江苏省南通市如东高级中学2020-2021学年高二10月月考数学试题
根据图象可得：
，解得
，
，解得：
．
故选 D．
二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分．在每小题给出的四个选项中，至少
有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1. 9. 已知
，
，则下列不等式中，正确的是
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
且
，
，A 正确；
，B 错误；
，则 的值为（ ）
A． C．8 6. 若不等式
对任意
B．4 D．16
恒成立，则实数 a 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
1
7. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数
列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列 是等积数列且
，前 41 项的和为
103，则这个数列的公积为
13. 若数列 是公差不为 0 的等差数列， 、 、 成等差数列，则 的值为________．
14. 等差数列 中，
，则
________．
15. 三个同学对问题“已知 m，
，且
，求 的最小值”提出各自的解题思路：
甲：
，可用基本不等式求解；
乙：
，可用二次函数配方法求解；
丙：
，可用基本不等式求解；
参考上述解题思路，可求得当 小值
．
20. 已知二次函数
，满足
，
．
（1）求函数 的解析式；
（2）若关于 x 的不等式
在
上有解，求实数 t 的取值范围；
（3）若函数
的两个零点分别在区间
和 内，求实数 m 的取值范围．
4
21. 已知公差大于 0 的等差数列 的前 n 项和为 ，且满足
，
．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）若
，求 的表达式；
在
上有解，求实数 t 的取值范围；
若函数 m 的取值范围． 【解析】解： 由
的两个零点分别在区间 ，得 ．
由
，得
，
和
内，求实数
故
解得
，得
，
，
，
，
则
，
，
当 时，
成立，
，
时，
，
当 时，
，不符合当 时的通项，
综上可知不正确的是 A、B、C．故选 ABC．
12. 若数列 对任意
满足
的命题正确的是
A.
可以是等差数列
B.
可以是等比数列
C.
可以既是等差又是等比数列
D.
可以既不是等差又不是等比数列
【答案】ABD
【解析】数列 对任意
满足
，下面选项中关于数列 ，
5. 已知正项数列 中，
，则 的值为（ ）
A．
B．4
C．8 【答案】B
D．16
【解析】 正项数列 中，
，
，
，
，
数列 为等差数列，首项为 1，公差
，
，
，
故选 B．
6. 若不等式
对任意
恒成立，则实数 a 的取值范围是
A.
B.
【答案】A
【解析】 当 n 为偶数时，
C.
D.
恒成立，转化为
恒成立，
8
即；
当 n 为奇数时
B．是等比数列不是等差数列 D．是等比数列又是等差数列
【解析】数列 0，0，0， ，0， 是无穷数列，从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数
0，符合等差数列的定义，
所以数列 0，0，0， ，0， 是等差数列，
根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为 0 的项，所以数列 0，0，0， ，0， 不是等比数列，
恒成立，转化为
恒成立，
即
；
综上可得 a 的范围为
故选 A．
7. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数
列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列 是等积数列且
，前 41 项的和为
103，则这个数列的公积为
A. 2
B. 3
C. 6
D. 8
【答案】C
如东高级中学 2020-2021 学年度第一学期 10 月月考
高二数学试题
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1.数列 0，0，0， ，0 （ ）
A．既不是等差数列又不是等比数列 C．是等差数列不是等比数列
（3）若
，存在非零常数 c，使得数列 成立，求 k 的取值范围．
是等差数列，存在
，不等式
22. 已知函数 个元素．
b 是非零实常数 满足
（1）求 a，b 的值；
，且关于 x 的方程
的解集中恰有一
（2）在直角坐标系中，求定点
到函数 图像上任意一点
的距离 的最小值；
（3）当
时，不等式
恒成立，求实数 m 的取值范围．
丙：
，可用基本不等式求解；
14
参考上述解题思路，可求得当 小值
________时，
【答案】 【解析】 因为
，
，，
所以
，
所以
有最
当且仅当
时，取等号，即当
时，
有最小值
．
故答案为
．
16. 定义：关于 x 的两个不等式 为对偶不等式 如果不等式
，则 ________． 【答案】 【解析】
和
的解集分别为 和 ，则称这两个不等式
【解析】因为数列 是等积数列，可设其公积为 k，
则有
，，
因为
，前 41 项的和为 103，
所以
，
即
，
所以
，解得 ．故选：C．
8. 南宋数学家杨辉在 详解九章算法 和 算法通变本末 中，提出了一些新的垛积公式，所讨论 的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等 差数列 对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术” 现有高阶等差数列，其前 7 项
A.
B.
C.
D.
10. 对于数列 ，若存在数列 满足
，则称数列 是 的“倒差数列”，
下列关于“倒差数列”描述正确的是
A. 若数列
是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；
B. 若
，则其“倒差数列”有最大值；
C. 若
，则其“倒差数列”有最小值；
D. 若
，则其“倒差数列”有最大值．
11. 已知数列 的前 n 项和为
________时，
有最
3
16. 定义：关于 x 的两个不等式
和
的解集分别为 和 ，则称这两个不等式
为对偶不等式 如果不等式
与不等式
为对偶不等式，且
，则 ________．
三、解答题（本大题共有 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤.）
17. 设 为数列 的前 n 项和，且
A. 2
B. 3
C. 6
D. 8
8. 南宋数学家杨辉在 详解九章算法 和 算法通变本末 中，提出了一些新的垛积公式，所讨论
的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等
差数列 对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术” 现有高阶等差数列，其前 7 项
【答案】3
【解析】依题可得
，即
，
设数列公差为 d，可得
，
解得
，所以
，
，
故答案为 3． 14. 等差数列 中，
，则
【答案】24
【解析】
，
________． ，
． 故答案为 24． 15. 三个同学对问题“已知 m，
，且
，求 的最小值”提出各自的解题思路：
甲：
，可用基本不等式求解；
乙：
，可用二次函数配方法求解；
5
2020-2021 学年度第一学期 10 月月考
高二数学试题
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1.数列 0，0，0， ，0 （ ）
A．既不是等差数列又不是等比数列 C．是等差数列不是等比数列 【答案】C
，
，
．
17
即为
，公比
的等比数列．
19. 已知数列 的前 n 项和为 ，
，满足
．
计算
，
，
，猜想
的一个表达式 不需要证明
设
，数列
的前 n 项和为
，求证：
．
【解析】 因为
，所以
，
由此整理得
，于是有：
，
，
，
猜想：
，
由
，
于是：
又因为
，所以
．
20. 已知二次函数
，满足
，
．
求函数
的解析式；
18
若关于 x 的不等式
分别为 1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第 8 项为
A. 99
B. 131
C. 139
D. 141
9
【答案】D 【解析】 所给数列为高阶等差数列，设该数列的第 8 项为 x， 根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列， 即得到了一个等差数列，如图：
江苏省南通市如东中学2021届高三数学10月月考试题含解析
江苏省南通市如东中学2021届高三数学10月月考试题（含解析）一、选择题(本大题共8小题，共40分)1.已知集合0，1，2,,0，，，则A. B. 2，C。
0，D。
0，2，【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的并集与补集的混合运算，是基础题．先计算出，再求补集即可．【解答】解:因为所以，又所以．故选A．2.设，则“”是“”的A。
充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D。
既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了充分条件、必要条件、充要条件的判定，属于基础题．由不等式知选A．【解答】解：不等式，所以能推出,但反过来推不出, 故选A．3.若，则下列结论正确的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查指数函数和对数函数的单调性,是基础题．由函数单调递增，化简为得即可求解．【解答】解:由得,因为函数在R上单调递增，所以，所以，所以．故选A．4.已知，且，则A。
B. C. D。
【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系,属于基础题．根据题意得到,进而得到即可．【解答】解：因为，所以,即，解得：舍去或,因为，所以，故选A．5.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则A. 2 B。
3 C. 4 D。
8【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了抛物线与椭圆的标准方程及几何性质，属于基础题．根据抛物线的焦点坐标为，列方程即可求得结果．【解答】解：根据抛物线的焦点坐标为，所以根据焦点相同得到，解得．故选D．6.已知，向量， ,若，则实数A. B。
C。
D. 2【答案】D【解析】【分析】本题考查平面向量模、平面向量数量积的坐标运算,属于基础题．由,可得0,结合向量坐标计算可得实数n的值．【解答】解：因为,所以,即0，因为向量，，所以，即．故选D．7.“蒙日圆"涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆:的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为A。
江苏省沭阳如东中学高二数学10月月考试卷 - 含答案
江苏省沭阳如东中学2021-2022学年第一次月考模拟试卷高二数学2021.10.06一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．若复数z满足z⋅(2+i)=z⋅(1−i)+1，则关于复数z的说法正确的是()A. 复数z的实部为1B. 复数z的虚部为0C. 复数z的模长为1D. 复数z对应的复平面上的点在第一象限2．“2<m<6”是“方程x2m−2+y26−m=1为椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．若函数f(x)=a x−a−x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y=log a(|x|−1)的图象可以是()A. B.C. D.4．过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4,−5)到它的距离相等，则这条直线的方程是()A. 4x+y−6=0B. x+4y−6=0C. 2x+3y−7=0或x+4y−6=0D. 3x+2y−7=0或4x+y−6=05．过点P(−2,4)作圆O：(x−2)2+(y−1)2=25的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l 平行，则直线l与m的距离为()A. 4B. 2C. 85D. 1256．已知在圆M:x2+y2−4x+2y−4=0内，过点O(0,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A. 6B. 8C. 10D. 127．已知圆C：(x−1)2+y2=1，直线l过点P(2,−2)，且与圆C交于A，B两点，则当△ABC 面积最大时，直线l的方程为()A. x+y=0B. 6x−y−14=0C. x+y=0或7x+y−12=0D. x+y=0或6x−y−14=08．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在两点M ，N 关于直线2x −3y −1=0对称，且线段MN 中点的纵坐标为23，则椭圆C 的离心率是( )A. 13B. √33C. 23D. 2√23二、多选题（本大题共4小题，共20分） 9．已知点P(1,−1)是角α终边上的一点，则( )A. α2一定是第一象限的角 B. 若sin(β+α)=35，则sin2β=725 C. 函数g(x)=cos(3x +α+5π4)是奇函数D. 将函数f(x)=sin(2x +α)的图象向左平移π4个单位可以得到g(x)=cos(2x −π4)的图象10．以下四个命题表述正确的是( )A. 直线(3+m )x +4y −3+3m =0(m ∈R )恒过定点(−3,−3)B. 圆x 2+y 2=4上有且仅有3个点到直线l:x −y +√2=0的距离都等于1C. 圆C 1:x 2+y 2+2x =0与圆C 2:x 2+y 2−4x −8y +m =0恰有三条公切线，则m =4D. 已知圆C:x 2+y 2=4，点P 为直线x 4+y2=1上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2) 11．设椭圆x 29+y 23=1的右焦点为F ，直线y =m(0<m <√3)与椭圆交于A,B 两点，则( ) A. |AF |+|BF |为定值B. ΔABF 的周长的取值范围是[6,12]C. 当m =√32时，ΔABF 为直角三角形 D. 当m =1时，ΔABF 的面积为√612．椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P(x 0,y 0)是椭圆第一象限上的一点(不包括轴上的点)，ΔPF 1F 2的重心是G ，∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M(m,0)，下列说法正确的有( )A. G 的轨迹是椭圆的一部分B. OG 的长度范围是(2√33,43) C. |MF 1||MF 2|取值范围是(1,3)D. m =14x 0三、单空题（本大题共4小题，共20分） 13．椭圆x 2k+8+y 29=1的离心率为12，则k 的值为______________14．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽为米.15．设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=35，则椭圆E的离心率为________．16．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M，N两点，点P 在圆(x−a)2+y2=2上运动．若∠MPN恒为锐角，则实数a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共72分）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=3，c=√2，B=45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45，求tan∠DAC的值．18．在△ABC中，A(−1,2)，边AC上的高BE所在的直线方程为7x+4y−46=0，边AB 上中线CM所在的直线方程为2x−11y+54=0．(1)求点C坐标；(2)求直线BC的方程．19．如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m.在观测点正前方10m处(即PD=10m)有一个高位10m(即ED=10m)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．(1)若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为x轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即∠APF)的正切值为3149，求该圆形标志物的半径．20．如图，从椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//OP，|F1A|=√10+√5(1)求椭圆的方程；(2)设点P关于x轴的对称点为P0，过椭圆上不同于P，P0的任意一点Q，作直线QP，QP0分别交x轴于点M，N.证明：点M，N的横坐标之积为定值．21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为√33b.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M(√3,√32)在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM 相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．22．如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，与y轴正半轴交于点P(0,1).过原点O不与x轴垂直的动直线l与C交于A，B两点．(I)求椭圆C 的标准方程；(II)设直线PA 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1⋅k 2为定值，并求出该定值；(III)以点E (0,2)为圆心，|EP |为半径的圆与直线PA 、PB 分别交于异于点P 的点M 和点N ，求△PMN 与△PAB 面积之比λ的取值范围．如东中学高二数学第一次月考模拟试卷2021.10.06一、单选题（本大题共8小题，共40分）1. 若复数z 满足 z ⋅(2+i)=z ⋅(1−i)+1，则关于复数z 的说法正确的是( )A. 复数z 的实部为1B. 复数z 的虚部为0C. 复数z 的模长为1D. 复数z 对应的复平面上的点在第一象限【答案】A【解析】设z =a +bi(a,b ∈R)，则(a +bi)⋅(2+i)=(a −bi)⋅(1−i)+1，化简得(2a −b)+(a +2b)i =(a −b +1)−(a +b)i ， 根据对应相等得：{2a −b =a −b +1a +2b =−(a +b), 解得a =1，b =−23，∴z =1−23i ，|z|=√1+49=√133，复数z 对应的复平面上的点(1,−23)在第四象限， 故选A ．2. “2<m <6”是“方程x 2m−2+y 26−m =1为椭圆”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若方程x 2m−2+y 26−m =1为椭圆方程， 则{m −2>06−m >0m −2≠6−m ，解得：2<m <6，且m ≠4， 故“2<m <6”是“方程x 2m−2+y 26−m =1为椭圆方程”的必要不充分条件， 故选B ．3. 若函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y =log a (|x|−1)的图象可以是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】因为函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数， 所以0<a <1，而函数y =log a (|x|−1)是偶函数，定义域为{x|x >1或x <−1}，x >1时，函数y =log a (|x|−1)的图象是把函数y =log a x 的图象向右平移1个单位得到的，故选D ．4. 过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4,−5)到它的距离相等，则这条直线的方程是( )A. 4x +y −6=0B. x +4y −6=0C. 2x +3y −7=0或x +4y −6=0D. 3x +2y −7=0或4x +y −6=0【答案】D【解析】由题意得k AB=−5−34−2=−4，线段AB的中点为C(3,−1)．分两种情况讨论： ①过P(1,2)且与直线AB平行的直线满足题意，其方程为y−2=−4(x−1)，整理得4x+y−6=0; ②过点P(1,2)与线段AB的中点C(3,−1)的直线满足题意，其方程为y−(−1)2−(−1)=x−31−3，整理得3x+2y−7=0．故满足条件的直线方程是4x+y−6=0或3x+2y−7=0，故选D．5.过点P(−2,4)作圆O：(x−2)2+(y−1)2=25的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A. 4B. 2C. 85D. 125【答案】A【解析】由已知，切线斜率存在且不为0，因为P为圆上一点，则有k OP·k l=−1,而k OP=4−1−2−2=−34，∴k l=43．∴a=4,所以直线m：4x−3y=0,直线l：y−4=43(x+2)即4x−3y+20=0．∴l与m的距离为．故选A．6.已知在圆M:x2+y2−4x+2y−4=0内，过点O(0,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】由题意可得：(x−2)2+(y+1)2=9，所以圆心为(2,−1)，半径为3；由于点(0,0)到圆心的距离为√5，小于半径3，则点(0,0)在圆内，则最长弦AC是直径，最短弦BD的中点是O(0,0)，且AC⊥BD.|AC|=2×3=6，|BD|=2√32−(√5)2=4，则S ABCD=12|AC|⋅|BD|=12×6×4=12.故选D．7.已知圆C：(x−1)2+y2=1，直线l过点P(2,−2)，且与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的方程为()A. x +y =0B. 6x −y −14=0C. x +y =0或7x +y −12=0D. x +y =0或6x −y −14=0【答案】C【解析】由题意知圆心为(1,0)，半径r =1，设∠ACB =θ， 根据面积公式S △ABC =12r 2sinθ=12sinθ≤12，所以当θ=π2时，即点到直线的距离为√22时取最大值．显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线ι的方程为y +2=k(x −2)， 即kx −y −2k −2=0，d =√k 2+1=√22， 解得k =−1或k =−7，所以直线l 的方程为x +y =0或7x +y −12=0．故选C ．8. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上存在两点M ，N 关于直线2x −3y −1=0对称，且线段MN 中点的纵坐标为23，则椭圆C 的离心率是( )A. 13B. √33C. 23D. 2√23【答案】B【解析】设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则x 12a2+y 12b 2=1，x 22a2+y 22b 2=1，两式相减可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，即y 1−y2x 1−x 2=−b 2a 2⋅x 1+x2y 1+y 2，∵线段MN 中点的纵坐标为23， ∴2x −3×23−1=0， 解得x =32，于是−32=−b 2a 2⋅94，解得b 2a 2=23，∴椭圆C 的离心率e =√1−b 2a2=√33，故选B ．二、多选题（本大题共4小题，共20分）9. 已知点P(1,−1)是角α终边上的一点，则( )A. α2一定是第一象限的角 B. 若sin(β+α)=35，则sin2β=725C. 函数g(x)=cos(3x +α+5π4)是奇函数D. 将函数f(x)=sin(2x +α)的图象向左平移π4个单位可以得到g(x)=cos(2x −π4)的图象 【答案】BD【解析】对于A ，因为点P(1,−1)是角α终边上的一点， 所以可得α=2kπ−π4，k ∈Z ， 故α2=kπ−π8，k ∈Z ， 所以α2是第二，四象限角． 选项A 错误;对于B ，若sin(β+α)=35，即sin(β+2kπ−π4)=sin(β−π4)=35， 所以sin2β=sin[2(β−π4)+π2]=cos2(β−π4)=1−2sin 2(β−π4)=1−2×9=725．选项B 正确；对于C ，因为函数g(x)=cos(3x +α+5π4)=cos(3x +5π4+2kπ−π4) =−cos3x ，所以函数g(x)为偶函数． 故选项C 错误;对于D ，因为f(x)=sin(2x +α)=sin(2x −π4)所以将f(x)的图像向左平移π4个单位可以得到y =sin[2(x +π4)−π4]=sin(2x +π4)的图像，又因为sin(2x +π4)=cos[π2−(2x +π4)]=cos(π4−2x)=cos(2x −π4)，即将函数f(x)=sin(2x +α)的图象向左平移π4个单位可以得到g(x)=cos(2x −π4)的图象所以选项D 正确．故选BD ．10. 以下四个命题表述正确的是( )A. 直线(3+m )x +4y −3+3m =0(m ∈R )恒过定点(−3,−3)B. 圆x 2+y 2=4上有且仅有3个点到直线l:x −y +√2=0的距离都等于1C. 圆C 1:x 2+y 2+2x =0与圆C 2:x 2+y 2−4x −8y +m =0恰有三条公切线，则m =4D. 已知圆C:x 2+y 2=4，点P 为直线x 4+y2=1上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2) 【答案】BCD【解析】A.直线(3+m )x +4y −3+3m =0(m ∈R )， 得m(x +3)+3x +4y −3=0， 由{x +3=03x +4y −3=0，得{x =−3y =3, 即直线恒过定点(−3,3)， 故A 错误；B . 圆心C(0,0)到直线l:x −y +√2=0的距离为 d =√2|√12()2=1，圆的半径r =2，故圆C 上有3个点到直线l 的距离为1，故B 正确； C . 曲线C 1:x 2+y 2+2x =0，即(x +1)2+y 2=1， 曲线C 2:x 2+y 2−4x −8y +m =0， 即(x −2)2+(y −4)2=20−m ，两圆心的距离为√(−1−2)2+(0−4)2=5=1+√20−m ， 解得m =4，故C 正确；D . 因为点P 为直线x 4+y2=1上一动点，设点P(4−2t,t)， 圆C:x 2+y 2=4的圆心为C(0,0)，以线段PC 为直径的圆Q 的方程为(x −4+2t)x +(y −t)y =0， 即x 2+(2t −4)x +y 2−ty =0，故直线AB ，即为圆Q 与圆C 的公共弦方程为：x 2+(2t −4)x +y 2−ty −(x 2+y 2)=0−4， 即(2t −4)x −ty +4=0， 即t(2x −y)−4x +4=0， 令{2x −y =0−4x +4=0得{x =1y =2, 所以直线AB 经过定点(1,2)，故D 正确．故选：BCD ．11. (多选题)设椭圆x 29+y 23=1的右焦点为F ，直线y =m(0<m <√3)与椭圆交于A,B 两点，则( )A. |AF |+|BF |为定值B. ΔABF 的周长的取值范围是[6,12]C. 当m =√32时，ΔABF 为直角三角形 D. 当m =1时，ΔABF 的面积为√6【答案】ACD【解析】设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|=|BF|， 所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|为定值6，A 正确； △ABF 的周长为|AB|+|AF|+|BF|，因为|AF|+|BF|为定值6，易知|AB|的范围是(0,6)， 所以△ABF 的周长的范围是(6,12)，B 错误； 将y =√32与椭圆方程联立，可解得A (−3√32,√32),B (3√32,√32)，又易知F(√6,0)， ∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√6+3√32)(√6−3√32)+(√32)2=0，所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即∠AFB =90°， 所以△ABF 为直角三角形，C 正确；将y =1与椭圆方程联立，解得A(−√6,1),B(√6,1)， 所以S △ABF =12×2√6×1=√6，D 正确． 故选ACD ．12. 椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P(x 0,y 0)是椭圆第一象限上的一点(不包括轴上的点)，ΔPF 1F 2的重心是G ，∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M(m,0)，下列说法正确的有( )A. G 的轨迹是椭圆的一部分B. OG 的长度范围是(2√33,43) C. |MF 1||MF 2|取值范围是(1,3)D. m =14x 0【答案】ACD 【解析】由椭圆x 24+y 23=1的方程得：a =2, b =√3,c =√a 2−b 2=1，A .设ΔPF 1F 2的重心G 的坐标为(x,y )，且O 为F 1F 2的中点，∴G 在线段OP 上，且OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又点P 的坐标为P(x 0,y 0)， 故{x =13x 0y =13y 0，即{x 0=3xy 0=3y ,又P(x 0,y 0)在椭圆上，故(3x )24+(3y )23=1，即x 249+y 213=1，又P(x 0,y 0)是椭圆第一象限上的一点(不包括轴上的点)，故G 的轨迹是椭圆的一部分，故A 正确； B .由G 的轨迹是椭圆x 249+y 213=1在第一象限的部分，且a =23, b =√33，故OG 的长度范围是(√33,23)，故B 错；C .由椭圆的定义得：|PF 1|+|PF 2|=2a =4，且P(x 0,y 0)是椭圆第一象限上的一点(不包括轴上的点)， 故1<|PF 2|<2，由角平分线性质得：|MF 1||MF 2|=|PF 1||PF 2|=4−|PF 2||PF 2|=4|PF 2|−1，故|MF 1||MF 2|取值范围是(1,3)，故C 正确；D .椭圆的左准线方程为：x =−4，右准线方程为：x =4， 则P 0到左准线的距离为：x 0+4，P 0到右准线的距离为：4−x 0， 故|PF 1||PF 2|=x 0+44−x 0，又M 的坐标为(m,0)，所以|MF 1||MF 2|=m+11−m ，且由角平分线性质得：|PF 1||PF 2|=|MF 1||MF 2|，故x 0+44−x 0=m+11−m ，解得：m =14x 0，故D 正确；故选ACD ．三、单空题（本大题共4小题，共20分）13. 椭圆x 2k+8+y29=1的离心率为12，则k 的值为______________【答案】4或−54【解析】若椭圆的焦点在x 轴上，则a 2=k +8,b 2=9，且k +8>9，即k >1， 此时c 2=k −1，e =ca=√k−1√k+8=12，解得k =4；若椭圆的焦点在y 轴上，则a 2=9,b 2=k +8，且0<k +8<9，即−8<k <1， 此时c 2=1−k ，e =c a=√1−k 3=12，解得k =−54． 故答案为4或−54．14. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽为 米.【答案】16【解析】如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程设为x2+(y+r)2=r2,水面所在弦的端点为A，B，则A(6,−2)，将A(6,−2)代入圆的方程，得r=10，∴圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降2米后，可设点A′(x0,−4)(x0>0)，将A′(x0,−4)代入圆的方程，得x0=8，∴当水面下降2米后，水面宽为2x0=16米．故答案为16．15.设F1，F2分别是椭圆E：x2a +y2b=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=35，则椭圆E的离心率为________．【答案】√22【解析】设|BF1|=k(k>0)，则|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a−3k，|BF2|=2a−k，∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得：|AB|2=|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2=(2a−3k)2+(2a−k)2−65(2a−3k)(2a−k)，化简得(a+k)(a−3k)=0，而a+k>0，故a=3k，∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，即|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，且AF1=AF2=3k，即△AF1F2是等腰直角三角形，则(2c)2=2a2，∴c=√22a，∴椭圆的离心率e=ca =√22．故答案为√22．16.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M，N两点，点P在圆(x−a)2+y2=2上运动．若∠MPN恒为锐角，则实数a的取值范围是．【答案】a<−4或a>√7−1【解析】直线y=x+2与x，y轴的交点M(−2,0)，N(0,2)，以MN为直径的圆C的圆心为C(−1,1)，∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆C之外，∴圆C与圆(x−a)2+y2=2相离；由于∠MPN不能为0°(当然也肯定不能为180°)，∴P不能与M、N共线，∴圆(x−a)2+y2=2与直线y=x+2相离，如图所示．圆C的圆心(−1,1)，半径为√2，圆(x−a)2+y2=2的圆心(a,0)，半径为√2．∵两圆外离，∴(a+1)2+12>(2√2)2，解得a<−√7−1或a>√7−1①，由直线y=x+2，即x−y+2=0与圆(x−a)2+y2=2相离，∴|a−0+2|>√2，解得a<−4或a>0②，√2由①②得a的取值范围是a<−4或a>√7−1．故答案为a<−4或a>√7−1．四、解答题（本大题共6小题，共72分）17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=3，c=√2，B=45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−4，求tan∠DAC的值．5解：(1)因为a =3，c =√2，B =45°，由余弦定理可得： b =√a 2+c 2−2accosB =√2=√5，由正弦定理可得csinC =bsinB ，所以sinC =c b⋅sin45°=√2√5√22=√55， 所以sinC =√55；(2)因为cos∠ADC =−45，所以sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得cosC =√1−sin 2C =2√55， 所以sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C) =sin∠ADCcos∠C +cos∠ADCsin∠C =2√525， 因为∠DAC ∈(0,π2)，所以cos∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525，所以tan∠DAC =sin∠DAC cos∠DAC =211．18. 在△ABC 中，A(−1,2)，边AC 上的高BE 所在的直线方程为7x +4y −46=0，边AB上中线CM 所在的直线方程为2x −11y +54=0．(1)求点C 坐标； (2)求直线BC 的方程．解：(1)边AC 上的高BE 所在的直线方程为7x +4y −46=0， 故边AC 所在的直线的斜率为47，所以边AC 所在的直线的方程为y −2=47(x +1)， 即4x −7y +18=0，因为CM 所在的直线方程为2x −11y +54=0，由{2x −11y +54=0,4x −7y +18=0, 解得{x =6y =6, 所以C(6,6).(2)设B(x 0,y 0)，M 为AB 中点，则M 的坐标为(x 0−12,y 0+22)，由{2×x 0−12−11×y 0+22+54=07x 0+4y 0−46=0，解得{x 0=2y 0=8, 所以B(2,8)， 又因为C(6,6)，所以直线BC 的方程为y −6=8−62−6(x −6)，19. 如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C ，与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P 处有一个观测点，且PG =50m.在观测点正前方10m 处(即PD =10m)有一个高位10m(即ED =10m)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A 到F 的圆弧．(1)若圆形标志物半径为25m ，以PG 所在直线为x 轴，G 为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C 和直线PF 的方程；(2)若在点P 处观测该圆形标志的最大视角(即∠APF)的正切值为3149，求该圆形标志物的半径．解：(1)由已知可得，圆C ：x 2+(y −25)2=252． 设直线PF 方程：y =k(x +50)(k >0)， 因为直线PF 与圆C 相切，所以√1+k 2=25，解得k =43，所以直线PF 方程：y =43(x +50)，即4x −3y +200=0；(2)设直线PF 方程：y =k(x +50)(k >0)，圆C ：x 2+(y −r)2=r 2． 因为tan∠APF =tan(∠GPF −∠GPA)=k−11+k =3149，所以k =409所以直线PF 方程：y =409(x +50)，即40x −9y +2000=0．因为直线PF 与圆C 相切，所以√1600+81=r ，化简得2r 2+45r −5000=0，即(2r +125)(r −40)=0． 故r =40．20. 如图，从椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB//OP ，|F 1A |=√10+√5(1)求椭圆的方程；(2)设点P 关于x 轴的对称点为P 0，过椭圆上不同于P ，P 0的任意一点Q ，作直线QP ，QP 0分别交x 轴于点M ，N.证明：点M ，N 的横坐标之积为定值． 解：(1)由题意可知，A(a,0)，B(0,b)，F 1(−c,0)，P(−c,b 2a )，∵AB//OP ， ∴k AB =k OP ， 即−ba =−b 2ac⇒b =c ，∵a 2=b 2+c 2， ∴a 2=2c 2， ∴a =√2c ，∴a +c =(√2+1)c ，又|F 1A|=a +c =(√2+1)√5， ∴a =√10，c =√5，b =√5， ∴椭圆方程为x 210+y 25=1；(2)由(1)得P(−√5,√102)，则P 0(−√5,−√102)，设Q(x 0,y 0)，则有x 02+2y 02−10=0，直线PQ 的方程为y −√102=y −√102x +5+√5)，令y =0，整理得x M =−√102x −√5y 0−√102，同理可得点N 的横坐标x N =√102x −√5y 0+√102，所以点M ，N 的横坐标之积x M ·x N =−√102x −√5y 0−√102·√102x −√5y 0+√102=−5(12x 02−y 02)y 02−52，因为x 02=10−2y 02，所以x M ·x N =−5[12(10−2y 02)−y 02]y 02−52=10(y 02−52)y 02−52=10．故点M ，N 的横坐标之积为定值10．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为√33b. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M(√3,√32)在椭圆C 上，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)由题意，得a −c =√33b ，则(a −c)2=13b 2，结合b 2=a 2−c 2，得(a −c)2=13(a 2−c 2)，即2c 2−3ac +a 2=0， 亦即2e 2−3e +1=0，结合0<e <1，解得e =12． 所以椭圆C 的离心率为12． (2)由(1)得a =2c ，则b 2=3c 2．将M(√3,√32)代入椭圆方程x 24c 2+y 23c2=1，解得c =1．所以椭圆方程为x 24+y 23=1．易得直线OM 的方程为y =12x ．当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不可能在直线y =12x 上，故直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y =kx +m(m ≠0)，与x 24+y 23=1联立，消y 得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 所以Δ=64k 2m 2−4(3+4k 2)(4m 2−12) =48(3+4k 2−m 2)>0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k ．由y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m3+4k 2， 得AB 的中点N(−4km3+4k ,3m3+4k )， 因为N 在直线y =12x 上，所以−4km3+4k =2×3m3+4k ，解得k =−32．所以Δ=48(12−m 2)>0，得−√12<m <√12，且m ≠0，|AB|=√1+(32)2|x2−x1|=√132·√(x1+x2)2−4x1x2=√132⋅√m2−4m2−123=√396√12−m2．又原点O到直线l的距离d=√13，所以S△OAB=12×√396√12−m2√13=√36√(12−m2)m2≤√36⋅12−m2+m22=√3．当且仅当12−m2=m2，m=±√6时等号成立，符合−√12<m<√12，且m≠0．所以△OAB面积的最大值为：√3．22.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，与y轴正半轴交于点P(0,1).过原点O不与x轴垂直的动直线l与C交于A，B两点．(I)求椭圆C的标准方程；(II)设直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，证明：k1⋅k2为定值，并求出该定值；(III)以点E(0,2)为圆心，|EP|为半径的圆与直线PA、PB分别交于异于点P的点M和点N，求△PMN与△PAB面积之比λ的取值范围．解：(I)由题意得ca =√22，且b=1，a2=b2+c2，解得a=√2,c=1，∴椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；(II)由于A ，B 关于原点O 对称， 故可设A(x 0,y 0)，B(−x 0,−y 0)，且x 022+y 02=1；k 1⋅k 2=y 0−1x 0⋅−y 0−1−x 0=y 02−1x 02=−x 022x 02=−12，即k 1⋅k 2为定值−12；(III)设直线PA 的方程为y =k 1x +1， 直线PB 的方程为y =k 2x +1， 由(II)知，k 1⋅k 2=−12；由题意，圆E 的方程为x 2+(y −2)2=1； 联立直线PA 与圆E 的方程， 得{y =k 1x +1x 2+(y −2)2=1, 解得M 点横坐标x M =2k11+k 12；联立直线PA 与椭圆C 的方程， 得{y =k 1x +1x 22+y 2=1, 解得A 点横坐标x A =−4k11+2k 12，|PM||PA|=|x M x A|=1+2k 122(1+k 12)；同理，|PN||PB|=|xN x B|=1+2k 222(1+k 22)，由于∠MPN =∠APB ，所以△PMN 与△PAB 面积之比：，将k 2=−12k 1代入上式，并化简得，λ=(1+2k 12)22(1+k 12)(1+4k 12)，令t =1+2k 12，则由k 1≠0，有t >1，故0<1t <1，λ=t 2(t +1)(2t −1)=194−(1t −12)2∈[49,12),综上，△PMN与△PAB面积之比λ的取值范围为[49,12 )．第21页，共21页。
江苏省如东高级中学、如东县第一高级中学、徐州中学、沭阳如东高级中学、宿迁市第一高级中学2023-20
江苏省如东高级中学、如东县第一高级中学、徐州中学、沭阳如东高级中学、宿迁市第一高级中学2023-2024学年高二
上学期第二次阶段测试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．
1
5
B ．
125
5．已知数列{}n a ，12a =，（）A ．15
B ．30
6．设0x >，向量1,AB x x ⎛= ⎝ 值为（
）
二、多选题
三、单空题
四、填空题
五、单空题
六、填空题
七、解答题
九、解答题
19．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，公差0d >，数列{}n b 为等比数列，且22a b =，
84a b =，()*326N a b n =∈．
(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
(2)设2
n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足14n a n T +>的n 的最小值．
十、问答题
十一、证明题
十二、问答题
(1)求实数m的取值范围；
m=时，如图所示，过点(2)当1
率为2
-的直线与椭圆
点坐标；若不是，请说明理由。
江苏省如皋市2020-2021学年高二上学期10月教学质量调研数学试题(pdf版含答案)
18．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C1 :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的离心率为 1
2
，抛物线 C2
的焦点与椭圆 C1 的右焦点 F
重合，C1 的
中心与 C2 的顶点重合．过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A , B 两点，交 C2 于 C , D 两点．
该圆与双曲线在第一象限的交点为
P
，则
PF1
PF2
（
）
A． 8
B． 8 6
C． 4
D． 4 6
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9． 已知双曲线 x2 y2 2 0 ，则不因 改变而变化的是（
）
63
A．渐近线方程
B．顶点坐标
C．离心率
D．焦距
10．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b 0 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，P
为右支上一点，若 PF1
3PF2 ，
则双曲线的离心率可能为（ ）
A． 2
B． 3
C． 5
D． 3
11．设
F1
，
F2
为椭圆
C
:
x2 16
y2 7
1的左、右焦点， M
小值为 3，则 p
▲
；若过 F 的直线交抛物线于 A , B 两点，有 AF 2FB ，
2020届江苏省南通市如东县高三上学期10月月考数学试题
2020届江苏省南通市如东县高级中学高三上学期10月月考数学试题一、填空题1．设集合{1,2,3,4}P =，{|22,}Q x x x R =-≤≤∈，则P Q =_______.【答案】{}1,2【解析】利用集合的交集运算求解即可 【详解】{}{1,2,3,4},{|221,2},P Q x x P Q ==-≤≤∴=故答案为：{}1,2 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题. 2．函数()2ln(3)=-f x x x 的定义域是_______.【答案】(0,3)【解析】根据复合型对数函数的定义域进行求解 【详解】()22ln(3),30f x x x x x =-∴->，(0,3)x ∴∈故答案为：(0,3) 【点睛】本题考查复合函数的定义域，是基础题.3．命题“20,0x x ∀><都有”的否定是________. 【答案】20,0x x ∃<≤有【解析】将全称量词改存在量词，再否定结论即可，“都有”改为“有”，大于号改成小于等于号 【详解】全称量词改存在，再否定结论，即“20,0x x ∀><都有”的否定是：20,0x x ∃<≤有 故答案为：20,0x x ∃<≤有【点睛】本题考查全称命题的否定，全称改存在，再否定结论 4．已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则sin α=________.【答案】10-【解析】先由正切的和角公式求出tan α，再根据02πα-<<，利用同角三角函数基本关系求出sin α 【详解】由tan tan1tan 114tan()tan 41tan 231tan tan 4παπαααπαα+++===⇒=---⋅，又因02πα-<<，根据同角三角函数的基本关系，可求得sin 10α=-故答案为：10- 【点睛】本题考查正切三角函数和角公式的求法，同角三角函数的基本求法，解题关键是正确掌握四象限对应三角函数的正负值5．若直线1l ：30++=x y m (0m >)与直线2l ：2630x y +-=，则m =______.【答案】172【解析】观察式子可知，两直线平行，再采用平行直线距离公式求解即可. 【详解】直线1l ：30++=x y m (0m >)与直线2l ：2630x y +-=平行，直线2l ：2630x y +-=可化为3302x y +-=，利用两直线平行的距离公式：d ===232m =-或172m =，因为0m > 故答案为：172【点睛】本题考查两平行直线的距离求法，解题时需注意在一般式中，,x y 的系数需化成一致，以免造成误解.6．已知函数f (x )＝sin (2)6x π+.若y ＝f (x －φ)，02πϕ<<是偶函数，则φ＝________.【答案】3π 【解析】【详解】利用偶函数定义求解．y ＝f (x －φ)＝sin 是偶函数，所以－2φ＋＝＋k π，k ∈Z ，得φ＝－－，k ∈Z.又0＜φ＜，所以k ＝－1，φ＝.7．设函数21,03()1,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是________.【答案】(,1)-∞-【解析】根据题意，当0a ≥时，解213a a ->，当0a <时，解1a a >，即可求出.【详解】当0a ≥时,由()f a a >得213a a ->，解得3a <-，又0a ≥，所以无解，当0a <时，由()f a a >得1a a>，解得1a <-，故填(),1-∞-. 【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式及分类讨论的思想，属于中档题.8．定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时，2019()2019log xf x x =+，则在R 上方程()0f x =的实根个数为________. 【答案】3 【解析】将2019()2019log 0x f x x =+=转化成20192019log x x =-，令()2019xg x =，()201912019log logh x x x =-=，根据两函数图像交点，再结合奇函数性质求出零点个数即可 【详解】 由2019()2019log 0x f x x =+=可得20192019log x x =-，令()2019x g x =，()201912019log logh x x x =-=，分别画出两个函数图像，如图所示当大于零时，()g x 与()h x 有一个交点，根据奇函数的对称性，在(),0x ∈-∞时还存在一个关于原点对称的交点，又因()f x 定义域x ∈R ，所以()00f = 所以在R 上方程()0f x =的实根个数为3个 故答案为：3 【点睛】本题考查函数零点个数的求解问题，函数与方程转化，数形结合的重要思想，通过构造函数，转化成两函数交点问题，往往能将问题简化，这也是解决零点问题常用的基本方法9．若{}1,∈-x m 是不等式2230--≤x x 成立的充分不必要条件,则实数m 的范围是________.【答案】31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【解析】先求得不等式的解集，然后根据充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围.【详解】不等式可转化为()()1230x x +-≤，解得312x -≤≤，由于{}1,∈-x m 是312x -≤≤的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到31,2m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查充分不必要条件的概念，还考查了集合元素的互异性，属于基础题.一元二次不等式的解法主要通过因式分解，求得一元二次不等式对应的一元二次方程的两个根，由此解出不等式的解集.集合的三要素是：确定性、互异性以及无序性.10．已知直线l 的方程是60x y +-=，,A B 是直线l 上的两点，且OAB ∆是正三角形（O 为坐标原点），则OAB ∆外接圆的方程是______. 【答案】22(2)(2)8x y -+-=【解析】取AB 中点D ，连结OD ，由已知得圆心在OD 上，且半径为2223OD =，由此能求出圆的方程 【详解】 如图所示：取AB 中点D ，连结OD ，OAB ∆是正三角形， OD AB ∴⊥，∴过,O D 点的直线为y x =，联立60x y y x +-=⎧⎨=⎩得D 点坐标为(3,3)，则32OD =，由已知得圆心在OD 上，且半径为2223OD =（重心性质） ∴圆心为(2,2)，∴圆的方程为22(2)(2)8x y -+-=.故答案为：22(2)(2)8x y -+-=. 【点睛】本题考查三角形外接圆的方程的求法，正三角形是解题的关键，数形结合思想的合理运用更能辅助解题11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2by ax x =+(,a b 为常数)过点(1,4)P ，且该曲线在点P 处的切线与直线30x y ++=垂直，则2+a b 的值是_______. 【答案】5【解析】将点(1,4)P 代入曲线求出关于a b ，的关系式，再结合两直线垂直的条件和曲线在P 点的导数求解即可 【详解】将点(1,4)P 代入曲线2b y ax x =+可得4a b +=，曲线2by ax x =+的导数为32'by a x =-，根据曲线在点P 处的切线与直线30x y ++=垂直，所以过曲线上点P 的切线斜率为()'12=1k y a b ==-，联立42=1a b a b +=⎧⎨-⎩得，31a b =⎧⎨=⎩，则25a b +=故答案为：5 【点睛】本题考查曲线在某点对应切线斜率的求法，两直线垂直时斜率的关系，是中档题型. 12．在三角形ABC ∆中，=4AB ，0AC λλ=>（），若2CA CB ⋅≥-对任意的0λ>恒成立，则角A 的取值范围为_____. 【答案】,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】采用平面向量数量积公式，以,AB AC 为基底，表示出2CA CB ⋅≥-的关系式，再利用不等式的关系进行求解即可 【详解】如图，由()2222CA CB AC AB AC AC AB AC ⋅≥-⇒-⋅-≥-⇒⋅-≤，即24cos 20A λλ-+≥恒成立，同时除以λ得：()24cos ,0,A λλλ≤+∈+∞，222λλ+≥2λ=2cos 2A ≤， 又因()0,A π∈，所以,4A ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查根据向量数量积公式求解参数问题，基本不等式求最值问题，是中档题13．已知函数()1122f x x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，记d (),k m 为函数()y f x =图像上的点到直线y kx m =+的距离的最大值，那么d (),k m 的最小值为_______.【答案】28【解析】如解析中的图所示，我们研究平行直线系与函数()1122f x x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭图象的关系，其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线1l 与2l 之间，图象上的个别点在直线上．设两条平行直线1l 与2l 之间的距离为d ．我们发现只有1l 经过点1(,2)2A ，1(2,)2B ，2l 与图象相切于点P 时，d (),k m 的最小值12d =．求出即可【详解】我们研究平行直线系与函数()1122f x x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭图象的关系， 其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线1l 与2l 之间，图象上的个别点在直线上． 设两条平行直线1l 与2l 之间的距离为d ．我们发现只有1l 经过点1(,2)2A ，1(2,)2B ，2l 与图象相切于点P 时，d (),k m 的最小值12d =．设001(,)P x x ，2001()f x x '=-． 1AB k =-，0211x ∴-=-，解得01x =． (1,1)P ∴，直线AB 的方程为：52y x =-+．5|11|d+-∴=（点P到直线距离）(),d k m∴的最小值12d=．d(),k m的最小值为：8．【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线的斜率、平行线之间的距离、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想、推理能力与计算能力，属于难题14．若存在[]1,2a∈，使得关于x的方程22()()a a tx ax+-=有四个不等的实数根，则实数t的取值范围是_______.【答案】(【解析】令33,0(),0x ax xf xx ax x⎧->=⎨-+<⎩，把关于x的方程22()||a a tx ax+-=有四个不等的实数根转化为2()y a a t=+与()y f x=的图象有四个不同交点，利用导数研究()f x的单调性并画简图，得到322()0a a a t<+<，即存在[]1,2a∈，有3229ata a>+，再由导数得到()ga3229aa a=+的单调性，求得最小值即可求得实数t的取值范围【详解】由22()||a a tx ax+-=，得3223,0()(),0x ax xa a t x a xx ax x⎧->+=-=⎨-+<⎩，令33,0(),0x ax xf xx ax x⎧->=⎨-+<⎩，当0x>时，2()3f x x a'=-，当x∈时，()0f x'<，当x⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x'>，()f x∴在上为减函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上为增函数；当0x<上，2()3f x x ax'=-+，当(,x∈-∞时，()0f x'<，当x⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x ∴在(,)3a-∞-上为减函数，在,03a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数． 则33223()()()()333mina a a f x f a a ==-=-．作出函数()f x 的图象，如图：由图可知，要是关于x 的方程22()||a a tx a x +-=有四个不等的实数根，则需2()y a a t =+与()y f x =的图象有四个不同交点，则32223()0a a a t <+<，即存在[]1,2a ∈，有322239a t a a >+，令()322239ag a a a=+，则()3223(1)'0a a g a a a -=+． ()g a ∴在[]1,2上为增函数，则3()(1)min g a g ==，又0t <，∴实数t 的取值范围是3(9-故答案为：3(9- 【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，数形结合的解题思想方法，利用导数求最值，属于难题二、解答题15．已知函数22()2sincos 3(sin cos )4444x x x x f x =-． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若[],x ππ∈-，[]()lg ()1g x f x =-，求函数()g x 的单调递增区间． 【答案】（1）4π（2）,33ππ⎛⎤-⎥⎝⎦． 【解析】（1）采用二倍角公式化简()f x 表达式，根据2T πω=求周期（2）先求出[]()lg ()1lg 2sin()123x g x f x π⎡⎤=-=+-⎢⎥⎣⎦，根据复合函数的定义域和复合函数的增减性，结合[],x ππ∈-进行求解即可 【详解】 解：（1）()fx sin22x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期2π4π12T == （2）由（1）知[]()lg ()1lg 2sin()123x g x f x π⎡⎤=-=+-⎢⎥⎣⎦， 故1sin()232x π+>，得5226236x k k πππππ+<+<+， 结合[]()lg ()1g x f x =-单调递增得226232x k k πππππ+<+≤+，4433k x k k Z ππππ∴-<≤+∈，，[],x ππ∈-，∴函数()g x 的单调递增区间为,33ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦．【点睛】本题考查结合二倍角公式化简求解三角函数，求解复合三角函数定义域，复合三角函数在定区间内增减区间的判断，属于中档题 16．在ABC ∆中，=BC 2AB AC ⋅=．（1）求ABC ∆三边的平方和；（2）当ABC ∆的面积最大时，求cos B 的值． 【答案】（1）16（2【解析】（1）根据2AB AC ⋅=求得cos AB AC A ⋅⋅，再用余弦定理整体代换，可得22AB AC +的整体数值，即可求得三边的平方和（2）先利用重要不等式代换出2252AB AC AB AC +⋅≤=，再根据cos 2AB AC A ⋅⋅=求出cos A ，结合同角三角函数的基本关系表示出sin A ，采用正弦定理的面积公式进行求解即可 【详解】解：（1）因为2AB AC ⋅=，所以cos 2AB AC A ⋅⋅=．在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即2224AB AC =+-，于是2210AB AC +=， 故22210616AB BC AC ++=+=为定值． （2）由（1）知：2210AB AC +=，所以2252AB AC AB AC +⋅≤=，当且仅当AB AC =时取“=”号，因为cos 2AB AC A ⋅⋅=，所以2cos A AB AC=⋅，从而sin A ==． ABC ∆的面积11sin 22S AB AC A AB AC =⋅⋅=⋅2=≤=当且仅当AB AC =时取“=”号．因为2210AB AC +=，所以当AB AC =时，AB AC ==故2cos 10BCB AB ===． 【点睛】本题考查利用向量的数量积公式和余弦定理求解三边关系，利用正弦的面积公式与不等式求解具体的三角函数值，体现了不等式在解三角函数中的重要应用 17．已知直线l ：120kx y k -++= (k ∈R ). （1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB ∆的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． 【答案】（1）证明见解析（2）min4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=．【解析】（1）将直线变形化简即可求得 （2）根据题意表示出12(,0)kA k+-，(012)B k +，，结合三角形面积公式12S OA OB =⋅⋅和均值不等式进行求解即可 【详解】解:(1)证明：∵直线l 的方程可化为(2)(1)0k x y ++-=，令2010x y +=⎧⎨-=⎩，解得：21x y =-⎧⎨=⎩，∴无论k 取何值，直线总经过定点(2,1)-. (2)解：由题意可知0k ≠，再由l 的方程，得12(,0)kA k+-，(012)B k +，． 依题意得：120120kkk +⎧-<⎪⎨⎪+>⎩，解得0k >． ∵21112(12)11112(44)(224)422222k k S OA OB k k k k k ++=⋅⋅=⋅+==++≥⨯⨯+=， 当且仅当 140k k =>，即12k =，取“＝” ∴min4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=．【点睛】本题考查直线过定点的判断问题，直线与坐标轴围成三角形面积结合不等式求最值的问题，同时考查了解析几何中基本的运算能力18．如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m ，在施工过程中发现O 处的正北方向1百米的A 处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市委决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路l ，m ，欲再新建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上（点P ，Q 分别在点O 的正东、正北方向），且要求PQ 与圆A 相切.（1）当点P 距O 处2百米时，求OQ 的长； （2）当公路PQ 的长最短时，求OQ 的长.【答案】（1）83（2）352【解析】试题分析：（1）根据题意，建立直角坐标系，然后利用直线与圆的相切列出关于关于q的方程解之即可；（2）利用截距式方程给出直线的方程，然后利用直线与圆相切找到两个待定系数间的关系，再利用勾股定理将PQ表示成关于q的函数，利用函数的单调性求其最值即可试题解析：如图，以O为原点、直线l，m分别为x，y轴建立平面直角坐标系.设P（p, 0），Q（0, q）且PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A的方程为（1）由题意可设直线PQ的方程为，即因为PQ与圆A相切，所以，解得，故当点P与O处2百米时，OQ的长为百米.（2）设直线PQ的方程为，即.因为PQ与圆A相切，所以，化简得在Pt△POQ中，.令则当时，，即f(q)在（上单调递减；当时，，即f(q)在上单调递增.所以f(q)在时取得最小值，故当公路PQ 的长最短时，OQ 的长为百米.答：（1）当点P 距O 处2百米时，OQ 的长为百米；（2）当公路PQ 的长最短时，OQ的长为百米.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；直线和圆的方程的应用19．已知a ∈R ，函数()1x f x e ax -=-的图象与x 轴相切．（1）求实数a 的值； （2）求()f x 的单调区间；（3）当1x >时，恒有()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞．（3）1(,]2-∞ 【解析】（1）根据题意，设切点为0(,0)x ，求出函数的导数表达式，根据图像特征，可得00()0,()0,f x f x =⎧⎨='⎩，解方程即可求得实数a（2）由（1）得()1e1x f x -'=-，再令导数为0，根据导数正负判断函数增减性即可（3）当1x >时，恒有()(1)ln f x m x x >-等价于()()(1)ln 0g x f x m x x =-->，当1x >时恒成立，再利用11()e(ln )1x x g x m x x--'=-+-来研究函数的单调性，由于一阶导数无法直接判断正负，故需求解二阶导数，由于参数m 的存在，还需对参数进行分类讨论，进一步验证函数()f x 的恒成立问题即可 【详解】解：（1）()1ex f x a -'=-，设切点为0(,0)x ，依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨='⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎨-=⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩，所以1a =．(2) ()1e1x f x -'=-，当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． （3）令()()(1)ln g x f x m x x =--，1x >．则11()e(ln )1x x g x m x x--'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x -'=-+，（ⅰ）若12m ≤ ，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x +<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>，从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0>g x ，即()(1)ln f x m x x >-成立． （ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x -'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，()2111ln(2)201ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '⎡⎤+=-+>⎢⎥++⎣⎦， 所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)∈x x 时，()0h x '<， 所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，又因为(1)0g '=，所以当1(1,)∈x x 时，()0g x '<， 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)∈x x 时，()0<g x ，即()(1)ln f x m x x >-不成立 综上所述m 的取值范围是1(,]2-∞ 【点睛】本题考查根据导数和函数表达式求解参数，根据导数求解函数单调区间，根据函数在定区间恒成立利用导数求解参数取值范围问题，前两小问比较基础，最后一问难度偏大，其中二阶导数的应用容易自乱阵脚，建议涉及二阶导数时，配合草图加以理解，同时参数m 的范围判断至关重要，一般是通过试值法确定特殊点，本题中当=1x 时是一个特殊值，以此对m 进行分类讨论，此法可在同类型题中借鉴20．已知函数f (x )＝x ln x －x ．（1）设g (x )＝f (x )＋|x －a |，a ∈R ．e 为自然对数的底数． ①当32a e=-时，判断函数g (x )零点的个数； ②1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数g (x )的最小值．（2）设0＜m ＜n ＜1，求证：()2201mf n m +<+ 【答案】（1）① g (x )有且仅有两个零点．②a －e ．（2）证明见解析【解析】（1）将32a e =-代入g (x )＝f (x )＋|x －a |，化简得g (x )＝x ln x ＋32e ，再根据导数正负判断在极值点处函数值的正负，结合极值点两侧值加以论证即可，可取41,=1x x e=验证求解（2）由于参数的不确定性，需根据1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦将参数a 分成a ≤1e ，a ≥e ，1e＜a ＜e 三段进行讨论，进一步判断函数的单调区间（3）可先构造函数h (x )＝221xx +，求得h′(x )＝()()222211x x-+＞0，于是h (x )在(0，1)单调递增，因0＜m ＜n ＜1，所以h (m )＜h (n )，从而有()()()2222ln 111m f n f n h n n n m n ⎛⎫+<+=-+ ⎪++⎝⎭，再设φ(x )＝22ln 11n n -++，x ＞0 ，通过导数来验证φ(x )增减性，进一步通过增减性求得最值，即可求证不等式成立 【详解】解：（1）①当32a e =-时， g (x )＝x ln x －x ＋|x ＋32e |＝x ln x ＋32e ，g′(x )＝1＋ln x ，当0＜x ＜1e 时，g′(x )＜0；当x ＞1e时，g′(x )＞0； 因此g (x )在(0，1e )上单调递减，在(1e，＋∞)上单调递增，又434412424g =0e e e e e -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，g (1e )＝－1e ＋23322e e e -=＜0，g (1)＝32e ＞0， 所以g (x )有且仅有两个零点． ②（i ）当a ≤1e时，g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ， 因为x ∈[1e，e ]，g′(x )＝1＋lnx ≥0恒成立，所以g (x )在[1e ，e ]上单调递增，所以此时g (x )的最小值为g (1e )＝－1e－a ． （ii ）当a ≥e 时，g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ，因为x ∈[1e ，e]，g′(x )＝ln x －1≤0恒成立， 所以g (x )在[1e ，e ]上单调递减，所以此时g (x )的最小值为g (e )＝a －e ．（iii ）当1e ＜a ＜e 时，若1e≤x ≤a ，则g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ， 若a ≤x ≤e ，则g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ， 由（i ），（ii ）知g (x )在[1e，a ]上单调递减，在[a ，e ]上单调递增， 所以此时g (x )的最小值为g (a )＝a ln a －a ， 综上有：当a ≤1e 时，g (x )的最小值为－1e－a ； 当1e＜a ＜e 时，g (x )的最小值为a ln a －a ； 当a ≥e 时，g (x )的最小值为a －e ． （2）设h (x )＝221xx +， 则当x ∈(0，1)时，h′(x )＝()()222211x x -+＞0，于是h (x )在(0，1)单调递增，又0＜m ＜n ＜1，所以h (m )＜h (n )， 从而有()()()2222ln 111m f n f n h n n n m n ⎛⎫+<+=-+ ⎪++⎝⎭设φ(x )＝22ln 11n n -++，x ＞0 则φ′(x )＝()()()222222114011x x x x x x --=≥++ 因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，因为0＜n ＜1，所以φ(n )＜φ(1)＝0，即ln n －1＋221n +＜0， 因此()2222ln 1011m f n n n m n ⎛⎫+<-+< ⎪++⎝⎭ 即原不等式得证． 【点睛】本题考查通过导数研究不含参函数零点个数问题，通过导数研究含参函数单调区间的问题，通过构造数列和放缩法结合导数求证不等式恒成立问题，属于难题21．设:p 实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >），:q 实数x 满足302x x -≤-．若p是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】12a <≤【解析】（1）观察命题p 对应的式子22430x ax a -+<，可由因式分解法求得3a x a <<，再解分式不等式302x x -≤-得23x <≤，设{}3A x a x a =<<，{}23B x x =<≤，由p 是q 的必要不充分条件可判断BA ，根据范围进行判断即可【详解】解：设{}3A x a x a =<<，{}23B x x =<≤，p 是q 的必要不充分条件，则BA ；则0233a a <≤⎧⎨>⎩，所以实数a 的取值范围是12a <≤.【点睛】本题考查一元二次不等式与分式不等式的解法，根据包含关系求解参数范围问题，属于中档题22．已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．若02x π≤≤，求函数()f x 的值域.【答案】0,1⎡+⎢⎣⎦【解析】将sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开，再结合二倍角公式化简三角函数表达式，根据给定区间求解值域即可 【详解】解：()()2sin cos sin cos f x x x x x x x =+=+1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由02x π≤≤得，42333x πππ≤+≤，sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭．∴0sin 21322x π⎛⎫≤++≤+ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为0,12⎡+⎢⎣⎦．【点睛】本题考查根据二倍角公式进行三角函数的化简求值，求解给定区间三角函数值域的问题，是基础题型23．二次函数2(0)y x bx b =+≠图像与x 轴交于O ，A 两点，交直线:l y x =于O ，B两点，经过三点O ，A ，B 作圆C ．（1）求证：当b 变化时，圆C 的圆心在一条定直线上； （2）求证：圆C 经过除原点外的一个定点． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】（1）联立2y x bx =+，0,y =求得点(),0Ab -，联立2y xbx =+与y x =求得点()1,1B b b --，设圆C 的方程为220x y Dx Ey +++=，根据,A B 点到圆心距离相等求得圆心坐标x 0与y 0的联系，消参即可求得定直线（2）由（1）知，设圆C 过定点（m ，n ），则m 2+n 2+bm +（b ﹣2）n =0，整理成关于b 的一次函数形式，根据恒成立问题联立方程求解即可 【详解】解：（1）在方程2y x bx =+中．令0,y y x ==，易得()(),0,1,1A b B b b ---设圆C 的方程为220x y Dx Ey +++=则()()()()222011110b bD b b b D b E ⎧-=⎪⎨-+-+-+-=⎪⎩⇒2D b E b =⎧⎨=-⎩， 故经过三点O ，A ，B 的圆C 的方程为x 2+y 2+bx +（b ﹣2）y =0， 设圆C 的圆心坐标为（x 0，y 0）， 则002,22bb x y -=-=-，∴y 0=x 0+1， 这说明当b 变化时，（1）中的圆C 的圆心在定直线y =x +1上（2）设圆C 过定点（m ，n ），则m 2+n 2+bm +（b ﹣2）n =0，整理得（m +n ）b +m 2+n 2﹣2n =0，它对任意b ≠0恒成立，∴220102010m n m m m n n n n +==-=⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨+-===⎩⎩⎩或 故当b 变化时，（1）中的圆C 经过除原点外的一个定点坐标为（﹣1，1）． 【点睛】本题考查根据函数图像求解交点问题，根据圆的定义和消参法求证圆心过定直线问题，恒成立问题的转化，是中档题24．已知函数21()()2xf x a ex =-+.（a R ∈）（1）若()f x 在区间(0)+∞，上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若在区间(0,)+∞上，函数()f x 的图象恒在曲线2xy ae =下方，求a 的取值范围．【答案】（1）0a ≤（2）11[,]22a ∈-【解析】（1）根据函数在(0)+∞，上单调递减转化为()0f x '≤在(0)+∞，上恒成立问题，再通过不等式恒成立条件求解即可 （2）令21()()2()22xxx g x f x ae a eae x =-=--+，根据在区间(0,)+∞上，函数()f x 的图象恒在曲线2x y ae =下方转化成()0<g x 在区间(0,)+∞上恒成立，求得2()(21)21(1)[(21)1]x x x x g x a e ae e a e =--+=---'，分别对12a >和12a ≤进行分类讨论，结合()g x '正负判断()g x 单调性，再结合恒成立问题进一步求解即可 【详解】解：（1）()f x 在区间(0)+∞，上单调递减， 则2()(21)10xf x a e =-+≤'在区间(0)+∞，上恒成立． 即2112x a e -≥，而当0()x ∈+∞，时，211xe <，故121a -≥． 所以0a ≤．（2）令21()()2()22xxx g x f x ae a eae x =-=--+，定义域为R .在区间(0,)+∞上，函数()f x 的图象恒在曲线2xy ae =下方等价于()0<g x 在区间(0,)+∞上恒成立.∵2()(21)21(1)[(21)1]x x x x g x a e ae e a e =--+=---'①若12a >，令()0g x '=，得极值点10x =，21ln 21x a =-，当210x x >=，即112a <<时，在（2x ，+∞)上有()0g x '>，此时()g x 在区间2(,)x +∞上是增函数，并且在该区间上有2()((),)g x g x ∈+∞，不合题意； 当210x x ≤=，即1a ≥时，同理可知，()g x 在区间(0,)+∞上， 有()((0),)g x g ∈+∞，也不合题意； ②若12a ≤，则有210a -≤，此时在区间(0,)+∞上恒有()0g x '<，从而()g x 在区间(0,)+∞上是减函数；要使()0<g x 在此区间上恒成立，只须满足1(0)02g a =--≤12a ⇒≥-， 由此求得a 的范围是11[,]22- 综合①②可知，当11[,]22a ∈-时，函数()f x 的图象恒在直线2x y ae =下方. 【点睛】本题考查根据函数在某区间单减，求解参数取值范围问题，通过函数图像特点构造新函数，用导数研究新函数恒成立问题来求解参数问题，属于难题。
江苏省如东高级中学2020届高三数学10月调研试题(扫描版)
1如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月调研测试数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1. 设集合{1,2,3,4}P =，{|22,}Q x x x R =-≤≤∈，则P Q = ▲ .2. 函数()2ln(3)=-f x x x 的定义域是 ▲ .3. 命题“20,0x x ∀<>都有”的否定是 ▲ .4. 已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则=αsin ▲ .5. 若直线1l ：30++=x y m (0>m )与直线2l ：2630x y +-=m = ▲ .6. 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()(0)2y f xπϕϕ=-<<是偶函数，则ϕ= ▲ .7. 设函数()=f x 2-10310.x x x x⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，，，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围为 ▲ .8. 定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0>x 时，x x f x2019log 2019)(+=，则在R 上方程()0f x =的实根个数为 ▲ .29. 若{}1,∈-x m 是不等式2230--≤x x 成立的充分不必要条件,则实数m 的范围是 ▲ . 10. 已知直线l 的方程是60x y +-=，,A B 是直线l 上的两点，且∆OAB 是正三角形（O 为坐标原点），则∆OAB 外接圆的方程是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2xbax y +=(b a ,为常数)过点)4,1(P ，且该曲线在点P 处的切线与直线03=++y x 垂直，则b a 2+的值是 ▲ .12. 在三角形ABC ∆中，=4AB ，0AC λλ=>（），若2CA CB ⋅≥-对任意的0λ>恒成立，则角A 的取值范围为 ▲ . 13. 已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛≤≤=2211x x x f ，记()m k d ,为函数()x f y =图像上的点到直线m kx y +=的距离的最大值，那么()m k d ,的最小值为 ▲ .14. 若存在[]1,2a ∈，使得关于x 的方程22()()+-=a a tx a x有四个不等的实数根，则实数t 的取值范围是 ▲ .二、解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知函数22()2sincos cos )4444x x x x f x =-． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若[],x ππ∈-，[]()lg ()1g x f x =-，求函数()g x 的单调递增区间．16. (本小题满分14分)在ABC ∆中，=BC 2=⋅AC AB ．（1）求ABC ∆三边的平方和；（2）当ABC ∆的面积最大时，求cos B 的值．317．(本小题满分14分)已知直线l ：120kx y k -++= (k R ∈). （1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB ∆的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．18. (本小题满分16分)如图,某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m .在施工过程中发现在O 处的正北方向1百米的A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以A 为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l ，m ，欲再新建一条公路PQ ，点,P Q 分别在公路l ，m 上（点,P Q 分别在点O 的正东、正北方向），且要求PQ 与圆A 相切. （1） 当点P 距O 处2百米时，求OQ 的长； （2）当公路PQ 的长最短时, 求OQ 的长419．(本小题满分16分)已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切． （1）求实数a 的值； （2）求()f x 的单调区间；（3）当1x >时，恒有()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝x ln x －x ．（1）设g (x )＝f (x )＋|x －a |，a ∈R ．e 为自然对数的底数． ①当a ＝－2e 3时，判断函数g (x )零点的个数；②当x ∈ [1e ，e]时，求函数g (x )的最小值．（2）设0＜m ＜n ＜1，求证：f (n )＋2mm 2＋1＜0．5如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月调研测试数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1. 设:p 实数x 满足22430x ax a -+<（其中0>a ），:q 实数x 满足302x x -≤-． 若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．2. 已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若02x π≤≤，求函数()f x 的值域.3. 二次函数2(0)y x bx b =+≠图像与x 轴交于O ，A 两点，交直线:l y x =于O ，B 两点，经过三点O ，A ，B 作圆C ．（1）求证：当b 变化时，圆C 的圆心在一条定直线上； （2）求证：圆C 经过除原点外的一个定点．4. 已知函数x e a x f x +-=2)21()(.（R a ∈） （Ⅰ）若)(x f 在区间)0(∞+，上单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若在区间),0(+∞上，函数)(x f 的图象恒在曲线xae y 2=下方，求a 的取值范围．6如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月调研测试数学参考答案一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1. {}1,22. (0,3)3. 20,0x x ∃<≤有4. 1010- 5. 172 6. 3π 7. (-∞，-1)8. 3 9. ]23,1(- 10. 8)2()2(22=-+-y x 11. 5 12. [,]4ππ 13.8214. ( 二、解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分) 解：（Ⅰ）()fx sin 22x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ……………4分()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==． ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知[]()lg ()1lg 2sin()123x g x f x π⎡⎤=-=+-⎢⎥⎣⎦， ……………8分 故1sin()232x π+>，得5226236x k k πππππ+<+<+， 结合[]()lg ()1g x f x =-单调递增得226232x k k πππππ+<+≤+， ……………10分4433k x k k Z ππππ∴-<≤+∈，， ……………12分[],x ππ∈-，∴函数()g x 的单调递增区间为,33ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦． ……………14分716. (本小题满分14分)解：（Ⅰ）（1）因为2=⋅AC AB ，所以cos 2AB AC A ∙∙=． ……………2分 在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-∙∙，即2224AB AC =+-，于是2210AB AC +=， ……………4分故22210616AB BC AC ++=+=为定值． ……………6分 （2）由（1）知：2210AB AC +=，所以2252AB AC AB AC +∙≤=，当且仅当AB AC =时取“=”号， ……………8分 因为cos 2AB AC A ∙∙=，所以2cos A AB AC=∙，从而sin A == ……………10分ABC ∆的面积11sin 22S AB AC A AB AC =∙∙=∙2=≤=， ……………12分 当且仅当AB AC =时取“=”号．因为2210AB AC +=，所以当AB AC =时，AB AC ==故2cos BCB AB ===． ……………14分17. 解:(1)证明：∵直线l 的方程可化为(2)(1)0k x y ++-=， ……………2分令2010x y +=⎧⎨-=⎩，解得：21x y =-⎧⎨=⎩， ……………4分∴无论k 取何值，直线总经过定点(2,1)-. ……………6分 (2)解：由题意可知0k ≠，再由l 的方程，得12(,0)kA k+-，(012)B k +，．8依题意得：120120k k k +⎧-<⎪⎨⎪+>⎩，解得0k >． ……………8分 ∵21112(12)11112(44)(224)422222k k S OA OB k k k k k ++=⋅⋅=⋅+==++≥⨯⨯+=，……10分当且仅当 140k k =>，即12k =，取“＝” ……………12分 ∴min 4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=． ……………14分 18. 解：以O 为原点，直线l 、m 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系．设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为22(1)1x y +-=，……………2分(1)由题意可设直线PQ 的方程为12x yq+=，即220qx y q +-=，(2)q >， PQ与圆A 相切，∴1=，解得83q =， ……………4分故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米． ……………6分 （2）设直线PQ 的方程为1x yp q+=，即0qx py pq +-=，(1,2)p q >>， ∵PQ 与圆A1=，化简得22q p q =-，则22222q PQ p q q q =+=+-， ……………9分令2()(2)2q f q q q q =+>-，∴22222(1)(31)()2(2)(2)q q q f q q q q --+'=-=--(2)q >，…11分当322q +<<时，()0f q '<，即()f q在3(2,2+上单调递减；当q >()0f q '>，即()f q在)+∞上单调递增， …………13分9∴()f q在q =PQ 长最短时，OQ14分答：（1)当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米；（2）当公路PQ 长最短时，OQ的长为32+百米 ……………16分19. 解：（1）()1ex f x a -'=-，设切点为0(,0)x ，依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩所以()1e 1x f x -'=-． ……………4分 (2)当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ……………6分（3）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >． 则11()e (ln )1x x g x m x x --'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， （ⅰ）若21m ≤，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x +<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增． ……………8分又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>，从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ……………10分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x -'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))201ln(2)[1ln(2)]h m m m m m ⎡⎤'+=-+>⎢⎥++⎣⎦，……………12分 所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<， 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立综上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞……………16分1020. 解：（1）①当a ＝－2e 3时，g (x )＝x ln x －x ＋|x ＋2e 3|＝x ln x ＋2e3，g′(x )＝1＋ln x ，当0＜x ＜1e 时，g′(x )＜0；当x ＞1e时，g′(x )＞0；因此g (x )在 (0，1e )上单调递减，在(1e ，＋∞)上单调递增，又g (1e 4)＝2e 3－4e 4＝2e －4e 4＞0，g (1e )＝－1e ＋2e 3＝2－e 2e 3＜0，g (1)＝2e3＞0，所以g (x )有且仅有两个零点． ……………2分 ②（i ）当a ≤1e时，g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ，因为x ∈[1e，e]，g′(x )＝1＋ln x ≥0恒成立，所以g (x )在[1e ，e]上单调递增，所以此时g (x )的最小值为g (1e )＝－1e －a ．……………4分（ii ）当a ≥e 时，g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ，因为x ∈[1e，e]，g′(x )＝ln x －1≤0恒成立，所以g (x )在[1e ，e]上单调递减，所以此时g (x )的最小值为g (e)＝a －e ．……………6分（iii ）当1e＜a ＜e 时，若1e ≤x ≤a ，则g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ， 若a ≤x ≤e，则g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ，由（i ），（ii ）知g (x )在[1e，a ]上单调递减，在[a ，e]上单调递增，所以此时g (x )的最小值为g (a )＝a ln a －a ， ……………8分 综上有：当a ≤1e 时，g (x )的最小值为－1e－a ；当1e＜a ＜e 时，g (x )的最小值为a ln a －a ； 当a ≥e 时，g (x )的最小值为a －e ． ……………10分 （2）设h (x )＝2xx 2＋1， 则当x ∈(0，1)时，h′(x )＝2(1－x 2)(1＋x 2)2＞0，于是h (x )在(0，1)单调递增，又0＜m ＜n ＜1，所以h (m )＜h (n )，11 从而有f (n )＋2m m 2＋1＜f (n )＋h (n )＝n (ln n －1＋2n 2＋1) ……………12分 设φ(x )＝ln x －1＋2x 2＋1，x ＞0 则φ′(x )＝1x －4x (1＋x 2)2＝(x 2－1)2x (1＋x 2)2≥0， 因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，因为0＜n ＜1，所以φ(n )＜φ(1)＝0，即ln n －1＋2n 2＋1＜0， 因此f (n )＋2m m 2＋1＜n (ln n －1＋2n 2＋1)＜0， 即原不等式得证． ……………16分如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月调研测试数学（加试）参考答案1.解： 设{}3A x a x a =<<， {}23B x x =<≤，p 是q 的必要不充分条件，则B A Ö； 则02 33a a <≤⎧⎨>⎩，所以实数a 的取值范围是12a <≤. ……………10分 2.解： ()()2sin cos sin cos f x x x x x x x ==+1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ ……………5分 由02x π≤≤得，42333x πππ≤+≤，sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭．∴0sin 21322x π⎛⎫≤++≤+ ⎪⎝⎭，即函数()f x的值域为0,12⎡+⎢⎣⎦． ……………10分 3.解：（I ）在方程bx x y +=2中．令x y y ==,0，易得()()b b B b A ---1,1,0,设圆C 的方程为022=+++Ey Dx y x 则()()()()⎩⎨⎧=-+-+-+-=-011110222E b D b b b bD b ⇒⎩⎨⎧-==2b E b D ， 故经过三点O ，A ，B 的圆C 的方程为x 2+y 2+bx+（b ﹣2）y=0，设圆C 的圆心坐标为（x 0，y 0），12 则x 0=﹣，y 0=﹣，∴y 0=x 0+1，这说明当b 变化时，（I ）中的圆C 的圆心在定直线y=x+1上． ……………5分（II ）设圆C 过定点（m ，n ），则m 2+n 2+bm+（b ﹣2）n=0，整理得（m+n ）b+m 2+n 2﹣2n=0，它对任意b≠0恒成立，∴⇒或故当b 变化时，（I ）中的圆C 经过除原点外的一个定点坐标为（﹣1，1）． ……………10分4.解：（Ⅰ）)(x f 在区间)0(∞+，上单调递减，则01)12()(2≤+-='x e a x f 在区间)0(∞+，上恒成立． …………1分 即x e a 2121≥-，而当)0(∞+∈，x 时，112<x e，故121≥-a ． 所以0≤a ． …………3分 （Ⅱ）令x ae e a ae x f x g x x x +--=-=2)21(2)()(2，定义域为R .在区间),0(+∞上，函数)(x f 的图象恒在曲线x ae y 2=下方等价于0)(<x g 在区间),0(+∞上恒成立. ∵]1)12)[(1(12)12()(2---=+--='x x x xe a e ae e a x g …………4分 ①若21>a ，令0)(='x g ，得极值点01=x ，121ln 2-=a x ， 当012=>x x ，即121<<a 时，在（2x ，+∞)上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间),(2+∞x 上是增函数，并且在该区间上有)),(()(2+∞∈x g x g ，不合题意；当012=≤x x ，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间),0(+∞上，有)),0(()(+∞∈g x g ，也不合题意； …………6分 ②若21≤a ，则有012≤-a ，此时在区间),0(+∞上恒有0)(<'x g ，从而)(x g 在区间),0(+∞上是减函数；要使0)(<x g 在此区间上恒成立，只须满足021)0(≤--=a g 21-≥⇒a ， 由此求得a 的范围是]21,21[-． …………8分 综合①②可知，当]21,21[-∈a 时，函数)(x f 的图象恒在直线x ae y 2=下方.………10分。
2021届江苏省南通市如东中学高三10月月考数学试题
2020-2021学年如东中学10月高三月考数学试题一、选择题（本大题共8小题，共40分）1.已知集合0，1，2，，0，，，则A. B. 2，C. 0，D. 0，2，2.设，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若，则下列结论正确的是A. B.C. D.4.已知，且，则A. B. C. D.5.已知，向量，，若，则实数A. B. C. D. 26.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则A. 2B. 3C. 4D. 87.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆：的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为A. B. C. D.8.已知M为函数的图像上任意一点，过M作直线MA，MB分别与圆相切于A，B 两点，则原点O到直线AB得距离的最大值为A. B. C. D.二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）9.设M，N是抛物线上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为，则下列说法错误的是A. B. 以MN为直径的圆的面积大于C. 直线MN过抛物线的焦点D. O到直线MN的距离不大于210、已知是定义域为R的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为4B. 的图像关于直线对称C. 当时，函数的最大值为2D. 当时，函数的最小值为11.已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中正确的是A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则最小值为12.把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有A. 的图象不经过第三象限B. 在R上单调递增C. 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D. 函数不存在零点三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、若为直角三角形，则______________．14.将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______________．15.在中，，，，M、N分别为BC、AM的中点，则______________．16.已知，，记，则M 的最小值为_____；当M最小时，________．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足．求A的大小；若，，求的面积．18.为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生男生60人，女生40人，统计了他们的课外阅读达标情况一个学期中课外阅读是否达到规定时间，结果如下：是否达标不达标达标性别男生3624女生1030是否有的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：，k如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人男1女，设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望．19.已知圆．求过点且和圆C相切的直线方程；若斜率为1的直线n与圆交于两点，求面积的最大值及此时直线n 的方程．20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的离心率为，焦距为2．求椭圆E的方程；如图，动直线l：交椭圆E于两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为，且，M是线段OC延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为求的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．21已知函数．讨论的单调性；当时，记在区间的最大值为M，最小值为m，求的取值范围．22.已知函数有两个极值点．求a的取值范围设，是的两个极值点，证明：．2020-2021学年如东中学10月高三月考高一试题一、选择题（本大题共8小题，共40分）1.已知集合0，1，2，，0，，，则A. B. 2，C. 0，D. 0，2，【答案】A2.设，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A3.若，则下列结论正确的是A. B.C. D.【答案】A4.已知，且，则A. B. C. D.【答案】A5.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D6.已知，向量，，若，则实数A. B. C. D. 2【答案】D7.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆：的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为A. B. C. D.【答案】B8.已知M为函数的图像上任意一点，过M作直线MA，MB分别与圆相切于A，B两点，则原点O到直线AB得距离的最大值为A. B. C. D.【答案】B二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）9.设M，N是抛物线上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为，则下列说法错误的是A. B. 以MN为直径的圆的面积大于C. 直线MN过抛物线的焦点D. O到直线MN的距离不大于2【答案】ABC10.已知是定义域为R的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为4B. 的图像关于直线对称C. 当时，函数的最大值为2D. 当时，函数的最小值为【答案】ABC11.已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中正确的是A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】ABD12.把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有A. 的图象不经过第三象限B. 在R上单调递增C. 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D. 函数不存在零点【答案】ACD三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______________．【答案】14.在中，，，，M、N分别为BC、AM的中点，则______________．【答案】15已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、若为直角三角形，则______________．【答案】316.已知，，记，则M的最小值为_____；当M最小时，________．【答案】；四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足．求A的大小；若，，求的面积．【答案】解：因为，由正弦定理，得，即，所以，因为，所以．由正弦定理，得，由余弦定理，得，解得，所以的面积．【解析】本题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于基础题．根据题目条件结合正弦定理可得，代入余弦公式可得，结合A的取值范围，可得A的大小．由结合正弦定理可求得b，代入余弦定理，可解得，进而代入三角形面积公式计算可得结果．18.为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生男生60人，女生40人，统计了他们的课外阅读达标情况一个学期中课外阅读是否达到规定时间，结果如下：是否达标不达标达标性别男生3624女生1030是否有的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：，k如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人男1女，设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望．【答案】解：假设：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得的观测值，因为当成立时，的概率约为，所以有以上的把握认为课外阅读达标与性别有关；记事件A为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．由题意知：，．随机变量X的取值可能为0，1，2，3．，，，．所以随机变量X的分布列为：X0123P期望．【解析】本题考查独立性检验，古典概型的计算公式，离散型随机变量的分布列与期望的求法，考查计算能力，属于中档题．根据表格数据，利用公式求出的观测值k，判断即可．求出男生、女生课外阅读“达标”的概率，列出随机变量X的分布列，求得数学期望即可．19.已知圆．求过点且和圆C相切的直线方程；若斜率为1的直线n与圆交于两点，求面积的最大值及此时直线n 的方程．【答案】解：设所求切线l的斜率为k，因为在圆上，所以，则，所以直线l的方程为，即．解法一：设直线n的方程为，则圆心到直线的距离为，弦长，则，当且仅当，即或时取“”满足直线与圆相交，故面积的最大值为2，此时直线n的方程为．解法二：，当且仅当，即时，的面积最大，此时．设直线n的方程为，则圆心到直线n的距离，由，由，即，得或，所以直线n的方程为．【解析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，涉及圆的标准方程、点到直线的距离、弦长公式、基本不等式、与圆有关的最值问题，属于中档题．由圆的标准方程得到圆心及半径，进而可知点P在圆上，求出直线PC的斜率后即可求得圆的切线斜率，最后得到直线的方程；解法一：先求出圆心到直线的距离及弦长DE，利用基本不等式求得最值即可；解法二：由三角形的面积公式知时三角形面积最大，此时，由弦长公式求得，进而由点到直线的距离即可求解．20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的离心率为，焦距为2．求椭圆E的方程；如图，动直线l：交椭圆E于两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为，且，M是线段OC延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为求的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．【答案】解：由题意知，，所以，，因此椭圆E的方程为．Ⅱ设，，联立方程得，由题意知，，，所以．由题意可知圆M的半径，由题设知，所以，因此直线OC的方程为联立方程得，，因此．由题意可得，而令，则，，因此，当且仅当，即时等号成立，此时．【解析】本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用配方法求函数的最值，考查计算能力，是压轴题．由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求设，，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得，由题意可知圆M的半径r，则由题意设知得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得，由题意可知，，转化为关于的函数，换元后利用配方法求得取得最大值时直线l的斜率为．21.已知函数．讨论的单调性；当时，记在区间的最大值为M，最小值为m，求的取值范围．【答案】解：．令，得或．若，则当时，当时，，故在单调递增，在单调递减；若，在单调递增；若，则当时，当时，，故在单调递增，在单调递减．当时，由知，在单调递减，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为或．于是，，所以．当时，可知单调递减，所以的取值范围是．当时，单调递增，所以的取值范围是．综上，的取值范围是．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究闭区间上函数的最值，是较难题．求导，分，和三类分类讨论即可求解；当时，从而在单调递减，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为或分和讨论即可求解．15.已知函数有两个极值点．求a的取值范围设，是的两个极值点，证明：．【答案】解：由，，得，函数有两个极值点等价于在上有两个变号零点，等价于在上有两个变号零点，令，则，所以时，，单调递增，时，，单调递减，所以，当时，恒成立，在上单调递减，不可能有两个极值点，舍去，当时，，，，，而，由零点存在性定理得在和内分别存在一个变号零点，此时有两个极值点，综上，所求a的取值范围为证明：因为，是的两个极值点，所以，且，由知，，，令，，则，由在恒成立，当时，，单调递减，又，所以时，，即，所以，所以，由知，在单调递减，所以，即，所以，即，因为，所以，，所以，即．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，不等式的恒成立问题．首先求得，从而得出函数有两个极值点，等价于在上有两个变号零点，等价于在上有两个变号零点，令，进而可得，进而通过研究的单调性得出，分和两种情况进行讨论，从而由零点存在性定理得在和内分别存在一个变号零点，进而可得a的取值范围；由，是的两个极值点，可得出，且，由知，，令，，从而，进而可判断，单调递减，进而判断在单调递减，进而得出，进而得出，进而证明即．。
江苏省南通市如东县丰利中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析
江苏省南通市如东县丰利中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 己知命题p：存在；命题q：△ABC中，若sinA>sinB，则A>B，则下列命题中为真命题的是( )．(A)p且q (B)p或q(C)p且q (D)p且q参考答案：C2. 下列函数中，最小值为4的是（）A．B．C． D．参考答案：C略3. 已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=( )A． B. C. D.参考答案：C略4. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则函数有下列结论中一定成立的是A．有极大值和极小值B．有极大值和极小值C．有极大值和极小值D．有极大值和极小值参考答案：D略5. 设x∈R，则|x+1|＜1是|x|＜2成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略6. 已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有恒成立，且，则使成立的实数x的集合为（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】构建新函数，可证它是偶函数且为上的增函数，故可得实数满足的不等式组，从而得到原不等式的解集.【详解】令，则，故当时，有，所以在上的增函数，又，故为上的偶函数.且在上的减函数，又等价于，所以或，综上，实数的集合，故选B.【点睛】如果题设中有关于函数及其导数的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.7. 执行如图所示的程序框图，如果输入a=3，b=2，则输出的a的值为（）A．2 B．7 C．9 D．13参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．【解答】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 a b循环前/3 2第一圈否 5 2第二圈否 7 2第三圈否 9 2第四圈是故最终输出的a值为9．故选：C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8. 已知S n为数列{a n}的前n项和，若a2=3且S n+1=2S n，则a4等于（）A．6 B．12 C．16 D．24参考答案：B 【考点】数列递推式．【分析】S n+1=2S n，n≥2时，a n+1=S n+1﹣S n=2S n﹣2S n﹣1=2a n，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n+1=2S n，∴n≥2时，a n+1=S n+1﹣S n=2S n﹣2S n﹣1=2a n，∴数列{a n}从第二项起为等比数列，公比为2．∴=3×4=12．故选：B．9. 向量i=（1，0），j=（0，1），下列向量中与向量垂直的是（）A． B． C． D．参考答案：B10. 已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（）A. B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线上一点和焦点的距离等于，则点的坐标是.参考答案：，12. 已知函数f（x）是R上的可导函数，且f′（x）=1+cosx，则函数f（x）的解析式可以为．（只须写出一个符合题意的函数解析式即可）参考答案：f（x）=x+sinx【考点】导数的运算．【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用．【分析】根据函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：∵x′=1，（sinx′）=cosx，∴当f（x）=x+sinx时，满足f′（x）=1+cosx，故答案为：x+sinx．（答案可有多种形式）【点评】本题主要考查函数的导数的计算，比较基础．13. 若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=．参考答案：﹣3【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由题意可得﹣和是|ax﹣2|=3的两个根，故有，由此求得a的值．【解答】解：∵关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，∴﹣和是|ax﹣2|=3的两个根，∴，∴a=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．14. 如图所示,二面角α-l-β为60°, A,B是棱l上的点, AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l, 且AB=AC=a,BD=2a, 则CD的长为 .参考答案：2a .15.参考答案：略16. 右图程序框图的运行结果是参考答案：12017. 自点A（﹣3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0相交于MN，且|MN|=4，则光线l所在的直线方程为：．参考答案：x+2y﹣3=0或2x+y+3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】数形结合；分类讨论；直线与圆．【分析】由对称性和直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得．【解答】解：设直线l的斜率为k，则反射光线的斜率为﹣k且经过A关于x轴的对称点（﹣3，﹣3），故反射光线的方程为y+3=﹣k（x+3），即kx+y+3k+3=0，∵圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的圆心为（2，2），半径为3，|MN|=4，∴圆心（2，2）到直线kx+y+3k+3=0的距离d==，∴=，解得k=﹣2或k=﹣，当k=﹣2时，直线方程为y﹣3=﹣2（x+3），即2x+y+3=0；当k=﹣时，直线方程为y﹣3=﹣（x+3），即x+2y﹣3=0；故答案为：x+2y﹣3=0或2x+y+3=0【点评】本题考查直线的对称性和直线与圆的位置关系，涉及分类讨论的思想，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省如东高级中学2021-2022学年高二上学期阶段测试(二)数学试题 Word版含答案
江苏省如东高级中学2021-2022学年高二上学期阶段测试（二） 数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．1．命题R x ∈∃，使得012≤+x 的否定为 . 2．抛物线y x 82=的准线方程为 .3．在等差数列}{n a 中，已知1182=+a a ，则1133a a +的值为 .4．下列命题：①45>或54>；②命题“若b a >，则c b c a +>+”的否命题；③命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为 . 5．能够使“设x 是实数，若1>x ，则311>-+x x ”是假命题的一个实数x 的值为 . 6．“3≥+y x ”是“1≥x 或2≥y ”的 条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）7．已知双曲线1922=-ay x 的右焦点为)0,13(，则该双曲线的渐近线方程为 . 8．关于x 的不等式0>-b ax 的解集是)1,(-∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集是 . 9．设y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤>1||||0y x x y y ，则y x 3+的最大值为 .10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆与双曲线称为一对“相关曲线”，已知21,F F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，若02160=∠PF F ，则这一对相关曲线中椭圆的离心率为 . 11．在等比数列}{n a 中，1041=<<a a ，则能使不等式0)1()1()1(2211≤-++-+-nn a a a a a a 成立的最大正整数n 是 .12．已知实数y x ,满足322=+y x ，||||y x ≠，则22)2(4)2(1y x y x -++的最小值为 . 13．各项均为正数的等比数列}{n a 中，),2(881211+∈>=⋅⋅⋅=N m m a a a a m m ，若从中抽掉一项后，余下的1-m 项之积为1)24(-m ，则被抽掉的是第 项．14．设c b a ,,是正实数，满足a c b ≥+，则ba cc b ++的最小值为 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x （其中0>a ），命题q ：实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-0232|1|x x x .（1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的焦点为)0,4(1-F ，)0,4(2F ，且经过点)1,3(P . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若点M 在椭圆上，且2121PF PF OM λ+=，求λ的值. 17．已知各项均为正数的数列}{n a 的首项11=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且满足：),0(*1111N n a a a a S a S a n n n n n n n n ∈≠=-+-++++λλ.（1）若321,,a a a 成等比数列，求实数λ的值； （2）若21=λ，求证：数列}1{n n a S +为等差数列； （3）在（2）的条件下，求n S .18．如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点.MN 是由电脑把握可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽视不计），且滑动过程中始终保持和C 平行.当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的外形均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）.（1）设MN 与AB 之间的距离为250(<≤x x 且)1≠x 米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数)(x S y =；（2）当MN 与AB 之间的距离为多少时，通风窗的通风面积S 取得最大值？19．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为)0,1(-F ，左准线方程为2-=x .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于B A ,两点.①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足AF PA λ=，BF PB μ=. 求证：μλ+为定值；②若OB OA ⊥（O 为原点），求AOB ∆面积的取值范围.20.若存在常数)2,(*≥∈k N k k 、q 、d ，使得无穷数列}{n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉+=+**1,,N k n qa N k n d a a n n n ，则称数列}{n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差.设数列}{n b 为“段比差数列”. （1）若}{n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3. ①当0=q 时，求2016b ；②当1=q 时，设}{n b 的前n 3项和为n S ，若不等式133-⋅≤n n S λ对*N n ∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设}{n b 为等比数列，且首项为b ，试写出全部满足条件的}{n b 并说明理由.试卷答案 一、填空题1．R x ∈∀，使得012>+x 2．2-=y 3．22 4．1 5．2 6．充分不必要 7．x y 32±= 8．)2,1(- 9．2 10．3311．7≤n 12．5313．13 14．212-二、解答题15．（1）解：由03422<+-a ax x 得0))(3(<--a x a x ， 又0>a ，所以a x a 3<<，当1=a 时，31<<x ，即p 为真时，实数x 的取值范围是31<<x ，由⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-0232|1|x x x 得⎩⎨⎧>-≤≤≤-2331x x x 或，解得32≤<x ，即q 为真时，实数x 的取值范围是32≤<x ，若q p ∧为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是)3,2(.（2）由（1）知p ：a x a 3<<，则p ⌝：a x ≤或a x 3≥，q ：32≤<x ，则q ⌝：2≤x 或3>x由于p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q p ⌝⇒⌝， 所以⎩⎨⎧>≤<3320a a 解得21≤<a ，故实数a 的取值范围是]2,1(.16.（1）依题意，设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x261)43(1)43(||||2222221=+-+++=+=PF PF a ，∴23=a椭圆C 的标准方程为121822=+y x （2）)212,272()1,0()1,7(212121+--=-+--=+=λλλλPF PF OM 点M 的坐标为)212,272(+--λλM ∵点M 在椭圆上，∴1)212(21)272(18122=+-+-⨯λλ 即074202=-+λλ，解得21=λ或107-=λ.17.（1）令1=n ，得λ+=122a令2=n ，得32322332a a a a S a S a λ=-+-，所以)12)(1(423+++=λλλa由3122a a a =，得)12)(1(42)12(2+++=+λλλλ，由于0≠λ，所以1=λ.（2）当21=λ时，1111++++=-+-n n n n n n n n a a a a S a S a λ， 所以21111111=-+-++++n n n n n n a a a S a S ，即211111=+-+++n n n n a S a S 所以数列}1{n n a S +是以2为首项，公差为21的等差数列， 所以21)1(21⋅-+=+n a S n n ，即2321+=+n a S n n .（3）n n a nS )232(1+=+，①当2≥n 时，11)2321(1--+-=+n n a n S ，② ①-②得，12223-+-+=n n n a n a n a即1)2()1(-+=+n n a n a n ，所以)2(121≥+=+-n n an a n n ，所以}2{+n a n 是首项为31的常数列，所以)2(31+=n a n ，代入①得651)232(2n n a n S n n +=-+=.18.解：（1）当10<≤x 时，过A 作CD AK ⊥于K （如图）则x HM ABCD DK AK -==-==1,212,1，由2==DHMH DK AK ，得212xHM DH -==， ∴x DH HG +=-=223，∴2)2)(1()(2+--=+-=⋅=x xx x HG HM x S ；当251<<x 时，过E 作MN ET ⊥于T ，连结EN （如图），则1-=x ET ，222)1(49)1()23(2--=--==x x MNTN ，∴2)1(492--=x MN ， ∴)1()1(492)(2-⋅--=⋅=x x ET MN x S ， 综上，⎪⎩⎪⎨⎧<<-⋅--<≤+--=251),1()1(49210,2)(22x x x x x x x S ； （2）当10<≤x 时，49)21(2)(22++-=+--=x x x x S 在)1,0[上递减， ∴2)0()(max ==S x S ；当251<<x 时，492)1(49)1(2)1()1(492)(222=--+-⋅≤-⋅--=x x x x x S ，当且仅当2)1(491--=-x x ，即)25,1(1423∈+=x 时取“=”， ∴49)(max =x S ，此时249)(max >=x S ，∴)(x S 的最大值为49.答：当MN 与AB 之间的距离为1423+米时，通风窗的通风面积S 取得最大值. 19.(1)由题设知c a ca c 2,2,122===， ∴1,22222=-==c a b a ，∴C ：1222=+y x （2）①由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，则),0(k P 设),(),,(2211y x B y x A ，直线l 代入椭圆得2)1(2222=++x k x ，整理得，0224)21(2222=-+++k x k x k ，∴222122212122,214kk x x k k x x +-=+-=+ 由AF PA λ=，BF PB μ=知22111,1x x x x +-=+-=μλ， ∴4142122214121442142122222222*********-=---=+-++-++-++--=+++++-=+k k k k k k k k x x x x x x x x μλ（定值） ②当直线OB OA ,分别与坐标轴重合时，易知AOB ∆的面积22=S ， 当直线OB OA ,的斜率均存在且不为零时，设OA ：kx y =，OB ：x ky 1-=， 设),(),,(2211y x B y x A ，将kx y =代入椭圆C 得到22222=+x k x ，∴2221221212,212k k y k x +=+=，同理222222222,22k y k k x +=+=， AOB ∆的面积)2)(12()1(22222+++=⋅=k k k OB OA S ， 令),1[12+∞∈+=k t ，221121)1)(12(tt t t t S -+=+-=， 令)1,0(1∈=tμ，则)22,32[49)211(12122∈+--=++-=μμμS 综上所述，)22,32[∈S . 20.(1)∵}{n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3 ∴0020132014=⨯=b b ，3320142015=+=b b ，∴6320152016=+=b b ∵}{n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3 ∴n n b b 313=+，∴621333333==-=-+++d b b b b n n n n ， ∴}{3n b 是首项为73=b ，公差为6的等差数列， ∴n n n n n b b b n 4362)1(72363+=⨯-+=+++ ， 易知}{n b 中删除}{3n b 的项后按原来的挨次构成一个首项为1公差为3的等差数列， ∴n n n n n b b b b b b n n -=-+⨯=+++++++-21323542162)12(212 ， ∴n n n n n n S n 39)6()43(2223+=-++=， ∵133-⋅≤n n S λ，∴λ≤-133n n S ，设133-=n nn S c ，则max )(n c ≥λ， 又1212213)223(23393)1(3)1(9--+---=+-+++=-n n n n n n n n n n n c c 当1=n 时，02232<--n n ，21c c <，当2≥n 时，02232>--n n ，n n c c <+1∴ >><321c c c ，∴14)(2max ==c c n ，∴14≥λ，得),4[+∞∈λ.（2）设}{n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2=k ，则d q d b b q d b b d b b b b ++=+=+==)(,)(,,4321，由2231b b b =，得bq d b =+，由2342b b b =，得d q d b q d b ++=+)()(2，联立两式，得⎩⎨⎧==10q d 或⎩⎨⎧-=-=12q b d ，则b b n =或b b n n 1)1(--=，经检验均合题意②若3≥k ，则b b =1，d b b +=2，d b b 23+=，由2231b b b =，得)2()(2d b b d b +=+，得0=d ，则b b n =，经检验均合题意综上①②，满足条件的}{n b 的通项公式为b b n =或b b n n 1)1(--=.。
2019-2020学年江苏省南通中学高二(上)10月月考数学试卷
2019-2020学年江苏省南通中学高二（上）10月月考数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.5分）不等式（x-1）（x-3）＞0的解集为（ ） A.{x|x ＜1} B.{x|x ＞3} C.{x|x ＜1或x ＞3} D.{x|1＜x ＜3}2.（单选题.5分）在等差数列{a n }中.若a 1=4.a 5=12.则公差d=（ ） A.2 B.3 C.1 D.43.（单选题.5分）在数列{a n }中.已知a n = n 2+n−13 .n∈N*.则 193是数列中的第（ ）项.A.3B.4C.5D.64.（单选题.5分）已知等比数{a n }满足a 1a 7=3a 4a 3.则数列{a n }的公比q=（ ） A.2 B. 13C.3D. 125.（单选题.5分）已知数列（a n }中.a 1=2.a 2=5.a n+2=a n+1-a n .n∈N*.则a 2019=（ ） A.2 B.3 C.5 D.-26.（单选题.5分）某公司一年购买某种货物600吨.每次购买x 吨.运费为6万元/次.一年的总存储费用为4x 万元.则一年的总运费与总存储费用和最小为（ ） A.60万元C.200万元D.240万元7.（单选题.5分）已知正数x.y 满足x+ yx =2.且 ax +xy （a ＞0）的最小值为2.则a 的值为（ ） A. √3 B.2 C.1 D.38.（单选题.5分）《算法统宗》是明代程大位编纂的一部以实用为主的数学著作.共17卷.记载了各种生活问题的解法及口诀.很多问题都以诗歌形式呈现其中.行程减等歌：“三百七十八里关.初行健步不为难次日脚痛减一半.六朝才得到其关要见每朝行里数.请公仔细算相还？（意思是：两地相距378里.从一地出发.第一天健步如飞.从第二天起.每天只能走前一天的一半路程.走了六天才到另外地要知道走了多少路稈.请您仔细算算告诉我）则第一天走了（ ）里 A.96 B.192 C.184 D.929.（单选题.5分）平面直角坐标系xOy 中.P 是曲线y=x+ 3x（x≥1）上的一个动点.则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是（ ） A. √3 B.4 C. √5 D.2 √310.（单选题.5分）在正项等比数列{a n }中.a 5= 12 .a 6+a 7=3．则满足a 1+a 2+a 3+…+a n ＞a 1a 2a 3…a n 的最大正整数n 的值为（ ） A.10 B.11 C.12 D.1311.（单选题.5分）已知函数f （x ）= {log 12(−x +1)−1，x ∈[−1，k]−2|x −1|，x ∈[k ，a] .若在在实数k 使得该函数的值域为[-2.0].则实数a 的取值范围是（ ）B.（ 12 .2] C.（ 34 .2） D.（ 34 .2]12.（单选题.5分）设{a n }是等比数列.公比q= √23.S n 为{a n }前n 项的和.记T n = 17S n −S 2na n+1.n∈N .设T n 0 为数列{T n }的最大项.则n 0=（ ） A.3 B.4 C.5 D.613.（填空题.5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .且a n =19-3n.则当n=___ .S n 有最大值___ ． 14.（填空题.5分）已知关于x 的不等式ax 2+bx+a 2+1＜0的解集是（-∞.-1]∪[2.+∞）.则a-b=___ ．15.（填空题.5分）已知a.b∈R .a+b=2.则 1a 2+1 + 1b 2+1 的最大值为___ ．16.（填空题.5分）已知函数y=f （x ）是定义在R 上恒不为0的单调函数.对任意的x.y∈R .总有f （x ）f （y ）=f （x+y ）成立.若数列{a n }的n 项和为S n .且满足a 1=f （0）. f (a n+1)=1f (3n+1−2a n )（n∈N *）.则S n =___ ．17.（问答题.8分）已知关于x 的不等式x 2-（a+2）x+2a ＜0． （1）当a=1时.解不等式； （2）当a∈R 时.解不等式．18.（问答题.10分）已知函数f （x ）=x 2+mx+n 的图象过点（1.3）.且f （-1+x ）=f （-1-x ）对任意实数都成立.函数y=g （x ）与y=f （x ）的图象关于原点对称． （1）求f （x ）与g （x ）的解析式；（2）若F （x ）=g （x ）-λf （x ）+λx 2在（-1.1]上是单调函数.求实数λ的取值范围．19.（问答题.12分）已知数列{a n}中.a1=1.前n项和S n= n+23a n．（1）求a2.a3；（2）求{a n}的通项公式．20.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知bsinA=acos（B- π6）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2.c=3.求b和sin（2A-B）的值．21.（问答题.14分）某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P= x+24（其中0≤x≤a.a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+ 1P）万元（不含促销费用）.产品的销售价格定为（4+ 20p）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时.该公司的利润最大？22.（问答题.14分）设数列{a n}.对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n）.（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0.b=3.p=-4时.求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1.b=0.p=0时.若a3=3.a9=15.求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项.则称该数列是“封闭数列”．当k=1.b=0.p=0时.设S n是数列{a n}的前n项和.a2-a1=2.试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}.使得对任意n∈N*.都有S n≠0.且112＜1S1+1S2+1S3+⋯+1S n＜1118．若存在.求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在.说明理由．2019-2020学年江苏省南通中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.5分）不等式（x-1）（x-3）＞0的解集为（）A.{x|x＜1}B.{x|x＞3}C.{x|x＜1或x＞3}D.{x|1＜x＜3}【正确答案】：C【解析】：先求出方程（x-1）（x-3）=0的根.再求出对应不等式的解集．【解答】：解：由方程（x-1）（x-3）=0.得x1=1.x2=3.所以不等式（x-1）（x-3）＞0的解集是{x|x＜1或x＞3}．故选：C．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法.属于基础题．2.（单选题.5分）在等差数列{a n}中.若a1=4.a5=12.则公差d=（）A.2B.3C.1D.4【正确答案】：A【解析】：根据题意.由等差数列的通项公式可得d= a5−a15−1.计算即可得答案．【解答】：解：根据题意.在等差数列{a n}中.若a1=4.a5=12.则d= a5−a15−1 = 12−45−1=2；故选：A．【点评】：本题考查等差数列的通项公式.关键是掌握等差数列的通项公式的形式.属于基础题．3.（单选题.5分）在数列{a n }中.已知a n = n 2+n−13 .n∈N*.则 193是数列中的第（ ）项.A.3B.4C.5D.6【正确答案】：B【解析】：根据题意.由数列的通项公式可得 n 2+n−13 = 193 .解可得n 的值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.数列{a n }中.已知a n = n 2+n−13. 若n 2+n−13 = 193.即n 2+n-1=19.解可得：n=4或-5（舍）； 故选：B ．【点评】：本题考查数列的表示方法.涉及数列的通项公式的应用.属于基础题． 4.（单选题.5分）已知等比数{a n }满足a 1a 7=3a 4a 3.则数列{a n }的公比q=（ ） A.2 B. 13 C.3 D. 12【正确答案】：C【解析】：由已知得 a 12q 6=3a 12q 5 .由上此能求出q=3．【解答】：解：∵等比数{a n }满足a 1a 7=3a 4a 3. ∴ a 12q 6=3a 12q 5 . 解得q=3． 故选：C ．【点评】：本题考查等比数列的公比的求法.是基础题.解题时要注意等比数列的通项公式的合理运用．5.（单选题.5分）已知数列（a n }中.a 1=2.a 2=5.a n+2=a n+1-a n .n∈N*.则a 2019=（ ） A.2 B.3C.5D.-2【正确答案】：B【解析】：根据递推关系求出数列的前几项.得到其为周期数列即可求解．【解答】：解：因为：数列（a n}中.a1=2.a2=5.a n+2=a n+1-a n.n∈N*.∴a3=a2-a1=3；a4=a3-a2=-2；a5=a4-a3=-5；a6=a5-a4=-3；a7=a6-a5=2；a8=a7-a6=5；所以数列是以6为周期的周期数列；因为2019=6×336+3；∴a2019=a3=3．故选：B．【点评】：本题主要考查有数列的递推关系式求数列的特殊项.解决本题的关键点在于找到其规律．6.（单选题.5分）某公司一年购买某种货物600吨.每次购买x吨.运费为6万元/次.一年的总存储费用为4x万元.则一年的总运费与总存储费用和最小为（）A.60万元B.160万元C.200万元D.240万元【正确答案】：D【解析】：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和：600x×6+4x.利用基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和：600x ×6+4x≥2× √3600x×4x=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故选：D．【点评】：本题考查了基本不等式的性质及其应用.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．7.（单选题.5分）已知正数x.y满足x+ yx =2.且ax+xy（a＞0）的最小值为2.则a的值为（）A. √3B.2C.1D.3【正确答案】：C【解析】：利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：∵正数x.y满足x+ yx=2.∴ a x +xy= 12（ax+xy）（x+ yx）= 12（a+1+ ayx2+x2y）≥12(a+1+2√a) ..即最小值12（a+1+2 √a）=2.∵a＞0.∴a=1．故选：C．【点评】：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质.属于基础题．8.（单选题.5分）《算法统宗》是明代程大位编纂的一部以实用为主的数学著作.共17卷.记载了各种生活问题的解法及口诀.很多问题都以诗歌形式呈现其中.行程减等歌：“三百七十八里关.初行健步不为难次日脚痛减一半.六朝才得到其关要见每朝行里数.请公仔细算相还？（意思是：两地相距378里.从一地出发.第一天健步如飞.从第二天起.每天只能走前一天的一半路程.走了六天才到另外地要知道走了多少路稈.请您仔细算算告诉我）则第一天走了（）里A.96B.192C.184D.92【正确答案】：B【解析】：设第一天走了a 1里.则{a n }是公比为q= 12 的等比数列.利用等比数列的前n 项和公式能求出第一天走了多少里路．【解答】：解：设第一天走了a 1里.则{a n }是公比为q= 12 的等比数列. 由题意得： S 6=a 1[1−(12)6]1−12=378.解得a 1=192． 故选：B ．【点评】：本题考查等比数列的首项的求法.考查等比数列的性质在生产生活中的应用等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．9.（单选题.5分）平面直角坐标系xOy 中.P 是曲线y=x+ 3x（x≥1）上的一个动点.则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是（ ） A. √3 B.4 C. √5 D.2 √3【正确答案】：D【解析】：利用导数求平行于x+y=0的直线与曲线y=x+ 3x（x≥1）的切点. 再由点到直线的距离公式求点P 到直线x+y=0距离的最小值．【解答】：解：由y=x+ 3x （x≥1）.得y′=1- 3x 2 .设斜率为-1的直线与曲线y=x+ 3x （x≥1）切于点P （x 0.x 0+ 3x 0）.由1- 3x 02 =-1.解得x 0= √62 （x 0≥1）；∴曲线y=x+ 3x （x≥1）上.点P （ √62 . 3√62）到直线x+y=0的距离最小.最小值为d= |√62+3√62|√2=2 √3 ．故选：D ．【点评】：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.也考查了点到直线的距离公式计算问题.是中档题．10.（单选题.5分）在正项等比数列{a n }中.a 5= 12.a 6+a 7=3．则满足a 1+a 2+a 3+…+a n ＞a 1a 2a 3…a n 的最大正整数n 的值为（ ） A.10 B.11 C.12 D.13【正确答案】：C【解析】：由a 5= 12 .a 6+a 7= a 5(q +q 2) =3.结合等比数列的通项公式可求q 及a 1.然后根据已知不等式及等比数列的求和公式可得关于n 的不等式.解不等式可求n ．【解答】：解：∵正项等比数列{a n }中.a 5= 12.a 6+a 7= a 5(q +q 2) =3. ∴q 2+q=6 ∵q ＞0.解可得.q=2或q=-3（舍）. ∴a 1= 132 .∵a 1+a 2+a 3+…+a n =132(1−2n )1−2= 2n −132 .a 1a 2a 3…a n = √(a 1a n )n = (132)n × 2n (n−1)2 .∴ 2n −132＞132n×2n (n−1)2=2n (n−11)2.整理可得.n ＞(n −1)(12n −5) . ∴1＜n≤12.经检验n=12满足题意.故满足题意的最大正整数n 的值为12． 故选：C ．【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式.等比数列的性质等知识的简单综合应用.属于中档试题．11.（单选题.5分）已知函数f （x ）= {log 12(−x +1)−1，x ∈[−1，k]−2|x −1|，x ∈[k ，a] .若在在实数k 使得该函数的值域为[-2.0].则实数a 的取值范围是（ ）A.（1.2]B.（12.2]C.（34.2）D.（34.2]【正确答案】：B【解析】：当-1≤x≤k时.函数f（x）递增.且在区间左端点处有f（-1）=-2.当k≤x≤a时.f（x）在[k. 12 ]单调递增.[1.a]上单调递减.在[ 12.1]单调递增；从而当x=1时.函数有最大值.即为f（1）=0.函数在右端点的函数值为f（2）=-2.结合图象即可求出a的取值范围．【解答】：解：当-1≤x≤k时.函数f（x）=log 12（1-x）-1为增函数.且在区间左端点处有f（-1）=-2.令f（x）=0.解得x= 12.令f（x）=-2|x-1|=-2.解得x=2.∵f（x）的值域为[-2.0].∴k≤2.当k≤x≤a时.f（x）=-2|x-1|= {−2x+2，1≤x≤a 2x−2，k≤x＜1∴f（x）在[k. 12 ]单调递增.[1.a]上单调递减.在[ 12.1]单调递增从而当x=1时.函数有最大值.即为f（1）=0.函数在右端点的函数值为f（2）=-2.∵f（x）的值域为[-2.0].∴ 12＜a≤2.故选：B．【点评】：本题考查分段函数的问题.根据函数的单调性求出函数的值域是关键.属于中档题．12.（单选题.5分）设{a n }是等比数列.公比q= √23.S n 为{a n }前n 项的和.记T n = 17S n −S 2na n+1.n∈N .设T n 0 为数列{T n }的最大项.则n 0=（ ） A.3 B.4 C.5 D.6【正确答案】：D【解析】：令t=q n ＞1.化简T n .根据基本不等式.求出n 的最大值．【解答】：解：令t=q n ＞1.T n = 17S n −S2n a n+1=17•a 1(1−q n )1−q−a 1(1−q 2n )1−qa 1q n−1=(q n −1)(q n −16)q n (1q−1)= q 1−q •(t−1)(t−16)t= q1−q (t +16t−17) ≤q1−q (8−17)=−9q1−q .当且仅当t=4时.取等号. 此时q n =4.即 2(13n)=22 .n=6. 故选：D ．【点评】：考查等比数列的前n 项和公式及其应用.还用了基本不等式.中档题．13.（填空题.5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .且a n =19-3n.则当n=___ .S n 有最大值___ ． 【正确答案】：[1]6; [2]51【解析】：根据题意.由数列的通项公式分析可得数列{a n }为等差数列.且首项a 1=16.进而由等差数列的前n 项和公式可得S n 的表达式.结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】：解：根据题意.数列{a n }中.其通项公式a n =19-3n.则数列{a n }为等差数列.且首项a 1=16. 则S n =(a 1+a n )×n2=−3n 2+35n2 . 又由n∈N +.则n=6时.S n 有最大值.且其最大值为51； 故答案为：6.51．【点评】：本题考查等差数列的前n 项和的性质.注意等差数列的通项公式.属于基础题．14.（填空题.5分）已知关于x 的不等式ax 2+bx+a 2+1＜0的解集是（-∞.-1]∪[2.+∞）.则a-b=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：根据一元二次不等式与对应方程的关系.列方程组求得a 、b 的值.再计算a-b ．【解答】：解：关于x 的不等式ax 2+bx+a 2+1＜0的解集是（-∞.-1]∪[2.+∞）. 所以a ＜0.且-1和2是方程ax 2+bx+a 2+1=0的实数根. 则 {−1+2=−ba −1×2=a 2+1a . 解得a=-1.b=1； 所以a-b=-1-1=-2． 故答案为：-2．【点评】：本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题.是基础题． 15.（填空题.5分）已知a.b∈R .a+b=2.则 1a 2+1 + 1b 2+1的最大值为___ ． 【正确答案】：[1]√2+12【解析】：可设a=1-x.b=1+x.代入所求式子进行化简后结合基本不等式可求最大值．【解答】：解：∵a+b=2. 不妨设a=1-x.b=1+x.则 1a 2+1 + 1b 2+1 = 11+(1−x )2+1(1+x )2+1 = 1x 2−2x+2+1x 2+2x+2= 2(x 2+2)(x 2+2)2−4x 2 = 2(x 2+2)(x 2+2)2−4(x 2+2)+8 .令t=2+x 2.则t≥2. 上式可化简为 2t+8t−4 ≤2√8−4 = √2+12. 即最大值√2+12. 故答案为： √2+12．【点评】：本题考查了基本不等式在求最值中的应用.属于中档题．16.（填空题.5分）已知函数y=f （x ）是定义在R 上恒不为0的单调函数.对任意的x.y∈R .总有f （x ）f （y ）=f （x+y ）成立.若数列{a n }的n 项和为S n .且满足a 1=f （0）. f (a n+1)=1f (3n+1−2a n )（n∈N *）.则S n =___ ．【正确答案】：[1]5×2n+1-3n+2+112【解析】：首先求出特殊值f （0）.然后结合f （x ）f （y ）=f （x+y ）把已知条件变形为a n+1与a n 的关系式.进一步整理得数列{a n +3n+1}为等比数列.再运用等比数列通项公式求得a n .最后分别运用等比数列前n 项和公式求得S n ．【解答】：解：因为任意的x.y∈R .总有f （x ）f （y ）=f （x+y ）成立. 所以f （0）f （0）=f （0）.即f （0）•（f （0）-1）=0. 解得f （0）=1.即a 1=1.又f （a n+1）•f （3n+1-2a n ）=1.即f （a n+1+3n+1-2a n ）=f （0）. 所以a n+1+3n+1-2a n =0.则a n+1+3n+1+2×3n+1=2a n +2×3n+1.即a n+1+3n+2a n +3n+1=2. 所以数列{a n +3n+1}是首项为10.公比为2的等比数列. 则a n +3n+1=10×2n-1.即a n =5×2n -3n+1. 所以S n =5×2(1−2n )1−2- 32(1−3n )1−3 = 5×2n+1−3n+2+112． 故答案为 5×2n+1−3n+2+112．【点评】：本题主要考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式.同时考查函数的单调性等．17.（问答题.8分）已知关于x 的不等式x 2-（a+2）x+2a ＜0． （1）当a=1时.解不等式； （2）当a∈R 时.解不等式．【正确答案】：【解析】：（1）当a=1时.不等式为x 2-3x+2＜0.可得（2）原不等式可转化为：（x-a ）（x-2）＜0分① a＞2. ② a=2. ③ a＜2三种情况讨论进行求解【解答】：解：（1）当a=1时.不等式为x2-3x+2＜0解可得{x|1＜x＜2}（2）原不等式可转化为：（x-a）（x-2）＜0① 当a＞2时.不等式的解集为{x|2＜x＜a}② a=2时.不等式的解答集为∅③ a＜2时不等式的解集合为{x|a＜x＜2}【点评】：本题主要考查了一元二次不等式的解法.其中（2）中主要考查了分类讨论的思想在解题中的应用．18.（问答题.10分）已知函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1.3）.且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立.函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．（1）求f（x）与g（x）的解析式；（2）若F（x）=g（x）-λf（x）+λx2在（-1.1]上是单调函数.求实数λ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1.3）.且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立.求f（x）的解析式.利用函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称.求出g （x）的解析式；（2）先写出F（x）解析式.F（x）=g（x）-λf（x）+λx2=-x2+2x-λ（x2+2x）+λx2=-x2+（2-2λ）x.对称轴为x=1-λ.F（x）在（-1.1]上是单调函数.所以1-λ≤-1.或1-λ≥1.进而解出答案．【解答】：解：（1）因为函数f（x）图象过点（1.3）.所以1+m+n=3.即m+n=2.因为f（-1+x）=f（-1-x）.=-1.所以对称轴为x=-1.即−m2解得m=2.n=0.函数f（x）=x2+2x.因为函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．设函数g（x）图象上任意一点（x.y）关于原点对称得（-x.-y）.所以-y=（-x）2+2（-x）.即y=-x2+2x.g（x）=-x2+2x．（2）F（x）=g（x）-λf（x）+λx2=-x2+2x-λ（x2+2x）+λx2=-x2+（2-2λ）x.对称轴为x=1-λ.因为F（x）在（-1.1]上是单调函数.所以1-λ≤-1.或1-λ≥1.解得λ≥2或λ≤0．【点评】：本题考查函数解析式的确定.考查函数的单调性.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．19.（问答题.12分）已知数列{a n}中.a1=1.前n项和S n= n+23a n．（1）求a2.a3；（2）求{a n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）由a1=1.前n项和S n= n+23a n．可得：S2= 43a2=1+a2.解得a2．同理可得a3．（2）n≥2时.a n=S n-S n-1= n+23a n - n+13a n−1 .化为：a na n−1= n+1n−1．利用a n= a na n−1•a n−1a n−2•…• a2a1•a1即可得出．【解答】：解：（1）由a1=1.前n项和S n= n+23a n．可得：S2= 43a2=1+a2.解得a2=3．S3= 53a3 =1+3+a3.解得a3=6．（2）n≥2时.a n=S n-S n-1= n+23a n - n+13a n−1 .化为：a na n−1= n+1n−1．∴a n= a na n−1•a n−1a n−2•…• a2a1•a1 = n+1n−1•nn−2• n−1n−3•…•× 53×42×31×1 = n2+n2．n=1时.也满足上式．∴a n= n2+n2．【点评】：本题考查了数列递推关系、累乘求积方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．20.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知bsinA=acos（B- π6）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2.c=3.求b和sin（2A-B）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB.与bsinA=acos（B- π6）．由此能求出B．（Ⅱ）由余弦定理得b= √7 .由bsinA=acos（B- π6）.得sinA= √3√7.cosA=√7.由此能求出sin（2A-B）．【解答】：解：（Ⅰ）在△ABC中.由正弦定理得asinA =bsinB.得bsinA=asinB.又bsinA=acos（B- π6）．∴asinB=acos（B- π6）.即sinB=cos（B- π6）=cosBcos π6+sinBsin π6= √32cosB+ 12sinB .∴tanB= √3 .又B∈（0.π）.∴B= π3．（Ⅱ）在△ABC中.a=2.c=3.B= π3.由余弦定理得b= √a2+c2−2accosB = √7 .由bsinA=acos（B- π6）.得sinA= √3√7.∵a＜c.∴cosA=√7.∴sin2A=2sinAcosA= 4√37.cos2A=2cos2A-1= 17.∴sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2AsinB= 4√37×12−17×√32= 3√314．【点评】：本题考查角的求法.考查两角差的余弦值的求法.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是中档题．21.（问答题.14分）某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足P=x+24（其中0≤x≤a .a 为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+ 1P ）万元（不含促销费用）.产品的销售价格定为（4+ 20p ）元/件． （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时.该公司的利润最大？【正确答案】：【解析】：（1）根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系； （2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值.注意等号成立的条件．【解答】：解：（Ⅰ）由题意知.y=（4+ 20p ）p-x-6（p+ 1p ）. 将p=x+24 代入化简得：y=19- 24x+2 - 32x （0≤x≤a ）； （Ⅱ）y=22- 32 （ 16x+2 +x+2）≤22-3 √16x+2×(x +2) =10. 当且仅当 16x+2 =x+2.即x=2时.上式取等号；当a≥2时.促销费用投入2万元时.该公司的利润最大； y=19- 24x+2 - 32 x.y′= 24(x+2)2 - 32 . ∴a ＜2时.函数在[0.a]上单调递增.∴x=a 时.函数有最大值．即促销费用投入a 万元时.该公司的利润最大．【点评】：本题主要考查了函数模型的选择与应用.以及基本不等式在最值问题中的应用.同时考查了计算能力.属于中档题．22.（问答题.14分）设数列{a n }.对任意n∈N *都有（kn+b ）（a 1+a n ）+p=2（a 1+a 2…+a n ）.（其中k 、b 、p 是常数）．（1）当k=0.b=3.p=-4时.求a 1+a 2+a 3+…+a n ；（2）当k=1.b=0.p=0时.若a 3=3.a 9=15.求数列{a n }的通项公式；（3）若数列{a n }中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项.则称该数列是“封闭数列”．当k=1.b=0.p=0时.设S n 是数列{a n }的前n 项和.a 2-a 1=2.试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n }.使得对任意n∈N*.都有S n≠0.且112＜1S1+1S2+1S3+⋯+1S n＜1118．若存在.求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）当k=0.b=3.p=-4时.3（a1+a n）-4=2（a1+a2…+a n）.再写一式.两式相减.可得数列{a n}是以首项为1.公比为3的等比数列.从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1.b=0.p=0时.n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n）.再写一式.两式相减.可得数列{a n}是等差数列.从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项.利用{a n}是“封闭数列”.得a1是偶数.从而可得1811＜a1＜12 .再利用112＜1S1+1S2+1S3+⋯+1S n＜1118.验证.可求数列{a n}的首项a1的所有取值．【解答】：解：（1）当k=0.b=3.p=-4时.3（a1+a n）-4=2（a1+a2…+a n）. ①用n+1去代n得.3（a1+a n+1）-4=2（a1+a2…+a n+a n+1）. ②② - ① 得.3（a n+1-a n）=2a n+1.a n+1=3a n.（2分）在① 中令n=1得.a1=1.则a n≠0.∴ a n+1a n=3 .∴数列{a n}是以首项为1.公比为3的等比数列.∴a1+a2+a3+…+a n= 3n−12．（4分）（2）当k=1.b=0.p=0时.n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n）. ③用n+1去代n得.（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1）. ④④ - ③ 得.（n-1）a n+1-na n+a1=0. ⑤ （6分）用n+1去代n得.na n+2-（n+1）a n+1+a1=0. ⑥⑥ - ⑤ 得.na n+2-2na n+1+na n=0.即a n+2-a n+1=a n+1-a n.（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3.a9=15.∴公差d=a9−a39−3=2 .∴a n=2n-3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列.∵a2-a1=2.∴a n=a1+2（n-1）．又{a n}是“封闭数列”.得：对任意m.n∈N*.必存在p∈N*使a1+2（n-1）+a1+2（m-1）=a1+2（p-1）.得a1=2（p-m-n+1）.故a1是偶数.（12分）又由已知. 112＜1S1＜1118.故1811＜a1＜12．一方面.当1811＜a1＜12时.S n=n（n+a1-1）＞0.对任意n∈N*.都有1S1+1S2+1S3+⋯+1S n≥1S1＞112．另一方面.当a1=2时.S n=n（n+1）. 1S n =1n−1n+1.则1S1+1S2+1S3+⋯+1S n=1−1n+1.取n=2.则1S1+1S2=1−13=23＞1118.不合题意．（14分）当a1=4时.S n=n（n+3）. 1S n =13(1n−1n+3) .则1S1+1S2+1S3+⋯+1S n=1118−13(1n+1+1n+2+1n+3)＜1118.当a1≥6时.S n=n（n+a1-1）＞n（n+3）. 1S n ＜13(1n−1n+3) . 1S1+1S2+1S3+⋯+1S n＜1118−1 3(1n+1+1n+2+1n+3)＜1118.又1811＜a1＜12 .∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）【点评】：本题考查数列的通项与求和.考查等差数列、等比数列的判定.考查学生分析解决问题的能力.属于难题．。