圆04中考数学压轴题

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2022-2023学年人教版中考数学复习圆综合压轴题专题提升训练

2022-2023学年人教版中考数学复习《圆综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F．（1）求的值；（2）求证：．2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CP是⊙O的切线．点P在AB的延长线上．（1）求证：∠COB＝2∠PCB；（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6．求MC•MN的值．3．如图，AC为⊙O的直径，CF切⊙O于点C，AF交⊙O于点D，点B在DF上，BC交⊙O于点E，且∠CAF＝2∠BCF，BG⊥CF于点G，连接AE．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：△CBG∽△ABE；（3）若∠F＝60°，GF＝2，求⊙O的半径长．4．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．（1）求证：∠CAG＝∠ABE；（2）求证：CG＝CD；（3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长．5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE．（1）求证：∠AEB＝∠AFD；（2）若AB＝10，BF＝5，求DF的长；（3）若点G为AB的中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．6．如图，△ABC为⊙O的内接等腰三角形，AB＝AC，CD为⊙O的直径，DF∥AC交AB、BC于点E、F．（1）求证：DE＝EF；（2）若sin∠B＝，⊙O的半径为5，求CF的长．7．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不包括端点B，C），过A，C，D三点的⊙O交AB于另一点E，连接AD，DE，CE，且CE⊥AD于点G，过点C作CF∥DE交AD于点F，连接EF．（1）求证：四边形DCFE是菱形；（2）当tan∠AEF＝，AC＝4时，求⊙O的直径长．9．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F，连接BE．（1）求证：DC＝DE；（2）若AE＝4，．求：①BE的长；②cos∠BDF的值．10．如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC＝AB、在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB 于点F，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F．（1）设是x°的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是；（2）不论D点取在半圆什么位置，图中除AB＝AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．11．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接P A，PB，AB，已知∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．12．如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若ED＝3，cos F＝，求⊙O的半径．13．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）连接AE并延长与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若AB＝，CD＝9，求线段BC和EG 的长．14．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，且交⊙O于E，C是的中点．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AC＝8，请直接写出CD的长．（3）若DC+DE＝6，求AE的长．15．如图，AB为⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PD与⊙O相切于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO，交PO的延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PB＝3，DB＝4，求⊙O的半径．16．如图，点P是⊙O外一点，P A切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O 于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD＝cm，AC＝8cm，点E是的中点，连接CE，求CE的长．17．如图，点O是等腰△ABC的外心，AD是圆O的切线，切点为A，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，连接AD，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝12，BC＝8．求PC的长．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．（1）求证：ED为⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为，ED＝2，延长EO交⊙O于F，连接DF、AF，求△ADF的面积．19．如图1，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）如图2，如果∠BED＝60°，PD＝，求P A的长．20．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．21．如图，AB是⊙O的直径，延长BA至点P，过点P作⊙O的切线PC，切点为C，过点B向PC的延长线作垂线BE交该延长线于点E，BE交⊙O于点D，已知P A＝1，PC＝OC，（1）求BE的长；（2）连接DO，延长DO交⊙O于F，连接PF，①求DE的长；②求证：PF是⊙O的切线．参考答案1．（1）解：由于AD，BE，CF交于点O，∴＝，＝，＝，∴++＝1；（2）证明：如图，延长AD交⊙O于M，设R为△ABC的外接圆半径，AD，BE，CF交于点O．∵＝＝1﹣＝1﹣，同理有：＝1﹣，＝1﹣，代入++＝1，得（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）＝1，∴++＝2，∴++＝＝．2．（1）证明：∵CP是⊙O的切线，∴OC⊥CP，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠PCB＝∠A，∴∠COB＝2∠A＝2∠PCB；（2）解：如图2中，连接MA．∵点M是弧AB的中点，∴＝，∴∠ACM＝∠BAM，∵∠AMC＝∠AMN，∴△AMC∽△NMA，∴＝，∴AM2＝MC•MN，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵AM＝BM，AB＝6．∴2AM2＝62，∴AM2＝18，∴MC•MN＝18．3．解：（1）如图，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠AEB＝90°．（2）如图∵CF与⊙O相切，∴∠ACF＝90°．∴∠BCF＝90°﹣∠ACE＝∠CAE．∵∠CAF＝2∠BCF．∴∠CAF＝2∠CAE．∴∠CAE＝∠BAE．∴∠BCF＝∠BAE．∵BG⊥BF，AE⊥BC，∴∠CGB＝∠AEB＝90°．∵∠BCF＝∠BAE，∠CGB＝∠AEB，∴△CBG∽△ABE．（3）连接BD，如图2所示．∵∠DAE＝∠DCE，∠DAE＝∠BCF，∴∠DCE＝∠BCF．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°．∴CD⊥AF．∵∠DCB＝∠BCF，CD⊥AF，BGCBF，∴BD＝BG．∵∠F＝60°，GF＝2，∠BGF＝90°，∴tan∠F＝＝BG＝tan60°＝，∵BG＝2，∴BD＝BG＝2．∵∠AFC＝60°，∠ACF＝90°，∴∠CAF＝30°．∵∠ADC＝90°，∠CAF＝30°，∴AC＝2CD．∵∠CAE＝∠BAE，∠AEC＝∠AEB，∴∠ACE＝∠ABE．∴AB＝AC．设⊙O的半径为r，则AC＝AB＝2r，CD＝r．∵∠ADC＝90°，∴AD＝r．∴DB＝AB﹣AD＝2r﹣r＝（2﹣）r＝2．∴r＝4+6．∴⊙O的半径长为4+6．4．（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴∠CAG+∠BAG＝90°，∵AD⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴∠BAG+∠ABE＝90°，∴∠CAG＝∠ABE；（2）证明：∵∠CGD＝∠CAG+∠ACG，∠ABC＝∠ABE+∠CBE，由（1）知，∠CAG＝∠ABE，∵∠CBE＝∠ACG，∴∠CGD＝∠ABC，∵∠ABC＝∠D，∴∠DGC＝∠D，∴CG＝CD；（3）解：连接AE、CE，∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AGE＝∠BEC，∴AD∥CE，∵∠CAE＝∠EBC，∠ACG＝∠EBC，∴∠CAE＝∠ACG，∴AE∥CG，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AF＝AC，∵AC2＝BC2﹣AB2，∴AC2＝﹣42，∴AC＝6，∴AF＝×6＝3，∵BF2＝AF2+AB2，∴BF2＝32+42，∴BF＝5，∵∠ABG＝∠ABF，∠AGB＝∠BAF，∴△BAG∽△BF A，∴BA：BF＝BG：BA，∴4：5＝BG：4，∴BG＝，∵FG＝BF﹣BG，∴FG＝5﹣＝．5．（1）证明：∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD+∠F AD＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠F AD，∴∠AEB＝∠AFD；（2）解：如图1，过点F作BM⊥AB于点M．则∠AMF＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，∴∠BFE＝∠AEB，∴BF＝BE＝5，∵∠ABE＝∠AMF＝90°，∠BAE＝∠MAF，∴△AMF∽△ABE，∴，即，设MF＝x，则AM＝2x，∴BM＝10﹣2x，∵BM2+MF2＝BF2，∴（10﹣2x）2+x2＝52，解得x＝3，即MF＝3，∵AE平分∠ABD，AD⊥BC，∴DF＝MF＝3；（3）解：∵∠ADB＝90°，G为AB的中点，∴AG＝DG＝BG，OG⊥AB，∴∠BGD＝∠AGD＝90°，∴△ADG为等腰直角三角形，∴∠GAD＝45°，∴∠ABD＝45°，过点F作FH⊥AB于点H，如图2，∵AF平分∠BAD，∴FD＝FH，∵∠ABD＝45°，∴BF＝FH＝FD，∵∠AFD＝∠AEB，∠AEB＝∠C，∴∠AFD＝∠C，∴AF＝AC，又∵AD⊥BC，∴FD＝DC，设FD＝DC＝x，则BF＝x，∴．6．（1）证明：如图，连接DB，∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∵DF∥AC，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DFB，∴EB＝EF，∵∠DBF＝90°，∴∠DBE+∠EBF＝∠EDB+∠EFB，∴∠DBE＝∠EDB，∴DE＝EB，∴DE＝EF；（2）解：如图，连接AO，EO，延长AO交BC于点G，∵AB＝AC，∴AG⊥BC，∵OC＝OD，DE＝EF，∴OE∥FC，FC＝2OE，∴∠AEO＝∠B，∵OE⊥OA，在Rt△AEO中，sin∠AEO＝，∵sin∠B＝，⊙O的半径为5，∴＝，∴AE＝，∴OE＝＝＝．∴CF＝2OE＝．7．解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（ASA）；（2）∵△ACE≌△BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝3,∴DE＝2，AE＝3，∴AD＝5，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半径为．8．解：（1）证明：∵CE⊥AD，∴EG＝CG，∵CF∥DE，∴∠DEG＝∠FCG，∵∠FGC＝∠DGE，∴△DEG≌△FCG（ASA），∴ED＝FC，∴四边形DCFE为平行四边形，又∵CE⊥DF，∴四边形DCFE是菱形；（2）∵AG⊥EC，EG＝CG，∴AE＝AC＝4，∵四边形AEDC内接于⊙O，∴∠BED＝∠BCA＝90°，∵四边形DCFE是菱形，∴EF∥DC，DE＝DC，∴∠AEF＝∠ABC，∴tan∠ABC＝tan∠AEF＝，在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，∴DC＝3a，BD＝＝5a，∵BC2+AC2＝AB2，∴（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，解得a＝或a＝0（舍去），∴DE＝DC＝2，∴AD＝＝＝2．即⊙O的直径长为2．9．解：（1）证明：连接OD，BE，∵OD⊥AC，且DH是⊙O的切线，∴∠ODH＝∠DHA＝90°，∴OD∥CA，∴∠C＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠C，∵∠OBD＝∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DC＝DE；（2）①由（1）可知：OD∥AC，∴∠AEF＝∠ODF，∴∠AFE＝∠OFD，∴△AFE∽△OFD，∴，∵AE＝4，∴OD＝6，∵AB为⊙O的直径，∴；∴BE的长为8；②在Rt△AEB中，，∵∠BDF＝∠BAE，∴．10．解：（1）0＜x＜90，（2）连接BD，可证△BDF∽△ADB，得＝，∵∠DBE＝∠DAC，∴∠BDE＝∠ADC＝90°﹣∠ADE，∴△BDE∽△ADC，∴＝，∴＝，∴BE＝BF．11．（1）证明：连接OB，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA+∠OBA＝90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AC＝4，∵OP∥BC，∴∠C＝∠BOP，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴＝，即＝，∴BC＝2．12．（1）证明：连CB、OC，如图，∵BD为⊙O的切线，∴DB⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，∵E为BD的中点，∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠CBE，而∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线；（2）解：CE＝BE＝DE＝3，在Rt△BFE中，cos F＝，tan F＝＝，∴BF＝4，∴EF＝＝5，∴CF＝CE+EF＝8，在Rt△OCF中，tan F＝＝，∴OC＝6，即⊙O的半径为6．13．（1）证明：如图1，连接OE，OC；∵CB＝CE，OB＝OE，OC＝OC∴△OEC≌△OBC（SSS）∴∠OBC＝∠OEC又∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC＝90°∴∠OBC＝90°∴BC为⊙O的切线．（2）解：如图2，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B∴DA＝DE，CE＝CB，在Rt△DFC中，CF＝＝1，设AD＝DE＝BF＝x，则x+x+1＝9，x＝4，∵AD∥BG，∴∠DAE＝∠EGC，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠AED；∵AD∥BG，∵∠AED＝∠CEG，∴∠EGC＝∠CEG，∴CG＝CE＝CB＝5，∴BG＝10，在Rt△ABG中，AG＝＝6，∵AD∥CG，∴＝＝，∴EG＝×6＝．14．（1）证明：连接OC．∵C是的中点，∴AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴DA∥OC，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥DC，∵OC为半径，∴DC为⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴AB＝10，∠ACB＝90°＝∠ADC，∴BC＝＝6，又∵∠DAC＝∠OAC，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，解得：CD＝4.8．（3）如图，连接EC，作CF⊥AB于F．∵CA平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，∴CD＝CF，∵＝，∴CE＝BC，∴Rt△CDE≌Rt△CFB，∴DE＝BF，∴CF+BF＝CD+DE＝6，设BF＝x，则CF＝6﹣x，由△ACF∽△CBF，可得CF2＝AF•BF，∴（6﹣x）2＝（10﹣x）•x，解得x＝2或9（舍弃），∴BF＝DE＝2，CD＝CF＝4，易证AF＝AD＝8，∴AE＝AD﹣DE＝6．15．（1）证明：∵∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB，∴∠DEO＝∠PBO，∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∴∠PBO＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）由（1）知，PB是⊙O的切线，∴∠PBD＝90°，∵PB＝3，DB＝4，∴PD＝5，∵PC和PB都是⊙O的切线，∴PC＝PB＝3，∠OCD＝90°，∴CD＝2，设⊙O的半径为x，则OC＝x，OD＝4﹣x，则22+x2＝（4﹣x）2，解得，x＝，即⊙O的半径是．16．（1）证明：如图，连接OC，∵P A切⊙O于A．∴OA⊥P A，∴∠P AO＝90°，∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠AOP＝∠COP，在△P AO和△PCO中，∴△P AO≌△PCO（SAS），∴∠P AO＝∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接EA、EB，作BH⊥CE于H，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵OP∥BC，∴PO⊥AC，∴AD＝CD＝AC＝4，在Rt△P AD中，P A＝＝＝，∵∠APO＝∠DP A，∴Rt△P AD∽Rt△POA，∴P A：PO＝PD：P A，即：PO＝：，解得PO＝，∴OD＝PO﹣PD＝3，∵AO＝BO，OD∥BC，∴BC＝2OD＝6，在Rt△ACB中，AB＝＝10，∵点E是的中点，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝45°，∴AE＝BE，∴△BCH和△ABE都是等腰直角三角形，∴CH＝BH＝BC＝3，BE＝AB＝5，在Rt△BEH中，EH＝＝4，∴CE＝CH+EH＝3+4＝7．17．解：（1）直线PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，∵CE为直径，∴∠EBC＝90°，即∠E+∠BCE＝90°，∵AB∥DC，∴∠ACD＝∠BAC，∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD．∴∠E＝∠BCP，∴∠BCP+∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝4，∴AC＝AB＝12，在Rt△AMC中，AM＝＝8，设圆O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝8﹣r，在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即42+（8﹣r）2＝r2，解得：r＝，∴CE＝2r＝＝9，OM＝8﹣＝，∴BE＝2OM＝7，∵∠E＝∠MCP，∴Rt△PCM∽Rt△CEB，∴＝，即＝∴PC＝．18．解：（1）证明：连接OD，∵OE∥AB，∴∠COE＝∠CAD，∠EOD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠COE＝∠DOE，在△COE和△DOE中，，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∴ED⊥OD，∴ED是圆O的切线；（2）连接CD，交OE于M，在Rt△ODE中，∵OD＝，DE＝2，∴OE＝＝＝，∵OE∥AB，∴△COE∽△CAB，∴＝，∴AB＝5，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴cos∠BAC＝＝＝，∴AD＝，∴CD＝＝，∵EF∥AB，∴，∴CM＝DM＝CD＝，∴EF＝OE+OF＝4，BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，∴S△ADF＝S梯形ABEF﹣S梯形DBEF＝（AB+EF）•DM﹣（BD+EF）•DM＝×（5+4）×﹣×（+4）×＝．∴△ADF的面积为．19．解：（1）直线PD是否为⊙O的切线．理由如下：连接OD，如图1，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∵∠PDA＝∠PBD，∴∠1＝∠PDA，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠2+∠1＝90°，∴∠PDA+∠2＝90°，即∠PDO＝90°，∴OD⊥PD，∴PD为⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，∵ED和EB为⊙O的切线，∴ED＝EB，而∠BED＝60°，∴△EDB为等边三角形，∴∠EBD＝60°，∴∠PBD＝30°，∴∠PDA＝30°，而∠ADB＝90°，∴∠P＝30°，在Rt△OAD中，OD＝PD＝×＝1，OP＝2OD＝2，∴P A＝PO﹣OA＝2﹣1＝1．20．证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．21．解：（1）设圆的半径是r，则OP＝P A+r＝1+r，OC＝r，PC＝r．∵PC是圆的切线，∴∠PCO＝90°，∴在直角△PCO中，PC2+OC2＝OP2，即（r）2+r2＝（1+r）2，解得：r＝1或r＝﹣（舍去负值）．在直角△OPC中，cos∠POC＝＝，∴∠POC＝60°，∵∠PCO＝90°，BE⊥BC，∴BE∥OC，∴△OPC∽△BPE，∠B＝∠POC＝60°，∴＝＝，∴BE＝OC＝；（2）①在△OBD中，OB＝OD，∠B＝60°，∴△OBD是等边三角形，BD＝OB＝1，∠BOD＝60°．∴DE＝BE﹣BD＝﹣1＝；②∵在△OPC和△OPF中，，∴△OPC≌△OPF（SAS），∴∠OFP＝∠OCP＝90°，∴PF是⊙O的切线．。

中考各省压轴之圆综合问题(9考点39题)—2024年中考数学压轴题(全国通用)(解析版)

中考各省压轴之圆综合问题（9考点39题）一．圆周角定理（共3小题）1．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已知AE＝2，tan∠CBA＝，则AB的长为（）A．B．6C．D．【答案】C【解答】解：连接EO并延长交⊙O于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交⊙O于点G，连接OB，∵EH是⊙O的直径，∴∠EAH＝90°，∴tan∠AHE＝，∵∠AHE＝∠CBA，tan∠CBA＝，∴tan∠AHE＝tan∠CBA＝，∴＝，∵AE＝2，∴AH＝4，∴EH＝＝2，∴⊙O的半径为，∴OG＝OB＝，∵OG⊥AB于F，∴AB＝2BF，根据折叠的性质得，OF＝GF，∴OF＝OG＝，∴BF＝＝，∴AB＝，故选：C．2．如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交于点F，则＝（）A．B．C．1﹣D．【答案】D【解答】解：方法1：连接AE、CE．作AD∥CE，交BE于D．∵点E是弧AC的中点，∴可设AE＝CE＝1，根据平行线的性质得∠ADE＝∠CED＝45°．∴△ADE是等腰直角三角形，则AD＝，BD＝AD＝．所以BE＝+1．再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA，则EF＝＝﹣1，BF＝2．所以＝．方法2：过点C作CO⊥AB于点O，∵AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，∴点O是圆心．连接OE，BC，OE与AC交于点M，∵E为弧AC的中点，易证OE⊥AC，∵∠ACB＝90°，∠AOE＝45°，∴OE∥BC，设OM＝1，则AM＝1，∴AC＝BC＝2，OA＝，∴OE＝，∴EM＝﹣1，∵OE∥BC，∴＝＝．故选：D．3．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，连接OB，则P点就是所求作的点．此时P A+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∵∠AMN＝30°，∴∠AON＝60°，∵＝∴∠AOB＝∠BON＝30°，∵MN⊥BC，∴＝，∴∠CON＝∠NOB＝30°，则∠AOC＝90°，又OA＝OC＝1，则AC＝．二．切线的性质（共1小题）4．为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得AB＝10cm，则铁环的半径是．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：连接OB，OC，OA，∵AB为圆O的切线，∴OB⊥AB，即∠OBA＝90°，又AC为圆O的切线，∴OC⊥AC，即∠OCA＝90°，在Rt△ADE中，∠E＝30°，∠ADE＝90°，∴∠EAD＝60°，∠BAC＝120°，∵AC及AB为圆O的切线，∴OA为∠BOC的平分线，则∠BAO＝∠OAC，可得∠BOA＝∠COA，又∠OBA＝∠OCA＝90°，∴∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°，在Rt△OBA中，∠OBA＝90°，∠OAB＝60°，AB＝10cm，∴tan60°＝，即＝，则圆的半径OB＝10cm．故答案为：10cm三．切线的判定与性质（共2小题）5．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝4，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①∠F＝30°；②CE＝CF；③线段EF的最小值为2；④当AD＝1时，EF与半圆相切；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是8．其中正确的结论的序号为．【答案】②③④．【解答】解：①连接CD，如图1所示．∵点E与点D关于AC对称，∴CE＝CD．∴∠E＝∠CDE．∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°．∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．∴∠F＝∠CDF．只有当CD⊥AB时，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝30°，故①错误；②又∵∠F＝∠CDF，∴CD＝CF，∴CE＝CD＝CF．故②正确；③当CD⊥AB时，如图2所示．∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝4，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝2，BC＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，∴CD＝BC＝，根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD．∴线段EF的最小值为2．故③正确；④当AD＝1时，连接OC，如图3所示，∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等边三角形．∴CA＝CO，∠ACO＝60°．∵AO＝2，AD＝1，∴DO＝1．∴AD＝DO，∴∠ACD＝∠OCD＝30°，∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA＝∠DCA，∴∠ECA＝30°，∴∠ECO＝90°，∴OC⊥EF，∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，∴EF与半圆相切．故④正确；⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称．∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．∴S阴影＝2S△ABC＝2×•AC•BC＝4．故⑤错误．故答案为②③④．6．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD⊥OC于C，ED⊥AB 于F，（1）判断△DCE的形状；（2）设⊙O的半径为1，且OF＝，求证：△DCE≌△OCB．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）△DCE为等腰三角形，理由为：∵∠ABC＝30°，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC都对，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴∠OAC＝∠OCA＝60°，∵OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠DCE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，又∵EF⊥AF，∴∠AFE＝90°，∴∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠DCE＝∠E，∴DC＝DE，则△DCE为等腰三角形；（2）∵OA＝OB＝1，OF＝，∴AF＝AO+OF＝1+＝，OA＝AC＝OC＝1，在Rt△AEF中，∠E＝30°，∴AE＝2AF＝+1，∴CE＝AE﹣AC＝+1﹣1＝，又∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴cos30°＝，即BC＝AB cos30°＝，∴CB＝CE＝，在△OBC和△DCE中，∵，∴△OBC≌△DCE（ASA）．四．三角形的内切圆与内心（共1小题）7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，I为Rt△ABC的内心，若M、N分别是斜边AB和直角边AC上的动点，连接IM、MN，则IM+MN的最小值为．【答案】5.2．【解答】解：分别作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，垂足分别为点D、E、F，延长IF到I'，使I'F＝IF，作I'N⊥AC于点N，交AB于点M，延长DI，交I'N于点G，连接BI，∵IF⊥AB，I'F＝IF，∴IM＝I'M，∴IM+MN＝I'M+MN，当I'、M、N三点共线，且I'N⊥AC时，I'N最短，即IM+MN的值最小．∵I为Rt△ABC的内心，ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，∴ID＝IE＝IF，设ID＝IE＝IF＝r，又∵ID⊥BC，IE⊥AC，∠C＝90°，∴四边形CEID是正方形，∴CD＝IE＝CE＝ID＝r，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴BD＝6﹣r，AE＝8﹣r，在Rt△BID和Rt△BIF中，，∴Rt△BID≌Rt△BIF（HL），∴BD＝BF，同理AE＝AF，∵AB＝AF+BF，∴6﹣r+（8﹣r）＝10，解得r＝2，∵I'F＝IF，∴II'＝4，∵IF⊥AB，I'N⊥AC，∠FMI'＝∠NMA，∴∠I'＝∠A，又∵∠C＝90°，I'N⊥AC，∴BC∥I'N，∵ID⊥BC，∴IG⊥I'N，∴四边形CDGN为矩形，△II'G∽△BAC，∴GN＝CD＝2，，即，∴I'G＝3.2，∴I'N＝I'G+GN＝3.2+2＝5.2，∴IM+MN的最小值为5.2．故答案为：5.2．五．圆与圆的位置关系（共1小题）8．如图，⊙O1和⊙O2的半径为1和3，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2＝8，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切次．【答案】见试题解答内容【解答】解：两圆相切时，O1O2之间的距离等于4（外切）或者2（内切）时即可，当⊙O1绕P点顺时针旋转时360°时，O1O2的变化范围从8到2再到8，其中有两次外切和一次内切．可以用尺规作图的方法来做，以P为圆心做一个半径为5的圆，再以O2为圆心，做一个半径为4的圆，两者相交即为外切，然后以O2为圆心做一个半径为2的圆，两者相交即为内切．故答案为：3．六．弧长的计算（共1小题）9．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC ＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+＝（cm）．故答案为：（）．七．扇形面积的计算（共1小题）10．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝4cm，∠ABC＝30°，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的C′′处，那么AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是 cm2（结果保留π）．【答案】见试题解答内容【解答】解：×（64﹣16）＝20πcm2．八．圆锥的计算（共3小题）11．现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为．【答案】见试题解答内容【解答】解：20π＝解得：n＝90°，∵扇形彩纸片是30%圆周，因而圆心角是108°∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣90°＝18°．剪去的扇形纸片的圆心角为18°．故答案为18°．12．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的侧面积为．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∵AO＝2，∴DO＝1，∴AD＝，∴AB＝2，∴S阴影＝＝2π．故答案为：2π．13．如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是．【答案】3．【解答】解：∵图扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π＝，∴n＝120°即扇形的圆心角是120°，∴弧所对的弦长AA′＝2×3sin60°＝3，故答案为3．九．圆的综合题（共26小题）14．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O 上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：连接AC，AO，∵AB⊥CD，∴G为AB的中点，即AG＝BG＝AB，∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，∴OG＝2，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG＝＝2，又∵CG＝CO+GO＝4+2＝6，∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC＝＝4，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A 重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACG中，tan∠ACG＝＝，∴∠ACG＝30°，∴所对圆心角的度数为60°，∵直径AC＝4，∴的长为＝π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π．故选：C．15．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝度；（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，①求证：△BDC是“近直角三角形”；②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连接AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，故答案为20；（2）①如图1，设∠ABD＝∠DBC＝β，∠C＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②存在，理由：在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”，AB＝3，AC＝4，则BC＝5，则∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，即，即，解得：AE＝，则CE＝4﹣＝；（3）①如图2所示，当∠ABD＝∠DBC＝β时，则AE⊥BF，则AF＝FE＝3，则AE＝6，AB＝BE＝5，过点A作AH⊥BC于点H，设BH＝x，则HE＝5﹣x，则AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝；cos∠ABE＝＝＝cos2β，则tan2β＝，则tanα＝；②如图3所示，当∠ABD＝∠C＝β时，过点A作AH⊥BE交BE于点H，交BD于点G，则点G是圆的圆心（BE的中垂线与直径的交点），∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，故AE＝AB＝5，则EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，∵DE⊥BC，AH⊥BC，∴ED∥AH，则AF：EF＝AG：DE＝3：2，则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝DE＝k，在△BGH中，BH＝＝2k，在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝4k，∵∠C+∠ABC＝90°，∠ABC+∠BAH＝90°，∴∠C＝∠BAH，∴tan C＝tan∠BAH＝＝＝，综上，tan C的值为或．16．四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，连结BD交AC于点G，AF⊥BD，垂足为E．（1）如图1，若AF交BC于点F．①求证：∠BAF＝∠CAD；②若⊙O的直径为10，，BF：CG＝3：5，求AF的长．（2）如图2，若AF交CD于点F，连结OD，若OD∥AB，，DF＝2CF，求⊙O 的直径．【答案】（1）①见解析；②AF＝．（2）⊙O的直径为．【解答】（1）①证明：∵AC是⊙O的直径，AF⊥BD，∴∠ABC＝90°＝∠AEB，∴∠ABE+∠CBD＝90°，∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠CBD＝∠BAF，又∵，∴∠CBD＝∠CAD，∴∠BAF＝∠CAD．②解：如图，过点G作GK⊥BC于点K，在Rt△ABC中，AC＝10，cos∠BCA＝，∴BC＝8，由勾股定理得AB＝＝＝6，∴sin∠BCA＝＝，tan∠BCA＝＝，在Rt△GKC中，sin∠KCG＝sin∠BCA＝＝，tan∠KCG＝tan∠BCA＝＝，又∵BF：CG＝3：5，∴BF＝GK，在△ABF和△BKG中，，∴△ABF≌△BKG（AAS），∴AB＝BK＝6，∴CK＝BC﹣BK＝8﹣6＝2，∴KG＝CK•tan∠KCG＝2×＝，即BF＝KG＝，∴AF＝＝＝．（3）解：如图，设AF交OD于点Q，过点O作OH⊥AF于点H，链接BO并延长交AF 于点P，延长AF交⊙O于点G，连接CG，∵AF⊥BD，OH⊥AF，∴∠OHO＝∠BEG＝90°，∴OH∥BD，∴∠QOH＝∠ODB，∠POH＝∠OBD，又∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠QOH＝∠POH，∴QH＝PH，∵AC为⊙O的直径，∴∠AGC＝90°＝∠OHQ＝∠AEB，∴CG∥OH∥BD，∴△AOH∽△ACG⇒⇒CG＝2OH，△DEF∽△CGF⇒＝⇒DE＝2CG⇒DE＝4OH，△DEQ∽△OHQ⇒＝＝4⇒QE＝4PH，DQ＝4OQ⇒EP＝6PH，DQ＝，△OPH∽△BPE⇒＝⇒BE＝6OH，∴，∵OD∥AB，∴△ABE∽△QDE，∴⇒QE＝⇒AQ＝＝，∵，OD＝OC，∴∠OCD＝∠ABD＝∠ODC，∴∠BAE＝90°﹣∠ABD＝90°﹣∠ODC＝∠ODA，∵OD∥AB，OA＝OD，∴∠AQD＝∠BAQ＝∠ODA＝∠OAD，∴AD＝AQ＝，△DAQ∽△DOA，∴，即AD2＝OD•DQ，设⊙O的半径为r，则OD＝r，DQ＝，∴＝，∴r＝，∴⊙O的直径为．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点S（﹣1，0），T（1，0）．对于一个角α（0°＜α≤180°），将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α，称为一次“α对称旋转”．（1）点R在线段ST上，则在点A（1，﹣1），B（3，﹣2），C（2，﹣2），D（0，﹣2）中，有可能是由点R经过一次“90°对称旋转”后得到的点是；（2）x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q．①当α＝60°时，PQ＝；②当α＝30°时，若QT⊥x轴，求点P的坐标；（3）以点O为圆心作半径为1的圆．若在⊙O上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围．【答案】（1）B，C；（2）①2；②P（﹣1+，0）．（3）0°＜α≤30°或150°≤α≤180°．【解答】解：（1）如图，当点R与点O重合时，点R绕点S顺时针旋转90°得到点R′，点R′绕点T逆时针旋转90°得到点C；当点R与点T重合时，点R绕点S顺时针旋转90°得到点R″，点R″绕点T逆时针旋转90°得到点B；故答案为：B，C；（2）①当α＝60°时，如图，∵x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q，∴△SPP′和△TQP′均为等边三角形，∴SP′＝PP′，TP′＝QP′，∠SP′P＝∠TP′Q＝60°，∴∠SP′T+∠TP′P＝∠TP′P+∠PP′Q，∴∠SP′T＝∠PP′Q，∴△P′ST≌△P′PQ（SAS），∴PQ＝ST＝2，故答案为：2；②当α＝30°时，设点P绕点S顺时针旋转30°得到点P′，则SP′＝SP，如图，将x轴作一次“α对称旋转”后得到直线y＝﹣1，∵QT⊥x轴，点P经过一次“α对称旋转”得到点Q，∴点Q的坐标为Q（1，﹣1），∵点P′绕点T逆时针旋转30°得到点Q，∴P′T＝QT＝1，∠P′TQ＝30°，∴∠STP′＝90°﹣∠P′TQ＝60°，∵∠TSP′＝30°，∴∠SP′T＝180°﹣∠STP′﹣∠TSP′＝90°，∵ST＝2，∴SP′＝＝，∴SP＝SP′＝，∴点P的坐标为P（﹣1+，0）．（3）点M在⊙O上，则M绕S顺时针旋转α度以后的M′的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的⊙O′上，M′关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在O′关于T逆时针旋转α度以后的⊙O″上，若满足题意，只需⊙O′与x轴有交点O″在粉弧上，且O′T＝O″T，如图，⊙O″与x轴相切，则O″H＝1，在x轴上取点R，连接O″R，使O″R＝2，″∴HR＝，∴∠O″RH＝30°，TR＝O′S＝1，O″R＝ST＝2，O″T＝O′T，∴△O″TR≌△TO′S（SSS），∴∠TSO′＝∠O″RT＝30°，故0°＜α≤30°；如图，⊙O″与x轴相切，则O″H＝1，在x轴上取点R，连接O″R，使O″R＝2，∴∠HRO″＝30°，ST＝O″R，∴∠TRO″＝150°，∵∠SO′T+∠STO′＝∠STO′+∠RTO″，∴∠SO′T＝∠RTO″，∵O′T＝TO″，∴△O′ST≌△TRO″（SAS），∴∠O′ST＝∠TRO″＝150°，∴α＝150°，∴150°≤α≤180°；综上所述，0°＜α≤30°或150°≤α≤180°．18．问题提出（1）如图①，已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则S△ACD S（填“＞”“＜”或“＝”）；△BCD问题探究（2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，AB＝12，求△ABC面积的最大值；问题解决（3）如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝10，根据设计要求，点D为∠ABC内部一点，且∠ADB＝60°，过点C作CE∥AD交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积．【答案】（1）＝；（2）△ABC面积的最大值为108；（3）四边形ADCE的最大面积是75．【解答】解：（1）如图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N.∵a∥b，∴∠MAB＝∠AMN＝90°，∴四边形AMNB是矩形，∴AM＝BN，∴CD•AM＝CD•BN又S△ACD＝CD•AM，S△BCD＝CD•BN，∴S△ACD＝S△BCD；故答案为：＝；（2）取优弧的中点记为C1，过C1作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知C1D过O 且AD＝BD，如图②所示.过点C作AB的平行线a，∵当直线a向上平移时，a距AB的距离增大，即△ABC的AB边上的高增大，∴当a运动到最高点C时，△ABC的AB边上的高最大，又∵AB为常数，∴当C运动到C1时，△ABC的面积最大，下面计算△ABC1的面积：连接OB，在Rt△OBD中，∵AB＝12，⊙O的直径为20，∴BD＝6，BO＝10，OC1＝10，由勾股定理得：OD＝＝＝8，∴C1D＝OD+OC1＝8+10＝18，∴△ABC1的面积为：AB•C1D＝×12×18＝108，∴△ABC面积的最大值为108；（3）过点C作CF∥BD交AD的延长线于F，如图③﹣1所示，∵CF∥BD，∴∠F＝∠ADB＝60°，∵AD∥CE，∴四边形DECF是平行四边形，∴DF＝CE，FC＝DE，∵DC＝CD∴△DFC≌△CED（SSS），∴S△DFC＝S△CED，又由（1）的结论知S△DAC＝S△DAE，∴S四边形ADCE＝S△DAE+S△CED＝S△DAC+S△DFC＝S△AFC，所以只需求得S△AFC最大值即得S四边形ADCE的最大值.以AC为边向△ABC外作等边△AGC，再作等边△AGC的外接圆，过G作GJ⊥AC于J，如图③﹣2所示，∵∠F＝60°，∴点F在△AGC的外接圆上，由第（2）问的解决知，当F运动到点G时，S△AFC最大＝S△ACG；在Rt△ABC中：由勾股定理得AC＝＝＝10，∴AJ＝AC＝5，∴GJ＝×10＝15，∴S△ACG＝AC×GJ＝×10×15＝75；∴四边形ADCE的最大面积是75．19．课本再现（1）在圆周角和圆心角的学习中，因为圆内接四边形的每一个角都是圆周角，所以我们可以利用圆周角定理，来研究圆内接四边形的角之间的关系．如图1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为直径，则∠B＝∠D＝度，∠BAD+∠BCD＝度．（2）如果⊙O的内接四边形ABCD的对角线AC不是⊙O的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补．知识运用（3）如图4，等腰三角形ABC的腰AB是⊙O的直径，底边和另一条腰分别与⊙O交于点D，E．点F是线段CE的中点，连接DF，求证：DF是⊙O的切线．【答案】（1）90，180；（2）证明见解答；（3）证明见解答．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为直径，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣（∠B+∠D）＝360°﹣180°＝180°，故答案为：90，180；（2）证明：如图2，连接OB，OD，∵＝，∴∠BOD＝2∠C，∠1＝2∠A，∵∠BOD+∠1＝360°，∴2∠C+2∠A＝360°，∴∠C+∠A＝180°，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，即圆内接四边形的对角互补；如图3，连接OA，OC，∵＝，∴∠AOC＝2∠B，∠1＝2∠D，∵∠AOC+∠1＝360°，∴2∠B+2∠D＝360°，∴∠B+∠D＝180°，在四边形ABCD中，∠BAD+∠DCB＝360°﹣（∠B+∠D）＝180°，即圆内接四边形的对角互补；（3）证明：连接OD，DE，如图4，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠B+∠AED＝180°，∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠B＝∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DC＝DE，∵点F是线段CE的中点，∴DF⊥AC，∴OD∥AC，∴DF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线．20．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若sin C＝，DE＝5，求AD的长；（3）求证：2DE2＝CD•OE．【答案】（1）证明见解答；（2）AD的长为；（3）证明见解答．【解答】（1）证明：连接OD，BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC，∵OB、OD是⊙O的半径，∴OB＝OD，又∵OE＝OE，∴△ODE≌△OBE（SSS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，如图，由（1）知：DE＝BE＝EC，∠ADB＝∠BDC＝∠ABC＝90°，∵DE＝5，∴BC＝10，∵sin C＝，∴＝，∴BD＝8，∵∠C+∠CBD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴sin∠ABD＝sin∠C＝，∴＝，设AD＝4x，则AB＝5x，∵AD2+BD2＝AB2，∴（4x）2+82＝（5x）2，解得：x＝（负值舍去），∴AD＝4x＝4×＝；（3）证明：连接BD，由（1）（2）得：∠BDC＝∠OBE＝90°，BE＝DE，∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，∴OE∥AC，BC＝2BE，∴∠C＝∠OEB，∴△BCD∽△OEB，∴＝，即＝，∴2DE2＝CD•OE．21．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB 边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．（1）求证：DM是⊙O的切线；（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．①当tan∠BAP＝时，求BP的长；②求的最大值．【答案】（1）证明见解答；（2）①BP的长为或；②的最大值为．【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，∵点M为边BC的中点，∴MC＝MD，∴∠MDC＝∠MCD，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°，∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，即∠ODM＝90°，∴DM⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DM是⊙O的切线；（2）①当点P在线段BC上时，如图，过点P作PT⊥AB于点T，在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，设PT＝x，∵tan∠BAP＝，∴＝，∴AT＝3PT＝3x，∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x，∵tan∠ABC＝＝，∴＝，解得：x＝，∴PT＝，∵sin∠ABC＝＝，即＝，∴BP＝；当点P在CB的延长线上时，如图，过点B作BK⊥AP于点K，∵tan∠BAP＝，∴＝，设BK＝a，则AK＝3a，在Rt△ABK中，AK2+BK2＝AB2，即（3a）2+a2＝102，解得：a1＝，a2＝﹣（舍去），∴AK＝3，BK＝，∵S△ABP＝AP•BK＝BP•AC，∴＝＝，设BP＝m，则AP＝m，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，即82+（m+6）2＝（m）2，解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），∴BP＝；综上所述，BP的长为或；②设CP＝n，则AP＝＝，如图，∵AC是⊙O的直径，∴CQ⊥AP，∵CQ•AP＝AC•CP，∴CQ＝＝，∴＝，∵n＞0，∴（n﹣8）2≥0，∴64+n2≥16n，∴＝≤＝，∴的最大值为．22．如图（1），已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的圆O交斜边AC于点E，点D为BC中点，连接DE．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）如图（2），EH⊥AC，垂足为H，若AC＝6，BC＝8，求EH的长；（3）如图（3），在⊙O上取一点P，使PE＝CE，连接PE，AP，试探究AP、AH、HC 之间的数量关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）连结OE，∵AC是直径，∴∠AEC＝90°∴∠CEB＝90°，∵D是BC的中点，∴CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠OCE＝90°，∵OE＝OC，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OEC+∠DEC＝90°，∴OE⊥DE，∵OE是圆O的半径，∴DE是圆O的切线；（2）连结CE，∵AC＝6，BC＝8，∴，∵∠B＝∠B，∠CEB＝∠ACB＝90°，∴△CEB∽△ACB，∴，∴，∵HE⊥AC，∴∠EHC＝90°，∴，∴，∴；（3）在AC上取点M，使CM＝AP，∵PE＝CE，∠P＝∠MCE∴△APE≌△MCE（SAS）∴AE＝ME∵EH⊥AC∴AH＝MH∴CM＝CH﹣MH＝CH﹣AH，∴AP＝CH﹣AH．23．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上任意一点．给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p＝0），最大值为q，那么把的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，⊙O）．（1）如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数．①d（D，⊙O）＝；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；（2）若点N在直线y＝上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值．【答案】（1）①2；②2≤d（M，⊙O）≤3；（2）d（N，⊙O）≥；（3）m的最小值为﹣，最大值为．【解答】解：（1）①∵D（0，2）到⊙O的距离的最小值p＝1，最大值q＝3，∴d（D，⊙O）＝＝2，故答案为：2；②当M在点E处，d（E，⊙O）＝2，当M在点F处，d（F，⊙O）＝＝3，∴2≤d（M，⊙O）≤3；（2）设ON＝d，∴p＝d﹣r＝d﹣1，q＝d+r＝d+1，∴d（N，⊙O）＝＝＝d，∵点N在直线y＝上，设直线交x轴于点B，交y轴于点A，如图1，则x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝﹣2，∴A（0，2），B（﹣2，0），∴OA＝2，OB＝2，∴AB＝＝4，当ON⊥AB时，d（N，⊙O）最小，∴S△AOB＝OA•OB＝AB•ON，即×2×2＝×4ON，∴ON＝，∵ON无最大值，∴d（N，⊙O）≥；（3）如图2，∵d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为，∴两个同心圆中，小圆的半径为1，大圆的半径为，∵KL＝﹣1，∴m的最小值是＝﹣，在Rt△OMH中，OM＝，OH＝m﹣1，MH＝m，∴（m﹣1）2+（m）2＝（）2，解得：m＝﹣2（舍去）或m＝；∴m的最小值为﹣，最大值为．24．在⊙O中＝，顺次连接A、B、C．（1）如图1，若点M是的中点，且MN∥AC交BC延长线于点N，求证：MN为⊙O 的切线；（2）如图2，在（1）的条件下，连接MC，过点A作AP⊥BM于点P，若BP＝a，MP ＝b，CM＝c，则a、b、c有何数量关系？（3）如图3，当∠BAC＝60°时，E是BC延长线上一点，D是线段AB上一点，且BD ＝CE，若BE＝5，△AEF的周长为9，请求出S△AEF的值？【答案】（1）证明见解答；（2）a＝b+c；（3）．【解答】解：（1）如图1，连接OM，∵M是的中点，∴OM⊥AC，∵MN∥AC，∴OM⊥MN，∵OM为⊙O的半径，∴MN为⊙O的切线；（2）如图2，连接OM交AC于K，连结AM，∵M是的中点，∴＝，∴AM＝CM＝c，∵AP⊥BM，∴∠APM＝∠APB＝90°，∴AP2＝AM2﹣PM2＝c2﹣b2，∴AB2＝AP2+BP2＝c2﹣b2+a2，∴AC＝AB＝，∵M是的中点，∴OM⊥AC，∴AK＝CK＝AC＝，∵∠APB＝∠CKM＝90°，∠ABP＝∠MCK，∴△ABP∽△MCK，∴＝，∴BP•CM＝CK•AB，∴ac＝•，∴2ac＝c2﹣b2+a2，∴（a﹣c）2﹣b2＝0，∴（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）＝0，∵a+b﹣c＞0，∴a﹣b﹣c＝0，∴a＝b+c；（3）过点B作BH∥AC，过点D作DH∥BC，BH与DH交于点H，连接CH，则∠BDH＝∠ABC＝60°，∠DBH＝∠ACB＝60°，∴△BDH是等边三角形，∴BH＝BD，∠DBH＝60°，∴BH＝CE，∠CBH＝∠ABC+∠DBH＝60°+60°＝120°，∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°＝∠CBH，AC＝BC，∴△ACE≌△CBH（SAS），∴∠CAE＝∠BCH，AE＝CH，∵DH∥BC，DH＝CE，∴四边形CEDH是平行四边形，∴CE∥ED，CH＝ED，∴∠BCH＝∠BED，CH＝AE，∴∠BED＝∠CAE，AE＝ED，过点E作ET⊥AB于点T，交AC于点L，连接DL，则AT＝TD＝AD，AL＝DL，∵∠BAC＝60°，∴△ADL是等边三角形，∴∠ALD＝60°＝∠ACB，∴DL∥BC，即HD与DL在同一直线上，∴四边形BCLH是平行四边形，∴CL＝BH＝BD＝CE，LH＝BC，设CE＝x，则CL＝x，BC＝AC＝5﹣x，AD＝DL＝AL＝AC﹣CL＝5﹣2x，AT＝，∵DF∥CH，∴＝，即＝，∴LF＝，∴AF＝AL+LF＝5﹣2x+＝，在Rt△BET中，ET＝BE•sin60°＝，∵AE2＝AT2+ET2，∴AE2＝（）2+（）2＝x2﹣5x+25，延长BH，ED交于点R，则∠RHD＝∠FCE，∠R＝∠CFE，DH＝CE，∴△HDR≌△CEF（AAS），∴DR＝EF，∴ER＝ED+DR＝AE+EF＝9﹣AF＝9﹣＝，∵CH∥ED，∴＝，∴CH＝•ER＝×＝，∴AE＝，∴x2﹣5x+25＝（）2，解得：x1＝5（舍去），x2＝，∴AD＝5﹣2×＝，AF＝＝10﹣＝2，作DM⊥AL于点M，则DM＝AD•sin60°＝×＝，∴S△AEF＝S△ADE﹣S△ADF＝AD•ET﹣AF•DM＝××﹣×2×＝．25．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB＝1，且A，B两点中至少有一点在⊙O 外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点），若线段A′B′上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图1，点A1，B1的坐标分别为（﹣3，0），（﹣2，0），线段A1B1到⊙O的“平移距离”为，点A2，B2的坐标分别为（﹣，），（，），线段A2B2到⊙O的“平移距离”为；（2）若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；（3）如图2，若点A坐标为（1，），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．【答案】（1）2，；（2）．（3）所有满足条件的点B形成的图形是以A为圆心圆心角为120°的．【解答】解：（1）根据“平移距离”的定义可得：线段A1B1到⊙O的“平移距离”为2，如图1，设A2B2与y轴交于E，线段A2B2向下平移得到⊙O的弦A′2B′2，线段A′2B′2与y轴交于点F，则A′2F＝，OA′2＝1，OE＝，∴OF＝，∴A2A′2＝EF＝OE﹣OF＝﹣＝，∴线段A2B2到⊙O的“平移距离”为，故答案为：2，；（2）如图2中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y＝x+2交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，2），过点E作EH⊥MN于H，∵OM＝2，ON＝2，∴tan∠NMO＝，∴∠NMO＝60°，∴EH＝EM•sin60°＝，观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为．（3）如图3，连接OA，交⊙O于点A′，则OA＝＝2，∴OA到⊙O任意一点距离的最小值为OA′＝OA﹣1＝1，∴点A′（，），设平移后圆上另一点为B′，由题意得：A′B′＝1，有三种情况：①点B′与点O重合，则点B的坐标为（，）；②点B′与点（1，0）重合，则点B的坐标为（，）；③点B′与点（﹣，）重合，则点B的坐标为（0，）；如图可知所有满足条件的点B形成的图形是以A为圆心圆心角为120°的．26．【了解概念】定义：在平面直角坐标系xOy中，组成图形的各点中，与点P连线段最短的点叫做点P 于这个图形的短距点，这条最短线段的长度叫做点P这个图形的短距．【理解运用】（1）已知点P（﹣3，0），以原点为圆心，1半径作⊙O，则点P于⊙O的短距点的坐标是；（2）如图，点P（3，），等边三角形OAB的顶点A的坐标为（6，0），顶点B在第一象限，判断点P于△OAB的短距点的个数，并说明理由；【拓展提升】（3）已知P（p，﹣p+6），A（6，0），B（0，6），点C在第一象限内，且∠CBO＝75°，∠ACB＝90°，若点P到四边形OACB的短距大于2，请直接写出p的取值范围．【答案】（1）（﹣1，0）；（2）3个，理由见解答过程；（3）p＜﹣或2＜p＜4或p＞6+．【解答】解：（1）如图：根据短距点定义，点P于⊙O的短距点为A，坐标是（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）；（2）点P关于△OAB的短距点有3个，理由如下：过P作PC⊥OA于C，PE⊥AB于E，PD⊥OB于D，如图：∵P（3，），∴OC＝3，PC＝，∴tan∠POC＝，∴∠POC＝30°，∵△OAB是等边三角形，∴∠BOC＝60°，OA＝6，∴∠BOP＝∠POC＝30°，又PC⊥OA，PD⊥OB，∴PD＝PC＝，∵AC＝OA﹣OC＝3，PC＝，∴tan∠P AC＝，∴∠P AC＝30°，同理∠P AE＝∠P AC＝30°，PE＝PC，∴PC＝PD＝PE，即点P关于△OAB的短距点有C、D、E，∴点P关于△OAB的短距点有3个；（3）∵P（p，﹣p+6），∴P在直线y＝﹣x+6上，直线经过A（6，0）、B（0，6），且∠ABO＝∠BAO＝45°，①当p＜0时，过P作PD⊥x轴于D，过B作PE⊥PD于E，如图：△PBE是等腰直角三角形，若PB＝2，则BE＝PE＝，而DE＝OB＝6，∴PD＝6+，∴P（﹣，6+），由图可知：此时p＜﹣，点P到四边形OACB的短距大于2，②当0≤p≤6时，过P作PD⊥BC于D，设PD＝2，作PE⊥OB，PF⊥OA，过P'作P'G ⊥OA，设P'G＝2，如图：∵∠PBD＝∠OBC﹣∠ABC＝30°，PD＝2，∴BP＝4，∵△PBE是等腰直角三角形，∴BE＝PE＝2，PF＝OE＝OB﹣BE＝6﹣2，。

中考数学圆_经典压轴题[带答案解析]

1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．〔1〕求证：BC=CD；〔2〕分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，假设PB=OB，CD =，求DF的长．2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．〔1〕求证：KE=GE；〔2〕假设=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；〔3〕在〔2〕的条件下，假设sinE=，AK=，求FG的长．3.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．(1)求证：AC 平分∠DAB ；(2)求证：△PCF 是等腰三角形； (3)假设tan ∠ABC=34，BE=72，求线段PC 的长．4.5.：如图，在半径为4的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞M C ，连结DE ，DE=。

（1）求证：AM·MB=EM·MC；〔2〕求EM的长；〔3〕求sin∠EOB的值。

6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，∠EAT=30°，AE=3，MN=2．〔1〕求∠COB的度数；〔2〕求⊙O的半径R；〔3〕点F在⊙O上〔是劣弧〕，且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．〔1〕求证：△ABC∽△OFB；〔2〕当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；（3）求证：当D在AM上移动时〔A点除外〕，点Q始终是线段BF的中点8.上异于A,C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.〔1〕求证：△PAC∽△PDF；〔2〕假设AB=5，，求PD的长；〔3〕在点P运动过程中，设，求与之间的函数关系式.〔不要求写出的取值范围〕1.【解答】：〔1〕证明：∵DC2=CE•CA，∴=，△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DBC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴BC=CD；〔2〕解：如图，连接OC，∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB，又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=，∵PB=OB，CD=，∴=∴PC=4又∵PC•PD=PB•PA∴PA=4也就是半径OB=4，在RT△ACB中，AC===2，∵AB是直径，∴∠ADB=∠ACB=90°∴∠FDA+∠BDC=90°∠CBA+∠CAB=90°∵∠BDC=∠CAB∴∠FDA=∠CBA又∵∠AFD=∠ACB=90°∴△AFD∽△ACB∴在Rt△AFP中，设FD=x，那么AF =，∴在RT△APF 中有，，求得DF =．2解：〔1〕如答图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．〔2〕AC∥EF，理由为：连接GD，如答图2所示．∵KG2=KD GE，即=，∴=，又∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；〔3〕连接OG，OC，如答图3所示．sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，那么AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即〔3t〕2+t2=〔〕2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即〔r﹣3t〕2+〔4t〕2=r2，解得r=t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，∴FG===．.45.6.7.8.。

2024中考备考数学重难点05 圆的综合压轴题(6大题型+满分技巧+限时分层检测

重难点05 圆的综合压轴题中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：一、圆中弧长和面积的综合题二、圆与全等三角形的综合题三、圆的综合证明问题四、圆与等腰三角形的综合题五、圆的阅读理解与新定义问题六、圆与特殊四边形的综合题圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。

考向一：圆中弧长与面积的综合题1．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．2．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．考向二：圆与全等三角形综合题1．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．2．（2023•哈尔滨）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．（1）如图①，求证：BC＝2OH；（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F 作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM ⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长．3．（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为45度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为．考向三：圆的综合证明问题1．（2023•黄石）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD ⊥DA，AC交BF于点P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC•PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP•DC，求的值．2．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．3．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．4．（2023•广东）综合探究如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．（1）求证：AA'⊥CA'；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：；②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．考向四：圆与等腰三角形的综合1．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为．2．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O 为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；（2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；（3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．3．（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度数；②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；逆向思考（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．考向五：圆的阅读理解与新定义问题1．（2023•青海）综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝120°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计算C 到BD的距离d1．（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝90°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算C到BD的距离d2（结果保留根号）．（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角∠BAD＝．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算C 到BD的距离d3＝（结果保留根号）．（4）归纳推理：比较d1，d2，d3大小：，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离（填“越大”或“越小”）．（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d＝.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．2．（2023•陕西）（1）如图①，∠AOB＝120°，点P在∠AOB的平分线上，OP＝4．点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF＝60°，连接EF．求线段EF的最小值；（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥的中点，桥下水面的宽度AB＝24m，点P到水面AB的距离PH＝8m．点P1，P2均在上，＝，且P1P2＝10m，在点P1，P2处各装有一个照明灯，图中△P1CD和△P2EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P1，P2左右转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP1D，∠EP2F可分别绕点P1，P2按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP1D＝∠EP2F＝90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）3．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．（1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）．①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是；②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；（2）已知点M（0，3），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．4．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．考向六：圆与特殊四边形综合1．（2023•威海）已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B，C，交射线ON 于点D，E，连接AB，AC，AD．（1）如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；（2）如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG＝AF．2．（2023•益阳）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为⊙O上一点且的中点为M，连接AD，CD．（1）求∠ACB的度数；（2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若AC＝6，求的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3．（1）填空：∠PBA的度数是，PA的长为；（2）求△ABC的面积；（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值．2．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；（2）如图2，当，时，求的值；（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．3．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AB•CN；（3）当AB＝6，sin∠DCA＝时，求AM的长．4．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．（1）求证：AD∥HC；（2）若＝2，求tan∠FAG的值；（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．①若OF＝，求BC的长；②若AH＝，求△ANB的周长；③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．5．（2023•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC ＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC 的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tan D）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．6．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG ＝∠AFC．（1）求∠BGC的度数．（2）①求证：AF＝BC．②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•东营区校级一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE 平分∠ACB；④；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（）个．A．5B．4C．3D．22．（2023•鹿城区校级三模）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，过BC上一点D作DE ⊥BC，交AB于点E，以点D为圆心，DE的长为半径作半圆，交AC，AB于点F，G，交直线BC于点H，I（点I在H左侧）．当点D与点C重合时（如图2），GH＝；当EF＝GH时，CD＝．3．（2023•湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝7，下列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF2＝PB•PA；③若BC＝OP，则阴影部分的面积为；④若PC＝24，则tan∠PCB＝；其中，所有正确结论的序号是．4．（2024•鄞州区校级一模）如图1，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的弦，垂足为E，连结BC，BD，OC．（1）求证：∠BCO＝∠ABD．（2）如图2，过点A作AF⊥BD，交CD于G，求证：CE＝EG．（3）如图3，在（2）的条件上，连结BG，若BG恰好经过圆心O，若⊙O的半径为5，，求AB的长．5．（2024•常州模拟）对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q 可以与点P重合，且，则点P称为点A关于⊙C的“阳光点”．已知点O为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A（﹣1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“阳光点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标；（2）若点B是点A关于⊙O的“阳光点”，且，求点B的横坐标t的取值范围；（3）直线与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“阳光点”，请直接写出b的取值范围是或．6．（2024•广东一模）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D在劣弧BC上，CE ⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE～△BCD；（2）若cos∠ABC＝m，求；（用含m的代数式表示）（3）如图2，DE的中点为G，连接GO，若BD＝a，cos∠ABC＝，求OG的长．7．（2024•镇海区校级模拟）在矩形ABCD中，M、N分别在边BC、CD上，且AM⊥MN，以MN为直径作⊙O，连结AN交⊙O于点H，连结CH交MN于点P，AB＝8，AD＝12．（1）求证：∠MAD＝∠MHC；（2）若AM平分∠BAN，求MP的长；（3）若△CMH为等腰三角形，直接写出BM的长．8．（2024•浙江一模）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结BD交CF于点G，连结AC，DC，过点C的切线交AB的延长线于点H．（1）求证：FG＝CG．（2）求证：四边形BDCH是平行四边形．（3）若⊙O的半径为5，OF＝3，求△ACH的周长．9．（2024•五华区校级模拟）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接DE并延长交AB的延长线于点F，点P在AF上，且∠PEF＝∠DCE，连接AE，CE分别交OD，OB于点M，N，连接AC，设⊙O的半径为r．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）当∠DCE＝15°时，求证：AM＝2ME；（3）在点E的移动过程中，判断AN•CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．10．（2024•福建模拟）已知：如图，⊙O内两条弦AB、CD，且AB⊥CD于E，OA为⊙O半径，连接AC、BD．（1）求证：∠OAC＝∠BCD；（2）作EN⊥BD于N，延长NE交AC于点H．求证：AH＝CH；（3）在（2）的条件下，作∠EHF＝60°交AB于点F，点P在FE上，连接PC交HN于点L，当EL＝HF＝，CL＝8，BE＝2PF时，求⊙O的半径．11．（2024•鹿城区校级一模）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，点E是AB的中点，连结EO并延长交BC 于D，点F在AC上，连结AD，DF，∠BAD＝∠CDF．（1）求证：DF∥AB．（2）当AB＝9，AF＝FD＝4时，①求tan∠CDF的值；②求BC的长．（3）如图2，延长AD交⊙O于点G，若，求的值．12．（2024•正阳县一模）【材料】自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PQ，使PQ与⊙O相切于点Q．李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接OP，分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B 分别位于直线OP的上下两侧）；（2）作直线AB，AB交OP于点C；（3）以点C为圆心，CO为半径作⊙C，⊙C交⊙O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）；（4）连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求．【问题】（1）请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）结合图形，说明PQ是⊙O切线的理由；（3）若⊙O半径为2，OP＝6．依据作图痕迹求QD的长．13．（2024•泌阳县一模）小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABCD，一条线段OP（OP＜AB），再以点A为圆心，OP的长为半径，画⊙A分别交AB于点E．交AD于点G．过点E，G分别作AB，AD的垂线交于点F，易得四边形AEFG也是正方形，连接CF．（1）【探究发现】如图1，BE与DG的大小和位置关系：．（2）【尝试证明】如图2，将正方形AEFG绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．（3）【思维拓展】如图3，若AB＝2OP＝4，则：①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，CF的值为；②在旋转过程中，CF的最大值是．14．（2024•秦都区校级一模）问题提出：（1）如图①，⊙O的半径为4，弦AB＝4，则点O到AB的距离是．问题探究：（2）如图②，⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，AB＝6，求△ABC面积的最大值．问题解决：（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为60m，等边△ABP的边AB是⊙O的弦，顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD．现准备在△PAB和△PCD 区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积S△PAB +S△PCD的最小值）15．（2024•碑林区校级一模）问题探究（1）寒假期间，乐乐同学参观爸爸的工厂，看到半径分别为2和3的两个圆形零件⊙A、⊙B按如图1所示的方式放置，点A到直线m的距离AC＝4，点B到直线m的距离BD＝6，CD＝5，M是⊙A上一点，N是⊙B上一点，在直线m上找一点P，使得PM+PN最小．请你在直线m上画出点P的位置，并直接写出PM+PN的最小值．问题解决（2）如图2，乐乐爸爸的工厂欲规划一块花园，如图所示的矩形ABCD，其中米，BC＝30米，点E、F为花园的两个入口，米，DF＝10米．若在△BCD区域内设计一个亭子G（亭子大小忽略不计），满足∠BDG＝∠GBC，从入口到亭子铺设两条景观路．已知铺设小路EG所用的景观石材每米的造价是400元，铺设小路FG所用的景观石材每米的造价是200元，你能否帮乐乐同学分析一下，是否存在点G，使铺设小路EG和FG的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子G到边AB的距离；若不存在，请说明理由．16．（2024•雁塔区校级一模）问题发现（1）在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则△ABC面积的最大值为；（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝8，求BC+CD的值．问题解决（3）有一个直径为60cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值及此时OA的长；若不存在，请说明理由．17．（2024•东莞市校级一模）如图①，点C，D在线段AB上，点C在点D的左侧，若线段AC，CD，DB 满足AC2+BD2＝CD2，称C，D是线段AB的勾股点．（1）如图②，C，D是线段AB的勾股点，分别以线段AC，CD，DB为边向AB的同侧作正△ACE，正△CDF，正△DBG，已知正△ACE、正△CDF的面积分别是3，5，则正△DBG的面积是；（2）如图①，AB＝12，C，D是线段AB的勾股点，当AC＝AB时，求CD的长；（3）如图③，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．18．（2023•西湖区模拟）如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上，且BD＝BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求线段CD的长度；（2）在（1）的条件下，当DF＝a时，求线段BD的长度；（答案用含a的代数式表示）（3）若AB＝3AE，且CD＝12，求△BCD的面积．19．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．小明决定研究一下圆，如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，延长AB至点D，连接AC、BC、CD，且∠CAB＝∠BCD，过点C 作CE⊥AD于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OB＝BD，求证：点E是OB的中点；（3）在（2）的条件下，若点F是⊙O上一点（不与A、B、C重合），求的值．。

备战中考数学与圆的综合有关的压轴题含答案解析

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)63 8.【解析】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= 12 PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

（2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，∵AM＝BM∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9，当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝2∴点Q的坐标为（2，9）（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）∴M1M2＝92－3＝32， Q1Q2＝6－4＝2线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1其面积为：12×(32＋2)×4.5＝638.【解析】【分析】根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接解答此题.【详解】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

中考数学压轴题-圆的压轴题含解析

圆的压轴题（1）1、如图，BF 为⊙O 的直径，直线AC 交⊙O 于A ，B 两点，点D 在⊙O 上，BD 平分∠OBC ，DE ⊥AC 于点E 。

（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若 BF=10，sin ∠BDE=，求DE 的长。

2、如图，AN 是M ⊙的直径，NB x ∥轴，AB 交M ⊙于点C .(1)若点()0,6A ，()0,2N ，30ABN =∠°，求点B 的坐标；(2)若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是M ⊙的切线.x y C D M O B NA3、如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．4、已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．5、如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．6、如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．7、如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．（1）求证：∠FEB=∠ECF；（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．8、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积．9、如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求AE的长．10、如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．11、如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．（1）利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）．（2）求PA+PB的最小值．12、如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA•PB；（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．13、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．（1）求证：四边形ACBP是菱形；（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．14、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF ∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．（1）求证：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．15、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．16、已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2=MD•MN．参考答案1、【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵BD平分∠OBC，∴∠OBD=∠DBE，∴∠ODB=∠DBE，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；（2）如图，连接DF，∵BF是⊙O的直径，∴∠FDB=90°，∴∠F+∠OBD=90°，∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，∴∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，=sinF=sin∠BDE=，∴BD=10×=2，∴在Rt△BDE中，sin∠BDE==，∴BE=2×=2，∴在Rt△BDE中，DE===4。

2024年中考数学高频压轴题训练——圆的综合题含参考答案

2024年中考数学高频压轴题训练——圆的综合题1．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 分别与,BC AC 交于点,D E ，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ．（1）求证：直线DF 是O 的切线；（2）求证：24BC CF AC =⋅；（3）若O 的半径为4，15CDF ∠=︒，求阴影部分的面积．2．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，CD 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥DC ，连接AC ，BC.（1）求证：AC 是∠DAB 的角平分线；（2）若AD ＝2，AB ＝3，求AC 的长.3．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，DE AC ⊥交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若364AC tanE ==，，求AF 的长．4．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ，（1）求证：△CDE 是等腰三角形；（2）若AB=4，)21AE =，求证：△OBC ≌△DCE ．5．已知锐角△ABC 内接于圆O ，D 为弧AC 上一点，分别连接AD 、BD 、CD ，且∠ACB ＝90°﹣12∠BAD ．（1）如图1，求证：AB ＝AD ；（2）如图2，在CD 延长线上取点E ，连接AE ，使AE ＝AD ，过E 作EF 垂直BD 的延长线于点F ，过C 作CG ⊥EC 交EF 延长线于点G ，设圆O 半径为r ，求证：EG ＝2r ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG ，若AC ＝BC ，DE ＝4CD ，当△ACD 的面积为10时，求DG 的长度．6．如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，点E 在O 外，连接CE ，ACB ∠的平分线交O 于点D .（1）若BCE BAC ∠=∠，求证：CE 是O 的切线；（2）若4AD =，3BC =，求弦AC 的长.7．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90o ，以BC 为直径的半圆⊙O 交AC 于点D ，点E 是AB 的中点，连接DE 并延长，交CB 延长线于点F ．（1）判断直线DF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若CF ＝8，DF ＝4，求⊙O 的半径和AC 的长．8．在平面直角坐标系xOy 中，当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等时，则称点P 为图形W 的“梦之点”.（1）已知⊙O 的半径为1.①在点E （1，1），F （22，－22），M(－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为；②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线y =k x （k≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围.（2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11A x y ，，()22B x y ，，且122x x -=，求二次函数图象的顶点坐标.9．如图，点A 是⊙O 直径BD 延长线上的一点，AC 是⊙O 的切线，C 为切点.AD ＝CD ，（1）求证：AC ＝BC ；（2）若⊙O 的半径为1，求△ABC 的面积.10．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，BO 为△ABC 的角平分线，以点O 为圆心，OC 为半径作⊙O 与线段AC 交于点D.（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）若tanA ＝34，AD ＝2，求BO 的长.11．如图①，A 是O 外一点，AB 与O 相切于点B ，AO 的延长线交O 于点C ，过点B 作//BD AC ，交O 于点D ，连接DO ，并延长DO 交O 于点E ，连接AE .已知2BD =，O 的半径为3.（1）求证：AE 是O 的切线；（2）求AE 的长；（3）如图②，若点M 是O 上一点，且3BM =，过A 作//AN BM ，交弧ME 于点N ，连接ME ，交AN 于点G ，连接OG ，则OG 的长度是.12．我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂足三角形．（1）如图1，△ABC 中，AB ＝AC ＝8，BC ＝6，△DEF 是△ABC 的垂足三角形，求DE 的长．（2）如图2，圆内接三角形ABC 中，AB ＝AC ＝x ，BC ＝6，△ABC 的垂足三角形DEF 的周长为y ．①求y 与x 的关系式；②若△DEF 的周长为19225时，求⊙O 的半径．13．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，D 为圆上一点，且B ，D 两点位于AC 异侧，连接BD ，交AC 于E ，点F 为BD 延长线上一点，连接AF ，使得∠DAF ＝∠ABD.（1）求证：AF 为⊙O 的切线；（2）当点D 为EF 的中点时，求证：AD 2＝AO•AE ；（3）在（2）的条件下，若sin ∠BAC ＝13，AF ＝2，求BF 的长.14．如图，△ABC 内接于⊙O ，直径BD 交AC 于E ，过O 作FG ⊥AB ，交AC 于F ，交AB 于H ，交⊙O 于G ．（1）求证：OF•DE=2OE•OH ；（2）若⊙O 的半径为12，且OE ：OF ：OD=2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）15．如图，点P 是圆O 直径CA 延长线上的一点，PB 切圆O 于点B ，点D 是圆上的一点，连接AB ，AD ，BD ，CD ，∠P=30°．（1）求证：PB=BC ；（2）若AD=6，tan∠DCA=34，求BD的长．16．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，BE⊥AC于点E，点O是线段AC上的一点，以AO为半径作圆O 交线段AC于点G，设AO=m．（1）直接写出AE的长：AE=；（2）取BC中点P，连接PE O与△BPE一边所在的直线相切时，求出m的长；（3）设圆O交BE于点F，连接AF并延长交BC于点H．①连接GH，当BF=BH时，求△BFH的面积；②连接DG，当tan∠HFB=3时，直接写出DG的长，DG．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O 经过点B.（1）求⊙O的半径；（2）点P为 AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在(2)的条件下，连接PC ，求tan ∠PCA 的值.18．О 直径12AB cm AM =，和BN 是О 的切线，DC 切О 于点E 且交AM 于点D ，交BN 于点C ，设AD x BC y ==，．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）x y ，是关于t 的一元二次方程22300t t m -+=的两个根，求x y ，的值；（3）在（2）的条件下，求COD ∆的面积．19．（1）问题发现：如图1，ABC 内接于半径为4的O ，若60C ∠=︒，则AB =；（2）问题探究：如图2，四边形ABCD 内接于半径为6的O ，若120B ∠=︒，求四边形ABCD 的面积最大值；（3）解决问题：如图3，一块空地由三条直路（线段AD 、AB 、BC ）和一条弧形道路CD 围成，点M 是AB 道路上的一个地铁站口，已知AD BM =1=千米，2AM BC ==千米，60A B ∠=∠=︒，CD 的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M 处，另外三个入口分别在点C 、D 、P 处，其中点P 在CD 上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM 、MC 、CP 、PD ，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP 的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，给定圆C 和点P ，若过点P 最多可以作出k 条不同的直线，且这些直线被圆C 所截得的线段长度为正整数，则称点P 关于圆C 的特征值为.k 已知圆O 的半径为2，（1）若点M 的坐标为()11，，则经过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为，点M 关于圆O 的特征值为；（2）直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，若线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，求b 的取值范围；（3）点T 是x 轴正半轴上一点，圆T 的半径为1，点R ，S 分别在圆O 与圆T 上，点R 关于圆T 的特征值记为r ，点S 关于圆O 的特征值记为.s 当点T 在x 轴正轴上运动时，若存在点R ，S ，使得3r s +=，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．21．如图，AB 是⊙O 的直径，DO ⊥AB 于点O ，连接DA 交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线交DO 于点E ，连接BC 交DO 于点F ．（1）求证：CE=EF ；（2）连接AF 并延长，交⊙O 于点G ．填空：①当∠D 的度数为时，四边形ECFG 为菱形；②当∠D 的度数为时，四边形ECOG 为正方形．22．如图，四边形ABCD 内接于O ，O 的半径为4，90ADC AB BC ∠=︒=，，对角线AC 、BD 相交于点P.过点P 分别作PE AD ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F.（1）求证：四边形DEPF 为正方形；（2）若 2AD CD =，求正方形DEPF 的边长；（3）设PC的长为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出y的最大值.答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图所示，连接OD ，∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠，而OB OD =，∴ODB ABC C ∠=∠=∠，∵DF AC ⊥，∴90CDF C ∠+∠=︒，∴90CDF ODB ∠+∠=︒，∴90ODF ∠=︒，∴直线DF 是O 的切线（2）证明：连接AD ，则AD BC ⊥，则AB AC =，则12DB DC BC ==，∵90CDF C ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，∴CDF DCA ∠=∠，而90DFC ADC ∠=∠=︒，∴CFD CDA ∽，∴2CD CF AC =⋅，即24BC CF AC=⋅（3）解：连接OE ，∵15,75CDF C ∠=︒∠=︒，∴30OAE OEA ∠=︒=∠，∴120AOE ∠=︒，11sin 2cos sin 422OAE S AE OE OEA OE OEA OE OEA =⨯∠=⨯⨯∠⨯∠= ，21201643603OAE S OAE S S ππ︒︒=-=⨯-- 阴影部分扇形2．【答案】（1）证明：连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠ACO＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC是∠DAB的角平分线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠BAC，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴AD ACAC AB，∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，∴AC＝3．【答案】（1）证明：如下图，连接OD，∵AB AC =，OB OD =，∴B C ∠=∠，B ODB ∠=∠，∴ODB C ∠=∠，∴//OD AC ，∴ODE CFD ∠∠=，又∵DE AC ⊥，∴90CFD ∠= ，∴90ODE ∠= ，∴DE 是O 的切线．（2）解：∵AC=6，∴11322OD OB AB AC ====，在Rt ODE 中，34OD tanE ED ==，∴4ED =，5OE ==，∴532AE OE OB =-=-=，又∵90AEF OED AFE ODE ∠∠∠∠=== ，，∴AFE ODE ~ ，∴AE AF OE OD =，即2=53AF ，∴65AF =．4．【答案】（1）证明：∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，又∠ABC=30°，∴∠BAC=60°，又∵OA=OC ，∴△AOC 是正三角形，又∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°﹣60°﹣90°=30°，又∵ED ⊥AB 于F ，∴∠DEC=90°﹣∠BAC=30°，∴∠DCE=∠DEC ，故△CDE 为等腰三角形（2）证明：在Rt △ABC 中，∵AB=4，AC=AO=2，∴BC ==，而)212CE =+-=，∴BC=CE ，又∵∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，∴△OBC ≌△DCE （ASA ）5．【答案】（1）证明：如图1中，∵∠ADB ＝∠ACB ，∠ACB ＝90°﹣12∠BAD ，∴∠ADB ＝90°﹣12BAD ，∵∠ABD ＝180°﹣∠BAD ﹣（90°﹣12∠BAD ）＝90°﹣12∠BAD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD （2）证明：如图2中，连接BE 交AC 于L ，连接AO ，延长AO 交BD 于J ，交BE 于T ，连接CO ，延长CO 交⊙O 于K ，连接BK ．∵AE ＝AD ，∴∠ADE ＝∠AED ，∵∠ADE+∠ADC ＝180°，∠ADC+∠ABC ＝180°，∴∠ADE ＝∠ABC ＝∠AED ，∵AB ＝AD ，∴ AB AD ，∴∠ACB ＝∠ACE ，AJ ⊥BD ，∵AC ＝AC ，∴△ACB ≌△ACE （AAS ），∴CB ＝CE ，∵AB ＝AE ，∴AC ⊥BE ，∴∠ALB ＝∠AJB ＝90°，∵∠ATL ＝∠BTJ ，∴∠TAL ＝∠TBJ ，∵AB ＝AD ＝AE ，∴∠BED ＝12∠BAD ＝∠BAJ ，∵∠EDF ＝∠DBE+∠DEB ，∴∠EDF ＝∠BAC ，∵∠K ＝∠BAC ，∴∠K ＝∠EDF ，∵CG ⊥CE ．EG ⊥BF ，∴∠DFE ＝∠GCG ＝90°，∵∠DEF+∠EDF ＝90°，∠DEF+∠G ＝90°，∴∠G ＝∠EDF ＝∠K ，∵∠CBK ＝∠GCE ＝90°，∴△CBK ≌△ECG （AAS ），∴EG ＝CK ＝2r（3）解：如图3中，在图2的基础上作AH ⊥DE 于H ．∵DE ＝4CD ，∴可以假设CD ＝k ，DE ＝4k ，则CE ＝CB ＝CA ＝5k ，∵AE ＝AD ，AH ⊥DE ，∴DH ＝EH ＝2k ，CH ＝CD+DH ＝3k ，∴AH ＝4k =，AD ＝=∵S △ACD ＝12•CD•AH ＝12•k•4k ＝10，∴k ＝（负根舍弃），∴CD ＝，AC ＝BC ＝EC ＝5，AD ＝AB ＝10，设CK 交AB 于J ，OA ＝OC ＝r ，则BJ ＝AJ ＝5，CJ ＝10==在Rt △AOJ 中，则有r 2＝52+（10﹣r ）2，解得r ＝254，∴EG ＝2r ＝252，∴CG ＝552==∴DG ＝2=6．【答案】（1）证明：连接OC ，∵AB 是O 的直径，∴∠ACB=90︒，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∵∠BCE=∠BAC ，∴∠BCE=∠BAC=∠OCA ，∵∠OCA+∠OCB=90︒，∴∠BCE +∠OCB=90︒，∴∠OCE=90︒，∴CE 是⊙O 的切线；（2）解：连接DB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90︒，∵CD 平分∠ACB ，∴ AD DB=，∴AD DB =，∴△ADB 为等腰直角三角形，∴AB ==，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90︒，∴AC ==．7．【答案】（1）解：相切证明：连接OD ，OE∵点E 是AB 中点，点O 是BC 中点∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ∥AC∴∠1＝∠4，∠2＝∠3∵OC ＝OD ，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2∵OB ＝OD ，OE ＝OE ，∴△OBE ≌△ODE∴∠ODE ＝∠OBE ＝90o∴OD ⊥DE ，∴直线DF 与⊙O 相切.（2）解：设⊙O 半径为x ，则OD ＝x ，OF ＝8－x在Rt △FOD 中，222OD FD OF +=，∴2224(8)x x +=-，∴x ＝3∴⊙O 半径为3∵∠FBE ＝∠FDO ＝90°，∠F ＝∠F ，∴△FBE ∽△FDO ，∴BF BE DF OD =，∵BF ＝FC －BC ＝2，OD ＝3，DF ＝4，∴BE ＝32，∵点E 是AB 中点，∴AB ＝2BE ＝3在Rt △ABC 中，AC ＝＝8．【答案】（1）F 解：∵⊙O 的半径为1.∴⊙O 的“梦之点”坐标为2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和2222⎛ ⎝⎭，.又∵双曲线k y x=（k≠0）与直线y=x 的交点均为圆的“梦之点”，∴将2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线表达式中，得，1=2k xy =，∵点P 位于⊙O 内部.∴102k <<（2）解：－1≤t≤3（3）解：由“梦之点”定义可得：()11A x x ，，()22B x x ，.则21x ax ax =-+.整理得，()2110ax a x -++=，解得，11x =，21x a=.把两个根代入122x x -=中，即112a -=，解得，11a =-，213a =.当1a =-时，21y x x =-++，其顶点坐标为1524⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当13a =时，211133y x x =-+，其顶点坐标为111.212⎛⎫ ⎪⎝⎭，9．【答案】（1）证明：连接OC ，∵AC 为切线，C 为切点，∴∠ACO ＝90°，即∠DCO+∠2＝90°，又∵BD 是直径，∴∠BCD ＝90°，即∠DCO+∠1＝90°，∴∠1＝∠2，∵AD ＝CD ，OB ＝OC ，∴∠A ＝∠2，∠B ＝∠1，∴∠A ＝∠B ，∴AC ＝BC ；（2）解：由题意可得△DCO 是等腰三角形，∵∠CDO ＝∠A+∠2，∠DOC ＝∠B+∠1，∴∠CDO ＝∠DOC ，即△DCO 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠1＝∠2＝30°，CD ＝AD ＝1，∴BC ＝＝＝，在Rt △BCD 中，作CE ⊥AB 于点E ，在Rt △BEC 中，∠B ＝30°，∴CE ＝1BC 2=，BE ＝32，∴S △ABC ＝1AB CE 2⋅＝1324⨯=.10．【答案】（1）证明：过O 作OH ⊥AB 于H ，∵∠ACB ＝90°，∴OC ⊥BC ，∵BO 为△ABC 的角平分线，OH ⊥AB ，∴OH ＝OC ，即OH 为⊙O 的半径，∵OH ⊥AB ，∴AB 为⊙O 的切线；（2）解：设⊙O 的半径为3x ，则OH ＝OD ＝OC ＝3x ，在Rt △AOH 中，∵tanA ＝34，∴OH AH ＝34，∴3x AH ＝34，∴AH ＝4x ，∴AO ＝22OH AH +＝22(3)(4)x x +＝5x ，∵AD ＝2，∴AO ＝OD+AD ＝3x+2，∴3x+2＝5x ，∴x ＝1，∴OA ＝3x+2＝5，OH ＝OD ＝OC ＝3x ＝3，∴AC ＝OA+OC ＝5+3＝8，在Rt △ABC 中，∵tanA ＝BC AC ，∴BC ＝AC•tanA ＝8×34＝6，∴OB ＝22OC BC +＝2236+＝35.11．【答案】（1）证明：连接OB∵AB 与O 相切于点B ，∴OB AB ⊥，∴90OBA ∠=︒∵//BD AC ，∴AOE D ∠=∠，AOB OBD ∠=∠∵OB OD =，∴D OBD ∠=∠，∴AOE AOB ∠=∠，∵OE OB =，OA OA =，∴()SAS AOE AOB ≌∴90OEA OBA ∠=∠=︒∴OE AE⊥又∵点E 在圆上，∴AE 是O 的切线.（2）解：过点O 作OH BD ⊥交BD 于点H .∵OH BD ⊥，O 为圆心，∴112DH BD ==，90OHD ∠=︒在Rt OHD 中，OH ==∵OHD AEO ∠=∠，D AOE ∠=∠，∴AOE ODH∽∴AE OH OE DH=∴2231OH OE AE DH ⨯===（3）12．【答案】（1）解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴D 是BC 的中点，又∠BEC 是直角，∴DE ＝12BC ＝3．（2）解：①如图，连接CE ，同理（1）可得DE ＝BD ＝DF ＝3，∴∠B ＝∠BED ＝∠ACB ，∴△BDE ∽△BAC ，∴36BE x =，∴BE ＝18x ，∴AE ＝x ﹣18x ，同理可得：AF ＝x ﹣18x，∴AE ＝AF ，∵AB ＝AC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF AE BC AB =，∴EF ＝6﹣2108x ，∴y ＝12﹣2108x ；②当y ＝19225时，x ＝5，如图，连接AD ，∵AB ＝AC ，∴△ABC 的外心O 在线段AD 上，连接BO ，设⊙O 的半径为r ，则32+（4﹣r ）2＝r 2，∴r ＝258，即⊙O 的半径为258．13．【答案】（1）证明：连接CD .AC 是直径，90ADC ∴∠=︒，90DAC ACD ∴∠+∠=︒，ABD ACD ∠=∠ ，DAF ABC ∠=∠，DAF ACD ∴∠=∠，90DAF DAC ∴∠+∠=︒，90FAC ∴∠=︒，AF ∴为O 的切线（2）证明：90FAE ∠=︒ ，DF DE =，AD DE DF ∴==，DAE AED ∴∠=∠，OA OD = ，DAO ADO ∴∠=∠，ADO AED ∴∠=∠，OAD DAE ∠=∠ ，ADO AED ∴ ∽，∴AD AO AE AD=，2AD AO AE∴=⋅（3）解：如图，过点B 作BJ EC ⊥于J .AC 是直径，90ABC ∴∠=︒，1sin 3BC BAC AC ∴∠==，∴可以假设BC a =，3AC a =，BJ AC ⊥ ，90AJB ∴∠=︒，90BAC ABJ ∴∠+∠=︒，90ABJ CBJ ∠+∠=︒，CBJ BAC ∴∠=∠，1sin sin 3CJ CBJ BAC BC ∴∠=∠==，13CJ a ∴=，223BJ ∴==，DA DE = ，DAE AED CEB ∴∠=∠=∠，DAE CBE ∠=∠ ，CEB CBE ∴∠=∠，CE CB a ∴==，1233EJ EC CJ a a a ∴=-=-=，2AE AC EC a =-=，//AF BJ ，∴AF AE BJ EJ=，∴222233a a =，a ∴=，AE ∴=，3EJ =，3BJ =，6EF ∴==，2BE ==，628BF EF BE ∴=+=+=14．【答案】（1）证明：∵BD 是直径，∴∠DAB=90°．∵FG ⊥AB ，∴DA ∥FO ．∴△FOE ∽△ADE ．∴FO OE AD DE=，即OF•DE=OE•AD ∵O 是BD 的中点，DA ∥OH ，∴AD=2OH∴OF•DE=OE•2OH（2）解：∵⊙O 的半径为12，且OE ：OF ：OD=2：3：6，∴OE=4，ED=8，OF=6代入（1）中OF•DE=OE•AD ，得AD=12．∴OH=12AD=6．在Rt △OHB 中，OB=2OH ，∴∠OBH=30°，∴∠BOH=60°．∴BH=BO•sin60°=122⨯=2OHB GOB 60121=S S =6183602S ππ⨯⨯∴--⨯⨯- 阴影扇形15．【答案】（1）证明：连接OB ，∵PB 是圆O 的切线∴∠OBP=90°∵∠BOP=90°-∠P=90°-30°=60°∵OC=OB∴∠OBC=∠OCB∵∠POB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB=60°∴∠OCB=30°=∠P∴PB=BC（2）解：过点A作AE⊥BD于点E ，∴∠AED=∠AEB=90°，∵AC是直径，∴∠ADC=90°在Rt△ADC中，tan∠DCA=634ADDC DC==，解之DC=8∴10 =在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴AB=1110522AC=⨯=在Rt△ADE中，∠ADE=∠ACB=30°∴DE=6×cos30°=AEB=∠ADC，∠ABE=∠ACD∴△ABE∽△CAD∴AB BEAC DC=，即5108BE=解之：BE=4∴DB=DE+BE=16．【答案】（1）AE=18 5（2）解：当圆O与△BPE的BE边相切时，点E和点G重合，则AE⊥BE∴AE是圆O的直径∴m=111892255AE=⨯=；当圆O与△BPE的BP边相切时，切点为F，连接OF∴∠OFC=∠BEC=90°∵∠OCF=∠BCE∴△OFC∽△BCE∴OF OC BE BC=在Rt△ABC中，BE⊥AC∴AB·BC=AC·BE即6×8=10BE解之：BE=245∴102485m m-=解之：m=154;当圆O与△BPE的PE边相切时，交PE的延长线于点F，切点为F，连接OF∴∠OFE=∠BEC=90°∵∠OEF=∠CEP∵点P是Rt△BEC斜边上的中线∴CP=PE∴∠ECP=∠CEP∴∠OEF=∠ECP∴△OFC∽△CBE∴OF OEBE BC=∵圆O的半径为m∴OE=185-m，OF=m∴1852485mm-=解之：m=2720;答：当圆O与△BPE一边所在的直线相切时，95m=，154m=，2720m=（3）过点F作FM⊥AB，过点F作FN⊥BC于点N易证四边形BMFN是矩形∴FN=BM，∵BH=BF∴∠1=∠2,∵∠1=∠5，∠5+∠3=90°，∠2+∠4=90°∴∠3=∠4∴AF平分∠CAB，FE⊥AC，FM⊥AB∴EF=FM在Rt△AEF和Rt△AMF中A=AA=A∴Rt△AEF≌Rt△AMF（HL）∴AE=AM=3.6∴BM=AB-AM=6-3.6=2.4即FN=2.4，∵FM∥BH∴△AFM∽△ABH∴MF AMBH AB=∴3.6365MFBH==，设MF=3x，则BH=BF=5x，在Rt△BMF 中，4x=4x=2.4解之：x=0.6∴BH=5×0.6=3∴S△BFH=11121832255BH FN⋅=⨯⨯=；；1255 17．【答案】（1）解：连接OB，如图，∵OA=OB，∴∠ABO=∠A=30°，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴∠OBC=30°，在Rt△OBC中，cosBC OBCOB∠=，即1 cos30OB︒=，解得233 OB=，即⊙O 的半径为23 3（2）解：连接OP，设AB与QP交于点M，∵点P为 AB的中点，∴OP⊥AB，∴∠QPO+∠PMB=90°，∵PQ⊥AC，∴∠A+∠AMQ=90°，又∵∠AMQ=∠PMB，∴∠QPO=∠A=30°，在Rt△OPQ中，sinOQ QPOOP∠=，即sin30233︒=，∴2313323 OQ==（3）解：在Rt△OBC中，∵3OB =，∠OBC=30°，∠ACB=90°∴3sin 30°=3OC OB =⨯，∴233CQ CO OQ =+=，∴tan 2PQ PCA CQ ∠==18．【答案】（1）解：如图，作DF BN ⊥交BC 于F ；AM BN 、与O 切于点A B、AB AM AB BN ∴⊥⊥，．又DF BN ⊥ ，∴BAD ABC BFD ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABFD 是矩形，12BF AD x DF AB ∴====，，BC y = ，FC BC BF y x ∴=-=-；DE 切O 于E ，DE DA x CE CB y ∴====，，则DC DE CE x y =+=+，在Rt DFC ∆中，222CD FC DF =+，即222()()12x y y x +=-+，整理为：36y x =，y ∴与x 的函数关系式是36y x=．（2）解：由（1）知36xy =，∵x y ，是方程22300t t m -+=的两个根，∴根据韦达定理知，2m xy =，即72m =；∴原方程为215360t t -+=，解得：12123t t ==，．即=3=12或123x y =⎧⎨=⎩．（3）解：如图，连接OD OE OC ，，，AD BC CD ，，是O 的切线，OE CD AD DE BC CE ∴⊥==，，，AOD ODE OBC COE S S S S ∆∆∆∆∴==，，111==(312)1245222COD COE ODE ABCD S S S S ∆∆∆∴=+⨯⨯+⨯=梯形19．【答案】（1）（2）解：∵∠ABC=120︒,四边形ABCD 内接于O ，∴∠ADC=60︒，∵O 的半径为6，∴由（1）得AC=,如图，连接AC ，作DH ⊥AC,BM ⊥AC,∴四边形ABCD 的面积=111()222AC DH AC BM AC DH BM ⋅⋅+⋅⋅=⋅+,当DH+BM 最大时，四边形ABCD 的面积最大，连接BD ，则BD 是O 的直径，∴BD=2OA=12，BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 的面积=111222AC BD ⋅⋅=⨯=.∴四边形ABCD 的面积最大值是（3）解：存在；∵AD BM =1=千米，2AM BC ==千米，60A B ∠=∠=︒，∴△ADM ≌△BMC,∴DM=MC,∠AMD=∠BCM,∵∠BCM+∠BMC=180︒-∠B=120︒，∴∠AMD+∠BMC=120︒，∴∠DMC=60︒，∴△CDM 是等边三角形，∴C 、D 、M 三点共圆，∵点P 在弧CD 上,∴C 、D 、M 、P 四点共圆，∴∠DPC=180︒-∠DMC=120︒，∵CD 弧的半径为1千米，∠DMC=60︒，∴CD=,∵2()0PD PC -≥,∴2()4PD PC PD PC +≥⋅,∴PD PC +≥,∴当PD=PC 时，PD+PC 最大，此时点P 在弧CD 的中点，交DC 于H ,在Rt △DPH 中，∠DHP=90︒,∠DPH=60︒，DH=12DC=32,∴1sin 60DH DP == ，∴四边形DMCP的周长最大值=DM+CM+DP+CP=2+.20．【答案】（1）；3的特征值为4的点，（2）解：设点G是O∴经过一点G且弦长为4(最长弦)的直线有1条，弦长为3的直线有2条，弦长为2的直线有且只有1条，经过点G的直线被O截得的弦长的最小值为2，=，∴关于O的特征值为4的所有点都在以O为半径的圆周上，=+分别与x，y轴交于点A、B，直线y x b()0，，B b∴-，，()A b∴==，OA OB bOBH∴∠=︒，45b>时，线段AB与以O为半径的圆相切时，点G特征值为4，当0设切点为为H，连接OH，则OH=，∴==OB，∴=b，设以O为半径的圆与y轴正半轴的交点记为1B，OB=，则1当线段AB 与以O 1B 时，可得b =，b ≤≤同理可求当0b <时，b ≤≤，综上，b b b ≤≤-≤（3）当372122t -≤≤+时，存在点R ，S ，使得3r s +=21．【答案】（1）证明：连接OC ，如图，.∵CE 为切线，∴OC ⊥CE ，∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°∵DO ⊥AB ，∴∠3+∠B=90°，而∠2=∠3，∴∠2+∠B=90°，而OB=OC ，∴∠4=∠B ，∴∠1=∠2，∴CE=FE（2）30°；22.5°22．【答案】（1）证明：∵PE AD ⊥，PF DC ⊥，∴90PED PFD ∠∠==︒，∴90ADC PED PFD ∠∠∠===︒，∴四边形DEPF 是矩形，∵90ADC ∠=︒，∴AC 是圆O 的直径，∴90ABC ∠=︒，∵AB BC =，∴45ACB BCA ∠=∠=︒， AB BC=，∴45ADB CDB ∠=∠=︒，∴45DPE ADB ∠∠==︒，∴PE DE =.∴四边形CEPF 是正方形；（2）解：∵ 2AD CD=，AC 是圆O 的直径，∴ AD 的度数为120︒， AD 的度数为60︒，∴30DAC ∠=︒，60DCA ∠=︒，∴12PE sin DAC AP ∠==，3602PF sin DCA sin PC ∠=︒==，∴2AP PE =，233PC PF =，∵2428AC AP PC r =+==⨯=，正方形DEPF 中，PE PF =，∴23283PF PF +=，∴2PF =.（3）解：在ED 上取点G ，使EG CF =，连接PG ，由（1）得：PE PF =，90GEP PFC ∠∠==︒，∴GPE CPF ≌，∴PG PC x ==，GPE FPC ∠∠=，CEP PFC S S = ，∴阴影部分的面积等于APG ABC S S + ，∵90EPF ∠=︒，∴90APE CPF ∠∠+=︒，∴90GPE APE ∠∠+=︒，即90APG ∠=︒，∵8AC =，∴8AP x =-，∴()11822APG S AP PG x x =⋅=- ，∵ABC 是等腰直角三角形，8AC =，∴AB BC ==，∴2111622ABC S AB ==⨯= ，即阴影部分的面积()()21181642422y x x x =-+=--+，∴当4x =时，y 有最大值，最大值为24.。

2024数学中考压轴题-圆(九大题型和解题方法)

专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。

目录：题型1：圆与三角形综合题型2：圆与四边形综合题型3：圆有关的动态问题题型4：圆与坐标系或函数题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题题型6：最值问题题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆题型8：定值问题题型9：在圆综合中求解三角函数值题型1：圆与三角形综合1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知，AD 、BC 为O 两条弦，AD BC ⊥于点E ，连接OE ，AE CE =．(1)如图1，连接OE ，求AEO ∠的度数；(2)如图2，连接AC ，延长EO 交AC 于点N ，点F 为AC 上一点，连接EF ，在EF 上方作等腰直角三角形EFG ，且90EGF ∠=︒，连接NG ，求证：NG BC ∥；(3)在（2）的条件下，连接AB ，CD ，当点G 落在线段AB 上时，过点O 做OL OE ⊥，交CD 于点L ，交CE于点T ，若2OE EG CL ==，求O 半径的长．2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：AB 为O 的直径，点C 为 AB 上一点，连接AC ，点D 为 BC上一点，连接AD ，过点D 作AB 的垂线，垂足为点F ，交O 于点E ，连接CE ，分别交AD 和AB 于点H 和点K ，且90AHE =︒∠．(1)如图1，求证：CAD BAD ∠=∠；(2)如图2，连接HF ，过点H 作HF 的垂线交AB 于点T ，求证：2AB FT =；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC 交AD 于点G ，延长CD 交AB 的延长线于点M ，若CM AG =，5FT =，求CG 的长．3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在O 中，直径AB 垂直弦CD 于点G ，连接AD ，过点C 作CF AD ⊥于F ，交AB 于点H ，交O 于点E ，连接DE ．(1)如图1，求证：2E C ∠=∠；(2)如图2，求证：DE CH =；(3)如图3，连接BE ，分别交AD CD 、于点M N 、，当2OH OG =，HF =EN 的长．4．（2024·浙江·模拟预测）如图1，ABC 内接于O ，作AD BC ⊥于点D ．(1)连结AO ，BO ．求证：2180AOB DAC ∠+∠=︒；(2)如图2，若点E 为弧AC 上一点，连结BE 交AD 于点F ，若2BAD CAD ∠∠＝，490DBF CAD ∠+∠=︒，连结OF ，求证：OF 平分AFB ∠；(3)在（2）的条件下，如图3，点G 为BC 上一点，连结EG ，2BGE C ∠=∠．若AD =3BD EG +=，求DF 的长．题型2：圆与四边形综合5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，DE AC ⊥于点F 交BC 于点E ．(1)设DBC α∠=，试用含α的代数式表示ADE ∠；(2)如图2，若3BE CE =，求BDDE的值；(3)在（2）的条件下，若,AC BD 交于点G ，设FGx CF=，cos BDE y ∠=．①求y 关于x 的函数表达式．②若BC BD =，求y 的值．6．（2024·广东珠海·一模）如图1，F 为正方形ABCD 边BC 上一点，连接AF ，在AF 上取一点O ，以OA 为半径作圆，恰好使得O 经过点B 且与CD 相切于点E ．(1)若正方形的边长为4时，求O 的半径；(2)如图2，将AF 绕点A 逆时针旋转45︒后，其所在直线与O 交于点G ，与边CD 交于点H ，连接DG BG ，．①求ADG ∠的度数；②求证：··²AB BF AG FG BG +=．题型3：圆有关的动态问题7．（2024·广东·一模）综合探究：如图，已知10AB =，以AB 为直径作半圆O ，半径OA 绕点O 顺时针旋转得到OC ，点A 的对应点为C ，当点C 与点B 重合时停止．连接BC 并延长到点D ，使得CD BC =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AD ，AC ．(1)如图1，当点E 与点O 重合时，判断ABD △的形状，并说明理由；(2)如图2，当1OE =时，求BC 的长；(3)如图3，若点P 是线段AD 上一点，连接PC ，当PC 与半圆O 相切时，判断直线PC 与AD 的位置关系，并说明理由．8．（2024·浙江湖州·一模）如图，在ABCD Y 中，∠B 是锐角，AB =10BC =，在射线BA 上取一点P ，过P 作PE BC ⊥于点E ，过P ，E ，C 三点作O ．(1)当3cos 5B =时，①如图1，若AB 与O 相切于点P ，连结CP ，求CP 的长；②如图2，若O 经过点D ，求O 的半径长．(2)如图3，已知O 与射线BA 交于另一点F ，将BEF △沿EF 所在的直线翻折，点B 的对应点记为B '，且B '恰好同时落在O 和边AD 上，求此时PA 的长．9．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在O 中，AB 是O 的直径，点M 是直径AB 上的一个动点，过点M 的弦CD AB ⊥，交O 于点C 、D ，连接BC ，点F 为BC 的中点，连接DF 并延长，交AB 于点E ，交O 于点G ．图1 图2 备用图(1)如图1，连接CG ，过点G 的直线交DC 的延长线于点P ．当点M 与圆心O 重合时，若PGC MDE ∠=∠，求证：PG 是O 的切线；(2)在点M 运动的过程中，DE kDF =（k 为常数），求k 的值；(3)如图2，连接BG OF MF 、、，当MOF △是等腰三角形时，求BGD ∠的正切值．题型4：圆与坐标系或函数10．（2024·福建龙岩·一模）如图，抛物线234y x x =-++与x 轴分别交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)与y 轴交于点C ．(1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标；(2)如图(1)，P 是抛物线上异于A ，B 的一点，将点B 绕点P 顺时针旋转45︒得到点Q ，若点Q 恰好在直线AP 上，求点P 的坐标；(3)如图(2)，MN 是抛物线上异于B ，C 的两个动点，直线BN 与直线CM 交于点T ，若直线MN 经过定点()1,3，求证：点T 的运动轨迹是一条定直线．11．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy 中，P 、Q 为平面内不重合的两个点，其中1122(,),(,)P x y Q x y ．若：1122x y x y +=+，则称点Q 为点P 的“等和点”．(1)如图1，已知点()21P ，，求点P 在直线1y x =+上“等和点”的坐标；(2)如图2，A 的半径为1，圆心A 坐标为()20，．若点()0P m ，在A 上有且只有一个“等和点”，求m 的值；(3)若函数()22y x x m =-+≤的图像记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图像记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图像上恰有点()0P m ，的两个“等和点”，请直接写出m 的取值范围．12．（2024·江苏宿迁·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知点A 的坐标为(10)-，，点B 的坐标为(30)，．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D 是第一象限内该抛物线上一动点，过点D 作直线l y 轴，直线l 与ABD △的外接圆相交于点E ．①仅用无刻度直尺找出图2中ABD △外接圆的圆心P ．②连接BC 、CE ，BC 与直线DE 的交点记为Q ，如图3，设CQE △的面积为S ，在点D 运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S 的最大值；如果不存在，请说明理由．13．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =--∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =-，②41y x =-，③23y x =-+，④31y x =--中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号）(2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =-+是函数2)304(2y x x x =-++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题14．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．15．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．题型6：最值问题16．（2024·湖南长沙·三模）如图1，,,A B C 为O 上不重合的三点，GC 为O 的切线，1902G A ∠+∠=︒．(1)求证：GB 为O 的切线；(2)若ABC 为等腰三角形，345,tan 4BAC BAC ∠<︒∠=，求BC AG的值；(3)如图2，若AB 为直径，M 为线段AC 上一点且GM GB ⊥，2223880AM OB GB GB +-+-=，02GB <<，求MGBA S 四边形的最大值．17．（2024·重庆·模拟预测）如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒．点D 为ABC 内一点，且60ADB ∠=︒，E 为线段BD 的中点，连接AE ．(1)如图1，若AB AC ==，2AD =，求BE 的长；(2)如图2，连接CD ，若AB AC =，BAE ACD ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥交于F ，求证：AE =；(3)如图3，过点D 作DM AC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ，连接MN ，若AB =4AC =，求MN 的最小值．题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆18．（2024·福建泉州·一模）如图1，在ABCD Y 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，F 是CD 上一点，且DF DE =．(1)求证：BE EF ⊥；(2)如图2，若120A ∠=︒，FG BC ⊥于点G ，H 是BF 的中点，连接DG ，EH ，EG ，且EG 与BF 相交于点K ．①求证：DG EH =；②若2CF DF =，求KFGK的值．题型8：定值问题19．（2024·浙江·模拟预测）如图1，E 点为x 轴正半轴上一点，E 交x 轴于A 、B 两点，P 点为劣弧 BC上一个动点，且(1,0)A -、(1,0)E ．(1) BC的度数为 °；(2)如图2，连结PC ，取PC 中点G ，则OG 的最大值为；(3)如图3，连接AC 、AP 、CP 、CB ．若CQ 平分PCD ∠交PA 于Q 点，求AQ 的长；(4)如图4，连接PA 、PD ，当P 点运动时（不与B 、C 两点重合），求证：PC PDPA+为定值，并求出这个定值．题型9：在圆综合中求解三角函数值20．（2024·湖南长沙·一模）如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，B C =，D 是BC 的中点．经过A ，B ，D 三点的O 交AC 于点E ，连接BE ．(1)求AE 和BE 的长；(2)如图2，两动点P 、Q 分别同时从点A 和点C 出发匀速运动，当点P 运动到点E 时，点Q 恰好运动到点B ，P 、Q 停止运动，连接PQ ．①记AP x =，当PQC △的面积最大时，求x 的值；②如图3，连接BP 并延长交O 于点F ，连接AF 、FE ．当BE 平分FBC ∠时，求sin ABF ∠的值．21．（2024·上海杨浦·一模）已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，连接OF ．(1)如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CDAF的值；(2)如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，连接EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD的值．专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。

中考数学压轴题-圆的压轴题含解析

圆的压轴题（2）1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线．2、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．（1）求证：CE=CB；（2）若AC=2，CE=，求AE的长．3、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC=3，BC=4，求BE的长．4、已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．6、如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若BC=6，sin∠BAC=，求AC和CD的长．7、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E 两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AE=4，cosA=，求DF的长．8、如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DE=1，BC=2，求劣弧的长l．9、如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE ∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．（1）由AB，BD，围成的曲边三角形的面积是；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）求线段DE的长．10、已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的⊙O 与边CD相切于点D．B点在⊙O上，连接OB．（1）求证：DE=OE；（2）若CD∥AB，求证：四边形ABCD是菱形．11、如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．（1）求证：BC是∠ABE的平分线；（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．12、如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA=3．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）若点E是优弧上一点，且∠AEB=60°，求扇形OAB的面积．（计算结果保留π）13、如图，已知C ∆AB 内接于O e ，AB 为O e 的直径，D B ⊥AB ，交C A 的延长线于点D ．（1）E 为D B 的中点，连结C E ，求证：C E 是O e 的切线．（2）若C 3CD A =，求∠A 的大小．14、如图所示，直线DP 和圆O 相切于点C ，交直线AE 的延长线于点P ，过点C 作AE 的垂线，交AE 于点F ，交圆O 于点B ，作平行四边形ABCD ，连接BE ，DO ，CO ．（1）求证：DA=DC ；（2）求∠P 及∠AEB 的大小．15、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．16、如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA=∠ABC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠P=60°，PC=2，求PE的长．17、某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD 所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）参考答案1、【解答】（1）证明：∵E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．（2）连接CD．∵DA平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴=，∴BD=CD，∵BD=DF，∴CD=DB=DF，∴∠BCF=90°，∴BC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．2、【解答】（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠1=∠3．又OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴CE=CB；（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AC=2，CB=CE=，∴AB===5．∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2，∴△ADC∽△ACB，∴==，即==，∴AD=4，DC=2．在直角△DCE中，DE==1，∴AE=AD﹣ED=4﹣1=3．3、【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．在Rt△ADE中，点O为AE的中心，∴DO=AO=EO=AE，∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAO，∴∠ADO=∠CAD，∴AC∥DO．∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．又∵OD为半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，∴AB=5．设OD=r，则BO=5﹣r．∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴=，即=，解得：r=，∴BE=AB﹣AE=5﹣=．4、【解答】解：（1）连接DO，CO，∵BC⊥AB于B，∴∠ABC=90°，在△CDO与△CBO中，，∴△CDO≌△CBO，∴∠CDO=∠CBO=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，∵在△ADF和△BDC中，，∴△ADF∽△BDC，∴=，∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，∴∠E=∠DAB，∵在△ADE和△BDA中，，∴△ADE∽△BDA，∴=，∴=，即=，∵AB=BC，∴=1．5、【解答】（1）证明：连接DE，OD．∵BC相切⊙O于点D，∴∠CDA=∠AED，∵AE为直径，∴∠ADE=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACD=90°，∴∠DAO=∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，∵BC相切⊙O于点D，∴∠ODB=90°，∴OD=BD，∴∠BOD=45°，设BD=x，则OD=OA=x，OB=x，∴BC=AC=x+1，∵AC2+BC2=AB2，∴2（x+1）2=（x+x）2，∴x=，∴BD=OD=，∴图中阴影部分的面积=S△BOD ﹣S扇形DOE=﹣=1﹣．6、【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：∵AB=AC，OB=OC，∴A、O在线段BC的垂直平分线上，∴AO⊥BC，又∵AB=AC，∴AO平分∠BAC；（2）解：延长CD交⊙O于E，连接BE，如图2所示：则CE是⊙O的直径，∴∠EBC=90°，BC⊥BE，∵∠E=∠BAC，∴sinE=sin∠BAC，∴=，∴CE=BC=10，∴BE==8，OA=OE=CE=5，∵AH⊥BC，∴BE∥OA，∴，即=，解得：OD=，∴CD=5+=，∵BE∥OA，即BE∥OH，OC=OE，∴OH是△CEB的中位线，∴OH=BE=4，CH=BC=3，∴AH=5+4=9，在Rt△ACH中，AC===3．7、【解答】（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，又∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠ODB=∠C，∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠ODF=∠DFC=90°，∴DF是⊙O的切线．（2）解：AG=AE=2，∵cosA=，∴OA===5，∴OG==，∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°，∴四边形OGFD为矩形，∴DF=OG=．8、【解答】（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵∠AEC=90°，∴∠OCF=∠AEC=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）连接OD，DC，∵∠DAC=DOC，∠OAC=BOC，∴∠DAC=∠OAC，∵ED=1，DC=2，∴sin∠ECD=，∴∠ECD=30°，∴∠OCD=60°，∵OC=OD，∴△DOC是等边三角形，∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，∴l==π．9、【解答】解：（1）如图，连接OD，∵AB是直径，且AB=10，∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5，∵CD平分∠ACB，∴∠ABD=∠ACD=∠ACB=45°，∴∠AOD=90°，则曲边三角形的面积是S扇形AOD +S△BOD=+×5×5=+，故答案为：+；（2）由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）∵AB=10、AC=6，∴BC==8，过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，∴tan∠EAF=tan∠CBA，∴=，即=，∴，∴DE=DF+EF=+5=．10、【解答】解：（1）如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，∵DE=EC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠COD，∴DE=OE；（2）∵OD=OE，∴OD=DE=OE，∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，∴∠2=∠1=30°，∵OA=OB=OE，OE=DE=EC，∴OA=OB=DE=EC，∵AB∥CD，∴∠4=∠1，∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，∴△ABO≌△CDE，∴AB=CD，∴四边形A∴D是平行四边形，∴∠DAE=∠DOE=30°，∴∠1=∠DAE，∴CD=AD，∴▱ABCD是菱形．11、【解答】（1）证明：∵DE是切线，∴OC⊥DE，∵BE∥CO，∴∠OCB=∠CBE，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠CBE=∠CBO，∴BC平分∠ABE．（2）在Rt△CDO中，∵DC=8，OC=0A=6，∴OD==10，∵OC∥BE，∴=，∴=，∴EC=4.8．12、【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∵AD⊥BC，∴AD∥OB，∴∠DAB=∠OBA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠DAB=∠OAB，∴AB平分∠OAD；（2）解：∵点E是优弧上一点，且∠AEB=60°，∴∠AOB=2∠AEB=120°，∴扇形OAB的面积==3π．13、【解答】证明：（1）连接OCe的直径∵AB为O∴∠ACB=∠DCB=90°∵E为DB的中点∴BE=CE∴∠EBC=∠ECB∵OC=OB∴∠OCB=∠OBC∴∠ECB+∠OCB=∠EBC+∠OBC∵DB⊥AB∴∠OCE=∠OBE=90°∴C E 是O e 的切线．（2）设CD=m,则AC=3m∵△ACB ≌△BCD ∴CDBC CB AC = ∴CD AC BC ⋅=2 ∴m BC 3= ∴33tan =∠A ∴∠A =30°14、【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ， ∵CB ⊥AE ，∴AD ⊥AE ，∴∠DAO=90°，∵DP 与⊙O 相切于点C ，∴DC ⊥OC ，∴∠DCO=90°，在Rt △DAO 和Rt △DCO 中，，∴Rt △DAO ≌△Rt △DCO ，∴DA=DC．（2）∵CB⊥AE，AE是直径，∴CF=FB=BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴CF=AD，∵CF∥DA，∴△PCF∽△PDA，∴==，∴PC=PD，DC=PD，∵DA=DC，∴DA=PD，在Rt△DAP中，∠P=30°，∵DP∥AB，∴∠FAB=∠P=30°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴∠AEB=60°．15、【解答】（1）证明：如图，连接OC．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，∴OD==5，∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．16、【解答】解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCO+∠ACO=90°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO，∵∠PCA=∠ABC，∴∠BCO=∠ACP，∴∠ACP+∠OCA=90°，∴∠OCP=90°，∴PC是⊙O的切线；（2）∵∠P=60°，PC=2，∠PCO=90°，∴OC=2，OP=2PC=4，∴PE=OP﹣OE=OP﹣OC=4．17、【解答】解：（1）在Rt△CDE中，∠CDE=30°，DE=80cm，∴CD=80×cos30°=80×=40（cm）．（2）在Rt△OAC中，∠BAC=30°，AC=165cm，∴OC=AC×tan30°=165×=55（cm），∴OD=OC﹣CD=55﹣40=15（cm），∴AB=AO﹣OB=AO﹣OD=55×2﹣15=95（cm）．。

2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用及参考答案

2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用1．定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”.（1）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3AC =，则BC 边上的伴随圆的半径为.（2）如图②，ABC 中，5AB AC ==，6BC =，直接写出它的所有伴随圆的半径.（3）如图③，ABC 中90ACB ∠=︒，点E 在边AB 上，2AE BE =，D 为AC 的中点，且90CED ∠=︒.①求证：CED 的外接圆是ABC 的AC 边上的伴随圆；②DE CE 的值为▲.2．定义：有两边之比为1的三角形叫做智慧三角形．（1）如图1，在智慧三角形ABC 中，2AB BC AD ==，为BC 边上的中线，求AD AC的值；（2）如图2，ABC 是O 的内接三角形，AC 为直径，过AB 的中点D 作DE OA ⊥，交线段OA 于点F ，交O 于点E ，连结BE 交AC 于点G ．①求证：ABE 是智慧三角形；②如图3，在（2）的条件下，当53AF FG =：：时，则EG EF ＝▲．（直接写出结果）3．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．（1）如图1，点C 是弧BD 的中点，DAB ∠是弧BD 所对的圆周角，AD AB >，连接AC 、DC CB 、，试说明ACB 与ACD 是偏等三角形．（2）如图2，ABC 与DEF 是偏等三角形，其中A D AC DF BC EF ∠=∠==，，，猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角．请填写结论，并说明理由．(以ABC 与DEF 为例说明)；（3）如图3，ABC 内接于63045O AC A C ∠∠==︒=︒ ，，，，若点D 在O 上，且ADC 与ABC 是偏等三角形，AD CD >，求AD 的值．4．如图1，已知ABC 是O 的内接三角形，AB 为直径，38A ∠=︒，D 为 AB 上一点.图1图2（1）当点D 为 AB 的中点时，连接DB ，DC ，求ABC ∠和ABD ∠的大小；（2）如图2，过点D 作O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，且DP AC ，连接DC ，OC ，求OCD ∠的大小.5．定义：若两个不全等三角形中，有两组边对应相等且其中一组相等的边所对的角也相等，我们就称这两个三角形为偏等三角形.（1）如图1，四边形ABCD 内接于O ，AD AB ＞，点C 是弧BD 的中点，连接AC ，试说明ACB 与ACD 是偏等三角形.（2）如图2，ABC 与ABD 是偏等三角形，AD BC =，30BAC ABD ∠=∠=︒，8BD =，12AC =，求AB 的长.（3）如图3，ABC 内接于O ，8AC =，30A ∠=︒，45C ∠=︒，若点D 在O 上，且ADC 与ABC是偏等三角形，AD CD ＞，求AD 的值.6．如图1，△ABC 是⊙O 内接三角形将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，其中点D 在圆上，点E 在线段AC 上．（1）求证：DE=DC ；（2）如图2，过点B 作BF ∥CD 分别交AC 、AD 于点M 、N ，交⊙O 于点F ，连结AF ．求证：AN·DE=AF·BM ：（3）在(2)的条件下，若13AB AC =时，求BF BC的值．7．如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形.如图1，AD ABC 是的中线，则ABD 和ACD 就是互补三角形.（1）根据定义判断下面两个命题的真假（填“真”或“假”）①互补三角形一定不全等.命题②互补三角形的面积相等.命题（2）如图2，ABC 和ADE 为互补三角形，AB AE AC AD AF ＝，＝，是ABC 的中线.求证：12AF DE ＝；（3）如图3，在（2）的条件下，若B E D ，，三点共线，连结CE ，CD ，四边形ABEC 为圆内接四边形.当120BAE ∠ ＝时，求BD AF CD -的值.8．如图，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，∠ABC=2∠ACB ，点D 平分 AC ，连接AD ，BD ，CD ．（1）求证：AB=CD ．（2）过点D 作DG ∥AB ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，交⊙O 于点G ．①若AD=a ，BC=b ，求线段EF 的长(用含a ，b 的代数式表示)．②若∠ABC=72°，求证：FG 2=EF·DF ．9．已知钝角三角形ABC 内接于O E D ，、分别为AC BC 、的中点，连接DE .（1）如图1，当点A D O 、、在同一条直线上时，求证：12DE AC =.（2）如图2，当A D O 、、不在同一条直线上时，取AO 的中点F ，连接FD 交AC 于点G ，当2AB AC AG +=时.①求证：DEG 是等腰三角形；②如图3，连OD 并延长交O 于点H ，连接AH .求证：AH FG .10．如图，在1111⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC （即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC 关于直线l 对称的111A B C ；（2）作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到的22A B C ；（3）在（2）的案件下，求点B 旋转到点2B 所经过的路径长．11．如图1，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，O 为底边BC 的中点，AB 切O 于点D ，连接OD ，O 交BC 于点M ，N .（1）求证：AC 是O 的切线；（2）42B ∠=︒，①若4OD =，求劣弧DM 的长；②如图2，连接DM ，若4DM =，直接写出OD 的长.（参考数据：sin24︒取0.4，cos24︒取0.9，tan 24︒取0.45）12．如图，ABC 是O 的内接三角形，CD 为O 的直径，过点A 的直线交CD 的延长线于点E ，连接AD ，且AD DE =，DAB ACD ∠=∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若2DE =，=60B ∠︒，75BAC ∠=︒，求AB 和BC 的长度．13．如图，ABC 为O 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，PAC B ∠=∠，AD 为O 的直径，过C 作CG AD ⊥交AD 于E ，交AB 于F ，交O 于G ．（1）判断直线PA 与O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：2AG AF AB =⋅；（3）若O 的直径为10．AC =AB =AE FG ⋅的值．14．如图，ABC 是O 的内接三角形，60ACB ∠=︒，AD 经过圆心O 交O 于点E ，连接BD ，30ADB ∠=︒.（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，求图中阴影部分的面积.15．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，以BC 为直径作O 交斜边AB 于点D ，点M 是 CD中点，过点M 作直线ME AB ⊥于点E ，交AC 于点F.（1）证明：EF 是O 的切线；（2）若ME =.16．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 是AB 上任意一点，以D 为圆心，DB 为半径作D ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，过点F 作FG AC ⊥，垂足为G .（1）判断直线FG 与D 的位置关系并证明.（2）若2AE =，3BC =，2BF CG=，求D 的半径.17．如果三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.（1）若ABC 是“准互余三角形”，9060C A ∠>︒∠=︒，，则B ∠=.（2）如图（1），AB 是半圆的直径，106AB BC C ==，，是半圆上的点，D 是 AC 上的点，BD 交AC 于点E.①若D 是 AC 的中点，则图中共有▲个“准互余三角形”；②当DEC 是“准互余三角形”时，求CE 的长；③如图（2）所示，若F 是 BC 上的点（不与B C 、重合），G 为射线AF 上一点，且满足2CBG CAB ∠=∠.当ABG 是“准互余三角形”时，求AG 的长.18．已知，锐角三角形ABC 内接于⊙O.（1）如图1，当点A 是 BAC的中点时，①求证：AO BC ⊥.②若BC ＝8，AB =，求⊙O 的半径.（2）如图2，当AB AC >时，连接BO 并延长，交边AC 于点D.若45A ∠= ，23OD OB =，求AD DC.19．如图1，ABC 是圆内接等腰三角形，其中AB AC =，点P 在 BC上运动（点P 与点A 在弦BC 的两侧），连接PA PB PC ，，，设αBAC ∠=，PB PC y PA+=，小明为探究y 随α的变化情况，经历了如下过程：（1）若点P 在 BC 的中点处，α90=︒时，y 的值是；（2）小明探究α变化获得了一部分数据，并以表中各组对应值为点的坐标在如图2平面直角坐标系中进行描点，并画出函数图象.从图象或表格中可知，y 随着α的变化情况是；y 的取值范围是.α…25°50°75°100°125°150°170°…y …0.430.85 1.221.53 1.55 1.93 1.99…（3）从变化趋势上看，当α=▲时，PB PC PA +=.并证明你的结论.20．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD BC ⊥于点D ，直径AE 平分∠BAD ，交BC 于点F ，连接BE ．（1）求证：AEB AFD ∠=∠；（2）若10AB =，5BF =，求AD 的长；（3）若点G 是AB 的中点，当点O 在DG 上时，探究BF 与FD 存在的数量关系，并说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）2（2）解：ABC 的伴随圆的半径分为83或209或12049.（3）解：①证明：如图（4）连接OE 、OB ，∵CED 为直角三角形，∴CED 的外接圆圆心O 在CD 中点上，设O 的半径为r ，则2DC r =，3OA r =，∴23AD AO =，∵2EA BE =，∴23EA AB =，∴AD EA AO AB =，∴PD OB ，∴12∠=∠，3=4∠∠，∵OE OD =，∴32∠=∠，∴14∠=∠，在BCO 和BEO 中O =O ∠1=∠4O =O ，∴BCO BEO ≌，∴90BEO BCO ∠=∠=︒，∴AB 是O 的切线.∴CED 的外接圆是ABC 某一条边上的伴随圆；②222．【答案】（1）解：AD 是BC 的中线，2AB BC ==，，12BD BC ∴==，22BD AB AB BC ∴==，B B ∠=∠ ，ABD CBA ∴~ ，2AD BD AC AB ∴==；（2）解：①如图，连结OE ，设ABE α∠=，22AOE ABE α∴∠=∠=，OA OE = ，()11802902OAE αα∴∠=︒-=- ，DE OA ⊥ ，90AED OAE ∴∠+∠=︒，9090AED α∴∠+︒-=︒，AED ABE a ∴∠=∠=，EAD BAE ∠=∠ ，ADE AEB ∴ ∽，AE AD AB AE ∴=，2AE AD AB ∴=⋅，D 是AB 的中点，12AD AB ∴=，2212AE AB ∴=，AB ∴=，即1AE AB =：，ABE ∴ 是智慧三角形；②83．【答案】（1）解：∵点C 是弧BD 的中点，∴BC=CD ，BAC DAC ∠=∠．又∵AC=AC ，∴ACB 与ACD 是偏等三角形（2）解：互补；如图，在线段DE 上取点G ，使DG=AB ，连接FG．由题意可知在ABC 和DGF 中AB DG A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABC DGF ≅ ，∴B DGF ∠=∠，BC GF =．∵BC EF =，∴GF EF =，∴E FGE ∠=∠．∵180DGF FGE ∠+∠=︒，∴180B E ∠+∠=︒，即另一组等边的对角互补．（3）解：分类讨论：①当BC=CD时，如图，∵BC=CD ，30CAB ∠=︒，∴30DAC ∠=︒．∵180105ABC CAB ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴180********ADC ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180180307575ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ADC ACD ∠=∠，ACD DAC ∠>∠，∴AD>CD 符合题意，∴AD=AC=6；②当AB=CD 时，如图，过点D 作DE AC ⊥于点E ，∵AB=CD ，45ACB ∠=︒，∴45DAC ∠=︒，∴AE DE =，180180457560ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ACD DAC ∠>∠，∴AD CD >，符合题意．设CE=x ，则AE DE ==，∵AC AE CE =+，即6x =+，∴1)x =，∴1)9AE DE ===-∴(9AD ==-=．综上可知AD 的值为6或-．4．【答案】（1）解：如图1，连接OD ，图1∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒.∵38BAC ∠=︒，∴9052ABC BAC ∠=︒-∠=︒.∵D 为 AB 的中点，∴ AD AD =.∴1180902AOD BOD ∠=∠=⨯︒=︒.∴1452ABD AOD ∠=∠=︒.（2）解：如图2，连接OD ，图2∵OA OC =，OC OD =，∴38OAC OCA ∠=∠=︒，OCD ODC ∠=∠.设OCD ODC x ∠=∠=︒.∴()38ACD OCA OCD x ∠=∠+∠=+︒.∵DP 为O 的切线，∴OD DP ⊥.∴()9090CDP ODC x ∠=︒-∠=-︒.∵DP AC ，∴CDP ACD ∠=∠.即9038x x -=+，解得：26x =.∴26OCD ∠=︒.5．【答案】（1）解：∵点C 是弧BD 的中点，∴BC CD =，BAC DAC ∠=∠，又∵AC AC =，∴ACB 与ACD 是偏等三角形；（2）解：作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，∵30BAC ABD ∠=∠=︒，8BD =，12AC =，∴4DE =，6CF =，∴AF ==，BE ==，∵设EF x =，∴AE x =，BF x =，∵AD BC =，∴2224)6)x x +=+，∴1033x =，∴3AB AE EF BF =++=；（3）解：①当BC CD =时，如图，∵BC CD =，30CAB ∠=︒，∴30DAC ∠=︒，∵180105ABC CAB ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴180********ADC ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180180307575ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ADC ACD ∠=∠，ACD DAC ∠∠＞，∴AD CD ＞符合题意，∴8AD AC ==；②当AB CD =时，如图，过点D 作DE AC ⊥于点E ，∵AB CD =，45ACB ∠=︒，∴45DAC ∠=︒，∴AE DE =，180180457560ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ACD DAC ∠∠＞，∴AD CD ＞，符合题意，设CE x =，则AE DE ==，∵AC AE CE =+，即8x =+，∴1)x =，∴12AE DE ==-，∴AD ==综上可知AD 的值为8或6．【答案】（1）证明：∵将△ABC 绕点A 逆时针转至△AED∴BC=DE ，∠BAC=∠EAD ∴ BCCD =所以BC=CD∴DE=CD（2）解：∵∠F=∠ACB∠AMF=∠BMC∴△AMF ∽△BMC ∴AM AF BM BC=由题间可知BC=DEAC=AD∵BF ∥CD ∴AM AN AC AD=∴AM=AN∴AN AF AD DE=即AN·DE=AF·BM（3）解：设AB 为a ，则AC 为3a 由△CDE ∽△CAD 可得，CD CE CA CD=即CD 2=3a·2a=6a 2∵CD>0∴a∵AC=AD∴ AC AD=∵BF ∥CD ∴ BCFD =∴ AB AF=∴AB=AF∴∠ABF=∠AFB=∠ACB ∴△ABM ∽△ACB ∴AB AM BM AC AB BC==即3a AM a a ==∴AM=13a BM=63a 根据据对称轴可知FN=63a 由△AMN ∽△ACD 可得∴AM MN AC CD=即133a a =∴MN=9∴a∴79BF CD ==7．【答案】（1）假命题；真命题（2）证明：延长BA 至点G ，使AG ＝AB ，连结CG ，又∵F 为BC 的中点，∴12AF CG =∵∠BAC ＋∠DAE ＝∠BAC ＋∠CAG ＝180°，∴∠DAE ＝∠CAG ，∵AB ＝AE ，AB ＝AG ，∴AG ＝AE ，∵AD ＝AC ，∴△ADE ≌△ACG （SAS ），∴DE ＝CG ，∴12AF DE =（3）解：∵∠BAC ＋∠DAE ＝180°，∴∠BAE ＋∠DAC ＝180°，∵∠BAE ＝120°∴∠DAC ＝60°∵AD ＝AC ，∴△ADC 为等边三角形，∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝30°，∴BE =，∠ACB ＝∠AEB ＝30°，∴BC 是AD 的垂直平分线∴BD ＝AB ∴1152ABC DBC ABE ∠=∠=∠=︒，∴∠AEC ＝∠ABC ＝15°，∴∠DEC ＝45°，∵∠ACE ＝180°－∠ABE ＝150°，∠ACD ＝60°∴∠DCE ＝90°，∴∠EDC ＝45°＝∠DEC ，∴DC ＝CE ，设AF a =，由（2）知，22DE AF a ==，∴CE DC ==，∵BE =，BE=BD+DE ，BD=AB ，∴)3112BD DE a +===∴162a aBD AF CD --=8．【答案】（1）证明：∵点D 平分 AC ，∴ AD CD=∴12ABD CBD ABC ∠=∠=∠.∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠ACB ＝∠CBD ．∴ AB CD=，∴AB=CD.（2）解：①∵ AD CD=∴∠ADB ＝∠DBC ，∴AD ∥BC ．又∵DG ∥AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形．由（1）得 AB CDAD ==∴AB ＝AD ．∴四边形ABFD 是菱形．∴AB ＝BF ＝DF ＝AD ＝a ．∴CF ＝b －a ．∵DG ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ．∴EF CF AB BC=，∴2ab a EF b-=.②连接CG ．∵∠ABC ＝72°，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ACB ＝36°，∵DG ∥AB ，∴∠BDG ＝∠ABD ＝36°．∵∠BCG ＝∠BDG ，∠DGC ＝∠DBC ，∴∠BCG ＝∠DGC ，∴FC ＝FG ．∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝108°．∵在菱形ABFD 中，∠ADG ＝∠ABC ＝72°，∴∠FDC ＝36°，∴∠ACB ＝∠FDC ．又∵∠DFC ＝∠CFE ，∴△CDF ∽△ECF ，∴FC DF EF FC=，∴2FC EF DF =⋅，∴2FG EF DF =⋅.9．【答案】（1）证明：∵D 是BC 的中点，点A D O 、、在同一条直线上，∴OD BC ⊥，∴ AB AC =，∴AB AC =，∵E D 、分别为AC BC 、的中点，∴DE 是ABC 的中位线，∴12DE AB =，∴12DE AC =.（2）证明：①∵E D 、分别为AC BC 、的中点，∴22AB DE AC AE ==，，∵2AB AC AG +=，∴222DE AE AG +=，∴DE AE AG +=，∵AE EG AG +=，∴DE EG =，∴DEG 是等腰三角形.②延长HO 交O 于点N ，连接OB OC BN CN ，，，，∵DE EG =，∴EDG EGD ∠=∠，∴2AED EDG EGD EGD ∠=∠+∠=∠，∴12EGD AED ∠=∠，∵DE AB ，∴180BAC AED ∠+∠=︒，∵180BAC BNC ∠+∠=︒，∴AED BNC ∠=∠，∵HO BC ⊥，∴2BOC COH ∠=∠，∵2BOC BNC ∠=∠，∴COH BNC ∠=∠，∵1122CAH COH BNC ∠=∠=∠，∴CAH EGD ∠=∠，∴AH FG .10．【答案】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）解：如图，设C 点为原点，则A （-3，-2），B （-1，-4），A 点绕C 点顺时针旋转90°后A 2的坐标为（-2，3），B 点绕C 点顺时针旋转90°后B 2的坐标为（-4，1），连接相应顶点，22A B C 即为所求；（3）解：勾股定理可得BC ==，∴B ，∴点B 旋转到点2B 所经过的路径长为90π1717π1802︒⨯=︒．11．【答案】（1）证明：过点O 作OE AC ⊥于点E ，连接OA ，如图，AB AC = ，O 为底边BC 的中点，AO ∴为BAC ∠的平分线，OD AB ⊥ ，OE AC ⊥，OD OE ∴=，OD 为O 的半径，OE ∴为O 的半径，∴直线AC 到圆心O 的距离等于圆的半径，AC ∴是O 的切线（2）解：①∵AB 切O 于点D ，∴90ODB ∠=︒，∵42B ∠=︒，∴48BOD ∠=︒，∵4OD =，∴劣弧DM 的长为4841618015ππ⨯⨯=；②过点O 作OF DM ⊥于点F ，如图，OF DM ⊥ ，122DF MF DM ∴===，OD OM = ，OF DM ⊥，OF ∴为DOM ∠的平分线，1242DOF BOD ∴∠=∠=︒.在Rt ODF 中，sin DF DOF OD ∠=，2sin 24OD ∴︒=，225sin 240.4OD ∴=≈=︒.12．【答案】（1）证明：如图，连接OA ，CD 为O 的直径，90CAD ∴∠=︒，90CAO OAD ∴∠+∠=︒，OA OC = ，CAO ACD ∴∠=∠，DAE ACD ∠=∠ ，DAE CAO ∴∠=∠，90DAE OAD ∴∠+∠=︒，90OAE ∴∠=︒，OA 是O 的半径，AE ∴是O 的切线；（2）解：如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ，60B ∠=︒ ，30BAF ∴∠=︒，75BAC ∠=︒ ，45FAC ∴∠=︒，AFC ∴ 是等腰直角三角形，CD 为O 的直径，90CAD ∴∠=︒，2AD DE == ，60ADC ∠=︒，AC ∴=，在Rt AFC 中，AF CF ==，3BF AF ∴==2AB BF ∴==，BC BF CF =+=．13．【答案】（1）解：PA 与O 相切，理由：连接CD ，AD 为O 的直径，90ACD ∴∠=︒，90D CAD ∴∠+∠=︒，B D ∠=∠ ，PAC B ∠=∠，PAC D ∴∠=∠，90PAC CAD ∴∠+∠=︒，即DA PA ⊥，点A 在圆上，PA ∴与O 相切．（2）证明：如图2，连接BG ，AD 为O 的直径，CG AD ⊥，∴ AC AG =，AGF ABG ∴∠=∠，GAF BAG ∠=∠ ，AGF ∴ ∽ABG ，AG ∴：AB AF =：AG ，2AG AF AB ∴=⋅；（3）解：如图3，连接BD ，AD 是直径，90ABD ∴∠=︒，2AG AF AB =⋅ ，AG AC ==AB =2AG AF AB∴==CG AD ⊥ ，90AEF ABD ∴∠=∠=︒，EAF BAD ∠=∠ ，AEF ∴ ∽ABD ，AE AF AB AD ∴=，510=，解得：2AE =，1EF ∴=，4EG == ，413FG EG EF ∴=-=-=，236AE FG ∴⋅=⨯=．14．【答案】（1）解：直线BD 与O 相切，理由：如图，连接BE ，∵60ACB ∠=︒，∴60AEB C ∠=∠=︒，连接OB ，∵OB OC =，∴OBE 是等边三角形，∴60BOD ∠=︒，∵30ADB ∠=︒，∴180603090OBD ∠=︒-︒-︒=︒，∴OB BD ⊥，∵OB 是O 的半径，∴直线BD 与O 相切；（2）解：如（1）中图，∵AE 是O 的直径，∴90ABE ∠=︒，∵AB =∴433602AB sin AEB sin AE AE ∠=︒===，∴8AE =，∴4OB =，∵OB BD ⊥，30ADB ∠=︒∴3303OB tan ADB tan BD ∠=︒==，∴3BD =，∴图中阴影部分的面积2160π48π423603OBD BOES S ⨯=-=⨯⨯= 扇形.15．【答案】（1）证明：连接OM 、BM∵点M 是弧CD 中点，∴DBM OBM∠=∠∵OB OM=∴OMB BMO∠=∠∴DBM BMO∠=∠∴BE OM（2）解：连接CD 交OM 于点N 、连接OD∵BC 是直径，∴CD BD ⊥，∵ABC ∆是等腰直角三角形，∴45B ∠=︒，∴BDC ∆也是等腰直角三角形，∴BD CD =，OD CD ⊥.∵OM EF ⊥，EF BE ⊥，CD BD ⊥，∴四边形MNDE 是矩形，∴DN EM =，∵ME =DN =∵OM CD ⊥，∴2CD DN ==∴4BC =∴2OD OB ==，∵OBDBOD S S S ∆=-阴影扇形∴90π4122π23602S ⋅=-⨯⨯=-阴影16．【答案】（1）解：直线FG 是D 的切线；证明：连接DF ，如图所示：∵在ABC 中，AB AC =，∴B C ∠=∠.∵DB DF =，∴DBF DFB ∠=∠，∴DFB C ∠=∠，∴DF AC ，∴180DFG AGF ∠+∠=︒，∵FG AC ⊥于点G ，∴90AGF ∠=︒，∴90DFG ∠=︒，∴DF FG ⊥，∵DF 是D 的半径，∴直线FG 是D 的切线.（2）解：连接EF ，如图所示：∵BE 是D 的直径，∴90BFE ∠=︒，∵90FGC ∠=︒，∴BFE FGC ∠=∠，∵B C ∠=∠，∴BFE CGF ∽，∴BF BE CG CF =，∵2BF CG =，∴2BE CF =，设D 的半径为x ，则2BE x =，BD CF x ==，∵DF AC ，∴BF BD CF AD=，∵2AE =，∴2AD x =+，∴2BF x x x =+，∴22x BF x =+，∴222222x x x BC BF FC x x x +=+=+=++.∵3BC =，∴22232x x x +=+，解得：2x =或32x =-（舍去），经检验，2x =是原方程的根，∴D 的半径为2.17．【答案】（1）15°（2）解：①1；②由题意AB 是半圆的直径，106AB BC ==，，∴∠ACB=90°，∴8AC ==，根据题意△DEC 是“准互余三角形”时分两种情况：当∠D+2∠DCE=90°时，∵A ，B ，C ，D 在同一圆上，∴∠D=∠CAB ，∠DCE=∠DBA ，∴∠CAB+2∠ABE=90°，又∠CAB+∠ABC=90°，∴∠CBA=2∠CBD ，即BD 平分∠ABC ，过E 作EF AB ⊥于F （如图（1）），∴EF=CE ，∵∠BCE=∠BFE ，∠CBE=∠FBE ，∴CBE FBE ∆≅∆（AAS ），∴BC=BF ，由勾股定理即知：222AF EF AE +=，∴()()222AB BF CE AC CE -+=-，即()()2221068CE CE -+=-，解得CE=3；当2∠D+∠DCE=90°时（如备用图），∵A ，B ，C ，D 在同一圆上，∴∠D=∠CAB ，∠DCE=∠DBA ，∴2∠CAB+∠ABE=90°，连接AD ，∵∠DAC=∠CBE ，∴ADE BCE ~ ，∴AD AE BC BE =，即86AD CE BE -=，∵2∠CAB+∠ABE=90°，又∠DAB+∠ABE=90°，∴∠DAE=∠CAB ，∴ADE ABC ~ ，∴84105AD AC AE AB ===，又∵ADE BCE ~ ，∴AD AE BC BE =，即AD BC AE BE =，故645BE =，∴152BE =∴由勾股定理得92CE ==；③如图将ABC 沿AB 翻折得到ABM ，∵2CBG CAB ∠=∠，∴CBG CAM ∠=∠，∵∠CAB+∠CBA=90°，∴∠MAB+∠MBA=90°，∴∠CAM+∠CBM=180°，∴∠CBM+∠CBG=180°，∴M 、B ，G 三点共线，∵ABG 是“准互余三角形”，∴2∠CAB+∠G=90°或∠CAB+2∠G=90°，∵∠CAM+∠G=90°，∵∠CAB<∠BAM ，∴290CAB G ∠+∠≠︒，故∠CAB+2∠G=90°，∴∠CAM+∠G=∠CAB+2∠G ，∴∠BAM =∠G ，又∠M =∠M ，∴AMB GMA ∆~∆，∴AM MB MG AM =，即868MG =，解得：323MG =，由勾股定理得：403AG =；18．【答案】（1）解：①证明：连接OB ，OC ，设AB 与BC 交于点P ，∵点A 是 BAC的中点，∴ AB AC=，∴AB ＝AC ，又∵OB ＝OC ，∴AO 是BC 的垂直平分线，∴AO ⊥BC ；②∵AB ＝AC ，AP ⊥BC ，∴BP ＝CP ＝4，∴AP 8=，∵BO 2＝OP 2＋BP 2，∴BO 2＝（8−OB ）2＋16，∴BO ＝5，∴⊙O 的半径为5；（2）解：延长BD 交⊙O 于点H ，连接CH ，CO ，AH ，∵23OD OB =，∴设BO ＝3a ＝OC ＝OH ，OD ＝2a ，∴DH ＝a ，∵∠BAC ＝45°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝90°，∴CD=，CH=，∵BH 是直径，故∠BAH=90°，∵∠BAC ＝∠BHC ＝45°∴∠CAH=90°-∠BAC ＝45°=∠CHD又∵∠ACH ＝∠DCH ，∴△ACH ∽△HCD ，∴AC CH CH CD=，=，∴AC∴AD ＝AC−CD，∴ADCD＝513AD CD ==.19．【答案】（1（2）y 随着α的增大而增大；0＜y ＜2（3）解：60°；当α60=︒时，PB PC PA +=，证明如下：如图所示，延长BP 到D ，使得PD CP =，连接CD，∵四边形ABPC 是圆内接四边形，∴180120BPC BAC ∠=︒-∠=︒，∴18060CPD BPC ∠=︒-∠=︒，∴CPD 是等边三角形，∴60CP CD PD PCD ∠===︒，，∵α60BAC AB AC ∠==︒=，，∴ABC 是等边三角形，∴60AC BC ACB ∠==︒，，∴ACB BCP DCP BCP ∠∠∠∠+=+，即BCD ACP ∠=∠，∴()SAS BCD ACP ≌，∴AP BD =，∵BD BP PD BP CP =+=+，∴AP BP CP =+，∴当α60=︒时，PB PC PA +=.20．【答案】（1）证明：∵AE 是⊙O 的直径，∴90ABE ∠=︒，∴90BAE AEB ∠+∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∴90AFD DAF ∠+∠=︒，∵AE 平分∠BAD ，即BAE ∠=，∴AEB AFD ∠=∠；（2）解：∵AEB AFD ∠=∠，AFD BFE ∠=∠，∴AEB BFE ∠=∠，∴5BE BF ==，∴在Rt ABE 中，AE ==如图，过点B 作BH EF ⊥于点H ，∴1122ABE S AB BE AE BH =⋅=⋅ ，即105BH ⨯=，解得：BH =∴在Rt BHE 中，EH ==，∴EF =，AF AE EF =-=，∵BFH AFD ∠=∠，BHF ADF ∠=∠，∴BHF ADF ∽，∴BF BH AF AD =AD=，解得：6AD =；（3）解：BF =，理由如下：∵G 是AB 的中点，O 是AE 的中点，∴OG BE ，∴OG AB ⊥，∴AD BD =，∵AD BC ⊥，∴ABD 是等腰直角三角形，∴45ABD ∠=︒，过点F 作FP AB ⊥于点P ，∵AF 平分∠BAD ，∴FD FP =，∵45ABD ∠=︒，∴BF ==．。

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1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°.（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标.（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明.（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式.2 如图（4），正方形111OA B C的边长为1，以O为圆心、1OA为半径作扇形1111OAC AC，与1OB相交于点2B，设正方形111OA B C与扇形11OA C之间的阴影部分的面积为1S；然后以2OB为对角线作正方形222OA B C，又以O为圆心，、2OA为半径作扇形22OA C，22A C与1OB相交于点3B，设正方形222OA B C与扇形22OA C之间的阴影部分面积为2S；按此规律继续作下去，设正方形n n nOA B C与扇形n nOA C之间的阴影部分面积为nS．（1）求123S S S，，；（2）写出2008S；（3）试猜想nS（用含n的代数式表示，n为正整数）．3 (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段A I的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：I D=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，AD x=，DE y=，当点A 在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．4 如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧BD的中点，AC交BD于点E，AE＝2，EC＝1．（1）求证：DEC△∽ADC△；（3分）（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．（4分）（3）延长AB到H，使BH＝OB．求证：CH是⊙O的切线．（3分）1B2B3A1A2A3OCCC图4S2S1S35 如图10，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为BC 上的一动点．（1）问添加一个什么条件后，能使得BD BEBC BD？请说明理由；（2）若AB ∥OD ，点D 所在的位置应满足什么条件？请说明理由；（3）如图11，在（1）和（2）的条件下，四边形AODB 是什么特殊的四边形？证明你的结论．6 如图1，已知正方形ABCD 的边长为点M 是AD 的中点，P 是线段MD 上的一动点（P 不与M ，D 重合），以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交BC 于点F ，切点为E ．（1）除正方形ABCD 的四边和⊙O 中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？（2）求四边形CDPF 的周长；（3）延长CD ，FP 相交于点G ，如图2所示．是否存在点P ，使BF*FG=CF*OF ？如果存在，试求此时AP 的长；如果不存在，请说明理由．· M A P D· P D G M A7 如图，在平面直角坐标系xoy 中，M 是x 轴正半轴上一点，M 与x 轴的正半轴交于A B ，两点，A 在B 的左侧，且OA OB，的长是方程212270x x -+=的两根，ON 是M 的切线，N 为切点，N 在第四象限．（1）求M 的直径．（2）求直线ON 的解析式．（3）在x 轴上是否存在一点T ，使OTN △是等腰三角形，若存在请在图2中标出T 点所在位置，并画出OTN △（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T 的坐标）若不存在，请说明理由．图1图21 解：（1）连结AD. ∵∠ABO=60°,∴∠ADO=60°…..1分由点A 的坐标为（3，0）得OA=3. ∵在Rt △ADO 中有 cot ∠ADO=ODOA,…………….2分 ∴OD=OA ·cot ∠ADO=3·cot60°=3×33=3. ∴点D 的坐标为（0，3）……………3分（2）DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ，理由如下: 由（1）得OD=3 ,OA=3. ∴2222(3)323AD OD OA =+=+=.又∵C 点坐标是（-1，0）, ∴OC=1.∴22221(3)2CD OC OD =+=+=………………4分 ∵AC=OA+OC=3+1=4,∴CD 2+AD 2=22+(23)2=42=AC 2…………………5分 ∴∠ADC=90°,即AD ⊥DC.由∠AOD=90°得AD 为圆的直径.∴DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ……………6分（说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解.）（3）由二次函数图象过点O （0，0）和A （3，0）, 可设它的解析式为 y=ax(x-3)（a ≠0）.如图，作线段OA 的中垂线交△AOB 的外接圆于E 、F 两点，交AD 于M 点，交OA 于N 点. 由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E 或F. ∵EF 垂直平分OA ， ∴EF 是圆的直径. 又∵AD 是圆的直径,∴EF 与AD 的交点M 是圆的圆心………….7分由（1）、（2）得OA=3，AD=23. ∴AN=12OA=32，AM=FM=EM=12AD=3. M EFN∴222233(3)()2MN AM AN =-=-=∴3-32=32332=332. ∴点E 的坐标是(32 , 332)，点F 的坐标是(32, -32)……..8分当点E 为抛物线顶点时，有32(3233a=23.∴y=23即y=2323…………………………9分当点F 为抛物线顶点时，有32(32-3)a=-32, a=239.∴y=239x(x-3).即y=239x 2233-x.故二次函数的解析式为y=233-x 23x 或y=39x 233-x ….10分2 （1）2211π1π1144S =-=-； ····················· 2分 2222121ππ24228S ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ···················· 4分223221221ππ22422416S ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ················ 6分（2）2008200720091π22S =-； ························ 8分（3）111π22n n n S -+=-（n 为正整数）． ··················· 10分3 (1) 证明：如图，∵ 点I 是△ABC 的内心，∴ ∠BAD =∠CAD ，∠ABI =∠CBI ． ………………2分 ∵ ∠CBD =∠CAD ，∴ ∠BAD =∠CBD ． ……………………………3分 ∴ ∠BID =∠ABI +∠BAD =∠CBI +∠CBD =∠IBD ．∴ ID =BD ． ………………………5分∵∠BAD =∠CBD =∠EBD ， ∠D =∠D ，∴ △ABD ∽△BED ． …………………………7分 ∴BD ADDE BD=． ∴ 22AD DE BD ID ⨯==． …………………8分 ∵ ID =6，AD =x ，DE =y ，∴ xy =36． ………………9分又∵ x =AD >ID =6， AD 不大于圆的直径10， ∴ 6<x ≤10．∴ y 与x 的函数关系式是36y x =．（610x <≤） …………………………10分说明：只要求对xy =36与6<x ≤10，不写最后一步，不扣分．4 （1）证明：∵C 是劣弧BD 的中点， ∴DAC CDB ∠=∠． ···································· 1分而ACD ∠公共，∴DEC △∽ADC △． ·································· 3分（2）证明：连结OD ，由⑴得DC ECAC DC=， ∵ 1.213CE AC AE EC ==+=+=， ∴2313DC AC EC ==⨯= ．∴DC = ．···························································································· 4分由已知BC DC ==AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=︒ ，∴22222312AB AC CB =+=+=．∴AB = ∴OD OB BC DC ====， ∴四边形OBCD 是菱形． ∴DC AB DC AB <∥，， ∴四边形ABCD 是梯形． ········································· 5分法一：过C 作CF 垂直AB 于F ，连结OC ，则OB BC OC === ∴60OBC ∠=︒． ························································································ 6分∴sin 60CFBC︒=，3sin 602CF BC =︒==，∴()(1132224ABCD S CF AB DC ⨯梯形＝＋＝＝ ·································· 7分法二：（接上证得四边形ABCD 是梯形）又DC AB ∥ ∴AD BC =，连结OC ，则AOD △，DOC △和OBC △ 6分∴AOD △≌DOC △≌OBC △，∴233AOD ABCD S S △梯形＝＝ ····················································· 7分（3）证明：连结OC 交BD 于G 由（2）得四边形OBCD 是菱形， ∴OC BD ⊥且OG GC =． ········································································· 8分又已知OB ＝BH ， ∴BG CH ∥． ························································· 9分 ∴90OCH OGB ∠=∠=︒ ， ∴CH 是⊙O 的切线． ········································ 10分5 解：（1）添加 AB =BD ····································································································· 2分 ∵AB =BD ∴AB =BD ∴∠BDE =∠BCD ········································································ 3分又∵∠DBE =∠DBC ∴△BDE ∽△BCD ∴BD BEBC BD= ······························································································································· 4分（2）若AB ∥DO ，点D 所在的位置是BC 的中点 ················································ 5分 ∵AB ∥DO ∴∠ADO =∠BAD ······························································ 6分 ∵∠ADO =∠OAD ∴∠OAD =∠BAD ∴DB =DC ········································ 7分（3）在（1）和（2）的条件下，．∵AB =BD =DC ∴∠BDA =∠DAC ∴ BD ∥OA 又∵AB ∥DO ∴四边形AODB 是平行四边形 ···································· 9分 ∵O A =OD ∴平行四边形AODB 是菱形 ·········································· 10分6 解：（1）FB ＝FE ，PE ＝PA ·································································· 2分（2）四边形CDPF 的周长为FC ＋CD ＋DP ＋PE ＋EF ＝FC ＋CD ＋DP ＋PA ＋BF ································· 3分＝BF ＋FC ＋CD ＋DP ＋PA ································ 4分＝BC ＋CD ＋DA ····································· 5分＝3＝ ······································· 6分（3）存在．7分若BF FG CF OF =,则BF CFOF FG=∵ cos ∠OFB ＝BF OF ，cos ∠GFC ＝CFFG∴ ∠OFB ＝∠GFC又 ∵ ∠OFB ＝∠OFE∴ ∠OFE ＝∠OFB ＝∠GFC=60 ······················································ 8分 ∴ 在Rt OFB △中 FE ＝FB ＝tan 60OB＝1∴ 在Rt GFC △中CG ＝()tan tan 60231tan 6063CF GFC CF ∠==-=- ∴ 6DG CG CD =-=-∴ tan tan 30233DP DG PGD DG =∠==- ································· 9分 ∴ ()33AP AD DP =-== ····································· 10分7 解：（1）解方程212270x x -+=，得19x =，23x =A 在B 的左侧3OA ∴=，9OB = 6AB OB OA ∴=-=OM ∴的直径为6 ·························································································· 1分（2）过N 作NC OM ⊥，垂足为C ，连结MN ，则MN ON ⊥31sin 62MN MON OM ===∠30MON ∴=∠又cos ONMON OM=∠cos3033ON OM ∴=⨯=在Rt OCN △中9cos30332OC ON ===1sin 30332CN ON ===N ∴的坐标为922⎛- ⎝⎭， ·············································································· 3分（用其它方法求N 的坐标，只要方法合理，结论正确，均可给分．）设直线ON 的解析式为y kx =92x = k ∴=∴直线ON 的解析式为y x = ···································································· 4分（3）如图2，1T ，2T ，3T ，4T 为所求作的点，1OT N △，2OT N △，3OT N △，4OT N △为所求等腰三角形．（每作出一种图形给一分） ···················································································· 8分。

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