切线换一半原则——由6种解法探究圆锥曲线的切点弦与应用

学习资料分享[公司地址]从一道模拟题来探究圆锥曲线的切点弦与应用题目：（江西省高考模拟试题）由点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，求两切点所在的直线（即切点弦）方程．一、一题多解的教学价值剖析1：由题意和图可得，过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，其切线的斜率都存在，设过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为()13-=-x k y ，利用r d =，求出k ，进而求出切点坐标，利用直线的点斜式即可．尽管运算较复杂，但却是解析几何中最基础、最重要的方法．解法1：如图75—1所示，设过P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为：()13-=-x k y ⇒03=-+-k y kx ．由题意易得r d =⇒3132=+-k k⇒0=k ，或43-=k ．故设过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为：1l ：3=y ，2l ：01543=-+y x ． 设两个切点分别为A 、B ，则联立3=y 与922=+y x ⇒)30(，A ．01543=-+y x 与922=+y x ⇒B （51259，）． 故由两点式或点斜式易得两切点A 、B 所在的直线方程为093=-+y x ．剖析2：如图75—1所示，设两个切点分别为A 、B ，利用逆向思维及抽象思维，由点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，亦可看作分别过A 、B 作圆922=+y x 的两条切线相交于P ．解法2：设切点A(11y x ，)，切点B(22y x ，)，则过A ，B 的圆的切线方程为：3l ：0911=-+y y x x ，4l ：0922=-+y y x x ．又3l 及4l 都过P(1，3)，由此得到09311=-+y x ， 09322=-+y x ．从具体到抽象，则过两个切点的直线方程为093=-+y x ．剖析3：因为过P(1，3)引922=+y x 的两条切线切线分别为PA 、PB ，则有2π=∠PAO ，2π=∠PBO ．联想到初中的四点共圆，得到巧解．解法3：如图75—1所示，由图和题意及上面的剖析得到四点P 、A 、O 、B 共圆，且圆的直径为OP ，以直径的OP 为直径的圆的方程为：0322=--+y x y x ．那么过A ，B 的直线就是圆0322=--+y x y x 与圆922=+y x 的公共弦，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A 、B 的直线方程为093=-+y x ．剖析4：由上述解法3得到启示，切点弦其实就是以P 点为圆心，以PA 为半径的圆与圆922=+y x 的公共弦．解法4：由题意易得PO =10，在P O A Rt ∆中，PA =1，则以P 点为圆心，以PA 为半径的圆的方程为1)3()1(22=-+-y x ，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A 、B 的直线方程为093=-+y x ．剖析5：利用初中的切割线性质及其三角形相似性质．解法5：设两个切点分别为A 、B ，连接AB 与PO 相交于Q ，则有=OQ k OP k 30103=--=31-=⇒AB k ． 由于直线OQ 的方程为x y 3=，于是令)3(x x Q ，，利用OBP ∆∽OQB ∆⇒OBOQOP OB =⇒3)30()0()30()10(32222x x -+-=-+-⇒109=x ⇒)1027109(，Q⇒⎪⎭⎫⎝⎛--=-109311027x y ⇒093=-+y x ． 这正是所要求的切点弦AB 的直线方程．剖析6：利用定比分点公式得到一种很少人使用的好方法．解法6：如图75—1所示，连接AB ，PO ，设AB 与PO 相交于点C ，则由平面几何中的射影定理等知识得到=COPC =POCO PO PC 22OAPA =91⇒λ=91． 由定比分点公式得到C x =9111+=109，C y =9113+=1027．上述解法5已得31-=AB k ，由直线的点斜式得到 ⎪⎭⎫⎝⎛--=-109311027x y ⇒093=-+y x ． 二、一题多结论的教学价值我们知道：切点弦所在直线就是二个切点的连线，而切点是直线与圆锥曲线相切得到的交点，因此我们先从圆锥曲线的切线入手来展开探究．结论1：点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+上，过点M 作圆的切线方程为200R y y x x =+．结论2：点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为200R y y x x =+．结论2：（补充）点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200R y y x x =+．证明：由上述结论2可得过)(p p y x P ，的圆的切点弦AB 的直线方程为2R y y x x P P =+．又弦AB 过点M （0x ，0y ），即200R y y x x P P =+，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200R y y x x =+．上述结论能推广到圆心不在原点的情况吗？回答是肯定的！结论3：点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-上，过点M 作圆的切线方程为200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论4：点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论4：（补充）点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：200))(())((R b y b y a x a x =--+--．那么对于圆的一般方程呢？也会得到同样的结论吗？结论5：点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 上，过点M 作圆的切线方程为0220000=++++++F yy E x x Dy y x x ． 结论6：点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为0220000=++⋅++⋅++F yy E x x D y y x x ． 结论6：（补充）点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：0220000=++⋅++⋅++F yy E x x D y y x x ． 运用类比推理，那么椭圆会有相似的结论吗？回答是肯定的！我们知道：椭圆方程可以通过变换得到圆的方程，于是得到结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+byy a x x ． 证明：由上述结论8可得过)(p p y x P ，的椭圆的切点弦AB 的直线方程为122=+b yy a x x P P ，又弦AB 过点M （0x ，0y ），即12020=+by y a x x P P ，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线12020=+byy a x x ． 我们知道圆与椭圆均属于封闭曲线，那对于非封闭曲线，如双曲线是否也有同样的性质呢？回答也是肯定的！结论9：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）上，过点M 作双曲线的切线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=-byy a x x ． 我们知道圆、椭圆及双曲线均属于有心二次曲线，那对于无心二次曲线，如抛物线来说，上述性质能继续得到延伸吗？回答还是肯定的！结论11：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）上，过点M 作抛物线的切线方程为)(00x x p y y +=．结论12：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）外，过点M 作抛物线的两条切)(00x x p y y +=．结论12：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：)(00x x p y y +=．上述研究的都是圆锥曲线的标准形式，那么对于圆锥曲线的非标准形式是否也有类似的结论呢？结论13：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-b n y a m x 上，过点M 作椭圆的切线方程为1))(())((2020=--+--b n y n y a m x m x ．结论14：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---b n y a m x 上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()12020=-----b n y n y a m x m x ．结论15：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-b n y a m x 外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为1))(())((2020=--+--b n y n y a m x m x ．结论17：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---b n y a m x 外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()12020=-----b n y n y a m x m x ．结论18：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22外，过点M 作抛物线的两条切()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-b n y a m x 内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：1))(())((2020=--+--b n y n y a m x m x ．结论17：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()m x x p n y n y 200-+=--．由上述结论8、10、12及结论16、17、18可得：结论19：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论20：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论21：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．以下证明结论19:证明如下：设椭圆方程为12222=+by a x ，M⎪⎪⎭⎫⎝⎛t c a ，2，由结论8可得切点弦AB 的直线方程为12=+btyc x ，显然过焦点)0(，c F ．当然容易验证：1-=⋅MF AB k k ． 同理可证结论20、21．事实上，结论19、20、21的逆命题也是成立的．由此得到：结论22: AB 为椭圆的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论23: AB 为双曲线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论24: AB 为抛物线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在准线上．以下证明结论22:证明如下：设M （0x ，0y ），由结论8可得切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ，因过焦点)0(，c F ，则有120=acx ，即c a x 20=，故点M 必在相应的准线c a x 2=上． 同理可证结论23、24．结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论26: 点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论27：M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是其通径．以下证明结论27：证明如下：由结论21可得AB 必为切点弦，因点M 在对称轴上，由对称性可得A ，B 也关于对称轴对称，故AB 就是通径．同理可证结论25、26． 结论28：过抛物线px y 22=（0>p ）的对称轴上任意一点)0,(m M -（0>m ）作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(m N ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论11得到切线AM 的方程为)(11x x p y y +=．又切线AM 过)0,(m M -（0>m ），代入推出m x =1，同理m x =2，即切点弦AB 所在的直线方程为m x =，故必过点)0,(m N ．结论29：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的对称轴上任意一点),(n m M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）当0=n ，a m >时，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2m a P ；（2）当0=m ，b n >时，则切点弦AB 所在的直线必过点),0(2nb Q ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论7得到切线AM 的方程为12121=+byy a xx ．又由于切线AM 过点),(n m M ，则得到12121=+bny a mx ． （1）当0=n ，a m >时，即点M 在x 轴时，代入得到m a x 21=，同理m a x 22=，即切点弦AB 所在的直线方程为m a x 2=，故必过点)0,(2ma P ．（2））当0=m ，b n >时，即点M 在y 轴时，代入得到n b y 21=，同理n b y 22=，即切点弦AB 所在的直线方程为n b y 2=，故必过点),0(2nb Q ．结论30：过双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的实轴上任意一点)0,(m M （a m <）作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2ma P ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论9得到切线AM 的方程为12121=-byy a xx ． 又由于切线AM 过点)0,(m M ，则得到m a x 21=，同理m a x 22=，即切点弦AB 所在的直线方程为m a x 2=，故必过点)0,(2ma P ．结论31：过抛物线px y 22=（0>p ）外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，弦AB 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行．证明如下：如图所示，令),2(121y p y A ，),2(222y py B ，则221y y y N +=，又由结论11得到切线AM ，BM 的方程分别为：)2(211p y x p y y +=，)2(222pyx p y y +=⇒)(21y y y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-p y y y y p 2))((2121⇒M y 221y y +=⇒N M y y =．故直线MN 必与其对称轴平行．结论32：若椭圆12222=+by a x （0>>b a ）与双曲线12222=-n y m x （0>m ，0>n ）共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．证明如下：由题意易得2222n m b a +=-⇒2222n b m a +=-．令其交点M （0x ，0y ），则代入上述椭圆及双曲线方程得到1220220=+b y a x ，1220220=-n y m x ⇒220y x =)()(22222222m a n b n b m a -+． 依据结论7及结论9得到过点M 的椭圆与双曲线的切线方程分别为：12020=+b y y a x x ，12020=-nyy m x x ⇒21k k =20202222y x m a n b ⋅-=2222ma nb -+-=1-． 结论33：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．证明如下：如图所示，不妨设椭圆方程为：12222=+by a x （0>>b a ）由已知条件易得BQAQ BPAP =，令P 分有向线段AB 所成的比为λ，结合图便知Q 分有向线段AB 所成的比为λ-，设),(00y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x Q ，由定比分点公式推出⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x ⇒⎩⎨⎧+=++=+210210)1()1(y y y x x x λλλλ．⎪⎩⎪⎨⎧--=--=λλλλ112121y y y x x x ⇒⎩⎨⎧-=--=-2121)1()1(y y y x x x λλλλ． 由上述两式结合并相乘得到⎩⎨⎧-=--=-22221202222120)1()1(y y yy x x xx λλλλ ⇒⎩⎨⎧-=--=-)()1()()1(222212220222212220y y a a yy x x b b xx λλλλ． ① 事实上，两个交点A ，B 都在椭圆上，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+22222222221221)(1λλb y a x b y a x ． 由上述两式结合并相减整理得到+-)(222212x x b λ)(222212y y a λ-=)1(222λ-b a ． ②由①及②推出12020=+byy a x x ． 由结论33及圆锥曲线的共性同理可得：结论34：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论35：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．关于结论33及其结论34的证明完全雷同于结论33的证明过程．结论36：过双曲线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．证明如下：如图所示，不妨设双曲线方程为：12222=-by a x （00>>b a ，），我们令),(00y x P ， ),(''y x Q ，由前面结论10可得切点弦AB 所在的直线方程为12'2'=-byy a xx ，又点P 在直线AB 上，则12'02'0=-b y y a x x ，即),(''y x Q 在直线12020=-byy a x x ，故动点Q的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．由结论36及圆锥曲线的共性同理可得：结论37：过椭圆外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上． 结论38：过抛物线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．关于结论37及其结论38的证明完全雷同于结论36的证明过程．结论39：从椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论40：从12222=-by a x （00>>b a ，）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．三、一题多用的教学价值应用1．（补充）（2011年江西省高考试题）椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点⎪⎭⎫⎝⎛211，作圆122=+y x 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程．分析如下：由上述结论2可得切点弦AB 的直线方程为121=+y x ，因此可得右焦点为 )01(，，上顶点为)20(，，即1=c ，1=b ，故椭圆的方程为14522=+y x ． 应用2：（补充）（2012年福建省厦门一中模拟试题）设P 是抛物线x y 22=上的一个动点，过点P 作抛物线的切线与圆：122=+y x 相交于M 、N ，分别过M 、N 作圆的切线相交于Q ，求动点Q 的轨迹方程．分析如下：设)(00y x P ，，)(11y x Q ，，显然0202x y =，由上述结论11可得过点)(00y x P ，的抛物线的切线MN 方程为00x x y y +=，再由上述结论2可得过点)(11y x Q ，的圆的切点弦MN 直线方程为111=+y y x x ，依据两条直线重合，则对应项系数成比例得到101x x -=，110x y y -=，并代入0202x y =得到1212x y -=．联立方程组：122=+y x 与00x x y y +=得到012)1(2000220=-+-+x y y x y y ，利用判别式可得0>∆，即2100+<<x ，即211-<x ，故动点Q 的轨迹方程1212x y -=，且211-<x ，即动点Q 的轨迹方程x y 22-=（21-<x ）．应用1．（2010年浙江省高中会考试题）设点)(n m P ，在圆222=+y x 上，l 是过点P 的圆的切线，且切线l 与抛物线k x x y ++=2相交于A ，B ．（1）若2-=k ，点P 恰好是线段A B 的中点，求点P 坐标；（2）是否存在实数k ，使得以A B 为底边的等腰三角形AOB 恰有3个？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．分析如下：（1）由结论1可得切线l 的方程为2=+ny mx （0≠n ），设)(11y x A ，，)(22y x B ，，将切线l 的方程与抛物线方程联立可得0)1(2)(2=+-++n x n m nx⇒m nm x x =+-=+221⇒mn n m -=+． 将之与222=+n m 联立解得⎩⎨⎧-=-=11n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=231231n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=231231n m ． 代入0>∆验证可得)11(--，P ，)231231(+-，P ． （2）由（1）可得以A B 为底边的等腰三角形AOB 当且仅当点P 恰好是线段A B 的中点，等腰三角形AOB 恰有3个可相应地转化为点P 有三解，故只要（1）中的三个解都满足0>∆，可得2331--<k ．应用2．（课本习题）求证：椭圆192522=+y x 与双曲线111522=-y x 在其交点处的切线相互垂直．证明如下：易得椭圆与双曲线的焦点相同，由结论32即可得证．应用3．（2008年安徽省高考试题压轴题第22题）设椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）过点)1,2(M ，且左焦点)0,2(1-F ．（1）求该椭圆的方程；（2）当过点)1,4(P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，在线段AB 上任取一点Q =，证明点Q 总在某条定直线上．分析如下：（1）由已知易得所求椭圆的方程为12422=+y x ． （2）直接利用结论33即可得证．应用4．（2008年江西省高考试题第21题）设点()00,P x y 在直线(),01x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB 、，切点为A B 、，定点M (m1，0)． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程；（2）求证：A M B 、、三点共线．分析如下：（1）（略）．（2）由结论10显然可得切点弦AB 所在的直线方程为100=-y y x x ，由于点P 的坐标为（m ，0y ），即m x =0，于是切点弦AB 所在的直线方程为10=-y y mx ，显然定点M (m1，0)满足该方程，于是三点A M B 、、共线． 值得注意的是： 其实，纵观近几年的高考试题，不难发现一个共同之处，那就是如果压轴题是解析几何，几乎其结论都是带有规律的普遍性结论，如2008年江西省高考试题第21题就是结论36的特例，2008年安徽省高考试题压轴题第22题就是结论33的一个特例．应用5．（2008年南通市第一次调研试题）已知点)10(，F ，点P 在x 轴上运动，点M 在y 轴上，N 为动点，且满足：0=⋅PF PM ，PN PM +=0． （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）由直线1-=y 上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AQ ⊥BQ ．分析如下：（1）设)(y x N ，代入已知条件易得动点N 的轨迹C 的方程为y x 42=． （2）显然直线1-=y 就是抛物线y x 42=的准线，由结论21可得AQ ⊥BQ ． 应用6．（2006全国高考试题）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．（1）证明FM →·AB →为定值；（2）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值．证明如下：（1） F 点的坐标为(0,1)设点A 、点B 的坐标分别为211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由(0).AF FB λλ=>可得221212,1,144x x x x λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒1222121(1)44x x x x λλ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩．由上述结论11可得过A 点、B 点的切线方程分别为2111()42x x y x x -=-，2222()42x xy x x -=-．联立可得点M 的坐标，代入得到FM →·AB →=0． （2）由（1）可得FM AB ⊥，我们易得2FM AB ==⇒2)(ABFM f S ⋅==λ=41213≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λλ（当且仅当1λ=时取等号）．应用7．（2008年广东省（理科）高考试题）椭圆方程122222=+by b x （0>b ），抛物线方程为)(82b y x -=．如图所示，过点)20(+b F ，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 处的切线经过椭圆的右焦点1F ． （1）求满足条件的椭圆与抛物线方程；（2）设A ，B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP ∆为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．分析如下：（1）事实上，点)20(+b F ，就是抛物线的焦点，易得)24(+b G ，，由上述结论15易得抛物线在点G 处的切线方程为2-+=b x y ，显然椭圆的右焦点1F )0(，b ，代入得到1=b ，故椭圆方程11222=+y x ，抛物线方程为)1(82-=y x ．（2）因为过点A 作x 轴的的垂线与抛物线只有一个交点P ，所以以PAB ∠为直角三角形只有一个；同理以PBA ∠为直角三角形也只有一个．若以APB ∠为直角，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+1812x x P ，，因为)02(，-A ，)02(，B ，则有 PB PA ⋅=14564124-+x x =0． 易得上述方程只有两解，即以APB ∠为直角的三角形存在两个．综上所述，抛物线上存在四个这样的点P ，使得ABP ∆为直角三角形．应用8．证明结论39．证明如下：设椭圆上切点M )sin cos (ααb a ，，由结论7可得过点M 的切线方程为1sin cos 22=+b yb a x a αα⇒ab y a x b =+ααsin cos ． 过右焦点且垂直于切线的直线方程为αααsin cos sin ac y b x a =-． 上述两式平方相加即可得证．四、一组巩固训练题练习1．从191622=-y x 的右焦点向双曲线的动切线引垂线，求垂足的轨迹图形的面积．练习2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，点)10(，B ，点)0(，a A （0≠a ）是x 轴上的动点，过点A 作线段AB 的垂线交y 轴于点D ，在直线AD 上取点P ，使得AD AP =． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）点Q 是直线1-=y 上的一个动点，过点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求证：MQ ⊥NQ ．练习3．（2005年江西省高考试题）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程； （2）证明∠PFA=∠PFB ．练习4．（2010年江西省九江一中模拟试题）开口向上的抛物线2:ax y C =与经过点)0,3(A 且斜率为)0(<k k 的直线l 相交于点M 、N ，已知抛物线C 在点M 、N 处的切线所成的角为55arccos，并且18||||=AN AM ，求直线l 与抛物线C 的方程． 练习5．证明结论40．练习6．（2004年济南市高考模拟试题）过椭圆C ：14822=+y x 上一点)(00y x P ，向圆O ：422=+y x 引两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 与x 轴、y 轴相交于M 、N ．（1）试用0x ，0y 来表示直线AB 的方程； （2）求MON ∆面积的最小值．练习7．（2005年福建省模拟试题）从直线x y =上任一点P 引抛物线12+=x y 两条切线，切点分别为A ，B ，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程．五、巩固训练题参考答案1．分析如下：由结论40可得垂足的轨迹方程为1622=+y x ，则图形面积为π16． 2．分析如下：（1）易得动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=（0≠y ）．（2）显然直线1-=y 就是抛物线y x 42=的准线，由结论可得MQ ⊥NQ ．3．分析如下：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，由上述结论11可得切线AP ，BP 的方程分别为为：02200=--x y x x ，02211=--x y x x ，解得10102x x y x x x P P =+=， ⇒P PG x x x x x =++=310，3310212010x x x x y y y y P G ++=++=343)(210210p P y x x x x x -=-+=⇒243GG p x y y +-=． 由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：02)43(2=-+--x y x ⇒)24(312+-=x x y ．（2）).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA由于P 点在抛物线外，则0||≠FP ，由此可得||||cos FA FP AFP =∠||41)1)(1(102010010FP x x x x x x x x +=--+⋅+=． 同理可得||41cos 10FP x x BFP +=∠，故∠AFP=∠PFB ．4．分析如下：设),(211ax x M 、),(222ax x N ，不妨设M 在第一象限，N 在第二象限，由结论11可得抛物线在点M 处的切线斜率为12ax ，点N 处的切线斜率为22ax ，设两条切线所成的角为α，则2tan =α，即241)(221212=+-x x a x x a ⇔)(4112212x x a x x a -=+． ① 由于M 、N 、A 共线，所以33222121-=-x ax x ax ⇒)(32121x x x x += ． ② 由已知18||||=⋅AN AM ，则有18),3(),3(222211=-⋅-ax x ax x ⇒933222122121=+--x x a x x x x ．将②代入得到922212=x x a ，又0>a ，01>x ，02>x ，则有321-=x ax ，a x x 321-=． ③将③代入②得到a x x 121-=+． ④将③代入①得到12112-=-ax x ． ⑤将③、④、⑤代入21221212)(4)(x x x x x x +=+-得到22)1()3(4)121(a a a -=-+-⇒41=a ，0=a （舍去）． 将41=a 代入④、⑤得6,221-==x x ．故直线l 的方程为：3+-=x y ，抛物线C 的方程：241x y =．5．证明如下：设双曲线上切点M )tan sec (ααb a ，，由结论9可得过点M 的切线方程为1tan sec 22=-byb a x a αα⇒ab y a x b =-ααtan sec ． 过右焦点且垂直于切线的直线方程为αααtan sec tan ac y b x a =+．上述两式平方相加即可得证．6．分析如下：（1）由结论2可得直线AB （切点弦）的方程为400=+y y x x ．（2）由（1）易得⎪⎪⎭⎫⎝⎛040，x M ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛040y N ，，则三角形面积公式及均值不等式可得 =S 008y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛22222200y x 224822220=+≥yx ． 7．分析如下：设)(00y x P ，，)(y x Q ，，)(11y x A ，，)(22y x B ，，由结论12可得切点弦AB 的方程为1200+=+x x yx ，即02200=-+-x y x x ，与12+=x y 联立得到 012002=-+-x x x x ⇒0212x x x =+．)22()22(02001021x x x x x x y y -++-+=+=424020+-x x⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=+==+=222202021021x x y y y x x x x ⇒222+-=x x y ．。