大学高等数学期末复习题1.pdf
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)趋近于A，则称A为f(x)的极限。
以下哪个选项是正确的？A. 若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处的极限存在B. 若f(x)在x=a处不连续，则f(x)在x=a处的极限不存在C. 若f(x)在x=a处的极限存在，则f(x)在x=a处连续D. 若f(x)在x=a处的极限不存在，则f(x)在x=a处不连续答案：A2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^53. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：A4. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B5. 以下哪个函数是单调递增函数？B. f(x) = x^2C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数是______。
答案：6x - 27. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是______。
答案：-cos(x) + C8. 函数f(x) = e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C9. 函数f(x) = x^3的不定积分是______。
答案：(1/4)x^4 + C10. 函数f(x) = ln(x)的不定积分是______。
答案：x*ln(x) - x + C三、计算题（每题10分，共30分）11. 求极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 + x)]。
答案：112. 求不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx。
答案：(x^3 - x^2 + x) + C13. 求定积分∫(0 to 1) (x^2 - 2x + 3)dx。
高数期末考试题大题及答案
高数期末考试题大题及答案一、极限题目1：求函数 \( f(x) = \frac{3x^2 - x}{x^2 + 2} \) 在 \( x \to \infty \) 时的极限。
解答：首先，我们可以通过分子分母同时除以 \( x^2 \) 来简化函数：\[ f(x) = \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x^2}} \]当 \( x \to \infty \) 时，\( \frac{1}{x} \) 和\( \frac{2}{x^2} \) 都趋向于 0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3 \]二、导数与微分题目2：求函数 \( g(x) = x^3 - 2x^2 + x \) 的导数。
解答：使用幂函数的导数规则，我们有：\[ g'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]三、积分题目3：计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \)。
解答：首先，我们需要找到 \( x^2 \) 的原函数，即：\[ F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]然后，我们可以计算定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]四、无穷级数题目4：判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) 的收敛性。
解答：该级数可以重写为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\right) \]这是一个交错级数，我们可以通过比较测试来判断其收敛性。
由于每一项都是正的且递减，我们可以得出结论，该级数是收敛的。
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x1 x 1
(A) 1； (B) 0；
(C) 2；
1
(D)
2
2.若 f (x) 的一个原函数为 F (x) ，则 ex f (ex )dx 为(
)
(A) F (e x ) c ；
(B) F (ex ) c ；
(C) F (ex ) c ；
(D ) F (ex ) c x
3.下列广义积分中 ( )是收敛的.
.
2
4. 设 f (x) 在 x 2 处连续，且 lim f (x) 2 ，则 f (2) _____ x2 x 2
5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力 F （牛顿）与伸长量 s 成正比，即 F ks （
k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸 6 cm 时，所作的功为 _________ 焦耳。
6．曲线
y
2
3
x2
上相应于
x
从
3
到
8
的一段弧长为
.
3
得分 评阅教师
三、设 x 0 时， e x2 (ax 2 bx c) 是比 x 2 高阶的无穷小，求常数 a, b , c 的值（6 分）
2
线
姓名
得分 评阅教师
四、 已知函数 y arcsin x ex cos(3 2x) ,求 dy .（6 分）
f (x) ce3x 1 (c 为任意常数）…………6 分
x 0, f (0) 3
f (x) 2e3x 1………..8 分
七、解：（1） (1 sin 3 )d . d (1 cos2 )d cos ……..3 分
7
cos 1 cos3 c …………………….6 分 3
（2） x arctan xdx 1 x2 arctan x 1
2022年《高等数学一》期末复习题及答案
《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1、极限2lim()xxx x 的结果是（C ）（A ）0（B ）（C ）12（D ）不存在2、方程3310xx 在区间(0,1)内（B）（A ）无实根（B ）有唯一实根（C ）有两个实根（D ）有三个实根3、)(x f 是连续函数, 则dx x f )(是)(x f 的（C）（A ）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D)全体导函数；4、由曲线)0(sin xx y和直线0y所围的面积是（C ）（A ）2/1 (B) 1(C)2 (D)5、微分方程2x y满足初始条件2|0xy 的特解是 ( D)（A ）3x（B ）331x（C ）23x （D ）2313x6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ）(A))1(ln x x (B))0(1lnxx(C) cos (0)x x(D))2(422xxx 7、极限011lim(sinsin )xx x xx的结果是（C）（A ）0（B ）1（C ）1（D ）不存在8、函数arctan xy ex 在区间1,1上（ A）（A ）单调增加（B ）单调减小（C ）无最大值（D ）无最小值9、不定积分dx xx 12= （D）(A)2arctan xC (B)2ln(1)xC (C)1arctan 2x C (D)21ln(1)2xC10、由曲线)10(xe yx 和直线0y 所围的面积是（ A）（A ）1e(B)1 (C)2 (D)e11、微分方程dy xy dx的通解为（ B ）（A ）2xy Ce（B ）212x y Ce（C ）Cxy e（D ）2xy Ce12、下列函数中哪一个是微分方程032x y 的解( D )（A ）2xy （B ）3xy（C ）23xy（D ）3xy 13、函数1cos sin xx y 是（ C ）(A) 奇函数； (B) 偶函数；(C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数.14、当0x 时，下列是无穷小量的是（ B）（A ）1x e(B))1ln(x (C) )1sin(x (D)1x15、当x时，下列函数中有极限的是（ A）（A ）211x x(B)cosx (C)1xe(D)arctan x16、方程310(0)x px p的实根个数是（B ）（A ）零个（B ）一个（C ）二个（D ）三个17、21()1dxx（ B ）（A ）211x（B ）211Cx（C ）arctan x （D ）arctan x c18、定积分()baf x dx 是（ C）（A ）一个函数族（B ）()f x 的的一个原函数（C ）一个常数（D ）一个非负常数19、函数2ln 1y x x是（ A）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数20、设函数f x 在区间0,1上连续，在开区间0,1内可导，且0fx ，则( B ) (A)00f (B)10f f (C) 10f (D)1f f 21、设曲线221xye，则下列选项成立的是（C）(A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D)仅有水平渐近线22、(cos sin )x x dx( D )（A ）sin cos x x C （B ）sin cos x x C（C ）sin cos xxC（D ）sin cos x x C23、数列})1({nnn的极限为（ A）（A ）1(B) 1(C) 0(D) 不存在24、下列命题中正确的是（B ）（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量（C ）两无穷大量的和仍为无穷大量（D ）两无穷大量的差为零25、若()()f x g x ，则下列式子一定成立的有（ C）(A)()()f x g x (B)()()df x dg x (C)(())(())df x dg x (D)()()1f xg x 26、下列曲线有斜渐近线的是( C )(A)sin y x x (B)2sin yxx(C)1sinyx x(D)21sinyxx二、填空题1、21cos lim x x x122、若2)(2xex f ，则)0('f 23、131(cos 51)x x x dx 2 4、dxe tte xC5、微分方程0y y满足初始条件|2xy 的特解为2xy e6、224lim 3x xx 07、极限42lim222xxxx 438、设sin 1,y x x 则()2f 19、11(cos 1)x x dx210、231dx x3arctan x C11、微分方程ydyxdx 的通解为22yxC12、1415x dx 213、sin2limxxx x114、设2cos y x ，则dy22sin x x dx15、设cos 3,y x x则()f -116、不定积分xxdee Cx2e 2117、微分方程2xye的通解为212xyeC22222222222111120,201122xxxxx xxdy y y e y edy e dx dx ydy e dxe C yy x yCe ye y代入上式可得到所求的特解为或者18、微分方程x yln 的通解是xyeC19、xxx3)21(lim ＝6e20、,xyx y设函数则(ln 1)xx x 21、)21(lim 222nn nnn的值是1222、3(1)(2)lim23xx x x xx1223、,xyx dy设函数则(ln 1)xx x dx24、2231lim4xx x x1425、若2()sin6xf x e，则)0('f 226、25(1sin )a ax dx2().a 为任意实数27、设ln(1)xye ，则微分dy______1xx e dx e__________.28、3222(cos )d 1xxxx2三、解答题1、（本题满分9分）求函数162yx x 的定义域。
高等数学期末试题(含答案)
高等数学试题一、单项选择题(本大题共40小题，每小题1分，共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设有集合E ={X |-1＜x ≤10}，F ={-1,0,1,10}，则E ∩F =( )A.ϕB.{-1,1,0}C.{0,1,10}D.{-1,0,1,10}2.在R 上，下列函数为有界函数的是( )A.e xB.1+sin xC.ln xD.tg x3.设f (x )=ln x ，且函数)(x ϕ的反函数1)1(2)(1-+=-x x x ϕ，则=)]([x f ϕ( ) A.22ln +-x x B.22ln-+x x C.22ln +-x x D.x x -+22ln 4.设y =f (x )在区间[0，1]上有定义，则)41()41(-++x f x f 的定义域是( ) A.[0,1] B. ]45,41[- C.]41,41[- D.]43,41[ 5.g (x )=sin x ，则=-)2sin (πg ( ) A.-1 B.1 C.-sin1 D.sin16.将函数f (x )=2-|x -2|表示为分段函数时，f (x )=( ) A.⎩⎨⎧<≥-0,0,4x x x x B.⎩⎨⎧<≥-2,2,4x x x x C.⎩⎨⎧<+≥-0,40,4x x x x D.⎩⎨⎧<+≥-2,42,4x x x x 7.=+++-∞→nn n n n n 233514lim ( ) A.54 B.0 C.-1 D.∞ 8.=+∞→xx e 11lim ( ) A.0 B.1 C.不存在，但不是∞ D.∞9.下列函数中，在x=0处不连续的是( ) A.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,||sin )(x x x x x fB.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x fC.⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,sin 0,)(x x x x e x f x D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,00,)(21x x e x f x10.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，则=')0(f ( )A.0B.-1C.1D.211.过曲线y=lnx 上点(1,0)处的法线方程是( )A.x-y-1=0B.x+y-1=0C.x-y+1=0D.x+y+1=012.设)(cos x f y =，则=dx dy（ ）A.x x f sin )(cos 'B. x x f cos )(cos 'C.x x f cos )(cos '-D. x x f sin )(cos '-13.设x x f 1sin )(=，则)1(πf '＝（ ）A.1B.-1C.π2D.-π214.设)(),(x t t f y ϕ==都可微，则dy =( )A.dt t f )('B.dx x )(ϕ'C.dt x t f )()(ϕ''D.dx t f )('15.设)()(x g x f ='，则=)(sin 2x f dx d（ ）A.2g (x )sin xB.g (x )sin 2xC.g (sin 2x )D.g (sin 2x )sin2x16.设函数)(x f y =有21)(0='x f ，则当Δx →0,f (x )在0x x =处的微分dy 是( )A.与Δx 等价的无穷小B.与Δx 同阶的无穷小，但不是等价的无穷小C.比Δx 高阶的无穷小D.比Δx 低阶的无穷小17.当|x |很小时，x e ≈( )A.1+xB.xC.1+x 21D.1-x18.在区间[-1,1]上，下列函数中不满足罗尔定理的是( )A.12-=x e yB.)1ln(2x y +=C.x y =D.211x y +=19.函数x x y 23+=在区间[0,1]上满足拉格朗日定理的条件，则定理结论中的ξ=() A.31± B.31C.31- D.320.函数x x y 33-=的单调减少的区间是( )A.(-∞，+∞)B.(-∞，-1)C.(1，+∞)D.(-1，1)21.函数3242-+=x x y 的垂直渐近线方程为( ) A.x=-3 B.x=1 C.x=-3和x=1 D.不存在 22.设)(0x f 为)(x f 在[a,b]上的最大值，则( )A.0)(0='x fB.)(0x f '不存在C.0x 为区间端点D.以上均不准确23.⎰=-)(32dx a d x x( ) A.x xa 32- B.adx x a x x ln )32(32-- C.dx a x x 32- D. C a xx +-32 24.=+⎰dx x x 2)1(( ) A.C xx ++3)1(31 B.C x x +-133 C.C xx x +-+12313 D.C x x ++22)ln 2( 25.⎰=+50)14(x dx ( ) A.C x ++49)14(1491 B.C x ++49)14(11961 C.C x ++-49)14(11961 D.C x ++-51)14(11961 26.下列广义积分收敛的是( ) A.⎰+∞edx x x ln B.⎰+∞e x x dx ln C.⎰+∞e x x dx 2)(ln D.⎰+∞e x x dx ln 27.设∑∞=1n n u收敛，则( ) A.∑∞=1n n u任意加括号后所成级数收敛B.任意加括号后所成级数发散C.必收敛D.必绝对收敛28.0lim =∞→n n u 是级数∑∞=1n n u 收敛的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件29.级数∑∞=1)(ln n n x 的收敛范围是( )A.e x <B.e x 1>C.e x e ≤≤1D.e x e<<1 30.∑∞=-1)3(n nn x 的收敛区间是( ) A.(-1，1) B.(2，4) C.)4,2[ D.[2，4]31.设n n nx a )2(1-∑∞=在2-=x 处收敛，则此幂级数在x =5处( )A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性不能确定32.在M (2，-3，1)关于XOY 平面的对称点是( )A.(-2，3，-1)B.(-2，-3，-1)C.(2，-3，-1)D.(-2，3，1)33.设f(x,y)=xy ，则f(x+y,x-y)=( )A.(x+y)2B.(x-y)2C.x 2+y 2D.x 2-y 234.设，则( ) A.B. C.- D.- 35.设均为可微函数，则( ) A. B.C.ψϕ'+v u v u y 2ln 2D.36.函数的驻点为( ) A.(1，-1) B.(-1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)37.交换积分顺序( ) A.B. C. D.38.设)0}(||,|||),{(><<=H H y H x y x D 且⎰⎰=D dxdy 1，则H =( ) A.1 B.21 C.2 D.41 39.微分方程2x y ='的通解是( )A.3x y =B.C x y +=3C.331x y = D.C x y +=331 40.微分方程)1(12x x x y y +=+'的通解是( ) A.arctg x +C B.x1(arctg x +C) C.x1arctg x +C D. arctg x +x C 二、计算题(一)(本大题共3小题，每小题4分，共12分)41.求不定积分⎰dx xx 2cos 2sin . 42.将函数xy -=31展开(x -1)的幂级数. 43.求微分方程01122=+++dxdy x y y x 的通解. 三、计算题（二）(本大题共4小题，每小题7分，共28分)44.求)ln 11(lim 1x x x x --→. 45.求函数xx x y +-=11的微分. 46.计算dx x x 221)(ln ⎰. 47.计算⎰⎰≥≤+=Dx y y x y x D dxdy y x }0,2|),{(,22. 四、应用题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)48.生产某商品x 个的边际成本为5，固定成本C 0=200(万元).得到的收益为201.010)(x x x R -=(万元).问生产多少个商品时的利润最大?最大值是多少?49.抛物线2x y = (第一象限部分)上求一点，使过该点的切线与直线8,0==x y 相交所围成的三角形的面积为最大.五、证明题(本大题共4分)50.证明：方程12=⋅x x 至少有一个小于1的正根.。
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+∞ （2010 至 2011 学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)注意事项：1、 满分 100 分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题 3 分，共 15 分）1. lim sin(x 2- 1) = ()x →1x -11 (A) 1；(B) 0；(C)2；(D)22.若 f (x ) 的一个原函数为 F (x ) ，则⎰e -xf (e -x )dx 为( )(A) F (e x ) + c ；(B) - F (e -x ) + c ；(C) F (e -x ) + c ；(D ) 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. F (e -x )+ cx(A) +∞ sin xdx ； (B)⎰1 1dx ； (C)x ⎰dx ； (D)0 e x dx 。
⎰-∞-1x-∞1 + x 2⎰-∞4. f (x ) 为定义在[a , b ]上的函数，则下列结论错误的是()(A) f (x ) 可导，则 f (x ) 一定连续；(B) f (x ) 可微，则 f (x ) 不一定可系专业级班学号姓名密封不 线密封线内要答题⎰⎩导；(C) f (x ) 可积（常义），则 f (x ) 一定有界；(D) 函数 f (x ) 连续，则 xf (t )dt 在[a ,ab ]上一定可导。
5. 设函数 f (x ) = lim 1 + x ，则下列结论正确的为()n →∞1 + x 2n(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点 x = 1；(C) 存在间断点 x = 0 ；(D) 存在间断点 x = -1得分评阅教师二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题 3 分，共 18 分）1. 极限limx →0x⎧x = 1 + t 2=.2. 曲线⎨ y = t 3 在t = 2 处的切线方程为 .3. 已知方程 y - 5 y ' + 6 y = xe 2x 的一个特解为- 1(x 2 + 2x )e 2x ，则该方程的通解为.f (x ) 24. 设 f (x ) 在 x = 2 处连续，且lim = 2 ，则 f '(2) =x →2 x - 25. 由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力 F （牛顿）与伸长量 s 成正比，即 F = ks （k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸 6 cm 时，所作的功为焦耳。
大一下学期高等数学期末考试试题及答案
高等数学A (下册)期末考试试题【A 卷】院（系）别 班级学号 姓名成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ⋅=．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程．2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnnn n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．5、计算曲面积分,dSz ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 （本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)Ix dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =30()lim t F t t+→． -------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
高等数学下册期末复习试题及答案
高等数学下册期末复习试题及答案Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】一、填空题（共21分 每小题3分）1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．二、解答题（共18分 每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=k j i n (4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分)2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=D y x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r e I r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分）1．设vue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ∂∂∂∂,． 解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xye yz F F x z z z x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂． (7分) 3．计算曲线积分⎰+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-⋅=022 (7分)4．设曲线积分⎰++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，求)(x f ．解： 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x '=+， 即x e x f x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x +⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x． (7分) 5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解： 因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim 221n n n n u u n n n n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim 2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛． (7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球 面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=． (7分) 五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=， 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z y x (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)六、（8分）求级数∑∞=1n n n x 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim 1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛；当1=x 时， 级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ，即∑∞==1)(n nn x x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分) 再积分得 ⎰'=x x x S x S 0d )()(x x x d 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=y x x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )( 对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ．解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分) 上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分) 由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x x x f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ．因此所求的函数为 )1(ln 3)(+=x x f ． (5分)八． （5分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知x e2与x e -是对应齐次方程的两个线性无 关的解，x xe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为)(2x f y y y =-'-'' 将x xe y =代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知x e2与x e -是对应齐次方程的两个线性无 关的解，x xe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y-++=221是所 求微分方程的通解，从而有x x x x e C e C xe e y --++='2212， x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B 一、填空题（共30分 每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分，则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ ． 5. 设L 是圆周22x x y -=，取正向，则曲线积分=+-⎰L y x x y d d π2． 6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R ． 7．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 8．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅 里叶级数在π=x 处收敛于2π．9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为C xy =． 10．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．二、解答题（共42分 每小题６分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=k j i n (4分)所求平面方程为 032=++z y x (2分)2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求xz ∂∂． 解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分))32cos(33)32cos(1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ ． (2分) 3．计算⎰⎰Dxy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解法一： 原式⎰⎰=211d ]d [x x y xy (2分) x y x x d ]2[2112⎰⋅=x x x d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分) 解法二： 原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分) 4．计算⎰⎰--D y x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解： 选极坐标系 原式⎰⎰-=20102d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分) 5．计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．解：原式⎰⋅-⋅+-=1022564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=1046d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分) 6．判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性．解： 因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim 11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=， (2分) 故该级数收敛． (1分)7．求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解．解：特征方程 0432=--r r ，特征根 1,421-==r r 通解为 x x e C eC y -+=241， (3分) x x e C e C y --='2414，代入初始条件得 1,121=-=C C ，所以特解 x x e e y -+-=4． (3分)三、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=． (2分)四、（8分）设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内 与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ．解：由xQ y P ∂∂=∂∂， 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=， 即1)(21)(=+'x f xx f ， (3分) 所以 )d ()(d 21d 21C x e e x f x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x +=⎰-)32(2321C x x +=-， (3分) 代入初始条件，解得31=C ，所以xx x f 3132)(+=． (2分) 五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值．解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处，,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值；在点)1,1(处，,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值． (3分)六、（6分）试证：曲面)(x y xf z =上任一点处的切平面都过原点．证：因 ),()(xy f x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(0000x y f x z =，得切平面方程为 ))(())](()([)(00000000000000y y x y f x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=-即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分)07A一、 填空题（每小题3分，共21分）1．设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ，已知a 与b垂直，则=λ1-2．设3),(,2,3π===b a b a ，则=-b a 6-3．yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4．过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5．二元函数)ln(y x x z +=6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7．设xy e z=，则=dz )(xdy ydx e xy +8．设),(x y x xf u =，f 具有连续偏导数，则=∂∂xu21f xyxf f -+ 9．曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{10．交换积分顺序：⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(xdyy x f dx11．闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成，将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d12．设L 为下半圆周21x y--=，则=+⎰ds y xL )(22π13．设L 为取正向圆周922=+y x，则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15．若0lim ≠∞→nn u ，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散16．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是 收敛17．设一般项级数∑∞=1n n u ，已知∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 的敛散性是 绝对收敛18．微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20．微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、（共5分）设xy v y x u v u z ===,,ln 2，求yzx z ∂∂∂∂,解：]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分）设022=-++xyz z y x ，求xz ∂∂解：令xyz z y x z y x F 22),,(-++=xyzyzxyz F x-=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、（共5分）计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx x dy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x五、（共6分） 计算⎰-+-L x xdy y e dx y y e)1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林 公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、（共6分）求幂级数∑∞=-13)3(n nnn x 的收敛域 解：对绝对值级数，用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时，即60<<x ，原级数绝对收敛 当1331>-x 时，即60><x x 或，原级数发散 当0=x 时，根据莱布尼兹判别法，级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x 时，级数∑∞=11n n发散，故收敛域为)6,0[ 七、（共5分） 计算dxdy z⎰⎰∑2，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2 dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(20102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、（共7分） 设0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f xx )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u解：由x Q y P ∂∂=∂∂，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件，解得0=C ,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、（共60分 每题31. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ，}2 ,1 ,{-=λb ，已知a 与b平行,则=λ3-．2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x ． 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3．4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直，则此平面方程为032=-+z y x ．5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x ．6. 设xye z =，则=z d )d d (y x x y e xy +．7.函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(．8. 设(,)y u xf x x =，f 具有连续导数，则u x ∂=∂12yf xf f x''+-． 9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-． 10.交换积分顺序：⎰⎰=1d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d yx y x f y ．11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ．12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3．13. 设L 为上半圆周21x y -=，则=+⎰Ls y x d )(22π．14.设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．15. 若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n nu的敛散性是 发散 ．16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是 收敛 ．17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是 收敛 ． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程．19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +．20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=．三、（共5函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，求xz ∂∂． 解：令=),,(z y x F z z y x 4222-++， (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、（共6分）计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+．解：添加有向辅助线段，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、（共6设0)1(=f ，确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分．解： 由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-， 即 xxx f x x f sin )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=． (1分) 八、(共6分)计算⎰⎰∑y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分． 解：⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题（共24分 每小题3分）1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是 （A ）（A ）0212121=++p p n n m m （B ）212121p p n n m m ==（C ）1212121=++p p n n m m （D ）1212121=++p p n n m m 2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )（A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=23．二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为 （B ）（A ）{}02|),(2>-x y y x （B ）{}012|),(2>+-x y y x （C ）{}012|),(2≤+-x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x4．交换积分顺序：1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ （ A ）（A ）dy y x f dx x ⎰⎰110),(（B ）dx y x f dy y ⎰⎰110),(（C ）dx y x f dy y⎰⎰110),(（D ）dy y x f dx x⎰⎰110),(5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= （ C ） （A ）2 （B ）2π （C ）38π （D ）34π 6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则xz∂∂= （ D ） （A ）zy -2 （B ）y x-2 （C ）zz-2 （D ）zx-2 7．幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是 （ C ）（A ）][3,3- （B ）](3,0（C ） [)3,3- （D ）()3,3-8．已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ）（A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++-221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++-21二、填空题（共15分 每小题3分）1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x ． 2．若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n nu的敛散性是 发散 ．3．级数∑∞=12cos n n n的敛散性是 绝对收敛 ． 4．二元函数2221sin)(),(xy x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。
高等数学1期末试卷(5套)
试卷（一）一、1、下列等式中成立的是（ B ）.(A) e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→21lim (B) e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→211lim (C) e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim (D) e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→211lim2、函数()x f 在点0x 处连续是在该点处可导的（ ）.(A) 必要但不充分条件 (B) 充分但不必要条件 (C)充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 3、设函数()x f 可导，并且下列极限均存在，则下列等式不成立的是（ ）.(A) ()()()00limf x f x f x '=-→ (B) ()()()0000lim x f x x x f x f x '=∆∆--→∆(C) ()()()a f h a f h a f h '=-+→2lim(D) ()()()00002lim x f xx x f x x f x '=∆∆--∆+→∆ 4、若(),00='x f 则点0x x =是函数()x f 的（ ）.(A) 极大值点 (B) .最大值点 (C) 极小值点 (D) 驻点5、曲线12+=x x y 的铅直渐近线是（ ）.（A ）y =1 （B ）y =0 （C ）1-=x （D ）x =0 6、设xe-是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )(（ ）.（A ）c x e x+--)1( （B ）c x e x++-)1( （C ）c x e x+--)1( （D ） c x e x++--)1( 二、1、当0x →时，(1cos )x -与2sin2xa 是等价无穷小，则常数a 应等于______ _. 2、若82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx b x b x ，则=b .3、函数123++=x x y 的拐点是 .4、函数()x y y =是由方程y x y +=tan 给出，则='y ______________________.5、双曲线1xy =在点()1,1处的曲率为 .6、已知)(x f 在),(∞+-∞上连续，且2)0(=f ，且设2sin ()()x xF x f t dt =⎰，则(0)F '= .三、 1、求极限()xx x x x sin tan cos 1lim20-→ .2、设曲线的方程为33190x y (x )cos(y ),π++++=求此曲线在1x =-处的切线方程.3、求不定积分⎰++322x x xdx.4、求不定积分dx x x ⎰+31. 5、求定积分dx x x ⎰22cos π.6、求定积分⎰--+11242dx xx .四、1、求抛物线12+=x y 与直线1-=x y 所围成的图形. 2、设()f x ''连续，()1f π=，()()0sin 3f x f x xdx π''+=⎡⎤⎣⎦⎰，求()0f .试卷（二）一、1、=+→xx x 2)31(lim ．2、当=k 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=00e)(2x kx x x f x 在0=x 处连续．3、设x x y ln +=,则=dydx． 4、曲线x e y x -=在点)1,0(处的切线方程是 ．5、设两辆汽车从静止开始沿直线路径前进，下图中给出的两条曲线)(1t a a =和)(2t a a =分别是两车的速度曲线．那么位于这两条曲线和直线T t = )0(>T 之间的图形的面积A 所表示的物理意义是 ．二、1、若函数xx x f =)(，则=→)(lim 0x f x （ ）．A 、0B 、1-C 、1D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）.A 、 x 1ln（当+→0x ） B 、x ln （当1→x ） C 、x cos （当0→x ） D 、 422--x x （当2→x ） 3、满足关系式0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）.A 、极大值点B 、极小值点C 、驻点D 、间断点 4、下列函数)(x f 在]1,1[-上适合罗尔中值定理条件的是（ ）.A 、32)(x x f =B 、x x x f 2)(=C 、32)(+=x x fD 、x x f sin )(= 5、下列无穷积分收敛的是（ ）.A 、⎰∞+ 0sin xdx B 、dx x ⎰∞+ 01C 、dx e x ⎰∞+- 0 2D 、dx x⎰∞+ 0 1三、1、求极限 xx x 2sin 24lim-+→ . 2、求极限 2cos 2cos 0lim x dte xx t x ⎰-→.3、设)1ln(25x x e y +++=，求y '.4、设)(x y f =由已知⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2，求22dx y d . 5、求不定积分dx xx x ⎰+)sin (ln 2.6、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0011)(2x xe x x x f x ， 求⎰-20d )1(x x f .四、1、设函数21)(xxx f +=，分别求其单调区间、极值、凹凸性与拐点. 2、设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导)0(>a .试证在),(b a 内至少存在一点ξ满足：)(][)]()([2012201220122011ξξf a b a f b f '-=-.试卷（三）一、1．设)sin (cos )(x x x x f +=，则在0=x 处有（ ）.(A)2)0(='f (B) 1)0(='f (C) 0)0(='f (D) )(x f 不可导 2．设333)(,11)(x x xxx ⋅-=+-=βα，则当1→x 时（ ）. (A) )(x α与)(x β是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (B) )(x α与)(x β是等价无穷小； (C) )(x α是比)(x β高阶的无穷小； (D) )(x β是比)(x α高阶的无穷小.3．函数2)4(121++=x xy 的图形（ ）. (A) 只有水平渐近线； (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线； (C) 只有铅直渐近线； (D) 无渐近线.4．设函数nn x xx f 211lim)(++=∞→，则下列结论正确的为（ ）.(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x .5．设函数)(x f 是连续函数，且⎰+=1)(2)(dt t f x x f ，则)(x f = ( ).(A) 22x (B)222+x (C) 1-x (D) 2+x 6.广义积分)0( >⎰∞+a xdxap 当（ ）时收敛. (A) 1>p (B) 1<p (C) 1≥p (D) 1≤p二、1．=+→xx x sin 20)31(lim .2．曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在t=2处的切线方程为 . 3．方程0162=-++x xy e y 确定隐函数)(x y y =，则)0(y '= .4．⎰--+2121 2211arcsin dx xx x = .5．已知x x cos 是)(x f 的一个原函数，则dx xxx f ⎰cos )(= . 6.=⎰→22 0sin lim2xtdt e xt x .三、1．（6分）已知tt t x x f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→2sin 1lim )(，求)(x f '. 2．（6分）求不定积分dx xx⎰++cos 1sin 1. 3．（8分）设函数⎩⎨⎧≤<-≤=-1010)(2x x x xe x f x ，，，求dx x f ⎰-1 3 )(. 4．（8分）已知2)3(lim 2=++-∞→c bx ax x x ，求常数b a ,.5.（8分）求由曲线)1(2,4,22≥===x x y x y xy 所围图形的面积.6.（8分）由方程)ln(arctan22y x x y +=确定隐函数)(x f y =，求0=y dx dy . 7.（8分）设函数)(x f 在[0,1]上连续且单调递减，证明：对任意的],1,0[∈q ⎰⎰≥qdx x f q dx x f 01)()(.试卷（四）一、1.方程23cos2x y y y e x '''--=的特解形式为（ ）（A ）cos 2xaxe x ； （B ）cos 2sin 2xxaxe x bxe x +； （C ）cos 2sin 2xxae x be x +； （D ）22cos 2sin 2xxax e x bx e x +.2. 设a 不是π的整数倍，极限ax a x a x -→⎪⎭⎫⎝⎛1sin sin lim 的值是（ ）.（A ） 1 （B ）e （C ）a e cot （D ）ae tan3. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0 ,0 ,1sin )(2x a x xe x xf ax 在0=x 处连续，则=a （ ）. （A ）1 （B ） 0 （C ）e （D ）1-4. 设2()()lim1()x af x f a x a →-=--，则在x a =处有（ ） （A ）()f x 的导数存在，且()0f a '≠； （B ）()f x 取得极大值； （C ）()f x 取得极小值； （D ）()f x 取得最大值.5. 设函数)(x f 在点0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim0=-→xx f x ，则点0=x （ ）.（A ）是)(x f 的极大值点（B ）是)(x f 的极小值点(C)不是)(x f 的驻点（D ）是)(x f 的驻点但不是极值点二、1. 设tan 21, 0sin 2(), 0xx e x x f x ae x ⎧->⎪⎪=⎨⎪⎪≤⎩在0x =连续，则a =____________.2. 极限xaa x x ln )ln(lim0-+→（0>a ）的值是 .3. 设()(1)(2)(99)f x x x x x =---L ，则(0)f '=____________.4. 曲线21x xe y =的铅直渐近线是 . 5. 函数)4ln(x x y -=的单调递增区间为 .三、1. 计算极限412921612lim 2332-+-+-→x x x x x x . 2. 求不定积分10arctan d x x x ⎰. 3. 求定积分⎰+41)1(x x dx . 4. 求函数122+=x xy 的极值与拐点.5. 求微分方程52d 2(1)d 1y y x x x -=++的通解. 6. 设1>a ，函数a a x x a x a x y +++=，求dxdy . 四、证明题（本题8分）证明：当02x <<时，有24ln 240x x x x --+>.试卷（五）一、 1. 下列各式正确的是（ ）.(A)1)11(lim 0=++→x x x (B) e x x x =++→)11(lim 0(C) e x x x -=-∞→)11(lim (D)e xxx =+-∞→)11(lim 2. 设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，若欲使()0F x x =在可导，则必有 （ ）.（A ）(0)0f '=（B ）(0)0f = （C ）(0)(0)0f f '+=（D ）(0)(0)0f f '-=3.为，则 又设已知 )()20( d )()(21 110 )(12x F x t t f x F x x x x f x ⎰≤≤=⎩⎨⎧≤≤<≤=（ ）.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤21 10 31)(3x x x x A ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-21 10 3131)(3x x x x B ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤21 110 31)(3x x x x C ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-21 1103131)(3x x x x D 4.当0→x 时，与x ex cos 22-等价的无穷小是（ ）.（A ）2x . （B ）223x . （C ）22x . （D ）225x . 5.x e y y y x2cos 52=+'-''的一个特解应具有形式（ ）.（A ）x Ae x2cos （B ）)2sin 2cos (x B x A e x+（C ）)2sin 2cos (x B x A xe x+ （D ）)2sin 2cos (2x B x A e x x+ 二、1. 已知2sin ()d x f x x e C =+⎰,则()f x =____________.2.设函数22, 1()ln(1), 1a x x f x x x x ⎧+>-=⎨++≤-⎩在1x =-处连续，则a = . 3. 设),tan ln(sec x x y +=则='y .4. 设()f x 是连续函数，则dt t f a x x xaa x ⎰-→ )(lim= .5. 已知⎰+=C x dx x f arcsin )(，则=-⎰dx x f x )(12. 6. 由0 , 0)( , , =≥===y x f y b x a x 所围曲边梯形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积公式为：V = . 则（应用你给的公式计算）由],[,)(22R R x x R x f y -∈-==与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转而成的立体的体积=V . 三、1. (6分) 1.求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值.2. (6分)设arctany x= 求dx dy .3.（6分）求微分方程满足初始条件的特解1,sin ==+=πx y xx x y dx dy . 4. (6分) 设由方程2cos()1x y e xy e +-=-确定y 是x 的函数，求d .0d yx x =5. (7分) 求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值. 6 若函数)(x f 在]1,0[上连续，证明：=⎰π)(sin dx x xf ⎰)(sin 2ππdx x f ，并计算dx xxx ⎰+π2cos 1sin . 8. 过原点(0,0)O 作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成一平面图形，求此平面图形的面积.《高等数学》试卷6（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3. 设有直线1158:121x y z L --+==-和26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为（ ） （A ）6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π. 4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1-6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22 B.22- C.2 D.2- 7. 级数1(1)(1cos ) (0)nn n αα∞=-->∑是（ ）（A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关.8.幂级数∑∞=1n n n x 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________.4. 设L 为取正向的圆周：221x y +=，则曲线积分2(22)d (4)d Lxy y x xx y -+-=⎰Ñ____________.5. .级数1(2)nn x n ∞=-∑的收敛区间为____________.三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.．计算1d d yxy x x⎰.试卷6参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121. 5.()x e x C Cy 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e x z xy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z y y z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-. 4.3316R . 5.x x e e y 23-=. 四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷7（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 4.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定10. ．考虑二元函数(,)f x y 的下列四条性质：（1）(,)f x y 在点00(,)x y 连续； （2）(,),(,)x y f x y f x y 在点00(,)x y 连续 （3）(,)f x y 在点00(,)x y 可微分； （4）0000(,),(,)x y f x y f x y 存在. 若用“P Q ⇒”表示有性质P 推出性质Q ，则有（ ）（A ）(2)(3)(1)⇒⇒； （B ）(3)(2)(1)⇒⇒ （C ）(3)(4)(1)⇒⇒； （D ）(3)(1)(4)⇒⇒ 二.填空题（4分⨯5）1. 级数1(3)nn x n ∞=-∑的收敛区间为____________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x +的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4. 设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，计算y z 2d d 3(1)d d xd d y z x z x y ∑++-⎰⎰四.应用题（10分⨯2） 试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷7参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题1.211212+=-=-z y x .2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ .3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.xx e C e C y --+=221. 四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π） A 、R 2A B 、2R 2A C 、3R 2A D 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ）A 、一阶B 、二阶C 、三阶D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
(完整word版)大学高等数学高数期末考试复习试卷及题库解析 (1)
(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性不能确定.
12.级数 的敛散性为( )
(A)当 时，绝对收敛；（B）当 时，条件收敛；
(C)当 时，绝对收敛；（D）当 时，发散.
三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
6.将函数 展开成余弦级数为__________________________________
.
二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.
7.若 有连续的二阶偏导数，且 (常数)，则 （）
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) ..
9.已知空间三角形三顶点 ，则 的面积为（A）
(A) ；(B) ；(C) ；(D)
5.设 为从点 沿曲线 到点 一段曲线，计算 .
解题过程是：
6.设 是上半球面 的下侧，计算曲面积分 .
7.将函数 展开成关于 的幂级数.
解题过程是：
四、证明题（7分）.
证明不等式: ，其中 是正方形区域： .
2007—2008学年第二学期
《本科高等数学(下)》试卷
（理工类）
专业班级
姓名
学号
开课系室基础数学系
13.（本题满分6分）设 确定 ，求全微分 .
题满分8分）求曲线 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.
15.（本题满分8分）求幂级数 的和函数.
（本题满分6分）计算 ，其中 为曲面 被柱面 所截下的有限部分.
17.（本题满分8分）计算积分 ，其中 为曲线 上从点 到 沿逆时针方向的一段有向弧.