第三章 截面图形的几何性质
4 截面图形的几何性质
C
2 πd 4 2d 2 πd 2 2d πd 2 a 8 3π 8 128 3π
将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得
I x2 3 467 10 4 mm 4
从而得图a所示截面对x轴的惯性矩：
I xC
2 πd 4 2d πd 2 2d πd I x 1284.3 平行移轴公式
然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：
I x2 I x 2d πd 2 a 3π 8
I y 1 054 10 4 mm 4
21
4.3 平行移轴公式
（3） 求 惯性积 Ixy 由
I xy xy d A 可知，只要x
A
轴或y 轴为截面的对称轴，则由于 与该轴对称的任何两个面积元素 dA的惯性积 xydA 数值相等而正负 号相反，致使整个截面的惯性积必 定等于零。图a所示截面的x 轴和y 轴都是对称轴，当然 Ixy=0。
22
4.4 惯性矩和惯性积的转轴公式
图示任意形状的截面，其面积A以及对于坐标轴x，y的 惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy为已知，现在来求截面对于绕原点O 旋转a 角（以逆时针为正）后的坐标轴x1y1的惯性矩 I x1, I y1和 惯性积 I x y 。
1 1
23
4.4 惯性矩和惯性积的转轴公式
由图可见，截面上任一微面积dA在x,y和x1,y1两个坐标系中坐标 的关系为
13
4.3 平行移轴公式
因截面上的任一元素dA在x，y 坐标系内的坐标为 x xC b， 于是有
2 I x y 2 d A y C a d A yC d A 2 a yC d A a 2 d A A A A A A 2
大学课程材料力学公式(全)
第一章 绪论和基本概念应力（全应力）：2P 正应力：σ 切应力：τ 222τσ+=P线应变：l l dx du //x ∆==ε 切应变：角度的改变量α只受单向应力或纯剪的单元体：胡克：εσ⋅=E 剪切胡克：r G ⋅=τ ()E G =+ν12 第二章 杆件的内力分析 轴力N F ：拉力为正扭矩T ：右手螺旋，矢量方向与截面外法线方向一致为正 剪力S F ：顺时针方向转动为正外力偶矩：()m N N P ·/9549m = ()m N N P ·/7024m = （K N /马力） 第三章 截面图形的几何性质 静矩：⎰=Ax ydA S 若C 为形心[质心]：A S XC/y =组合截面图形形心坐标计算：∑∑===ni i ni cii C A y A y 11/惯性矩：⎰=Ax dA y I 2惯性积：⎰=Axy xydA I 包括主轴在内的任意一对正角坐标0=xy I对O 点的极惯性矩：()y x AAP I I dA y x dA I +=+==⎰⎰222ρ 实心圆：32/224d I I I P y x π=== 圆环：()64/-12244απD I I I P y x === D d /=α平行四边/三角形：12/3bh I x =平行移轴公式：A b I I xc x ⋅+= A ab I I xcyc xy ⋅+= 转轴公式（逆转α）：()()αα2s i n 2/2c o s2/1xy y x y x x I I I I I I --++=()()αα2sin 2/2cos 2/1xy y x y x y I I I I I I +--+= ()αα2cos 2sin 11xy y x y x I I I I +-= 求主轴：000=y x I ()y x xy I I I --=/22tan 0α()[]2//2a r c t a n 0y x xy I I I --=α主惯性矩：()22min max 00x 4212xy y xy x y I I II I I I I I +-±+==第四章 杆件的应力与强度计算斜面上的正应力：ασσα2cos = 切应力：2/2sin αστα=许用应力：脆性材料[]b b n /σσ= 塑性材料：[]s s n /σσ=或[]s n /5.0σσ= 拉压杆强度条件：[]σσ≤=A F N /max max 校核强度：[]()[]%5%100/max ≤⨯-σσσ 剪切强度条件：[]ττ≤=s A F /s 挤压强度条件：[]bs bs bs A F σσ≤=/bs圆轴扭转切应力：p I T /ρτρ⋅= []ττ≤=⋅=p p W T I R T //m a x 梁的弯曲：中性层曲率：()z EI M //1=ρ 等直梁在弯曲时的正应力：z I M /y =σz z W M I M //y m a x m a x ==σ矩形截面梁的弯曲切应力：()()z s z z s I y h F bI S F 2/4//22*-==τ在中性轴处：()A F bh F s s 2/32/3max ==τ 最大切应力均在中性轴上工字型截面梁：腹板：()d I S F z z s /*=τ 翼缘：()δτz z s I S F /*1=圆形截面：A F s 3/4max =τ 薄壁环形截面：A F s /2max =τ切应力强度条件：[][]ττ≤=d I S F z z s /*max max max 理想设计：[][]c t c t σσσσ//max max = 许用拉应力：[]t σ 许用压应力：[]c σ 两垂直平面内弯曲组合截面梁：z N M N I y M A F //max max +=+=σσσ偏心压缩（拉伸）：截面上任意点：22max /-/-/-z F y F M N i y Fy i z Fz A F =+=σσσ2y y Ai I = 0=σ时中性轴截距：F y y y i a /2-=第五章 杆件的变形与刚度计算轴向拉（压）杆的变形：l l /∆=ε b b /'∆=ε νεε-=' ∑===∆ni ii i Ni N A E lF EA l F l 1圆轴扭转变形：()P GI Tl /=ϕ [在弹性范围之内]刚度条件：()[]rad GI l T P '/max 'max ϕϕ≤= ()[]m GI l T P /'/180max 'max ︒≤⋅⋅=ϕπϕ梁的弯曲变形：挠度：w ()x M ''=E I w θEI EIw =' ()⎰⎰++=D Cx dxdy x M EIw支承处：0=w 悬梁臂：0=w ，0=θ 连接处：21w w =，21θθ= 梁的刚度条件：[]l w l w //max ≤ []w w ≤max []θθ≤m a x第六章 应力状态分析 任意斜截面上的应力：()()ατασσσσσα2sin 2/2cos 2/xy y x y x--++=()ατασστα2cos 2/2sin xy y x +-=αασσσσ-+=︒+y x 90 ααττ-=︒+90应力圆：22min max 22xy yx y x τσσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+= y x xy σστα--=22tan 0三向应力状态：()2/31max σστ-=应力应变关系：()E /90︒+-=ααανσσε ()E /9090ααανσσε-=︒+︒+ G /αβαβτγ=第七章 强度理论及其应用 强度理论：断裂失效：11r σσ=()3212r σσνσσ+-=屈服失效：313r σσσ-= ()()()[]2/2132322214r σσσσσσσ-+-+-=轴向拉压弯扭组合变形：[]στσσ≤+=223r 4[]στσσ≤+=224r 3仅圆轴弯扭：[]σσ≤+=Z W T M /223r []σσ≤+=Z W T M /5.70224r ，Z P W W 2=薄壁圆筒强度：横截面上的正应力：()24/'σσ==t PD 纵截面上的正应力：()12/''σσ==t PD 03=σ第八章 压杆稳定临界应力：欧拉公式：()()222222cr /λπμπμπσEi l E A l EI A F cr ==== A I i /= 利用欧拉公式前提条件：P P E σπλλ/2=≥不满足时用经验公式：λσb a -=cr211cr λσb a -=压杆的稳定性计算：安全因素法：st cr cr n F F n ≥==σσ//折剪因素法：[][]st cr st n A F //σσσϕσ==≤= 第九章 能量方法杆件应变能：轴向拉伸或压缩：()⎰==∆==l N N dx EAx F EA lF l F w V 22222ε扭转：()⎰====l P P dx GI x T GI l T T w V 22222ϕε弯曲：()⎰====l dx EIx M EI l m m w V 22222θε 组合变形： 2/2/2/θϕεεm T l F dV V l++∆==⎰。
材料力学截面的几何性质课件
目录
• 截面的基本性质 • 截面的二次矩 • 截面的抗弯截面系数 • 截面的抗扭截面系数 • 材料力学截面的应用
01 截面的基本性质
截面的面积
面积
截面面积是二维平面图形被截后，与 原图形相比增加的面积。对于矩形、 圆形、三角形等简单形状，截面面积 可以通过几何公式直接计算。
的刚度和稳定性。
截面惯性矩
截面惯性矩是衡量截面抗弯刚度 的指标，对于承受弯矩的构件， 选择具有较大惯性矩的截面可以
减少挠度和转角。
截面抵抗矩
截面抵抗矩是衡量截面抗剪切能 力的指标，对于承受剪力的构件 ，选择具有较大抵抗矩的截面可
以增加构件的承载能力。
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，需要考虑梁的截面尺寸、材料类型和截面形式等 因素，以确保桥梁具有足够的强度和刚、单位等因素，以确保数 据处理结果的准确性和可靠性。
1.谢谢聆 听
根据微面积和其对应的主 轴方向余弦，计算出截面 二次矩。
主轴的确定
根据计算出的惯性矩，找 出三个主轴的方向余弦和 角度。
实例分析
圆截面
圆截面的二次矩为常数， 且各主轴与截面垂直，说 明圆截面在弯曲时没有翘 曲的趋势。
矩形截面
矩形截面的二次矩与宽度 的平方成正比，说明矩形 截面有较好的抗弯能力。
工字形截面
工字形截面的二次矩比同 样面积的矩形截面小，但 抗弯能力仍高于同样重量 的实心杆件。
03 截面的抗弯截面系数
定义与性质
01
抗弯截面系数是截面对其轴线的惯性矩除以截面的面积 得到的数值，用来度量截面在弯矩作用下抵抗变形的能 力。
02
不同形状的截面有不同的抗弯截面系数，如圆截面为1 ，矩形截面为1.13，工字形截面为1.44等。
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴
2
对于复杂形状，可以采用微元法或积分法计算其 惯性矩。
3
在工程实践中，常常使用软件或计算器进行惯性 矩的计算，以提高计算效率和精度。
04
CATALOGUE
惯性积
惯性积的定义
惯性积是截面的一种几何属性，用于描述截面的 形状和大小。
惯性积是一个标量，表示截面在某个方向上的投 影面积与该方向上单位长度的平方之比。
02
利用三维坐标系中的点坐标和 方向向量，通过向量的外积计 算得到截面的法向量和面积向 量，进而计算惯性积。
03
利用计算机图形学中的几何算 法，通过计算截面的顶点坐标 和法线向量，实现惯性积的精 确计算。
05
CATALOGUE
平行移轴
平行移轴的定义
一个方向上的直线，可以 是实线或虚线。
在三维空间中，与某一平 面相交的平面。
中性轴
通过截面形心并与形心轴垂直的轴线。
惯性矩的性质
01
惯性矩与截面的形状和大小有关，形状相同但尺寸不同的截面 具有不同的惯性矩。
02
惯性矩具有方向性，与中性轴的位置有关。
对于矩形、圆形、椭圆形等简单形状，其惯性矩可以通过公式
03
直接计算。
惯性矩的计算方法
1
对于简单形状，如矩形、圆形、椭圆形等，可以 直接使用公式计算其惯性矩。
截面的几何性质
目录
• 截面的定义与性质 • 面积矩 • 惯性矩 • 惯性积 • 平行移轴
01
CATALOGUE
截面的定义与性质
截面的定义
截面定义
截面是指通过一个平面与一个三维物 体相交，所形成的交线或交面。这个 平面可以是垂直的、倾斜的或与三维 物体表面平行。
截面的形状
截面的几何性质课件
第七章截面的几何性质【学时】2内容：静距、惯性矩、惯性积、惯性半径，简单图形和组合图形静矩的计算及形心位置的确定。
简单图形惯性矩和惯性积的计算；平行移轴公式、转轴公式；组合图形惯性矩和惯性积的计算。
形心主惯性轴和形心主惯性矩。
【基本要求】1．理解静距、惯性矩、惯性积、惯性半径的概念[2]。
2．掌握简单图形和组合图形静矩的计算及形心位置的确定[1]。
3．掌握简单图形惯性矩和惯性积的计算[1]。
4．掌握平行移轴公式[1]。
5．了解转轴公式[3]。
6．掌握组合图形惯性矩和惯性积的计算[1]。
7．了解形心主惯性轴和形心主惯性矩[3]。
【重点】简单图形和组合图形静矩的计算及形心位置的确定，简单图形惯性矩的计算；平行移轴公式；组合图形惯性矩的计算。
【难点】组合图形惯性矩的计算,转轴公式，形心主惯性矩。
§7-1 面积矩与形心位置一、面积（对轴）矩：y A S x ⋅=d d x A S y ⋅=d d ⎰⎰⎰⎰====AAy y AAx x Ax S S Ay S S d d d d二、形心：例1 试确定下图的形心。
解 ：用正负面积法解之。
1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图212121A A Ax A x A A x x i i ++==∑3.201080110101101035-=⨯+⨯⨯⨯-= 7.341080110101101060=⨯+⨯⨯⨯=y 2.用负面积法求解， 图形分割及坐标如图212121A A A x A x AA x x ii ++==∑3.201107080120)11070(5-=⨯-⨯⨯-⨯=80120§7-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩一、 惯性矩⎰⎰==Ay Ax A x I A y I d d 22二、极惯性矩y x AI I A I +==⎰d 2ρρ三、 惯性积⎰=Axy A xy I d如果 x 或 y 是对称轴，则I xy =0（1）惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
截面的几何性质截面的几何性质
分别为图形对于z 轴和y 轴的静矩。
3
平面图形的静矩
S z = ∫A ydA
S y = ∫ A zd A
• 静矩与截面面积大小及坐标设置有关； • 静矩可正、可负、可为零； • 静矩的单位为m3或 mm3。
4
平面图形的形心Leabharlann • 平面图形的形心 — 平面图形几何形状的中心。 • 通过截面形心的坐标轴称为形心轴 。
设图形的形心C坐标为(zC , yC)， 由均质等厚薄片重心坐标公式： A yC = ∫A ydA = S z
A z C = ∫ A zd A = S y Sy S yC = z , z C = A A
• 截面对形心轴的静矩必为零；反之，若截面对
某轴的静矩等于零，则该轴必为形心轴。
5
平面图形的静矩和形心
h 1 h * = b − y1 + y1 S z = A* yC 2 2 2 b 2 = ( h2 − 4 y1 ) 8
7
h 2
组合图形的静矩和形心位置 • 组合图形 — 由几个简单图形（如矩形、圆形
或三角形等规则图形）组成的图形。
zC =
8
∑ Ai zC i ∑ Ai
截面的几何性质 • 平面图形的静矩和形心 • 平面图形的惯性矩、惯性积和惯性半径 • 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 • 惯性矩和惯性积的转轴公式 • 主惯性轴和主惯性矩
9
平面图形的极惯性矩和惯性矩 • 定义
I z = ∫A y 2dA
I y = ∫ A z 2 dA
• 组合图形对某一对正交轴的惯性积等于各组成
部分对同一对正交轴的惯性积之和。
I yz = ∑ ( I yz ) i
附录1 截面图形的几何性质概况PPT课件
1.1 静矩和形心
max
FN max A
;
T
GI P
;
max
T WP
一、截面的静矩(static moment)
dSx dA y
dSy dA x
Sx dSx ydA
A
A
Sy dSy xdA
A
A
3
二、形心(centriod of an area）
¯x
m x dm m
h1 2
bh1
( h2 2
h1 ) dh2
h2
Sy x.A 0
x0
h1
x
y Sx
b
A
8
1.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
一、惯性矩(moment of inertia)：（类似于转动惯量）
Ix y2dA A
I y x2dA A
二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 IP r2dA Ix I y A
xi Ai
x 1
A1
x.3 120 80 70 110
图（b）
y
yi Ai
y 1
A1
y 2 A2
A
A1 A2
5 (70 110) 20.3 120 80 70 110
7
练习：求Sx、Sy，并求形心位置。
yd
S x S1x S2 x
I x I xC b2 A
12
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA
注意！C点必须为截面形心。
13
y
d O
A
例 3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩. 解 ：求解此题有两种方法：一是安
截面的几何性质
b2
A
上式称为计算惯性矩的平行移轴公式。这个公式表明 ：截面对任意一个轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的 形心轴的惯性矩加上截面的面积与两轴距离的乘积。
工程力学与建筑结构
1.4 组合截面的惯性矩
在计算组合截面对某座标轴的惯性矩时，根据定义， 可分别计算各组成部分对该轴的惯性矩，然后再相加，即 ：
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
截面的几何性质
在工程中研究构件的受力和变形时，经常会遇到一些 和构件的横截面形状、尺寸有关的几何量，这些几何量通 称为截面的几何性质。 1.1 截面的静矩和形心 1. 截面的静矩
如图所示的平面图形代表一个任意截面，其面积为A 。在图形平面内选坐标系Oyz，在坐标为(y, z)处取微面积 dA ，则以下两个积分分别被定义为平面图形A 对于z轴和y 轴的静矩。
I z iz2 A
Iy
i
2 y
A
于是得到:
iz
Iz A
iy
IyБайду номын сангаасA
通常把iz和iy分别称为平面图形对z轴和y轴的惯性半径 （或回转半径）。
工程力学与建筑结构
1.3平称移轴公式 同一截面对于不同坐标轴的惯性矩不相同， 但它们
之间都存在着一定的关系。
I z I zc a 2 A
Iy
I yc
Ai
i 1
工程力学与建筑结构
1.2 截面的惯性矩 1. 惯性矩的计算公式
任意一个构件的横截面如图所示，其面积A 对于z轴和 y轴的惯性矩定义为 ：
I z
A
y 2dA
I y
z 2dA
A
常用截面的惯性矩可查阅工程设计手册。
工程力学与建筑结构
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解：建立如图所示坐标系，取图示微元
dA, dA 2πd
d
IP
2dA
A
d 2
2 (2πd)
πd 4
0
32
O
z
由于圆截面对任意方向的直径轴都是对
称的，故
Iy Iz
d
所以
Iy
Iz
IP 2
πd 4 64
常见图形的惯性矩 矩形：
b
圆形： d
h
z
z
空心圆形： D d
z
y
Iz
bh3 12
Iy
hb3 12
o
yc , zc ——过图形的形心 c 且与 y , z
轴平 行的坐 标轴（形心轴）
zc
C(a,b)
yc
b
y
Iy , Iz , Iyz _____ 图形对 y , z 轴的惯性矩和惯性积。
Iyc ,Izc , Iyc zc —— 图形对形心轴yc , zc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
z
zc
——
第 i个简单图形对 y ,z 轴的惯性矩、
惯性积。
组合图形的惯性矩，惯性积
n
I y I yi i 1
n
I z I zi i 1
n
I I
yz
yzi
i 1
例 求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
解：将截面分成两个矩形截面。
截面的形心必在对称轴 zc 上。
取过矩形 2 的形心且平行 于底边的轴作为参考轴， 记作 y 轴 。
I y I y a2 A C
I z I zC b2 A
I I yz
y C
zC
abA
a
C(a,b)
yc
ob
y
【例题】
已知： 求：
I yc
bh3 12
Iy
zc
h
C
yc
解：
y
b
I y I yc a2 A
bh3
h 2
bh
bh3
12 2
3
二、组合图形的惯性矩 惯性积
I yi
I zi
I yzi
各矩形的面积和形心坐标如下：
A A 20mm 60mm=1200mm2
yC 10mm
于是：
yC 50mm
yC
yC Cy
60 z
C z
C zC
C
z
y 20
60
yC
Ai yCi A yC A yC 1200mm2 10mm+1200mm2 50mm 30mm
Ai
A A
1200mm2 1200mm2
平面图形的几何性质
一、定义
§3-1 静矩和形心
z
图形对 z , y 轴的静矩为：
dA
sz A ydA
z
sy AzdA
oy
y
静矩可正，可负，也可能等于零。单
位为：m3、cm3、mm3
z
平面图形的形心 C
坐标公式为：
y A ydA S z
zz
AA
dA
c
z A zdA S y
Oy
y
A
A
y
sz Ay
y
z dz
解：取平行于z轴的狭长条作为面积 元素，则 dA bdy
h y dy
Iz
y2dA
A
h
2 h
2
by2dy
bh3 12
O
z
同理
Iy
z2dA
A
b
2 b
2
hz2dz
b3h 12
b
因为z轴（或y轴）为对称轴，故惯性积 I yz 0
例 试计算图示圆形截面对O点的极惯性矩IP和对于其形 心轴（即直径轴）的惯性矩Iy和Iz。
( yi , zi ) —— 第 i 个简单图形的形心坐标
计算平面图形的形心 C 坐标公式如下：
n
A i
y i
y i1 n
A i
i 1
n
A i
z i
z i1 n
A i
i 1
例1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的z轴的静矩。
y
h y dy
b(y )
O
z
b
解： 取平行于z轴的狭长条， 易求 b( y) b (h y)
o
2
y 2 80
z2
10
y
所以
y
A1 y1 A 2 y2
A 1
A 2
37500 1900
20mm
z
A 1 z1 A
1
A 2 z2 A2
75500 1900
40mm
z 10
1
y 1
C(y, z)
z1
o
2
y 2 80
z2
10
y
20
例 试计算图示T型截面的形心位置。
解：zC=0，只需计算yC
将截面分为I、II两个矩形，建立如 图所示坐标系。
,
A
i
I z
z
A
图形对 y , z 轴的惯性积为
I yz
A
yzdA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
z
若 y , z 两坐标轴中有一个为
dA z
图形的对称轴，则图形对 y , z 轴的 惯性积一定等于零 。
yy
y
例 试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）z
和y的惯性矩Iz和Iy，及其惯性积Iyz。
A2
y 2
A2
i 1
z A1 z1 A2 z2 A1 A2
z 10
y 1 1
z1
z2
2 10
oy
y
2
80
矩形 1
A1 10 120 1200mm2
y 5mm 1
z1 60mm
矩形 2
A2 10 70 700mm2
y 10 70 45mm
2
2
z2 5mm
z 10
1
y 1
z1
§3-2 惯性矩和惯性积
定义：
截面对 O 点的极惯性矩为
I p
A
2dA
z
z
dA
y
y O
图形对 y , z 轴的惯性矩分别为
I y
A
z 2d A
I z
A
y 2d A
因为 2 y2 z2
I p
A
2dA
所以
I I I
p
y
z
z
z
dA
y
y 0
图形对 y , z 轴的惯性半径为
i y
I y
20 140
zc
20
1
yc
2
y
1001 80
z2 0
所以截面的形心坐标为
z A1 z1 A2 z2 46.7mm A1 A2
20 140
zc
20
1
yc
2
z
y
100
I1 yC
1 12
20 1403
y
Iz
Iy
d 4
64
Ip
d 4
32
y
D 4 d 4
Iy Iz
64
D 4 (1 4 )
64
dD
Ip
D 4
32
(1 4 )
§3-3 平行移轴公式
一、 平行移轴公式
z y , z ——任意一对坐标轴
C —— 图形形心
a
（a , b ) _____ 形心 c 在 yoz 坐标系下的
坐标。
h
因此 d A b (h y) d y 所以对 x 轴的静矩为
h
S z
yd A
A
h b (h y) y d y bh2
0h
6
例 试确定图示截面形心 C 的位置。
解：将截面分为 1，2两个矩形
取 y 轴和 z 轴分别与截面
的底边和左边缘重合
n
y
Ai
y i
i 1
n
Ai
A1
y 1
A1
sy Az
如图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。 图形对形心轴的静矩等于零。
二、组合图形 由几个简单图形组成的平面图形称为组合图形
图形各组成部分对于某一轴的静矩之代数和， 就等于整个图形对于同一轴的静矩。
组合图形静矩的计算公式为
n
Sz
Ai
y i
i 1
n
Sy
Ai
z i
i 1
其中：A —— 第i 个简单图形 i