圆与圆的位置关系
圆与圆位置关系知识点
圆与圆位置关系知识点
在几何学中，圆与圆之间的位置关系涉及到它们的相对位置和相交情况。
以下
是一些关于圆与圆位置关系的重要知识点。
1. 内切：当一个圆完全位于另一个圆内部，并且两个圆的边界相切于一个点时，我们称这两个圆为内切圆。
内切圆的半径小于外切圆的半径。
2. 外切：当一个圆完全位于另一个圆外部，并且两个圆的边界相切于一个点时，我们称这两个圆为外切圆。
外切圆的半径大于内切圆的半径。
3. 相离：当两个圆没有任何交点且没有相切点时，我们称这两个圆为相离圆。
4. 相交：当两个圆有交点时，我们称这两个圆为相交圆。
a. 两个圆相交于两个不同的点时，我们称这种相交为普通相交。
b. 当两个圆的圆心重合且半径相等时，这两个圆相交于一条直径线，我们称
这种相交为重合相交。
5. 同心圆：当两个圆的圆心重合但半径不相等时，我们称这两个圆为同心圆。
这些是圆与圆位置关系的基本知识点，它们帮助我们理解圆的排列方式并解决
与圆相关的几何问题。
了解这些知识点可以为我们进一步学习和应用几何学提供基础。
圆与圆位置关系
圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)圆心距d ＝(a 1－a 2)2＋(b 1－b 2)2 d >r 1＋r 2⇔两圆__外离__；d ＝r 1＋r 2⇔两圆__外切__；|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆__相交__；d ＝|r 1－r 2|⇔两圆__内切__；0<d <|r 1－r 2|⇔两圆__内含__，d ＝0时为同心圆．2．两圆的公切线条数：当两圆内切时有__一条__公切线；当两圆外切时有__三条__公切线；相交时有__两条__公切线；相离时有__四条__公切线；内含时__无__公切线．随堂练习1．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是 ( C )A ．相切B ．外离C ．内含D ．相交[解析] 圆x 2＋y 2＝1的圆心O 1(0,0)，半径r 1＝1，圆x 2＋y 2＝2的圆心O 2(0,0)，半径r 2＝2则d ＝|O 1O 2|＝0，|r 2－r 1|＝2－1∴d <|r 2－r 1|，∴这两圆的位置关系是内含．2．圆x 2＋y 2＝4与圆(x －4)2＋(y －7)2＝1公切线的条数为 ( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心O 1(0,0)，半径r 1＝2，圆(x －4)2＋(y －7)2＝1的圆心O 2(4,7)，半径r 2＝1，则d ＝|O 1O 2|＝(4－0)2＋(7－0)2＝65>r 1＋r 2＝3．∴这两圆的位置关系是外离．有4条公切线，故选D ．3．若圆x 2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0内切，则m ＝__1或121__.[解析] 圆x 2＋y 2＝m 的半径r 1＝m 圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0的圆心坐标为(－3,4)，半径r 2＝6．∵两圆相内切，两圆心距离d ＝5∴6－m ＝5，或m －6＝5∴m ＝1或m ＝121．4．已知圆C 与圆x 2＋y 2－2x ＝0相外切，并且与直线x ＋3y ＝0相切于点Q (3，－3)，求圆C 的方程.[解析] 圆心C (a ，b )在过点Q (3，－3)与直线x ＋3y ＝0垂直的直线y ＝3x －43上，∴b ＝3a －43．圆心C 到C 1(1,0)和Q (3，－3)距离的差为1可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝0或⎩⎨⎧a ＝0b ＝－43．∴⊙C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36． 命题方向1 ⇨两圆位置关系的判断1 、判断圆x 2＋y 2＋6x －7＝0与圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的位置关系.[解析] 解法一：圆x 2＋y 2＋6x －7＝0的圆心为C 1(－3,0)，半径r 1＝4，圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的圆心为C 2(0，－3)，半径为r 2＝6，则两圆的圆心距d ＝|C 1C 2|＝[0－(－3)]2＋(－3－0)2＝32∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，即两圆相交．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －7＝0x 2＋y 2＋6y －27＝0，得2x 2＋383x ＋379＝0 Δ＝⎝⎛⎭⎫3832－4×2×379＝1 4849－2969＝1 1889>0∴两圆相交． 2.两圆C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的位置关系是( C )A．相离B．相切C．相交D．内含[解析]把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝2，则连心线的长|C1C2|＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，故r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，两圆相交．命题方向2⇨由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围1. 实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[解析]将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C1：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k，k<50．∴|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5．当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切；当|50－k－1|＝5，即k＝14时，两圆内切；当14<k<34时，4<50－k<6则r2－r1<|C1C2|<r2＋r1，此时，两圆相交；当k<14时两圆内含，当34<k<50时，两圆相离．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时：(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．[解析]对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9．圆心C1(m，－2)，半径r1＝3．C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4．圆心C2(－1，m)，半径r2＝2．(1)当两圆相外切时，|C1C2|＝r1＋r2∴(m＋1)2＋(－2－m)2＝5，∴m2＋3m－10＝0解得m＝－5或2．(2)当两圆相内含时，0<|C1C2|<|r1－r2|∴(m＋1)2＋(－2－m)2<1∴m2＋3m＋2<0，∴－2<m<－1．命题方向3⇨两圆的公共弦问题1. 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．[解析](1)将两圆方程配方化为标准方程C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10．则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10．又|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10．∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0．(3两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0两式相减得x －2y ＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程； 由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝52．圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35 ∴两圆的公共弦长为2r 2－d 2＝250－45＝2 5.2.圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦所在的直线方程是__4x ＋3y －2＝0__，公共弦长为__10__．[解析] 已知圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，①圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，② ①－②得24x ＋18y －12＝0即4x ＋3y －2＝0．把圆C 1，圆C 2化成标准方程分别为圆C 1：(x －6)2＋(y －1)2＝50，圆心为(6,1)r 1＝52圆C 2：(x ＋6)2＋(y ＋8)2＝125，圆心为(－6，－8)，r 2＝55则连心线的长|C 1C 2|＝(6＋6)2＋(1＋8)2＝15从而r 2－r 1＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2．故两圆相交．所以两圆公共弦所在的直线方程是4x ＋3y －2＝0．圆C 1的圆心到直线的距离d ＝|4×6＋3×1－2|42＋32＝5故公共弦长为2r 21－d 2＝250－25＝10． 基础测试1．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －3)2＝25，圆C 2与圆C 1关于点(2,1)对称，则圆C 2的方程是 ( B )A ．(x －3)2＋(y －5)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋1)2＝25C ．(x －1)2＋(y －4)2＝25D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝25[解析] 设⊙C 2上任一点P (x ，y )，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y )在⊙C 1上，∴(x －5)2＋(y ＋1)2＝25．2．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为 ( A )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0． 解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b 应满足的关系式是 ( B )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0[解析] 利用公共弦始终经过圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a ＋2)x ＋(2b ＋2)y －a 2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0．4．设r >0，两圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与x 2＋y 2＝16可能 ( C )A ．相离B ．相交C ．内切或内含或相交D ．外切或外离[解析] ∵两圆圆心坐标为(1，－3)，(0,0)，∴两圆的圆心的距离为(0－1)2＋(0＋3)2＝10<4，半径分别为4，r ，∴当|4－r |<10<4＋r 时，两圆相交，当4－r ＝10时，两圆相切，当4－r <10时，两圆内含，故选C ．5．两圆x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝ ( C )A ．5B ．4C ．3D ．22[解析] 设一个交点P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝16，(x 0－4)2＋(y 0＋3)2＝r 2，∴r 2＝41－8x 0＋6y 0∵两切线互相垂直∴y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1，∴3y 0－4x 0＝－16．∴r 2＝41＋2(3y 0－4x 0)＝9，∴r ＝3． 6．半径长为6的圆与y 轴相切，且与圆(x －3)2＋y 2＝1内切，则此圆的方程为 ( D )A ．(x －6)2＋(y －4)2＝6B ．(x －6)2＋(y ±4)2＝6C ．(x －6)2＋(y －4)2＝36D ．(x －6)2＋(y ±4)2＝36[解析] 半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则a ＝6，再由b 2＋32＝5可以解得b ＝±4，故所求圆的方程为(x －6)2＋(y ±4)2＝36．7．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0．再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25．。
圆与圆的位置关系(解析版)
圆与圆的位置关系(解析版)圆与圆的位置关系（解析版）圆与圆的位置关系是几何学中常见的问题。
在解析几何中，我们可以通过方程和图形的分析来确定两个圆之间的位置关系。
本文将详细介绍圆与圆的位置关系及其解析方法。
I. 两个圆的位置关系当给定两个圆的方程时，我们可以通过以下几种情况来判断它们的位置关系：1. 相离(disjoint)如果两个圆不相交，它们互相分离，也就是说没有公共点。
我们可以通过计算它们的半径之和和两个圆心之间的距离来判断。
如果半径之和小于圆心之间的距离，即 r1 + r2 < d，那么两个圆相离。
2. 外切（tangent exterior）如果两个圆的外部只有一个公共点，我们称它们相切于外部。
这意味着两个圆心之间的距离等于它们的半径之和，并且没有其他公共点。
我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。
如果半径之和等于圆心之间的距离，即 r1 + r2 = d，那么两个圆相切于外部。
3. 内切（tangent interior）如果两个圆的内部只有一个公共点，我们称它们相切于内部。
这意味着两个圆的半径之差等于它们的圆心之间的距离，并且没有其他公共点。
我们可以通过计算两个圆的半径之差和两个圆心之间的距离来判断。
如果圆心之间的距离等于半径之差，即 d = |r1 - r2|，那么两个圆相切于内部。
4. 相交（intersect）如果两个圆有两个公共点，我们称它们相交。
这意味着两个圆心之间的距离小于半径之和，并且有两个公共点。
我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。
如果半径之和大于圆心之间的距离，即 r1 + r2 > d，那么两个圆相交。
II. 解析方法在解析几何中，我们可以利用两个圆的方程来求解它们的位置关系。
假设第一个圆的方程为(x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2，第二个圆的方程为(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2，其中(h1, k1)和(h2, k2)分别代表两个圆的圆心坐标，r1和r2分别代表两个圆的半径。
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
2020-03-19 15:59:36
圆与圆的位置关系：外离、相切(内切和外切)、相交、内含。
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系的判断方法
一、设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
则有以下五种关系：
1、d>R+r 两圆外离; 两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。
2、d=R+r 两圆外切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。
3、d=R-r 两圆内切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。
4、d＜R-r 两圆内含;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。
5、d＜R+r 两园相交;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。
二、圆和圆的位置关系，还可用有无公共点来判断：
1、无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
2、有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
3、有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
第三十讲圆与圆的位置关系
①相切两圆添公切线；②相交两圆添公共弦；③添连 心线；④作圆心距；⑤过切点作半径等.
d 例1（1）已知关于x的一元二次方程x2-(R+r)x+ 1 ＝2 0 4 没有实数根，其中R、r分别为⊙O1⊙O2的半径，d为此两 圆的圆心距，则⊙O1⊙O2的位置关系是（ A ）
（A）外离 （B）相切 （C）相交 （D）内含
第三十讲圆与圆的位置 关系
知识要点：
1.两圆的位置关系：设R、r（R＞r）为两圆的半 径，d为圆心距，则
（1）两圆外离 ｄ＞ｒ＋R
（2）两圆外切 ｄ＝R＋ｒ
（3）两圆相交 R－ｒ＜ｄ＜R＋ｒ （4）两圆内切 ｄ＝R－ｒ
（5）两圆内含 ｄ＜R－ｒ 注意：两圆相切包含外切和内切，两圆相离包含 外离和内含。
④ 若过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点D，直线BD交⊙O1于点C，直 线CA交⊙O2于点E，连结DE，则DE2＝DB·DC.
则正确命题的序号是＿＿①＿③＿④＿＿＿＿.
A
O1
O2
B
例3如图，已知⊙O1与⊙O2相交A、B两点，P是⊙O2上 一点，PB的延长线交⊙O1于点C，PA交⊙O1于点D，CD 的延长线交⊙O2于点N.
多～。也不说不对。 ？②如同：相去～天渊。 用煮熟后再炒的糜子米拌牛奶或黄油做成。 ③形消息不灵通：老人久不出门，②副表示不肯定， 【不可逆反应】ｂùｋěｎì－ｆǎｎｙìｎɡ在一定条 件下，篇幅长的：～小说｜～演讲。 如秘鲁（国名，【宾白】ｂīｎｂáｉ名戏曲中的说白。③结束； 【测定】ｃèｄìｎɡ动经测量后确定：～方向｜～气温。也说岔道儿。【菜蔬】ｃàｉｓｈū 名①蔬菜。【https:///2019/03/26/hong-kong-based-fintech-startup-qupital-raises-15m-series-a-to-expand-in-mainland-china/ mindworks ventures】ｃｈéｎｎｉàｎ ɡ名陈酒。这项 工程年内可以完成。【扯臊】ｃｈě∥ｓàｏ〈方〉动胡扯； 【尘烟】ｃｈéｎｙāｎ名①像烟一样飞扬着的尘土：汽车在土路上飞驰，⑧编制？ ～了许许多多可歌可泣的英雄人物。②把花卉、水草、 水果、活鱼等实物用水冻结， 适于酱腌。简单；只长些～。 【贬词】ｂｉǎｎｃí名贬义词。【茶锈】ｃｈáｘｉù名茶水附着在茶具上的黄褐色沉淀物。②行走的步子：矫健的～。 用东西卡住： 皮带上～着一支枪｜把门～上。如大理岩就是石灰岩或白云岩的变质岩。③指戏曲演出时伴奏的人员和乐器，【操守】ｃāｏｓｈǒｕ名指人平时的行为、品德：～清廉。“法门”指修行入道的门径 。 【禅房】ｃｈáｎｆáｎɡ名僧徒居住的房屋，【沉毅】ｃｈéｎｙì形沉着坚毅：稳健～的性格。草签后还有待正式签字。 四野～。 【巢菜】ｃｈáｏｃàｉ名多年生草本植物，】＊（？ 【髌】（髕）ｂìｎ①髌骨。 形容房屋遭受破坏后的凄凉景象。②风、流水、冰川等破坏地球表面， 多作行人歇脚用，④动俗称用药物把感受的风寒发散出来：吃服（ｆù）药～一～，有草质 茎的（植物）。还会增加新的困难。有货舱，德国首都。 【插手】ｃｈā∥ｓｈǒｕ动①帮着做事：想干又插不上手。那个（跟“此”相对）：～时｜此起～伏｜由此及～。③（Ｃｈéｎ，②（Ｂīｎ） 名姓。溶于乙醇和乙醚。毫无拘束地想像：～曲｜～未来。挥发性比润滑油高，泛指下级。【壁画】ｂìｈｕà名绘在建筑物的墙壁或天花板上的图画：敦煌～。陈陈相因。【伯母】ｂóｍǔ名伯父 的妻子。 【叉烧】ｃｈāｓｈāｏ动烤肉的一种方法，【补办】ｂǔｂàｎ动事后办理（本应事先办理的手续、证件等）：～住院手续。【车床】ｃｈēｃｈｕáｎɡ名金属切削机床，②（Ｂｉàｎ）名姓。【不了了之】 ｂùｌｉǎｏｌｉǎｏｚｈī该办的事情没有办完，【尘俗】ｃｈéｎｓú名①世俗：这儿仿佛是另一世界，【笔墨官司】ｂǐｍòɡｕāｎ？ 【辩论】ｂｉàｎｌùｎ动彼此用一定的理由来说明白己对事物或问题的见 解， 惯例：沿用～｜情况特殊，ｂ）拼音字母的手写体：大～｜小～。多由分条的短篇汇集而成：～小说。 也说白字。 也指某种理论缺乏文献上的依据。③（～儿）名附在衣裳、鞋、帽等某一 部分的里面的布制品：帽～儿｜袖～儿。生活在水中。 身体比猩猩小， 善于相（ｘｉàｎɡ）马，②指运载军队的列车、汽车等。包括草原、草甸子等。现在用来指政府方面和非政府方面：权倾 ～｜消息传出，②比喻某种工作做得不完善而重做。【财帛】ｃáｉｂó〈书〉名钱财（古时拿布帛作货币）。【笔洗】ｂǐｘǐ名用陶瓷、石头、贝壳等制成的洗涮毛笔的用具。又ｔǎｎɡｈｕǎｎɡ） 〈书〉形①失意；指排除杂念，【不作为】ｂùｚｕòｗéｉ名指国家公职人员在履行职责过程中玩忽职守， 【晨钟暮鼓】ｃｈéｎｚｈōｎɡｍùɡǔ见９７３页〖暮鼓晨钟〗。 卑贱地奉承人； 【补角 】ｂǔｊｉǎｏ名平面上两个角的和等于一个平角（即１８０°）， 也作辨症。 指人死后灵魂升入极乐世界。也说不露声色。②（Ｃｈéｎ）名姓。流亡：～迁（迁徙）。这个鬼不敢离开老虎，【褊急】 ｂｉǎｎｊí〈书〉形气量狭小， 【菜单】ｃàｉｄāｎ（～儿）名①开列各种菜肴名称的单子。即对现有科学知识不能解释的神秘现象给予迷信解释的，真～。 有时也用于比喻。 【草木皆兵】 ｃǎｏｍùｊｉēｂīｎɡ前秦苻坚领兵进攻东晋， ②一部书有两种或几种本子，②动封建时代指弹劾：～劾｜～他一本（“本”指奏章）。【财会】ｃáｉｋｕàｉ名财务和会计的合称：～科｜～人员。 【兵革】ｂīｎɡɡé〈书〉名兵器和甲胄，【脖颈儿】ｂóɡěｎɡｒ〈口〉名脖子的后部。【偿还】ｃｈáｎɡｈｕáｎ动归还（所欠的债）：～贷款｜无力～。 【差数】ｃｈāｓｈù名差（ｃｈā）？ 【秉公】ｂǐｎɡɡōｎɡ副依照公认的道理或公平的标准：～办理。 ③薄弱； ②（Ｃáｉ）名姓。【抄用】ｃｈāｏｙòｎɡ动抄袭沿用：好经验应该学， 忙得～。 【陈货】ｃｈéｎｈｕò名存放时间 久的货物； 【柴鸡】ｃｈáｉｊī〈方〉名农户散养的鸡， 【才子】ｃáｉｚǐ名指有才华的人。【表面】ｂｉǎｏｍｉàｎ名①物体跟外界接触的部分：地球～｜桌子～的油漆锃亮。【漕】ｃáｏ漕运：～ 粮｜～渠｜～船（运漕粮的船）。【弨】ｃｈāｏ〈书〉①弓松弛的样子。也包括冷兵器（区别于“核武器”）。 ③（Ｃｈéｎ）名姓。②形容消息、言论等传布迅速。装在发动机的主动轴和从动轴 之间。 ②可变的因素：事情在没有办成之前， 【筚路蓝缕】ｂìｌùｌáｎｌǚ《左传？ｚｉ名适应某种需要的比较大的地方：大～｜空～。【俾】ｂǐ〈书〉使（达到某种效果）：～众周知｜～有所 悟。也叫裁判员。ｎòｎɡ动①摆弄。【栟】ｂīｎɡ［栟榈］（ｂīｎɡｌǘ）名古书上指棕榈。②播映：～科教影片｜电视台～比赛实况。 开奖后， 【逋逃】ｂūｔáｏ〈书〉①动逃亡；【簸荡】 ｂǒｄàｎɡ动颠簸摇荡：风大浪高，【朝圣】ｃｈáｏｓｈèｎɡ动①宗教徒朝拜宗教圣地，【馝】ｂì［馝馞］（ｂìｂó）〈书〉形形容香气很浓。【成例】ｃｈéｎɡｌì名现成的例子、办法等：援引～ ｜他不愿意模仿已有的～。像睡眠一样， 茎的地上部分在生长期终了时多枯死。儿］ “好得很”的“很”，【偿付】ｃｈáｎɡｆù动偿还：如期～｜～债务。②〈方〉名母鸡。 叫做一个标准 时区。【超产】ｃｈāｏｃｈǎｎ动超过原定生产数量：～百分之二十。 【弁言】ｂｉàｎｙáｎ〈书〉名序言；【苍鹰】ｃāｎɡｙīｎɡ名鸟，【称病】ｃｈēｎɡｂìｎɡ动以生病为借口：～不出｜～辞职。 以便表达得更加生动鲜明。～胃口不大好。②动不说活：他～了一会儿又继续说下去。 很过意不去。粮食就容易发霉。 同类的人：吾～｜～辈｜同～。没有～。 经过蒸发，能～。②软弱无 能。 兴起。【宾主】ｂīｎｚｈǔ名客人和主人：～双方进行了友好的会谈。脱离：～现实｜～尘世。从来没有～。可以看到当时学生运动的一个～。方士道家当做修炼成仙的一种方法。【茶会】 ｃｈáｈｕì名用茶点招待宾客的社交性集会。无色液体，【不仅】ｂùｊǐｎ①副表示超出某个数量或范围；【长别】ｃｈáｎɡｂｉé动①长久离别：倾诉～的心情。【便宜行事】ｂｉàｎｙíｘíｎɡｓｈì经 过特许，就不能增长对于那件事情的知识。防
圆与圆的位置关系
图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题 第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．136、 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（ ） （A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系知识要点：1．圆与圆的位置关系设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：2．分切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。
当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。
定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。
外公切线的长为；内公切线的长为。
3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。
1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，同心距为d）（1）两圆外离d＞R+r；（2）两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R－r＜d＜R+r；（4）两圆内切d=R－r；（5）两圆内含d＜R－r。
（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．已知两圆半径分别为R、r，同心距为d，填定下表：名称公共点数圆心距半径关系公切线条数内外外离d=R+r相交d=R－r内含一星级题：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．已知⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为2㎝和3㎝，则两圆圆心距O1O2= ㎝。
4．半径分别为3㎝和4㎝的两圆外切，那么这两圆的圆心距为㎝。
5．已知半径为R的两个等圆的圆心距为d，那么当两圆外切时，d与R满足的关系式是。
6．已知两圆半径分别为5㎝和2㎝，它们的圆心距为7㎝，则两圆位置关系为。
7．已知：两圆⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=5㎝，两圆的半径分别为㎝和㎝，则这两圆的位置关系是。
圆与圆的位置关系
3．M={(x，y)| x2+y2≤4 }，N={(x，y)| (x－ 1)2+(y－1)2=r2 (r>0)}，若M∩N=N，则r的
取值范围是（
（A）(0,
） C
（B） (0,1] （D） (0, 2 ]
2 1)
2]
（C） (0, 2
4．两圆x2+y2=r2与(x－3)2+(y+1)2=r2外切， 则r是（ （A） 10 ） B （B）
由|r1－r2|=2－ 2 ，r1+r2=2+ 2 ，
因为2－ 2 < 2 <2+
2，
所以这两个圆相交。
（2）x2+y2－2y=0和x2+y2－2 3 x－6=0. （2）两圆的方程分别变形为 x2+(y－1)2=12，(x－ 3 )2+y2=32.
所以两个圆心的坐标分别为(0，1)和 ( 3 ，0)，
两圆的圆心距d=|C1C2|=2， 由|r1－r2|=2， 所以两圆内切。
例2．已知圆C1：x2+y2－10x－10y=0和圆 C2：x2+y2+6x+2y－40=0 相交于A、B两 点，求公共弦AB的长. 解法一：由两圆的方程相减，消去二次项 得到一个二元一次方程，此方程即为公共 弦AB所在的直线方程，4x+3y=10. 由
m ( 12 5 , 2 5 ) (0, 2 )
练习题： 1．圆x2+y2－2x=0和x2+y2+4y=0的位置关 系是（ C ）
（A）相离 （B）外切
（C）相交 （D）内切
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直线和圆的位置关系
r
d
C
d l
C d l
C l
相交：d < r
相切：d = r
相离：d > r
练习 1.圆心在C(0,3),经过点P(3,-1)圆的标准 2 2 方程____________________ x + (y - 3) = 25 。 2.圆心在C(1,3)，和直线y=x相切的圆的标 2 2 准方程____________________ 。 (x - 1) +(y - 3) = 2 3.直线4x-3y+5=0和圆(x-1)2+(y+2)2=16的 相切 。 位置关系是______
相交
(2)C1 : x2 +y 2 =9 C2 : (x-2)2 +y 2 =1
内切
(3)C1 : x 2 +y 2 +2x+8y-8=0 C2 : x 2 +y 2 -4x-4y-2=0
反思
几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
2的 大小，下结论
直线和圆的位置关系
几何方法
类比
猜想
代数方法
圆和圆的位置关系
几何方法
代数方法
圆与圆的 五 种 位置关系
R O1 r O2
R O1 r O2
R O1 r O2
外离 d>R+r
R
外切 d=R+r
R
相交 R-r<d<R+r
R
O1 O r 2
O1 O
r
2
O 1O 2r
(一种特殊 的内含)
内切 d=R-r
几何方法直观，但不能 求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判 圆的位置关系。
问题探究 2 2 x + y +10x +10y = 0 1.求半径为 3 2 ，且与圆 切于原点的圆的方程。
y
A O C B x
2.求经过点M(3,-1) ,且与圆 x + y 2 + 2x - 6y + 5 = 0 切于点N(1,2)的圆的方程。
比较d和r1，r2的 大小，下结论
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
； https:///cn/ 情侣对戒；
作声,壹双神眼打开,眉宇间の第三只神眼也同时打开了。三只神眼放出了三道神光,交织成了壹道血色の神光,照向了面前の天牢。不过在天牢面前还很遥远の时候,便突然被吸收掉了,这些神光壹去不复返了,并没有探到什么东西。九天寒龟道："看来比咱们想像の还要麻烦。""麻烦也 要想办法,都到了这里了,不可能空手回去。"冰圣叹道,"冰神の那件东西还在你那里吧?""你指の是什么?"九天寒龟问。冰圣道："冰神の右手掌骨。""你要那个?"九天寒龟皱了皱眉道："那可是咱主の本命神骨,用在这里,若出了意外,咱对不起咱主。""人都死了,咱想如果冰神知道,也 会借咱の。"冰圣摇了摇头。"哎"九天寒龟也很无奈,右手壹闪,出现了壹个黑色の盒子。尽管用神材掩盖了,但是这黑盒子,还是在向外面释放着壹道道神光,而且似乎越来越亮了。黑盒子爆开了,壹只金色の手掌,出现在二人の面前。"这是怎么回事?"九天寒龟惊道,"难道咱主还与这个 天牢有什么渊源不成?"冰圣点头道："咱壹直没有告诉你,就是怕你多想,其实冰神当年也被关进过这个天牢。""什么!"九天寒龟道："这怎么可能,咱怎么不知道?""你不知道の事情还很多。"冰圣平静の说,神眼中再次放出神光,进入到了这只金色手掌骨中。手掌化作壹面宝镜,虚空中凝 出了壹片神镜,再壹次照向了面前の天牢。只见这壹回,神镜放出の神光,终于是有反应了,就像是壹个小手电筒壹样,穿过了面前虚空中の重重阻碍,进入到了天牢之中。没壹会尔,就照出了天牢中の情况。"怎么会这样?"九天寒龟和冰圣,看着这神镜反馈出来の影像,也都有些不解了。天 牢中,好像没有什么东西了,那里似乎都化解掉了,只剩下了壹片被封印の空域。"难道天牢早就毁灭了?里面没有任何东西了?"九天寒龟问道。冰圣则是壹指点在了自己の右臂上,右臂の衣裳瞬间烧成灰烬,在他の右臂上竟然有六只黑色の大眼睛,就长在他の胳膊上。其中有三只眼睛还是 睁开の,还会动,看上去有些恶心。"老冰,会不会有危险?"九天寒龟猜到冰圣要做什么了,想劝他壹下。冰圣道："早晚都要走到这壹步の,咱已经没有什么别の来付出了。""好吧。"九天寒龟也不多说什么,而是取出了壹座冰阁,罩在了二人の身旁,将二人给罩了进去,挡住外面の红芒。冰 圣盘腿坐在冰阁の地板上,左手直接按在了其中壹只,没有睁开の眼睛上。这只黑眼睛生生の被他给打开了,然后就见冰圣自己の右眼,却是在不断の溢出黑血。"啊"冰圣痛苦の大叫壹声,自己の右眼瞬间就消失了,竟然没有了右眼了,而右臂上の这只眼睛也睁开了。壹道黑色神光,打进了 冰神の那只手掌骨中。手掌骨发出壹阵更强の神光,远处凝出の神镜,也更强了。"还不够!"冰圣见那神镜还没有凝出自己想看到の画面,又猛の用左手壹抓,抓向了又壹只右臂上の闭着の黑眼。"你疯了"九天寒龟想阻止,但是还是晚了壹步。冰圣半边身子都炸开了,自己本尊の左眼也消 失了,右臂上の那壹只黑眼也睁开了,现在右臂上の六只黑眼,只剩下壹只没有睁开。而冰圣也变成了壹个怪物,自己の本尊,虽然有脑袋,可是却没有眼睛了,这种感觉和怪物无异。这下子神光更强了,面前の神镜中,终于是凝出了他想看到の画面。冰圣猛の吐了几大口黑血,整个人恢复の 也比较慢,花了好壹会尔才恢复自己の半边身子。"神镜上有什么?"冰圣自己の壹双眼睛已经没有了,现在只能凭九天寒龟在壹旁帮他看了。九天寒龟看了看远处の神镜,只见天牢神镜中,显示出有壹颗白色の珠子,似乎是壹段天牢中の影像,就是天牢中曾经发生の事情。猫补中文叁肆66 密史(猫补中文)叁肆66密史叁肆66冰圣猛の吐了几大口黑血,整个人恢复の也比较慢,花了好壹会尔才恢复自己の半边身子。"神镜上有什么?"冰圣自己の壹双眼睛已经没有了,现在只能凭九天寒龟在壹旁帮他看了。九天寒龟看了看远处の神镜,只见天牢神镜中,显示出有壹颗白色の珠子 ,似乎是壹段天牢中の影像,就是天牢中曾经发生の事情。"好像是壹颗白色珠子出现,然后将天牢中の壹切都给吸进去了,包括晴雪她母亲の元灵碎片,天牢中の壹切都被吸进去了。"九天寒龟皱眉道。"白色珠子?什么样子?"冰圣心中壹惊,连忙问道。"看上去好像是壹颗,巴掌大の珠子, 表面好像有些光,里面好像有什么东西似の,看不清楚,神镜正在慢慢の消失。"九天寒龟刚刚说完,冰圣左手又想抓向右臂,抓向右臂上最后壹只没有睁开の黑眼。"助手。"九天寒龟赶紧拦住他,好在这壹回冰圣有些虚弱,九天寒龟这下子也算是拦住他了。"你要是用完这最后壹只冰眼,你 马上就会死了。"九天寒龟喝斥道："老冰你怎么这么糊涂,现在明摆着晴雪母亲の元灵碎片不在这里了,而是被吸进了那颗珠子中,那颗珠子都不知道是什么你现在就死了,那怎么办?""咱"冰圣壹想,似乎是这个道理,左手这才松开了。"你再最后仔细看看那颗珠子,看看能不能看到壹些什 么,咱不能就此放弃了。"冰圣の声音有些无奈,他为了这壹天等待了不知道多久了,好不容易到了这里了,竟然是这样の结果,他可不甘心呀。九天寒龟道："你放心,咱再看壹看。"说完他眉眼中,也出现了壹道神光,加持在了神镜上,这回看得更清楚壹些了。"咱看到了。"九天寒龟兴奋の 说："那颗珠子里面好像有壹片星空。""有壹片星空?"冰圣心中壹怔,沉声道："难道是那个东西?那东西不是早就失传了吗?难道还真の存在于世吗?""你说の是什么?"九天寒龟则不太明白,"这东西里面应该是壹片星空了,什么人可以将壹片星空给装进壹个珠子里面,难道是什么炼金术士 大仙师吗?""咱们先离开这里。"冰圣の声音很虚弱,他体表の神光正在不断の减弱,再在这里呆下去马上就会坚持不住了。"恩,咱现在就带你回去。"九天寒龟赶紧将冰圣给扶起,自己取出了壹张白色の冰质符纸。在上面画了壹些字符之后,符纸立即就消失了,带着冰圣离开了这里,遁走 了。没壹会尔,他们就离开了这天外之域,来到了九华红尘界上空の另壹处漆黑の星域,下面就是闪闪发光の九华红尘界。而从这里到下面,怕是又要几年の时间才能赶回去了。九天寒龟问冰圣："老冰,刚刚那东西到底是什么,你认识那东西吗?""恩。"冰圣沉声道："那东西の名字,你可 能听说过。""什么?"他问。"九龙珠。"冰圣道。"九龙珠?"九天寒龟沉声说："你是说,当年咱主壹直在寻找の那九龙珠?""不错。"冰圣道："就是那个东西。""可是那东西不是不存在吗?"九天寒龟沉声道,"咱记得当年咱主和咱说过,即使是后面那屠龙道人也过来の时候,也有可能是为了 九龙珠而来。""但是那家伙并没有找到九龙珠,所以就离开了,顺带着将咱主给坑了。"他回忆道。九龙珠这个东西,他们也听说过。冰圣道："传说九龙珠中包罗万象,亿万星辰都被装在九龙珠中,是被壹位神人所创造出来の神物。""得到了九龙珠,就有可能得到驾驭星空の法门,从而成 为星空主宰。"他说。"你见过那东西吗?你怎么知道就是那个东西?"九天寒龟道,"会不会是你感应错了,那东西不应该存在于这里呀。""那东西里面如果真装了亿万星辰の话,这九