结点电压法和弥尔曼定律
电路分析04-2两个节点的节点方程(弥尔曼定理)
当ui1单独作用时, ui2=0 应用“虚短”性质，有
u u 0
RF
i2
i1
R1 u-
应用“虚断”性质，有
R2 u+
uo
ui1 uo
R1
RF
uo
RF R1
ui1
ui1
ui2
R3
当ui2单独作用时, ui1=0
u
u
R3 R2 R3
ui2
u uo u
R1
RF
uo
(1
RF R1
I s1
Is2
R2 R1 U s
R3 UU0000 ?
U
' 0
R1R3I s1 R1 R2 R3
US 单独作用时：
U 0
(R1 R2 )U s R1 R2 R3
U0 U0 U0 U0 R1R3Is1 (R1 R2 )U s R2R3Is2 R1 R2 R3
IS2 单独作用时：
19V
S合时:
UA
100 85 200 19
20 50 50 10
1 20
1 50
1 50
1 20
1 10
解得: U A 5V
3
电路 分析
4.4
线性性质与叠加定理
线性性质是线性电路的最基本的属性。它 包括齐次性和可加性。
如果输入（也称激励）乘以常数时，输出（也称响应）也乘 以相同的常数。这就是线性电路的齐次性。也称齐性原理。 以一个电阻元件为例:
30V
12
电路 分析
例 4-17
电路如图所示，当开关K在位 置1时，毫安表的读数为 40mA；当开关K在位置2时，
K 1 - US2 +
弥尔曼定理求节点电压的步骤
弥尔曼定理求节点电压的步骤弥尔曼定理求节点电压的步骤，这可是个大学物理的难题啊！不过别担心，我这个老学霸可是信手拈来。
今天我就来给大家讲讲，怎么用弥尔曼定理求出节点电压，让大家轻松掌握这个知识点。
我们要明确什么是弥尔曼定理。
弥尔曼定理是关于电路中节点电压的一个定理，它告诉我们，在一个任意两点之间的电路中，通过这两个点的电流之和等于这两个点之间的电势差与电阻之积的比值。
也就是说，如果我们知道了一个节点的电流和另一个节点的电流，那么我们就可以用弥尔曼定理求出这个节点的电压了。
那么，我们怎么用弥尔曼定理求节点电压呢？其实步骤很简单，我们只需要分三步走就行了。
下面就让我来给大家详细讲解一下。
第一步，我们需要知道两个节点之间的电流。
这些电流可以是我们刚刚学到的基尔霍夫电流定律求出的，也可以是我们根据欧姆定律和基尔霍夫电压定律推导出来的。
只要我们知道了两个节点之间的电流，我们就可以进行下一步了。
第二步，我们需要计算两个节点之间的电势差。
这个电势差可以用欧姆定律求出，就是电压除以电阻。
这个过程可能会比较复杂，但是我们可以根据公式一步一步地推导出来。
只要我们掌握了这个公式，就可以轻松求出电势差了。
第三步，我们用弥尔曼定理求节点电压。
这个过程就是把第一步和第二步的结果代入弥尔曼定理的公式里，然后进行计算。
最后我们就可以得到这个节点的电压了。
好了，看到这里，大家是不是觉得弥尔曼定理求节点电压的过程很简单呢？其实吧，这个过程就像是解一道数学题一样，只要我们掌握了正确的方法和步骤，就可以轻松求出答案。
所以，大家一定要认真学习哦！学习物理可不是一件容易的事情。
有时候我们会遇到很多难题，让我们感到很困惑。
但是没关系，只要我们勇敢地面对困难，不断地努力学习，总会有一天我们能够掌握这些知识的。
就像那句话说的：“世上无难事，只怕有心人。
”希望大家都能够成为那些有心人，勇攀科学高峰！弥尔曼定理求节点电压的过程虽然有点复杂，但是只要我们掌握了正确的方法和步骤，就可以轻松应对。
【精品】电路节点米尔曼定理2
第一章电路的基本概念和基本定理第一节电路和电路模型学习目标：掌握电路的作用和构成及电路模型的概念。
1-1手电筒电路电路和电路模型基本概念1.电路特点：电路设备通过各种连接所组成的系统，并提供了电流通过途径。
2.电路的作用：图1-1电路模型(1)实现能量转换和电能传输及分配。
(2)信号处理和传递。
3．电路模型：理想电路元件：突出实际电路元件的主要电磁性能，忽略次要因素的元件；把实际电路的本质特征抽象出来所形成的理想化的电路。
即为实际电路的电路模型；例图1-1：最简单的电路——手电筒电路4．电路的构成：电路是由某些电气设备和元器件按一定方式连接组成。
（1）电源：把其他形式的能转换成电能的装置及向电路提供能量的设备，如干电池、蓄电池、发电机等。
（2）负载：把电能转换成为其它能的装置也就是用电器即各种用电设备，如电灯、电动机、电热器等。
（3）导线：把电源和负载连接成闭合回路，常用的是铜导线和铝导线。
（4）控制和保护装置：用来控制电路的通断、保护电路的安全，使电路能够正常工作，如开关，熔断器、继电器等。
第二节、电路的基本物理量学习目标：掌握电路基本物理量的概念、定义及有关表达式，了解参考方向内涵及各物理量的度量及计算方法。
重点：各物理量定义的深刻了解和记忆。
一：电流、电压及其参考方向1．电流(1)定义：带电粒子的定向运动形成电流，单位时间内通过导体横截面的电量定义为电流强度。
(2)电流单位：安培(A)，1A＝10³mA＝10^6μA，1kA＝10³A(3)电流方向：规定正电荷运动的方向为电流的实际方向。
电流的大小和方向不随时间的变化而变化为直流电，用I表示，方向和大小随时间的变化而变化为交流电，用i表示。
任意假设的电流流向称为电流的参考方向。
（4）标定：在连接导线上用箭头表示，或用双下标表示。
约定：当电流的参考方向与实际方向一致时i>0，当电流的参考方向与实际方向相反时i<0，(5)电流的测量：利用安培表，安培表应串联在电路中，直流安培表有正负端子。
节点电压法
写成一般形式为
其中G 称为节点自电导 节点自电导， 其中 11、 G22、G33称为节点自电导，它们分别是各节点全部 电导的总和。 此例中 11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33= 电导的总和。 此例中G G3+ G4+ G6。 G i j ( i≠j )称为节点 i 和 j 的互电导 是节点 和j 间电导总和的负 称为节点 的互电导,是节点 是节点i 称为 此例中G 值。此例中 12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。 iS11、iS22、iS33是流入该节点全部电流源电流的代数和。此例 是流入该节点全部电流源电流的代数和。 中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。
例3. 用节点电压法求图 (a)电路的电压u和支路电流i1，i2。
解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联， 如图(b)所示。对节点电压u来说 ，图(b)与图(a)等效。只需列 出一个节点方程。
(1S + 1S + 0.5S)u = 5A + 5A
解得
u=
10A = 4V 2.5S
按照图(a)电路可求得电流i1和i2
例5 用节点电压法求图电路的结点电压。
解：由于14V电压源连接到结点①和参考结点之间，结点 ①的结点电压 u1=14V成为已知量，可以不列出结点①的结点方程。考虑到8V电压源电流i 列出的两个结点方程为：
(1S)u1 + (1S + 0.5S)u2 + i = 3A (0.5S)u1 + (1S + 0.5S)u3 i = 0
整理得到:
5u1 2u2 u3 = 12V 2u1 + 11u2 6u3 = 6V u 6u + 10u = 19V 2 3 1
[电路分析]节点电压法
![[电路分析]节点电压法](https://img.taocdn.com/s3/m/c0b15179ccbff121dd368370.png)
节点电压法.一、节点电压方程出发点进一步减少方程数，用未知的节点电压代替未知的支路电压来建立方程。
图3.2-1电路共有4个节点、 6条支路（把电流源和电导并联的电路看成是一条支路）。
用支路电流法计算，需列写6个独立的方程选取节点d为参考点，d点的电位为，则节点a、b、c为独立的节点，它们与d 点之间的电压称为各节点的节点电压（node voltage），实际上就是各点的电位。
这样a、b、c的节点电压是。
各电导支路的支路电流也就可用节点电压来表示结论：用3个节点电压表示了6个支路电压。
进一步减少了方程数。
1、节点电压方程根据KCL，可得图3.2-1电路的节点电压方程节点电压方程的一般形式自电导×本节点电压－Σ（互电导×相邻节点电压）= 流入本节点的所有电流源的电流的代数和自电导（self conductance）是指与每个节点相连的所有电导之和，互电导（mutual conductance）是指连接两个节点之间的支路电导。
节点电压法分析电路的一般步骤确定参考节点，并给其他独立节点编号。
列写节点电压方程，并求解方程，求得各节点电压。
由求得的节点电压，再求其他的电路变量，如支路电流、电压等。
例3.2-1 图3.2-1所示电路中，G1=G2=G3=2S，G4=G5=G6=1S，，，求各支路电流。
解：1. 电路共有4个节点，选取d为参考点，。
其他三个独立节点的节点电压分别为。
2. 列写节点电压方程节点a：节点b：节点c：代入参数，并整理，得到解方程，得3. 求各支路电流特别注意：节点电压方程的本质是KCL，即Σ(流出电流) =Σ(流入电流)，在节点电压方程中，方程的左边是与节点相连的电导上流出的电流之和，方程的右边则是与节点相连的电流源流入该节点的电流之和。
如果某个电流源上还串联有一个电导，那么该电导就不应再计入自电导和互电导之中，因为该电导上的电流（与它串联的电流源的电流）已经计入方程右边了。
电路基础-§2-4节点电压法
第二章电阻电路§2-4 节点电压法一、节点电压法（一）节点电压的概念任意选择电路中某一节点为参考节点，其他节点称为独立节点，各独立节点与参考节点之间的电压称为节点电压。
节点电压的参考方向一般选择为独立节点指向参考节点，因此节点电压就是节点电位。
一旦选定节点电压，各支路电压均可用节点电压表示，连在独立节点与参考节点之间的支路电压等于相应节点的节点电压。
连在独立节点之间的支路电压等于两个相关节点的节点电压之差。
电路中所有支路电压都可以用节点电压表示。
（二）节点电压方程⎪⎭⎪⎬⎫=++=++=++333332321312232322212111313212111s n n n s n n n s n n n i u G u G u G i u G u G u G i u G u G u G ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++=+++=+++snn nn nn n n n n s nn n n n s nn n n n i u G u G u G i u G u G u G i u G u G u G 2211222222121111212111（三）节点电压法的解题步骤（1）指定参考节点，其余节点独立节点与参考节点之间的电压即为节点电压，其参考方向时由独立节点指向参考节点。
（2）求出各节点的自电导、各相邻节点间的互电导、各节点电源电流，按式（2-14）方法列写节点方程。
（3）求解节点电压方程，得出各节点电压值。
（4）指定支路电流的参考方向，根据支路电流与节点电压的关系，求出各支路电流。
（5）如果电路中含有电压源与电阻的串联组合时，先将其等效变换为电流源与电阻并联的组合，然后再列写节点电压方程，进行计算。
（6）如果电路中含有电压源并没有电阻与之串联，可用下列方法：①尽可能选用电压源支路的负极性端作为参考节点，这时该支路另一端的节点电压就已知（节点电压等于电压源电压），该节点方程也就不用列写了，其余节点方程仍按一般方法列写；②假设流过电压源的电流为，增加了一个变量，同时补充一个节点电压与电压源电压关系的方程，这样就能可以解出节点电压。
第1章节点电位法叠加戴维南
2）两次电压测量法：如图2.2，首先测量UOC、，然后将一个已知电阻
RL接到ab端，再测量RL上的电压UL，则
RO
UOC IL
RL
复习思考题： 1、二端网络、有源二端网络 2、戴维南定理 3、戴维南定理应用解题步骤 4、负载获得最大功率的条件 5、戴维南等效电路的实验法
作业：P49 1.35
称为互电导 流入为“+”
3）求出节点电压后，再求出各支路电流。
说明：可根据列写节点电压方程规律，直接写出节点电压方程
注意：所有支路均只有一个元件，如不是则需变换
若电路中有3个独立节点， A ,B ,C
其节点电压方程式为
G11 A G12B G13C IS11
G21 A G22B G2 3C IS 22 G31 A G32B G33C IS 33
等效
无源二端网络：由电阻组成电路
等效
有源二端网络：含有电源电路
二、戴维南定理 1、引入：1）将下图有源二端网络进行等效化简
等效
2）求下图Uab和去源后Rab
结论1：有源二端网络可等效 为一电压源串上一电阻
结论2：电压源的电压为网络 的端口电压Uab；电阻为网络 无源化后的端口电阻Rab
解：I(5+10)-10-5=0 ∴I=1A ∴Uab=5I-10=-5V
Rab= 10 3
推广：任何有源二端网络都有上述结论
戴维南等效电路
2、戴维南定理：任一有源二端网络都可化简为一实际电压源，电压值为网络 端口电压，电阻值为网络无源化后的端口电阻
网络无源化：电压源短路，电流源开路。
戴维南等效电路
3、解题步骤：1）移去待求支路电流的支路（形成二端网络）
电工技术：电路中含恒流源的情况;只含恒压源支路的情况
例1：如图电路中，已知，
I S1 2 A，I S 2 24A，R2 2，R1 R4 1，R3 4
用节点电压法求电路中电流I。
一、电路中含理想流源与电阻串联的情况
解：电路中有3个节点1、2、0，以0为参考节点，则节点电压为U10、U20
列写节点电压方程： 节点1： 节点2：
二、电路中含纯理想电压源支路的情况
例2：电路如图所示，已知 US1和 IS，G1、G2、G3为三 个电阻元件的电导，求三电 阻元件上的电流。 1 2 解：该电路有3个节点0、1、2，以0为参考 节点，则节点电压为U10、U20。 设电压源US1的电流为I，参考方向如图，
电路的节点电压方程为：
G1 G2 U10 G2U 20 I S I G2U10 G2 G3 U 20 I S
上式称为弥尔曼定理，式中分母部分表示所有和该独立节点相连的支路电导
之和；分子表示所有和该独立节点相连的含源支路提供的电流的代数和， 如果该含源支路提供的电流是流入独立节点的，电流前面取正，反之取负。
再加一个约束关系：
U10 U S1
通过上面3个方程，联立求解可得节点电压 0
二、电路中含纯理想电压源支路的情况
1 2
在如图参考方向下，三电阻元件上电流分别 为：
I1 U10 G1
I 2 U10 U 20 G2 I 3 U 20 G3
0 小结：对于电路中含纯理想电压源支路的情况，较简单的处理方法是选 取和该电压源相连的两个节点中的一个（一般选取与电压源“-”极连接 的节点）作为参考节点，如上图中的0点，那么某一节点的节点电压方程
就是已知的（该电路中 U10 U S1 ）
三、 几点注意事项
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N 'UY N 'Y
----------⑥
⑤、⑥称为弥尔曼公式，它是节点电位法在只有两个节点时 的特例，在三相交流电路中有广泛应用。
电子信息科学与技术专业《电路分析》 阮许平主讲
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例2：
在如图所示电路中，
已知：U1=12V， U2=3V， R1=4， R2=4， R3=4
----------------⑤
电子信息科学与技术专业《电路分析》 阮许平主讲
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如果电源电动势用端电压表示，如图所示，则
L1
U+1
I1
U 3
+
––
N –U 2
+
IN I2
N 2
I3
L3
+
U 1
U 3
+
––
Z3
Z1
N' –
U
2
Z2 +
U N '
U1Y1 U 2Y2 U 3Y3 Y1 Y2 Y3 YN
试用弥尔曼定律 求各支路电流
I1 、I2 、 I3
I1 A I2
R1
+ R3 _ U1
I3 R2 + U2 _
B
电子信息科学与技术专业《电路分析》 阮许平主讲
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解： 由弥尔曼公式：
U A
U1G1 U 2G2 G1 G2 G3
I1 A I2
U1 U2
R1 R2 111
5V
电子信息科学与技术专业《电路分析》 阮许平主讲
1
弥尔曼定律
A
在如图所示电路中，有 多条支路，但只有2个节点，
若以B点为电位参考点，则 A点的KCL方程为：
R1 +
E1
R2
R3 R4
+
E2
E3
+
B
(G1 G2 G3 G4 )U A E1G1 E2G2 E3G3
化简后可得：
UA
A EG AG
R1 R2 R3
R1
+ R3 _ U1
I3 R2 + U2 _
B
I1 (U1 U A )G1 1.75A
∴ I 2 (U 2 U A )G2 0.5A
I3 U AG3 1.25A
电子信息科学与技术专业《电路分析》 阮许平主讲
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