高三数学下册单元测试题11
人教版高三数学下学期平面向量多选题单元测试综合卷学能测试试卷
人教版高三数学下学期平面向量多选题单元测试综合卷学能测试试卷一、平面向量多选题1．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y =所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．2．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1a b +=B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b=，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+32222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ）A ．0GA GB GC ++= B ．24AB AC HM MO +=- C ．3AH OM =D ．OA OB OC ==【答案】ABD【分析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A ；由12GO HG =可得23HG HO =，利用向量的线性运算()266AB AC AM GM HM HG +===-，再结合HO HM MO =+集合判断选项B ；利用222AH AG HG GM GO OM =-=-=故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以12GO HG =， 对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =， 又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确；对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，3AM GM =，因为12GO HG =，所以23HG HO =， ()226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫+===-=- ⎪⎝⎭()646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，故选项B 正确；对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确； 对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即OA OB OC ==，故选项D 正确；故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件12GO HG =得23HG HO =，利用向量的线性运算结合2AG GM =可得出向量间的关系.4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是,AC AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．0OC EO +=B ．0AB CE ⋅=C ．3OA OB OC OD +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为76【答案】BD 【分析】可证明EO CE =，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB CE ⊥结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 【详解】因为ABC 是边长为2的等边三角形，AE EB =，所以E 为AB 的中点，且CE AB ⊥，以E 为原点如图建立直角坐标系，则()0,0E ，()1,0A -，()10B ,，(3C ， 由2AD DC =可得222333AD AC ⎛== ⎝⎭，则1233D ⎛- ⎝⎭， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得//GE AD 且12GE AD DC ==， 所以CDO ≌EGO △，EO CO =，则30,2O ⎛ ⎝⎭， 对于A ，0OC EO EC +=≠，故A 错误； 对于B ，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故B 正确；对于C，1,OA ⎛=- ⎝⎭，1,OB ⎛= ⎝⎭，OC ⎛= ⎝⎭，13OD ⎛=- ⎝⎭，所以1,33OA OB OC OD ⎛+++=-- ⎝⎭，所以23OA OB OC OD +++=，故C 错误； 对于D ，(BC =-，13ED ⎛=- ⎝⎭，所以ED 在BC 方向上的投影为127326BC ED BC+⋅==，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.5．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=- 【答案】ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立； 若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.6．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列 D ．14nn n a a +-=【答案】BD 【分析】 证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =，所以23AE AC =， 所以2()3AB BE AB BC +=+,所以1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以()()111123n n n n BE a a BA a a BC t t-+=-+-， 所以()11123n n a a t --=，()11233n n a a t +-=， 所以()11322n n n n a a a a +--=-， 易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误； 因为2a -1a =4，114n nn n a a a a +--=-，所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.8．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ） A ．-2 B ．12C ．1D ．-1【答案】ABD 【分析】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解 【详解】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.9．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =B ．AB BC =C ．AB CD AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-【答案】BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确； 因为AD CD BC CD BD +=+=，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.10．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）A ．1-B ．113C D 【答案】BCD 【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k =若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得k =综合可得，k 的值可能为21133,,,3322+- 故选：BCD 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.。
高三数学11月教学质量检测试题理高三数学11月教学质量检测试题理高三数学11
名校联盟2021届高三11月教学质量检测制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日理科数学本试题卷一共4页，23题〔含选考题〕。
全卷满分是150分。
考试用时120分钟。
考前须知：1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的规定的正确位置。
2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的答题：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置需要用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．在在考试完毕之后以后，请将答题卡上交。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1．集合A＝{x｜x－2＜0}，B＝{x｜x2－x－2＜0}，那么A∩B＝A．〔－∞，2〕 B．〔－∞，1〕C．〔－2，1〕 D．〔－1，2〕2．复平面内表示复数1212izi－＝＋的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．设两个单位向量a，b的夹角为23π，那么｜3a＋4b｜＝A．1 B．13 C．37 D．74．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出以下四个命题：①假设a∥α，b∥α，那么a∥b；②假设a∥α，a∥β，那么α∥β；③假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b；④假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β．其中正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．45．以下图是某10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，以下表达中不正确的选项是A．这14天中有7天空气质量优良B．这14天中空气质量指数的中位数是103C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日6．甲、乙、丙三人中，一位是人，一位是人，一位是人，丙比人年龄大，甲和人不同岁，人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中A．甲不是人 B．人比甲年龄小C．人比人年龄大 D．人年龄最小7．数列{n a }对于任意正整数m ，n ，有m n a ＋＝m a ＋n a ，假设20a ＝1，那么2020a ＝A ．101B ．1C ．20D ．20218．函数()3sin 3x f x x ＝＋的图像大致为9．F 1，F 2分别为椭圆C ：22221x y a b＋＝〔a ＞b ＞0〕的左、右焦点，P 是C 上一点，满足PF 2⊥F 1F 2，Q 是线段PF 1上一点，且1FQ ＝2QP ，1F P ·2F Q ＝0，那么C 的离心率为 A ．622－ B 21－ C ．22－ D ．62－10．函数f 〔x 〕的定义域为R ，假设f 〔x ＋1〕与f 〔x －1〕都是偶函数，那么A ．f 〔x 〕是偶函数B ．f 〔x 〕是奇函数C ．f 〔x ＋3〕是偶函数D ．f 〔x 〕＝f 〔x ＋2〕11．将6名HY 员HY 分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名HY 员HY ，那么不同的分配方案一共有A ．2640种B ．4800种C ．1560种D ．7200种12．函数f 〔x 〕＝sinx ·sin2x ，以下结论中错误的选项是A ．y ＝f 〔x 〕的图像关于点〔2π，0〕对称 B ．y ＝f 〔x 〕的图像关于直线x π＝对称C ．f 〔x 〕的最大值为32D ．f 〔x 〕是周期函数二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。
北京市东城区10-11下学期高三数学(理科)一模考试试卷
北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习(一)数 学(理科)本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．“x ＞2”是“x 2＞4”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件2．已知数列{a n }为等差数列，且a 1=2，a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于 （A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45 3．已知函数f (x )对任意的x ∈R 有f (x )+f (―x )=0，且当x ＞0时，f (x )=ln(x +1)，则函数f (x )的图象大致为4．已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足PA PB PC ++=0，且AB AC m A P +=，那么实数m 的值为（A ）2 （B ）3（C ）4（D ）55．若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 （A ）n ≤5 （B ）n ≤6（C ）n ≤7 （D ）n ≤86．已知(,)2παπ∈，1tan()47πα+=，那么sin α+cos α的值为 （A ）15-（B ）75 （C ）75-（D ）347．已知函数131()()2xf x x =-，那么在下列区间中含有函数f (x )零点的是 （A ）1(0,)3（B ）11(,)32（C ）12(,)23（D ）2(,1)38．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离。
已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到平面β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，且满足P 到β的距离是P 到点A 距离的2倍，则点P 到平面γ的距离的最大值是（A ）3（B（C ）3（D ）6第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021年高三数学下学期第十一次大练习 文(含解析)
2021年高三数学下学期第十一次大练习 文（含解析）1．复数满足，则复数的实部与虚部之差为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由得，所以复数的实部与虚部之差为1-1=0. 2.已知集合，，则等于A ．（-∞，5）B ．（-∞，2）C ． （1，2）D ．【答案】C 【解析】因为集合，，所以=（1，2）。
3. 执行右边的程序框图，若输出的是，， 则判断框内的应是A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】第一次循环：； 第二次循环：； 第三次循环：231111713,22228n n n s s =+==+=++=，此时应输出，故判断框内的应是4.4.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】由三视图知：该几何体为底面边长是2，髙为1的正三棱柱，所以该几何体的体积为。
5. 已知数列的前项和为，且，则等于A.B. 1C. 2D. 4【答案】D【解析】当；。
6. 的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】222211sin140cos50sin(250)cos70sin70cos701222 cos155sin25cos25sin25cos50cos50 -==== --。
7. 函数的大致图像是A B C D【答案】B【解析】函数的图像是由函数向左平移一个单位，然后再把函数图像y轴左侧的去掉，并把右侧的对称到左侧去，所以答案选B。
8.设，把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为A． B． C． D.【答案】D【解析】因为，所以，又因为把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为。
9.过点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A、B，0为坐标原点，则的外接圆方程是A． B．C． D．【答案】A【解析】由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|，半径为外接圆的圆心为线段OP的中点是（2，1），所以的外接圆方程是。
高三数学理科统测试卷十一课标试题
官桥中学2021-2021学年度高三数学理科统测试卷十一制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日本套试卷一共150分，120分钟完成，答案写在答题卷上。
2007-4-7第一卷一、 选择题 (本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分) 1．以下能使θθθtan sin cos <<成立的θ所在区间是〔 〕A ．)4,0(πB ．)2,4(ππC．),2(ππD ．)23,45(ππ 2．设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，假如B ={1，2}，那么B A 等于 〔 〕A ．φB ．{1}C ．φ或者{2}D ．φ或者{1}3．数列1614,813,412,211，……的前n 项和为 〔 〕A ．2212n n n ++B ．2212nn n ++-C ．12212+++-nn n D ．22121nn n ++-+4．实数x 、y 满足约束条件y x z y x y x 42,622+=⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥则的最大值为〔 〕A ．24B ．20C ．16D ．125．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形， 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为 〔 〕 A. 4πB. 24C. 22D. 12π6．以下图给出了下一个算法流程图，该算法流程图的功能是〔 〕A ．求a,b,c 三数的最大数B ．求a,b,c 三数的最小数C ．将a,b,c 按从小到大排列D ．将a,b,c 按从大到小排列7．直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转 30°所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置 关系是〔 〕A ．直线与圆相切B ．直线与圆相交但不过圆心C ．直线与圆相离D ．直线过圆心8．假设函数2()log (3)(01)a f x x ax a a =-+>≠且，满足对任意的1x 、2x ，当221ax x ≤<时，0)()(21>-x f x f ，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A ．)3,1()1,0( B ．)3,1(C．)32,1()1,0(D ．)32,1(第二卷二、填空题：本大题一一共7小题，每一小题5分，其中9—12为必做题，13—15为选做题，13—15题只需选做2小题，一共30分。
2020年人教版高中数学单元测试-概率初步(附答案)
2020年人教版新课标高中数学模块测试卷概 率一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．我校有高一学生850人，高二学生900人，高三学生1 200人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（ ） A ．高一学生被抽到的概率最大 B ．高二学生被抽到的概率最大 C ．高三学生被抽到的概率最大D ．每名学生被抽到的概率相等2．某人将一枚硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则（ ） A ．正面朝上的概率为0.6 B ．正面朝上的频率为0.6 C ．正面朝上的频率为6D ．正面朝上的概率接近于0.63．事件分为必然事件、随机事件和不可能事件，其中随机事件A 发生的概率的范围是（ ） A ．()0P A ＞B ．()1P A ＜C ．()01P A ＜＜D ．()01P A ≤≤4．同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(),x y 表示结果，记A 为所得点数之和为8，则事件A 包含的样本点总数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．袋内装有一个黑球与一个白球（除颜色外其他都相同），从袋中取出一球，在100次摸球中，摸到黑球的频率为0.49，则摸到白球的次数为（ ） A ．49B ．51C ．0.49D ．0.516．把形状、质量、颜色等完全相同，标号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球放入一个不透明的袋子中，从中任意抽取一个小球，记下号码为x ，把第一次抽取的小球放回去之后再从中抽取一个小球，记下号码为y ，设“6xy =”为事件A ，则()=P A （ ）A ．118B ．112C ．19D ．167．某校高中三个年级人数统计图如图5-5-1所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（ ）A ．24B ．30C ．32D ．358．假设某运动员每次投篮命中的概率都为40%。
现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．720B ．14C ．15D ．3209．关于图5-5-2的说法，错误的一个是（ ）A ．甲的极差是29B ．甲的中位数是25C ．乙的众数是21D ．甲的平均数比乙的大10．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．110B ．15C ．310D ．2511．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计图如图5-5-3所示，两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则（ ）A ．x x 乙甲＜，σσ乙甲＜B ．x x 乙甲＜，σσ乙甲＞C ．x x 乙甲＞，σσ乙甲＜D ．x x 乙甲＞，σσ乙甲＞12．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）A ．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B ．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C ．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D ．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：则（1）该班成绩在[]80,100内的概率为________； （2）该班成绩在[]60,100内的概率为________．14．若一个三位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为________．15．若以连续两次掷骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆2216x y +=内的概率为________．16．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，{}0,1,2,,9b ∈．若||1a b -≤，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则两人“心有灵犀”的概率为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）某公司随机收集了该公司所生产的四类产品的售后调查数据，经分类整理得到下表：使用满意率是指一类产品销售中获得用户满意评价的件数与该类产品的件数的比值．（1）从公司收集的这些产品中随机选取1件，求这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率； （2）假设该公司的甲类产品共销售10 000件，试估计这些销售的甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数．18．（12分）为了研究某种理财工具的使用情况，对[]20,70年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[]60,70，并整理得到频率分布直方图如图5-5-4： （1）求直方图中a 的值．（2）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？（3）在（2）中抽取的8人中，随机抽取2人，则这2人都来自第三组的概率是多少？19．（12分）已知某种高炮在它的控制区域内击中目标的概率为0.2．（1）假设有5门这种高炮控制某个区域，求目标进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使目标一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？（参考值lg20.301≈）20．（12分）某教育集团为办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（最高110分，最低0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低），去年测评的数据如下： 甲校：96，112，97，108，100，103，86，98； 乙校：108，101，94，105，96，93，97，106．（1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数． （2）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差． （3）根据以上数据，你认为这两所学校哪所学校人民满意度更高？21．（12分）一只口袋内装有形状、大小、质地等都相同的4个小球，这4个小球上分别标记着数字1，2，3，4．甲、乙、丙三名同学约定： ①每人不放回地随机摸取一个球； ②按照甲、乙、丙的次序依次摸取； ③谁摸取的球的数字最大，谁就获胜．用有序数组(),,a b c 表示这个试验的基本事件，例如：()1,4,3表示在一次试验中，甲摸取的是标记着数字1的小球，乙摸取的是标记着数字4的小球，丙摸取的是标记着数字3的小球． （1）列出基本事件，并指出基本事件的总数； （2）求甲获胜的概率；（3）求出乙获胜的概率，并指出甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其摸球的次序是否有关．22．（12分）某种产品的质量按照其质量指标值M 进行等级划分，具体如下表：现从某企业生产的这种产品中随机抽取100件作为样本，对其质量指标值M 进行统计分析，得到如图5-5-5所示的频率分布直方图．（1）记A 表示事件“任取一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A 的概率；（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10 000件该产品的利润；（3）根据该产品质量指标值M 的频率分布直方图，求质量指标值M 的中位数的估计值（精确到0.01）．2020年人教版新课标高中数学模块测试卷概 率·答案一、 1.【答案】D【解析】由抽样的定义知，无论哪种抽样，样本被抽到的概率都相同，故每名学生被抽到的概率相等，故选D 。
【人教A版】2012高三数学(文)《绿色通道》一轮复习：第11章测试11
单元质量检测(11)一、选择题1．下列说法正确的有 ( )(1)随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值(2)一次试验中不同的基本事件不可能同时发生(3)任意事件A 发生的概率P (A )总满足0<P (A )<1(4)若事件A 的概率趋近于0，而P (A )>0，则A 是不可能事件A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由概率的定义知(1)正确；由基本事件的概念知(2)正确，对任意事件A,0≤P (A )≤1，当A 是不可能事件时P (A )＝0，当A 是必然事件时，P (A )＝1，故(3)不正确；(4)中P (A )趋近于0，说明事件A 的概率很小，但仍有可能发生，不是不可能事件，故(4)不正确，综上应选C.答案：C2．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%.现有一血液为A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为 ( )A ．15%B ．20%C ．45%D ．65%答案：D3．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，若这个集合不是集合{a ，b ，c }的子集的概率是34，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是 ( ) A.35 B.25C.14D.18答案：C4．某城市100<T ≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2008年空气质量达到良或优的概率为 ( )A.35B.1180C.119D.56解析：所求概率为110＋16＋13＝35. 答案：A5．某产品的设计长度为20 cm ，规定误差不超过0.50 cm 为合格产品，今对一批产品进( ) A.580 B.780C.1720D.320答案：D6．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则m n＝ ( ) A.12 B.14C.18D.116解析：n ＝4，在长度为1,2,3,4的四条线段中，由三角形的性质“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”知可组成三角形的线段长度为2,3,4一种，即m ＝1，所以m n ＝14. 答案：B7．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回的抽取三次，球的颜色全相同的概率是 ( )A.227B.19C.29D.127解析：有放回地取球三次，假设第一次取红球共有如下所示9种取法．同理，第一次取黄球，绿球分别也有9种情况，共计27种．而三次颜色全相同，共有3种情况，故颜色全相同的概率为327＝19. 答案：B8．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是 ( )A.16B.12C.13D.23解析：甲站在中间的情况有两种，而基本事件为6种，所以P ＝13. 答案：C9．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积不小于S 3的概率是( ) A.23 B.32C.12D ．2 解析：如右图设点P 为AB 的三等分点，要使△PBC 的面积不小于S 3，则点P 只能在AP 上选取，由几何概型的概率公式得所求概率为|AP ||AB |＝23|AB ||AB |＝23. 答案：A10．集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －1|，x ∈N *}，集合B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋5，x ∈N *}．先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a ，掷第二颗骰子得点数记作b ，则(a ，b )∈A ∩B 的概率等于 ( )A.14B.29C.736D.536解析：由于y ≥|x －1|⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0x ＋y －1≥0，根据二元一次不等式表示平面的区域，可知A ∩B 对应如右图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a ，b )∈A ∩B的概率为836＝29. 答案：B11．已知M ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，N ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域M 上随机投一点P ，则点P 落入区域N 的概率为 ( )A.13B.23C.19D.29解析：利用线性规划知识画出区域M 和区域N 表示的范围，可知两个都是直角三角形，易计算得区域M 的面积S △BOA ＝12×6×6＝18，区域N 的面积S △COD ＝12×4×2＝4.由几何概型知，点P (图中黑点表示)落入区域N 的概率＝区域N 的面积区域M 的面积＝29. 答案：D12．甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开，若他们在限期内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为( )A.310B.710C.49100D.51100解析：本题考查几何概型，设x 表示甲到达该地点的时间，y 表示乙到达该地点的时间，则整个事件空间构成一个边长为10的正方形，其中两人能会面的条件是－3≤x －y ≤3，如右图，可知两人能会面的概率为约束条件对应的可行域的面积与正方形的面积的比，即P ＝100－49100＝51100. 答案：D二、填空题13．利用简单随机抽样的方法，从n 个个体(n >13)中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽取到的概率为________．解析：本题考查简单随机抽样的特点．每个个体在整个抽样过程中被抽到的概率都等于n N (其中n 为样本容量，N 为总体容量)．由题意N ＝12÷13＋1＝37. 答案：133714．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．解析：由对立事件的概率知1－0.42－0.28＝0.30.答案：0.3015．三人传球，由甲开始发球，并作第一次传球，经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率是________．解析：所有可能传法有甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲乙甲丙，甲乙甲乙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，甲丙甲丙，甲丙甲乙共8种，回到甲手中有甲乙丙甲，甲丙乙甲共两种，所以所求事件的概率为28＝14. 答案：1416．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率为________；若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，则上述方程有实根的概率为________．解析：本题以方程为背景考查古典概型和几何概型的概率计算．设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则基本事件共12个：(0,0)(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P (A )＝34. 若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，试验的全部结果构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．所以所求的概率为3×2－12×223×2＝23. 答案：34 23三、解答题17．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．解：在75秒内，每一时刻到达路口的时候是等可能的，属于几何概型．(1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25； (2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115； (3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35. 18．某省是高中新课程改革实验省份之一，按照规定每个学生都要参加学业水平考试，全部及格才能毕业，不及格的可进行补考．某校有50名同学参加物理、化学、生物水平测试补考，已知只补考物理的概率为950，只补考化学的概率为15，只补考生物的概率为1150.随机选出一名同学，求他不止补考一门的概率．解：设“不止补考一门”为事件E ，“只补考一门”为事件F ，“只补考物理”为事件A ，则P (A )＝950，“只补考化学”为事件B ，则P (B )＝15，“只补考生物”为事件C ，则P (C )＝1150，这三个事件为互斥事件，所以P (F )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝3050＝0.6，又因为事件E 和事件F 互为对立事件，∴P (E )＝1－P (F )＝1－0.6＝0.4.即随机选出一名同学，他不止补考一门的概率为0.4.19．(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？(3)已知y ≥245，z ≥245，求高三年级中女生不比男生多的概率．解：(1)∵x 2000＝0.19，∴x ＝380.(2)高三年级人数为y ＋z ＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：482000×500＝12(名)．(3)设高三年级女生不比男生多的事件为A ，高三年级女生男生数记为(y ，z )．由(2)知y ＋z ＝500，且y ，z ∈N ，基本事件空间包含的基本事件有：(245,255)、(246,254)、(247,253)、…、(255,245)共11个，事件A 包含的基本事件有6个．∴P (A )＝611. 20．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{－1,1,2,3,4,5}和Q ＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －8≤0x >0y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a，要使函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2b a≤1，即2b ≤a . 若a ＝1，则b ＝－2，－1；若a ＝2，则b ＝－2，－1,1；若a ＝3，则b ＝－2，－1,1；若a ＝4，则b ＝－2，－1,1,2；若a ＝5，则b ＝－2，－1，1,2；∴所求事件包含基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16.∴所求事件的概率为1636＝49. (2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0a >0b >0，构成所求事件的区域为如右图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8＝0b ＝a 2得交点坐标为(163，83)， ∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13. 21．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，解答下列各题． (1)求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正解的概率．解：事件的基本事件有6×6＝36(个)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2 可得⎩⎪⎨⎪⎧(2a －b )x ＝6－2b ，(2a －b )y ＝2a －3. (1)方程组只有一个解，需满足b －2a ≠0，即b ≠2a .而b ＝2a 的事件有(1,2)，(2,4)，(3,6)共3个，故b ≠2a 的事件有33个．所以方程组只有一个解的概率为P ＝3336＝1112.(2)方程组只有正数解，需满足b －2a ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝b －2a 2a －b >0，y ＝2a －32a －b >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a >b ，a >32，b <3或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a <b ，a <32，b >3包含的事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)．因此所求的概率为1316. 22．柜子里有4双不同的鞋，随机地取出4只，试求下列事件的概率：(1)取出的鞋都不成对；(2)取出的鞋恰好有两只是成对的；(3)取出的鞋至少有两只成对；(4)取出的鞋全部成对．解：(1)取出的鞋都不成对，也就是说在每一双鞋中取出一只：(1,3,5,7)(2,3,5,7)(1,4,5,7)(2,4,5,7)(1,3,6,7)(2,3,6,7)(1,4,6,7)(2,4,6,7)(1,3,5,8)(2,3,5,8)(1,4,5,8)(2,4,5,8)(1,3,6,8)(2,3,6,8)(1,4,6,8)(2,4,6,8)，一共16种，P ＝1670＝835. (2)取出的鞋恰好有两只成对的，则另两只不成对，包含下列基本事件：(12,57)，(12,58)，(12,67)，(12,68)，(12,36)，(12,46)，(12,37)，(12,38)，(12,47)，(12,48)，(12,35)，(12,45)，选第一双为12种，同样选第二双也为12种，那么一共4双，则为48种，P ＝4870＝2435. (3)取出的鞋至少有两只成对，则有两种情况，一是两只成对，两只不成对；二是四只成对，第一种情况由(2)已经得出是48种，四只成对(12,34)，(12,56)，(12,78)，(56,78)，(56,34)，(34,78)，一共包含6个基本事件，P ＝48＋670＝2735. (4)全部成对，由(3)已经得出包含6个基本事件，P ＝670＝335.高?考═试∷题)库。
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师11(文)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十一)第十一单元数列综合测试(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知数列{a n}为等比数列,且a3a9=2a52,a2=2,则a1等于A.±√2B.√2C.-√2D.2解析:a3a9=a62=2a52,q=a6a5=±√2,故a1=a2q=±√2.答案:A2.在等差数列{a n}中,a1=0,公差d≠0,若a n=a2+a3+a6+a8,则n等于A.15B.16C.17D.18解析:a n=a2+a3+a6+a8=4a1+15d=a1+15d,故a n为等差数列{a n}的第16项,∴n=16.故选B.答案:B3.若等差数列{a n}满足递推关系a n+1=-a n+n,则a5等于A.92B.94C.114D.134解析:令n=4,则a5+a4=4,令n=5,则a6+a5=5,两式相加2a5+a4+a6=9,∴a5=9 4 .答案:B4.设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知3S2013=a2014-2012,3S2012=a2013-2012,则公比q等于A.4B.3C.2D.8解析:由3S2013=a2014-2012,3S2012=a2013-2012得3a2013=a2014-a2013,∴q=a2014a2013=4.答案:A5.已知数列{a n}的通项公式是a n=-n2+bn+c,若a n+1<a n对n∈N+恒成立,则实数b的取值范围是A.b>0B.b≥-1C.b≤3D.b<3解析:∵a n+1<a n恒成立,∴a n+1-a n=b-(2n+1)<0,即b<2n+1恒成立,∴b<3.答案:D6.已知函数f(x)是R 上的单调增函数且为奇函数,数列{a n }是等差数列,a 11>0,则f(a 9)+f(a 11)+f(a 13)的值A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负解析:因为f(a 11)>f(0)=0,a 9+a 13=2a 11>0,a 9>-a 13, 所以有f(a 9)>f(-a 13)=-f(a 13),f(a 9)+f(a 13)>0,故选A. 答案:A 7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若m>1,2a m-1+2a m+1-a m 2-4=0,S 2m-1=38,则m等于A.7B.8C.9D.10解析:∵a m-1+a m+1=2a m ,∴2a m-1+2a m+1-a m 2-4=4a m -a m 2-4=0,∴a m =2.故S 2m-1=(a 1+a 2m -1)(2m -1)2=2a m (2m -1)2=2(2m-1)=38.∴m=10. 答案:D8.若数列{a n }满足a 1=12,a n+1=1+an 1-a n(n ∈N +),则该数列的前2014项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2014等于A.3B.1C.32D.23解析:易求得a 1=12,a 2=3,a 3=-2,a 4=-13,a 5=12,…,这是一个周期为4的周期数列, 且每相邻四项a 1·a 2·a 3·a 4=1,故原式=12×3=32. 答案:C9.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2+n,若数列{1a n}的前n 项和为S n ,则S n 的取值范围为A.[0,1]B.(2,1)C.[12,1) D.[12,1]解析:依题意1a n =1n(n+1)=1n -1n+1,∴S n =1a 1+1a 2+…+1a n =1-12+12-13+…+1n -1n+1=1-1n+1<1,∴当n=1时,S n 取最小值12,∴S n 值范围为[12,1).答案:C10.在数列{a n }中,对于任意的n ∈N +,都有a n+2-a n+1a n+1-a n=k(k为常数),则称{a n }为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断:①等差数列一定是“等差比数列”;②等比数列一定是“等差比数列”;③通项公式为a n =a ·b n +c(a ≠0,b ≠0,1)的数列一定是“等差比数列”.其中正确的个数是A.0B.1C.2D.3解析:①②错误,对于①②只要举常数列即可验证它是错的;③正确,对于③,其中k=b.答案:B11.已知数列{a n }满足a 1=1,na n =(n+1)a n-1(n ≥2,且n ∈N +),则a n 2+14n取最小值的n 值为A.2B.3C.4D.5解析:∵na n =(n+1)a n-1,∴a n a n -1=n+1n ,∴a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1=21·32·…·n+1n=n+1,即a n =n+1(n ≥2),∴a n 2+14n =n+15n +2,令f(x)=x+15x+2,∵f(x)在(0,√15)上单调递减,在(√15,+∞)上单调递增.故当n=3或4时,a n 2+14n取最小值, ∵a 32+143=3+153+2=10,a 42+144=4+154+2=394,故当n=4时取最小值,故选C. 答案:C12.对任意x ∈R ,函数f(x)满足f(x+1)=√2f(x)-[f(x)]2+1,设a n =[f(n)]2-2f(n),数列{a n }的前2013项的和为-1003,则f(2013)等于A.4B.3C.2D.1解析:因为[f(x+1)-1]2=[f(x+1)]2-2f(x+1)+1=2f(x)-[f(x)]2,所以有a n+1+a n =-1. 前2013项和S 2013=1006·(-1)+a 2013=-1003,由此可得a 2013=3,a 2012=-4. 因而f(2013)=√-a 2012+1=3,故选B. 答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=6,a 3=4,则公差d= . 解析:由题意知{a 1+2d =4,3a 1+3×22×d =6,解得d=2. 答案:214.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 3+a 9=17S 7,且a 4,a 6为等比数列{b n }相邻的两项,则等比数列{b n }的公比q= .解析:∵a 3+a 9=17S 7,∴2a 6=17×7(a 1+a 7)2=a 4,∴q=12或2. 答案:12或215.数列{a n }中,a 1=1,a n+1=2a n +1,则通项a n = .解析:由题可得a n+1+1=2(a n +1),∴a n+1+1a n +1=2,数列{a n +1}为等比数列,∴a n +1=2n-1(a 1+1)=2n ,故a n =2n -1.答案:2n -116.数列{a n }中,对任意的m,n,p ∈N +,当m+n=p 时,都有a m ·a n =a p ,若a 1=12,则a 10的值为 .解析:∵a m ·a n =a p ,∴a 12=a 2,a 1·a 2=a 3, a 1·a 3=a 4, …… a 1·a 9=a 10,累乘得a 110=a 10=(12)10=11024. 答案:11024三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)设{a n }是一个公差为d(d ≠0)的等差数列,它的前10项和S 10=110且a 1,a 2,a 4成等比数列,求数列{a n }的通项公式.解析:因a 1,a 2,a 4成等比数列,故a 22=a 1a 4,而{a n }是等差数列,有a 2=a 1+d,a 4=a 1+3d,于是(a 1+d)2=a 1(a 1+3d),即a 12+2a 1d+d 2=a 12+3a 1d,化简得a 1=d.5分∵S 10=10a 1+10×92d=110,∴10a 1+45d=110. 又∵a 1=d,∴55d=110,∴d=2,∴a n =a 1+(n-1)d=2n.10分18.(本小题满分12分)已知幂函数f(x)图象过点(-12,-2),数列{a n },{b n }满足a 1=1,b 1=1,且对任意n ∈N +,均有a n+1=a nf(a n )f(an )+3,b n+1-b n =1a n .(1)求函数f(x)的解析式; (2)试求数列{a n },{b n }的通项公式.解析:(1)由题意可知(-12)a =-2,所以a=-1,故f(x)=1x(x ≠0).4分 (2)由(1)可得a n+1=11a n +3=a n 3a n +1,所以有1a n+1=1a n +3,故a n =13n -2. b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1=3[(n-1)+(n-2)+…+2+1]-2(n-1)+1=3·n -1+12(n-1)-2n+2+1=3n 2-7n+62.12分19.(本小题满分12分)设S n 是正项数列{a n }的前n 项和,且S n =13a n 2+12a n .(1)求a n ; (2)设√b n =34an +3(n ∈N +),且数列{b n }的前n 项和为T n ,试比较T n 与14的大小.解析:(1)由已知可得a 1=13a 12+12a 1,a 1>0,所以a 1=32. 当n ≥2时,有a n =S n -S n-1=13a n 2+12a n -(13a n -12+12a n-1) =13(a n 2-a n -12)+12(a n -a n-1),∴(a n +a n-1)(a n -a n-1-32)=0, 又a n >0,所以有a n -a n-1=32,数列{a n }为等差数列. 所以a n =32n.6分 (2)由(1)可知b n =1(2n+1)2=14n 2+4n+1<14n 2+4n <14(1n -1n+1), 所以有T n =b 1+b 2+…+b n <14[(11-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)]=14(1-1n+1)<14.12分 20.(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=2(1a 1+1a 2),a 3+a 4+a 5=64(1a 3+1a 4+1a 5).(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1a n)2,求数列{b n }的前n 项和T n .解析:(1)设公比为q,则a n =a 1q n-1,易知q ≠1.由已知得{a 1+a 1q =2(1a 1+1a 1q ),a 1q 2+a 1q 3+a 1q 4=64(1a 1q 2+1a 1q3+1a 1q4), 化简得{a 12q =2,a 12q 6=64.又a 1>0,故q=2,a 1=1,∴a n =2n-1.6分(2)由(1)知b n =(a n +1a n )2=a n 2+1a n2+2=4n-1+14n -1+2,∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =(1+4+…+4n-1)+(1+14+…+14n -1)+2n=4n -14-1+1-14n 1-14+2n=13(4n -41-n )+2n+1.12分21.(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数,对于任意的x,y ∈R ,都有f(x ·y)=xf(y)+yf(x)成立.数列{a n }满足a n =f(2n )(n ∈N +),且a 1=2. (1) 试求数列{a n }的通项公式a n . (2)若b n =a nn(n+1)2,求数列{b n }的最小项.解析: (1)因为a 1=f(2)=2,令x=2n-1,y=2,则有f(2n )=2n-1f(2)+2f(2n-1) =2n +2[2n-2f(2)+2f(2n-2)]=2·2n +22f(2n-2)=2·2n +22[2n-3f(2)+2f(2n-3)]=3·2n +23f(2n-3)=…=(n-2)·2n +2n-2[2n-(n-1)f(2)+2f(2n-(n-1))]=n ·2n ,7分 即a n =n ·2n . (2)由(1)可知b n =2n (n+1)2,令b n+1b n =2·[n+1n+2]2>1得n 2>2,n>√2, 即当n ≥2,n ∈N ,都有b 2<b 3<…<b n ,而b 1=12>b 2=49,故(b n )min =b 2=49.12分22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n(n ∈N +)项和为S n ,a 1=t,a 2=-1,点P n (a n ,S n ),若点P n (n=2,3,4,…)都在斜率为13的同一条直线上.(1)当t 为何值时,数列{a n }是等比数列?(2)在满足(1)的条件下,设b n =λa n -n 2,若数列{b n }中,有b 1>b 2,b 3>b 4,…,b 2n-1>b 2n ,…成立,求实数λ的取值范围.解析:(1)∵点P n ,P n+1(n=2,3,4,…)都在斜率为13的直线上, ∴S n+1-S n a n+1-a n =13. 又∵S n+1-S n =a n+1, ∴a n+1=13(a n+1-a n ),整理得a n+1a n =-12(n ≥2). 又∵当n ∈N +时,数列{a n }是等比数列, ∴只需要a 2a 1=-1t=-12, ∴t=2.6分(2)由(1)得a n =2·(-12)n-1, ∵b n =λa n -n 2, ∴b n =2λ(-12)n-1-n 2,由b 2n-1>b 2n 得,2λ(-12)2n-2-(2n-1)2>b 2n =2λ(-12)2n-1-(2n)2, 即2λ(-12)2n-2[1-(-12)]>(2n-1)2-(2n)2,∴λ>-(4n -1)·4n12, ∵-(4n -1)·4n 12单调递减, ∴当n=1时,-(4n -1)·4n12取最大值为-1, ∴λ>-1.12分。
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天津新人教版数学高三单元测试11《空间向量与立体几何》
（ 时间：60分钟 满分100分）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1. 在下列命题中：
①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；
②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面；
③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c 共面；
④已知是空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存
在实数x,y,z 使得p xa yb zc =++；其中正确的命题的个数是 （ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
2. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ）
（A 和（）； （B ））；
（C ）（）和（）； （D ）
（）； 3. 已知A 、B 、C 三点不共线，点O 为平面ABC 外的一点，则下列条件中，能得到M ∈平面ABC 的充分条件是 （ ）
（A ）111222OM OA OB OC =
++； （B ）1133
OM OA OB OC =-+； （C ）OM OA OB OC =++； （D ）2OM OA OB OC =-- 4. 已知点B 是点A （3，7，-4）在xOz 平面上的射影，则2()OB 等于 （ ）
（A ）（9，0，16） （B ）25 （C ）5 （D ）13
5. 设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（-1，1，2），则下
列向量中是平面的法向量的是（ ）A （-1，-2，5） B （-1,1,-1）
C （1, 1,1）
D （1，-1，-1）
6. 如图所示，在正三棱柱ABC ——A
1B 1C 1中，若BB 1，则
AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ）（A ）60° （B ）
90° （C ）105° （D ）75°
7. 到定点()1,0,0的距离小于或等于1的点集合为（ ）
A.()(){}222,,|11x y z x y z -++≤
B.()(){}
222,,|11x y z x y z -++=
C.()(){},,|11x y z x y z -++≤
D.(){}222,,|1x y z x y z ++≤
8. 已知,a b 均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么3a b +等于（ ）
A
B
C
D ．4
9. 在平面直角坐标系中, (2,3),(3,2)A B --,沿x 轴把平面直角坐标系折
成120︒的二面角后,则线段AB 的长度为（ ） A
．
B
． C
． D
．
10. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，
则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不
充分也不必要条件
二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）
11. 若空间三点A （1，5，-2），B （2，4，1），C （p,3,q+2）共线，则p=______,q=______。
12. 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．
13. 如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a 则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值等于________；
14.已知123F i j k =++，223F i j k =-+-，3345F i j k =-+，若123,,F F F 共同
作用于一物体上，使物体从点M （1，-2，1）移动到N （3，1，2），则合力所作的功是 .
三、解答题（本大题共四个小题，15题11分，16题11分，17题12分，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
15. 设向量()()3,5,4,2,1,832,,a b a b a b =-=-⋅，计算并确定,λμ的关系，使
D C B
A E N M
a b z λμ+与轴垂直
16. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为1，P 、Q
分别是线段AD 1和BD 上的点，且D 1P ：PA=DQ ：
QB=5：12，
（1） 求线段PQ 的长度；
（2） 求证P Q ⊥AD ；
（3） 求证：PQ//平面CDD 1C 1；
17. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 2，E ，F 分别是AD ，PC 的中点 （Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF ；（Ⅱ）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小。
18. 如图,四棱锥S-ABCD 的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA ⊥
底面ABCD,若边BC 上存在异于B,C 的一点P,使得PS PD ⊥.
(1)求a 的最大值;
(2)当a 取最大值时,求异面直线AP 与SD 所成角的大小;
(3)当a 取最大值时,求平面SCD 的一个单位法向量n
及点P 到平面SCD 的距离.
参考答案
1-5 AABBB 6-10 BACBB
11. 3，2 12. 2π 13. 14. 14
15. 解：323(3,5,4)2(2,1,8)a b -=--=（9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28) a b ⋅=(3,5,-4)⋅(2,1,8)=6+5-32=-21
由()(0,0,1)(32,5,48)a b λμλμλμλμ+⋅=++-+(0,0,1)⋅480λμ=-+=
即当,λμ满足48λμ-+＝0即使a b λμ+与z 轴垂直.
16. 解：以D 为坐标原点。
DA 、DC 、DD 1分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系。
由于正方体的棱长为1，所以D （0，0，0），D 1（0，0，1），B （1，1，0），A （1，0，0），∵P 、Q 分别是线段AD 1和BD 上的点，且D 1P ：PA=DQ ：QB=5：12，∴P 512(
,0,)1717
，Q （55,,01717），∴512(0,,)1717PQ =-，所以
（1）∴13||17
PQ PQ ==； （2）∵(1,0,0)DA =，∴0PQ DA ⋅=，∴P Q ⊥AD ；
（3）∵(0,1,0)DC =，1(0,0,1)DD =，∴15121717
PQ DC DD =-，又1,DD DC ⊂平面CDD 1C 1，PQ ⊄平面CDD 1C 1，∴PQ//平面CDD 1C 1；
17. 解法一 （Ⅰ）如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 算在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系。
∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形ABCD 是矩形。
∴A ，B ，C ，D 的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √ 2,0)，D(0，2 √ 2，0)，P(0,0,2)
又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E(0，√ 2，0),F(1，√ 2，1)。
∴PC =（2，2 √ 2，-2）BF =（-1，√ 2，1）EF =（1,0, 1），∴PC ·BF =-2+4-2=0，PC ·EF =2+0-2=0，
∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF ，∴PC ⊥BF,PC ⊥EF,BF ∩ EF=F,∴PC ⊥平面BEF
（II ）由（I ）知平面BEF 的法向量
平面BAP 的法向量
设平面BEF 与平面BAP 的夹角为 θ ，
则
∴ θ=45℃， ∴ 平面BEF 与平面BAP 的夹角为45
解法二 （I ）连接PE ，EC 在
PA=AB=CD, AE=DE,
∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形，
又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC,
又
，F 是PC 的中点，
∴BF ⊥PC.
又
18. 解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),
设P(a,x,0).
(0<x<2)
(1) ∵(),,1,PS a x =--(),2,0PD a x =--
∴由PS PD ⊥得: 2(2)0a x x --=
即: 2(2)(02)a x x x =-<<
∴当且仅当x=1时,a 有最大值为1.此时P 为BC 中点;
(2) 由(1)知: (1,1,0),(0,2,1),AP SD ==- ∴10cos ,,25AP SD
AP SD AP SD ===⨯⨯
∴异面直线AP 与SD
所成角的大小为cos 5
arc (3) 设()1,,n x y z =是平面SCD 的一个法向量,∵(1,0,0),(0,2,1),SD ==-DC
∴由1111000201021x x n DC n DC y z y n SD n SD z y ==⎧⎧⎧⎧⊥=⎪⎪⎪⎪⇒⇒-=⇒=⎨⎨⎨⎨⊥=⎪⎪⎪⎪⎩⎩==⎩⎩
取得1(0,1,2),n = ∴平面SCD 的一个单位法向量(
)110,1,25
n n n ==⋅= 又
(0,1,0),=-CP 在n 方向上的投影为55,15
n n -⋅==-CP ∴点P 到平面SCD 的距离为5。