第二章 §2 2.3 第二课时 圆与圆的位置关系
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2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
7．(2012· 福建三明市高一检测)已知圆C：(x－3)2＋ (y－4)2＝4， (1)若直线l1过定点A(1,0)，且与圆C相切，求l1的 方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0
上，且与圆C外切，求圆D的方程． 解：(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1， 符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝ k(x－1)，即kx－y－k＝0.
a＝1.
答案：1
[例3]
过两圆x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交点，且
圆心在直线x－ 3y－6＝0上的圆的方程． [思路点拨] 求出交点，再求圆心和半径得圆的方程．
[精解详析]
法一：
x2＋y2－4＝0， 由 2 2 x ＋y －4x＝0， x＝1， 得 y＝ 3， x＝1， 或 y＝－ 3，
解得a＝3，或a＝－2， ∴D(3，－1)或D(－2,4)． ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋ (y－4)2＝9.
1．讨论圆与圆的位置关系问题，一般有两种方 法，即代数法和几何法，代数法有时比较麻烦且只提 供交点的个数；几何法就比较简洁，只要将圆心距d 与|r1－r2|，r1＋r2比较即可得出位置关系．
2．求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个
圆的方程相减即可．而在求两圆的公共弦长时，则应注 意数形结合思想方法的灵活运用. 3.过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0交点的圆方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1) ＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，这就是过两圆交 点的圆系方程，特别地，λ＝－1时，为两圆公共弦的方 程．
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．
圆与圆的位置关系ppt课件
设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4.
则
解得 故圆心为 ,半径为
故圆的方程为
即x²+y²-x+7y-32=0.
(方法2)设所求圆的方程为x²+y²+6x-4+λ(x²+y²+6y-28)=0(λ≠-1),
其圆心为
,代入x-y-4=0,解得λ=-7.
故所求圆的方程为x²+y²-x+7y-32=0.
分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M 的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。
解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB 所在直线为x轴，线段AB的 垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. 由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).设点M 的坐标为(x,y),由 |MA|=|MB|, 得
(1)当|C₁C₂ I=r₁+r₂=5,即a=5时，两圆外切；当|C₁C₂ I=r₁-r₂=3,即a=3时，两圆内切。
(2)当3<|C₁C₂I<5,即3<a<5时，两圆相交.
(3)当|C₁C₂I>5,即a>5时，两圆外离. (4)当|C₁C₂I<3,即O<a<3时，两圆内含.
12 U
典型例题
例2.已知圆O的直径AB=4, 动点M与点A的距离是它与点B的距离的√2倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
相交弦及圆系方程问题的解决 1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必 须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. 2.求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两 圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 3.已知圆C₁ :x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 与圆C₂ :x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 相交，则过两圆交点的圆的方程 可设为x²+y²+D₁x+E₁y+F₁+λ(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0(λ≠-1).
2.3.2圆与圆的位置关系(正式)
2.3.2 圆与圆的位置关系一、学习目标1、知识与技能（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．2、过程与方法设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；3、情态与价值观通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养数形结合的思想．二、重点、难点：重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系学习过程：（一）情境导入：在现实生活中，圆与圆有不同的位置关系，如下图所示：圆与圆的位置关系除了以上几种外，还有其他的位置关系吗？我们如何判断圆与圆的位置关系呢？这些问题待学习完这节课后就可以得到解决。
(二)实践与探索：圆与圆的位置关系 请同学们在纸上画一个圆，把一枚硬币当作另一个圆，纸上移动这枚硬币，观察两圆的位置关系和公共点的个数。
如图23.2.14（1）、（2）、（3）所示，两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。
（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图23.2.14（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图23.2.14（6）所示。
（三）实践与探索：用数量关系识别两圆的位置关系 思考：如果两圆的半径分别为3和5，圆心距（两圆圆心的距离）d 为9，你能确定他们的位置关系吗？若圆心距d 分别为8、6、4、2、1、0时，它们的位置关系又如何呢？利用以上的思考题让同学们画图或想象，概括出两圆的位置关系与圆心距、两圆的半径具有什么关系。
圆与圆的位置关系ppt课件
解法一：联立C1,C2方程 x2+y2+2x+8y-8=0 x2+y2-4x-4y-2=0
解法二：化标准方程
类型一 圆与圆的位置关系的判定
1.已知圆C1:x2+y2+4x+2y-1=0,圆C2:x2+y2+2x+8y-8=0,则圆C1与圆C2 的位置关系是 ( )
A.相离
B.相交
C.外切
D.内切
2.圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为 ( )
2．若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为 2 3 ，则 a＝( ) A．2 B．1 C．－1 D．－2
类型三 两圆相交问题
圆与圆位置关系的应用【典例】若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋ y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB
y
X
问题：两圆相交时，圆心距和半径之间有何关系？
Rr
•
O1
d • O2
R-r<d<R+r (R≥r)
01 圆与圆的位置关系
问题：两圆相切时，圆心距和半径之间有何关系？
O1• R r •O2
d （c） 两圆外切: d=R+r（R>r）
O1• O• 2
r R
（d） 两圆内切： d=R-r(R>r)
01 圆与圆的位置关系
类型三 两圆相交问题
公共弦相关的问题
【典例1】已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0,则两圆的公共弦长为
() y
A. 3
B.2 3
圆与圆的位置关系ppt课件
－14y＋k＝0相交、相切、相离？
5、已知点B(2,-2)以及圆 x2＋y2－6x＝0与圆 x2＋y2＝交点的圆方程
6、已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点P的轨迹.
解法一 : 参数法(常规方法)
设过A的弦所在的直线方程为y 2 k ( x 1)(k存在时), P ( x, y ),
O
A
x
例5、已知⊙C x2＋y2－x＋2y＝0, 关于l： x－y＋1＝0对称的圆方程.
变式、已知点A是⊙C x2＋y2－x＋2y＝0上的点,点P是直线l： x－y＋1＝
0上的点，点B(0,3)，求|PA|+ |PB|的最小值.
巩固练习
1.两圆x2+y2-6x=0和x2+y2+8y+12=0的位置关系（
2. 若两圆相切(内切或外切), 则公切线所在直线方程为
( D1 D2 ) x ( E1 E2 ) y F1 F2 0 (也就是两圆方程相减所得)
例3．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
x
思考
观察两圆的相对位置如何变化？交点个数分别是多少？
0个
•
•
C1
外离
C2
1个
2个
•
1个
•
C1
外切
C2
0个
1个
2个
•
1个
•
C1
相交
C2
0个
•
C1
•
C2
内切
••
C1 C2
内含
知识点1、圆与圆的位置关系
5、已知点B(2,-2)以及圆 x2＋y2－6x＝0与圆 x2＋y2＝交点的圆方程
6、已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点P的轨迹.
解法一 : 参数法(常规方法)
设过A的弦所在的直线方程为y 2 k ( x 1)(k存在时), P ( x, y ),
O
A
x
例5、已知⊙C x2＋y2－x＋2y＝0, 关于l： x－y＋1＝0对称的圆方程.
变式、已知点A是⊙C x2＋y2－x＋2y＝0上的点,点P是直线l： x－y＋1＝
0上的点，点B(0,3)，求|PA|+ |PB|的最小值.
巩固练习
1.两圆x2+y2-6x=0和x2+y2+8y+12=0的位置关系（
2. 若两圆相切(内切或外切), 则公切线所在直线方程为
( D1 D2 ) x ( E1 E2 ) y F1 F2 0 (也就是两圆方程相减所得)
例3．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
x
思考
观察两圆的相对位置如何变化？交点个数分别是多少？
0个
•
•
C1
外离
C2
1个
2个
•
1个
•
C1
外切
C2
0个
1个
2个
•
1个
•
C1
相交
C2
0个
•
C1
•
C2
内切
••
C1 C2
内含
知识点1、圆与圆的位置关系
《圆与圆位置关系》课件
《圆与圆位置关系》ppt课件
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
圆与圆的位置关系ppt课件
C1
r1 C2
r2
内含
C1 rC12r2
内切
r C2
r1 C1
新知讲解
注意： 1.当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情 况(重合时两个圆被看成一个圆). 2.如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的 连心线.两个圆心之间的线段长叫作圆心距. 思考：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置 关系有何对应关系？
（2）将圆 <m>C1</m>和圆 <m>C2</m>的方程相减，得 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 <4m>x + 3y − 23 = 0</m>， 圆心 <m>C2 5,6 </m>到直线 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>的距离为 <m>20+1168+−923 = 3</m>， 故公共弦长为 <m>2 16 − 9 = 2 7</m>.
r1 r2 2 1,r1 r2 2 1.
r1 r2 <d <r1 r2.
∴圆C1与圆C2相交.
思考:还有其他方法判断吗？
新知讲解
例1:画图并判断圆C1：x2 +y2 +2x=0 和圆C2：x2 +y2–2y =1的位置关系.
解法二:联立方程组
x2 y2 2x 0
x2
y2
2
y
1
① ②
2
2 1
圆与圆有关的位置关系圆与圆的位置关系课件
计算公式：面积 = π * r^2，其 中r为圆的半径。
当两个圆相交时，可以分别计算 两个圆的面积，然后根据公共部 分的面积来计算相交部分的面积
。
如果已知两圆半径分别为r和R， 则相交部分的面积为S = π * r *
R。
04
相离圆的位置关系
相离圆的特点
两圆心距离大于两圆半径之和 两圆没有公共点
03
相交圆的位置关系
相交圆的特点
两个圆相交，则存在 两个公共点。
相交圆的半径与两个 圆的中心距离相等。
两个公共点都在两个 圆的边界上。
相交圆的性质
相交圆的连心线垂直平分两圆 交点所在的弦。
相交圆的弦被两圆的连心线所 平分。
相交圆的弦长等于两圆半径之 和或差（视弦的位置而定）。
相交圆的面积计算
内离→内含
随着两圆之间的距离逐渐 增大，它们可能从内离变 为内含。
相交→相切→内切
随着两圆之间的距离逐渐 减小，它们可能从相交变 为相切，再变为内切。
02
相切圆的位置关系
外切圆
总结词
两圆外切，即两圆的圆心距离等于两圆半径之和。
详细描述
当两个圆相切时，它们的圆心位于同一直线上，并且圆心之间的距离等于两个 圆的半径之和。外切圆是一种常见的相切圆位置关系，它在几何学和图形学中 具有重要应用。
移动与旋转
移动
通过将一个圆平移到另一个圆的位置 ，可以实现相离圆到相交圆的转换。 移动过程中，圆心之间的距离会发生 变化，但圆的形状和大小保持不变。
旋转
旋转一个圆，使它与另一个圆相交， 可以实现相离圆到相交圆的转换。旋 转过程中，圆心之间的距离保持不变 ，但圆上各点的位置会发生变化。
相离圆与相交圆的转换关系
高中数学-圆与圆的位置关系课件PPT
0
0 ≤ d＜R-r
2
R-r ＜d＜R+r
d=R+r
1
d=R-r
思想方法：类比方法与分类讨论
T. . . 01 02
. T. .
01
02
说明:相切两圆的连心线必经过切点。
小 要确定两圆的位置关系,关键是计算出 结 数据d、(r1+r2)和(r1–r2)这三个量,再把它们进
行大小比较.(r1＞r2)
1、⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,在下列情 况下，分别求出两 圆的圆心距d的取值范围：
（1）外离 ___d_>_7___
（2）外切 ___d_=_7___
（3）相交 _3__<_d_<_7______（4）内切 __d_=__3___ （5）内含___0__≤_d_<__3__
切点
外切:两圆有惟一公共点,并且除了公共点
外,一个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫 两圆外切.
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点
外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫 两圆内切.
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
2、如图，两个圆的圆心都在x轴上，交点
为A、B ，已知点A的坐标为（-2，3），
则点B的坐标为_______。
y
A
○′
○x
B
随堂练习
1.已知半径为1厘米的两圆外切,半径为2厘米 且和这两圆都相切的圆共有 3 个.
2.三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘 米,以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两 外切,则此三个圆的半径分别多少?
0 ≤ d＜R-r
2
R-r ＜d＜R+r
d=R+r
1
d=R-r
思想方法：类比方法与分类讨论
T. . . 01 02
. T. .
01
02
说明:相切两圆的连心线必经过切点。
小 要确定两圆的位置关系,关键是计算出 结 数据d、(r1+r2)和(r1–r2)这三个量,再把它们进
行大小比较.(r1＞r2)
1、⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,在下列情 况下，分别求出两 圆的圆心距d的取值范围：
（1）外离 ___d_>_7___
（2）外切 ___d_=_7___
（3）相交 _3__<_d_<_7______（4）内切 __d_=__3___ （5）内含___0__≤_d_<__3__
切点
外切:两圆有惟一公共点,并且除了公共点
外,一个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫 两圆外切.
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点
外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫 两圆内切.
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
2、如图，两个圆的圆心都在x轴上，交点
为A、B ，已知点A的坐标为（-2，3），
则点B的坐标为_______。
y
A
○′
○x
B
随堂练习
1.已知半径为1厘米的两圆外切,半径为2厘米 且和这两圆都相切的圆共有 3 个.
2.三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘 米,以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两 外切,则此三个圆的半径分别多少?
圆与圆的位置关系课件PPT
A.d＜6 B. 4＜ d ＜6 C.4≤d≤6 D.1＜d＜5
2.若半径为1和5的两圆相交,则圆心距d的取值范围为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
3.若两圆半径为6cm和4cm,圆心距为10cm,那么这两圆的位置关系为( )
3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5,圆心距为3,则两圆的位置关系是 ( )
拓展迁移
如图,建筑工地的地面上有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起,则其最高点到地面的距离为______m.
．
O1
．
O3
．
O2
P
B
实际应用会使学生体会到学习数学的价值，提高学习兴趣。
5.已知两圆的半径为R和r(R＞r), 圆心距为d ,
02
6.两圆相切,圆心距等于3,一个圆的半径为5cm,则另一个圆的半径为 .
7.两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点, ⊙O1经过点O2,则 ∠O1AB的度数为 .
8.已知两圆的圆心距为5,⊙O1和⊙O2 的半径分别是方程 的两根,则两圆的关系为 .
思想方法：类比方法与分类讨论
小 结
性质
判定
说明:相切两圆的连心线必经过切点。
02
T
01
02
01
.
T
.
.
.
.
.
小结
外离
1、⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,在下列情况下，分别求出两 圆的圆心距d的取值范围： （1）外离 ________ （2）外切 ________ （3）相交 ____________（4）内切 ________ （5）内含___________
外离
外切
相交
内切
内含
2.若半径为1和5的两圆相交,则圆心距d的取值范围为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
3.若两圆半径为6cm和4cm,圆心距为10cm,那么这两圆的位置关系为( )
3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5,圆心距为3,则两圆的位置关系是 ( )
拓展迁移
如图,建筑工地的地面上有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起,则其最高点到地面的距离为______m.
．
O1
．
O3
．
O2
P
B
实际应用会使学生体会到学习数学的价值，提高学习兴趣。
5.已知两圆的半径为R和r(R＞r), 圆心距为d ,
02
6.两圆相切,圆心距等于3,一个圆的半径为5cm,则另一个圆的半径为 .
7.两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点, ⊙O1经过点O2,则 ∠O1AB的度数为 .
8.已知两圆的圆心距为5,⊙O1和⊙O2 的半径分别是方程 的两根,则两圆的关系为 .
思想方法：类比方法与分类讨论
小 结
性质
判定
说明:相切两圆的连心线必经过切点。
02
T
01
02
01
.
T
.
.
.
.
.
小结
外离
1、⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,在下列情况下，分别求出两 圆的圆心距d的取值范围： （1）外离 ________ （2）外切 ________ （3）相交 ____________（4）内切 ________ （5）内含___________
外离
外切
相交
内切
内含
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1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋ (E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点 间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、 半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
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[一题多变] 1．[变条件]将本题变为“求与圆 x2＋y2－2x＝0 外切，圆心在 x 轴上，且过点(3，－ 3)的圆的方程”．
解：因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a,0)，设半径为 r，则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2， 又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－ 3)，
①－②得：x－y＋2＝0， 所以公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.
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(2)法一：因为两圆公共弦所在直线方程为 lAB：x－y＋2＝0. 圆心C1到直线AB的距离d＝ 2，设圆C1的半径为r1，
2 所以公共弦长即|AB|＝2 r2 － d ＝2 4－2＝2 2. 1
法二：解两圆方程组成的方程组得两圆交点坐标是 A(－2,0)，B(0,2)，所以公共弦长即 |AB|＝ －2－02＋0－22＝2 2.
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[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两圆只有一个公共点，则两圆外切． (2)若两圆无公共点则两圆相离． (3)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含． ( × ) ( × ) ( √ )
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2．若两圆的半径R，r分别是5和3，圆心距为d＝3，则两圆的位置 关系是________．
图示
两圆相交
2个
|r1－r2|<d __________
< r1 ＋ r2 ________ d＝|r1－r2| ___________
两圆内切
1个
两圆外切
d＝r1＋r2 ___________
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[点睛]
圆与圆位置关系判定的关注点
(1)仅从圆与圆的交点个数判定是不科学的，如有1个交 点，就不能判定是内切还是外切，应再结合图像判定． (2)判定圆与圆位置的方法有几何法和代数法，代数法要 注意相切时的判定． (3)一般情况下，我们尽量选择利用几何法进行判断，以 减少运算量，提高解题的速度．
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第二课时
圆与圆的位置关系
预习课本P85～86，思考并完成以下问题
(1)两圆在同一平面内有几种位置关系？分别是哪些位置关系？
(2)如何判定两个圆的位置关系？
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[新知初探]
圆与圆的位置关系及判定
2 2 2 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r 2 1 ，C2：(x－x2) ＋(y－y2) ＝r 2 ，则圆
3 3λ 其圆心为－1＋λ，－1＋λ ，代入
x－y－4＝0，求得 λ＝－7.
故所求圆的方程为 x2＋y2－x＋7y－32＝0.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十四)”
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解：设圆心坐标为(a，b)，由所求圆与x轴相切，且与圆x2 ＋(y－3)2＝1相内切，可知所求圆的圆心必在x轴的上方， 且b＝6，即圆心为(a,6)．由两圆内切， 可得 a2＋6－32＝6－1＝5.∴a＝± 4.
∴所求圆的方程为(x± 4)2＋(y－6)2＝36.
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处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告 诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心 距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外 切时)的问题．
＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离、内含？
[解] 将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；
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圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝ 50－k(k＜50)， 从而|C1C2|＝ －2－12＋3－72＝5. 当1＋ 50－k＝5，即k＝34时，两圆外切． 当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6，即k＝14时，两圆内切． 当| 50－k－1|＜5＜1＋ 50－k， 即14＜k＜34时，两圆相交． 当1＋ 50－k＜5，即34＜k＜50时，两圆相离． 当| 50－k－1|＞5，即k＜14时，心距的长
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2 2 x ＋y －2x－3＝0， 法二：联立方程 2 2 x ＋y －4x＋2y＋3＝0，
x1＝1， 解得 y1＝－2，
x2＝3， y2＝0，
即方程组有 2 组解，也就
是说两圆的交点个数为 2，故可判断两圆相交.
2 2 a－1 ＋0 ＝r＋1， 所以 2 2 2 3 － a ＋ － 3 ＝ r ，
a＝4， 解得 r＝2，
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
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2．[变条件，变设问]将本例变为“求半径为6，与x轴相切， 且与圆x2＋(y－3)2＝1内切的圆的方程”．
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[活学活用] 求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在 直线x－y－4＝0上的圆的方程．
2 2 x ＋y ＋6x－4＝0， 解：法一：解方程组 2 2 x ＋y ＋6y－28＝0，
得两圆的交点A
(－1,3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上， 故b＝a－4. 则有 a＋12＋a－4－32＝ a＋62＋a－4＋22，
心距d＝|C1C2|＝
x1－x22＋y1－y22 .则两圆C1，C2有以下位置关系：
公共点个数 圆心距与半径 的关系 图示
位置关系
两圆相离
d>r1＋r2 _________
0个
两圆内含
d <|r1－r2| _________
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位置关系
公共点 个数
圆心距与半径 的关系
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判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取 值范围有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离d； (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系 或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
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两圆的公共弦问题
[典例] 已知圆C1：x2＋y2－4＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋4y
－12＝0相交于A，B两点． (1)求圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程． (2)求圆C1与圆C2的公共弦的长度．
[ 解] (1)联立方程得 ① ②
2 2 x ＋y －4＝0， 2 2 x ＋y －4x＋4y－12＝0，
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圆与圆的相切问题
[典例] 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋ 点M(3，－ 3)的圆的方程． 3 y＝0相切于
[解] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则 a－12＋b2＝r＋1. ① 又所求圆过点M的切线为直线x＋ 3y＝0， b＋ 3 故 ＝ 3. ② a－3 |a＋ 3b| ＝ r. ③ 2 解由①②③组成的方程组得 a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4 3，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4 3)2＝36.
答案：相交
3．若圆x2＋y2＝4与圆M外切，圆心距为5，则圆M的半径r＝____.
答案：3
4．圆x2＋(y－1)2＝1与圆(x－1)2＋y2＝2的位置关系是________．
答案：相交
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圆与圆位置关系的判断
[典例] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12
1 7 1 解得a＝ ，故圆心为2，－2， 2
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结
1 7 2 ＋1 ＋－ －32＝ 2 2
束
半径为
89 . 2
12 72 89 故圆的方程为x－2 ＋y＋2 ＝ . 2
法二： ∵圆 x2＋y2＋6y－28＝0 的圆心(0，－3)不在直线 x－y－4＝0 上，故可设所求圆的方程为 x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2 ＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
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