二维波动方程的有限差分法讲课稿
二维波动方程地有限差分法
实用文案
学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级2013 专业班信计02班
学生姓名学号
开课时间2015 至2016学年第 2 学期
数学与统计学院制
开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016年6月20日
五．实验结果及实例分析
1、0.10.51.01.4
t 、、、时刻的数值解与精确解图
图1 t=0.1、0.5时刻的数值解、精确解
图2 t=1.0、1.4时刻的数值解、精确解
注：上两图为四个时刻的数值解与精确解，()1
0.12r p p h
p
τ
=
=<
=代表维数，本文 ，三层显格式达二阶收敛，不难看出，收敛效果很好，符合理论。
下图是四个时刻的绝对误差图像，从图中看出，绝对误差较小，且经过计算得到，收敛阶近似于2，正好符合理论值。
2、0.10.51.01.4t =、、、时刻的绝对误差图。
第五章 有限差分法 知识讲解课件
的 m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。从这些表可以看出，一般地说，随着
差分阶数的增大和对应差商精度的提高，差分表达式所包含的项数将增多。
表 5-1
j
n0 1 2 34
1 -1
aj 1
2 1 -2 1
3 -1 3 -3 1
4 1 -4 6 -4 1
表 5-3 j
n0 1 2345 aj
1 -3 4 -1 2 2 -5 4 -1 3 -5 18 -24 14 -3 4 3 -14 26 -24 11 -2
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如 n 阶前差
分为
∆n y = ∆(∆n−1 y) = ∆[∆(∆n−2 y)]
⋯⋯ = ∆{∆⋯[∆(∆y)]} = ∆{∆⋯[∆( f (x + ∆x) − f (x)]}
n 阶的向后差分、中心差分的型式类似。
（5-6）
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。如一阶向前差
二阶差商多取中心式，即
∆2 y ∆x 2
=
f (x + ∆x) − 2 f (x) + (∆x) 2
f (x − ∆x) 。
（5-9） （5-10） （后的二阶差商。 以上是一元函数的差分与差商。多元函数 f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。
如一阶向前差商为
应地，上式中的 ∆y 、 ∆x 分别称为函数及自变量的差分， dy //#######为函数对 dx
自变量的差商。 在导数的定义中 ∆x 是以任意方式趋近于零的，因而 ∆x 是可正可负的。在差
分方法中， ∆x 总是取某一小的正数。这样一来，与微分对应的差分可以有 3 种
形式： 向前差分 向后差分 中心差分
有限差分法基本原理
有限差分法的应用领域
流体力学
用于模拟流体在固定或变形网格 上的流动，如计算流体动力学 （CFD）中的数值模拟。
热传导
用于求解热传导方程，模拟热 量在物体中的传播和分布。
波动传播
用于求解波动方程，如地震波 、声波和电磁波的传播。
有限差分法基本原理
CONTENTS 目录
• 引言 • 有限差分法的基本原理 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 有限差分法的改进方向
CHAPTER 01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将连续的物理量离散化为有限个离 散点上的数值，并建立代数方程来近 似描述物理量随时间和空间的变化规 律。
缺点
精度问题
由于有限差分法采用的是离散化的方法， 因此其精度受到网格大小的影响，网格越
小精度越高，但同时也会增加计算量。
数值耗散误差
在模拟非线性问题时，有限差分法可能会 产生数值耗散误差，导致能量的损失或者
非物理振荡。
数值色散误差
在模拟波动性问题时，有限差分法可能会 产生数值色散误差，导致波的传播速度发 生变化。
常用的离散化方法包括均匀网格、非均匀网格、有限元法等，
应根据实际问题选择合适的离散化方法。
差分近似
Hale Waihona Puke 01差分近似公式根据微分方程的性质，构造差分 近似公式，将微分方程转化为差 分方程。
精度分析
02
03
稳定性分析
分析差分近似公式的精度，确定 其与微分方程的误差大小和分布。
分析差分近似公式的数值稳定性， 确保计算过程中误差不会累积放 大。
广义有限差分法模拟二维晃荡现象
广义有限差分法模拟二维晃荡现象抽象在本文中，一个无网格数值方法，基于广义有限差分法（GFDM），提出了高效准确地模拟二维数值波浪水槽的晃动现象。
当一个数值波浪罐水平或垂直激发，在罐上的自由表面的干扰和流场称为晃荡。
基于理想流体的定理，晃动问题的数学描述为一个时间相关的边值问题，由二阶偏微分方程和两个非线性自由表面边界条件的制约。
在本文中，GFDM和明确的欧拉法的通过，分别为这运动边界问题的空间和时间离散化。
离散的显式欧拉方法后，自由表面的高程进行更新和边值问题产生在每一个时间步长。
由于GFDM，新开发域型无网格法，才能真正摆脱耗时的网格生成和数值积分，我们采用了GFDM能够有效地分析这个边值问题在每一个时间步长。
使用GFDM的运动最小二乘法可以表达衍生物作为附近函数值的线性组合，使得该GFDM的数值程序也非常简单，高效。
我们提供了四种数值例子来验证的简单性和所提出的无网格方案的精度。
此外，所提出的数值方法的一些因素，通过一系列的数值试验系统研究。
关键词∙晃动 ;∙广义有限差分法 ;∙无网格方法 ;∙显式欧拉法 ;∙数值波浪水槽1.简介而一个罐部分地填充有流体被外力激励时，发生在自由面波并且这种现象被称为晃荡[1]和 [2]。
晃荡现象是最重要的，因为这涉及到各种工程问题，例如在海洋谐振中船舱航行，核燃料存储池振荡与地震等。
因此，全面了解的晃动问题的基本物理对我们来说非常重要，也可以改善我们的工程设计。
在过去，许多研究者[1]和[2]已经通过使用物理数学，数值模拟和实验晃动现象的研究支付重视。
其中一个主要的研究方向是采用潜在流动，这样，在罐中的流体被假定为无粘，无旋和不可压缩的定理。
为了捕捉真实的物理现象，在本文的晃动问题的流场也被认为是潜在的流动。
当处于晃荡问题流场被认为是潜在的流动，控制方程是公知的拉普拉斯方程的速度潜力。
沿自由表面的边界条件是在动态和运动学自由表面的边界条件[1]，它们是时间依赖性和非直线的。
2有限差分法及热传导数值计算PPT演示课件
t1
1 a11
(b1
a12t2
a13t3 )
t2
1 a 22
(b2
a 21t1 a 23t3 )
1 t3 a 33 (b3 a 31t1 a 32t2 )
•24
（2）假设一组解（迭代初场），记为： t1(0)、t2(0)并、t代3(0) 入迭代方程求得第一 次解
每次计算t1(1)均、t用2(1)、最t3(1新) 值代入。
(1) 平直边界上的节点
如图所示 边界节点 (m,n) 只能代表半个元体，若边界上有向 该元体传递的热流密度为q ，据能量守恒定律对该元体有：
tm1,n tm,n ytm,n1tm,n x
x
y 2
x
2
tm,n1 tm,n y
Φm,n
2xyyqw
0
Байду номын сангаас
xy tm ,n1 4 2 tm 1 ,n tm ,n 1 tm ,n 1 x2 Φ m ,n 2 x q w
非稳态项 的离散有三种不同的格式。如果将函数在节 点(n，i+1)对点(n，i)作泰勒展开，可有
•30
•31
由式(b)可得在点(n，i)处一阶导数的一种差分表示式 , 的向前差分:
类似地，将t在点(n，i-1)对点(n，i)作泰勒展开，可得 的向后差分的表达式：
如果将t在点(n，i+1)及(n，i-1)处的展开式相加，则可得 一阶导数的中心差分的表达式：
qw
y x
•16
(3) 内部角点
如图所示内部角点代表了 3/4 个元体，在同样的假设条 件下有
tm1,ntm,ny tm,n1tm,nx tm,n1tm,n x
x
二维泊松方程的差分格式有限差分法
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种
数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将
求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的
问题。
1. 二维泊松方程的差分格式
二维静电场边值问题：
2
x 2
2
y 2
F
(1)
f (s)
(2)
L
通常将场域分成足够小的正方形网格， 网格线之间的距离为h，节点0,1,2,3,4上
的电位分别用0 ,1,和2 ,表3 示。4
设函数 在x0处可微 , 则沿x方向在 x0处的泰勒公式展开为
x
n (K )
Kn )
0
1 4
(1
2
3
4)
若场域离散为矩形网格, 差分格式为:
1•
2
1 h12
(1
2)
1 h2 2
( 2
4
)
(
1 h12
1 h2 2
)20
F
2.边界条件的离散化处理 ⑴第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。
⑵对称边界条件 合理减小计算场域, 差分格式为
•
0
1 4
(21
2
4
h2F)
⑶第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式:
(3)
将 x 和x1 分x别3 代入式(3),得
1
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
)0
1 3!
h
3
(
3
x3
有限差分法基本原理PPT课件
uin1
uin
a
t x
(uin
un i 1
)
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
u a u 0 t x u(x,0) u(x)
FTFS格式（时间向前差分、空间向前差分）
uin1 uin uin1 uin 0
t
x
ui0 u (xi )
uin 1
uin
a
t x
(uin1
uin )
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）
限差分方程的解是收敛T的(i。, n)
lim
x0,t
0
Ti
t
一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。
3.稳定性 稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。
在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差， 因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其 他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。
Von Neumann稳定性分析方法简介
分析例题
T n1 i
Ti n
t x 2
(Ti
n 1
2Ti n
Ti
n 1
),
S
t x 2
Ti n1
STi n1
(1
2S )Tin
STi
n 1
上式T中i n 近似数值
应用有限差分法计算二维欧拉方程
基于非结构网格二维Euler方程的Jameson求解方法姓名：王司文学号：sx摘要本文介绍了基于CFD理论的求解二维可压缩流Euler方程的Jameson中心格式方法。
在空间离散上采用的是有限体积法，时间上采用的是四步显式Runge －Kutta迭代求解。
人工耗散项为守恒变量的二阶和四阶差分项。
边界条件采用的是无反射边界条件，并采用当地时间步长进行加速收敛。
最后对NACA0012翼型划分了三角形，并应用本文程序进行数值模拟，结果较为理想。
关键字：CFD，Jameson中心格式，Euler方程，有限体积法AbstractA method for the numerical solution of the two-dimensional Euler equations has been developed. The cell-centred symmetric finite-volume spatial discretisation is applied in a general formulation. The integration in time, to a steady-state solution, is performed using an explicit, four-stage Runge－Kutta procedure. The artificial dissipation is constructed as a blending of second and fourth differences of the conserved variables. And in the boundary, there is none of the outgoing waves are reflected back into the computational domain. An acceleration technique called local time stepping is used. At last, standard test cases for both subsonic and supersonic flows have been used to validate the method.Key words：CFD, Jameson method,Euler equations, finite-volume第一章引言在工程应用的推动下，计算流体力学随着计算机技术的发展和计算格式的不断更新而迅猛发展。
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二维波动方程的有限
差分法
学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级 2013 专业班信计02班学生姓名学号
开课时间 2015 至 2016学年第 2 学期
数学与统计学院制
开课学院、实验室：数统学院实验时间： 2016年 6月20日
五．实验结果及实例分析
1、0.10.51.01.4t =、、、时刻的数值解与精确解图
图1 t=0.1、0.5时刻的数值解、精确解
图2 t=1.0、1.4时刻的数值解、精确解
注：上两图为四个时刻的数值解与精确解，()1
0.12r p p h p τ==<=代表维数，本文 ，三层显格式达二阶收敛，不难看出，收敛效果很好，符合理论。
下图是四个时刻的绝对误差图像，从图中看出，绝对误差较小，且经过计算得到，收敛阶近似于2，正好符合理论值。
2、0.10.51.01.4
t 、、、时刻的绝对误差图
图3 四个时刻的绝对误差
3、四个时刻（t=0.1、0.5、1.0、1.4）的绝对误差表
t=0.1时刻的绝对误差
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000
0.0000 0.0001 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0004 0.0004 0.0003 0.0001 0.0000
0.0000 0.0002 0.0004 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0004 0.0002 0.0000
0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0007 0.0007 0.0007 0.0006 0.0004 0.0002 0.0000
0.0000 0.0002 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0007 0.0006 0.0005 0.0002 0.0000
0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0007 0.0007 0.0007 0.0006 0.0004 0.0002 0.0000
0.0000 0.0002 0.0004 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0004 0.0002 0.0000
0.0000 0.0001 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0004 0.0004 0.0003 0.0001 0.0000
0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
t=0.5时刻的绝对误差
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0007 0.0013 0.0018 0.0021 0.0022 0.0021 0.0018 0.0013 0.0007 0.0000
0.0000 0.0013 0.0025 0.0034 0.0040 0.0042 0.0040 0.0034 0.0025 0.0013 0.0000
0.0000 0.0018 0.0034 0.0047 0.0055 0.0058 0.0055 0.0047 0.0034 0.0018 0.0000
0.0000 0.0021 0.0040 0.0055 0.0065 0.0068 0.0065 0.0055 0.0040 0.0021 0.0000
0.0000 0.0022 0.0042 0.0058 0.0068 0.0071 0.0068 0.0058 0.0042 0.0022 0.0000
0.0000 0.0021 0.0040 0.0055 0.0065 0.0068 0.0065 0.0055 0.0040 0.0021 0.0000
0.0000 0.0018 0.0034 0.0047 0.0055 0.0058 0.0055 0.0047 0.0034 0.0018 0.0000
0.0000 0.0013 0.0025 0.0034 0.0040 0.0042 0.0040 0.0034 0.0025 0.0013 0.0000
0.0000 0.0007 0.0013 0.0018 0.0021 0.0022 0.0021 0.0018 0.0013 0.0007 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
t=1.0时刻的绝对误差
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0016 0.0031 0.0043 0.0051 0.0053 0.0051 0.0043 0.0031 0.0016 0.0000
0.0000 0.0031 0.0059 0.0082 0.0096 0.0101 0.0096 0.0082 0.0059 0.0031 0.0000
0.0000 0.0043 0.0082 0.0113 0.0132 0.0139 0.0132 0.0113 0.0082 0.0043 0.0000
0.0000 0.0051 0.0096 0.0132 0.0156 0.0164 0.0156 0.0132 0.0096 0.0051 0.0000。