2015年初中数学中考总复习全优设计第21课时 与圆有关的位置关系
名师预测 考查 命题角度 频度 结合具体的问题 ★ 或图形判断点与 圆的位置关系.
直线与 圆的位 置关系
2012 安 徽,9,4 分
★★
考查切线的性质 和判定的简单应 用或与函数图象 相结合考查切线 的概念和性质.
2
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考点梳理整合
考法探究突破
考点一
考点二
考点三
点与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系有:点在圆内、点在圆上、点在圆外三种. 2.数量关系:设圆的半径为 r,点与圆心的距离为 d,则: (1)点在圆内⇔d<r;(2)点在圆上⇔d=r;(3)点在圆外⇔d>r.
考法1
考法2
考法3
考法4
【例 2】 如图,已知△ABC 内接于☉O,BC 是☉O 的直径,MN 与 ☉O 相切,切点为 A,若∠MAB=30° ,则∠B= 度.
解析:如图,连接 OA, ∵MN 与圆 O 相切于点 A, ∴OA⊥AM,则∠BAO=90° -∠MAB=60° . 又 BC 是直径,则 OA=OB,故∠B=∠BAO=60° . 答案:60
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考法1
考法2
考法3
考法4
规律总结 1.根据切线的性质得到直角三角形 AOB,再根据
圆的性质、等腰三角形的性质证得∠A=∠OCB 是解题的关键. 2.根据菱形的判定来解决问题,解题时要注意掌握常规辅助线 的作法,注意数形结合思想的应用. 请试做【考点考法集训】第 5 题.
1 2 1 2 12 5 24 5 1
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考法1பைடு நூலகம்
考法2
考法3
考法4
解题规律判定切线常常用以下两种方法:
(1)当直线与圆的公共点已告知,则连接圆心和这点,证明圆心和 这点的连线与该直线垂直.利用切线的判定定理解决问题. (2)当直线与圆的公共点没有明确告知时,则过圆心作该直线的 垂线,证明圆心与垂足之间的距离等于圆的半径.利用直线与圆相切 的数量关系来解决问题. 请试做【考点考法集训】第 4 题.
1 2 1 2
)
解析:在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=3 cm,BC=4 cm,由勾股定理,
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考法1
考法2
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规律总结斜边上的高即为圆的半径是解决本题的突破点.
根据直线与圆相切的数量关系知:当圆 C 与直线 AB 相切时,圆心 C 到直线 AB 的距离与圆的半径相等,于是利用勾股定理求出斜边 AB 的长,再由直角三角形面积的求法求出斜边上的高即知半径 r 的值. 请试做【考点考法集训】第 2 题.
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4.切线长: (1)定义:从圆外一点引圆的两条切线,这点到切点之间的距离叫 切线长. (2)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线的切线长相等,并且 这点与圆心的连线平分两条切线的夹角. 5.三角形的内切圆、内心: (1)定义:与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,这个 三角形叫做这个圆的外切三角形. (2)三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. (3)三角形的内心是三角形三边中垂线的交点,这点到三角形三 边的距离相等.
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考法2
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【例 3】
如图,点 A,B 在☉O 上,直线 AC 是☉O 的切线,OC⊥OB,连接 AB 交 OC 于点 D. (1)AC 与 CD 相等吗?为什么? (2)若 AC=2,AO= 5,求 OD 的长度.
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切线性质的应用
在应用切线的性质时要注意:(1)切线和圆只有一个公共点;(2) 圆心到切线的距离等于半径;(3)“经过圆心”“经过切点”“垂直于切 线”这三个结论中,有两个成立时,第三个一定成立.
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(2)∵OA=OC,∠AOF=∠COF,∴E 为 AC 的中点, 即 AE=CE=2AC,OE⊥AC.∵OA⊥AF, ∴在 Rt△AOF 中,OA=4,AF=3,OF=5. ∵S△AOF= · OA· AF= · OF· AE,∴AE= ,则 AC=2AE= .
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解:
(1)AF 为圆 O 的切线,理由如下: 连接 OC,∵PC 为圆 O 的切线, ∴CP⊥OC,∠OCP=90° . ∵OF∥BC,∴∠AOF=∠B,∠COF=∠OCB. ∵OC=OB,∴∠OCB=∠B.∴∠AOF=∠COF. ∵OA=OC,∠AOF=∠COF,OF=OF, ∴△AOF≌△COF(SAS).∴∠OAF=∠OCF=90° , 则 AF 为圆 O 的切线.
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圆的切线
1.切线的定义:直线和圆有且只有一个公共点时,称直线与圆相 切,这条直线叫做圆的切线. 2.切线的性质:定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 推论:经过切点垂直于切线的直线必经过圆心. 3.圆的切线的判定: (1)根据定义来判断:当直线与圆有且只有一个公共点时,该直线 与圆相切. (2)根据数量关系来判断:设圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d,则当 d=r 时,直线与圆相切. (3)判定定理:经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线.
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方法技巧有关切线问题,辅助线常常是连接过切点的半径,
即产生直角.于是可得到特殊三角形——直角三角形,进而可以根据 直角三角形的性质:勾股定理、锐角三角函数等进行计算和证明. 请试做【考点考法集训】第 1 题.
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【例 5】
如图,AB 是☉O 的切线,B 为切点,圆心在 AC 上,∠A=30° ,D 为弧 BC 的中点. (1)求证:AB=BC; (2)求证:四边形 BOCD 是菱形.
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证明:(1)∵AB 是☉O 的切线,∴OB⊥AB.∵∠A=30° , ∴∠AOB=60° .∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=2∠AOB=30° . ∴∠A=∠OCB.∴AB=BC. (2)如图,连接 OD, ∵∠AOB=60° , ∴∠BOC=120° . ∵D 为������������的中点, ∴������������ = ������������,∠BOD=∠COD=60° . ∵OB=OD=OC,∴△BOD 与△COD 是等边三角形. ∴OB=BD=OC=CD.∴四边形 BOCD 是菱形.
第21课时
与圆有关的位置关系
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考 点 点与圆 的位置 关系
考纲要求
五年考 题统计 /
了解点与圆的位置关系 了解切线的概念; 能过圆上一点作该圆的切线; 知道圆的半径与圆心到切线 之间的距离相等; 掌握切线与过切点的半径之 间的关系,并能利用这一关系 解决简单的有关切线的问题; 会根据过圆上一点的直线与 过该点的半径之间的垂直关 系,判定圆的切线.
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解题规律熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理及切线
的性质是解本题的关键. (1)由 AC 为圆的切线,利用切线的性质得到∠OAC 为直角,再由 OC 与 OB 垂直,得到∠BOC 为直角,由 OA=OB,利用等边对等角得到 一对角相等,再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等, 利用等角对等边即可得证; (2)由 OC=OD+DC,DC=AC,表示出 OC,在直角三角形 OAC 中, 利用勾股定理即可求出 OD 的长. 请试做【考点考法集训】第 3 题.
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切线的性质和判定的综合性问题
与切线有关的问题经常与其他知识相结合,构建综合性试题.求 解这类问题不仅要联想到切线的性质,同时要综合运用直角三角形 的性质、相似三角形的性质、勾股定理等.
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解:(1)AC=CD,理由如下: ∵OA=OB,∴∠OAB=∠B.∵直线 AC 为圆 O 的切线, ∴∠OAC=90° .∵OB⊥OC,∴∠BOC=90° .∴∠ODB+∠B=90° . ∵∠ODB=∠CDA,∴∠CDA+∠B=90° .∴∠DAC=∠CDA, 则 AC=CD. (2)在 Rt△OAC 中,AC=CD=2,AO= 5,OC=OD+DC=OD+2, 根据勾股定理得(OD+2)2=22+( 5)2,解得 OD=1.
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直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系有:相离、相切、相交三种.如下图:
中考数学一轮复习宝典第1部分 第6章 课题21 与圆有关的位置关系
点与圆、直线与圆的位置关系
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点 C 为圆心，以 2.5cm 为半径画圆，则⊙C 与直线 AB 的位置关系是 相交 ．
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断即可．
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练习 1－1 ⊙O 的半径为 5cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA＝3cm，则
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练习 4－1 (2019 荆门)如图，△ABC 的内心为 I，连接 AI 并延长，交 △ABC 的外接圆于点 D，则线段 DI 与 DB 的关系是( A )
A．DI＝DB C．DI＜DB
B．DI＞DB D．不确定
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命题点 切线及其性质
1．(2013，T7，3分)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线
EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( C )
A．AG＝BG
B．AB∥EF
C．AD∥BC
D．∠ABC＝∠ADC
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2．(2012，T8，3分)如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，
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证明：如图，连接OC. ∵CE与⊙O相切，∴OC⊥CE.∴∠1＋∠ACE＝90°.∵OA＝OC，∴ ∠A＝∠1.∴∠ACE＋∠A＝90°.∵OD⊥AB，∴∠2＋∠A＝90°.∵∠2＝ ∠3，∴∠3＋∠A＝90°.∴∠3＝∠ACE.∴EC＝ED.
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切线的判定
线或角平分线，根据“三 已知OA＝OB，AC＝BC，证明
中考数学 第21讲 与圆有关的位置复习教案 (新版)北师大版
课题：第21讲与圆有关的位置教学目标：1．了解点与圆、直线与圆的位置关系．2．了解三角形的内心和外心,会用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆．3．了解切线的概念、切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．4．了解切线长定理并会简单运用．教学重点与难点：重点：能运用点与圆、直线与圆的位置关系及切线的性质定理解决相关问题；能判定一条直线是否为圆的切线．难点：运用圆的有关知识解决综合问题.课前准备：多媒体课件．教学过程:一、创设情境，知识梳理导语：同学们，爱因斯坦曾经说过“人的学习就像一个圆，学的东西越多，则圆的周长越长，周长越长则接触外面世界的机会就越多”．通过上一讲的复习，我们进一步了解了圆及其有关概念，知道了弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系．那么你知道下面各题又考察了圆的哪方面的知识吗？先做一做，再与同伴交流．活动内容：回答下列问题.（多媒体展示）1．圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，则此圆的半径是．2．如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是．参考答案：1．4或6；2．相切．处理方式：教师用多媒体展示初中数学知识树，并提出相关问题．学生边观看，边思考，边采用抢答的形式回答，回答时教师引导学生分析考点及相关的知识，对点与圆、直线与圆的位置关系、切线的性质定理及判定方法进行复习，完成知识建构．教师顺势导入本节课要复习的内容．引导性问题举例：（1）点与圆的位置关系有几种？如何判定点与圆的位置关系？（2）直线与圆的位置关系有几种？如何判定直线与圆的位置关系？你有几种方法？（3）什么是圆的切线？圆的切线有什么性质？如何判定直线是圆的切线？你有几种方法？（4）从圆外点可以引几条切线？它们有什么特点？多媒体展示：（1）点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点在圆内⇔d r；点在圆上⇔d r；点在圆外⇔d r.位置关系⇔数量关系.（2）直线与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么:直线l与⊙O相交⇔d r；直线l与⊙O相切⇔d r；直线l与⊙O相离⇔d r.位置关系⇔数量关系.（3）切线的性质：圆的切线于过切点的；圆的切线的判别：过半径的且于半径的直线是圆的切线.切线的判定方法：①交点个数；②圆心O到直线l的距离d与半径的大小关系；③定理：经过直径的 ,并且于这条直径的直线是圆的切线.（4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.设计意图：本环节的安排在于让学生对与圆有关的位置有个整体的认识，便于体会知识间的内在联系．让学生在做题中回顾知识点，借助图形的一步步演变，一方面不显得枯燥无味，另一方面，为下面例题中的应用打下坚实的基础．同学间交流查漏补缺，从而提高了课堂效率．二、考点剖析，应用升华知识点一：切线的性质例1 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为．处理方式：先给学生10秒钟时间理解本题的条件与要求，再分别口述解题过程，教师板书.在学生口述过程中，教师可进行有针对性的提问，让学生明确解题的关键.学生完成后教师引导学生对本题进行总结．【思路点拨】连接OD、OE，先设AD=x，再证明四边形ODCE是正方形，可得出OD=CE=OE=CD，从而得出CD=CE=4﹣x，BE=6﹣（4﹣x），可证明△AOD∽OBE，再由比例式得出AD的长即可．【简评】本题考查了切线的性质、相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题．知识点二：切线的判定例2 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．处理方式：学生先理解本题的条件与要求，再说出解题思路，教师适时引导，教师可进行有针对性的提问，让学生明确解题的关键．学生完成后教师引导学生对本题进行总结．【解析】（1）①连接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以RT△ABD是直角等腰三角形，求出AD，②连接OC，（2）由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．【参考解答过程】解：（1）①如图1，连接BD，∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，AC，②∵CD平分∠ACB，∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形，∴AD AB cm）；（2）直线PC与⊙O相切，理由：如图2，连接OC，∵OC=OA，∴∠CAO=∠OCA，∵PC=PE，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠PCB=∠ACO，∵∠ACB=90°，∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，∴OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切．图1 图2【总结】本题主要考查了切线的判定，勾股定理和圆周角，解题的关键是运圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等的角．．知识点三：切线长定理例3如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．【思路点拨】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【尝试解答】解：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°，∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO，∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切．（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，∴OC=2+3=5，OD=3，在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE=EB，∠CBE=90°，设DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，则（4+x）2=x2+（5+3）2，解得x=6，即BE=6．【简评】（1）证明直线是圆的切线常用的方法有：①切点和半径已知型，则“有半径，证垂直”；②切点已知型，则“连半径，证垂直”；③切点未知型，则“作垂直，证半径”.凡遇到圆的切线问题时，常“遇切点，连半径，得垂直”，寻找解题途径.(2)适当设出未知数，运用代数的方程思想，也是解决几何问题的一种常用方法.设计意图：围绕考点，挑选部分中考题作为典型例题，一是让学生亲身体会中考热点和命题趋势，进一步把握复习重点.二是让学生明确圆在中考中考查的方式(一般以计算或证明的形式及与圆有关的应用题、阅读理解题),只有将知识融会贯通，举一反三，才能学有所乐，学有所成．三、拓展延伸，综合应用1．如图，⊙I是△ABC的内切圆，点D，E，F为三个切点，若∠DEF=52°，则∠A的度数为．第1题第2题2．如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；（2）填空：①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP= cm时，四边形AOBD是正方形．【问题1解析】连接DI，FI，根据圆周角定理求得∠DIF，再根据四边形的内角和定理和切线的性质求得∠A的度数．【参考解答】连接DI，FI，∵∠DEF=52°，∴∠DIF=104°，∵⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点，∴∠IDA=∠IFA=90°，∴∠A=360°-90°-90°-104°=76°．故答案为76°．【问题2解析】（1）利用切线的性质可得OC⊥PC．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠ACP=30°，从而求得．（2）①要使四边形AOBD是菱形，则OA=AD=OD，所以∠AOP=60°，所以OP=2OA，DP=OD．②要使四边形AOBD是正方形，则必须∠AOP=45°，OA=PA=1，则OP=，所以DP=OP﹣1．【参考解答】解：（1）连接OA，AC，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，在RT△AOP中，∠AOP=90°﹣∠APO=90°﹣30°=60°，∴∠ACP=30°，∵∠APO=30°，∴∠ACP=∠APO，∴AC=AP，∴△ACP是等腰三角形．（21．【方法总结】本题考查了切线的性质，圆周角的性质，熟练掌握圆的切线的性质和直角三角形的边角关系是解题的关键．四、归纳升华，反思提高这节课我们一起回顾了哪些知识？现在你又有了哪些新的收获？（教师引导学生总结本节课的知识体系）设计意图：反思是重要的学习方式，能够帮助学生从整体上理顺知识间的联系，提升解决问题的策略，丰富学生的经验.六、达标检测，反馈提高1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3，0)，将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 .第1题第2题2.如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线，交BC于点E．（1）求证：EB=EC；（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．第3题第4题选做题：4．如图，在Rt△AOB中，OA=OBO的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：落实基础，结合激励性评价，检测学生本节课学习的达成度，为后续的复习提升做准备.七、布置作业，拓展提高必做题：复习丛书第131页第15题．选做题：复习丛书第132页第17题．设计意图：分层布置作业，让能力不同的每个学生都能各有所得，全面提高．。
中考数学总复习第六单元圆第21讲与圆有关的位置关系课件
2.数量关系:设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则 (1)直线与圆相离⇔d>r ; (2)直线与圆相切⇔d=r ; (3)直线与圆相交⇔d<r .
考点一
考点二
考点三
考点三圆的切线
1.切线的定义:直线和圆有且只有一 个公共点时,称直线与圆相
切,这条直线叫做圆的切线.
2.切线的性质
定理:圆的切线垂直于过切点 的半径.
1.(2014甘肃白银)已知☉O的半径是6 cm,点O到同一平面内直线l的 距离为5 cm,则直线l与☉O的位置关系是( A ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断
2.(2017甘肃兰州)如图,△ABD是☉O的内接三角形,E是弦BD的中 点,点C是☉O外一点且∠DBC=∠A,连接OE延长与圆相交于点F,与 BC相交于点C. (1)求证:BC是☉O的切线; (2)若☉O的半径为6,BC=8,求弦BD的长.
3.(2017甘肃武威)如图,AN是☉M的直径,NB∥x轴,AB交☉M于点C. (1)若点A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求点B的坐标; (2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是☉M的切线.
(1)解 ∵A的坐标为(0,6),N(0,2),∴AN=4. ∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,∴AB=2AN=8, ∴由勾股定理可知 NB=4 3,∴B(4 3,2).
第21讲 与圆有关的位置关系
考点一
考点二
考点三
考点一点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系有:点在圆内、点在圆上、点在圆外三种. 2.数量关系:设圆的半径为r,点与圆心的距离为d,则(1)点在圆内 ⇔d<r ; (2)点在圆上⇔d=r ; (3)点在圆外⇔d>r .
考点一
北师大初中数学中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)-精编
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角． 要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长；(2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n R π=． 【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ，∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB ＝AC ＝BC∵OC ＝1，由勾股定理得OA ＝2．∴CD ＝OD －OC ＝OA －OC ＝1，即CD ＝1.(2)∵OD ⊥AB ，OA ＝OB ，∴∠AOD ＝∠BOD ．∴∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝60°．∵OC ＝OA ·cos ∠AOC ＝OA ·cos60°＝12R ， ∴1122CD OD OC R R R =-=-=． 【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M 、N 、B 三点作圆，显然A 点在圆外，设MA 交圆于C ，则∠MAN ＜∠MCN ．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE＝AF，BF＝BD，CD＝CE，而AE+CE＝b，CD+BD＝a，AF+BF＝c，可求2a b c CE +-=． 连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ． 即直角三角形的内切圆半径2a b c r +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可．【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°．∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°．∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝AC ＝6．∵∠OAD ＝90°，∠D ＝30°，∴AD AO ＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=．【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ； 点P 在圆上⇔d ＝r ； 点P 在圆内⇔d ＜r ． 要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n Rπ=． 【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB＝AC＝BC∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝12 R，∴1122CD OD OC R R R =-=-=．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ， 可求2a b cCE +-=． 连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可． 【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°． ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°． ∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。
中考数学知识点总结圆的位置
中考数学知识点总结圆的位置中考数学知识点总结圆的位置中学数学中的圆是一个基础的几何图形，其位置关系也是需要掌握的数学知识点之一。
在中考中，圆的位置关系常常与其他几何图形相结合，考查学生对几何形状的理解和应用能力。
下面将对中考中关于圆的位置关系进行总结。
1. 圆的内外关系对于两个不同的圆，它们之间有三种可能的位置关系：内含、外切和相离。
（1）内含：若一个圆完全位于另一个圆内部，则称这两个圆是内含关系。
内含关系中，小圆的半径小于大圆的半径。
（2）外切：若两个圆仅有一个切点，则称这两个圆是外切关系。
外切关系中，两个圆的半径相等。
（3）相离：若两个圆没有公共点，则称这两个圆是相离关系。
相离关系中，两个圆的半径大小没有固定关系。
2. 圆与直线的位置关系圆与直线的位置关系主要有内切、外切和相割三种情况。
（1）内切：若直线仅有一个切点与圆相切，则称该直线与圆是内切关系。
内切关系中，切点在圆的外部，直线通过圆心且垂直于半径。
（2）外切：若直线仅有一个切点与圆相切，则称该直线与圆是外切关系。
外切关系中，切点在圆的外部，直线通过圆心但不垂直于半径。
（3）相割：若直线与圆相交，并且不是内切或外切关系，则称该直线与圆是相割关系。
相割关系中，直线与圆有两个交点。
3. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系主要有内切、外切和相交三种情况。
（1）内切：若两个圆仅有一个切点，则称这两个圆是内切关系。
内切关系中，切点在两个圆的外部，两个圆的半径之差等于切点到两个圆心的距离。
（2）外切：若两个圆仅有一个切点，则称这两个圆是外切关系。
外切关系中，切点在两个圆的外部，两个圆的半径之和等于切点到两个圆心的距离。
（3）相交：若两个圆有两个交点，则称这两个圆是相交关系。
相交关系中，两个圆的半径之和大于切点到两个圆心的距离，但小于两个圆的半径之和。
4. 圆心角与弦的位置关系圆心角与弦的位置关系是圆心角的一种特殊情况。
圆心角的度数与其所对应的弧度相等。
人教版九年级下期数学中考复习：和圆有关的位置关系 课件(共13张PPT)
切线判定：
例3、如图，已知直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB，那么直线AB 是⊙O的切线吗?为什么
有切点，连半径，证垂直
例4、如图，△ABC为等腰三角形， O是底边BC的中点，腰AB与O相切 于点D. 求证：AC是O的切线。
无切点，作垂直，证半径
检测：1、如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的 切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
检测题：1.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm, 则圆的半径为( )
(A)16cm或6cm (B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm
2、RtΔABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则斜边上的高等 于（ ）；若以点C为圆心作与AB相切的圆，则该圆的半径 为r＝（ ）；若以C为圆心，以5为半径作圆，则该圆与AB 的位置关系是（ ）。
中考复习 与圆有关的位置关系
复习目标
1. 回顾与圆有关的几种位置关系（点与圆， 直线与圆），巩固对几种位置关系特点的理 解，加强对各种位置关系的认识.
2. 巩固对切线的判定与性质的理解和应用， 并了解切线长定理.在解决问题的过程中体会 对比，分类思想.
知识网络
根据知识网络的提示，复习课本中 相关知识点。（课上提问）
(1)若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长； (2)若D为AP的中点，求证：直线CD 是⊙O的切线．
2、如图，BC是圆O的直径，点D是圆上一点，点A在BC 的延长线上，连接CD，BD，且 ADC DBC
（1）求证：AD是圆O的切线； （2）若A 30，AC 2，求BD的长.
检测3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC 交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的 外接圆 （1）求证：AC是⊙O的切线；
初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系
初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系圆与圆之间的位置关系是初中数学中的一个重要内容，它涉及到圆的相交关系、包含关系以及外切关系等多个方面。
通过归纳总结，我们可以更好地理解和运用这些知识点。
一、相离关系当两个圆没有任何交点时，它们被称为相离的圆。
两个相离的圆之间的最大距离等于它们的半径之和。
二、外切关系如果两个圆的半径相等，并且它们的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，我们称这两个圆为外切的圆。
三、相交关系相交是指两个圆的内部空间存在公共点。
根据两个圆的圆心之间的距离和半径的关系，相交的情况又可以分为四种。
1.相交于两点当两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，并且大于两个圆的半径之差时，两个圆相交于两个点。
2.相切于外点当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，两个圆相切于外点。
3.相切于内点当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差时，两个圆相切于内点。
4.相切于公切线当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，并且两个圆的半径不相等时，两个圆相切于一条公切线。
四、内含关系如果一个圆的内部完全位于另一个圆内部，我们称这两个圆为内含的关系。
在内含的情况下，内含圆的半径小于包含圆的半径。
五、包含关系如果一个圆的外部完全包含另一个圆，我们称这两个圆为包含的关系。
在包含的情况下，包含圆的半径大于内含圆的半径。
通过对圆与圆之间的位置关系进行归纳整理，我们可以更好地理解和应用这些知识点。
在解决相关题目时，我们可以根据题目给出的条件和要求，运用这些位置关系进行分析和推理。
同时，我们还可以通过观察图形特点和运用相关定理来判断两个圆之间的位置关系，从而解决问题。
初中数学中的圆与圆之间的位置关系是一个基础而重要的内容，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在实际生活和工程中也有着重要的作用。
通过掌握和运用这些知识，我们可以更好地理解和应用数学，为解决实际问题提供有力的支持。
与圆有关的位置关系复习课教案[5篇范例]
与圆有关的位置关系复习课教案[5篇范例]第一篇：与圆有关的位置关系复习课教案课题：与圆有关的位置关系复习课教案教学目标：1. 知识与能力：巩固点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，明确其性质和判定方法。
2. 过程与方法：培养数形结合分析问题的能力，学习归纳和类比。
3. 情感、态度和价值观：树立学数学、用数学的思想意识。
重点和难点：1.巩固相应位置关系的概念和数量关系，理解它们的对应。
2.能够明确图形中的位置和数量关系，利用数形结合的思想方法，解决实际问题。
教学过程：一、导入：1、情境导入：近期，中国航天科技有了重大突破，神八顺利升空，并且和先期升空的天宫一号成功对接，分离之后，神八按照原计划回顾地球。
欣赏以下图片，体会作为中国人的骄傲，明确我们以后的学习目标，观察圆在航天科技的广泛应用。
2、出示学习目标，限时阅读理解，明确学习的方向。
二、讲解：1、回忆、巩固以前学习的知识。
（以表格的形式展示，引导学生通过填空，结合图形，理解、记忆相关位置关系的名称，所对应的数量关系，找出一定的规律。
)2、例题解析：例题一：已知:P是非⊙O上的一点,P点到⊙O的最大距离是d,最小距离是a. 求⊙O的半径r.解析：点P可能的位置有几种？作出正确的图形，通过图形解决这个问题。
（限时4分钟，解决这个问题。
完成后，教师检查，并且展示一个同学的解题过程，指出出现的问题。
）例题二：已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A 与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。
解析：通过直径，求出半径；作出平面直角坐标系，标出圆心的正确位置，作出正确的图形，问题即可以得到正确的解决。
（限时3分钟）演示解题过程，引导同学们纠正失误。
例题三：两个圆的半径的比为2 : 3 ,内切时圆心距等于 8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值范围是多少?解析：利用方程的思想，合理设未知数，正确列出方程，先解决半径的问题。
第21课时 圆的认识与和圆有关的位置关系
第21课时 圆的认识与和圆有关的位置关系一、中考知识梳理1.与圆有关的概念正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念,•并能正确分析它们的区别与联系.2.与圆有关的角掌握圆周角和圆心角的区别与联系,将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起,一般地,若题目无直径,往往需要作出直径.3.圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的,•需注意“在同圆或等圆中”中这个关系. 4.与圆有关的位置关系了解点和圆、直径和圆、圆和圆共有几种位置关系,•并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键.5.切线长定理切线长定理是圆的对称性的体现,它为说明线段相等、角相等、弧相等、•垂直关系提供了理论依据. 中考题型例析1.判断位置关系例1（2010四川宜宾）若⊙O 的半径为4cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( )A ．点A 在圆内B ．点A 在圆上 c ．点A 在圆外 D ．不能确定例2 （2010安徽蚌埠二中）以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若32=DBAD ，且10=AB ，则CB 的长为A ．54B ．34C ． 24D ．42.垂径定理的应用例3 （2010安徽省中中考） 如图，⊙O 过点B 、C 。
圆心O 在等腰直角△ABC 的内部，∠BAC ＝900，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为………………（ ） A ）10B ）32C ）23D ）133.和角有关的计算例4 （2010 浙江台州市）如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠CDB 大小为 (▲)A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°ABOD基础达标验收卷一、选择题 1．（2010甘肃兰州） 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ． 2个D ． 1个 2．（2010甘肃兰州） 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为A ．15︒B ．28︒C ．29︒D ．34︒3．（2010安徽芜湖）如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．204．（2010江苏南通） 如图，⊙O 的直径AB =4，点C 在⊙O 上，∠ABC =30°，则AC 的长A ．1BD ．25．（2010 福建德化）如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角B A C ∠等于（ ） A ．60︒ B ．50︒ C ．40︒ D ．30︒6．（2010 福建晋江）如图， A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且A 是优弧BAC 上与点B 、点C 不同的一点，若BOC ∆是直角三角形，则BAC ∆必是( ) .A.等腰三角形 B.锐角三角形C.有一个角是︒30的三角形D.有一个角是︒45的三角形 7．（2010山东烟台）如图，△ ABC 内接于⊙O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论①AB ⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤,正确结论的个数是A 、2B 、3C 、4 D、5OCBA8．（2010湖南衡阳）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=70o ，∠c=50o ， 那么sin ∠AEB 的值为( )A. 21 B. 33 C.22 D. 239．（2010 河北）如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M10．（2010年贵州毕节）如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC.cm11．（2010湖北襄樊）已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB//CD ，AB =24cm ，CD =10cm ，则AB 、CD 之间的距离为12. （2010 四川绵阳）如图，等腰梯形ABCD 内接于半圆D ，且AB = 1，BC = 2，则OA =13．(2010江苏苏州)如图，已知A 、B两点的坐标分别为()、(0，2)，P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P 的坐标为 ．14．（2010安徽芜湖）芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计．如图1，他在边长为1的正方形ABCD 内作等边三角形BCE ，并与正方形的对角线交于F 、G 点，制成如图2的图标． 则图标中阴影部分图形AFEGD 的面积＝__________．三、解答题9题D CAO1．（2010甘肃兰州）（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A 、B 、C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． （1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）（本小题满分2分））若△ABC 中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90，试求小明家圆形花坛的面积．2．4．（2010浙江嘉兴）如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个111C B A △的顶点1A 与点P 重合，第二个222C B A △的顶点2A 是11C B 与PQ 的交点，…，最后一个n n n C B A △的顶点n B 、n C 在圆上．（1）如图1，当1=n 时，求正三角形的边长1a ； （2）如图2，当2=n 时，求正三角形的边长2a ；（3）如题图，求正三角形的边长n a （用含n 的代数式表示）．Q1（第23题 图1）Q（第23题 图2）Q n n（第23题）。