截面图形的几何性质
附录Ⅰ-常见截面的几何性质
取微面积dA=dzdy，则：Izy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
由 Iz 对 A y 2 称 dIy A 性 R IR z2 y ： 2 6D 44R ;2 由 y 几 2 d 何 y 关 R 4 4 系 2＝ ： 6 D y24 ;4 z2,
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
Байду номын сангаас
则截面对该轴的静矩为零。
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二、形心公式：
yc
SAz ;zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i1
z2dA;
A
圆形截面：Iy
Iz
D4 ;
64
几何关系： IP A2 d A A (y 2 z 2 ) d A I Z Iy .
四、惯性积：
Izy
zydA;
A
五、平行移轴公式：
Iz1za2A; y1 y b2A; Iz1y1 Izyab;A
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 o 角，即 形心主惯性轴。
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
材料力学 截面图形几何性质
（此为平行移轴公式 ）
注意： •式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。
•等号右边各首项为相对于形心轴的量。
9
材料力学Ⅰ电子教案
2.组合截面的惯性矩和惯性积
根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某 轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一 轴的惯性矩（或惯性积）之和：
n
Ix
i1
I
xi
n
Iy
1
材料力学Ⅰ电子教案
二、形心公式：
yc
Sz A
; zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i 1
n
S y Ai zci; i 1
n
四、组合截面形心公式：
Ai yci
yc
i 1 n
;
Ai
i 1
例5-1 求图示T形截面形心位置。
n
Ai zci
(20010) (5 150) 2 (10 300) 0 20010 2 (10 300)
38.8 mm
由于对称知： xc=0
3
y y1 200
C O
10 150 yC x1
x
目录
材料力学Ⅰ电子教案
求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。
解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x 轴平行的窄条，
y
d A 2 r2 y2 • d y
dA
dy
yC
所以
Sx
A
yd
A
r
0
y( 2
r2 y2 )d y 2 r3 3
Cr
y
材料力学 截面的几何性质
1、矩形截面 h
Iz
y2dA
A
2 h
y 2bdy
h
2
dy y
b y 3 2 1 bh3 3 h 12
2
同理
Iy
z2dA 1
A
12
hb3
b h z
y
26
2、实心圆截面
y
已知
IP
A2dA
D 4 32
D
z
则 I P A2 d A A y 2 d A A z 2 d I A z I y
A
Iz Iy
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。
z
y
o
A dA
z
y
惯性积
定义
Iyz
yzdA
A
z y
A dA
为图形对y、z轴的惯性积 。
z
o
y
惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
4.3 形心主惯性轴和形心主惯性矩
若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴(principal centroidal axis)。
图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 由于图形对于对称轴的惯性积等于零，而对称轴又过形心，所以，图形 的对称轴就是形心主惯性轴。
形心主惯性轴的特点可归纳为以下几点： ⑴形心主惯性轴是通过形心，由角定向的一对互 相垂直的坐标轴。
32
32
圆环形对y(或z)轴的惯性矩为
IyIz1 2Ip6 D4414
由于y轴为对称轴，故
Iyz 0
z
y
d D
第26讲第五章 材料力学(九)
第五节截面图形的几何性质一、静矩与形心对图所示截面静矩的量纲为长度的三次方。
对于由几个简单图形组成的组合截面形心坐标显然，若z轴过形心，y c=0，则有S z=0，反之亦然：若y轴过形心，z c=0，则有S y=0，反之亦然。
【真题解析】5—30（2007年真题）图所示矩形截面，m-m线以上部分和以下部分对形心轴z的两个静矩( )。
(A)绝对值相等，正负号相同(B)绝对值相等，正负号不同(c)绝对值不等，正负号相同(D)绝对值不等，正负号不同解：根据静矩定义，图示矩形截面的静矩等于m-m线以上部分和以下部分静矩之和，即，又由于z轴是形心轴，Sz=0，故答案：(B)二、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积对图所示截面，对z轴和y轴的惯性矩为惯性矩总是正值，其量纲为长度的四次方，也可写成i z、i y称为截面对z、y轴的惯性半径，其量纲为长度的一次方。
截面对0点的极惯性矩为因=y2+z2，故有I p=I z+I y，显然I p也恒为正值，其量纲为长度的四次方。
截面对y、z轴的惯性积为I yz可以为正值，也可以为负值，也可以是零，其量纲为长度的四次方。
若y、z两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则其惯性积I yz恒等于零。
例6图(a)、(b)所示的两截面，其惯性矩关系应为哪一种？A.(I y)1>(I y)2,(I z)1=(I z)2B. (I y)1=(I y)2, (I z)1>(I z)2C.(I y)1=(I y)2,(I z)1<(I z)2D. (I y)1<(I y)2,(I z)1=(I z)2解：两截面面积相同，但图 (a)截面分布离z轴较远，故I z较大。
对y轴惯性矩相同。
答案：B2016—63真题面积相同的两个如图所示，对各自水平形心轴 z 的惯性矩之间的关系为（）。
提示：图（ a ）与图（ b ）面积相同，面积分布的位置到 z 轴的距离也相同，故惯性矩I za=I zb而图（ c ）虽然面积与（ a ）、（ b ）相同，但是其面积分布的位置到 z 轴的距离小，所以惯性矩I zc也小。
建筑力学第七章 截面的几何性质
第七章平面图形的几何性质研究截面几何性质的意义从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩I P、抗扭截面系数W P等一些几何量密切相关。
因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
第一节 静矩一、静距的概念Ay S z d d =Az S y d d =⎰⎰⎰⎰====AAy y AAz z Az S S A y S S d d d d zy d A yz静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。
它常用单位是m 3或mm 3。
形心d A zyy zCx Cy ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∆∑=⋅∆∑=A y A y Az A z C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A ydA y A zdA z AC A C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S y A S z z C y C ⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S 平面图形对z 轴（或y 轴）的静矩，等于该图形面积A 与其形心坐标y C （或z C ）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z 轴（或y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++==+++=∑∑==ni Ci i Cn n C C y ni Ci i Cn n C C z z A z A z A z A S y A y A y A y A S 1221112211 式中 y Ci 、z Ci 及A i 分别为各简单图形的形心坐标和面积;n 为组成组合图形的简单图形的个数。
建筑力学6截面图形几何性质
截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydAdSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==AAy ydASx xdAS （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0AS y x= ， A S x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xi x ni ii ni yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii AxA x 11 ， ∑∑===ni ini ii AyA y 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
(2) 静矩的单位为3m 。
(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
(4) 若已知图形的形心坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。
组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
（二）.惯性矩 惯性积 惯性半径1. 惯性矩（极惯性矩、对y 轴和x 轴的惯性矩）定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为⎰=Ap dA I 2ρ （I-5）图形对y 轴和x 轴的惯性矩分别定义为⎰=Ay dA x I 2 ， dA y I Ax ⎰=2 （I-6）惯性矩的特征（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。
材料力学 3 截面的几何性质
大小：正，负，0。
y
量纲：[长度]3
二、截面的形心 几何形心=等厚均质薄片重心 z 形心坐标公式：
yc
C
zc
yc zc
y dA A z dA
A
A
Sz A Sy A
O
A
y
S y A zc
S z A yc
结论： 若 S z 0 yc 0 z 轴通过形心。反之，亦成立。
转轴公式
sin 2 I yz cos2
I y1 I z1 I y I z
二、形心主轴和形心主惯性矩 1、主轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时，
Ix y
0 0
Ix I y 2
sin20 I xy cos 20 0
tan 2 0
2 I xy Ix Iy
z1
I yzc y1 z1 dA
A
a
O
z
yc
I z A y 2dA A (b y1 )2 dA
2 A ( y1 2by1 b 2 )dA
y
zc 为形心轴， S zc Ayc 0
I zc 2bS zc b 2 A
I zc b 2 A
2
a
2677710 .52 cm 4
平 衡 项 惯 性 矩 6686481 . 857.8 单 个 形 心 惯 性 矩 779.53
组合截面可以大大提高截面惯性矩。
I y Iz 2 cos2 I yz sin 2 cos2 I yz sin 2
I y Iz 2
I y Iz 2
当＝0时，
dI y1 d
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Ip Ipi
Iyz Iyzi
9
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
例题7-2-1. 实心圆，直径为d，
求I ？ z上半圆
解：
Iy
Iz
d4
64
4
I z I zi i 1
Iz上半圆 Iz1Iz212d84
②①
C
z
④③
y
Iz右半圆 ？
答 ： Iz右半 I圆 z1Iz312d48
10
z ．dA
．A
C
z
O1
b
z1
y2dA 2aydAA2 a
A
A
Iy1 z12dA (zb)2dA
A
A
z2dA 2bzdAA2b
A
A
a
y y1
11
§ 7-3 平行移轴定理
由于y、z轴通过图形的形 心，则Sy=Sz=0。
I y1z1 z1y1dA (zb)(yb)dA
A
A
Iz1 IzC Aa2 Iy1 IyC Ab2 Iz1y1 IzCyC Aab
y1
z1
y
A
A
sin2 z2dAco2s y2dA
O
z
A
A
2sincos yzdA
A
14
即：
§ 7-4 转轴定理
Iz1 Izco2 s Iysi2nIyzsin2
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
co2sIyzsin2
同理可得： Iy1 Izsi2nIyco2 s Iyzsin2
或：
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
3
二、形心（C）
§ 7-1 静矩、形心
1.理论力学的质心
y
y yC O
dA
●
C
ydm
y
C
m
m
z C
zdm
m
m
2.材料力学的形心
zC z
ydA
y
C
A
A
z
z C
zdA
A
A
4
2.材料力学的形心
§ 7-1 静矩、形心
ydA
y
C
A
A
z C
zdA
A
A
3.静矩与形心的关系
Sy
Ima x Iz Iy Imin 2
Iz
Iy 2
2
Iy2z
16
§ 7-4 转轴定理
二、小结
1.若截面图形有对称轴，则对称轴为形心主轴；
2.任意正多边形的形心轴都是形心主轴；
3.当截面图形有三根或三根以上的对称轴时，则图形的形心 轴均为形心主轴；
§ 7-1 静矩、形心
6
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
§7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
一、定义
1.惯性矩： 面积对轴的二次矩称为惯性矩或二次矩。
Iy
z2dA
A
Iz
y2dA
A
IP Iy Iz
y
dA
2.极惯性矩
IP
2dA
A
y
3.惯性积
Iyz
yzdA
A
4.惯性半径
O z
z
iy
Iy A
zyd bAzdA aydA Aab
A
A
A
Iz1 Iz2azSA2a
即： Iy1 Iy2bSyA2b
1.过形心的惯性矩最小；
2. (a,b)表示C点的坐标， 惯性积没有上述结论。
Iy1z1IyzazS bySAa
12
例题 7-3-1 求图示截面图形的Iｚc。
§ 7-3 平行移轴定理
解： yC
Ai yCi 122 0 0131 022 0 06095(mm)
1
第七章 平面图形的几何性质
§7-1 静矩、形心 §7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积 §7-3 平行移轴定理 §7-4 转轴定理
2
§ 7-1 静矩、形心
§7-1 静矩、形心
一、静矩（S）
面积对轴的一次矩称为静矩或一次矩。
y
Sy
zdA
A
dA
●
Sz
ydA
A
y
O z
1.静矩的单位：长度的三次方;
z
2.静矩可正可负也可能为零。
zdA,
A
Sz
ydA
A
yC
Sz A
,
zC
Sy A
截面图形对于某一轴的静矩若为零， 则该轴必定经过截面的形心；截面图 形对于形心轴的静矩恒等于零。
y
y yC
dA
●
C
O
zC
z
z
5
三、组合图形的静矩与形心
静矩： Sy AizCi Sz AiyCi
形心： yC
Ai yCi Ai
zC
Ai zCi Ai
§ 7-3 平行移轴定理
§7-3 平行移轴定理
平行移轴定理是指平面图形对于相互 平行轴的惯性矩及惯性积之间的关系。
C点的坐标为 （a，b）
已知Iy，Iz ，Iyz (y、z轴过截面形心C)，求Iy1，Iz1 ，Iy1z1 。
z1 zb, y1 ya
Iz1 y12dA (ya)2dA
A
A
y1 z1 y
iz
Iz A
7
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
1. 单位：长度的四次方； 2.同一截面对于不同的坐标轴的惯性矩和惯性积一般不同； 3.惯性矩恒为正，而惯性积可正可负也可等于零；
4.若y、z轴有一个为对称轴，则Iyz恒等于零。
二、常见图形的惯性矩和极惯性矩 y,z为形心对称轴
1.矩形
hb 3 I y 12
co2sIyzs
in2
Iy1z1 Iz 2Iysi2nIyzco2sIzIyIz1Iy1
IIy z 1 1 z1 IIy y 1 1 z1 c sion c s so i n sIIy zzIIy y z c so in c sy
120
． C1
． C
②
． C2
①
zC
yC
z
20
IzCIzC 1IzC2 IzC 1A 1 d 1 2IzC 2A 2d2 2 120 23 0120 20 32 5 12 2 0123 02 0123 025 12 884104(mm 4)
120
13
§ 7-4 转轴定理
Iz
bh 3 12
IP
bh（b2 12
h2）
b
b
2
2
C
y
h
2z
h 2
8
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
2.圆形 a)实心(d)
Ip
d4
32
Iy
Iz
d4
64
b)空心(D、d、
d D
)
Ip
D（ 4 14）
32
Iy
Iz
D（ 414）
64
C
z
y
三、组合图形的惯性矩、极惯性矩、惯性积
Iy Iyi
§7-4 转轴定理
一、转轴公式
转轴定理是研究坐标轴系绕原点转动时，平面图形对于这 些坐标轴的惯性矩与惯性积之间的变化规律。
已知Iy，Iz ，Iyz ，(逆时针转为正) ，求Iy1，Iz1 ，Iy1z1 。
z1zco sysin
y
y1zsin yco s y1
z
dA
Iz1 y12dA
z1
A
(zsinycos)2dA
15
§ 7-4 转轴定理
二、主惯性轴、形心主轴、主惯性矩、形心主惯性矩
主(惯性)轴：对于该轴系的惯性积为零。
形心主轴：过形心的主惯性轴。
主惯性矩：相应主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性矩：相应形心主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性平面：形心主轴与杆轴线所组成的平面。
令： I y1z1 0
得：
tan20
2Iyz Iz Iy