CD.∵四边形OCED是矩形，∴=，OE CD∴=.OE BC106．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于O，点E、F分别是线段AO、BO的中点.若32AC BD+=厘米，OAB∆的周长是24厘米，求EF的长.【答案】4EF=【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知OA=12AC，OB=12BD，结合AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF 的长．【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=32厘米，∴OB+0A=16厘米，∵△OAB的周长是24厘米，∴AB=24-16=8厘米，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=12AB=4厘米，故答案为:4cm．【点睛】本题考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解题的关键是求出AB的长．107．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．易证：CE＝CF．（1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°．试猜想GE，BE，GD 三线段之间的数量关系，并证明你的结论．（2）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：①如图2，在四边形ABCD中∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，点E，点G分别是AB边，AD边上的动点．若∠BCD＝α，∠ECG＝β，试探索当α和β满足什么关系时，图1中GE，BE，GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A，C分别在y 轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图3）．设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC 的过程中，p值是否有变化？若不变，请直接写出结论．【答案】（1）GE=GD+DF，证明见解析；（2）β=2α时，GE=GD+DF仍然成立，理由见解析；（3）△BMN的周长没有变化，周长为2．【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得∠BCD=∠B=∠ADC=90°，BC=CD，由∠CEG=45°可得∠BCE+∠DCG=45°，利用SAS可证明△BCE≌△DCF，可得∠BCE=∠DCF，CE=CF，即可得出∠FCG=45°，可得∠FCG=∠GCE，利用SAS 可证明△CEG≌△CFG，可得EG=FG，根据BE=DF即可得出GE=GD+BE；（2）①如图，延长AD到F，使DF=BE，连接CF，利用SAS可证明△BCE≌△DCF，可得∠BCE=∠DCF，CE=CF，根据GE=GD+BE可得EG=GF，利用SSS可证明△CEG≌△CFG，可得∠GCF=∠GCE，由∠GCF=∠GCD+∠DCF可得∠GCE=∠GCD+∠BCE，即可得出∠BCD=2∠GCE，可得答案；②如图，延长BA，交y轴于H，由旋转的性质可得∠HOA=∠NOC，利用ASA可证明△HOA≌△NOC，可得AH=CN，OH=ON，由直线OM的解析式可得∠HAM=∠MON=45°，利用SAS可证明△HOM≌△NOM，可得HM=MN，可得MN=AM+CN，即可得出△MBN的周长p=AB+BC=2，即可证明△MBN的周长没有变化．【详解】（1）GE=GD+DF，理由如下：∵ABCD是正方形，∴∠BCD=∠B=∠ADC=90°，BC=CD，在△BCE和△DCF中，BC CDEBC FDC BE=DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，∴△BCE≌△DCF，∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，∵∠GCE=45°，∴∠BCE+∠DCG=45°，∴∠DCF+∠DCG=45°，即∠GCF=45°，∴∠GCF=∠GCE，在△CEG和△CFG中，CE CFGCE GCF CG CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEG≌△CFG，∴GE=GF=GD+DF．（2）当β=2α时，GE=GD+DF仍然成立，理由如下：如图，延长AD到F，使DF=BE，连接CF，在△BCE和△DCF中，BC CDEBC FDC=90 BE=DF=⎧⎪∠=∠︒⎨⎪⎩，∴△BCE≌△DCF，∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，∵EG=GD+BE，∴EG=GD+DF=GF，在△CEG和△CFG中，CE CF EG GF CG CG=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△CEG≌△CFG，∴∠ECG=∠FCG，∴∠ECG=∠DCF+∠DCG=∠BCE+∠DCG，∴∠BCD=2∠ECG，即β=2α，∴当β=2α时，图1中GE，BE，GD三线段之间的关系仍然成立．（3）如图，延长BA，交y轴于H，∵将正方形OABC绕O点顺时针旋转，∴∠HOA=∠NOC，在△HOA和△NOC中，HOA NOC OA OCOAH OCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△HOA≌△NOC，∴AH=CN，OH=ON，∵直线OM的解析式为y=x，∴∠HOM=∠MON=45°，在△HOM和△NOM中，OH ONHOM MON OM OM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴HM=MN，∴MN=AM+AH=AM+CN，∴△BMN的周长p=BM+MN+BN=BM+AM+CN+BN=AB+BC=2，∴△BMN的周长没有变化，周长为2．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质及正比例函数的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．108．在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．（1）如图①，当点H与点C重合时，可得FG FD．（大小关系）（2）如图②，当点H为边CD上任意一点时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．（3）在图②中，当AB=8，BE=3时，利用探究的结论，求CF的长．【答案】（1）＝；（2）FD=FG，理由见解析；（3）4811【解析】（1）连接AF，根据图形猜想FD=FG，由折叠的性质可得AB=AG=AD，再结合AF为△AGF和△ADF的公共边，从而证明△AGF≌△ADF，从而得出结论．（2）连接AF，根据图形猜想FD=FG，由折叠的性质可得AB=AG=AD，再结合AF为△AGF和△ADF的公共边，从而证明△AGF≌△ADF，从而得出结论．（3）设FG=x，则FC=8-x，FE=3+x，在Rt△ECF中利用勾股定理可求出x的值，进而可得出答案．解：（1）连接AF，由折叠的性质可得AB=AG=AD，在Rt△AGF和Rt△ADF中，，∴△AGF≌△ADF．∴FG=FD．（2）猜想FD=FG．证明：连接AF，由折叠的性质可得AB=AG=AD，在Rt△AGF和Rt△ADF中，，∴△AGF≌△ADF．∴FG=FD．（3）设FG=x，∵AB=8，BE=3，∴BC=CD=8，∴FC=8﹣x，FE=3+x，EC=8﹣3=5，在Rt△ECF中，EF2=FC2+EC2，即（3+x）2=（8﹣x）2+52，解得x=．∴CF=8﹣=，即FG的长为．点睛：本题主要考查折叠、正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理，是一道四边形综合问题.解题的关键在于要利用折叠及正方形的性质找出相等的线段，为全等的证明作好铺垫.109．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连OH接，求证：∠DHO=∠DCO.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．试题解析：∠四边形ABCD是菱形，∠OD=OB，∠COD=90°，∠DH∠AB，∠OH=12BD=OB，∠∠OHB=∠OBH，又∠AB∠CD，∠∠OBH=∠ODC，在Rt∠COD中，∠ODC+∠DCO=90°，在Rt∠DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∠∠DHO=∠DCO．考点：菱形的性质．110．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．【答案】（1）见解析；（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．【解析】【分析】（1）由△AEF ≌△CED ，推出EF ＝DE ，又AE ＝EC ，推出四边形ADCF 是平行四边形，只要证明∠ADC ＝90°，即可推出四边形ADCF 是矩形．（2）根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定即可找出图中的所有平行四边形．【详解】（1）证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠EDC ，∵E 是AC 中点，∴AE ＝EC ，在△AEF 和△CED 中，AFE CDE AEF CED AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△CED ，∴EF ＝DE ，∵AE ＝EC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴四边形ADCF 是矩形．（2）∵线段DG 、线段GE 、线段DE 都是△ABC 的中位线，又AF ∥BC ， ∴AB ∥DE ，DG ∥AC ，EG ∥BC ，∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE 都是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题六(含答案) (59)
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题六（含答案）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；2实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：结论仍然成立，理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间的距离为210海里．【解析】试题分析：问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明∠ABE和∠ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明∠AEF和∠GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解；实际应用：先连接EF，延长AE、BF相交于点C，再求出∠EAF=1∠AOB，2判断出符合探索延伸的条件，最后根据探索延伸的结论解答．试题解析：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．证明如下：如图2，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∠∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∠∠B=∠ADG，在∠ABE和∠ADG中，，∠∠ABE∠∠ADG（SAS），∠AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠∠EAF=∠BAD，∠∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∠∠EAF=∠GAF，在∠AEF和∠GAF中，，∠∠AEF∠∠GAF（SAS），∠EF=FG，∠FG=DG+DF=BE+DF，∠EF=BE+DF；实际应用：方法一：如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∠∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∠∠EOF=∠AOB，又∠OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∠符合探索延伸中的条件，∠结论EF=AE+BF 成立，即EF=1．5×（60+80）=210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．考点：全等三角形的性质与判定102．如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，AB CD =．求证：四边形ABCD 是矩形．【答案】详见解析【解析】【分析】连接AC ，先利用HL 证明Rt Rt ABC CDA ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得出四边形ABCD 为平行四边形，进一步可得出四边形ABCD 为矩形．【详解】证明：连接AC∵90B D ∠=∠=︒∴ABC ∆和CDA ∆都是直角三角形∴在Rt ABC ∆和Rt CDA ∆中AB CD AC CA =⎧⎨=⎩∴在Rt Rt (H.L.)ABC CDA ∆∆≌∴BC AD =∵BC AD =，AB CD =∴四边形ABCD 为平行四边形∵90B ∠=︒∴ABCD 为矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，需要掌握平行四边形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质．103．如图，已知 Rt ABC ∆，90ACB ︒∠=，CD 是斜边AB 的中线，过点A 作AE CD ⊥，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，且2AH CH =，求sin B 的值．【解析】【分析】 根据∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，可得出12CD AB BD ==，则DCB B ∠=∠，再由题意，可得∠B=∠CAH ，由AH=2CH ，根据三角函数即可可得出CH ：，即可得出sinB 的值； 【详解】 解：∵∠ACB=90°，CD 是斜边AB 的中线， ∴12CD AB BD ==. ∴DCB B ∠=∠．又∵90ACD DCB ︒∠+∠=，90ACD CAH ︒∠+∠=，∴DCB CAH B ∠=∠=∠．在Rt ACH ∆中，2AH CH =．∴AC =．∴sin sinCH B CAH AC =∠===【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线和三角函数，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质和三角函数的计算.104．已知：如图，ABCD 中，5AB =，3BC =．（1）作DAB ∠的角平分线，交CD 于点E （用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE 的长为2【解析】【分析】（1）根据尺规作图作DAB的平分线即可；（2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义，求出DE＝DA＝BC＝3，再求出CE即可．【详解】解：如图，（1）AE即为∠DAB的角平分线；（2）∵AE为∠DAB的角平分线，∴∠DAE＝∠BAE，在▱ABCD中，CD∥AB，∴∠BAE＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝BC＝3，∵DC＝AB＝5，∴CE＝CD﹣DE＝2．答：CE的长为2．【点睛】当平行线遇上角平分线时，通过角的转化，可以得到等腰三角形，这是初中几何一个很重要的数学模型，要深刻领会．105．如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定. 已知菱形ABCD的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离AC为24cm，求B、M之间的距离.【答案】B、M之间的距离是30cm.【解析】分析：连接AC，BD交于点O，根据四边形ABCD是菱形求出AO的长，然后根据勾股定理求出BO的长，于是可以求出B、M两点的距离．详解：连接AC，BD交于点O．AC=12厘米，AC⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AO=12∴BO=5厘米，∴BD=2BO=10厘米，∴BM=3BD=30厘米．点睛：本题主要考查菱形的性质和勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键，此题难度一般．106．图①，图②都是4×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，且点A，B均在格点上．（1）在图①中以AB为对角线画出一个矩形，使矩形的另外两个顶点也在格点上，且所画的矩形不是正方形；（2）在图②中以AB为对角线画出一个菱形，使菱形的另外两个顶点也在格点上，且所画的菱形不是正方形；（3）图①中所画的矩形的面积为；图②中所画的菱形的周长为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8，4．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质画图即可；（2）根据菱形的性质画图即可；（3）根据矩形的面积公式和菱形的周长公式即可得到结论．【详解】解：（1）如图①所示，矩形ACBD即为所求；（2）如图②所示，菱形AFBE 即为所求；（3）矩形ACBD 的面积=2×4=8；菱形AFBE 的周长=4， 故答案为：8，．【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图．熟记矩形和菱形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在．107．已知ABC ∆中，D 是AB 上一点，AD AC =，AE CD ⊥，垂足是E ，F 是BC 的中点，试说明2BD EF =.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得E 为CD 中点，继而根据三角形中位线定理进行证明即可.【详解】∵AD=AC，AE⊥CD，∴E为CD中点，又∵F为BC中点，∴EF是∵CBD的中位线，∴BD=2EF.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键.注意数形结合思想的应用.108．已知：如图，在ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，⊥1=⊥2．（l）若CF=2，AE=3，求BE的长；（2）求证：1∠=∠．CEG AGE2【答案】（1）BE=（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，由已知，经过等量代换得到直角三角形ABE的AB长，从而由已知的AE长，应用勾股定理可求得BE的长．（2）过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG=∠EGH，通过△CEG≌△CDF 得到点G为CD的中点，从而确定GH是AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得到GA=GE，进而根据等腰三角形三线合一的性质，得∠EGH=∠AGH，从而得证．【详解】解：（1）∵CF=2，点F为CE的中点，∴CE=4．∵CE=CD，∴CD=4．∵四边ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4．∵AE⊥BC，AE=3，∴BE==．（2）如图，过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG=∠EGH．∵∠1=∠2，∠C=∠C，CE=CD，∴△CEG≌△CDF（AAS）．∴CG=CF．∵点F为CE的中点，∴点G为CD的中点．∴点H为AE的中点，即GH是AE的垂直平分线．∴GA=GE．∴∠EGH=∠AGH．∴1CEG AGE2∠=∠．109．如图，在ABCD中，对角线,AC BD交于点O，且OA OB=．（1）求证：ABCD是矩形；=．（2）点E在BA延长线上，且,AE AB=连接,DE求证：DE AC 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明；（2）证明四边形CAED是平行四边形即可证明．【详解】()1四边形ABCD是平行四边形∴==,OA OC OB OD=OA OB∴=DB AC∴是矩形．ABCD()2∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB即CD∥AE，CD=AB，=，AE AB∴AE=CD，∴四边形CAED是平行四边形，DE AC∴=．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定．熟练掌握相关定理，并能结合题意灵活运用是解决此题的关键．110．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且CE＝CF，（1）求证△ABE≌△ADF．（2）若∠B＝50°，AE⊥BC，求∠AEF的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠AEF＝65°【解析】【分析】（1）由“SAS”可证∵ABE∵∵ADF；（2）由菱形的性质可求∵C＝110°，由余角的性质可求∵CEF的值，即可求∵AEF的值．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∵AB＝AD＝BC＝CD，∵B＝∵D，AB∵CD．∵CE＝CF，∵BE＝DF，且∵B＝∵D，AB＝AD，∵∵ABE∵∵ADF（SAS）；（2）∵AB∵CD，∵∵B+∵C＝180°，且∵B＝50°，∵∵C＝130°，且CE＝CF，∵∵CEF＝25°．∵AE∵BC，∵∵AEF＝90°﹣25°＝65°．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，熟练运用菱形的性质是本题的关键．。
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题(含答案) (131)
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题一（含答案）（1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三角形分成了两个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相等，在此基础上我们可以继续研究：如图1，AD∥BC，连接AB，AC，BD，CD，则S△ABC=S△BCD．证明：分别过点A和D，作AF∥BC于F．DE∥BC于E，由AD∥BC，可得AF=DE，又因为S△ABC=12×BC×AF，S△BCD=12×BC×DE ．所以S△ABC=S△BCD由此我们可以得到以下的结论：像图1这样．（2）问题解决：如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过点B 作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，请你运用上面的结论证明：S▱ABCD=S△APD（3）应用拓展：如图3，按此方式将大小不同的两个正方形放在一起，连接AF，CF，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是cm2．【答案】（1）同底等高的两三角形面积相等；（2）证明见解析（3）40 【解析】试题分析：（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等（2）利用（1）的结论△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，从而S▱ABCD=S△APD。
（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DGFE的边长为b，阴影部分面积是S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF，分别计算.试题解析：（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等；故答案为：同底等高的两三角形面积相等.（2）△AB△CE，BE△AC，△四边形ABEC为平行四边形，△△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，△S△ABC=S△AEC，△S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DGFE的边长为b，△S△ACF=S四边形ACEF﹣S△CEF=S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF=12×b×（a﹣b）+b×b+12×a×a﹣12×b×（b+a）=12ab﹣12b2+b2+12a2﹣12b2﹣12ab=12a2，△S△ACF=12S正方形ABCD=12×80cm2=40cm2.故答案为：40．102．如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF 于点P、G、Q．（1）求△CEF的周长；（2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；（3）连接QE，求证：AQ=EQ．【答案】（1）△ECF的周长为20；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）想办法证明EB＝EH，FD＝FH，即可解决问题；（2）通过计算求出CF、DF即可解决问题；（3）想办法证明△APB∽△QPE，可得∠AEQ＝∠ABP＝45°即可解决问题. 【详解】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AHE中，∵∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH=10，AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=HE，同理，DF=FH，∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20．（2）∵E是BC中点，∴BE=EC=EH=5，设DF=FH=x，则CF=10﹣x，在Rt△ECF中，∵∠C=90°，∴EF2=EC2+CF2，∴52+（10﹣x）2=（5+x）2，解得x=103，即DF=103，则CF=10﹣103=203，∴CF=2DF；（3）在△BPE和△APQ中，∠EBP=∠QAP=45°，∠BPE=∠APQ，∴△BPE∽△APQ，∴BPAP=EPQP，即BPEP =AP QP，∵∠APB=∠QPE，∴△APB∽△QPE，∴∠QEP=∠ABP=45°，∵∠EAF=45°，∴∠QEA=∠QAE=45°，∴AQ=EQ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．103．△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°.（1）如图1，点E在BC上，则线段AE和BD有怎样的关系？请直接写出结论（不需证明）；（2）若将△DCE绕点C旋转一定的角度得图2，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）当△DCE旋转到使∠ADC=90°时，若AC=5，CD=3，求BE的长.【答案】(1)AE=BD，AE⊥BD ；（2）见解析；（3）【解析】分析：（1）延长AE交BD于F,由△AEC≌△BDC,可得AE=BD,再利用同角的余角相等，可得出AE⊥BD ；（2）不发生变化，只要证明△AEC≌△BDC，推出AE=BD，∠EAC=∠DBC,由∠EAC+∠AFC =90°，∠AFC=∠BFG,可得∠BGF=90°，从而得证；（3）过B作BM⊥EC于M，则∠M=90°，在RT△ACD 中利用勾股定理可得AD=4,再利用△BCM≌△ACD，得出CM=CD=3,BM=AD=4，在△BME中利用勾股定理即可求出结果.本题解析：(1)AE=BD，AE⊥BD ；(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：∵△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=△ECD=90°∴AC=BC, △ACE=△BCD，EC=DC∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD, △EAC=△DBC∵△EAC+△AFC =90°，△AFC=△BFG∴△DBC+△BFG=90°, ∴△BGF=90°,∴AE△BD(3) 过B作BM△EC于M，则∠M=90°∵△ADC=90°，AC=5，CD=3，∴AD=4=∵△ACB=△ECD=90°, ∴△CBE+△ACD=180°∵△CBE+△BCM=180°, ∴△BCM=△ACD∵△M=△ADC=90°, AC=BC∴△BCM≌△ACD(AAS), ∴CM=CD=3, BM=AD=4∵CE=CD=3，∴EM=6，∴B E=104．在正方形ABCD中，点E是直线CD上一动点，以BE为斜边向上方作等腰直角△BEF ，连接AF ，试求线段AF 与DE 的数量关系．（1）小可同学进行探索：△将点E 的位置特殊化，发现DE= ___ AF ； △点E 运动过程中，△BAF= ___ ；(填度数)（2）如图1，当点E 在线段CD 上时，证明AF 与DE 的数量关系；（3）如图2，当边EF 被对角线BD 平分时，求DEM AFB S S 值． 【答案】（1）△DE =；△45°或135°；（2）DE =；（3）34DMEABF S S = 【解析】【分析】（1）△当点E 与点C 重合、点F 与点O 重合时，可证得AF ，△BAF=45°；△当点E 在CD 延长线上时，利用两边对应成比例且夹角相等证得△ABF △△DBE ，即可求得△BAF=△BDE=135°；（2）利用两边对应成比例且夹角相等证得△ABF △△DBE ，即可求得答案；（3）利用（2）的结论证得22EDB AFB S DE S AF==()，BF 2a =，则FE=2a ，BE=，求得BM =，证得△MBE ∽△EBD ，得到BE BM BD BE=，即可求得BD和MD 的长，从而求得答案．【详解】（1）△△四边形ABCD 是正方形，△OB=OC=12AC=12BD ，△BOC=90°， 当点E 与点C 重合、点F 与点O 重合时，如图：△BEF 等腰直角三角形，△AF ，△△BAF=45°；当点E 在CD 延长线上时，如图：连接BD ，△四边形ABCD 是正方形△△ABD=45°，△cos 452AB BD =︒=， △△BEF 是等腰直角三角形，△BFE=90°， △BF=FE ，△FBE=45°，△cos 45BF BE =︒=， △AB BF BD BE =，即AB BD BF BE=， △△ABF+△EBA =△DBE+△EBA =45°， △△ABF=△DBE ，△△ABF △△DBE ，△△BAF=△BDE=△ADB+△ADE =45°+90°=135°， 故答案为：△AF ，△△BAF=45°或135°；（2）连接BD ，△四边形ABCD 是正方形△△ABD=45°，△cos 452AB BD =︒=， △△BEF 是等腰直角三角形，△BFE=90°， △BF=FE ，△FBE=45°，△cos 452BF BE =︒=， △AB BF BD BE =，即AB BD BF BE=， △△ABF+△DBF =△DBE+△DBF=45°， △△ABF=△DBE ，△△ABF △△DBE ，△DE BD AF AB==，△DE =；（3）△△ABF △△EBD ， △22EDB AFB S DE S AF==()，又△△MEB=△BDE=45°，△MBE=△EBD ， △△MBE △△EBD ，△BE BM BD BE=， 令BF 2a =，△FE=2a ，BE=， △M 是FE 的中点，△FM=12FE a =， △==，=， △，△，△3588DME DBE SMD S BD ===， △34DMEABFSS =． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．105．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，DE 的延长线与AB 的延长线相交于点F.（1）求证：△CDE ≌△BFE ；（2）试连接BD 、CF ，判断四边形CDBF 的形状，并证明你的结论【答案】(1)证明见解析；（2）四边形CDBF 是平行四边形，证明见解析.【解析】【分析】（1）用AAS 证明△CDE ≌△BFE ；（2）根据全等三角形的对应边相等，得DE=FE ，由对角线互相平分的四边形是平行四边形证得四边形DBFC为平行四边形．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD即AF∥CD．∴∠F=∠CDE∵BE=CE，∠BEF=∠CED∴△CDE≌△BFE；（2）由（1）知：△CDE≌△BFE∴DE=FE又BE=CE，∴四边形DBFC为平行四边形．106．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若DE⊥AC交BC于E，∠ADB：∠CDB＝2：3，则∠BDE的度数是多少．【答案】（1）证明见解析；（2）18°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠ADB的度数，根据三角形内角和定理求出∠AOB，从而可得到∠CDO，最后，依据∠BDE=90°-∠DOC求解即可．【详解】解：（1）∵AO=CO ，BO=DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC ，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD 是矩形；（2）∵∠ADC=90°，∠ADB ：∠CDB=2：3，∴∠ADB=36°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OD ，∴∠OAD=∠ADB=36°，∴∠DOC=72°，∵DE ⊥AC ，∴∠BDE=90°-∠DOC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．107．如图所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CE 是AB 边上的高，AF 平分CAB ∠交CE 于点F ，过点F 作//FD CB 交AB 于点D ．求证：AC AD =．【答案】见解析.【解析】【分析】由平行线的性质和直角三角形的性质可证明∠ADF＝∠B＝∠ACF，结合角平分线的定义可证明△ACF≌△ADF，可得AC＝AD．【详解】证明：∵FD∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵AC⊥BC，CE⊥AB，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＋∠ECB＝∠ECB＋∠B＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠ACF＝∠ADF，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAF，在△ACF和△ADF中，CAF DAFACF ADF AF AF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△ADF（AAS），∴AC＝AD．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义，正确寻找全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．108．已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，点E是AB 的中点，连接AC、EC．点Q从点A出发，沿折线A—D—C运动，同时点P 从点A出发，沿射线AB运动，P、Q的速度均为每秒1个单位长度；以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF，△PQF与△AEC重叠部分的面积为S，当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动，设运动的时间为t．（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，求运动时间t的值；当等边△PQF的边QF恰好经过点E时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，当点Q到达C点时，将等边△PQF绕点P旋转α° (0<α<360°)，直线PF 分别与直线AC、直线CD交于点M、N．是否存在这样的α，使△CMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6t =，9t =;（2）见解析;（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据题意求出运动的距离，再除以速度即可求出时间；（2）分当0＜t ≤3时，当3＜t ≤6时，当6＜t ≤9时，当9＜t ≤12时，四种情况，分别求出重叠部分面积即可；（3）分交点都在BC 左侧，顶角为120°，交点都在BC 右侧时，顶角可能为30°和120°；交点在BC 两侧时，顶角为150°进行讨论求解即可.【详解】解：（1）当等边△PQF 的边PQ 恰好经过点D 时，如图1,AQ=AD=6，∴t=6÷1=6（秒）；当等边△PQF 的边QF 恰好经过点E 时，如图2,由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，P、Q的速度均为每秒1个单位长度，知：∠APQ=60°，∠QEB=60°，∴QE∥AD，∵点E是AB的中点，∴此时点Q是CD的中点，可求：AD+DQ=6+3=9，所以t=9÷1=9（秒）；（2）如图3,当0＜t≤3时，由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，可求：∠PAG=30°，∵∠APQ=60°，∴∠AGP=90°，由AP=t ，可求：PG=12t ，，∴S=12PG ×AG=8t 2； 当3＜t ≤6时，如图4,,AE=3，AP=t ，∴PE=t-3，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，由菱形ABCD 的边长为6，∠DAB=60°，可求：BH=3，EH=6，tan ∠KEB=2， 过点K 作KM ⊥AB ，作CN ∥PK 交AB 的延长线于N ， ∵△EKP ∽△ECN ，可得EM CH =EB EN，可求，∴S △PEK 可求∠QAG=30°，又∠AQG=60°，AQ=t ，可求∠AGQ=90°，DG=12t ，，∴S △AGQ 2，等边三角形APD 的面积为：24，∴S=24-8t 2-2t-36）=−2t 24t −2， 当6＜t ≤9时，如图5，，与前同理可求：S△FQPS △GQN =28），S △KEP ，∴=2， 当9＜t ≤12时，如图6，求出：S△PQFS △QGH =28），S △NEP =2t-36），S △KEF∴S=S △PQF -S △QGH -S △NEP +S △KEFt 2− （3）逆时针旋转：①α=150°，如图7，此时，易求∠CNM=∠NCM=∠APM=∠MAP=∠DAP=30°， 可证△ACD ∽△APM ， ∴AD AM ＝AC AP， 易求AP=12，，AD=6，解得：，所以，②α=105°，如图8,此时，易求CM=CN，∠CMN=∠CNM=∠APM=75°，∴AM=AP=12，在菱形ABCD中，AD=CD=6，∠D=120°，可求AC=6所以，；③α=60°，如图9,此时，易求∠CMN=∠MCN=∠ACB=30°，∴BC∥PM，由AB=BP=6可得，CM=AC=6,所以：④α=15°，如图10,此时，易求∠APM=∠M=15°，∴AM=AP=12，所以：CM=AM+AC ， ．【点睛】此题主要考察四边形动点综合问题，会分析运动情况，用定点研究动点问题，会用变量表示图形面积，会针对等腰三角形进行分类讨论是解题的关键.109．如图①，在半径为6的扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD AC ⊥、OE BC ⊥，垂足分别为D 、E ．（1）△当4BC =时，线段OE = ；△当BC 的度数= °时，四边形OACB 成为菱形；（2）试说明：四边形ODCE 的四个顶点在同一个圆上；（3）如图②，过点O 作OF DE ⊥，垂足为F ，连接AF ，随着点C 的运动，在△AOF 中是否存在保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求出它的度数；如果不存在，请说明理由；（4）在（3）条件下，若点C 从点B 运动到点A ，则点F 的运动路径长为 ．【答案】（1）①；②60；（2）证明见详解；（3）存在，60AOF ∠=︒；（4）3【解析】【分析】（1）△根据勾股定理即可求得线段OE ；△点C 为AC 中点，即BC =60°时，得△OBC ，△OAC 为等边三角形，可得四边形OACB 成为菱形；（2）取OC 中点M ，连接ME ，MD ，根据直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半，证得EM CM OM DM ===，问题得证；（3）先求得∠EOD =60°，根据（2）的结论，进行角的转化，证明∠EOF =∠AOD ，进而求得60AOF EOD ∠=∠=︒；（4）根据60AOF ∠=︒不变，确定F 的运动轨迹是一条线段，当点C 与A 、B 重合时，OF 最小，当C 位于BC 的中点时，OF 最长，分别求出OF 长，计算可得．【详解】解：（1）△∵OB=OC , OE BC ⊥，∴BE =122BC =，∴在R t △OBE 中，OE ==故答案为：②当∠BOC=60°时，∠AOC =60°，△OBC ，△OAC 为等边三角形， ∴OA=AC=OC=BC=OB ，∴四边形OACB 成为菱形；故答案为：60；（2）取OC 中点M ，连接ME ，MD∵OD AC ⊥，OE BC ⊥∴EM CM OM ==，DM CM OM ==∴EM CM OM DM ===∴以M 为圆心，ME 为半径的圆过,,C D O 三点即四边形ODCE 的四个顶点在同一个圆上（3）答：AOF ∠不变，60AOF ∠=︒；证明：∵OB=OC=OA , OD AC ⊥、OE BC ⊥，∴∠COE =∠BOE =12BOC ∠,∠COD =∠AOD =12AOC ∠， ∴∠EOD =∠COE +∠COD =()111206022AOC BOC ∠+∠=⨯︒=︒， ∵四边形ODCE 的四个顶点在同一个圆上，∴=OD OD ，∴∠OED =∠OCD ，∵OF ⊥DE ，OD ⊥OC ，∴∠OEF +∠EOF =90°， ∠OCD +∠COD =90°，∴∠EOF=∠COD ，∵∠COD =∠AOD ，∴∠EOF =∠AOD ，∴60AOF AOD DOF EOF DOF EOD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（4）由（3）得，60AOF ∠=︒，∴点F 的运动轨迹在∠AOB 的平分线上， 如图1，当点C 与A 重合时，F 与E 重合，∠OAB =30°，OF ⊥AB ， ∴OF =132OA =；如图2，当点C 运动到AB 中点时，∠AOD =∠DOC =30°，OD=OA ·cos ∠AOD =6= OF= OD ·cos ∠FOD =392； ∴933=22-； 当点C 从点B 运动到AB 中点时，也运动了32， ∴在（3）条件下，若点C 从点B 运动到点A ，则点F 的运动路径长为3．【点睛】本题考查了圆，直角三角形，菱形，圆内接四边形等数学知识，综合性较强，为几何题中压轴题，解题时要注意，每一步为后续解题提供了条件或方法上的帮助，这是解题关键．110．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF=△DEF．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF△AB，DE△AC，再根据平行四边形的定义证明即可.（2）根据平行四边形的对角线相等可得△DEF=△BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得△DAH=△DHA，△FAH=△FHA，然后求出△DHF=△BAC，等量代换即可得到△DHF=△DEF．试题解析：证明：（1）△点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，△DE、EF都是△ABC的中位线.△EF△AB，DE△AC，△四边形ADEF是平行四边形.（2）△四边形ADEF是平行四边形，△△DEF=△BAC.△D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，△DH=AD，FH=AF.△△DAH=△DHA，△FAH=△FHA.△△DAH+△FAH=△BAC，△DHA+△FHA=△DHF，△△DHF=△BAC.△△DHF=△DEF．考点：1.三角形中位线定理；2.直角三角形斜边上的中线性质；3.平行四边形的判定．。
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题(含答案) (55)
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题（含答案）已知：平行四边形ABCD ，对角线,9,12,AC AB AB AC ⊥==点P 为射线BC 上一点，AP PM ⊥，（点M 与点B 分别在直线AP 的两侧），且,PAM CAD ∠=∠联结MD ．（1）当点M 在ABCD 内时，如图一，设,,BP x AP y ==求y 关于x 的函数解析式.（2）请在图二中画出符合题意得示意图，并探究：图中是否存在与ADM ∆相似的三角形？若存在，请写出证明过程，若不存在，请说明理由（3）当AMD ∆为等腰三角形时，求PB 的长.【答案】（1）27155y x ⎫=<<⎪⎭；（2）~APC AMD ∆∆，证明见解析；（3）7.5或3或27.【解析】【分析】（1）作AE ⊥BC 于E ，先在Rt △ABC 中运用勾股定理求出BC=15，再解Rt △ABE ，得到AE=365，BE=275，然后在Rt △AEP 中，利用勾股定理得AP 2=PE 2+AE 2，即可求出y 关于x 的函数关系式；（2）先由两角对应相等的两三角形相似证明出△APM ∽△ACD ，则AP ：AC=AM ：AD ，即AP ：AM=AC ：AD ，又由∠PAM=∠CAD ，得出∠PAC=∠MAD ，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可得到△PAC ∽△MAD ；（3）先由相似三角形的形状相同，由（2）得出△APC 为等腰三角形，再分两种情况进行讨论：①点M 在平行四边形内；②点M 在平行四边形外；又分两种情况：（i ）P 在BC 上，（ii ）P 在BC 的延长线上．【详解】解：（1）如图，作AE ⊥BC 于E ，在Rt △ABC 中，∵AB=9，AC=12，∴BC=15，∵△ABE ∽△CBA ，∴BE=275，AE=365∵BP=x ，∴PE=275x -， 在Rt △AEP 中，222AE EP AP +=∴27155y x ⎫=<<⎪⎭ (2) 存在，APC AMD ∆∆∽，∵∠PAM=∠CAD ，∠APM=∠ACD=90°，∴△APM ∽△ACD ， ∴AP AM AC AD= ∴AP AC AM AD = ∵PAM CAD ∠=∠，∴∠PAC=∠MAD ，∴~APC AMD ∆∆（3）∵△PAC ∽△MAD ，∴当△AMD为等腰三角形时，△APC也为等腰三角形，①当点M在平行四边形内时，如图1．点P只能在EC上, ∵∠APC为钝角，∴∠PAC=∠PCA，∴PC=PA，又∵∠PAB=90°-∠PAC，∠B=90°-∠PCA，∴∠PAB=∠B，∴PA=PB，∴PA=PB=PC=12BC=115=752.，即BP=7.5；②当点M在平行四边形外时，（i）若P在BC上，如图2．点P只能在BE上,∵AP＜AC，AP＜PC，∴CA=CP=12，则BP=15-12=3；（ii）若P在BC的延长线上，如图3,∵AP＞AC，AP＞PC，∴CA=CP=12，则BP=15+12=27．综上可知，当△AMD为等腰三角形时，BP的长为7.5或3或27．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．82．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的中点，连接DE ，并延长DE 至点F ，使EF=ED ，连接AD ，AF ，BF ，CF ，线段AD 与BF 相交于点O ，过点D 作DG ⊥BF ，垂足为点G.(1)求证：四边形ABDF 是平行四边形；(2)当12AE DF 时，试判断四边形ADCF 的形状，并说明理由； (3)若∠CBF=2∠ABF ，求证：AF=2OG ．【答案】(1)证明见解析；(2)四边形ADCF 是矩形，理由见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）欲证明四边形ABDF 是平行四边形，只要证明AF ∥BD ，AF=BD 即可．（2）结论：四边形ADCF是矩形，只要证明∠DAF=90°即可．（3）作AM⊥DG 于M，连接BM，先证明AM=2OG，再证明AM=AF 即可解决问题．【详解】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AC上的中点，∴ED∥AB，AE=CE，∵EF=ED，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形；（2）四边形ADCF是矩形．理由：∵AE=12DF，EF=ED，∴AE=EF=DE，∴∠EAF=∠AFE，∠DAE=∠ADE，∴∠DAF=∠EAF+∠EAD=12×180°=90°，由（1）知：四边形ADCF是平行四边形；∴四边形ADCF是矩形；（3）证明：作AM⊥DG 于M，连接BM．∵四边形ABDF是平行四边形，∴OA=OD，∵OG∥AM，∴GM=GD，∴AM=2OG，∵BG⊥DM，GM=GD，∴BM=BD，∴∠CBF=∠MBG，∵∠CBF=2∠ABF，∴∠ABM=∠ABF，∵AM∥BF，∴∠MAB=∠ABF，∴∠MAB=∠MBA，∴AM=BM=BD=AF=2OG，∴AF=2OG．【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线.83．如图，已知AB //CD ，BE 丄AD ，垂足为点E ，CF 丄AD ，垂足为点F ，并且AF =DE ．求证：四边形是BECF 平行四边形．【答案】证明见解析．【解析】【分析】通过全等三角形（AEB DFC ≌）的对应边相等证得BE=CF ，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE ∥CF ．则四边形BECF 是平行四边形．【详解】证明：BE AD ⊥，CF AD ⊥，90AEB DFC ∴∠=∠=︒，//AB CD ，A D ∴∠=∠，AF DE =，即AE EF DF EF +=+，AE DF ∴=在AEB △与DFC △中，AEB DFC AE DFA D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AEB DFC ∴≌()ASA ，BE CF ∴=．BE AD ⊥，CF AD ⊥，//BE CF ∴，∴四边形BECF 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形的判定与性质掌，握以上知识是解题的关键．84．在四边形ABDC 中，AC AB =，DC DB =，60CAB ∠=︒，120CDB ∠=︒，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE BF =．（1）试说明：DE DF =；（2）在图中，若点G 在AB 上，且60EDG ∠=︒，试猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系，并证明所归纳结论．【答案】（1）见解析；（2）EG CE BG =+，证明见解析【解析】【分析】（1）通过角的计算得出∠C=∠DBF ，结合CD=BD 、CE=BF 即可证出△CDE ≌△BDF （SAS ），由此即可得出DE=DF ；（2）连接AD ，结合AC=AB 、DC=DB 即可证出△ABD ≌△ACD （SSS ），由此即可得出∠BDA=∠CDA=60°，再根据∠EDG=60°即可得出∠CDE=∠ADG ，∠ADE=∠BDG ，由（1）可知△CDE ≌△BDF ，进而得知∠CDE=∠BDF ，根据角的计算即可得出∠EDG=∠FDG ，结合DE=DF 即可证出△DEG ≌△DFG（SAS ），即得出EG=FG ，由相等的边与边之间的关系即可证出CE+BG=EG ．【详解】（1）∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°， ∴∠C+∠ABD=360°-60°-120°=180°，又∵∠DBF+∠ABD=180°，∴∠C=∠DBF ，在△CDE 和△BDF 中，CD BD C DBF CE BF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△CDE ≌△BDF(SAS)，∴DE=DF ；（2）如图，连接AD ，猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE+BG=EG ．证明：在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CD AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△ACD(SSS)，∴∠BDA=∠CDA=12∠CDB=1120602⨯︒=︒， 又∵∠EDG=60°， ∴∠CDE=∠ADG ，∠ADE=∠BDG ，由（1），可得△CDE ≌△BDF ，∴∠CDE=∠BDF ，∴∠BDG+∠BDF=60°，即∠FDG=60°，∴∠EDG=∠FDG ，在△DEG 和△DFG 中，DE DF EDG FDG DG DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△DEG ≌△DFG ，∴EG=FG ，又∵CE=BF ，FG=BF+BG ，∴CE+BG=EG ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角的计算，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．85．如图所示，AE 是ABC ∆的外角DAC ∠的角平分线，AB AC =，求证：AE BC ∥．【答案】见解析【解析】【分析】因为等腰三角形，则外角2DAC B ∠=∠；又AE 是ABC ∆的外角DAC ∠的角平分线，即2DAC DAE ∠=∠，则∠B=∠DAE,根据内错角相等，两直线平行即可完成证明；【详解】证明：由等腰形外角关系图知：2DAC B ∠=∠，AE ∵是ABC ∆的外角DAC ∠的角平分线，2DAC DAE ∴∠=∠，B DAE ∴∠=∠，AE BC ∴∥.【点睛】本题是一道容易题，关键在于运用等腰三角形外角等于一个底角的二倍和角平分线的定义，找到相等的角.86．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示x 与2的两点之间的距离可以表示为 ；（3）同理|x +3|+|x ﹣1|表示数轴上有理数x 所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是．【答案】（1）7；（2）|x﹣2|；（3）﹣3、﹣2、﹣1、0、1．【解析】【分析】（1）根据距离公式即可解答；（2）根据距离公式即可解答；（3）利用绝对值和数轴求解即可．【详解】（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是：5﹣（﹣2）＝7，故答案为：7；（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；（3）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，故：①当x＜-3时，方程|x+3|+|x﹣1|＝4变形为：-x-3-x+1=4，解得，x=-3，所以，此方程无解；②当-3≤x＜1时，方程|x+3|+|x﹣1|＝4变形为：x+3-x+1=4所以，4=4，此时，整数x=-3，-2，-1，0；③当x≥1时，方程|x+3|+|x﹣1|＝4变形为：x+3+x-1=4,解得，x=1；∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1．【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是会去绝对值符号，利用数轴的特点解答．87．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB 延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝12，AD＝13，则线段OE的长度是．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到得到CE＝18，根据勾股定理得到AC＝是得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：如图，连接OE，∵AE＝12，AD＝13，∴AB＝13，∴BE＝5，∵AB＝BC＝13，∴CE＝18，∴AC∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝∴OE＝故答案为：【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．88．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝12，BF＝16，CE＝5，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCD的面积为144．【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行的性质和BF平分∠ABC，可得∠AFB＝∠ABF，进而得出AB=AF，再证明△ABO≌△EBO得AB=BE，最后得出四边形ABEF是菱形；（2）作AG⊥BC于点G，根据勾股定理以及菱形的性质先求出BE的长，再利用菱形面积公式求出AG的长，最后即可求得四边形ABCD的面积．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBE，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB，∵AE⊥BF，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，又OB＝OB，∠ABO＝∠EBO，∴△ABO≌△EBO（ASA），∴AB＝BE=AF，又AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝BE，∴平行四边形ABEF是菱形；（2）如图，作AG⊥BC于点G，∵四边形ABEF是菱形，∴OE＝12AE＝6，OB＝12BF＝8，∴在Rt△OBE中，BE＝10．又S菱形ABE F=12×AE×BF=BE×AG，∴12×12×16=10×AG，∴AG＝485．∴四边形ABCD的面积为：BC•AG＝（10+5）×485＝144．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积的求法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等的判定与性质以及勾股定理等知识点，掌握基本性质是解题的关键．89．如图，在△ABC中，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．（1）请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请证明你的结论．（2）连接BF、CE，若四边形BFCE是菱形，则△ABC中应添加一个条件．（填上你认为正确的一个条件即可）【答案】（1）AD是△ABC的中线，证明见解析；（2）AB＝AC或∠ABC＝∠ACB或AD⊥BC或AD平分∠BAC【解析】【分析】（1）先证明△BDE≌△CDF，得出BD=CD，即可可以判断AD是△ABC的中线；（2）要使四边形BFCE是菱形，由BC与EF互相平分，只要BC与EF互相垂直即可，则添加的条件为∠ABC=∠ACB或AD⊥BC或AD平分∠BAC，答案不唯一．【详解】解：（1）AD是△ABC的中线，理由如下：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°，又∵BE=CF，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF (AAS)，∴BD=CD，即AD 为△ABC 的中线.(2) ∠ABC =∠ACB 或AD ⊥BC 或AD 平分∠BAC 等（答案不唯一）.【点睛】本题考查了全等三角形的判定、菱形的判定. 找出两个三角形全等的条件及菱形的判定方法是解题的关键.90．如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B ，F 为圆心，大于12BF 的长度为半径画弧，两弧交于点P ；连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若∠C ＝60°，AE ＝ABEF 的面积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先利用角平分线的性质和平行线的性质得出四边形ABEF 是平行四边形，再利用两邻边相等即可证明四边形ABEF 是菱形；（2）连结BF ，交AE 于G ,先利用菱形的性质和特殊角的三角函数值求出BF 的长度，然后利用菱形的面积公式12S AE BF =⋅即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAF ＝∠AEB ，∵∠EAB ＝∠EAF ，∴∠EAB ＝∠AEB ．∴BE ＝AB ＝AF ．∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB ＝BE ，∴四边形ABEF 是菱形；（2）如图，连结BF ，交AE 于G ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAD ＝∠C ＝60°，∵四边形ABEF 菱形，∴BF ⊥AE ，AG ＝EG ＝12AE = ∠BAG ＝∠FAG ＝12BAD ∠= 30°， ∴BG ＝FG ＝AG •tan30°＝2，∴BF ＝4，∴菱形ABEF 的面积＝11422AE BF ⋅=⨯= 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定及性质，解直角三角形，掌握平行四边形的性质，菱形的判定及性质，特殊角的三角函数值是解题的关键．。